Vektorrechnung im Raum
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Wiederholung Vektorrechnung im R3 Wiederhole: Gleichung einer Geraden (Parameterform) und einer Ebene (Parameterform, Normalvektorform), Skalarprodukt und Kreuzprodukt ; Lage und Schnitt von Geraden/Ebenen, normale Gerade auf eine Ebene, Normalebene zu einer Geraden, Spiegelung eines Punktes an Geraden oder Ebenen, Abstand Punkt/Gerade und Punkt/Ebene (HNF); Lage zweier Geraden, Gemeinlot (Anstand zweier Geraden), Lage dreier Ebenen (Voyage: rref), Winkel zwischen Geraden, Ebenen, ... , Flächeninhalt von Dreiecken und Volumina von Pyramiden, ... Löse: 1) Untersuche die Lage der drei Ebenen und bestimme auftretende Schnittpunkte oder Schnittgeraden: a) e1: 2x - y - z = 3 e2: x + y + z = 6 e3: 3x - 4y - 6z = 1 b) e1: x - 3y - 2z = -4 e2: 2x + 4y + z = 7 e3: -x + 13y + 7z = 19 2) Untersuche die Lage der Geraden und berechne, falls vorhanden, den Schnittpunkt: a) g [A(-3/5/-2), B(7/1/0)] , h [ P(-4/5/9), Q(-7/6/14)] b) g [A(2/3/-1), B(3/1/2)] , h [ P(3/7/4), Q(0/13/-5)] c) g [A(1/-1/3), B(6/1/7)] , h [ P(3/2/5), Q(11/6/9)] 3) Bestimme die Schnittgerade und den Winkel zwischen den Ebenen e1: 5x - 3y + 8z = 30 und e2: [A(5/-3/0), B(3/-2/1), C(0/2/3)] ! 4) geg.: Ebene e: X = (4/4/3) + u(1/4/2) + v(1/0/-1) ; Gerade g: X = (4/0/-2) + t(1/4/3) ges.: a) Parameterfreie Form (Normalvektorform) der Ebenengleichung b) Berechne den Schnittpunkt von g und e! c) Berechne den Schnittwinkel von g und e! 5) geg.: Geraden g: A(1/2/3), B(4/4/-4) und h: P(0/-4/8), Q(3/2/5) ges.: Lage, Winkel von g und h 6) geg.: Gerade g: X = (2/1/13) + t(1/2/-1) ; Gerade h durch P(7/9/9) und Q(1/3/12) Dreieck ABC: A(3/-4/11), B(5/0/-1), C(2/4/-3) a) Zeige, dass g und h einander schneiden! Berechne den Schnittpunkt S, den Winkel zwischen g und h sowie eine parameterfreie Gleichung der durch g und h aufgespannten Ebene e! b) S ist Spitze einer Pyramide, dessen Grundfläche das Dreieck ABC ist. Berechne das Volumen dieser Pyramide! c) Berechne den Schnittpunkt von g mit der Basisebene ABC ! Welchen Winkel schließen g und die Ebene ABC ein? d) Zeige, dass die Gerade durch B und C parallel zur Ebene e ist. Berechne dann den Abstand von BC zur Ebene e! e) Berechne die Oberfläche der Pyramide! f) Berechne den Abstand von A zur Geraden g! 7) Das Dreieck ABC [A(9/9/2), B(8/0/-1), C(4/4/-3)] ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide, deren Spitze S(x/y< 0/z) auf der Geraden g: X = A + t(2/3/-1) und in der Ebene e: 5x – 2y + 3z = 29 liegt. Berechne die Koordinaten der Spitze, das Volumen und die Oberfläche der Pyramide! 8) geg.: Gerade g: X = (0/5/6) + t(2/1/4) ; Gerade h: X = (5/-3/4) + u(-1/3/2) Dreieck ABC: A(-4/-9/1), B(3/3/-1), C(6/-1/-3) a) Zeige, dass g und h einander schneiden! Berechne den Schnittpunkt S und den Winkel zwischen g und h! b) S ist Spitze einer Pyramide, dessen Grundfläche das Dreieck ABC ist. Berechne das Volumen dieser Pyramide! c) Welchen Winkel schließen die Dreiecksseiten AB und AC ein? 9) geg.: Pyramide: Spitze S(3/-2/1) ; G = Parallelogramm ABCD [A(-2/4/-1), B(-5/2/3), D(-1/0/-7)] ges.: Eckpunkt C, Volumen der Pyramide 10) Überprüfe, dass die beiden Geraden g [A(2/0/-3), P(0/2/-9)] und h [B(1/6/4), Q(3/2/6)] einen Schnittpunkt S haben. Dieser ist dann der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC. Berechne C! 11) Der Punkt P(xp /-5/-1) legt in der durch die Punkte A(3/-3/0), B(-2/2/5) und C(-4/0/4) festgelegten Ebene. Berechne xp! 12) Spiegle den Punkt P(-5/9/-1) an der Ebene e: x + 3y + 2z + 8 = 0 13) Spiegle den Punkt P(4/-6/9) an der Schnittgeraden g der beiden Ebenen e1: 4x - 4y + z = -3 und e2: [A(4/-1/10), B(0/8/7), C(-2/2/2)] 14) Pyramide: Grundfläche = Dreieck ABC: A(2/3/7), B(6/-1/-1), C(-1/0/-2), Spitze S(x/y/zS >0 ) Der Punkt F(3/0/zF) ist der Fußpunkt der 3 30 langen Höhe. Berechne die Koordinaten der Spitze, das Volumen der Pyramide und den Winkel, den die Seitenkante AS mit der Grundfläche ABC einschließt. 1 7 2 5 15) Spiegle den Punkt P(9/1/-2) a) an der Ebene e: x – 2y + 3z =15 b) an der Geraden g: X = − 2 + s ⋅ − 3 16) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC [A(-4/-1/3), B(2/-3/1), C(5/3/0)] auf 2 Arten: (I) A = 1 2 bc sin α und (II) A = 1 2 c hc ! Kontrolliere mittels „flabc“ 17) geg.: g: X = (1/0/4) + t(2/1/-2) ; h: X = (4/0/1) + t(2/-1/-2) ges.: Abstand von g und h 18) geg.: A(-1/-3/3), B(4/-8/3), C(9/-3/1), D(-6/9/7) ges.: Gemeinlot von g = AB und h = CD mit Lotfußpunkten G ∈ g und H ∈ h 19) geg.: g: X = (2/3/-6) + t(1/2/-7) ; h: P(4/9/4), Q(1/13/5) Der auf h liegende Punkt Fh des Gemeinlots von g und h ist die Spitze einer Pyramide ABCS, der auf g liegende Punkt Fg ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe. Die Eckpunkte A, B und C des Basisdreiecks liegen auf den Koordinatenachsen ( A ∈ x-Achse, B ∈ y-Achse, C ∈ z-Achse). Berechne: a) die Koordinaten von A,B,C und S und das Volumen der Pyramide b) die Winkel der Pyramidenkanten zur Grundfläche ABC c) den Winkel zwischen Seitenfläche ABS und Grundfläche ABC bis spätestens MO,19.2.: Beispiele ausarbeiten ordentliche Form: Angabe ev. in Kurzform, „schöne“ Skizze, nachvollziehbarer Rechengang, ... 1 2 3 4 5 6 1, 10, 19 2, 7, 14 3, 11, 18 4, 12, 16 5, 15, 18 6, 14, 17 7 8 9 10 11 12 7, 12, 16 8, 10, 17 9, 11, 16 4, 10, 15 11, 13, 18 12, 14, 19 13 14 15 16 17 18 2, 8, 13 4, 8, 9 5, 6, 15 3, 9, 19 1, 6, 17 5, 7, 13 Apfelthaler, Bulusu, Dotti, Drsata, Ferrari, Gretzl, Haberl, Hartig, Haskovec, Haslinger, Kniha, Kohlmann, Lankisch, Matiasch, Mühl, Ransmayr, Thomas, Weinzettl
