¨Ubungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik

Prof. Dr. R. Egger
Dr. A. Zazunov
WS 2012/13
Blatt 1
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik
Abgabe bis Mittwoch, 24. Oktober, 12:00 Uhr
Übungstermine:
Gruppe 1: Do 25.10, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M
Gruppen 2 und 3: Do 25.10, 10:30 - 12:30, Raum 25.32.O3.51
Aufgabe 1: Zufallszahlen
5 Punkte
Betrachten Sie zwei nichtwechselwirkende Teilchen in einer eindimensionalen Box der Länge L, wobei jedes Teilchen
jeden Ort in der Box mit gleicher Wahrscheinlichkeit besetzen kann (“Gleichverteilung”).
a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung p(r) folgt für den Abstand r zwischen den beiden Teilchen? Verifizieren
Sie, dass p(r) normiert und positiv ist.
(3 Punkte)
b) Berechnen Sie den Erwartungswert für den Abstand, hri, sowie die Varianz, also
p
∆r = h(r − hri)2 i
(2 Punkte)
Aufgabe 2: Transformation von Zufallszahlen
2 Punkte
Gegeben sei eine Zufallsphase φ, welche in 0 ≤ φ < 2π gleichverteilt ist. Betrachten Sie nun die Zufallsvariable
X = cos φ. Bestimmen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung und skizzieren Sie das Resultat!
Hinweis: Für eine beliebige Funktion g(x) mit Nullstellen xi und g 0 (x) = dg/dx gilt:
δ (g(x)) =
X δ(x − xi )
i
|g 0 (xi )|
Aufgabe 3: Binomialverteilung und Poissonverteilung
7 Punkte
Es befinden sich N0 = ρV0 nichtwechselwirkende Teilchen in einem Behälter des Volumens V0 . Betrachten Sie nun
ein kleines Teilvolumen V von V0 . Die Zahl N von Teilchen in V stellt eine Zufallsvariable dar, mit ganzzahligen
Ereigniswerten 0 ≤ n ≤ N0 . Die Wahrscheinlichkeit, ein beliebiges Teilchen in V anzutreffen, sei durch w = V /V0
gegeben, wobei verschiedene Teilchen unabhängig voneinander verteilt seien.
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Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik, Blatt 1
a) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion p(n) durch die Binomialverteilung gegeben ist,
N0 !
N0
N0
n
N0 −n
p(n) =
w (1 − w)
,
=
n
n
n!(N0 − n)!
Hinweis: Betrachten Sie die Zufallsvariable Ni , i = 1, . . . , N0 , mit den möglichen
P Werten ni = 0 und ni = 1,
wobei ni = 1 falls das i.te Teilchen sich in V befindet. Benutzen Sie nun N = i Ni und die obigen Annahmen.
2 Punkte
b) Zeigen Sie, dass die Binomialverteilung normiert ist.
1 Punkt
c) Berechnen Sie die mittlere Zahl hN i von Teilchen im Testvolumen V .
2 Punkte
d) Untersuchen Sie nun den Fall w 1, d.h. bei gegebener Dichte ρ = N0 /V0 sei V V0 . Zeigen Sie, dass dann
die Binomialverteilung in die Poissonverteilung übergeht:
p(n) =
(ρV )n −ρV
e
n!
Hinweis: Benutzen Sie die vereinfachte Stirlingformel N ! ≈ N N für N 1.
2 Punkte
Hinweise zu den Übungen:
• Das Übungsblatt wird immer mindestens 7 Tage vor dem Übungstermin online bereitgestellt.
• Die Lösungen zu den Übungsaufgaben sind schriftlich im Büro von Aldo Brunetti (Zi 25.32.O3.43) abzugeben (bei verschlossener Tür: Zettel unter dieser durchschieben!).
• Die Frist zur Abgabe endet in der Regel am Mittwoch vor dem Übungstermin um 12:00 Uhr.
• Sie erhalten Ihre Lösungen in der Übungsgruppe korrigiert zurück. Hier werden die Aufgaben besprochen
und vorgerechnet.
• Die Lösungen können zu zweit abgegeben werden.
• Kriterien für Zulassung zur Modulprüfung:
– insgesamt mind. 50 % der Punkte in schriftl. Ausarbeitung
– regelmässige Teilnahme an den Übungssitzungen
– mindestens einmal an der Tafel vorrechnen
• Die Modulprüfung wird als schriftliche Klausur am 29. 01. 2013 von 10:30 bis 12:15 Uhr in Hörsaal 6C
stattfinden.
• Bei Fragen wenden Sie sich an die Übungsgruppenleiter:
– Denis Klöpfer (Zi 25.22.O2.29, [email protected])
– Artur Hütten (Zi 25.32.O3.39, [email protected])
– Roland Hützen (Zi 25.22.O2.31, [email protected])
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