Wie lauten die Logarithmengesetze

Lernkarten
Stochastik
4 Seiten
Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt
wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken.
Am besten druckt man die Karten auf festem Papier oder auf VisitenkartenPapier, so dass man sie hinterher zerschneiden kann.
Da dies eine Erstproduktion ist, bitte ich, mir eventuelle Fehler mitzuteilen
sowie Verbesserungs- und Ergänzungsvorschläge zu machen.
Jens Möller.
Wie lautet die 1. PFADREGEL?
Wie lautet die 2. PFADREGEL?
(= Produktregel)
(= Summenregel)
ZIEHEN MIT ZURÜCKLEGEN
ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN
Was gilt für die Wahrscheinlichkeiten?
Was gilt für die Wahrscheinlichkeiten?
Wie kann man die Wahrscheinlichkeit
Ereignis: Es werden mindestens
eines Ereignisses A mit Hilfe des
drei rote Kugeln gezogen.
Gegenereignisses A bestimmen?
Wie lautet das Gegenereignis?
Ereignis: Es wird höchstens
Wie berechnet man den
eine rote Kugeln gezogen.
ERWARTUNGSWERT
Wie lautet das Gegenereignis?
einer Zufallsvariable X?
A und B sind zwei unabhängige Ereignisse
Wann ist ein Spiel fair?
P ( A und B ) = ?
P ( A oder B ) = ?
Die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade,
die zu einem Ereignis gehören,
werden addiert.
Die Wahrscheinlichkeiten entlang
eines Pfades werden multipliziert.
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich
Die Wahrscheinlichkeiten bleiben
bei jedem Zug.
bei jedem Zug unverändert.
Das Gegenereignis lautet:
Es werden höchstens
zwei rote Kugeln gezogen.
( )
P (A)= 1− P A
Das Gegenereignis lautet:
E ( X ) =⋅
k1 P ( X =
k1 ) + . . . + kn ⋅ P ( X =
kn )
=
ki Einzelwerte , P ( =
X k=
Einzelwahrsch.
i)
Es werden mindestens
zwei rote Kugeln gezogen.
P ( A und=
B ) P ( A) ⋅ P ( B )
Ein Spiel ist fair, wenn der
P ( A oder
=
B ) P ( A) + P ( B )
Erwartungswert Null ist.
Wie ist die klassische
WAHRSCHEINLICHKEIT
definiert?
KOMBINATIONEN
Wie berechnet man die Auswahl
von 3 aus 7 Elementen?
ELEMENTARE REGELN
der Wahrscheinlichkeit
PERMUTATIONEN
Wie berechnet man
die Anzahl der Anordnungen
bei 7 Elementen?
Was versteht man unter einem
Was ist ein
LAPLACE-EXPERIMENT ?
ZUFALLSEXPERIMENT ?
Was versteht man unter einem
Was versteht man unter einer
BERNOULLI-EXPERIMENT ?
BERNOULLI-KETTE ?
Wann ist eine
ZUFALLSVARIABLE X
binomialverteilt ?
Was versteht man unter einer
ZUFALLSVARIABLE X ?
0 ≤ P(E) ≤ 1
E=
Ereignis
P ( E ) 0=
E unmögliches Ereig .
=
P ( E ) 1=
E sicheres Ereignis
=
( )
P(E) + P E = 1
P(E) =
günstige Fälle
mögliche Fälle
E= Gegenereignis
7! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 5040
7  7 ⋅ 6 ⋅ 5
=
  = 35
 3  1⋅ 2 ⋅ 3
sprich : 7 über 3 gleich 35
Bei einem LAPLACE-EXPERIMENT
Bei einem ZUFALLSEXPERIMENT hängt
sind alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs
der Versuchsausgang allein vom Zufall ab.
gleichwahrscheinlich.
Bei einem BERNOULLI-EXPERIMENT
Wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal hintereinander ausgeführt wird,
ist das eine Bernoulli-Kette der Länge n.
gibt es nur zwei mögliche Versuchsausgänge.
Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p und die
Gegenwahrscheinlichkeit 1− p .
Dabei darf sich p nicht verändern.
Eine ZUFALLSVARIABLE X ist binomialEine ZUFALLSVARIABLE X ist eine Funk-
verteilt, wenn das Zufallsexperiment nur zwei
tion, die den Ereignissen E eines Zufallexpe-
mögliche Ausgänge hat und sich bei Wieder-
rimentes bestimmte Werte k zuordnet.
holung die Trefferwahrscheinlichkeit p nicht
ändert.
Wie bestimmt man bei einer binomialverteilten
Wie bestimmt man bei einer binomialverteilten
Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeit für
Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeit für
höchstens k Treffer?
mindestens k Treffer?
Wie berechnet man P ( X < k ) ?
Wie berechnet man P ( X > k ) ?
Wie berechnet man P ( X ≤ k ) ?
Wie berechnet man P ( X ≥ k ) ?
Wie berechnet man bei einer
Wie berechnet man P ( k1 ≤ X ≤ k2 ) ?
Bernoulli-Kette den Erwartungswert?
Wie sieht ein Histogramm für p = 0,5 aus?
Wie sehen Histogramme für
p < 0,5 bzw. für p > 0,5 aus?
P(X ≥ k) =
=−
1 P(X < k) =
=1 − P ( X ≤ k − 1)
P( X ≤ k) =
⇒ binom cdf ( n / p / k )
⇒ 1 − binom cdf ( n / p / k − 1)
P ( X > k ) =−
1 P(X ≤ k)
⇒ 1 − binom cdf ( n / p / k )
P ( X ≥ k ) =1 − P ( X ≤ k − 1)
⇒ 1 − binom cdf ( n / p / k − 1)
P ( X < k=
) P ( X ≤ k − 1)
⇒ binom cdf ( n / p / k − 1)
P( X ≤ k) =
⇒ binom cdf ( n / p / k )
P ( k1 ≤ X ≤ k2=
) P ( X ≤ k2 ) − P ( X ≤ k1 − 1)
E ( X )= n ⋅ p
binom cdf ( n / p / k2 ) − binom cdf ( n / p / k1 − 1)
Der Erwartungswert ist ein
MITTELWERT μ.
Die Histogramme sind asymmetrisch:
Das Histogramm ist symmetrisch und
linksschief bzw. rechtsschief.
glockenförmig.
Der längste Balken stellt den
Der längste Balken stellt den
Erwartungswert dar.
Erwartungswert dar.
Wie lautet die BERNOULLI-FORMEL
Wie lautet die BERNOULLI-FORMEL
Für genau k Treffer?
Für höchstens k Treffer?
Wann liegt ein linksseitiger
Wann liegt ein rechtsseitiger
HYPOTHESENTEST vor?
HYPOTHESENTEST vor?
Wie ist der Ansatz?
Wie ist der Ansatz?
Wie sieht bei einem linksseitigen
Wie sieht bei einem rechtsseitigen
Hypothesentest der
Hypothesentest der
ABLEHNUNGSBEREICH aus?
ABLEHNUNGSBEREICH aus?
Worum handelt es sich bei der
Worum geht es bei einem
IRRTUMSWAHRSCHEINLICHKEIT α
HYPOTHESETEST ?
bei einem Hypothesentest?
Was versteht man unter einem
Was versteht man unter einem
Fehler der 1. Art?
Fehler der 2. Art?
k
P( X ≤ k) = ∑ P( X = k) =
0
=
P ( X =+
k)
0) P ( X =
1) + .... + P ( X =
⇒ binom cdf ( n / p / k )
n
n−k
P ( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p )
k 
⇒ binom pdf ( n / p / k )
H 0 : p ≤ ......
H 0 : p ≥ ......
H1 : p > ......
H1 : p < ......
Ansatz : P ( X ≥ k ) = 1 − P ( X ≤ k − 1) ≤ α
Ansatz : P ( X ≤ k ) ≤ α
A = {k / ........... / n}
A = {0 / ........... / k }
Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese zutrifft (Fehler 1.
Art). Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll in der
Regel weniger als 5% betragen.
Bei einem Hypothesentest geht es darum,
mit Hilfe von Stichproben zu prüfen, ob eine
Nullhypothese
anzunehmen oder abzulehnen ist.
Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypo-
Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhy-
these angenommen wird, obwohl sie falsch ist.
pothese abgelehnt wird, obwohl die Nullhypo-
Fehler 2. Art sind kein Prüfungsthema.
these zutrifft. Der Fehler 1. Art ist so groß wie
die Irrtumswahrscheinlichkeit α.