3 Stetige Zufallsvariablen

3
Stetige Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable heißt stetig, falls zu je zwei
Werten a < b auch jeder Zwischenwert im Intervall
[a, b] möglich ist
Beispiele:
X = „Alter“, X = „Körpergröße“, X = „Temperatur“,
X = „Intelligenzquotient“
In der Praxis kommen häufig Variablen vor, die als
quasistetig aufzufassen sind. Quasistetig bedeutet,
dass eine Zufallsvariable extrem viele Ausprägungen
besitzt und die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen möglichen Wertes vernachlässigbar klein ist. Solche Merkmale werden in der Statistik wie stetige Zufallsvariablen behandelt.
Beispiele:
X = „Einkommen“, X = „Vermögen“, X = „Umsatz
einer Firma“,
Statistik_II@finasto
3–1
3.1
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Modellierung von stetigen Zufallsvariablen:
• P [X = x] = 0 für einen einzelnen möglichen
Wert x
• Ansatz: Man betrachtet Intervalle und zugehörige Wahrscheinlichkeiten
P [X ∈ [a, b]]
Wahrscheinlichkeiten stetiger
blen
Für stetige Zufallsvariablen X gilt
P [a ≤ X ≤ b] =
Zufallsvaria-
P [a < X ≤ b] = P [a ≤ X < b]
= P [a < X < b]
und
P [X = x] = 0
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für jedes x ∈ R
3–2
Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen lässt sich
durch die zugehörige Dichtefunktion charakterisieren. Wahrscheinlichkeiten ergeben sich als Flächen unter der Dichtefunktion.
Analogie (Statistik I): Histogramm eines stetigen Merkmals
• Gruppierung anhand von Klassen benachbarter
Intervalle [c0 , c1 ), [c1 , c2 ), . . . , [ck−1 , ck ) der gleichen
Klassenbreite δ
• Berechnung der relativen Häufigkeit fj für jede
Klasse [cj−1 , cj )
• Histogrammwerte innerhalb jeder Klasse: fj /δ
• Fläche des Histogramms über [cj−1 , cj ) = fj
Verhalten für großes n:
• fj nahe an P [cj−1 ≤ X < cj ]
• Falls n → ∞ und gleichzeitig δ → 0, so konvergiert das Histogramm gegen eine Funktion
f (x) ≥ 0 (=Dichtefunktion)
P [a ≤ X ≤ b] = Fläche von f (x) über [a, b]
∫ b
=
f (x)dx
a
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3–3
Stetige Zufallsvariable
0
Histogramm
0.2
0.4
n=50
0
Histogramm
0.2
0.4
n=500
0
Histogramm
0.2
0.4
n=5000
0
0.2
Dichte
0.4
Model
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3–4
Flächen und Integrale:
Für eine positive Funktion f (x) ≥ 0 gilt
∫ b
f (x)dx = Fläche von f (x) über [a, b]
a
Man betrachte eine allgemeine Funktion g(x) mit
positiven und negativen Werten.
• positiver Teil von g(x):
g+ (x) = max{0, g(x)}
• negativer Teil von g(x):
g− (x) = min{0, g(x)}
∫
b
⇒
g(x)dx = Fläche von g+ (x) über [a, b]
a
− Fläche von g− (x) über [a, b]
Statistik_II@finasto
3–5
Stetige Zufallsvariablen und Dichten
X stetige Zufallsvariable: Es existiert eine Funktion
f (x), so dass für jedes Intervall [a, b]
∫ b
P [a ≤ X ≤ b] =
f (x)dx
a
f heißt (Wahrscheinlichkeits-) Dichte von X
Eigenschaften von Dichten:
• Positivität: f (x) ≥ 0
• Normierung: Die Gesamtfläche zwischen
x-Achse und f (x) ist gleich 1,
∫ ∞
P [−∞ < X < ∞] =
f (x)dx = 1
−∞
Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen
∫
F (x) = P [X ≤ x] =
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x
f (t)dt
−∞
3–6
Wahrscheinlichkeitsdichte:
Z 1
f (x)
0;
f (x)dx = 1:
+
1
Verteilungsfunktion:
F
F
(x) monoton wachsend
(
1) = 0
;
F
1) = 1
(+
1
Verteilungsfunktion
1
Dichtefunktion
:
0.8
0.6
F(x)
f(x)
0.6
0.8
F(x)
0.4
0.4
f(x)
0.2
0.2
F(b)
F(b)
b
0
b
-3
-2
-1
0
x
Statistik_II@finasto
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
3–7
Die Verteilungsfunktion ist ein zentrales Werkzeug zur
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable besitzt folgende
Eigenschaften:
• F (x) ist eine stetige, monoton wachsende Funktion, 0 ≤ F (x) ≤ 1.
• F (a) = P [X < a]
• P [X ≥ a] = P [X > a] = 1 − F (a)
• P [a ≤ X ≤ b] = P [a < X < b] = F (b) − F (a)
Interpretation von Dichten:
• f (x) groß für alle Werte in einem Intervall [a, b]:
Es besteht eine relativ hohe Wahrscheinlichkeit,
dass X einen Wert in [a, b] annimmt
• f (x) sehr klein für alle Werte in einem Intervall
[c, d]: Es besteht eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert in [c, d] annimmt
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3–8
Klassifikation von Verteilungen
symmetrisch, unimodal
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
rechtssteil
linkssteil
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0
1
2
3
-4
4
-3
bimodal
-2
-1
multimodal
1.0
4
0.8
3
0.6
2
0.4
1
0.2
0.0
0
-3
-2
-1
Statistik_II@finasto
0
1
2
3
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3–9
3.0
Spezialfall: Stetige Gleichverteilung
Stetige Gleichverteilung
Eine stetige Zufallsvariable mit Ausprägungen in einem Intervall [a, b] heißt gleichverteilt, falls für jedes Teilintervall [c, d] ⊂ [a, b] gilt
d−c
P [c ≤ X ≤ d] =
b−a
Man schreibt: X ∼ U (a, b)
Wahrscheinlichkeitsdichte


fU (x) =
1
b−a
FU (x) =
Statistik_II@finasto
für a ≤ x ≤ b
 0
sonst



 0
für x < a
Verteilungsfunktion



x−a
b−a
für a ≤ x ≤ b
1
für x > b
3–10
Stetige Gleichverteilung auf [1, 6]
0.15
0.05
0.1
f(x)
0.2
0.25
Dichtefunktion (stetige Gleichverteilung)
1
2
3
4
x
5
6
0.5
0
f(x)
1
Verteilungsfunktion (stetige Gleichverteilung)
0
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1
2
3
x
4
5
6
7
3–11
Beispiel: Wartezeit auf eine Straßenbahn
• Ideale Welt: An einer bestimmten Haltestelle hält
jeweils genau alle 20 Minuten eine Straßenbahn
• Eine Person kommt ohne Kenntnis des Fahrplans
zu einer zufälligen Zeit an die Haltestelle
X = „Wartezeit (in Minuten) auf die nächste Straßenbahn“
⇒
X ∼ U (0, 20)
P [0 ≤ X ≤ 20] = 1
10
= 0, 5
20
10
P [X ≥ 10] = 1 −
= 0, 5
20
10
5
P [5 ≤ X ≤ 10] =
−
= 0, 25
20 20
P [X ≤ 10] =
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3–12
3.2
Verteilungsparameter
Erwartungswert
Diskrete Zufallsvariable:
µ = E(X) =
∑
xi f (xi )
i≥1
Stetige Zufallsvariable:
∫
∞
µ = E(X) =
−∞
x · f (x)dx
Rechenregeln:
• Y = aX + b, a, b beliebig
E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b
• Für zwei Zufallsvariablen X und Y
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Beispiel: X ∼ U (a, b) → E(X) =
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a+b
2
3–13
Beispiele: Zwei Verteilungen mit
∫ x
E(X) =
x · f (x)dx = 0
−∞
y
0.3
0
0
0.1
0.1
0.2
0.2
y
0.3
0.4
0.5
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
0.4
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
-5
0
x
5
-3
-2
-1
1
2
3
1
2
3
x f(x)
0
-0.5
-0.2
-0.1
0
y
y
0.1
0.2
0.5
x f(x)
0
x
-5
E(X) = 0
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0
x
5
-3
-2
-1
0
x
E(X) = 0
3–14
Beispiele mit E(X) = 0 und E(X) > 0
0
0.1
0.2
y
0.3
0.4
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
-5
0
x
5
-0.2
-0.1
0
y
0.1
0.2
x f(x)
-5
0
x
5
E(X) = 0
0
0.1
0.2
y
0.3
0.4
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
-5
0
x
5
0
0.2
y
0.4
x f(x)
-5
0
x
5
E(X) = 1
0
0.1
0.2
y
0.3
0.4
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
-5
0
x
5
0
0.2
0.4
y
0.6
0.8
x f(x)
-5
0
x
5
E(X) = 2
Statistik_II@finasto
3–15
Varianz
Diskrete Zufallsvariable:
2
σ = Var(X) =
∑
(xi − µ)2 f (xi )
i≥1
Stetige Zufallsvariable:
∫
σ 2 = Var(X) =
∞
−∞
(x − µ)2 · f (x)dx
√
σ = Var(X) heißt Standardabweichung
Rechenregeln:
• Var(X) = E(X − µ)2 = E(X 2 ) − µ2
• Y = aX + b, a, b beliebig
Var(Y ) = Var(aX + b) = a2 · Var(X)
• Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
Beispiel: X ∼ U (a, b) ⇒ Var(X) =
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(b−a)2
12
3–16
• Der Erwartungswert µ = E(X) ist ein Lageparameter, der Aufschluss über das Zentrum der Verteilung gibt.
• Die Standardabweichung ist ein Maß für die
Dispersion
Ungleichung von Tschebyscheff:
1
P [|X − µ| > kσ] ≤ 2
k
für alle k > 0
1
k2
[µ − kσ, µ + kσ] heißt zentrales Schwankungsintervall
⇒ P [µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ] ≥ 1 −
k
P [µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ]
2
≥1−
3
≥1−
4
≥1−
1
4 = 0, 75
1
9 ≈ 0, 89
1
16 = 0, 9375
Achtung: Die Ungleichung gibt nur eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit. Genauere Berechnungen
auf der Basis spezieller Verteilungsmodelle.
Statistik_II@finasto
3–17
Beispiel:
X
EX
Zufallsvariable
mit ( ) = 0,
(Dichte = Glockenkurve)
V ar(X ) = 1
Y
0
0.2
0.4
k=1: P(-1<X<1) = 0.6827
-4
-2
0
X
2
4
Y
0
0.2
0.4
k=2: P(-2<X<2) = 0.9545
-4
-2
0
X
2
4
Y
0
0.2
0.4
k=3: P(-3<X<3) = 0.9973
-4
-2
0
X
2
4
Y
0
0.2
0.4
k=4: P(-4<X<4) = 0.9999
-4
Statistik_II@finasto
-2
0
X
2
4
3–18
Beispiel:
X
EX
Zufallsvariable
mit ( ) = 0,
(Dichte = schiefe Dichte)
V ar(X ) = 1
0
Y
0.2
k=1: P(-1<X<1) = 0.5443
-3
-2
-1
0
1
2
X
3
4
5
6
7
6
7
6
7
6
7
0
Y
0.2
k=2: P(-2<X<2) = 0.9089
-3
-2
-1
0
1
2
X
3
4
5
0
Y
0.2
k=3: P(-3<X<3) = 0.9579
-3
-2
-1
0
1
2
X
3
4
5
0
Y
0.2
k=4: P(-4<X<4) = 0.9808
-3
Statistik_II@finasto
-2
-1
0
1
2
X
3
4
5
3–19
Weitere Verteilungsparameter einer stetigen Zufallsvariable X
Modus: xmod ist ein Wert, für den die Dichtefunktion
f (x) maximal wird.
Median: xmed ist der Wert, für den gilt:
F (xmed ) = P [X ≤ xmed ] = P [X ≥ xmed ] = 1−F (xmed ) =
Quantile: Für 0 < p < 1 ist das p-Quantil xp der
Wert, für den
F (xp ) = P [X ≤ xp ] = p
und
1 − F (xp ) = P [X ≥ xp ] = 1 − p
gilt.
Median und Quantile sind eindeutig bestimmt, wenn
die Verteilungsfunktion F streng monoton ist.
Statistik_II@finasto
3–20
1
2
Illustration: Quantil xp
Verteilungsfunktion: P [X ≤ xp ] = F (xp ) = p
1.0
F(x)
0.8
p
0.6
0.4
0.2
0.0
-3
-2
-1
0
1
xp
2
3
Dichte: Das Quantil xp teilt die Gesamtfläche von f
über der x-Achse in zwei Teile der Größen
p = P [X ≤ xp ] und 1 − p = P [X ≥ xp ] auf.
0.4
0.3
0.2
0.1
p
1-p
0.0
-3
Statistik_II@finasto
-2
-1
0
xp
1
2
3
3–21
Lageregeln
Symmetrische Verteilung: xmod = xmed = µ
xmod = xmed = µ
Linkssteile Verteilung: xmod ≤ xmed ≤ µ
xmod xmed
µ
Rechtssteile Verteilung: µ ≤ xmed ≤ xmod
µ
Statistik_II@finasto
xmed xmod
3–22
3.3
Die Exponentialverteilung
Exponentialverteilung
Eine stetige Zufallsvariable X mit nichtnegativen
Werten heißt exponentialverteilt mit Parameter
λ > 0, kurz X ∼ Ex(λ), wenn sie die Dichte

 λe−λx für x ≥ 0
fEx (x) =
 0
sonst
besitzt.
Es gilt:
E(X) = λ1 ,
Var(X) =
1
λ2
Dichten der Exponentialverteilung
1.0
λ=1
0.8
0.6
0.4
λ=0,5
0.2
0.0
0
2
Statistik_II@finasto
4
6
8
10
3–23
Verteilungsfunktion

 1 − e−λx für x ≥ 0
FEx (x) =
 0
für x < 0
Zusammenhang mit der Poisson-Verteilung:
Anzahl des Auftretens eines Ereignisses
Y =
„A“ in einem festen Zeitintervall [0, 1]
Yt =
Anzahl des Auftretens des Ereignisses
„A“ in dem Zeitintervall [0, t]
Y ∼ P o(λ)
⇒
Yt ∼ P o(λt)
Für
X = Wartezeit bis zum ersten Auftreten
des Ereignisses „A“
gilt dann
X ∼ Ex(λ),
denn
P [X ≤ t] = 1 − P [Yt = 0] = 1 − e−λt
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3–24
3.4
Die Normalverteilung
(Gauß-Verteilung)
Normalverteilung
Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit
Parametern µ ∈ R und σ 2 > 0, kurz X ∼ N (µ, σ 2 ),
wenn sie die Dichte
(
)
2
1
(x − µ)
f (x) = √
exp −
für x ∈ R
2
2σ
2πσ
besitzt.
Es gilt: E(X) = µ, Var(X) = σ 2
• Die Normalverteilung wird auch als Gauß-Verteilung
und die Dichte als Gauß-Kurve bezeichnet
• Die Normalverteilung spielt eine zentrale Rolle
in der induktiven Statistik. Bei sehr vielen Zufallsphänomenen wird angenommen, dass sie zumindest approximativ normalverteilt sind.
• Normalverteilungen sind unimodal und symmetrisch un ihren Mittelwert µ
Statistik_II@finasto
3–25
Gauß-Kurven mit µ = 0 und σ 2 = 0.25, 1, 4
N(0,0.25)
0.8
0.6
0.4
N(0,1)
0.2
N(0,2)
0.0
-4
-2
0
2
4
Gauß-Kurven mit µ = −1, 0, 2 und σ 2 = 1
N(0,1)
0.4
N(2,1)
N(-1,1)
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-2
0
2
4
Gauß-Kurven mit verschiedenen µ und σ 2
N(2,0.16)
1.0
0.8
0.6
N(0,1)
0.4
N(-1,2.25)
0.2
0.0
-4
Statistik_II@finasto
-2
0
2
4
3–26
Spezialfall mit µ = 0, σ 2 = 1:
Standardnormalverteilung N (0, 1)
Dichte der Standardnormalverteilung N (0, 1):
( 2)
1
x
ϕ(x) = √ exp −
für x ∈ R
2
2π
Verteilungsfunktion:
∫
Φ(x) =
∫
x
x
ϕ(t)dt =
−∞
−∞
( 2)
1
t
√ exp −
dt
2
2π
• Die Standardnormalverteilung ist symmetrisch zum
Nullpunkt,
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
• Die Werte von Φ(z) sind tabelliert.
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3–27
Die Quantile der Standardnormalverteilung
Die Quantile der Standardnormalverteilung sind durch
Φ(zp ) = p
bestimmt. Wegen der Symmetrie gilt
zp = −z1−p
p
50%
75%
90%
95%
97,5%
99%
zp
0 = xmed
0,675
1,282
1,645
1,960
2,326
0.4
φ(x)
0.3
0.2
0.1
1-p
1-p
0.0
-3
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-2
-zp
-1
0
1
zp
2
3
3–28
Rückführung einer allgemeinen N (µ, σ 2 )-Verteilung auf
die Standardnormalverteilung:
Standardisierung:
Ist X ∼ N (µ, σ 2 ), so ist die standardisierte Zufallsvariable
X −µ
Z=
σ
standardnormalverteilt, d.h. Z ∼ N (0, 1)
Für die Verteilungsfunktion F von X gilt:
(
)
x−µ
x−µ
F (x) = Φ
= Φ(z) mit z =
σ
σ
Quantile: Für 0 < p < 1 berechnet sich das pQuantil xp der N (µ, σ)-Verteilung durch
zp =
xp − µ
bzw xp = µ + σzp
σ
⇒ P [a ≤ X ≤ b] = F (b) − F (a)
(
)
(
)
b−µ
a−µ
=Φ
−Φ
σ
σ
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3–29
Beispiel: Füllmenge von Bier
In einer Abfüllanlage werden Flaschen mit nominal
50 cl Bier gefüllt. Die Anlage arbeitet jedoch nicht
vollständig exakt. Im Mittel werden tatsächlich 50 cl
eingefüllt, die Standardabweichung beträgt jedoch 1,2
cl.
Modell:
X = „Füllmenge“ ∼ N (50, 1.44)
(
)
52 − 50
P [X ≤ 52] = F (52) = P Z ≤
1, 2
= P [Z ≤ 1, 67] = Φ(1, 67) = 0, 953
P [X ≥ 49] = 1 − F (49)
(
)
49 − 50
= 1 − Φ(−0, 833)
=1−Φ
1, 2
= 1 − (1 − Φ(0, 833)) = 0, 797
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3–30
Zentrale Schwankungsintervalle
Ist X ∼ N (µ, σ 2 ), so gilt für α > 0
P [µ − z1−α/2 σ ≤ X ≤ µ + z1−α/2 σ] = 1 − α
Für z1−α/2 = k erhält man die Bereiche
P [µ − σ ≤ X ≤ µ + σ] = 0, 6827
k=1:
k=2:
P [µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ] = 0, 9545
k=3:
P [µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ] = 0, 9973
1−α
α/2
µ−z1-α/2 σ
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α/2
µ
µ+z1-α/2 σ
3–31
Beispiel: Füllmenge von Bier
X = „Füllmenge“ ∼ N (50, 1.44)
Frage: Zwischen welchen Werten liegt die tatsächliche Füllmenge mit einer Wahrscheinlichkeit von
95%?
0, 95 = 1 − α ⇒ α = 0, 05, z1−α/2 = z0,975 = 1, 96
⇒ P [µ − 1, 96σ ≤ X ≤ µ + 1, 96σ] = 1 − α = 0, 95
Anwendung auf Füllmenge: P [47, 65 ≤ X ≤ 52, 35] =
0, 95
95%
2,5%
2,5%
µ−1.96σ
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µ
µ+1.96σ
3–32
Eigenschaften der Normalverteilung:
Lineare Transformation
Für X ∼ N (µ, σ 2 ) ist die linear transformierte Variable Y = aX + b wieder normalverteilt mit
Y ∼ N (aµ + b, a2 σ 2 )
Addition
2
Sind X ∼ N (µX , σX
) und Y ∼ N (µY , σY2 ) normalverteilt und unabhängig, so gilt
2
X + Y ∼ N (µX + µY , σX
+ σY2 )
Verallgemeinerung: Sind Xi ∼ N (µi , σi2 ) unabhängig, so ist jede Linearkombination Y = a1 X1 +
. . . + an Xn normalverteilt mit
Y ∼ N (a1 µ1 + . . . + an µn , a21 σ12 + . . . + a2n σn2 )
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3–33
Der zentrale Grenzwertsatz
Zufallsvariable X (diskret oder stetig)
Beispiele: X =”Geschlecht einer zufällig ausgewählten
Person” (0/1 falls weiblich/männlich); X =”Einkommen
einer zufällig ausgewählten Person”,
Einfache Zufallsstichprobe des Umfangs n (bzw. nmalige unabhängige Wiederholung des Zufallsexperiments):
• Folge X1 , . . . , Xn von Zufallsvariablen, die jeweils
eine einzelne Ziehung (Wiederholung) beschreiben
• Alle Xi haben die gleiche Verteilung wie X und
X1 , . . . , Xn sind voneinander unabhängig,
µ = E(X) = E(Xi ),
σ 2 = Var(X) = Var(Xi )
X1 , . . . , Xn - unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen (mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 )
Statistik_II@finasto
3–34
Man betrachte nun den Mittelwert:
n
∑
1
• X̄ = n
Xi (Zufallsvariable!!)
i=1
• x̄ =
1
n
n
∑
xi tatsächlich beobachteter (realisierter)
i=1
numerischer Wert (z.B. x̄ = 0, 0456)
Zentraler Grenwertsatz
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilte
Zufallsvariablen mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 .
Dann gilt
(
)
X̄ − µ
√ ≤ z → Φ(z) für n → ∞
P
σ/ n
Mit anderen Worten: Für großes n gilt approximativ
(
)
2
σ
X̄ ∼ N µ,
n
Folgerung für Summen von Zufallsvariablen:
n groß, so gilt approximativ
n
∑
Xi ∼ N (nµ, nσ 2 )
i=1
Anmerkung: Die asymptotische Normalität von X̄ gilt
unabhängig von der Struktur der Verteilung der Xi (diese
Verteilung ist natürlich für alle Stichprobenumfänge n die
gleiche (z:B. Exponentialverteilung, Bernoulli, etc.)
Statistik_II@finasto
3–35
Beispiel:
N = 7 Kugeln: 10, 11, 11, 12, 12, 12, 16
X: „Zahl auf einer zufällig gezogenen Kugel“
x
10
11
12
16
f (x)
1/7
2/7
3/7
1/7
µ = E(X) = 12,
σ 2 = Var(X) = 22/7 = 3.143
Einfache Zufallsstichprobe (n = 2): Unabhängig
und identisch verteilte Zufallsvariablen X1 und X2
X1 : „Zahl auf der 1. gezogenen Kugel“
X2 : „Zahl auf der 2. gezogenen Kugel“
Mögliche Realisationen:
2.Kugel
1.Kugel
10
11
11
12
12
12
16
10
(10;10)
10;11
10;11
10;12
10;12
10;12
10;16
11
11;10
(11;11)
11;11
11;12
11;12
11;12
11;16
11
11;10
11;11
(11;11)
11;12
11;12
11;12
11;16
12
12;10
12;11
12;11
(12;12)
12;12
12;12
12;16
12
12;10
12;11
12;11
12;12
(12;12)
12;12
12;16
12
12;10
12;11
12;11
12;12
12;12
(12;12)
12;16
16
16;10
16;11
16;11
16;12
16;12
16;12
(16;16)
Statistik_II@finasto
3–36
Mögliche Stichprobenmittelwerte x̄
2. Kugel
1. Kugel
10
11
11
12
12
12
16
10
(10)
10,5
10,5
11
11
11
13
11
10,5
(11)
11
11,5
11,5
11,5
13,5
11
10,5
11
(11)
11,5
11,5
11,5
13,5
12
11
11,5
11,5
(12)
12
12
14
12
11
11,5
11,5
12
(12)
12
14
12
11
11,5
11,5
12
12
(12)
14
16
13
13,5
13,5
14
14
14
(16)
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X̄
x
10
10.5
11
11.5
12
13
13,5
14
16
f (x)
1
49
4
49
10
49
12
49
9
49
2
49
4
49
6
49
1
49
E(X) = 12 = µ,
Var(X) = 22/14 = σ 2 /2
Für wachsendes n gibt es immer mehr mögliche Werte
von X ⇒ Übergang zu einer quasistetigen Verteilung,
die sich für genügend großes n durch eine Normalverteilung approximieren lässt
(
)
22/7
X̄ ∼ N 12,
n
Statistik_II@finasto
3–37
Verteilungen der Zufallsvariablen Xi
E(X)
E(X)
Zugehörige Verteilungen des Mittelwertes X̄ =
E(X)
E(X)
E(X)
E(X)
E(X)
1
n
∑n
i=1
E(X)
n=2
E(X)
E(X)
E(X)
E(X)
E(X)
E(X)
n=4
E(X)
E(X)
n = 30
Statistik_II@finasto
3–38
Xi
Verhalten von X̄ für n → ∞:
σ
σ
√
√
P [µ − z1−α/2
≤ X̄ ≤ µ + z1−α/2
]≈1−α
n
n
Die Länge 2z1−α/2 √σn dieser zentralen Schwankungsintervalle wird für steigendes n immer kleiner.
n=1600
n=100
α/2
1−α
1−α
α/2
α/2
µ
Beispiel: σ = 1, α = 0, 05 ⇒ z1−α/2 √σn =
α/2
µ
1,96
√
n
n = 100
P [µ − 0, 196 ≤ X̄ ≤ µ + 0, 196] ≈ 0, 95
n = 1600
P [µ − 0, 049 ≤ X̄ ≤ µ + 0, 049] ≈ 0, 95
⇒ Für großes n ist zu erwarten, dass der beobachtete Mittelwert x̄ sehr nahe am Erwartungswert
µ der Zufallsvariablen liegt (Gesetz der großen
Zahlen)
Statistik_II@finasto
3–39
Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes: Approximation der Binomialverteilung
Zentraler Grenzwertsatz
Sei X ∼ B(n, p). Für großes n gilt approximativ
X − np
Z=√
∼ N (0, 1)
np(1 − p)
bzw.
X ∼ N (np, np(1 − p))
Faustregeln: np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5
Anwendung (mit Stetigkeitskorrektur):
(
)
x − 0, 5 − np
P [X < x] ≈ Φ √
np(1 − p)
)
(
x + 0, 5 − np
P [X ≤ x] ≈ Φ √
np(1 − p)
⇒ P [x1 ≤ X ≤ x2 ]
)
)
(
(
x2 + 0, 5 − np
x1 − 0, 5 − np
√
√
≈Φ
−Φ
np(1 − p)
np(1 − p)
Statistik_II@finasto
3–40
3.5
Spezielle Verteilungsmodelle
χ2 -Verteilung
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige und identisch
N (0, 1)-verteilte Zufallsvariablen. Dann heißt die
Verteilung von
χ2 = X12 + · · · + Xn2
Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden,
kurz χ2 ∼ χ2 (n).
Es gilt:
E(χ2 ) = n,
Var(χ2 ) = 2n
Dichten der χ2-Verteilung
0.5
n=2
0.4
0.3
0.2
n=5
0.1
n=10
0.0
0
Statistik_II@finasto
5
10
15
20
3–41
• Die Dichten der χ2 -Verteilung sind linkssteil, nähern sich jedoch für große n der Gauß-Kurve an
(zentraler Grenzwertsatz)
• n > 30: χ2 (n) ≈ N (n, 2n)
• Wichtige Quantile der χ2 (n)-Verteilung sind tabelliert. Für n > 30 benutzt man eine Normalverteilungsapproximation
χ2p;n
√
1
= (zp + 2n − 1)2
2
Anwendungsbereich: Verfahren der inferentiellen
Statistik (Anpassungstests, Tests im Zusammenhang
mit Varianzen); spezielle Lebensdauermodelle
Statistik_II@finasto
3–42
t-Verteilung, Student-Verteilung
Seien X ∼ N (0, 1) und Y ∼ χ2n unabhängig. Dann
heißt die Verteilung von
X
√
T =
Y /n
t-Verteilung mit n Freiheitsgraden, kurz T ∼ t(n).
Es gilt:
E(T ) = 0, (n > 1),
n
, (n > 2)
Var(T ) = n−2
Dichten der Student-Verteilung
0.4
n=10
0.3
0.2
0.1
n=1
0.0
-4
Statistik_II@finasto
-2
0
2
4
3–43
• Die Dichten der t-Verteilung sind symmetrisch um
0. Im Vergleich zu ϕ besitzen sie für kleine n größere Enden, d.h. die Flächen unter den Dichtekurven für kleine und große Werte x sind größer.
• n groß (n > 30): t(n) ≈ N (0, 1)
• Wichtige Quantile der t(n)-Verteilung sind tabelliert. Für n > 30 benutzt man eine Normalverteilungsapproximation
tp;n ≈ zp
Anwendungsbereich: Verfahren der inferentiellen Statistik (Tests im Zusammenhang mit Mittelwerten); robuste
Statistik (Modellierung von Daten mit einem hohen Anteil
extremer Werte)
Statistik_II@finasto
3–44
Fisher-Verteilung
Seien X ∼ χ2 (m) und Y ∼ χ2 (n) unabhängig. Dann
heißt die Verteilung von
X/m
F =
Y /n
Fisher- oder F -Verteilung mit den Freiheitsgraden m und n, kurz F ∼ F (m, n).
n
Es gilt: E(F ) = n−2
(für n > 2)
Anwendungsbereich: Quantile der F -verteilung (tabelliert) werden bei Testverfahren in der Regressions- und
Varianzanalyse benötigt
Dichten der F-Verteilung
F(50,50)
1.2
F(2,10)
0.8
F(10,3)
0.4
0.0
0
Statistik_II@finasto
1
2
3
4
3–45