Lösungen

50. Mathematik-Olympiade
2. Stufe (Regionalrunde)
Klasse 10
Lösungen
c 2010 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.
°
www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.
501021 Lösung
10 Punkte
Für a = 0 vereinfacht sich die Gleichung zu x4 = 0. Diese Gleichung hat genau eine Lösung
x = 0.
Sei von nun an a 6= 0. Das Produkt im linken Term ist genau dann Null, wenn x2 − a = 0 oder
x2 + 2ax − a = 0 gilt. Die Gleichung x2 − a = 0 hat
– keine reelle Lösung für a < 0,
– genau eine reelle Lösung für a = 0,
√
– zwei verschiedene reelle Lösungen ± a für a > 0.
Die Lösungen der Gleichung x2 + 2ax − a = 0 lassen sich√mit der allgemeinen Lösungsformel
quadratischer Gleichungen ermitteln. Es gilt x1,2 = −a ± a2 + a. Diese Gleichung hat damit
– keine reelle Lösung für a2 + a = a (a + 1) < 0; das ist genau dann der Fall, wenn
−1 < a < 0 gilt,
– genau eine reelle Lösung für a2 + a = a (a + 1) = 0; also für a = 0 oder a = −1,
– zwei verschiedene reelle Lösungen für a2 + a = a (a + 1) > 0; also für a < −1 oder a > 0.
Da sich die Faktoren x2 − a und x2 + 2ax − a genau um den Summanden 2ax unterscheiden,
haben die beiden Terme für a 6= 0 keine gemeinsamen Nullstellen.
Die Gleichung hat also
–
–
–
–
–
für
für
für
für
für
√
a < −1 genau zwei reelle Lösungen x = −a ± a2 + a,
a = −1 genau eine reelle Lösung x = 1,
−1 < a < 0 keine reellen Lösungen,
a = 0 genau eine reelle Lösung x = 0,
√
√
a > 0 genau vier reelle Lösungen x = ± a sowie x = −a ± a2 + a.
501022 Lösung
10 Punkte
Teil a) Es gibt 90 zweistellige Zahlen. Von diesen enthalten 18 die Ziffer 3. Es gibt somit
72 zweistellige Zahlen ohne die Ziffer 3.
Teil b) Bei dreistelligen Zahlen ohne die Ziffer 4 gibt es 8 Möglichkeiten für die erste Ziffer
(alle Ziffern außer 0 und 4) sowie je 9 Möglichkeiten für die zweite und die dritte Ziffer. Es
gilt also
x = 8 · 9 · 9 = 648
1
Die Anzahl aller dreistelligen Zahlen ist 9 · 10 · 10 = 900 (oder auch: 999 − 99 = 900) und somit
ergibt sich
y = 900 − 648 = 252
Man erhält für das gesuchte Verhältnis
x:y=
8·9·9
8·9·9
=
= 72 : 28 = 18 : 7
(9 · 10 · 10) − (8 · 9 · 9)
9 · (10 · 10 − 8 · 9)
Teil c) Die Anzahl der n-stelligen natürlichen Zahlen beträgt 9 · 10n−1 , davon haben 8 · 9n−1
keine Ziffer 5. Gesucht ist also die größte natürliche Zahl n mit
1
8 · 9n−1
>
n−1
9 · 10
2
also mit
9
0,9n−1 >
= 0,5625.
16
Multipliziert man eine positive reelle Zahl r mit 0,9, so ist das entstehende Produkt kleiner
als r. Somit ist wegen 0,9n · 0,9 = 0,9n+1 die Ungleichung 0,9n > 0,9n+1 für alle n erfüllt und
mit zunehmendem n werden die Potenzen 0,9n immer kleiner.
Es gilt 0,96−1 = 0,59049 > 0,5625 und 0,97−1 = 0,531441 < 0,5625, womit alle Potenzen 0,9n−1
für n ≥ 7 kleiner als 0,5625 sind.
Damit ist n = 6 die größte Stellenzahl, für die es mehr n-stellige Zahlen ohne Ziffer 5 als
Zahlen mit Ziffer 5 gibt.
501023 Lösung
10 Punkte
C
Wir setzen weiter |AB| = c, |AC| = b und |BC| = a.
Dann gilt u = a + b + c.
Aus den Dreiecksungleichungen folgt zunächst a < y + z,
b < x + z, c < x + y und nach Addition der Ungleichungen
u < 2 (x + y + z). Damit ist der linke Teil der Ungleichung
bewiesen.
E
z
a
b
D
Nun zeigen wir die Gültigkeit von x + y < a + b. Dazu
sei E der Schnittpunkt der Geraden AD mit BC. Nach
Dreiecksungleichung gilt wieder
x + |DE| < b + |CE|
x
A
y
c
B
Abbildung L 501023
und weiter
x + |DE| + |BE| < b + |CE| + |BE| = a + b.
Wegen y < |DE| + |BE| – wieder nach Dreiecksungleichung – ergibt sich schließlich wie
behauptet x + y < a + b.
Analog zeigt man x + z < a + c und y + z < b + c. Addition der drei Ungleichungen liefert
2 (x + y + z) < 2u und somit schließlich auch die rechte Seite der Behauptung.
2
501024 Lösung
10 Punkte
Teil a) In Frage kommen Rechtecke mit den folgenden Seitenlängen und Flächeninhalten:
Seitenlängen
Flächeninhalt
(1; 16)
16
(2; 15)
30
(3; 14)
42
(4; 13)
52
(5; 12)
60
(6; 11)
66
(7; 10)
70
(8; 9)
72
Wir sehen an der Auflistung, dass die Seitenlängen 2×15 für R1 und 5×12 für R2 die einzige
Lösung der Aufgabenstellung sind.
Teil b) Wir bezeichnen die Seitenlängen von R1 mit a, b und die Seitenlängen von R2 mit
c, d. Da die Rechtecke denselben Umfang haben, gilt a + b = c + d. Die Bedingung über die
Flächeninhalte liefert cd = 2ab. Aus diesen beiden Gleichungen folgt
c2 + d2 = (c + d)2 − 2cd = (a + b)2 − 4ab = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 .
p
√
Nach dem Satz des Pythagoras hat die Diagonale von R2 die Länge c2 + d2 = (a − b)2 =
|a − b|, und dies ist eine ganze Zahl.
Teil c) Die Seitenlängen von R2 seien wieder mit c, d bezeichnet, die Länge der Diagonalen
von R2 mit e. Gibt es zu diesem R2 ein Rechteck R1 mit den Seitenlängen a, b und den
geforderten Eigenschaften, so gilt wie unter b) gezeigt
√
a − b = c2 + d2 = e
a + b = c + d.
Wir erhalten a = 12 ((c + d) + e) und b = 21 ((c + d) − e) als einzig mögliche Seitenlängen für
R1 . Es bleibt zu prüfen, dass dieser Kandidat für R1 alle gestellten Bedingungen auch wirklich
erfüllt.
Wir stellen zunächst fest, dass a und b ganze Zahlen sind, denn nach Voraussetzung ist e eine
ganze Zahl, und diese hat wegen e2 = c2 + d2 dieselbe Parität wie c + d. Nach Dreiecksungleichung ist auch a > 0 und b > 0, also (1) erfüllt. Da offensichtlich a + b = c + d gilt, ist (3)
ebenfalls erfüllt. Weiter ist
4ab = ((c + d) + e) ((c + d) − e) = (c + d)2 − e2 = 2cd
wegen e2 = c2 + d2 , also 2ab = cd und damit (2) erfüllt.
Wir haben damit gezeigt, dass zu einem vorgegebenen Rechteck R2 mit den Seitenlängen c,
d genau das Rechteck R1 mit Seitenlängen a = 21 ((c + d) + e) und b = 12 ((c + d) − e) die
Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllt.
3
Punktverteilungsvorschläge
Die Punktzahlen für die einzelnen Aufgaben sind verbindlich, um Vergleiche z. B. zum Zweck
der Entscheidung über die Teilnahme an der 3. Stufe (Landesrunde) zu ermöglichen.
Die Einschätzung der Punktzahlen für einzelne Teilschritte einer Schülerlösung (nach dem
Maßstab Verwendbarkeit des Teilschrittes in einem zum Ziel führenden Lösungsweg“) liegt
”
beim Korrektor; die folgenden Aufteilungen sind möglicherweise dem Vorgehen in einer
Schülerlösung anzupassen und können in diesem Sinne gelegentlich abgeändert werden.
Aufgabe 501021
Insgesamt: 10 Punkte
Spezialfall a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Diskussion x2 − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diskussion x2 + 2ax − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Keine gemeinsamen Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Aufgabe 501022
1
3
4
2
Punkt
Punkte
Punkte
Punkte
Insgesamt: 10 Punkte
Teil a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teil b) Ermittlung von x und y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Gekürztes Verhältnis x : y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teil c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgabe 501023
1
2
1
6
Punkt
Punkte
Punkt
Punkte
Insgesamt: 10 Punkte
Ansatz Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweis der linken Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Beweis von x + y < a + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Daraus Herleitung der rechten Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Aufgabe 501024
2
3
3
2
Punkte
Punkte
Punkte
Punkte
Insgesamt: 10 Punkte
Teil a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Punkte
Teil b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Punkte
Teil c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Punkte
4