Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

HTWD, FB Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Arbeitsblatt 7
SS 2006
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Zufälliger Versuch:
Versuch, dessen Ergebnis im Bereich gewisser Möglichkeiten ungewiß ist
2. Elementarereignis:
mögliches Ergebnis eines zufälligen Versuches
3. Stichprobenraum:
Menge aller Elementarereignisse eines zufälligen Versuches
Bezeichnung: Ω
4. Ereignis:
Aussage A über den Ausgang eines zufälligen Versuches
• Jedes Elementarereignis ω ∈ Ω ist ein Ereignis.
• Man nennt ω ∈ Ω ein günstiges Elementarereignis für A, falls gilt:
endet der zufällige Versuch mit Ereignis ω, so ist die Aussage A wahr,
also das Ereignis A ist eingetreten.
• Wir identifizieren A mit der Menge der für A günstigen Elementarereignisse, d.h. A ⊆ Ω
• Ist A = Ω, so ist jedes Elementarereignis günstig für A.
A heißt dann sicheres Ereignis.
• Ist A = ∅ (leere Menge), so ist kein Elementarereignis günstig für A. A
heißt dann unmögliches Ereignis.
5. klassische Wahrscheinlichkeit von A
Voraussetzung: Ω ist endlich und alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich.
|A|
P (A) = |Ω|
=
Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse
Anzahl aller Elementarereignisse
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Arbeitsblatt 8
SS 2006
Elementare Kombinatorik
Anzahl der Möglichkeiten k Elemente aus n Objekten auszuwählen (0 ≤ k ≤ n)
1.
mit Berücksichtigung der Reihenfolge, mit Wiederholung
2.
mit Berücksichtigung der Reihenfolge, ohne Wiederholung
3.
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, ohne Wiederholung
4.
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, mit Wiederholung
nk
n!
(n−k)!
¡n¢
k ¢
¡n+k−1
k
Erläuterungen:
1. Jedes Element kann mehrfach gewählt werden.
(1, 2) und (2, 1) sind verschiedene Wahlmöglichkeiten
2. Jedes Element kommt höchstens einmal vor.
(1, 2) und (2, 1) sind verschiedene Wahlmöglichkeiten
3. Jedes Element kommt höchstens einmal vor.
(1, 2) und (2, 1) werden als gleich angesehen
4. Jedes Element kann mehrfach vorkommen.
(1, 2) und (2, 1) werden als gleich angesehen
Beispiele
1. Anzahl der (höchstens) 5-stelligen Zahlen im Dezimalsystem (führende Nullen
sind erlaubt)
Ergebnis: 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000
2. Anzahl der Möglichkeiten für die Plätze 1-3 bei einem Wettbewerb mit n
Personen
n!
Ergebnis: (n−3)! = n · (n − 1) · (n − 2)
3. Anzahl der¡ Tippmöglichkeiten
für “6 aus 49“
¢
49
49·48·47·46·45·44
49!
Ergebnis: 6 = 43!·6! =
1·2·3·4·5·6
4. Anzahl der Möglichkeiten eine Menge von k Artikeln im Versandhaus zu bestellen, welches genau n Produkte anbietet (wird ein Produkt 3 mal bestellt,
zählt das als 3 Artikel)
Ergebnis: s. oben
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Arbeitsblatt 9
SS 2006
Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit
Kolmogorov, ca 1930
Ereignisfeld, σ-Algebra
Sei Ω 6= ∅ und sei A eine Menge von Teilmengen von Ω. Man nennt A ein Ereignisfeld oder eine σ-Algebra über Ω, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
(E1)
Ω∈A
(E2)
A∈A⇒A∈A
(E3)
A1 , A2 , . . . ∈ A ⇒ (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∈ A) ∧ (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∈ A)
Wahrscheinlichkeitsmaß
Es sei A ein Ereignisfeld über Ω. Eine Abbildung P : A → R heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf A, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
(A1)
0 ≤ P (A) ≤ 1 ∀A ∈ A
(A2)
P (Ω) = 1
(A3)
Sind A1 , A2 , . . . ∈ A paarweise unvereinbare Ereignisse, d.h. gilt:
Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j, so ist P (A1 ∪ A2 ∪ . . .) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . .
(Ω, A, P ) heißt dann Wahrscheinlichkeitsraum mit Stichprobenraum Ω und Ereignisfeld A. Die Elemente A ∈ A heißen die Ereignisse und P (A) die Wahrscheinlichkeit von A.
(A1) − (A3) heißen die Axiome der Wahrscheinlichkeit. Die klassische Wahrscheinlichkeit ist ein spezielles Wahrscheinlichkeitsmaß.
Rechenregeln
(R1)
A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(R2)
P (A) = 1 − P (A)
(R3)
P (∅) = 0
(R4)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(R5)
A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
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Arbeitsblatt 10
SS 2006
bedingte Wahrscheinlichkeit, unabhängige Ereignisse
A/B
bedeutet: Ereignis A unter der Bedingung, daß das Ereignis B eingetreten ist.
P (A/B) :=
P (A ∩ B)
P (B)
heißt bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung B,
wobei P (B) 6= 0 sein muß.
Beispiel: Würfeln mit einem idealen Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
-) A: die Augenzahl ist 2: A = {2}
-) B: die Augenzahl ist gerade: B = {2, 4, 6}
-) P (A) = 1/6, P (B) = 3/6 = 1/2, P (A ∩ B) = P ({2}) = 1/6
1/6
P (A∩B)
1
-) P (A/B) = P (B) = 1/2 = 3
A1 , . . . , An heißt vollständiges Ereignissystem über Ω, falls A1 , . . . , An paarweise
unvereinbare Ereignisse aus A sind (d.h. Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j) und falls gilt
A1 ∪ . . . ∪ An = Ω.
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Ist A1 , . . . , An ein vollständiges Ereignissystem über Ω, so gilt für alle B ∈ A
P (B) = P (B/A1 ) · P (A1 ) + . . . + P (B/An ) · P (An )
Unabhängigkeit
A ist unabhängig von B, falls P (A/B) = P (A) ist.
(a) A ist unabhängig von B ⇔ P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
(b) A ist unabhängig von B ⇔ B ist unabhängig von A.
Die Ereignisse A1 , . . . , An heißen total unabhängig, falls jedes Ereignis Ai unabhängig von allen möglichen Produkten ist, welche sich aus den restlichen Ereignissen bilden lassen.
A1 , . . . , An total unabhängig ⇒ P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 ) · . . . · P (An )