¨Ubungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik

Prof. Dr. Reinhold Egger
WS 2015/16
Blatt 1
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik
Abgabe bis: Mittwoch, den 28. Oktober 2015, 12:00 Uhr
Übungstermine:
Gruppe 1: Do 29.10, 08:30 - 10:30, Raum 25.32.O3.51
Gruppe 2: Do 29.10, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M
Gruppe 3: Do 29.10, 10:30 - 12:30, Raum 25.32.O3.51
Gruppe 4: Do 29.10, 12:30 - 14:30, Raum 25.32.O3.51
Gruppe 5: Do 29.10, 8:30 - 10:30 (Raum wird noch bekanntgegeben)
Aufgabe 1: Zufallszahlen
5 Punkte
Betrachten Sie zwei nichtwechselwirkende Teilchen in einer eindimensionalen Box der Länge L, wobei jedes Teilchen
jeden Ort in der Box mit gleicher Wahrscheinlichkeit besetzen kann (“Gleichverteilung”).
a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung p(r) folgt für den Abstand r zwischen den beiden Teilchen? Verifizieren
Sie, dass p(r) normiert und positiv ist.
(3 Punkte)
b) Berechnen Sie den Erwartungswert für den Abstand, hri, sowie die Varianz, also
p
∆r = h(r − hri)2 i
(2 Punkte)
Aufgabe 2: Transformation von Zufallszahlen
2 Punkte
Gegeben sei eine Zufallsphase φ, welche in 0 ≤ φ < 2π gleichverteilt ist. Betrachten Sie nun die Zufallsvariable
X = cos φ. Bestimmen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung und skizzieren Sie das Resultat!
Hinweis: Für eine beliebige Funktion g(x) mit Nullstellen xi und g 0 (x) = dg/dx gilt:
δ (g(x)) =
X δ(x − xi )
i
1
|g 0 (xi )|
Aufgabe 3: Binomialverteilung und Poissonverteilung
7 Punkte
Es befinden sich N0 = ρV0 nichtwechselwirkende Teilchen in einem Behälter des Volumens V0 . Betrachten Sie nun
ein kleines Teilvolumen V von V0 . Die Zahl N von Teilchen in V stellt eine Zufallsvariable dar, mit ganzzahligen
Ereigniswerten 0 ≤ n ≤ N0 . Die Wahrscheinlichkeit, ein beliebiges Teilchen in V anzutreffen, sei durch w = V /V0
gegeben, wobei verschiedene Teilchen unabhängig voneinander verteilt seien.
a) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion p(n) durch die Binomialverteilung gegeben ist,
N0 !
N0
N0
p(n) =
wn (1 − w)N0 −n ,
=
n
n
n!(N0 − n)!
Hinweis: Betrachten Sie die Zufallsvariable Ni , i = 1, . . . , N0 , mit den möglichen
P Werten ni = 0 und ni = 1,
wobei ni = 1 falls das i.te Teilchen sich in V befindet. Benutzen Sie nun N = i Ni und die obigen Annahmen.
2 Punkte
b) Zeigen Sie, dass die Binomialverteilung normiert ist.
1 Punkt
c) Berechnen Sie die mittlere Zahl hN i von Teilchen im Testvolumen V .
2 Punkte
d) Untersuchen Sie nun den Fall w 1, d.h. bei gegebener Dichte ρ = N0 /V0 sei V V0 . Zeigen Sie, dass dann
die Binomialverteilung in die Poissonverteilung übergeht:
p(n) =
(ρV )n −ρV
e
n!
Hinweis: Benutzen Sie die vereinfachte Stirlingformel N ! ≈ N N für N 1.
2 Punkte
Hinweise zu den Übungen:
• Das Übungsblatt wird immer mindestens eine Woche vor dem Übungstermin online bereitgestellt. Die Frist
zur Abgabe endet in der Regel am Mittwoch vor dem Übungstermin um 12:00 Uhr.
• Die Lösungen zu den Übungsaufgaben sind schriftlich im Büro von Laura Cohnitz (Zi 25.22.O2.31) abzugeben (bei verschlossener Tür: Zettel unter dieser durchschieben!). Sie erhalten Ihre Lösungen in der Übungsgruppe korrigiert zurück. Hier werden die Aufgaben besprochen und vorgerechnet.
• Die Lösungen können zu zweit abgegeben werden.
• Kriterien für Zulassung zur Modulprüfung:
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insgesamt mind. 50 % der Punkte in schriftl. Ausarbeitung
regelmässige Teilnahme an den Übungssitzungen
mindestens einmal an der Tafel vorrechnen
es gibt keine Zulassungsklausur, aber vor der Modulprüfung wird ein Übungsblatt aus einer früher
gestellten Klausur bestehen
• Die Modulprüfung wird als schriftliche Klausur am Mi, 17. 02. 2016, 10:30-12:15 Uhr stattfinden. Eine
Nachklausur wird am Fr 01. 04. 2016, 10:30-12:15 Uhr, angeboten. Es wird nachdrücklich die Teilnahme bei
der ersten Klausur nahegelegt.
• Bei inhaltlichen Fragen zu den Übungen wenden Sie sich bitte an die Übungsgruppenleiter:
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Laura Cohnitz (Zi 25.22.O2.31, [email protected])
Artur Hütten (Zi 25.32.O3.39, [email protected])
Stephan Plugge (Zi 25.32.O3.43, [email protected])
Matthias Gau (Zi 25.22.02.61, [email protected])
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