Formelsammlung

Formelsammlung - Stand: 20.07.2011
1
1
Messung
1.1 physikalische Gröÿen und Einheiten
Basisgröÿen mit SI-Einheiten
Gröÿe
SI-Einheit
Abkürzung
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
Temperatur
Stomenge
Lichtstärke
Meter
Kilogramm
Sekunden
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
m
kg
s
A
K
mol
cd
Die Einheiten der abgeleiteten
Gröÿen
werden dort angegeben, wo diese eingeführt werden.
1.2 Messfehler
n - Anzahl Messungen & xi - Ergebnis i-te Messung
2
Gröÿe
Zeichen Berechnung
Mittelwert
wahrer Wert
mittl. quadr. Fehler d. Einzelmessg.
Standardabweichung
Fehler des Mittelwerts
x
x=
µ
durch
Mittelwert abschätzbar
q
s
1
n
Pn
i=1 xi
1
n−1
s=
σ
σ≈s
∆x
√σ
n
≈
√s
n
Pn
=
i=1 (xi
q
− x)2
1
n(n−1)
Pn
i=1 (xi
− x)2
Mathematik
2.1 Dierentiationsregeln
Produktregel: f (x) = g(x) · h(x)
Kettenregel:
df
dx
df
dx
→
f (u) = g(u) mit u = h(x) →
=
=
dg
dx
dg
du
·
h(x) + g(x) · dh
dx
·
du
dx
2.2 Trigonometrische Funktionen
Gegenkathete
a
c = Hypotenuse
Ankathete
cos(α) = cb = Hypotenuse
tan(α) = ab = Gegenkathete
Ankathete
sin(α) = − sin(−α)
sin(α) =
c
a
cos(α) = cos(−α)
=
sin(α)
cos(α)
tan(α) = − tan(−α)
2.3 Komplexe Zahlen
i2 = −1
sin(α) =
ei · α = cos(α) + i · sin(α)
cos(α) =
eiα −e−iα
2i
eiα +e−iα
2
α
b
2
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2.4 Taylorentwicklung
f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + 16 f 000 (x0 ) · (x − x0 )3 + . . .
2.5 Vektoren
Gegeben seien die Vektoren ~a und ~b:
Betrag:
 
 
b1
a1
  ~  
~a = a2  , b = b2 
b3
a3
p
a2 + a22 + a23

 1
a1 + b1

Addition: ~a + ~b = 
a2 + b2 
a3 + b3
Skalarprodukt: ~a · ~b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 = a · b · cos ∠(~a,~b)


a2 · b3 − a3 · b2

Kreuz- bzw. Vektorprodukt: ~a × ~b = 
a3 · b1 − a1 · b3  , ~a × ~b = a · b · sin ∠(~a,~b)
|~a| = a =
Zeitableitung:
3
~a˙ =
d~a
dt
a1 · b2 − a2 · b1
   da 
1
a˙1
dt
   da2 
= a˙2  =  dt 
da3
a˙3
dt
Mechanik
3.1 Bewegungslehre
Gröÿe
Bahnkurve
Zeichen Berechnung
~r(t)
Geschwindigkeit ~v (t)
Beschleunigung ~a(t)
Spezialfall
~a(t)
SI-Einheit


x(t)


~r(t) = y(t)
z(t)
˙
~v (t) = ~r(t)
~a(t) = ~v˙ (t) = ~r¨(t)
~v (t)
m
m/s
m/s2
~r(t)
Gleichförmige Bewegung 0
v~0 = const. v~0 · t + r~0
a~0
2
Gleichm. beschl. Bewegg. a~0 = const. a~0 · t + v~0
2 · t + v~0 · t + r~0
3.2 Kraft F~
F~ = m · ~a (2. Newtonsches Axiom)
h i
F~ = 1 N = 1 kg · m/s2 (Newton)
~ pot (~r) Alternative Denition über PoAlternative Denition über potentielle Energie: F~= ∇E
~ = −∇
~ · Φ(~r) mit ∇
~ = ∂ , ∂ , ∂ & Φ(~r) - stetiges Potential
tential (Gravitationspot.): F
∂x ∂y ∂z
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3
Name
Berechnung Bemerkung
Gewichtskraft
F~G = m · ~g
Fallbeschleunigung ~g
Federkraft (Hooksches Gesetz) F~F = −k · ~x Federkonstante k, Auslenkung ~x
Coulomb-Reibung
FR = µ · FN Reibungszahl µ, Normalkraft FN
3.3 Druck p
p=
|F~⊥ |
A
mit F~⊥ - Kraft senkrecht zu Fläche A
[p] = 1 Pa = 1 N/m2 (Pascal)
3.4 Impuls p~
p~ = m · ~v
Verallgemeinerung des zweiten Newtonschen Axioms: F~extern =
Schwerpunkt
~rS
n Massen mi mit Koordinaten ri :
~rS =
d~
p
dt
[~
p] = 1 kg · m/s
~
mit Fextern - externe Kräfte
Pn
ri
i=1 mi · ~
P
.
n
i=1 mi
zentraler elastischer Stoÿ
Körper 1 (m1 , v1 ) und 2 (m2 , v2 ) bewegen sich entlang der selben Geraden
1 v1 −m2 v1
2 v2 −m1 v2
Geschwindigkeiten nach Stoÿ: v10 = 2 · m2 v2m+m
v20 = 2 · m1 v1m+m
1 +m2
1 +m2
3.5 Arbeit W
F~ · d~l mit F~ Kraft auf Körper & Integral über Weg
[W ] = 1 J = 1 N · m (Joule)
F~ = konstant & geradlinige Bewegung entlang ~l: W = F~ · ~l = F · l · cos ∠(F~ ,~l)
W =
R
3.6 Leistung P
P (t) =
[P ] = 1 W = 1 J/s = 1 kg · m2 /s3 (Watt)
dW (t)
dt
3.7 Drehbewegung
Gröÿe
Berechnung Bemerkung
Abstand von Drehachse
Winkel
Winkelgeschwindigkeit
Bahngeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Drehmoment
~r
Drehmoment
Drehimpuls
[ϕ] = Bogenmaÿ
ϕ
ω
~, ω =
Vgl. gradl. Bewegg.
dϕ
dt
~v = ω
~ × ~r
˙ω
~ , ω̇ = ϕ̈
~ = ~r × F~
M
~ =L
~˙
M
~ = ~r × p~
L
~r
ω
~ ⊥ Drehebene, [~
ω ] = 1/s
~v =
d~
r
dt
Ableitg.:
ḃ =
h i
db
dt
~a =
d~v
dt
Ableitg.: ḃ =
db
dt
~ = 1 Nm =
M
& b̈ =
d2 b
dt2
2
1 kg · m /s2
F~ = p~˙
=
d2 ~
r
dt2
4
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Spezialfall: Kreisbewegung (~
v ⊥~r und
|~r| = r = const.)
Gleichförmige Kreisbewegung (|~v | = const.): |~aradial | = vr = ω 2 · r (Zentripetalbeschl.)
v
dω
Ungleichförmige Kreisbewegung: |~atangential | = d~
dt = r · dt
einige Vereinfachungen:
2
Gröÿe
Berechnung Bemerkung
Radius
Bogenlänge
Bahngeschwindigkeit
Drehmoment
Drehimpuls
r
s = r·ϕ
v = ω·r
~ = Θ · d~ω
M
dt
Trägheitsmoment Θ
~ = Θ·ω
L
~
Trägheitsmoment
Körper
Berechnung
Bemerkung
Massepunkte
bel. Körper
Vollzylinder
Hohlzylinder
Vollkugel
Hohlkugel
Θ=
Pn 2
r · mi
R i=1 i 2
Θ = Volumen r · dm
ri Abstände von Drehachse
Satz von Steiner
Θ=
m
2
Θ=
m · R2
Θ=
2
5
2
3
Θ=
·
R2
·
m · R2
·
m · R2
bzgl. Symmetrieachse, R Zylinderradius
bzgl. Symmetrieachse, R Zylinderradius
bzgl. Symmetrieachse, R Kugelradius
bzgl. Symmetrieachse, R Kugelradius
ΘB = m · a2 + ΘA mit A - Achse durch Schwerpunkt, B - Achse parallel zu A
& a - Abstand von A zu B
3.8 Energie E
E (Denitionen in Tabelle)
4
[E] = 1 J = 1 N · m = 1 kg · m2 /s2 (Joule)
Bezeichnung
Berechnung
kinetische Energie (Translation)
kinetische Energie (Rotation)
potentielle Energie (im Gravitationsfeld)
in Feder gespeicherte Energie
Ekin,T =
Ekin,R =
Bemerkung
m
2
2 ·v
Θ
2
2 ·ω
Epot = m · g · h
EFeder =
1
2
2
·k·x
Höhe h
Dehnung/Stauchung x
Schwingungen und Wellen
4.1 Schwingungen
Harmonischer Oszillator
hinreichend oft stetig dierenzierbares Potential: Φ(x̃)
1
Taylorentwicklg. (2.4) um x0 : Φ(x̃) ≈ Φ(x0 ) + Φ0 (x0 ) · (x̃ − x0 ) + Φ00 (x0 ) · (x̃ − x0 )2 + . . .
2
|
{z
Φ(x̃)harm
}
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x0 sei Minimalstelle von Φ(x̃): Φ(x̃)harm = Φ(x0 ) + 21 Φ00 (x0 ) · (x̃ − x0 )2
harm
= −Φ00 (x0 ) · (x̃ − x0 )
Kraft (3.2): F (x̃) = − dΦ(x̃)
dx̃
Analogie zur Federkraft: Φ00 (x0 ) = D entspricht einer Art Federkonstante
D
Bewegungsgleichung: ẍ(t) + m
x(t) = 0 mit x(t) - Auslenkung aus Ruhelage
AllgemeineqLösung: x(t) = A · cos (ω0 · t) + B · sin (ω0 · t) bzw. x(t) = C · e±i(ω0 t+ϕ0 )
D
= 2π · f = 2π
mit ω0 = m
T (Kreisfrequenz)
Gedämpfte Harmonische Schwingung
D
Bewegungsgleichung: ẍ(t) + mκ ẋ(t) + m
x(t) = 0
κ
Lösungsansatz x(t) = C · eλ · t liefert λ1,2 = −γ ± γ 2 − ω02 mit γ = 2m
und ω0 =
Unterscheidung von drei Fällen:
p
schwache Dämpfung (γ < ω0 ): x(t) = C · e−γ · t · cos(ω · t) mit ω = ω02 − γ 2 .
aperiodischer Grenzfall (γ = ω0 ): x(t)√= C · (1 + γ · t) · e−γ · t
p
Kriechfall (γ > ω0 ): x(t) = C · e
−γ±
γ 2 −ω02
q
D
m.
·t
Getriebene, gedämpfte harmonische Schwingung
D
x(t) = Fm0 · cos(ω · t) mit F0 - Amplitude treibende Kraft
Gleichung: ẍ(t) + mκ ẋ(t) + m
Nach Einschwingen: x(t) = g(ω) · A0 · cos (ω · t − ∆ϕ(ω)) mit A0 = FD0 . g(ω) ist der Amplitudengang und ∆ϕ(ω) der Phasengang.
4.2 Wellen
Wellen in 1D (1D-Schwingung + 1D-Ausbreitung)
∂
2 ∂
Wellengleichung: ∂t
2 y(x,t) − c · ∂x2 y(x,t) = 0
Lösung: z.B. Harmonische Wellen
Bsp.: y(x,t) = As · sin(kx ± ωt), y(x,t) = Ac · cos(kx ± ωt), bzw. y(x,t) = A · ei(kx±ωt)
Dispersionsrelation: w(k)2 = c2 k2 mit k = 2π
λ (Wellenzahl)
2
2
Wellen in 3D (3D-Schwingung + 3D-Ausbreitung)
Wellengleichung:
∂2
y(~r,t)
∂t2
− c2 · ∆y(~r,t) = 0 mit ∆ =
Lösungen: Ebene Wellen y(~r,t) = Ac · cos(~k · ~r ± ωt)
Kugelwellen y(~r,t) = y(r,t) = Ar · cos(k · r ± ωt)
Dispersionsrelation: w(k)2 = c2 |~k|2 mit ~k mit |~k| = k =
∂2
∂x2
2π
λ
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
(Wellenzahlvektor)
4.3 Dopplereekt
f - Frequenz der Quelle, c - Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, v - Geschwindigkeit Quelle
bzw. Beobachter, f˜ - vom Beobachter wahrgenommene Frequenz
bewegte Quelle, ruhender Beobachter bewegter Beobachter, ruhende Quelle
auf Beobachter zu: f˜ = 1−1 v · f
c
von Beobachter weg: f˜ = 1+1 v · f
c
auf die Quelle zu: f˜ = 1 + vc · f
von der Quelle weg: f˜ = 1 − vc · f
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5
Flüssigkeiten und Gase
Dichte
ρ
m
V
ρ=
mit m - Masse & V - Volumen
Schweredruck
p
[ρ] = 1 kg/m3
(innerhalb des Fluids)
p = ρ · h · g mit h - Höhe Flüssigkeitssäule, ρ - Dichte & g - Fallbeschleunigung
Auftriebskraft
siehe 3.3
FA
FA = g · V · ρF mit V - verdrängtes Volumen der Flüssigkeit & ρF - Dichte Flüssigkeit
Resultierende Kraft F (nach Abzug der Gewichtskraft)
F = g · V · (ρF − ρK ) mit ρK - Dichte Körper
Strom
Gröÿe
Zeichen Berechnung
Stromstärke
I
Strömungswiderstand R
Leitwert
S
∆V
∆t
R = ∆p
I
S = R1
I=
Einheit
Volumen
= transportiertes
benötigte Zeit
= Druckdierenz
Stromstärke
m3 /s
N · s/m5
m5 /(N · s)
Kontinuitätsbedingung (für stationäre Strömung durch Rohr)
A1 · u1 = A2 · u2 mit A1 bzw. A2 - Rohrquerschnitt & u1 bzw. u2 - Flieÿgeschwindigkeit
Satz von Bernoulli (für stationäre Strömung in idealer Flüssigkeit)
p - Druck, ρ - Dichte, u - Flieÿgeschwindigkeit, g - Fallbeschleunigung & h - Höhe
p + 12 ρ · u2 + ρ · g · h = konstant
Hagen-Poiseuille'sches Gesetz (laminare Strömung durch Rohr)
I=
π
8η
∆p 4
∆L r mit r - Rohrradius, η - dynamische Viskosität &
Stokes'sche / viskose Reibungskraft
FS
∆p
∆L
-
Druckänderung
Länge
(Kugel in laminarer, stationärer Strömung)
FS = 6π · η · r · v mit η - dynamische Viskosität, r - Kugelradius & v - Flieÿgeschwindigkeit
Turbulenter Strömungswiderstand
Ft
Ft = 12 cW · A · ρ · v 2 mit cW -Wert, A - Querschnittsäche, ρ - Dichte & v - Geschwindigkeit
Reynoldszahl Re (Verhältnis turbulente Reibung / viskose Reibung)
Re =
ρ
η
·
v · r mit ρ - Dichte, η - dyn. Viskosität, v - Geschwindigkeit & r - Kugelradius