Prädikatenlogik - Mathematik

Christian Eisentraut & Julia Krämer
www.vorkurs-mathematik-informatik.de
Mathematik-Vorkurs für Informatiker
Prädikatenlogik1
Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe)
Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen:
(a) Allquantor
(b) Existenzquantor
(c) Bindung
(d) Skopus
(e) Universum
(f) Prädikat
(g) Aussageform
(h) Ersetzungsfunktion
Kategorie
Aufgabe 2. (Aussageform vs. Prädikat)
Was ist der Unterschied zwischen Aussageformen und Prädikaten? Versuchen Sie mithilfe
eines Beispiels den Unterschied möglichst präzise zu beschreiben.
Kategorie
Aufgabe 3. (Aussage vs. Aussageform (1))
Finden Sie eine mathematische-informatische und nicht mathematische-informatische
Analogie, um den Unterschied zwischen Aussagen und Aussageformen zu verdeutlichen.
Kategorie
Aufgabe 4. (Aussage vs. Aussageform (2))
Entscheiden Sie für die folgenden Sätze, ob es sich um Aussagen oder um Aussageformen
handelt. Entscheiden Sie zusätzlich bei Aussageformen, was ein sinnvolles Universum ist.
Kategorie
Beispiel
(a) x ist die Königin von England. – Es handelt sich um eine Aussageform (mit
Variable x) über der Menge aller Frauen bzw. Menschen.
(b) 7 · x + 4 · y = 12 · z + 10027 – In dieser Gleichung treten drei Unbekannte auf,
damit handelt es sich um eine Aussageform. Da wir Gleichungen über Zahlen
1
Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer
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lösen, nehmen wir einfach die größte bekannte Zahlenmenge als Unviversum
für jede Variable, also für alle drei R, das Universum bezeichnen wir dann mit
R × R × R.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
x ist durch 2 teilbar.
46527846 ist durch 2 teilbar.
x spielt in der Fußballbundesliga.
Januar ist ein Monat mit 31 Tagen.
∃n ∈ N : n + m = 2
x ist ein Monat mit 31 Tagen.
x+4=y
x+5=7
Januar ist ein x mit 32 Tagen.
x+y =z
∀x ∈ N : x ≥ 0
Aufgabe 5. (Prädikatenlogik natürlichsprachlich (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 12/13))
Beschreiben Sie möglichst anschaulich Situationen, in denen die folgenden Aussagen
gelten. Sei dazu P (x, y, z) := “x isst y in z” über dem Universum U = Menschen ×
Gerichte × Orte. Menschen bezeichnet die Menge aller Menschen, Gerichte die Menge
aller Gerichte und Orte die Menge aller Orte. Im Folgenden quantifiziert die Variable x
immer über der Menge aller Menschen, y über der Menge aller Gerichte und z über der
Menge aller Orte.
Beispiel
(a) ∃x : ∃y : ∃z : P (x, y, z): In der ganzen Welt gibt es mindestens einen Menschen
der an irgendeinem Ort irgendetwas isst. Das ist zum Beispiel erfüllt, wenn
Christian im Vorlesungssaal ein Schokocroissant isst oder wenn in Australien
eine Familie beim Mittagessen sitzt.
(b) ∃y : ∀x : ∀z : P (x, y, z): Es gibt ein Gericht, dass jeder Mensch an allen Orten
ist. Eine Welt, in der diese Aussage gilt, sieht zum Beispiel so aus: Jeder
Mensch isst in seinem ganzen Leben an jeder möglichen Stelle auf der Welt
(sofern wir annehmen, es gibt nur auf der Erde “Orte”) Reis.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
∀x : ∀y : ∀z : P (x, y, z)
∀x : ∀y : ∃z : P (x, y, z)
∃z : ∀x : ∀y : P (x, y, z)
∀x : ∃z : ∀y : P (x, y, z)
∀y : ∃z : ∀x : P (x, y, z)
2
Kategorie
Aufgabe 6. (Prädikatenlogik natürlichsprachlich (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14))
Sei P (m, n, g, s) := “m hält vor n Vorlesung über g in s” über dem Universum U =
Menschen × Menschen × Themen × Orte definiert. Beachten Sie: Menschen bezeichnet
hier die Menge aller Menschen, Orte die Menge aller Orte und Themen die Menge aller
möglichen Vorlesungsthemen.
Beispiel
Zum Beispiel heißt P (Christian, Dieter Schlau, Prädikatenlogik, Saarbrücken), dass
Christian eine Vorlesung vor Dieter Schlau zum Thema Prädikatenloigk hält. Dahingegen heißt P (Prof. Hermanns, Max Mustermann, Programmierung 1, Saarbrücken),
dass Prof. Hermanns die Vorlesung “Programmierung 1” vor Max Mustermann in
Saarbrücken hält.
(a) Geben Sie möglichst natürlichsprachliche Ausdrücke für die folgenden quantifizierten Aussagen an. Dabei seien die Variablen x, y über der Menge der Menschen, die
Variable z über der Menge der Themen und v über der Menge der Orte gewählt.
Beispiel
Zum Beispiel wird ∃y : ∀x : ∀y : ∀z : P (x, y, z, v) würde heißen, dass es einen
Menschen gibt, der bei allen Menschen zu allen Themen an allen Orten eine
Vorlesung hört - sozusagen ein “Superstudent”, der alles Wissen dieser Welt
überall bei allen Leuten lernen möchte.
(i) ∃x : ∀y : ∀z : ∀v : P (x, y, z, v)
(ii) ∀x : ∃y : ∃z : ∀v : P (x, y, z, v)
(iii) ∀y : ∃x : ∀z : ∃v : P (x, y, z, v)
(iv) ∀y : ∃x : ∀z : ∃v : P (y, x, z, v)
(v) ∀x : ∃v : ∀z : ∀y : P (x, y, z, v)
(vi) ∀y : ∃x : ∃v : ∀z : P (x, y, z, v)
(b) Welche der folgenden Ausdrücke bezeichnen die selbe Aussage? Begründen Sie Ihre
Antwort.
Beispiel
Zum Beispiel bezeichnen ∀v : ∀x : ∀y : ∀z : P (x, y, z, v), ∀x : ∀y : ∀z : ∀v :
P (x, y, z, v), ∀v : ∀z : ∀y : ∀x : P (x, y, z, v) und ∀z : ∀y : ∀x : ∀v : P (x, y, z, v)
alle die selbe Aussage, nämlich dass alle Menschen bei allen Menschen an allen
Orten zu allen Themen Vorlesungen hören.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
∀x : ∀y : ∃z : ∃v : P (x, y, z, v)
∀x, y : ∃z, v : P (x, y, z, v)
∃z, v : ∀x, y : P (x, y, z, v)
∃v, z : ∀y, x : P (x, y, z, v)
∃v : ∀x : ∀y : ∃z : P (x, y, z, v)
3
Kategorie
(vi) ∃v : ∀y : ∀x : ∃z : P (x, y, z, v)
(vii) ∃z : ∀x : ∀y : ∃v : P (x, y, z, v)
Aufgabe 7. (Prädikatenlogik natürlichlichsprachlich)
Verbinden Sie jeweils den prädikatenlogischen Ausdruck links mit der Eigenschaft, die
der prädikatenlogische Ausdruck beschreibt. Sei dazu im Folgenden P (x, y) := “x teilt y”.
Kategorie
Beispiel
∀y ∈ Q : ∃x ∈ Q : x · y = 1 – In Q gibt es für jedes Element ein multiplikatives
Inverses.
∀x ∈ N : ∃y ∈ N : y > x
∃x ∈ N : ∀y ∈ N : y ≥ x
∃!x ∈ N : ∀y ∈ N : x ≥ y
∀x ∈ N : ∀y ∈ N : P (x, y)
∀y ∈ N : ∀x ∈ N : x = y
∀y ∈ N : ∃!x ∈ N : x = y
∃x ∈ N : ⊤
∃y ∈ N : ∀x ∈ N : x + y > x
∀x ∈ N : ∃y ∈ N : P (x, y)
Es gibt jede natürliche Zahl nur ein Mal.
Alle Zahlen sind Vielfache voneinander.
Es gibt eine Zahl größer 0.
N ist unendlich.
N hat eine kleinste Zahl.
N hat genau eine größte Zahl.
Jede Zahl hat Vielfache.
Es gibt nur eine natürliche Zahl.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht
leer.
Aufgabe 8. (Semantik der Prädikatenlogik)
Finden Sie für jeden der prädikatenlogischen Ausdrücke mit freier Variable x eine Zahl,
eine Funktion, eine Person oder einen Gegenstand, der diese Aussage erfüllt. Sei U die
Menge aller Menschen.
Kategorie
Beispiel
∀y ∈ U : “y liebt x” – George Clooney, Natalie Portman, ...
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
∀y
∀y
∀y
∀y
∀y
∈N:x+y =y
∈N:x·y =y
∈ U : “x hasst y”
∈ R : x(y) = 0
∈ U : “y benutzt x beim Zähneputzen”
Aufgabe 9. (Sprache prädikatenlogisch)
Schreiben Sie die folgenden Sätze als prädikatenlogischer Ausdrücke.
Kategorie
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Beispiel
Alle Menschen sind Männer. – Sei M die Menge aller Menschen: ∀x ∈ M : “x ist Mann”
(a) Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es eine weitere reelle Zahl.
(b) Jede gerade natürliche Zahl ist größer oder gleich 0.
(c) x + 4 = 2 ist in den natürlichen Zahlen nicht lösbar.
Aufgabe 10. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14))
Gegeben seien die folgenden Prädikate:
• I(x) :=“x studiert Informatik.”
• P (x) :=“x belegt die Vorlesung Programmierung 1.”
• E(x) :=“x ist im ersten Semester.”
• M (x) :=“x belegt eine Mathematikvorlesung.”
Sei das Universum U die Menge aller Menschen. Stellen Sie die folgenden Aussagen
prädikatenlogisch dar:
(a) Alle Informatikstudenten im ersten Semester hören die Vorlesung Programmierung
1.
(b) Nicht jeder Student, der Programmierung 1 belegt, studiert auch Informatik.
(c) Es gibt Informatikstudenten, die auch eine Mathematikvorlesung belegt haben.
(d) Ein Informatikstudent in einem späteren Semester hört genau dann die Vorlesung
Programmierung 1, wenn er auch eine Mathematikvorlesung belegt hat.
(e) Nicht alle Erstesemester belegen eine Mathematikvorlesung.
Kategorie
Aufgabe 11. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14))
Definieren Sie Prädikate, um dann die folgenden Aussagen als prädikatenlogische Ausdrücke darzustellen. Definieren Sie ein dazu passendes Universum. Verwenden Sie keine
Mengen, sondern nur Prädikate, um Eigenschaften ausdrücken. Z.B. sollen Sie nicht
sagen, x ∈ Menge aller Studenten mit Nebenfach Mathematik wenn Sie sagen wollen,
dass der Student x Nebenfach Mathematik hat. Definieren Sie stattdessen ein Prädikat P (y) := “y hat Nebenfach Mathematik” und nehmen Sie P (x) um die Eigenschaft
“Nebenfach Mathematik” für den Studenten x auszudrücken.
(a) Alle Studenten haben Mathematik als Nebenfach.
(b) Mindestens ein Student hat Mathematik als Nebenfach.
(c) Hat ein Student Nebenfach Mathematik, so hat er nicht Physik als Nebenfach.
(d) Es gibt keinen Studenten, der Mathematik und Physik als Nebenfach hat.
Kategorie
5
Aufgabe 12. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14))
Benutzen Sie höchstens zwei Prädikate, um die folgenden Aussagen prädikatenlogisch
zu formulieren. Sei im Folgenden U die Menge aller kleinen Kinder. Verwenden Sie auch
hier keine Mengen, um Eigenschaften der Aufgabenstellung auszudrücken.
(a) Alle Jungen spielen gerne mit Autos.
(b) Wenn es ein Mädchen gibt, das gerne mit Autos spielt, dann spielt kein Junge gern
mit Autos.
(c) Alle Mädchen spielen genau dann gerne mit Autos, wenn mindestens ein Junge
nicht gerne mit Autos spielt.
Kategorie
Aufgabe 13. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14))
Sei U die Menge aller Studenten. Stellen Sie die folgenden Aufgaben wieder als prädikatenlogische Ausdrücke dar. Verwenden Sie keine Mengen um Eigenschaften darzustellen.
(a) Alle Informatikstudenten kennen mindestens eine Person, die nicht Informatik studiert.
(b) Alle Nicht-Informatik-Studenten kennen genau dann mindestens einen Informatikstudenten, wenn sie auch einen Nicht-Informatik-Student kennen.
(c) Kennt ein Informatikstudent einen nicht-Informatiker-Studenten, so ist dies hinreichend dafür dass er alle Informatik-Studenten kennt.
(d) Einen anderen Informatikstudenten zu kennen ist für einen Informatikstudenten
notwendig, um die Klausuren gut zu bestehen.
Kategorie
Aufgabe 14. (Sprache prädikatenlogisch (erstellt von: Tutoren des Vorkurses zum WS 13/14))
Schreiben Sie die folgenden Aussagen als prädikatenlogische Ausdrücke auf. Es ist möglich alle Aussagen mit der Hilfe von nur zwei Prädikaten darzustellen:
(a) Alle Menschen haben eine Mutter.
(b) Alle Menschen haben eine Großmutter.
(c) Alle Jungen haben eine Mutter und einen Vater.
(d) Es gibt ein Mädchen, das mindestens ein Geschwisterteil hat.
(e) Ein Junge hat genau dann eine Schwester, wenn eine seiner Großmütter genau ein
Kind hatte.
Kategorie
Aufgabe 15. (Mathematik prädikatenlogisch)
Aus der Schule kennen Sie den folgenden Satz: Wenn A, B und C arithmetische Ausdrücke
sind und A = B, dann gilt auch A + C = B + C und A · C = B · C.
Übersetzen Sie den Satz in einen prädikatenlogischen Ausdruck.
Kategorie
6
Aufgabe 16. (Mathematik prädikatenlogisch)
Schreiben Sie die folgenden Sätze als prädikatenlogische Ausdrücke auf.
(a) Wenn n eine natürliche Zahl ist und n2 + 5 ungerade, dann ist n gerade.
(b) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.
(c) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
(d) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.
(e) Das Produkt zweier rationalen Zahlen ist rational.
(f) Seien A,B Mengen. Wenn A ∪ B = A, dann ist B ⊆ A.
(g) Seien A, B und C endliche Mengen. Dann ist die Kardinalität von A∪B ∪C gerade
die Summe der Kardinalitäten der Mengen verringert um die Kardinalitäten aller
möglichen Schnitte der Mengen.
Kategorie
Aufgabe 17. (Mathematik natürlichsprachlich)
Schreiben Sie die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke in mathematische Sätze und
Definitionen (natürlichsprachlich) um. Wenn möglich sollen Ihre Sätze ähnlich wie in
Aufgabe ?? formuliert sein.
(a) ∀A, B : A \ B = A → B ∩ A = ∅
(b) ∀A, B : A ∪ B = A → B ⊆ A
(c) ∀A, B : A ⊆ B → B ⊆ A
(d) ∀z ∈ Z : ((∃k ∈ Z : 3 · z + 2 = 2 · k) ↔ (∃k :∈ Z : z + 5 = 2 · k + 1)) ↔ (∃k ∈ Z :
z 2 = 2 · k)
Kategorie
Aufgabe 18. (Gebunden vs. Ungebunden)
Erklären Sie den Unterschied zwischen gebundenem und ungebundenem Auftreten, sowie
definierendem und benutzendem Auftreten.
Kategorie
Aufgabe 19. (Gebunden vs. Ungebunden)
Geben Sie jeweils die ungebunden Variablen der folgenden Ausdrücke an. Sei im Folgenden U eine beliebige Menge und P, Q, R beliebe Prädikate. Zeichnen Sie zur Hilfe den
Syntaxbaum der Ausdrücke.
Kategorie
Beispiel
Wir wählen als Beispiel (∀x ∈ U : P (x, y) ∧ ∃y ∈ U : P (x, y)) → (∀z ∈ U : Q(x, z)).
Der zugehörige Syntaxbaum sieht wie folgt aus:
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→
∀x
∀z
∧
Q(x, z)
P (x, y)
∃y
P (x, y)
Nun schauen wir uns für alle in den Prädikaten auftretenden Variablen an, ob wir
auf dem Weg nach oben, d.h. wenn wir den Kanten umbekehrt folgen, auf ein einen
Quantor treffen, der genau diese Variable bindet, oder eben nicht. Ein Beispiel, für
das markierte x im Baum führt die erste Kante nach oben zwar zu einem Quantor,
dieser bindet aber y. Die nächste Kante führt vom ∃-Quantor zu einem ∧ und vom
∧ kommen wir wieder zu einem Quantor, der dieses mal x bindet. Damit ist x
gebunden.
Ein weiteres Beispiel: Wir betrachten das markierte y im Baum. Die erste Kante
nach oben führt zu einem ∧, von dort kommen wir zu einem ∀-Quantor, der aber
x und nicht y bindet. Von diesem Quantor gelangen wir dann zur Wurzel, die mit
→ beschriftet ist. Nun können wir nicht mehr weiter nach oben gehen um einen
Quantor zu finden, der y bindet, also ist y ungebunden.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
∀x ∈ U : P (x, y) → ∃y ∈ U : Q(x, y)
(∃x ∈ U : ∃y ∈ U : P (x, y)) → Q(x, y)
∀x ∈ U : ∃y ∈ U : ∀z ∈ U : P (x) → P (y) → P (z)
(∀x ∈ U : ∃y ∈ U : ∀z ∈ U : P (x) → P (y)) → P (z)
∀x ∈ U : ∀y ∈ U : ∀z ∈ U : P (x, y, z) → Q(z) ∨ R(y)
Aufgabe 20. (Skopus)
Markieren Sie jeweils zu welchem definierendem Auftreten ein benutztendes Auftreten
gehört. Sei U eine beliebige Menge und P , Q und R beliebige Prädikate. Zeichnen Sie
zur Lösung der Aufgabe den entsprechenden Syntaxbaum des Ausdrucks.
Beispiel
(∀x ∈ U : ∃y ∈ U : P (x, y) ∧ Q(x, y)) → ∃x ∈ U : R(x)
Die Lösung lautet: (∀x1 ∈ U : ∃y1 ∈ U : P (x1 , y1 ) ∧ Q(x1 , y1 )) → ∃x2 ∈ U : R(x2 )
8
Kategorie
→
∀x
∃x
∀y
R(x)
∧
P (x, y) Q(x, y)
Betrachten wir einmal die Bindung für das markierte x im Baum. Wir laufen nun
wie in Aufgabe ?? wieder im Baum nach oben, bis entweder nicht mehr weiterlaufen können (dann ist die Variable ungebunden) oder bis wir zum ersten Quantor
kommen, der genau diese Variable bindet. Genau dieses bindende Auftreten gehöhrt
nämlich zu dem benutzenden Auftreten, welches wir betrachten. Für x laufen wir
also zu ∧, von ∧ zu einem Quantor, der aber y und nicht x bindet, und von dort
schließlich zu dem Quantor, der x bindet. Da wir vorher keinen anderen Quantor
gefunden haben, der x bindet, gehört das benutztende Auftreten von x im Prädikat
P zu diesem Quantor.
(a)
(b)
(c)
(d)
∀x ∈ U : (∀x ∈ U : ∃y ∈ U : ∀z ∈ U : P (x) → Q(y, z)) → R(x)
∀(x, y, z) ∈ U × U × U : (∀(x, y) ∈ U × U : (∃x ∈ U : P (x, z)) ∧ Q(x, y)) ∨ R(x, y, z)
∀(x, y, z) ∈ U × U × U : R(x, y, z) → ∃x ∈ U : ∃y ∈ U : ∃z ∈ U : P (x, y, z)
∃x ∈ U : P (x) → ∀x ∈ U : P (x, x)
Aufgabe 21. (Bindungen)
Kombinieren Sie die Arbeitsaufträge von ?? und ?? wie folgt: Denken Sie sich mindestens
drei prädikatenlogische Ausdrücke aus. Tauschen Sie diese mit mindestens einem Ihrer
Kommilitonen aus und verfahren Sie mit den neuen Ausdrücken so wie in den oben
genannten Aufgaben.
Kategorie
Aufgabe 22. (Ersetzungsoperator)
Wenden Sie den Ersetzungsoperator an. Das Universum sei dabei die Menge der natürlichen Zahlen und P , Q und R beliebige Prädikate.
Kategorie
Beispiel
Gegeben sei der Ausdruck ((∀x∃y : P (x, y)) ∧ ∀x : P (x, y))[x := 5]. Hier hat der
Ersetzungoperator keinen Effekt, da x nicht ungebunden vorkommt, dahingegen
liefert ((∀x∃y : P (x, y)) ∧ ∀x : P (x, y))[y := 5] den Ausdruck (∀x∃y : P (x, y)) ∧
∀x : P (x, 5), da y im rechten Teilausdruck ungebunden vorkommt. Formal müssen
[x := 5] auf ∧, dann auf die beiden Operanden und schließlich auf jeden einzelnen
Teilausdruck anwenden. Notieren Sie im Folgenden diese Schritte explizit.
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(a)
(b)
(c)
(d)
((∀x : ∃y : ∀z : P (x, y, z) → R(x)) → Q(x, y, z))[x := 5]
(((R(x) → P (x, y)) ∨ ∀y : R(y))[y := 5])[x := 5]
((∀w : ∀x : ∀y : P (w, x, y))[z := 3])[w := 3]
(((∀x : P (x)) ∨ P (x))[x := 3])[x := 2]
Aufgabe 23. (Negation prädikatenlogischer Ausdrücke)
Negieren Sie die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke. Seien dazu P , Q und R beliebige Prädikate. 2
Kategorie
Beispiel
∀x : ∀y : P (x) ∧ Q(y) – Begründen Sie jeden Ihrer Schritte:
¬(∀x : ∀y : P (x) ∧ Q(y)) Negation-∀
≡ ∃x : ¬(∀y : P (x) ∧ Q(y)) Negation-∀
≡ ∃x : ∃y : ¬(P (x) ∧ Q(y)) De Morgan
≡ ∃x : ∃y : ¬P (x) ∨ ¬Q(y)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
∀x : ∃y : P (x, y) → ∀z : Q(z)
∀x : ∀y : ∃z : P (x) → Q(y, z) ∨ ∀x : R(x)
∃x : ∃y : P (x) ↔ P (y)
∃x : P (x) ↔ ∀y : P (y)
∃x : ∀y : ∃z : P (x, y) ∧ Q(y, z) → ∀x : ∀y : R(x, y)
Aufgabe 24. (Wichtige Implikationen)
Kategorie
(a) (∀x ∈ U : A(x)) → (∃x ∈ U : A(x))
(b) (∃x ∈ U : A(x) ∧ B(x)) → (∃x ∈ U : A(x)) ∧ (∃x ∈ U : B(x))
(c) (∀x ∈ U : A(x)) ∨ (∀x ∈ U : B(x)) → ∀x ∈ U : A(x) ∨ B(x)
(d) (∀x ∈ U : A(x) → B(x)) → (∀x ∈ U : A(x)) → (∀x ∈ U : B(x))
(e) (∃x ∈ U : ∀y ∈ U : P (x, y)) → ∀y ∈ U : ∃x ∈ U : P (x, y)
Die obenstehenden Implikationen sind alle wahr, ihre Umkehrungen jedoch nicht (d.h.
wenn sie Prämisse und Konklusion austauschen). Geben Sie passende Gegenbeispiele an.
Beispiel
Für A(x) := “x = 2” über dem Universum N gilt: Es gibt eine Zahl, die 2, so dass
A(x) wahr wird, aber die Aussage gilt nicht für alle n ∈ N, denn z.B. ist 3 ̸= 2.
Damit ist die Prämisse der Implikation wahr, die Konklusion jedoch falsch und die
Implikation wird falsch.
2
Um die Schreibweise zu verkürzen, wird im Folgenden angenommen, dass alle auftretenden Variablen
Elemente des Universums sind und daher der Teil ∈ U , wenn U das Universum ist, weggelassen.
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Aufgabe 25. (“Es gibt genau eins” ∃!)
Definieren Sie ∃! (es existiert genau ein) als einen prädikatenlogischen Ausdruck.
Kategorie
Aufgabe 26. (“Es gibt genau zwei”)
Definieren Sie einen Operator mit der Semantik “Es existieren genau zwei x im Universum, sodass ...” als einen prädikatenlogischen Ausdruck.
Kategorie
Aufgabe 27. (Maximale Elemente von Beziehungen ausdrücken)
Drücken Sie die Aussageform “x ist König von” mit prädikatenlogischen Formeln und
dem Prädikat P (x, y) :=“x ist Untertan von y” aus.
Kategorie
Aufgabe 28. (Endliche Mengen)
Betrachten Sie im Folgenden nur endliche Mengen. Wie können Sie dann für beliebige
Mengen M und Prädikate P die Aussage ∀x ∈ M : P (x) bzw. ∃x ∈ M : P (x) nur mit
aussagenlogischen Operatoren, also ohne Verwendung von Quantoren, darstellen?
Kategorie
Können Sie mit Ihrer Darstellung die Negationgesetze prädikatenlogischer Ausdrücke
intuitiv begründen?
Funktioniert Ihre Konstruktion auch für unendliche Mengen M ?
Aufgabe 29. (Wichtige Äquivalenzen)
Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe ?? und den Gesetzen der Aussagenlogik durch Umformungen die folgenden beiden Äquivalenzen auf endlichen Universen U.
(a) ∃x ∈ U : (A(x) ∨ B(x)) ≡ (∃x ∈ U : A(x)) ∨ ∃x ∈ U : B(x))
(b) ∀x ∈ U : (A(x) ∧ B(x)) ≡ (∀x ∈ U : A(x)) ∧ (∀x ∈ U : B(x))
Kategorie
Aufgabe 30. (Prädikatenlogische Gesetze)
Sei φ ein geschlossener prädikatenlogischer Ausdruck. Überlegen Sie sich logische Äquivalenzen in Verbindung mit ∧ und ∨, sowie wie ∀ und ∃. Erinnern Sie sich dabei auch
an Aufgabe ??.
Kategorie
Beispiel
Sei P ein beliebiges Prädikat und U das Universum. Dann gilt: ∀x ∈ U : P (x) ∧ φ ≡
(∀x ∈ U : P (x)) ∧ φ
Aufgabe 31. (Verträglichkeit von Konjunktion/Disjunktion mit All-/Existenzquantor)
Betrachen Sie die Äquivalenzen aus Aufgabe ??. Wenn sie ∧ durch ∨ und umgekehrt
ersetzen, gelten die Äquivalenzen dann immer noch? Belegen Sie Ihre Behauptung.
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Kategorie
Aufgabe 32. (Logik verallgemeinern)
Können Sie sich noch weitere Operatoren vorstellen, die eine Logik brauchen könnte?
Versuchen Sie eine der Prädikatenlogik ähnliche Logik mit mehr Werten als w und f zu
definieren.
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Kategorie