Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik:
Aussagen und Mengen
Jochen Merker, Katja Ihsberner, Peter Wagner
Universität Rostock
09.10.2014
Jochen Merker, Katja Ihsberner, Peter Wagner
Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen
Universität Rostock
Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für
Mathematik!
Organisatorisches
Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken (20min Kurzvorlesung,
45min Übung), die heute um 9.30 Uhr, 11.00 Uhr, 14.00 Uhr und
15.30 Uhr sowie morgen um 9.00 Uhr und 10.30 Uhr beginnen.
In den Kurzvorlesungen werden Themen aus dem Schulstoff
aufgegriffen und auf Universitätsniveau erläutert.
In den Übungen können Sie den Umgang mit den vorgestellten
Begriffen einüben, indem Sie in Gruppen unter Anleitung
Aufgaben aus dem jeweiligen Themenbereich lösen.
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Programm
In den heutigen Vormittagskurzvorlesungen wollen wir uns mit
Aussagen und Mengen beschäftigen, allerdings vermutlich auf
präzisere Weise, als Sie dies in der Schule kennengelernt haben.
Dabei wollen wir insbesondere mathematische Symbole aus der
Logik und Mengenlehre kennenlernen, die die Grundlage der
Sprache der Mathematik bilden.
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Aussagen
Zunächst wollen wir klären, wie man mathematische Aussagen
bilden kann.
Variablen, Konstanten, Funktionen, Relationen
In der mathematischen Sprache erlaubt man sich,
Symbole für Variablen (meist x, y , . . . oder x1 , x2 , . . . )
Symbole für Konstanten (meist c, d, . . . ),
Symbole für n-stellige Funktionen (meist
f (·, . . . , ·), g (·, . . . , ·), . . . ) und
Symbole für n-stellige Relationen (meist
R(·, . . . , ·), S(·, . . . , ·), . . . )
zu verwenden.
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Terme und grundlegende Aussagen
Mittels dieser Symbole kann man Terme und Aussagen (auch
Formeln genannt) bilden:
Jede Variable und jede Konstante ist ein Term. Sind t1 , . . . , tn
Terme und ist f eine n-stellige Funktion, so ist auch
f (t1 , . . . , tn ) ein Term.
Sind t1 , . . . , tn Terme und ist R eine n-stellige Relation, dann
ist R(t1 , . . . , tn ) eine Aussage, in der alle vorkommenden
Variablen frei sind.
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Beispiel
Seien t1 , t2 Terme.
Benutzt man für die zweistellige Funktion plus“ das Symbol
”
+, dann ist +(t1 , t2 ) ein neuer Term, für den man
üblicherweise einfach t1 + t2 schreibt.
Benutzt man für die zweistellige Relation ist gleich“ das
”
Symbol =, dann ist = (t1 , t2 ) eine Aussage, für die man
üblicherweise einfach t1 = t2 schreibt.
Benutzt man für die zweistellige Relation kleiner oder
”
gleich“ das Symbol ≤, dann ist ≤ (t1 , t2 ) eine Aussage, für
die man üblicherweise einfach t1 ≤ t2 schreibt.
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Logische Verknüpfungen von Aussagen
Aus vorhandenen Aussagen kann man mittels logischer Symbole
neue Aussagen bilden: Sind A und B Aussagen, dann sind auch
A =⇒ B
A∧B
A∨B
¬A
( A impliziert B“)
”
( A und B“)
”
( A oder B“)
”
( nicht A“)
”
Aussagen. Abkürzend führt man noch
A ⇐⇒ B
( A ist äquivalent zu B“)
”
an Stelle von (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A) ein.
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Boolesche Logik
Als logische Axiome verlangen wir von jeder Aussage (mit belegten
Variablen), dass sie entweder wahr oder falsch ist, und bei Bildung
von neuen Aussagen ist deren Gültigkeit durch die folgenden
Wahrheitstafeln festgelegt:
A B
w w
w f
f w
f f
A =⇒ B A ∧ B A ∨ B ¬A
w
w
w
f
f
f
w
f
w
f
w
w
w
f
f
w
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Beispiel
Die Aussage (A ∧ B) =⇒ A ist eine wahre Aussage, egal ob A, B
wahre oder falsche Aussagen sind, denn
A B
w w
w f
f w
f f
A ∧ B (A ∧ B) =⇒ A
w
w
f
w
f
w
f
w
Solche Aussagen nennt man Tautologien.
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Quantoren
Ist darüberhinaus x eine freie Variable in der Aussage A, so erlaubt
man sich auch, mittels der Quantoren ∀ und ∃ die Aussagen
∀x : A(x) ( für jedes x gilt A(x)“) und
”
∃x : A(x) ( es gibt (mindestens) ein x, für das A(x) gilt“)
”
zu bilden, und in diesen ist dann x keine freie Variable mehr,
sondern gebunden.
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Logische Axiome für Quantoren
Für Aussagen mit Quantoren verlangt man als logische Axiome die
Gültigkeit von
(∀x : A(x)) =⇒ A(t),
A(t) =⇒ (∃x : A(x)),
∀x : (B =⇒ A(x)) =⇒ (B =⇒ ∀x : A(x)),
∀x : (A(x) =⇒ B) =⇒ ((∃x : A(x)) =⇒ B),
wobei
A(x) eine Aussage mit freier Variable x,
t einen Term und
B eine Aussage, in der die Variable x nicht vorkommt,
bezeichnet.
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Mathematische Theorien und Beweise
Eine mathematische Theorie besteht aus einer wie zuvor
konstruierten Sprache (mit festgelegten Konstanten-,
Funktions- und Relationssymbolen), den logischen Axiomen
und zusätzlich als gültig betrachteten nicht-logischen
Axiomen.
Ein Beweis einer Aussage innerhalb einer mathematischen
Theorie ist einfach eine Aneinanderreihung von Aussagen, von
denen jede entweder ein (logisches oder nichtlogisches) Axiom
der Theorie ist oder direkt mit Hilfe einer Tautologie aus
vorher in der Aneinanderreihung vorkommenden Aussagen
hervorgeht.
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Beispiel
Für die zweistellige Relation = wird man die nicht-logischen
Axiome
x = x (reflexiv)
x = y =⇒ y = x (symmetrisch)
((x = y ) ∧ (y = z)) =⇒ x = z (transitiv)
fordern, ohne die = eben nicht viel mit Gleichheit zu tun hätte.
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Übungsaufgaben
Nehmen Sie sich die bereitliegenden Übungsaufgaben, nach einer
kurzen Pause beginnt die Übung.
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Mengen
Die Objekte, mit denen man sich in der Mathematik üblicherweise
beschäftigt, sind Mengen. Dabei gibt man sich das zweistellige
Relationssymbol ∈ vor, mit dessen Hilfe man Aussagen wie x ∈ y
( x ist Element von y“) formen kann.
”
Gerne würde man über die Menge aller x sprechen, für die eine
bestimmte von der freien Variablen x abhängige Aussage A(x)
wahr wird. Dies führt aber zu logischen Widersprüchen, so dass
man vorsichtig sein muss.
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Definition
Ist A(x) eine mathematische Aussage mit freier Variable x, so
bezeichnet {x | A(x)} einen Term mit gebundener Variable x, den
man die Ansammlung (Klasse) aller x, für die die Aussage A(x)
wahr ist, nennt.
Als grundlegendes nicht-logisches Axiom gibt man sich dann
(y ∈ {x | A(x)}) ⇐⇒ A(y )
vor, d.h. y ist genau dann ein Element von {x | A(x)}, wenn A(y )
gilt.
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Gleichheit
Die zweistellige Relation = definiert man mittels ∈ durch das
nicht-logische Axiom
x = y ⇐⇒ ∀z : (z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y )
(Extensionalitätsaxiom).
Zwei Ansammlungen x und y sind also gleich, wenn jedes Element
von x auch ein Element von y ist, und umgekehrt.
Beispiel
Ein Beispiel für eine Ansammlung (Klasse) ist die leere
Ansammlung (Klasse) ∅ := {x | x 6= x}, die durch die Eigenschaft
∀y : y 6∈ ∅ charakterisiert ist.
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Das Russelsche Paradoxon
Sei K := {x | x 6∈ x}, gilt dann K ∈ K ?
Bezeichne A(x) die Aussage ¬(x ∈ x), dann ist K = {x | A(x)}.
Wäre K ∈ K , dann müsste A(K ) gelten und damit K 6∈ K ,
Widerspruch.
Wäre K 6∈ K , dann müsste ¬A(K ) gelten und somit K ∈ K ,
Widerspruch.
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Mengen
Als Ausweg betrachten wir nur noch spezielle Ansammlungen
(Klassen), sog. Mengen. Genauer sieht man in der Theorie der
Mengen also nicht jeden Ausdruck der Form {x | A(x)} als Menge
an, sondern nur noch spezielle solche Ausdrücke. Beispielsweise
ist ∅ eine Menge,
ist mit zwei Mengen x, y auch die Paarmenge
{x, y } := {z | (z = x) ∨ (z = y )} eine Menge,
ist mit einer Menge x bei z ⊂ x, d.h., ∀u : (u ∈ z =⇒ u ∈ x),
auch z eine Menge (z wird Teilmenge von x genannt),
sind mit zwei Mengen x, y auch x ∪ y := {u | u ∈ x ∨ u ∈ y }
und x ∩ y := {u | u ∈ x ∧ u ∈ y } Mengen,
ist mit einer Menge x auch P(x) := {z | z ⊂ x} eine Menge
(P(x) wird die Potenzmenge von x genannt).
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Produktmengen
Ähnlich wie Paarmengen kann man geordnete Paare und damit das
Produkt M × N := {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N} zweier Mengen M, N
definieren.
Abbildungen
Eine Abbildung f : M → N kann man mengentheoretisch als eine
Teilmenge R ⊂ M × N auffassen mit der Eigenschaft
∀x ∈ M ∃!y ∈ N : (x, y ) ∈ R ,
d.h., dass es zu jedem x ∈ M genau ein y ∈ N mit (x, y ) ∈ R gibt.
Üblicherweise wird R der Graph von f genannt, und das zu x ∈ M
gehörige eindeutige Element y ∈ N mit (x, y ) ∈ R bezeichnet man
mit f (x).
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Übungsaufgaben
Nehmen Sie sich die bereitliegenden Übungsaufgaben, und
verteilen Sie sich nach einer kurzen Pause auf die beiden Räume.
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