Spezielle diskrete Verteilungsfamilien Bibliografie

Spezielle diskrete Verteilungsfamilien
”
”
”
”
”
”
”
Diskrete Gleichverteilung
Bernoulli- oder Zwei-Punkt-Verteilung
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poissonverteilung
Geometrische Verteilung
Approximationen
Prof. Mohr / Dr. Ricabal
Spezielle diskrete Verteilungen
1
Bibliografie
” Bleymüller / Gehlert / Gülicher
Verlag Vahlen
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
” Bleymüller / Gehlert
Verlag Vahlen
Statistische Formeln, Tabellen und Programme
” PowerPointPräsentationen (Prof. Mohr/ Dr. Ricabal)
” Vorlesungsskript für Statistik I (Dr. Pu Chen)
” Vorlesungsskript für Statistik II (Prof. Mohr, Private
Hanseuniversität Rostock)
” http://www.wiwi.uni-rostock.de/vwl/statistik/download/ba/
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2
Diskrete Gleichverteilung
Eine Diskrete Zufallsvariable X ist diskret gleichverteilt mit dem
Parameter n, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion ist:
⎧1
für alle x i mit i = 1, 2, L , n
⎪⎪
f G (x i / n) = ⎨ n
⎪
sonst
⎩⎪ 0
f(x)
1/6
1 2 3 4 5 6
Beispiel: Augenzahl bei einem Würfel
xi
1
2
3
4
5
6
F(x)
f(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
xi
1
2
3
4
5
1,0
6
0,5
F(xi) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1
Berechnen Sie den Mittelwert und die
Varianz der Verteilung!
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1 2 3 4 5 6
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3
Erwartungswert und Varianz einer
diskreten Gleichverteilung
Erwartungswert:
n
n
i =1
i =1
E ( X ) = ∑ x i ⋅ f ( x i ) = n1 ⋅ ∑ x i
Varianz:
n
⎛
⎞
Var ( X ) = E ( X ) − [E ( X ) ] = ⋅ ∑ x − ⎜ n1 ⋅ ∑ x i ⎟
i =1
⎝ i =1 ⎠
2
2
n
2
2
i
1
n
Beispiel: Augenzahl bei einem Würfel
n
E ( X ) = 1n ⋅ ∑ x i =
i =1
Var(X) =
1
1 6⋅7
⋅ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = ⋅
= 3,5
6
6 2
(12+22+32+42+52+62)/6
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– 3,52= 91/6 - 12,25≈ 2,92
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4
Bernoulliverteilung
Eine Zufallsvariable X heißt Bernoulli- oder Zwei-Punkt-verteilt mit dem
Parameter θ mit 0 < θ < 1, wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion wie folg
definiert ist:
für x = 1
⎧θ
⎪
f B ( x / 1; θ) = ⎨1 − θ für x = 0
⎪0
sonst
⎩
⎧θ x (1 − θ)1− x
⎪
f B ( x / 1; θ) = ⎨
⎪0
⎩
für x = 0, 1
sonst
Beispiel: Gut-Schlecht-Prüfung in der Qualitätskontrolle eines Artikels.
Hier sind:
θ der Gut-Anteil (θ = 0,99) und
1 - θ der Schlecht-Anteil (θ = 0,01)
Bemerkung: Bei dem Zufallsexperiment gibt es nur zwei mögliche
Ergebnisse: Erfolg (X = 1) oder Misserfolg (X = 0)
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5
Erwartungswert und Varianz
einer Bernoulliverteilung
Sei X eine bernoulliverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter θ. Es gilt:
für x = 1
⎧θ
⎪
f B ( x / 1; θ) = ⎨1 − θ für x = 0
⎪0
sonst
⎩
E (X ) = ∑ x ⋅ f ( x i )
∀x
E ( X ) = 1 ⋅ θ + 0 ⋅ (1 − θ) = θ
Var ( X ) = E ( X 2 ) − [E ( X )]
Var ( X ) = θ − θ 2 = θ ⋅ (1 − θ)
E ( X 2 ) = 12 ⋅ θ + 0 2 ⋅ (1 − θ) = θ
2
Eine Bernoulli-Verteilung liegt u. a. für folgende Sachverhalte vor:
™ einmaliges Werfen einer Münze (Zahl oder Wappen)
™ Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person
™ Funktionsfähigkeit einer zufällig ausgewählten Energiesparlampe
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6
Binomialverteilung
1.
2.
3.
Eine Binomialverteilung wird in der Praxis meistens
durch folgende Eigenschaften identifiziert:
Ein Bernoulliexperiment wird n Mal wiederholt,
Bei jeder Wiederholung des Experimentes bleibt die
Erfolgswahrscheinlichkeit konstant und wird mit θ
bezeichnet. Die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist dann
in jeder Wiederholung 1 - θ
Die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Erfolge in den
n Wiederholungen gibt, heißt Binomialveteilt mit dem
Parameter θ und n .
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7
Beispiel: Binomialverteilung
™ Eine Münze wird 10 Mal geworfen. Die Anzahl des
Merkmals „Zahl“ in den 10 Würfen genügt eine
Binomialverteilung mit den Parametern
n = 10 und θ = 0,5.
™ Aus eine Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
werden mit Zurücklegen 5 Kugeln gezogen. Die Anzahl
der weißen Kugeln in der Stichprobe ist
binomialverteilt mit den Parameter n = 5 und θ = 0,6.
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8
Charakterisierung einer Binomialverteilung
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und θ.
Es gilt:
Binomischer
Koeffizient:
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
⎧⎛ n ⎞ x
n−x
⎪⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ θ ⋅ (1 − θ)
⎪⎝ x ⎠
f B ( x / n; θ) = W (X = x ) = ⎨
⎪
⎪⎩
0
für x = 0, 1, 2, L, n
sonst
Fakultätsfunktion:
0! = 1
n! = n ⋅ (n − 1)! = n ⋅ (n − 1) ⋅L ⋅1
Verteilungsfunktion:
x
⎛n⎞
FB ( x / n; θ) = W (X ≤ x ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ θν ⋅ (1 − θ) n −ν
ν =0 ⎝ ν ⎠
Erwartungswert: E ( X ) = n ⋅ θ
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⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ x ⎠ x!(n − x )!
Varianz:
Var ( X ) = n ⋅ θ ⋅ (1 − θ)
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9
Binomialverteilung - Bemerkungen
¾Im Spezialfall einer Binomialverteilung mit n = 1 ergibt sich
die Bernoulli-Verteilung.
¾Für verschiedene Parameterwerte von θ und n sind die
Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der
Verteilungsfunktion tabelliert (Tabellen 6 für die
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Tabelle 7 für die
Verteilungsfunktion; Bleymüller/ Gehlert).
¾Wegen der Symmetrieeigenschaft
fB(x/n; θ)= fB(n - x/n; 1 - θ)
sind dort nur die Werte für θ ≤ 0,5 angegeben. Für θ > 0,5
kann man mittels der vorigen Formel umrechnen.
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10
Beispiel: Nutzung der Tabelle 6 für θ > 0,5
In einer Urne sind 2 verschiedene Sorten von Kugeln mit
den Anteilswerten 0,6 (erste Sorte) und 0,4 (zweite Sorte).
X bezeichnet die Anzahl der Kugeln von der ersten Sorte
bei einer Stichprobe vom Umfang n = 20 mit Zurücklegen.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Stichprobe
genau x = 12 Kugeln von der ersten Sorte sind, gleich der
Wahrscheinlichkeit, dass sich in der Stichprobe
n - x = 20 - 12 = 8 Kugeln von der zweiten Sorte befinden.
X ~ B(n; θ) mit n = 20; θ = 0,6
Für x = 12 gilt: fB(12/20; 0,6) = fB(8/20; 0,4) = 0,1797
(Tabelle 6, S. 99 Bleymüller/Gehlert)
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11
Beispiel 1: Binomialverteilung
Eine Münze wird 10 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
genau 2 Mal „Zahl“ bzw. mehr als 2 Mal „Zahl“zu werfen?
X: Anzahl des Merkmals „Zahl“ bei 10 Würfen.
X~Bin(n = 10; θ = 0,5)
a) W(X = 2) = fB(2/10; 0,5) = 0,0439; (Tabelle 6, S. 97)
Bleymüller/Gehlert
⎛10 ⎞
10!
f B (2 / 10;0,5) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,52 ⋅ (1 − 0,5)10− 2 =
⋅ 0,52 ⋅ 0,58
Anwendung
2
2
!
(
10
− 2)!
⎝ ⎠
der Formel
10!
10 ⋅ 9 ⋅ 8!
=
⋅ 0,52 ⋅ 0,58 =
⋅ 0,52 ⋅ 0,58 = 45 ⋅ 0,25 ⋅ 0,00390625 = 0,043945
2!⋅8!
2 ⋅1 ⋅ 8!
b) W(X > 2) = 1 - W(X ≤ 2) = 1 - FB(2/10; 0,5) = 1 -0,0547 = 0,9453
= 1 - [W(X = 0) + W(X = 1) + W(X = 2)]
(Tabelle 7, S.102)
=1 - [fB(0/10; 0,5) + fB(1/10; 0,5) + fB(2/10; 0,5)]
Bleymüller/Gehlert
=1 - [0,0010 + 0,0098 + 0,0439] = 1 - 0,0547 = 0,9453
(Tabelle 6, S. 97; Bleymüller/Gehlert)
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12
Beispiel 2: Binomialverteilung
Das demografische Maß der Sexualproportion bezeichnet den
Quotienten aus männlichen und weiblichen Geburten
(SP = GM/GW). In Deutschland beträgt die Sexualproportion
etwa 1,06. Berechnen Sie
a) den Anteil männlicher Geburten an allen Geburten und
b) die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion für die Anzahl
der Söhne in einer Familie mit drei Kindern.
Lösung:
GM
θ=
=
GM + GW
a)
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GM
GW
GM
GW
+
GW
GW
=
SP
1,06
=
= 0,5146
SP + 1 1,06 + 1
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13
Beispiel 2: Binomialverteilung
(Fortsetzung)
b) Wahrscheinlichkeitsfunktion:
⎛ 3⎞
f B ( x / 3;0,5146) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,5146 x ⋅ (0,4854) 3− x für x = 0,...,3
⎝x⎠
Verteilungsfunktion:
0
⎧
⎪⎪ j ⎛ 3 ⎞
FB ( x / 3;0,5146) = ⎨∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,5146 ν ⋅ 0,48543−ν
⎪ ν =0 ⎝ ν ⎠
⎪⎩
1
x<0
für
für
j ≤ x < j + 1 mit
für
x≥3
x
0
1
2
3
fB(x)
0,11437
0,36374
0,38562
0,13627
FB(x)
0,11437
0,47811
0,86373
1,00000
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14
j = 0,1,2
Beispiel 2: Binomialverteilung
(Fortsetzung)
Die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion zeigt u.a.,
dass die Wahrscheinlichkeit, drei Söhne zu haben, sichtbar größer ist als
die Wahrscheinlichkeit, drei Töchter zu haben:
Verteilungsfunktion
Wahrscheinlichkeitsfunktion
1,2
F(x) 1
0,5
f(x)
0,36374
0,4
0,8
0,385621
0,6
0,3
0,2
0,4
0,136273
0,114367
0,2
0,1
0
0
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
x
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4
x
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15
Hypergeometrische Verteilung
Die Hypergeometrische Verteilung wird bei einem Urnenmodell ohne
Zurücklegen genutzt.
In einer Urne befinden sich N Kugeln, von denen M von der ersten
Sorte und damit N - M von der zweiten Sorte sind. Daraus wird eine
Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang n gezogen (n ≤ N).
X bezeichne die Anzahl der Kugeln von der ersten Sorte in der
Stichprobe. Unter diesen Bedingungen genügt X eine
Hypergeometrische Verteilung mit den Parameter N, n, und M.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion an der Stelle x wird definiert durch:
⎧⎛ M ⎞ ⎛ N − M ⎞
X ~ H(N; n; M)
⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟
⎪ ⎝ x ⎠ ⎝ n − x ⎠ Für alle möglichen Werte x
⎪
⎛ N⎞
f H ( x / N; n; M) = W (X = x ) = ⎨
⎜⎜ n ⎟⎟
Erklärung: Anwendung der
⎪
⎝ ⎠
⎪
klassischen Bemessung von
⎪
der Wahrscheinlichkeit
sonst
0
⎩
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16
Hypergeometrische Verteilung Bemerkungen
”
”
”
”
Mögliche Werte von X:
{x |x ∊ N und max[0, n - (N - M)] ≤ 1 x ≤ 2 min [n, M]}
Parameter N, n und M. Hilfsgröße θ = M/N
Erwartungswert: E(X) = n ∙ θ
Varianz: Var(X) = n ∙ θ ∙ (1 - θ) ∙[(N - n)/(N - 1)]
⎧⎛ M ⎞ ⎛ N − M ⎞
⎟⎟
⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎪⎝ x ⎠ ⎝ n − x ⎠
⎪
⎛ N⎞
f H ( x / N; n; M) = ⎨
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
⎪
⎪
⎪
0
⎩
1.
2.
max[0, n - (N - M)] ≤ 1 x ≤ 2 min [n, M]
sonst
Sei N - M < n, dann können maximal N - M Kugeln von der zweiten Sorte bzw.
minimal n - (N - M) von der ersten Sorte gezogen werden.
Sei M < n, dann können maximal M Kugeln von der ersten Sorte gezogen
werden.
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17
Beispiel: Hypergeometrische Verteilung
Aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln wird eine Stichprobe
ohne Zurücklegen vom Umfang n = 3 gezogen.
Sei X die Anzahl der weißen Kugeln in der Stichprobe.
weiße Kugel
x
0
1
2
3
schwarze Kugel
n-x
3
2
1
0
⎧⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎟⎟
⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎪⎝ x ⎠ ⎝ 3 − x ⎠
⎪
⎛ 5⎞
f H ( x / 5;3;3) = W (X = x ) = ⎨
⎜⎜ ⎟⎟
⎪
⎝ 3⎠
⎪
⎪
0
⎩
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Stichprobenumfang
n
3
3
3
3
für x = 1, 2, 3
sonst
Diese Zusammensetzung
der Stichprobe ist unmöglich
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18
Beispiel: Hypergeometrische Verteilung
⎧⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟
⎪⎝ x ⎠ ⎝ 3 − x ⎠
⎪
⎛ 5⎞
f H ( x / 5;3;3) = W (X = x ) = ⎨
⎜⎜ ⎟⎟
⎪
⎝ 3⎠
⎪
⎪
0
⎩
x
für x = 1, 2, 3
sonst
f(x)
F(x)
1 0,3000
0,3
2 0,6000
0,9
3 0,1000
1,0
(Tabelle 8, S. 106)
f(x)
F(x)
1,0
1
2
3 x
0,5
3 9
E (X ) = n ⋅ θ = 3 ⋅ = = 1,8
5 5
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1
2
Spezielle diskrete Verteilungen
3 x
19
Poissonsverteilung
Eine Zufallsvariable X genügt eine Poissonverteilung mit dem
Parameter µ (Intensitätsrate), wenn sie folgende
Wahrscheinlichkeitsfunktion hat.
X ~P(µ )
⎧ µ x ⋅ e −µ
⎪⎪
f P ( x / µ) = W (X = x ) = ⎨ x!
⎪
⎪⎩ 0
Erwartungswert: E ( X ) = µ
für x = 0, 1, ...
(Tabelle 9)
sonst
Varianz:
Var ( X ) = µ
µ gibt an, wie viele Ereignisse im Mittel in einem Intervall T eintreten.
Liegt ein Intervall der Länge T´= c·T vor, dann treten im Durchschnitt
für dieses Intervall c·µ Ereignisse ein. Die neue Intensitätsrate ist
dann gleich c·µ.
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20
Beispiel: Poissonprozess
”
”
”
”
”
”
”
Anzahl der Telefonate, die in einer Zeiteinheit eine
Zentrale erreichen
Anzahl der Anfragen an einem Netzserver pro
Zeiteinheit
Anzahl der ankommenden Kunden an einem
Bankschalter pro Zeiteinheit
Anzahl der Kfz, die in einer Zeiteinheit einen
Grenzübergang passieren wollen
Anzahl der Beanstandungen pro Fernsehgerät
Anzahl der Tippfehler pro Seite
Anzahl des Abstürzen eines Rechners pro Monat
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Spezielle diskrete Verteilungen
21
Poissonprozess
”
”
”
”
Die Poissonverteilung eignet sich sehr gut für die Beschreibung von
Poissonsprozessen. Dabei werden Ereignisse gezählt, die in einem festen,
vorgegebenen (Zeit)intervall eintreten können, und zwar unter
bestimmten Annahmen:
Zwei Ereignisse können nicht gleichzeitig auftreten. Die
Wahrscheinlichkeit dafür ist deswegen gleich Null.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis innerhalb eines kleinen
Intervalls ∆t eintritt, ist approximativ µ∙∆t. Der Parameter µ heißt
Intensitätsrate.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer bestimmten Anzahl von
Ereignissen hängt nur von der Länge des Intervalls ab, aber nicht von
dessen Lage.
Die Anzahl von Ereignissen in disjunkten Intervallen sind statistisch
unabhängig.
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Spezielle diskrete Verteilungen
22
Beispiel1: Poissonverteilung
(Schadensfälle in einer Versicherung)
X sei die Anzahl von Großunfälle in einer Versicherung pro Jahr
X sei poissonverteilt mit dem Parameter µ = 4, d. h. X ~P(µ = 4)
Man berechnet die Wahrscheinlichkeit für
a) 2 Gr0ßunfälle pro Jahr
b) mehr als 2 Gr0ßunfälle pro Jahr
zu a)
W (X = 2) = f P (2 / 4) =
4 2 ⋅ e −4
= 0,1465
2!
(Tabelle 9, S. 116)
zu b) W ( X > 2) = 1 − W (X ≤ 2) = 1 − FP (2 / 4)
= 1 − (f P (0 / 4) + f P (1 / 4) + f P (2 / 4)) = 1 − 01
,2381
23 = 0,7619
144444244444
3
(Tabelle 9, S. 116)
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(Tabelle 10, S. 119)
Spezielle diskrete Verteilungen
23
Beispiel2: Poissonverteilung
(Kundenankunft an einem Schalter)
An einem Fahrkartenschalter erscheinen pro Minute
durchschnittlich 3 neue Kunden. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer beliebigen Minute
a) kein Kunde ankommt,
b) höchstens zwei Kunden ankommen.
Sei X die Anzahl der ankommenden Kunden pro Minute.
Man kann annehmen, dass die Zufallsvariable X poissonverteilt ist
mit dem Parameter µ = 3 (pro Minute zu erwartenden Kunden).
a) W(X = 0) = fP(0/3) = µx·e-µ/x! = 30·e-3/0! = 0,0498
(Tabelle 9, S. 116)
b) W(X ≤ 2) =FP(2)= fP(0) + fP(1) + fP(2)
= 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232
(Tabelle 9, S. 116 bzw. Tabelle 10, S. 119)
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Spezielle diskrete Verteilungen
24
Poissonverteilung – Grafische Darstellung
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Verteilungsfunktion
0.25
1,2
f(x) 0.2
F(x) 1
0,8
0.15
0,6
0.1
0,4
0.05
0,2
0
0
-1
1
3
5
7
-1 0 1 2 3
4 5 6
x
x
Prof. Mohr / Dr. Ricabal
7 8
Spezielle diskrete Verteilungen
25
Geometrische Verteilung
Aus einer Urne mit N Kugeln, darunter M von der ersten Sorte,
wird solange eine Kugel mit Zurücklegen gezogen, bis zum ersten
Mal eine Kugel von der ersten Sorte realisiert wird (Erfolg).
X: Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg
Erfolg: erstmalig Kugel von der ersten Sorte
θ = M / N: Anteil von Kugeln der ersten Sorte in der Urne
⎧θ(1 − θ) x
⎪
f GeomVert ( x / θ) = W (X = x ) = ⎨
⎪0
⎩
Erwartungswert:
Varianz:
E(X) =
Var (X) =
Prof. Mohr / Dr. Ricabal
1− θ
θ2
1− θ
θ
für x = 0, 1, ...
X ~ GeomVert (θ)
sonst
Beispiel:
Ein Würfel wird so lange
geworfen bis eine 6
eintritt. θ = 1/6.
Spezielle diskrete Verteilungen
26
Beispiel: Geometrische Verteilung
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, darunter 3 rote, wird mit Zurücklegen
gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) bei der vierten Ziehung zum ersten Mal eine rote Kugel erscheint,
b) frühestens bei der vierten Ziehung zum ersten Mal eine rote erscheint?
c) man berechne den Erwartungswert und die Varianz.
X: Anzahl der Fehlversuche bis zum ersten Erfolg (Eintreten einer roten
Kugel). Es gilt: X ~ GeomVert (θ = 0,3)
Zu a) W(X = 3) = 0,3(1 - 0,3)3 = 0,1029
Zu b) W(X ≥ 3) = 1 – W(X ≤ 2) = 1–(W(X = 0) + W(X = 1) + W(X = 2))
= 1 – (0,3 + 0,21 + 0,147) = 1 – 0,657 = 0,343
Zu c)
E (X ) =
1 − 0,3 7
= = 2, 3
0,3
3
Prof. Mohr / Dr. Ricabal
Var (X) =
1 − 0,3 0,7 70
=
=
= 7, 7
0,32
0,09 9
Spezielle diskrete Verteilungen
27
Approximation
”
”
Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei diskreten
Verteilungsmodellen kann sehr aufwendig sein, insbesondere:
bei Hypergeometrischen Verteilungen mit großen Werten von N,
M und n oder
bei Binomialverteilungen mit großen Werten von n und kleinen
Werten von θ
Unter bestimmten Voraussetzungen lassen sich einfache
Approximationen durchführen.
n ≤ 0,1 · M
n ≤ 0,1 · (N – M)
n ≤ 0,05.N
X~H(N; n; M)
θ < 0,05
n ≥ 10
X~B(n; θ)
θ = M/N
Prof. Mohr / Dr. Ricabal
X~P(µ)
µ=n·θ
Spezielle diskrete Verteilungen
28
Beispiel: Approximation
(Hypergeometrische durch die Binomialverteilung)
Von 2000 Studierenden eines Fachbereiches bestreiten 600 ihr
Studium vollständig aus eigenen Mitteln. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 zufällig und ohne Zurücklegen
ausgewählten Studenten 9 bis 12 zu dieser Gruppe gehören?
(1) Exakter Ansatz: Hypergeometrische Verteilung mit den
Parameter N = 2000, M = 600 und n = 30
W (9 ≤ X ≤ 12) = f H (9 / N; n; M ) + f H (10 / N; n; M ) + f H (11 / N; n; M) + f H (12 / N; n; M)
= 0,15848 + 0,14253 + 0,11072 + 0,07471 = 0,48644 (Berechnung mit R)
(2) Approximation der Hypergeometrischen Verteilung durch die
Binomialverteilung:
n = 30 ≤ 0,1M = 60; n = 30 ≤ 0,1(N-M) = 140; n < 0,05N = 400
θ = M/N = 600/2000 = 0,3
W (9 ≤ X ≤ 12) ≈ f B (9 / n; θ) + f B (10 / n; θ) + f B (11 / n; θ) + f B (12 / n; θ)
= 0,1573 + 0,1416 + 0,1103 + 0,0749 = 0,4841
Prof. Mohr / Dr. Ricabal
(Tabelle 6, S. 99)
Spezielle diskrete Verteilungen
29
Beispiel: Approximation
(Binomialverteilung durch die Poissonverteilung)
Ein Betrieb produziert ein Werkstück mit einer Ausschussquote von θ = 0,002.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Entnahme einer
Stichprobe von n = 500 Werkstücken aus der Produktion
a) genau zwei,
b) mehr als zwei Ausschussteile gefunden werden.
(1) Exakter Ansatz: Hypergeometrische Verteilung mit den Parametern
θ = M/N = 0,002 bzw. M = 0,002·N und n = 500. N ist unbekannt aber groß.
(2) Dabei kann man annehmen, dass der Stichprobenumfang kleiner als 5 % der
Gesamtproduktion ist. Damit ist die Approximation der Hypergeometrischen
Verteilung durch die Binomialverteilung zulässig.
(3) Die Binomialverteilung lässt sich durch die Poissonverteilung approximieren,
weil zusätzlich die Ausschussquote kleiner als 0,05 ist . Dann gilt:
zu a) W (X = 2) = f H (2 / N; n; M ) ≈ f B (2 / n; θ) ≈ f P (2 / µ = n ⋅ θ = 1) = 0,1839
zu b) W (X > 2) = 1 − W (X ≤ 2) = 1 − FH (2 / N; n; M ) ≈ 1 − FB (2 / n; θ)
Tabelle 10,
≈ 1 − FP (2 / µ = n ⋅ θ = 1) = 1 − 0,9197 = 0,0803
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Prof. Mohr / Dr. Ricabal
Spezielle diskrete Verteilungen
Tabelle 9,
S. 115
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