HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik I Prof
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HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik I Grundlagen Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 1: Aussagenlogik 1. Stellen Sie Wahrheitstabellen für folgende Aussagenverbindungen auf: (a) sowohl A als auch B (d) nicht A, aber B (b) weder A noch B (e) zwar A, jedoch nicht B (c) entweder A oder B 2. Man zeige mittels Wahrheitstabellen, daß (a) der Kettenschluß [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)] ⇒ (A ⇒ C), (b) der indirekte Beweis [A ∧ (¬B ⇒ ¬A)] ⇒ B Tautologien sind. 3. Alois ist schüchtern. Trotz seiner Zurückhaltung haben ihn Ulla und Petra innigst in ihr Herz geschlossen. Ihr einziger Kummer ist, daß Alois sich nicht ausdrücklich für eine von ihnen entscheiden will. Schließlich wird Ulla ungeduldig und stellt Alois zur Rede: “Alois, liebst Du Petra, oder ist es nicht so, daß Du Petra oder mich liebst?“ Alois überlegt einen Moment, dann sagt er: “Nein.“ Was hat Alois zum Ausdruck gebracht? 4. Alois berichtet in seiner bekannt zurückhaltenden Art von den Ergebnissen seiner Modulprüfungen: “Ich habe in Mathematik und BWL bestanden, oder es trifft nicht zu, daß ich in VWL oder Mathematik bestanden habe. Es ist unzutreffend, daß ich in Mathematik bestanden habe oder in BWL durchgefallen bin.“ Welche Fächer hat Alois bestanden? 5. Wie lauten die Negationen zu folgenden Aussagen? (a) Dieses Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig. (b) Herr N. spricht deutsch oder englisch. (c) Max ist entweder mit Peter oder mit Dirk verwandt. 6. Wie lautet der logische Umkehrschluss (Kontraposition) zu den folgenden Implikationen (a) Wer während des Semesters alle Übungsaufgaben selbständig löst, besteht auch die Prüfung. (b) ∀u, v ∈ R gilt: u = v ⇒ u2 = v 2 (c) ∀m, n ∈ N gilt: m · n ist ungerade ⇒ m ist ungerade (d) Wenn zwei Geraden parallel sind, dann existiert eine Gerade, die auf beiden senkrecht steht. (e) Wenn eine Quadratzahl gerade ist, dann ist sie durch 4 teilbar. 7. Welche der folgenden Implikationen sind Äquivalenzen? (a) Hat ein ebenes Dreieck einen rechten Winkel, dann sind die anderen beiden Winkel spitz. (b) a2 < 4 ⇒ a < 2 (c) a ist eine positive gerade Zahl ⇒ a ist als Summe zweier ungerader natürlicher Zahlen darstellbar (d) a ist gerade und b ist ungerade ⇒ a · b ist gerade (a, b ∈ N) (e) a ist ungerade und b ist ungerade ⇒ a · b ist ungerade (a, b ∈ N) 8. Welche der Relationen ⇒, ⇐ oder ⇔ sind zwischen den folgenden Aussagen erfüllt? Aufgabe (a) (b) (d) (e) x2 − 16 = 0 (c) √ x= 4 Aussage 1 x=3 x(x + 1) = 0 (z − 4)(z − 5) = 0 Aussage 2 x2 = 9 x=4 x2 = 4 x+1=0 z =4∨z =5 Aufgabe (f) (g) (h) (i) (j) (k) Aussage 1 p=1 x2 < 16 x2 < 16 k2 > 4 k2 > 4 x<3 Aussage 2 p≥1 x<4 x < 4 ∧ x > −4 k>2 k > 2 ∨ k < −2 x2 < 9 9. “Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens?“ wurde ein 100-jähriger gefragt. “Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Malzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Malzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an.“ Der Fragesteller fand diesen Ratschlag ziemlich verwirrend. Können Sie ihn vereinfachen? Einige Lösungen 3. Alois liebt nur Ulla 4. Alois hat nur BWL bestanden 5. (a) Dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig oder nicht gleichschenklig. (b) Herr N. spricht weder deutsch noch englisch. (c) Max ist mit Peter und mit Dirk verwandt oder mit keinem von beiden. 6. (a) Wer die Prüfung nicht besteht, der hat während des Semesters nicht alle Übungsaufgaben selbständig gelöst. (b) ∀u, v ∈ R : u2 6= v 2 ⇒ u 6= v (c) ∀m, n ∈ N : m ist gerade ⇒ m · n ist gerade (d) Wenn keine Gerade g existiert, die auf zwei gegebenen Geraden a und b gleichzeitig senkrecht steht, so sind die Geraden a und b nicht parallel zueinander. (e) Wenn eine Quadratzahl nicht durch 4 teilbar ist, dann ist sie ungerade. 7. (a) nein, (b) nein, (c) ja, (d) nein, (e) ja 8. (a) ⇒, (b) ⇐, (c) ⇒, (d) ⇐, (e) ⇔, (f) ⇒, (g) ⇒, (h) ⇔, (i) ⇐, (j) ⇔, (k) ⇐ 9. Zu jeder Malzeit trinke ich Bier und esse nie zusammen Fisch und Eiscreme.
