Časopis pro pěstování matematiky a fysiky - DML-CZ

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky
Vojtěch Jarník
Über die angenäherte Lösung der Gleichung
x1 T heta1 + cdots + xn T hetan + x0 = 0 in ganzen Zahlen
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 3, 192--205
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Über die angenäherte Lösung der Gleichung
x2 02 + . . . + xn 0n + x0 = 0 in ganzen Zahlen.
Vojtäch Jarnfk, Praha.
(Eingegangen am 21. Jänner 1937.)
Herrn Prof. Dr. Edmund Landau zu seinem 60,
Geburtstag a m 14. Februar 1937 in Dankbarkeit
gewidmet.
Kleine lateinische Buchstaben (ausser c) bedeuten ganze,
griechische Buchst, bedeuten reelle Zahlen. Sind 0V ..., 0n (n > 0)
gegeben, so gelten bekanntlich folgende Sätze:
I. Für jedes t > 0 sind die Ungleichungen
0 < M a x ( | xx |, . . ., | xn |) = ř ,
/ %І &І + %Q
<t~П
(1>
ť-=l
lösbar.
Also umsomehr:
II. Für unendlichviele t > 0 sind die Ungleichungen (1)
lösbar.
I. und II. sind in folgendem Sinn scharf:
III. Zu jedem n > 0 gibt es ein y > 0 und n Zahlen &l9 . . ., 0ny
sodass aus
( X M a x f l a v l , . . ., | xn \) = t
folgt
2
i-=l
XІ
І
+ x0 >yt~n.
In (1) wird verlangt, dass mindestens eine von den Zahlen
x1} . . ., xn von Null verschieden ist; wir wollen im folgenden die
Frage beantworten, wie die Sätze I, II, I I I zu modifizieren sind,
wenn man verlangt, dass mindestens k (1 < k <£ n) von den Zahlen
xl9 . . ., xn von Null verschieden sind. Dabei wollen wir uns auf
solche Systeme 0l9 . . ., 0n beschränken, für welche aus x101 +
+ . . . + xn0n + x0 == 0 folgt: x0 = xx = - . . . . = xn -= 0. Solche
Systeme wollen wir zur Abkürzung „eigentliche Systeme" nennen.
192
Wir führen noch, folgende Benennung ein: ist 0 < l;_ m
und ist x0, xl9 . . ., xm ein geordnetes System von m + 1 Zahlen,
so nennen wir dieses System ein Z-System, wenn mindestens l von
den Zahlen xl9 . . ., xm von Null verschieden sind. Die Antwort
auf unsere Frage ist in folgenden Sätzen enthalten:
Satz 1. Es sei 1 < k <1 n; 0l9. . ., 0n sei ein eigentliches System.
Dann gibt es zu jedem t > 0 ein k-System x0 = x0(t), x1 = x^t), . . .,
%n = %n(t) mit
Max (| x1\9...,\
xn |) <L t,
]T xi ®i + x•o-o
i
\fi=ь+ïj
г=i
(man beachte, dass die linke Seite eine Funktion von t ist).
Satz 2.1) Es sei \ < k <Ln; für T > 0 sei y(x) positiv und wachsend, <p(x) —> co für x -> co. Dann gibt es ein eigentliches System
0l9 . . ., 0n und eine wachsende Folge tl912, . . . mit folgender Eigenschaft: ist l > 0, so gibt es kein k-System x0, xl9 . . ., xn mit
Max (| xг
1
%n\\) <L ti, 2^Xi(yi + x0 < ty-k+lyfø)
(2)
Satz 3. Es sei 1 < k <1 n, a(k, n) = (k + 2) (k + 1 )*-*+«;
0 1? . . ., 0n sei ein eigentliches System. Dann gibt es eine wachsende
Folge tl9t29 . . . mit folgender Eigenschaft: zu jedem l > 0 gibt es ein
k-System x09 xl9 . . ., xn mit
Max (| xx |, . . ., | ^ |) £ h, I ^2*Í®Í
---»- +
' -
<-
г= l
a(k
'
n)
-k+2
(3)
F ü r ,fc = 2 ist n — k -j- 2 = n; nach I I I ist also der Satz 3
für k = 2 scharf. Aber auch für & > 2 ist der Satz 3 mindestens in
dem Sinne scharf, dass der Exponent n — k + 2 nicht vergrössert
werden darf. Es gilt nämlich
Satz 4. Es sei
"""""
2<k<Ln;
b = b(k,n) = (n — k + 3)(k—l)
+ 3.
Dann gibt es ein eigentliches System 0l9. . ., 0n und ein t0 > 0 mit
folgender Eigenschaft: ist t > t0 und ist x0, xl9 . . ., xn ein k-System
mit Max (| xl |, . . ., | xn \) ^ t, so ist
1
2 #» 0i + ^o > ^_* 2 1 gfc
i
+
0
j5
Man brachte folgenden Unterschied zwischen den Sätzen I, I I
einerseits und den Sätzen 1, 3 andererseits: in den beiden Sätzen I, I I
h a t man denselben scharfen Exponenten n; in den analogen Sätzen
1, 3 h a t man zwei verschiedene scharfe Exponenten nr—k+
1,
l
) Satz 2. zeigt die Schärfe des Satzes 1.
193
n — k + 2. Ich bemerke noch, dass man sehr leicht folgenden Satz
beweisen kann: fast alle2) Systeme 0X, . . ., 0n haben folgende
Eigenschaft: ist t hinreichend gross, so ist jedes System x0, xx, . . ., xn,
welches den Ungleichungen (1) genügt, ein n-System (also auch
ein k-System für jedes k mit 1 = k = n). Also: diejenigen Systeme
0X, . . ., 0n, die uns zwingen, den Exponenten n aus I, II in den
Sätzen 1, 3, durch einen kleineren3) zu ersetzen, bilden nur eine
Menge vom Mass Null.
Es folgen jetzt die (leichten) Beweise der Sätze 1 bis 4.
Beweis des Satzes 1.
Da 0X, . . ., 0n ein eigentliches System ist, so gibt es eine für
v > 0 positive und wachsende Funktion <p(v) mit folgenden Eigenschaften:
1. <p(v) -> oo für v -> oo.
2. Aus
I
\ n
. X
v > 0, Max (| xx |
| xn |) > 0, 2 OCІ~Øi" + x0 < jn—k+ 1
folgt
Max (| xx |, . . ., | xn |) > <p(v).
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei v—1 <p(v) -> 0 für v -> oo.
Es sei nun ein hinreichend grosses t gegeben. 51 sei die Menge
aller Systeme (y0, yx, . . ., yn) mit
0 £ y< £ t (i = 1, 2, . . ., n), 0 = 2
Vi
0t + y0 < 1.
Da die Anzahl der Elemente von 21 gleich (t + l) n ist, so gibt es
(Schubfachprinzip!) ein Intervall von der Länge [tn—k+1<pl(t)]—1,
in welchem mindestens tk—x <p—*(t) von den Zahlen yx0x + . . . +
+ Vn@n + yo liegen; subtrahiert man eine von diesen Zahlen von
den übrigen, so bekommt man eine Menge 93 von mindestens
fl—1 <p—l(t) — 1 > |J*—x qr-l(t) Systemen x0, xx, . . ., xn mit
0<M&x(\xt\,
...,
\zn\)£t,
^X{0i+
г= l
x0
2
tn-k+lџЩ
(4)
Für 1 _ ix < i2 < . . . < ijt—i _ n sei £ (ix, . . ., ik—\) die Menge
derjenigen Systeme (x0, xx, . . ., xn) mit (4), für welche alle X{ (i =
= 1, 2, . . ., n) ausser x^, . . ., xik_x verschwinden (wobei aber
auch einige von den letzgenannten k — 1 Zahlen verschwinden
können). Weiter sei £ die Menge aller Systeme (x0, xx, . . ., xn)
mit (4), welche keine fc-Systeme sind, also
*) Im Sinne der Lebesgueschen Masstheorie.
) Im Satz 3 tritt diese Verkleinerung nur für k > 2 auf.
8
194
e =
2
«(h, • • •> H-I).
l<ii<i,...<tj.._l<n
Ist also c(iv . . ., ik—i) bzw. c die Anzahl der Elemente von
(£(ii> . . ., ijfc—i) bzw. von (£, so ist
c<\
2
c
(5)
(h> • • •> **-i).
l<i1<iB<...<tjfc_1<n
Gesetzt, für geeignet gewählte i1? i2, . . ., i Ä _i sei
c(iL. ...,ik-i)>t*-l<p-$(t).
(6)
Setzt man ©^ = rji, so ist c(iv . . ., i*—i) die Anzahl aller Systeme
(y0< y v - , yk-i) mit
*—1
0<Max(|i/1|,.... |y*_i|)<J,
^УІVІ
i=l
2
+
Уo
< pь-k+lyЩ
4
)
Daraus und aus (6) schliesst man (Schubfachschluss): unter diesen
Systemen (y0, . . ., yk—i) gibt es zwei verschiedene (y'0, . . . , # ' * _ i ) ,
(2/"o
> 2/%—i) mit
3t
Max | y' { — y\ | <
^—•
Durch Differenzenbildung erhält man ein System (x0, xv . . ., xt—i)
mit
0 < Max (| xt |, . . ., | **_! |) < 3{>(í))»<*--> < <p(t),
k—1
У %i 7}i + x0 < n—k+lyЩ
t
i= l
<
^
t
1
—k+\
was der Definition von tp(v) widerspricht. Also ist (6) falsch und
aus (5) folgt
^( fc "!. 1 )«*- l 9'~ | (o<***-v
Цt).
Es gibt also ein System (x0, xv . . ., # n ) aus ^Q, welches nicht zu £
gehört, d. h. es gibt ein ^-System (x0, xl9 . . ., xn) mit (4).
B e w e i s d e s S a t z e s 3.
E$ sei 1 < k <I n; 0l9 . . ., 0n sei ein eigenthches System.
Nach I (für k = 2) bzw. nach Satz 1 (für k > 2) gibt es zu jedem
t > t0 ein (& — 1)-System x0, xx, . . ., xn mit
Max (| s. |, . . ., | a;„ |) <^ ť,
2 xг ®І + xo
i-=l
4
1
t
—k+ 2
) Man beachte, dass y0 durch yv . . ., yk—\ eindeutig bestimmt ist.
195
Wir unterscheiden zwei Fälle:
E r s t e r F a l l . Es gibt k — 1 Zahlen il9 . . ., ik—i (1 <1 ix < i2 <
< . . . < i*—i 5i n), so dass es zu jedem hinreichend grossen t ein
System x09 xx, . . ., xn gibt mit
X{xXi%
*»V_! + 0, Max ( * l l >
XП I) = *,
n
1
(?)
2 #» &І + x0 < jл—*+2
i=-l
Z w e i t e r F a l l . Der erste Fall liegt nicht vor.
Wir behandeln zunächst den ersten Fall, wobei wir durch
Umnumerierung erreichen, dass
ix = 1, i2 = 2, . . ., ik-.x = k — 1
(8)
ist. Es seien —? —, . . . die (irreduziblen) Näherungsbrüche der
regelmässigen Kettenbruchentwicklung der Zahl 0X (qi > 0). Bekanntlich gilt:
l
v
Vi
1. ist | x x
y I < 97~TT> 1 * 1 * °> s o i s t -reinem5-gleich;
-5 I iC |
#
(fr
1
2. s r ^ " < l ? . Ö i — P . I < r - <-#«+i
<Z«+i
Man setze J = q8+\— 1; ist s hinreichend gross, so gibt es
erstens Zahlen x0, xl9 . . ., xn mit (7), (8). Zweitens gibt es nach I
n — k + 3 Zahlen y0, yl9 yk, yk+l9 . . ., yn mit
0 < Max (| Vl |, | yk\, \ yk+x \, . . ., | yn
\)£t,
n
l
< in—k+2,
#i2/i +^&iVi
+ 2/o
i=k
Wäre yk = yk+1
= . . . = yn = 0, so wäre
2 / i + 0 , 1 OlVl + y0\<
y Z i + S - - | yx | tn-k+i < Y
also — = — — für ein l <1 s, also
Уi
<łl
Уx\
ì
1
JL
>
2<ř.+i
2q,+1 ^ Зt^ *»-*+— Widerspruch; also ist mindestens eine von den Zahlen yk, yk+i9
• • •> Vn von Null verschieden.
Zu unserem t gibt es ein System x0, xl9 . . ., xn mit (7), (8).
Ist x0,%xl9. . ., xn ein ^-System, so sind wir fertig. Sonst ist xk =
= #*+i = • • • = #n = 0; in diesem Falle bilde man den Ausdruck
#i*i + . • . + &nxn + x0 ± (01y1 + 6k yk + . . . + Onyn + y0),
wobei das Vorzeichen so gewählt werde, dass xx ± yx =f= 0 ist.
\®iyi + y - 1 ^ | 0 i ? t — p i l
196
>
Wird noch t' = 2t gesetzt, so bekommt man auf diese Weise
offenbar ein ^-System z0, zx, . . ., zn mit
M a x d z J , . . . , \zn\)
=
ť, 2
i=í
І z. + z0 <
^ a(k, n)
2
pi—k+2 "^
t'n—k+2
womit der erste Fall erledigt ist.
Es liege nun der zweite Fall vor. Dann gibt es ein System
il9 . . ., ih—i (1 5^ i\ < i2 < . . . < ik—i 5^ w) so, dass (7) für unendlichviele t > 0 lösbar und auch für unendlichviele t > 0 unlösbar
ist; ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte (8). Es gibt also
unendlichviele t' > t0, sodass (7), (8) für t = t' lösbar, für t = t' + \
unlösbar ist. Es sei t' eine solche Zahl. Gibt es ein k-System x0, xl9
. . ., xn, sodass (7), (8) mit t = t' erfüllt ist, so sind wir fertig. Sonst
gibt es k Zahlen x0, xl9 . . ., xk—\ mit
xгx2.
. . Xk—i ф 0,. Max ( xг |, . . ., | xk-г |) <I ť,
| ÄГ-Г-l
2^ Xi (Уi + x0 <
i= l
1
t'n— k+2
Es gibt weiter ein (k — 1)-System y0, yl9 . . ., yn mit
Max (| Уl |, . . ., | yn \)£ť
+ 1,
^yi@i
i=l
+ yQ <
(ť + !)»-*+«
Nach der Wahl von %' ist yxy2. . . yk—i = 0, also gibt es ein l
mit k <Ll <Ln, yi + 0. F ü r jedes i (i = 1, 2, . . ., k — 1) gibt es
wegen Xi 4- 0 höchstens ein a* mit Xi + aiyi = 0; also kann m a n
ein b mit 1 <I 6 <I k so finden, dass Xi + byi + 0 für i = 1, 2, . . .,
k — 1. Dann ist also, Zi = Xi + byi (i = 0 , 1 , . . . , n; xk = . . . = xn = 0)
und T = (k + 1) (tf + 1) gesetzt, für hinreichend grosse t'
Max
2
i= l
und z0, z 1?
І *І + z0
<
(\z1\,...,\zn\)£T9
a(k, n)
k+ 1
t'n—k+2
.,. o "^
< ^pn—k+2
Ь
., zw ist wegen zxz2 . . . zk—\ Zi + 0 ein k-System.
B e w e i s d e s S a t z e s 2.
Es sei 1 < k <^ n; <p(x) sei positiv u n d wachsend für T > 0,
für T - > co sei cp(x) -> oo. Man wähle unendlichviele Brüche
1, 2, . . . , « ; I = 1 , 2 , . . . . )
-&-.(•
?»,.
mit folgenden Eigenschaften: die j , ^ sind Primzahlen,
2
< îi.i < Ï2 < . . . < qn,i < qi,i+i (l = 1, 2, . . .);
Ъ,i+i > Цs,ґ> qi,i+i > 4ngi,i{ř2.i • • • 9W • £*,*> řn.i < Цk,ґ,
Časopis pro. pěstování matematiky a fysiky. 14
197
9>(i?*.l) > 2 - < » - * + i ) + i . quq2,i.
Ps,i=£ 0 (rnodg,,*);
. .
Ps,l
Ps,l + 1
q»Л
Яsл+i
qk-U;
1
<
?í,.+i
D i e Möglichkeit einer solchen W a h l ist klar, w e n n m a n bedenkt,
dass zwischen x und 2x für hinreichend grosse x mehr als n — k
Primzahlen liegen. D a n n setze m a n für s = 1, 2, . . ., n
t—
0s = lim - ^ - , also
*=oo q9,i
Pj£
<
(9)
?«,í+l
©i,, . ., @n ist ein eigentliches S y s t e m ; d e n n aus xx0x
+ xn0n + x0 = 0 folgt für wachsendes l
+ . . . +
, 0 +, 1 ^+... + x„^= = o(-i-)= 0 ( /7 - i _ y
F ü r grosse l ist also die linke Seite gleich N u l l u n d durch Multiplikation mit gi,#2.* • • • qn,i b e k o m m t m a n für s = 1, . . ., n
n
XsPsjTl QiJ — 0 ( m o d g ^ ) , also x8 = 0 ( m o d ^ , / ) ;
i= l
it*
für hinreichend grosse Z ist aber q8j > \ x8 |, also #, = 0 für s =
= 1, . . ., n, also auch x0 = 0.
Man setze n u n ti = g>,j — 1 > \q^i für Z = 1, 2, . . . u n d m a n
setze voraus, dass es zu einem l > 0 ein fc-System x0, zl9 . . ., xn
m i t (2) gibt. N a c h (2), (9) wäre
PiЛ
ЯiЛ
<
+ ... + xn^
ЯnЛ
2qiл • . . q л +
n
also
X
l
1
2Щьл •
+ x0
1
ЯiЛ+i
(ìЯkл)"-**
1
2
2
л
• ( ?м) -*
Pii
^ + . . .
+ x
n
+1
<
qiл • • • Ï Ł - I , Í
Pn,l
^ + x
0
ЧPІÌЯЬЛ)
<
1
ïi,i • • • ïn,ř
= 0.
E s sei c der grösste I n d e x s <^ n- mit # , =|= 0; d a n n wäre also c I> &
und
*.££+....+*C-M
9hi
9c,i
eine ganze Zahl, also
x
cPcti q\M%i • • • ?c-i,l --s 0 (mod qCti), also a;0 = 0 (mod gc,j);
andererseits aber 0 < | xe \ <^ U < qkti <L qc,i — Widerspruch.
198
Hilfssätze.
Zum Beweis des Satzes 4. brauchen wir drei. Hilfssätze, die
jetzt bewiesen werden sollen. Ich bemerke aber gleich, dass diese
Hilfssätze nicht neu sind: Hilfssatz 1. ist trivial, Hilfssatz 2. kommt
im Wesentlichen in einer Arbeit des Herrn A. Khintchine5) vor,
und den Hilfssatz 3. habe ich schon in einer anderen Arbeit6) bewiesen und angewendet.
Hillssatz 1. Es sei gegeben:
1. eine Zahl s > 1;
2. eine Zahl h > 0;
3. ein Punkt1) P = [rj1} . . ., rj9] mit rationalen Koordinaten;
4. ein endliches System
Hv...,Hm
(10)
von (s— \ydimensionalen Hyperebenen.
Dann gibt es eine Gerade G mit folgenden Eigenschaften:
A) G enthält den Punkt P; G liegt in keiner Hyperebene des
Systems (10).
B) Die Gleichungen von G lassen sich in der Farm,
yi@! + Zi©v+ Ui = 0(i =
2,3,...,s)
schreiben, wobei für jedes i (i = 2, 3, . . ,, s)
(y» Zi, Ui) = 1, y{> h, Zi 4= 0
gilt.
^
Beweis. Es gibt offenbar s — 1 Zahlen A» 4= 0 (i = 2, . . ., s),
sodass die Gerade
(Oi — m) + h (9?—Vi) = 0, (i = 2, . . .,s)
die Eigenschaft A besitzt. Man kann dann zu jedem i (i = 2, . . ., s)
zwei Zahlen pi, qi mit pi 4= 0, <& > h, (pi, g<) = 1 so wählen, dass
auch die Gerade G mit den Gleichungen
(0i-r)i)
+ ^(&i-rii)
= O (i =
2,...,s)
qi
die Eigenschaft A besitzt. Ist rji = — (6 > 0) für i = 1, . . ., s
b
so lassen sich die Gleichungen von G auch in der Gestalt
5
) A. K h i n t c h i n e , Über eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen, Palermo Rendiconti 60 (1926), 170—195, Hilfssatz 1.
6
) V. J a r n f k , Über einen Satz von A. Khintchine, Prace Mathem.
—Fizyczne 43 (1936), 151—166, Hüfssatz 2.
7
) I m folgenden werden oft Zahlensysteme wie [i/lf . . ., 175] als Punkte
des 5-dimensionalen Cartesischen .Raumes betrachtet. Ein „Würfel" bedeutet
stets einen achsenparallelen Würfel. fiM bedeutet das äussere Lebesguesche
Mass der Menge M.
!*•
199
bqi01 + bViOi + Vi = 0 (i = 2, . . ., s)
schreiben; beachtet man, dass qi > h, bpi + 0, (bqi, bpi9 Vi) =
= (bqi, bpfi = 6, so sieht man, dass G auch die Eigenschaft B
besitzt.
Hilfssatz 2. Es sei s > 1; <p(r) 8ei /#r T ^ O wachsend und stetig,
tp(0) = 0; <p(r) -> oo /#r T -> oo. Dann gibt es ein eigentliches System
0l9 . . ., ©9 mit folgender Eigenschaft: zu jedem hinreichend grossen x
gibt es 3 (s — 1) Zahlen yi, zu Ui (i = 2, . . ., s) mit folgenden Eigenschaften:
yi>0,
Zi + O, (yi9 Zi, u{)=l9
Max (| y2 \9\y3\9
| yiOi+z^+ut
\ < —,
(i = 2, . . .. s)
..'., | y, |, \ z21, | zs |, . . ., | z8 \) = <p(r).
8
Beweis. ) Wir betrachten zunächst alle (s — l)-dimensionalen
Hyperebenen, welche mindestens einen Punkt des Würfels
E : 0 = Oi < 1
(i = l , . . . , « )
enthalten und deren Gleichungen sich in der Form
8
2 UiOi + a0 = 0, (a0, ax, . . ., a8) = 1
(11)
i= l
schreiben lassen. Die ganze positive Zahl Max (| ax \, . . ., \ a8 |)
heisse der Rang der Hyperebene (11). Offenbar gibt es zu jedem
n > 0 höchstens endlichviele Hyperebenen vom Rang n (da sie den
Würfel E schneiden müssen). Es sei rp die zu tp inverse Funktion.
Man konstruiere nun vier Folgen
Ol9 G2, . . .; ml9 m29 . . .; Pl9 P 2 , . . .; Wl9 W2, . . .
mit folgenden Eigenschaften:
1. Gj ist eine Gerade, deren Gleichungen lauten:
yiJ0\ + *ißi + ikj = 0 (i = 2, . . ., s);
dabei ist
y%j > 0, zu + 0, (yi4, Zij, uifJ) = 1
(i = 2, . . ., s).
Ist j > 1, so, liegt Gj in keiner Hyperebene vom Rang < j .
2. m,-= Mfix (y{j, | z^ \);
i=3,...,8
yij+\ > mj für i = 2, . . ., s; also rn,j+\ > mj.
3. Pj ist ein Punkt mit rationalen Koordinaten, der sowohl
auf Gj, äjs auch auf G$+\ liegt.
4. lYj ist ein abgeschlossener Würfel mit dem Mittelpunkt Pj,
dessen Kante kleiner als
'
8
) Die Systeme [0- l f .. ., 0S] werden als Punkte eines «-dimensionalen
Baumes gedeutet.
200
mj\p(mj+1)
ist; ist j > 1, so enthält Wj keinen Punkt keiner Hyperebene vom
Rang < j . Weiter ist Wx C E, Wj+1 C Wj.
Die Möglichkeit einer solchen Konstruktion sieht man durch
Induktion ein:
Gx sei die Gerade 0X — &i = 0 (i = 2, . . ., 5), also rax = 1;
-Pi = Ei» • • •> -J-]- #2 se* e * n e Gerade mit den Gleichungen
yi,2 ©i + ^,2 Ö* + ^,2 = 0
(i = 2, . . ., 5),
2/i,2 > ™i> ^-,2 + P, (yit2, zit2, uit2) = 1 (i = 2, . . ., s);
weiter möge G2 den Punkt Px enthalten, aber in keiner Hyperebene vom Rang < 2 enthalten sein; das geht nach Hilfssatz 1.
Dadurch ist m2 > mx definiert. Endlich sei Wx ein abgeschlossener
Würfel mit dem Mittelpunkt Px und mit der Kantenlänge
<
1
T—,, WXCE.
m1tp(m2)
Gesetzt nun, für ein n > 0 seien Gx, . * ., Gn+1; m^, . . ., mn+1;
Px, . . ., Pn; Wx, . . ., Wn den aufgezählten Bedingungen gemäss
konstruiert; dann konstruiert m a n ö n + 2 , mn+2, Pn+i, TVn+ifolgendermassen: Man wähle einen Punkt P n +i mit rationalen Koordinaten auf Gn+1 und innerhalb Wn, der in keiner Hyperebene vom
Rang <n-\-A liegt (das geht *nach den Eigenschaften von Gn+1).
Dann wähle man nach Hilfssatz 1 eine Gerade Gn+2 durch den
Punkt Pn+1, die ein keiner Hyperbene vom Rang < n + 2 liegt
und folgende Gleichungen hat:
yitn+zOx + Zi,w+20i + UUn+2 = 0
yi,n+2>mn
+ 1,
Z*,n+2+0,
(i = 2, . . ., s),
(^, n +2, Zi>+2, ^i',n+2) = l
(i = 2, . . ., s).
Dadurch ist mn+2 > mn+1 definiert. Schliesslich wähle man um den
Mittelpunkt P w +i einen abgeschlossenen Würfel Wn+1 C Wn,
dessen Kante <
r ist und der keinen Punkt keiner
mn+1y)(mn+2)
Hyperebene vom Rang < n + 1 enthält (das geht nach der Wahl
von Pn+1). Damit ist die Möglichkeit der Konstruktion bewiesen.
Es sei P = \ßx, . . ., 08] der (eindeutig bestimmte) Punkt,
der in allen Wj, also auch in E liegt. 0X, . . ., 08 ist ein eigentliches
System; denn sonst müsste P in eitler Hyperebene von irgendeinem
Rang / liegen und das geht nicht, da P in W,-+1 liegt. Es sei weiter r
eine positive Zahl mit tp(r) ^ 1 = mx; es gibt also ein ; > 0 mit
m
i ^ 9?(T) <
m
ß+i>
a
-so
T
<
V>(mj+i)-
Da P in Wj liegt, so ist, P7- = [rjx, . . ., rj8] gesetzt,
\rji — 0i\ < -•
•
-
(i = 1, . . ., s),
2mjy)(mj+1)
201
' yu Vi + ZU Vi + ui,j = ° (i = 2, . . ., s),
m
f = yi,j > °> mi = I zi,j I + °> (yi,hzi,h ui,t) = l ( » = 2 ? .. .,5),
also
I * A + ~.,,o. + «u I < - ^ ^ y < |
(•' = 2, • . ., •)
und
I 2/U I = 9>M> I 2i,,- | = cp(r), yu > 0, [ z u | + 0 (i = 2, . . ., s),
womit Hilfssatz 2 bewiesen ist.
Hillssatz 3. Gegeben seien zwei Zahlen: s > 1 und 0V Es sei A
die Menge derjenigen Punkte [02, . . ., 08]9) aus dem Einheitswürfel
W: 0 £ 0i < 1 (i = 2, . . ., 5),
welche folgende Eigenschaft haben: es gibt unendlichviele Systeme
0> xl> • • •> •*'# Ttttt
Max | #»• | > 0, JГ a;< i + # 0 <
i=2,3...,«
.(12)
Max(|.r i |»log*(|*,H-3))
i= l
i = 1,2...,*
Behauptung: fxA = 0.
Beweis. Bei gegebenen x0, xl9 . . ., x8 mit x' = Max | xi \ > 0
i = 2,3,...,*
sei Ü7 (#0, xl9 . . ., xf) die Menge aller Punkte [02, . . ., 08] aus W
mit (12); wird # = Max | x% \ gesetzt, so ist offenbar
i = l,2,...,*
2
fiE (x0, xl9 . . ., x8)
•
=
#Vlog 2 (a;+3)
Bei gegebenen xv x2, . . ., x8 gibt es höchstens (2s + 1) #' Werte
von x0 mit JE? (x0, xl9. . ., x8) + 0. Die Reihe
2 fiE (x0, xl9. . ., x8) (x' = Max | Xi \)
(13)
&«t Sit...»-*«
i = 2,3,...,*
*'>0
wird also konvergent sein, wenn die Reihe
_
2 (2s + 1) ,
..
.
l
X
3
xuZlxs& °S(
+ )
t = l,2,...,*
..
x>0
konvergiert; und diese Reihe konvergiert tatsächlich; denn jedem
Wert von x entsprechen 0(x8^1) Glieder der Reihe. Aus der Konvergenz der Reihe (13) folgt aber, dass diejenigen Punkte [02, . . .,
•) Wir arbeiten hier also im (« — l)-dimensionalen Raum der Punkte
[ 0 j » <=>8, • • •> <->«!•
202
09], die in unendlichvielen Mengen E (x0, xv . . ., x9) mit x' > 0
liegen, eine Menge vom Mass Null bilden.10)
Beweis des S a t z e s 4.
Es sei 2 < k f^ n. Man wähle die Funktion cp(r) des Hilfssatzes 2 so, dass (p(r) = log log r für hinreichend grosse r ist und man
wende Hilfssatz 2 mit s = k — 1 an. Es gibt also ein eigentliches
System 0V 02, . . ., 0jc—i mit folgender Eigenschaft: zu jedem
hinreichend grossen T gibt es 3 (k — 2) Zahlen y<, Zi, Ui (i = 2, . . .,
k— 1) mit
. y{ > 0, zx + 0, (yh zu u{) = 1, | yi0x + z{0i + u{\ < 1/rj
(i=2, ...,k— 1), l (14)
Max (| y2 |, . . ., | 2/jfc—I \,\z2\,...,\
z*_i |) ^ log log T.
J
Man wähle ein solches System 0V . . ., ©*—i. Diejenigen Punkte
[0h, . . ., ©»], für welche das System 0V . . ., 0n nicht eigentlich ist,
bilden im (n — k + l)-dimensionalen Räume eine Menge vom
n
Mass Null; denn aus 2 ai®% + ^0 -= 0, Max (| ax |, . . ., | an \) > 0
i= l
folgt, dass mindestens eine von den Zahlen a*, . . ., an von Null
verschieden ist (denn 0V . . ., 0k—I ist ein eigentliches System);
also sind die betrachteten Punkte [0%,. .., 0n] auf abzählbarviele
(n — &)-dimensionalen Hyperebenen gebunden, bilden also tatsächlich eine Menge vom Mass Null. Nach Hilfssatz 3 (mit s =
= n — k + 2) kann man also 0k, . . ., 0n so wählen, dass erstens
das System 0V . . ., 0n eigentlich ist und dass zweitens die Ungleichungen
Max | Vi | > 0, | vx0x + J Vi0i+vo\<
i=* n
fy
Max (M«-*+ 2 log'(M+3))
i = l,kt...,n
höchstens endlichviele Lösungen in v0, vv v^, . . ., vn haben. Daraus
folgt, dass für hinreichend grosses X die Ungleichungen
n
j
0<Max \ Vi \=X, | vx \£X> | vxex + J,Vi0i + v0\ <
überhaupt keine Lösung in v0, vv v^, . . ., vn
2A^+21ogi^
(15)
besitzen. Um den
CO
10
) Beweis: Ist ^fxNn konvergent und ist N die Menge derjenigen
n=l
-j
oo
Punkte, die in unendlichvielen Mengen Nn liegen, so ist NcVNn,
a>
also
n=ifc
fiN ^ 2 pH* fü* jedes k > 0, also fiN = 0.
203
Satz 6 zu beweisen, genügt es zu zeigen: ist t hinreichend gross, so
gibt es kein k- System x0, xv . . ., xn mit
2 XiOi + x0
Max (| xx |, . . ., | xn |) <; t,
1=1
— tn-*+Hogbt
*
(16)
Gesetzt, (16) sei für ein ß-System x0, xx,..., xn wahr; daraus wollen wir für hinreichend grosses t einen Widerspruch herleiten. Nach
Voraussetzung gäbe es ein l mit k <^ l <; n, xi + 0. Man wähle ein
System yi, Zi,Ui (i = 2, . . ., k — 1), sodass (14) mit r = e*, also
log log T = log / gilt (alles für hinreichend grosse t). Man multipliziere (16) mit Z2ZQ . . . Zfc—i und benutze (14) (mit r = e*); dadurch
bekäme man
k— 1
k— 1
fc—
1
n
fr—
1
I ®i (*i11 z/ — 2 a*y<n »*) + 2 ®ixi Ylz? + ^o I
?" = 2
i= 2
?=2
(k—2)t
<
p — k+ 2 ^ [ 0 g ^(n—fc+ 3)(fr—1) + 3
.
tn—k+
(log £)*~2
log*- ^
e«
>= 2
i-=*
3
1
.
(17)
2 ( } 0 g ^(n—fc+ 2)(fc— 1)+ 3
Setzt man also
X = tf l o g * - 1 1 > (k—l)t
log*- 2 *,
und setzt man Vi (i = 1, & , . . . , n) gleich dem Koeffizienten von (9*
im Ausdruck (17), so wäre erstens vi + 0, zweitens
0 < Max \vi\<LL
\vx\<LL
\ V& + ]T*;Ä + v0|
i = k,...,n
<
i = k
1
Xn-k+ 2 [ og 3
t
1
<
^ 2A W ~*+ 2 log 2 X '
also wáre (15) wahr, was ftir binreichend grosses t den gesuchten
Widerspruch liefert.
*
0 přibližném řešení rovnice Xi 0i + . . . + xn 0n + x0 = 0 celými
čísly.
(Obsah předešlého článku.)
Malá latinská písmena nechť znamenají celá čísla. Jsou-li
&i, . . ., 0n reálná císlá, potom platí, jak známo, t y t o vety:
I. Pco každé t > 0 mají nerovnosti
0 / ^ M a x d ^ [,..., \.xn\)£t,
řešení.
204
t ] T XÍOÍ + XO < t-n
|ť-i
(i)
Tedy tím spíše:
II. Pro nekonečně mnoho t > 0 mají nerovnosti (1) řešení.
Je známo, že exponent — n nelze ani ve větě I ani ve větě I I
snížiti.
V tomto článku vyšetřuji, jak je nutno modifikovati věty
I, II, jestliže požadujeme, aby aspoň k čísel Xi (1 ^ i <^ n) bylo
od nuly různých. Pro k = 1 máme věty I, I I . Je-li 1 < k <^ n,
lze hlavní výsledek vysloviti zhruba asi takto: exponent — n je
nutno ve větě I nahraditi exponentem — (n — k + 1) a ve větě I I
exponentem — ( n — k + 2); žádný z těchto exponentů nelze
snížiti. (Přesně je výsledek vysloven ve větách 1. až 4.)
205