Fähigkeitenpool Analytik - Folgen

Analytik - Folgen – Funktionen - Integral
n
1.
Ein Vektor (des R ) ist ein n-Tupel (Paar, Tripel, ...) von reellen Zahlen.
2.
Rechnen mit Vektoren: Addieren von Vektoren: Ergebnis ist wieder ein Vektor!
Skalares Produkt: Ergebnis ist eine Zahl!
a:.b > 0 Î spitzer Winkel; a .b ‹ 0 Î stumpfer Winkel; a .b = 0 Îrechter W.
Kreuzprodukt: a x b; Anwendungen?!
3.
Den Mittelpunkt e. Strecke berechnen ( geg.: A,B; ges.: M ); ÎTeilungspunkt.
4.
Geradengleichungen aufstellen: verschiedene Formen - umrechnen - in R2 und R3
5.
Die Lage e. Punkt feststellen (auf, außerhalb, innerhalb ) --- Gerade, Kreis, Kugel,
Kegelschnitt,...
6.
Gegenseitige Lage 2er Geraden bestimmen: in R2 und R3, .... Parameterform /
Koordinatenschreibweise:
7.
Schnittpunkt 2er Geraden berechnen: ( beide in Parameterform, beide in Normalform,
etc: )
8.
Schnitt: Gerade - Ebene,
9.
Betrag e. Vektors - Einheitsvektor - typische Fragestellungen suchen !!
Ebene - Ebene,
Kreis - Kreis,
Kugel - Kugel
10. Das vektorielle Produkt: Interpretation als Normalvektor - der Betrag als Fläche
11. Winkel zwischen 2 Vektoren (Geraden), Winkel (Gerade - Ebene)
12. Gleichungen der Winkelsymmetralen zu 2 sich schneidenden Geraden ( Ebenen )
13. Abstand e. Punktes von einer Geraden (Ebene) ;Abstand 2er paralleler Ebenen
14. Gleichung e Kreises in Vektorform und in Koordinatenschreibweise angeben.
Umkehrung: aus der Gleichung Mittelpunkt und Radius ablesen
15. Den Flächeninhalt e. Dreiecks auf verschiedene Weise berechnen können (Abstand,
Skalarprodukt, Kreuzprodukt, trigonometr. Formeln )
16. Tangentengleichungen aufstellen (Spaltform, Berührbedingung, implizit diff. Î k,
Normalvektorform
17. Berührbedingungen für die Gerade: y = kx + d (Ell., Kreis, Hyp., Par.),
Asymptotengleichungen für die Hyperbel
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16.05.04
Funktionen:
1. Eigenschaften von Funktionen:
Lineare Funktion: Steigung (+ / -)
quadrat. Funktion: symmetr. zur x (y) - Achse - Verschiebung - zentr. Streckung
(Stauchung)
Funktionen 3. und 4. Grades: Kurvendiskussion
e-Funktion - Umkehrfunktion. e° = 1, ln 1 = 0.
f`(lnx)
(x + 1).e2x = 0, Rechenregeln,
gebrochen-rationale Funktionen: Gleichungen der Asymptoten (Polstellen)
Polynomfunktionen: - Umkehraufgaben
Trigonometr. Funktionen: Graph - Diskussion - Überlagerungen - Bogenmaß Gradmaß, f`(x)
2. Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse, zwischen 2 Kurven
3. Rauminhalt von Rotationskörpern: Drehung um die x-Achse, Drehung um die y-Achse
4. Ableitungsregeln (Summen-, Produkt-, Kettenregel) - implizit differenzieren (Kurven
2.Ordnung)
5. Näherungsverfahren: Newtonsches Verfahren, Regula falsi
6. Radioaktiver Zerfall - „Natürliches Wachstum“: N(t) = No.eλt. λ = pos. / neg.? Fragestellungen.
N`(t) = λ.N(t) bedeutet: die Zunahme ist immer proportional zum Vorhandenen.
7. Integration von Stammfunktionen, Summenregel, partielle Integration, Integr. durch
Substitution, Partialbruchzerlegung; besser: numerische Integration!
8. Zahlenfolgen: explizite und rekursive Darstellung!
Arithmetische Zf.: Def., Berechnung des n-ten Gliedes, Berechnung von sn.
Geometrische Zf.: Def., bn, sn, lim sn = s.
Konvergente Zf., lim (xn - a) = 0, ε-Umgebung von a, Grenzwertsätze
9. Zinseszinsen: (ganzjährige Verzinsung): Ko, p, Kn,
10. Wurzel- Goniometrische- und Exponentialgleichungen lösen.
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16.05.04
Fähigkeitenpool: Trigonometrie
Seitenverhältnisse im rechtw.Dreieck sind gleich Î sin, cos, tan,
Darstellung am Einheitskreis
Sin / Cos-Satz im allgemeinen Dreieck
Umrechnen vom Gradmaß ins Bogenmaß und umgekehrt.
Vorstellung vom Verlauf der 3 Funktionen haben / Periodizität
Manipulation der Funktionen: c.sin x; sin(x+b); sin(a.x); sin(ax + b); c.sin(ax+b)
1.
Grundwissen:
2.
Anwendungen im Vermessungswesen: . genaue Skizze anfertigen können
(Große Zeichnung, WAS ist gesucht - die Variable bezeichnen, Schrägriß / Aufriß?)
3.
Beziehungen finden:
im rechtwinkl.Dreieck: Satz v.Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz, Winkelfunktionen,
...
4.
Im allgemeinen Dreieck: SIN-, COS-Satz: Winkel erkennen:
Höhen-Tiefenwinkel, Komplementärwinkel, Scheitelwinkel, Supplementärwinkel
5.
Arten der Flächenberechnung im Dreieck: Euklidische Geometrie, Trigonometrie,
Analytik und in anderen Figuren
6.
Anhand der Skizze Zusammenhänge erkennen: Ähnlichkeit, Normalabstand, ...
7.
Sonderfälle erkennen: gls., gleichschenkl., rechtwinkl.Dreieck ( Beweis durch
skal.Produkt)
8.
Projektion einer Strecke oder einer Fläche: (Neigungswinkel? Länge der projizierten Strecke)
9.
. Der Begriff „Steigung“ in verschiedenen Zusammenhängen:
Steigung (%),
Anstieg als Verhältniszahl: k = ¾ oder k = 4
Anstieg als Funktionswert : k = tan(ß) = y/x
Differentialrechnung:
f’(x)
Analytik:
a = (4 / 3 )
10. Angaben des Winkels für Navigationsaufgaben: α = N NO; β = S 25° W.
Fähigkeitenpool: Differential u. Integral
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16.05.04
1.
Deutung des Differenzenquotienten: geometrische Deutung
Beispiele: mittlere Änderungsrate - mittlere Wachstumsgeschwindigkeit [t ; t+h]
mittlere Beschleunigung a(t) = v’(t) = s’’(t)
mittleres Temperaturgefälle im Höhenbeeich [x ; x+h]
2.
Deutung des Differentialquotienten: geometrische Deutung – Tangentensteigung
Grenzwert lim (f(x+h) – f(x)) / h
Begriffe: Momentangeschw., Momentane Stromstärke Q’(t) = I(t) zur Zeit t
Momenane Temperaturänderun
Was bedeutet 80 km/h a) als Duchschnitsgeschwindigkeit b) als Momentangeschw.?
Vorteil der Durchführung des Grenzprozesses: Variablenreduktion!!
3.
Tangentengleichungen aufstellen in einem Punkt T(x1/y1):
an f(x), an Kegelschnitte (Kreis), Spaltform.
implizit differenzieren
4.
Extremwertaufgaben: NB: Strahlensatz / S.v.Pythagoras / Punkt P Є f(x)
ansonst das Extremum am Kurvenverlauf ablesen!!
Vereinfachen der Zielfunktion!
5.
Was bedeutet das bestimmte Integral?
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∑ f ( x).∆x
b
∫ f ( x) = F (b) − F (a)
wobei F eine beliebige Stammfunktion von f ist.
a
6.
Deutung des Integrals: als Fläche / als Volumen / als Arbeit / ...
7.
Differenzieren und Integrieren sind Umkehrfunktionen.
8.
Integrieren von Funktionen:
Polynom- gebrochen rationale- Winkel- Exponential- und Logarithmusfunktionen Î
Stammfunktion angeben
∆V ≈ A(x) . ∆(x) Î ∑∆V ≈ ∑A(x) . ∆ x
9.
Numerische Berechnung des Integrals: Simpson’sche Formel
10. Umkehraufgaben: Fläche ist gegeben und die Grenzen sin gesucht
Ableitungsfunktion ist gegeben – Stammfunktion ist gesucht F(x) + c
11. Volumen von Rotationskörpern (Drehung um x-, y-Achse)
12. Wann berühren sich 2 Graphen im Punkt P?
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16.05.04