Vertiefungs-Aufgaben zu Trigonometrie
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Hochschule Esslingen Gaukel/Mohr Vorkurs, Aufgaben SS 2015 Vertiefungs-Aufgaben zu Trigonometrie Aufgabe 1 - : Rechnen Sie die folgenden Winkel vom Gradmaÿ ins Bogenmaÿ um (nicht mit dem Taschenrechner, ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ das Symbol π soll bei der Angabe auftauchen!): 0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ; 120 ; 135 ; 150 ; 180 , ebenso die entsprechenden negativen Winkel. Veranschaulichen Sie das Ergebnis an einer Skizze. Aufgabe 2 - Bogenmaÿ : Ein Hobby-Landschaftsgärtner plant eine Grillstelle. Die Grillstelle in der Mitte (weiÿ) hat den Durchmesser 1m. Anschlieÿend kommt ein Rasenstück (hellgrün) und auÿen eine Hecke (dunkelgrün) mit 40cm Dicke. Insgesamt hat die Anlage einen Durchmesser von 10m. Die Büsche für die Hecke sind im Abstand von 50cm zueinander zu panzen. Wieviele Quadratmeter Rasenäche entsteht und wieviele Busch- Panzen sind zu kaufen? Aufgabe 3 - : Bestimmen Sie die Werte ohne Taschenrechner (a) sin(π/3), sin(2π/3), sin(3π/2), sin(−π/4) (b) cos(π/4), cos(2π/3), cos(3π/2), cos(−π/4) (c) tan(π/6), tan(−2π/3) Aufgabe 4 - : (a) Bestimmen Sie jeweils ohne Taschenrechner den Winkel ten: √ sin(α) = −1/2, sin(α) = − 3/2 α ∈ [−π/2, π/2] α ∈ [0, π] (b) Bestimmen Sie jeweils ohne Taschenrechner den Winkel √ cos(α) = 1/2, cos(α) = − 3/2 Aufgabe 5 - zu den folgenden Werten: : und b die Seite c und und Hypothenuse c die Seite b und (a) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheden die Winkel α und β, wobei α und β, wobei a a = 5, b = 2. (b) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathede die Winkel zu den folgenden Wer- a a = 12, c = 24. (c) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathede ◦ Winkel β , wobei a = 2, α = 32 a und Winkel α die Seiten b und c den Vorkurs, Aufgaben Aufgabe 6 - Vertiefungs-Aufgaben Trigonometrie 2 : Um eine Erbse wird eine Schnur gelegt, sodass diese um deren Äquator läuft. Nun wird diese Schnur um einen Meter verlängert und als Kreis so um die Erbse gelegt, dass die Mittelpunkte gleich sind. Das gleiche Spiel wird mit der Erde gemacht: Schnur drum, Schnur um einen Meter verlängern, Schnur wieder um die Erde legen. Erste Frage bevor Sie rechnen: Bei welchem Gebilde ist der Abstand zwischen Schnur und Erbse/Erde wohl gröÿer? Zweite Frage: Rechnen Sie die beiden Abstände aus und vergleichen Sie. Aufgabe 7 Zwei Läufer - Bogenmaÿ : A und B starten gleichzeitig mit der Geschwindigkeit 400m pro Minute vom gleichen 900m. A läuft auf den Kreismittelpunkt zu, B läuft dem Kreisbogen B nach einer Minute voneinander entfernt? Tipp: Überlegen Sie Läufer B auf dem Kreis abläuft (im Bogenmaÿ!). Punkt eines Kreises mit Radius entlang. Wie weit sind A und zunächst, welchen Winkel der Aufgabe 8 - Geometrie im Dreieck : (a) Wie lang ist der Schatten eines senkrecht auf einer Ebene stehenden Stabs der Länge h = 2m, ◦ wenn die Sonnenstrahlen auf der Erde mit einem Winkel von α = 37.5 gegenüber dem Erdboden aufschlagen? (b) Eine Feuerwehrleiter der Länge 22m ist im Winkel bendet sich auf der Höhe Aufgabe 9 1.80m 65◦ aufgestellt. Das Drehgelenk der Leiter auf Auf welcher Höhe berührt die Leiter das Hochhaus? - Geometrie im Dreieck : Bei beiden Teilaufgaben ist eine Skizze ganz am Anfang unerlässlich. Diese Skizze sollte die Situation veranschaulichen, sie braucht nicht maÿstabsgetreu sein! (a) Ein Straÿenstück ohne Kurven der Länge L = 320m steigt unter α = 7.5◦ an. Wie lang wäre das Straÿenstück auf einer Karte mit dem Maÿstag 1:25000 wenn es keine Steigung hätte? Wie lang ist es (bei Berücksichtigung der Steigung) auf einer solchen Karte? Welche Steigung in % hat die Straÿe? (b) Ein Straÿenstück ohne Kurven der Länge L = 600m hat ein Gefälle von 12%. Wie lang ist es auf einer Karte mit dem Maÿstab 1:50000? Wie lange wäre es auf der Karte, wenn die Straÿe keine Steigung hätte? Unter welchem Winkel fällt die Straÿe gegen die Horizontale (in Grad)? Aufgabe 10 - : (a) Konstanz und Bregenz liegen beide am Bodensee und sind ca. 45km voneinander entfernt. Trotzdem sieht man selbst bei klarstem Wetter nicht vom Bregenzer Ufer bis nach Konstanz. Wie hoch müsste der Kirchturm in Konstanz sein, damit man ihn vom Ufer in Bregenz sehen könnte? Rechnen Sie zuerst mit einer geeigneten Dreiecksnäherung und dann mit der exakten 45km-Entfernung entlang der Erdkrümmung. (b) Steht man mit den Fuÿsohlen im Wasser, so besitzt man eine gewisse Augenhöhe. Überlegen Sie sich, wie sich die Ergebnisse hierdurch ändern. Wie hoch muss der Konstanzer Kirchturm bei einer Augenhöhe von 1.75m noch sein? Hochschule Esslingen Gaukel/Mohr SS 2015 Vorkurs, Aufgaben Aufgabe 11 Vertiefungs-Aufgaben Trigonometrie 3 - Geometrie im Dreieck : Bei beiden Teilaufgaben ist eine Skizze ganz am Anfang unerlässlich. Diese Skizze sollte die Situation veranschaulichen, sie braucht nicht maÿstabsgetreu sein! (a) In einer Ebene steht ein Turm. Eine Straÿe führt in gerader Linie vom Dorf Hausen zum Turm. 3.2km bis Hausen α = 22.51◦ . Auÿerdem 3.3km bis Hausen sind Von der Plattform des Turmes aus sieht man ein Hinweis-Schild, dass es noch sind und zwar unter dem Tiefenwinkel (= Winkel gegen die Horizontale) sieht man von der Plattform des Turms ein Hinweis-Schild, dass es noch β = 39.14◦ . In welcher Höhe bendet sich die Plattform und und zwar unter dem Tiefenwinkel wie weit ist der Turm von Hausen entfernt? (b) Um die Höhe eines Turmes zu bestimmen, der auf einem Hügel steht, misst jemand die in der ◦ ◦ ◦ Skizze eingezeichneten Winkel α = 21 , β = 47 , γ = 26 und die Strecke a = 40m. Wie hoch ist der Turm und wie hoch der Hügel? t h γ Hochschule Esslingen β α Gaukel/Mohr SS 2015
