Projektarbeit zur Schwarzkörperstrahlung

Projektarbeit zur Schwarzkörperstrahlung
Quantenmechanik
SS 2004
Gruppe 9
Gruppenmitglieder
Simon Außerlechner
Florian Hebenstreit
Martin Horn
Alexander Reinmüller
Christoph Stieb
Inhaltverzeichnis
1. Einleitung.......................................................................... 2
2. Strahlung........................................................................... 2
3. Schwarzer Körper ............................................................. 3
4. Theoretische Ansätze........................................................ 5
5. Planck’sches Gesetz.......................................................... 7
6. Praktischer Nutzen............................................................ 8
7. Herleitungen ..................................................................... 8
8. Quellenangaben .............................................................. 10
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1. Einleitung
Zu Anfang des 19. Jahrhunderts glaubte man die Physik sei eine annähernd abgeschlossene Wissenschaft. Die Physiker waren überzeugt, dass es möglich ist die physikalische
Wirklichkeit mit den zwei klassischen Theorien, der Maxwellschen Elektrodynamik und der
Newtonschen Mechanik, vollständig beschreiben zu können. Die Klassische Physik konnte
nur mehr wenige Phänomene nicht erklären. Ein Beispiel hierfür ist die Schwarzkörperstrahlung. Um sie verstehen zu können werden nun Begriffe eingeführt und Gesetzte hergeleitet.
2. Strahlung
Allgemein bezeichnet der Begriff „Strahlung“ einen Strom von Energie. Das sogenannte Strahlungsfeld ist gegeben durch die räumliche Verteilung der Energiestromdichte, welche
auch Intensität genannt wird. Im Speziellen versteht man unter Strahlung die elektromagnetische, zu der unter anderem die infrarote, die des sichtbaren Lichtes, UV-, Röntgen- und γStrahlung zählen.
Die Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung im Raum lässt sich anhand des Modells
der Wellenausbreitung beschreiben. Auf dem Prinzip der elektromagnetischen Induktion aufbauend besagt es, dass ein elektrisches und ein magnetisches Feld orthogonal zueinander mit
einer Phasenverschiebung von 90° harmonisch oszillieren ohne ein Trägermedium zu benötigen. Dieses Modell stößt jedoch bei der Erklärung der Absorption und der Emission von
Strahlung durch Materie an seine Grenzen.
In der klassischen Physik kann langwellige Strahlung durch sich periodisch ändernde
elektrische oder magnetische Felder erzeugt werden. Dies ist beispielsweise im elektrischen
Schwingkreis realisiert oder einer Abwandlung davon: Dem Hertzschen Dipol. Dieser besteht
nur noch aus einem leitfähigen Stab, in welchem nach einer äußeren Anregung die Ladungsträger hin- und herfließen. Die damit verbundene periodische Änderung des elektrischen Feldes in der Umgebung induziert ein entsprechendes magnetisches Feld. Die Feldlinien schnüren sich ab und breiten sich als elektromagnetische Welle im Raum aus. Die Wellenlänge der
Strahlung hängt von Parametern wie zum Beispiel der Dipollänge, der Driftgeschwindigkeit
der Ladungsträger und dem den Dipol umgebenden Stoff ab. Durch die Abstrahlung geht dem
Dipol Energie verloren. Der Schwingungsvorgang ist also gedämpft und kommt irgendwann
zum Erliegen.
Man könnte nun versucht sein, Atome als mikroskopische Hertzsche Dipole aufzufassen, in denen die Elektronen schwingen. Diese könnten einfallende Strahlung beliebiger Energie absorbieren und einen Zustand größerer Anregung einnehmen; ebenso könnten sie
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durch ihr Schwingungsverhalten abstrahlen. Dies führt jedoch zu eben jenem Widerspruch,
der erst von Niels Bohr im Jahre 1913 durch die Bohrschen Postulate aufgelöst wurde: Wäre
das Atom ein Hertzscher Dipol, würde es ständig Energie abstrahlen, sodass das Elektron
nach Nanosekunden in den Kern stürzte. Dies ist offensichtlich nicht der Fall. Gemäß Bohr
können die Elektronen im Atom nur eine Reihe von diskreten Energiezuständen einnehmen,
in welchen sie nicht abstrahlen. Lediglich bei einer Änderung des Energieniveaus kann ein
Elektron Strahlung absorbieren oder emittieren. Dabei besitzt die absorbierte oder emittierte
Strahlung entsprechende diskrete Energiewerte.
Das Zutreffen dieser Bohrschen Postulate zeigt sich am deutlichsten im Spektrum isolierter, das heißt im gasförmigen Zustand vorliegender Atome. Dieses besteht aus diskreten
Linien. Handelt es sich um ein Molekülgas, so sind die Linien verschmiert, und es ergeben
sich Molekülbanden. Das Spektrum von Flüssigkeiten und Feststoffen ist kontinuierlich, das
heißt es enthält jeden beliebigen Energiewert aus dem zulässigen Energiebereich. Allgemein
gilt: Je dichter die untersuchte Materie ist, umso stärker beeinflussen sich die Teilchen gegenseitig, sodass die Linien umso verschmierter sind.
3. Schwarzer Körper
Das Modell des schwarzen Körpers beschreibt mit dem dazugehörenden Planckschen
Strahlungsgesetz quantitativ die Energieverteilung der Strahlung eines idealisierten Körpers
mit kontinuierlichem Spektrum über der Körpertemperatur und der Strahlungsfrequenz. Dabei
werden keine Angaben über die Mechanismen von Absorption und Emission gemacht. Dieses
Konzept wurde von Max Planck im Jahre 1900 vorgestellt und ging somit den Bohrschen
Postulaten zeitlich voraus.
Davon ausgehend, dass ein Körper ein natürliches Vermögen besitzt, Strahlung zu absorbieren und Strahlung zu emittieren, stellt sich die Frage, unter welchen Umständen und in
welchem Maße er dies tut.
Die Emission kann nur von den Eigenschaften des Körpers selbst, insbesondere der
Temperatur, abhängen und nicht von denen der Umgebung, sodass ein Körper ständig strahlt,
sofern seine Temperatur T > 0 K ist. Welche Energie er jedoch dabei effektiv abgibt oder aufnimmt, hängt außerdem noch von seiner Absorption ab. Befinden sich also zwei Körper im
thermischen Gleichgewicht, so ist dieses kein statisches, sondern ein „dynamisches“, da beide
gleichviel Strahlung emittieren wie absorbieren. Von der einfallenden Strahlung wird ein Teil
absorbiert, der Rest wird reflektiert. Der Anteil der absorbierten Strahlung relativ zur insgesamt einfallenden wird als Absorptionsgrad ε bezeichnet. Der Reflexionsgrad beträgt demzu3
folge 1 – ε. Der Absorptionsgrad ist im Allgemeinen stoff- und frequenzabhängig. Wird die
gesamte einfallende Strahlung absorbiert, so beträgt der Absorptionsgrad ε = 1 für alle Frequenzen und man bezeichnet den Körper als schwarz.
Die Schwärze eines Körpers ist eine ideale Eigenschaft, welche nur näherungsweise erreicht wird. Die beste technische Realisierung stellt ein Hohlraum mit lamellenartigen Unterteilungen und einer kleinen Öffnung dar: Einfallendes Licht wird so lange reflektiert, bis es
fast vollständig von der großen schwarzen Oberfläche absorbiert worden ist. Selbst das Universum stellt keinen schwarzen Körper dar, es existiert die diffuse kosmische Hintergrundstrahlung, die ein äquivalenter schwarzer Körper der Temperatur T = 3 Kelvin emittierte.
Der Begriff des Schwarzen Körpers ist eine wichtige Abstraktion und Approximation,
um das Absorptions- und Emissionsverhalten realer Körper zu beschreiben. Zum Begriff des
Emissionsgrades gelangt man über folgendes Gedankenexperiment: Man denke sich zwei
einander gegenüberliegende Platten unterschiedlichen Absorptionsgrades. Der dazwischen
liegende Raum sei seitlich durch ideale Spiegel (ε = 0) begrenzt. Die Flächen mögen die Leistungen P1 und P2 abstrahlen. Somit absorbiert die erste Fläche die Leistung P2 ⋅ ε 1 , die zweite
die Leistung P1 ⋅ ε 2 . Idealerweise stellt sich irgendwann ein thermisches Gleichgewicht ein,
sodass effektiv keine Energie mehr verschoben wird. Dann gilt: P2 ⋅ ε 1 = P1 ⋅ ε 2 , woraus allgemein folgt, dass
P
ε
= const bzw. P ~ ε. Also ist die abgestrahlte Leistung proportional dem
Absorptionsgrad, weshalb dieser auch als Emissionsgrad bezeichnet wird. Dies bedeutet, dass
ein schwarzer Körper nicht nur am besten absorbiert, sondern auch am besten emittiert. Seine
Strahlungsleistung sei PS . Dann gilt für einen beliebigen Strahler das Kirchhoff’sche Strahlungsgesetz: P = ε ⋅ PS .
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4. Theoretische Ansätze
Abb. 1
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts waren schon genaue Messungen der Strahlung des
schwarzen Körpers ausgeführt worden (Abb. 1 grüne Kurve). Mit zunehmender Temperatur T
verschiebt sich das Maximum der Strahlungsenergie zu kürzeren Wellenlängen λ, das Licht
wird blauer. Wilhelm Wien (1864 - 1928) erfasste 1893 den Zusammenhang:
λ MAX =
2,898 ⋅ 10 −3 m
T
Diese Beziehung wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. Je größer die
Temperatur des schwarzer Körpers, desto weiter verschiebt sich das Maximum zu kleineren
Wellenlängen hin. Planck gelang es drei Jahre später, diese halbempirisch gewonnene Strahlungsgleichung theoretisch abzuleiten. Allerdings zeigten schon bald Präzisionsmessungen,
dass im Bereich langer Wellen erhebliche Abweichungen auftraten. Allerdings stimmten die
neuen Messergebnisse mit einer Strahlungsformel überein, die kurz zuvor die englischen Physiker Lord Rayleigh und Sir James Jeans publiziert hatte (Abb. 1 blaue Kurve):
u (λ , T ) =
8π ⋅ k ⋅ T
λ4
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Man sieht, dass diese Beziehung nur bei großen Wellenlängen halbwegs vernünftig mit
der Spektralfunktion übereinstimmt. P strebt gegen Unendlich, wenn λ gegen 0 geht, was man
auch als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet hat.
Abb. 2
Die theoretische Ansätze von Wien beziehungsweise von Rayleigh und Jeans waren nur
in eingeschränkten Bereichen gültig (nur bei großen beziehungsweise kleinen Frequenzen).
Das wichtigste theoretische Problem war nun die Ableitung des Strahlungsgesetzes, das heißt
die Strahlungsdichte im Hohlraum als Funktion der Wellenlänge beziehungsweise Frequenz
und der Temperatur zu bekommen. Nach den damals für gültig gehaltenen Gesetzen hätte ein
heißer Körper elektromagnetische Wellen in gleichbleibenden Maße abgeben müssen, unabhängig von ihrer Frequenz. Dies würde allerdings bedeuten, dass die abgestrahlte Gesamtenergie unendlich wäre. Aber der vorausgesagte stetige Anstieg der Strahlungsenergie in Abhängigkeit der Frequenz (bis hin zur Ultraviolettkatastrophe) findet nicht statt.
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5. Planck’sches Gesetz
Die Abhängigkeit des Energie- und Wellenlängen-Spektrums von der Temperatur
beschreibt das Planck’sche Strahlungsgesetz.
Abb. 3
Max Planck (Abb. 3) versuchte die Herleitung der Verteilungsfunktion über den gesamten Wellenlängenbereich. Er suchte zuerst eine Korrekturrechnung der klassischen Theorie
und gelangte schließlich im Oktober 1900 zum Erfolg, als er sich entschloss, die Energie des
schwarzen Körpers nicht als eine kontinuierlich verteilte Größe zu verstehen, sondern anzunehmen, dass sie in winzigen Paketen - den sogenannten Quanten - abgestrahlt und absorbiert
wird. Mit anderen Worten: Energie wird immer nur in einzelnen Paketen abgegeben oder aufgenommen.
Planck fand, dass die Energie eines Quantums dabei proportional ist zur Frequenz ν der
Strahlung.
E = h ⋅ν
Der Proportionalitätsfaktor ist die Naturkonstante h. Sie wird nach Planck auch
Planck’sche Konstante oder Planck’sches Wirkungsquantum genannt. Ihre Einheit ist eine
Wirkung [J s]
Diese Entdeckung Plancks gilt als Geburtsstunde der Quantenmechanik. Allerdings
fehlte noch eine theoretische Begründung für die „glücklich erratene Interpretationsformel“.
Planck selbst wollte eigentlich nicht von der klassischen Physik abweichen und versuchte
mehrere Jahre lang, das Phänomen der Schwarzkörperstrahlung mit rein klassischen Vorstellungen zu beschreiben, hatte jedoch keinen Erfolg.
Die fundamentale Bedeutung dieser Gleichung erkannte man erst, als Einstein auf ihrer
Grundlage den fotoelektrischen Effekt erklären konnte. Dabei ging Einstein noch über
Plancks Vorstellung hinaus und zeigte, dass die Energiequantisierung nicht nur eine formale
Hilfskonstruktion ist, sondern eine fundamentale Eigenschaft der elektromagnetischen Strahlen überhaupt. Planck konnte also mit seiner Annahme, dass die Energie quantisiert ist, fol7
gende Beziehung herleiten (wobei u (ν , T ) beziehungsweise u (λ , T ) die spektrale Energiedichte ist):
8hπν 3
1
u (ν , T ) =
⋅
3
exp(hν kT ) − 1
c
8hπc
1
u (λ , T ) = 5 ⋅
exp(hc λkT ) − 1
λ
6. Praktischer Nutzen
Folgerungen des Planck’schen Strahlungsgesetzes sind das Wien’sche Verschiebungsgesetz, welches das Emissionsmaximum des schwarzen Körpers bestimmt, das StefanBoltzmann-Gesetz, welches die gesamte abgestrahlte Energie eines schwarzen Körpers angibt
und das Rayleigh-Jeans’sche Strahlungsgesetz, welches die Strahlungsabhängigkeit für große
Wellenlängen beschreibt und das Wien’sche Strahlungsgesetz, welches die Strahlungsabhängigkeit für kleine Wellenlängen beschreibt.
In der Astronomie werden Sterne oft durch schwarze Körper angenähert. Der Unterschied zwischen der ideellen Kurve und dem Sternspektrum gibt Aufschluss über die chemische Zusammensetzung und Eigenschaften wie das Magnetfeld des Sterns.
Die Kosmische Hintergrundstrahlung zeigt Eigenschaften einer Schwarzkörperstrahlung
einer Temperatur von 2,725 ± 0,020 K.
7. Herleitungen
Um die Lage des Maximums von u (λ , T ) als Funktion von λ bei konstantem T zu finden, setzen wir die Ableitung von u (λ , T ) nach λ gleich Null und lösen die erhaltene Gleichung. Auf diese Weise gelangen wir zu:
λ MAX ⋅ T =
0,2014hc
= const
k
Diese Beziehung entspricht dem Wien’schen Verschiebungsgesetz. Da λMAX und T einfach gemessen werden können und c bekannt ist, können wir dann mit Hilfe obiger Gleichung
h k experimentell bestimmen.
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Im folgenden Bild sieht man diese Energieverteilungen für drei verschiedene Temperaturen eingezeichnet (Wien’sches Verschiebungsgesetz): Je höher die Temperatur, desto weiter
ist das Maximum der Funktion zu kurzen Wellenlängen verschoben.
Um aus dem Planck’schen Strahlungsgesetz
u (ν , T ) =
8hπν 3
1
⋅
3
exp(hν kT ) − 1
c
das Rayleigh-Jeans’sche Strahlungsgesetz und das Wien’sche Strahlungsgesetz zu erhalten, kann man folgende Überlegung vornehmen:
Für kleine Frequenzen kann der Planck’sche Interpolationsterm entwickelt werden und
es folgt das Rayleich-Jeans’sche Strahlungsgesetz:
e
hν
k BT
≈ 1+
hν
+Oν 2
k BT
( )
⇒
u (ν , T ) =
8πν 2 k B T
c3
Für große Frequenzen kann man (-1) im Nenner vernachlässigen und es folgt das Wien’sche Gesetz:
9
e
hν
k BT
−1 ≈ e
hν
k BT
hν
βν
−
8πhν 3 − k BT
u (ν , T ) =
⋅e
= αν 3 ⋅ e T
3
c
⇒
8. Quellenangaben
H. Vogel: Gerthsen Physik, 20. Auflage
W. Greiner: Quantum Mechanics, An Introduction; Second Corrected Edition, Springer
H. Haken, H. Wolf: Atom und Quantenphysik, Einführung in die experimentellen und
theoretischen Grundlagen; 4. Auflage, Springer
W. Demtröder: Experimentalphysik 3, Atome, Moleküle und Festkörper; 2. Auflage,
Springer
Abbildungen gefunden in www.google.de
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