Vertiefungs-Aufgaben zu Trigonometrie

Hochschule Esslingen
Gaukel/Mohr
Vorkurs, Aufgaben
SS 2015
Vertiefungs-Aufgaben zu Trigonometrie
Aufgabe 1
-
:
Rechnen Sie die folgenden Winkel vom Gradmaÿ ins Bogenmaÿ um (nicht mit dem Taschenrechner,
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
das Symbol π soll bei der Angabe auftauchen!): 0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ; 120 ; 135 ; 150 ; 180 , ebenso die
entsprechenden negativen Winkel. Veranschaulichen Sie das Ergebnis an einer Skizze.
Lösung V1:
0◦ =0;
b 30◦ =π/6;
b
45◦ =π/4;
b
60◦ =π/3;
b
90◦ =π/2;
b
120◦ =2π/3;
b
135◦ =3π/4;
b
150◦ =5π/6;
b
180◦ =π
b
Aufgabe 2
- Bogenmaÿ :
Ein Hobby-Landschaftsgärtner plant eine Grillstelle. Die Grillstelle in
der Mitte (weiÿ) hat den Durchmesser 1m. Anschlieÿend kommt ein
Rasenstück (hellgrün) und auÿen eine Hecke (dunkelgrün) mit 40cm
Dicke. Insgesamt hat die Anlage einen Durchmesser von 10m.
Die Büsche für die Hecke sind im Abstand von 50cm zueinander zu
panzen.
Wieviele
Quadratmeter
Rasenäche
entsteht
und
wieviele
Busch-
Panzen sind zu kaufen?
Lösung V2:
F = π · (4.62 − 0.52 ) = 65.69m2
Rasen. Wenn man die Panzen mittig (also im Abstand von 4.80m
zum Mittelpunkt panzt, dann braucht man 60.3 Büsche. Sagen wir mal, man braucht auch noch
einen Zugang von ca. 1m Breite, dann brauchen wir 58 Büsche.
Aufgabe 3
-
:
Bestimmen Sie die Werte ohne Taschenrechner
(a)
sin(π/3), sin(2π/3), sin(3π/2), sin(−π/4)
(b)
cos(π/4), cos(2π/3), cos(3π/2), cos(−π/4)
(c)
tan(π/6), tan(−2π/3)
Lösung V3:
√
√
3/2, 3/2, −1, − 2/2
√
√
2/2, −1/2, 0, 2/2
√
√
1/ 3, − 3
√
(a)
(b)
(c)
Aufgabe 4
-
:
(a) Bestimmen Sie jeweils ohne Taschenrechner den Winkel
ten:
√
sin(α) = −1/2, sin(α) = − 3/2
α ∈ [−π/2, π/2]
(b) Bestimmen Sie jeweils ohne Taschenrechner den Winkel
√
cos(α) = 1/2, cos(α) = − 3/2
α ∈ [0, π]
zu den folgenden Wer-
zu den folgenden Werten:
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Lösung V4:
(a)
α = −π/6, α = −π/3
(b)
α = π/3, α = 5π/6
Aufgabe 5
-
:
und
b
die Seite
c
und
und Hypothenuse
c
die Seite
b
und
(a) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheden
die Winkel
α
und
β,
a = 5, b = 2.
wobei
(b) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathede
die Winkel
α
und
β,
a
a
a = 12, c = 24.
wobei
(c) Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathede
◦
Winkel β , wobei a = 2, α = 32
a und Winkel α die Seiten b und c den
Lösung V5:
√
29 = 5.4, α = 68.2◦ , β = 21.8◦
(a)
c=
(b)
b = 20.8, α = 30◦ , β = 60◦
(c)
b = 3.2, c = 3.77, β = 58◦
Aufgabe 6
-
:
Um eine Erbse wird eine Schnur gelegt, sodass diese um deren Äquator läuft. Nun wird diese Schnur
um einen Meter verlängert und als Kreis so um die Erbse gelegt, dass die Mittelpunkte gleich sind. Das
gleiche Spiel wird mit der Erde gemacht: Schnur drum, Schnur um einen Meter verlängern, Schnur
wieder um die Erde legen. Erste Frage bevor Sie rechnen: Bei welchem Gebilde ist der Abstand
zwischen Schnur und Erbse/Erde wohl gröÿer? Zweite Frage: Rechnen Sie die beiden Abstände aus
und vergleichen Sie.
Lösung V6:
Erstaunlicherweise sind beide Abstände gleich, nämlich beidemale
Aufgabe 7
∆=
1
2π
≈ 16cm
- Bogenmaÿ :
400m pro Minute vom gleichen
900m. A läuft auf den Kreismittelpunkt zu, B läuft dem Kreisbogen
entlang. Wie weit sind A und B nach einer Minute voneinander entfernt? Tipp: Überlegen Sie
zunächst, welchen Winkel der Läufer B auf dem Kreis abläuft (im Bogenmaÿ!).
Zwei Läufer
A
und
B
starten gleichzeitig mit der Geschwindigkeit
Punkt eines Kreises mit Radius
Lösung V7:
(0|0) mit Radius 900. Vor Start beide bei (900|0). Läufer A nach einer
B bei 900 · (cos(α)| sin(α)) = (812.5647|386.9607). Abstand zwischen
497.4287m.
Läufer beide auf Kreis um
Minute bei
(500|0),
Läufer
diesen beiden Punkten ist
Aufgabe 8
- Geometrie im Dreieck :
(a) Wie lang ist der Schatten eines senkrecht auf einer Ebene stehenden Stabs der Länge h = 2m,
◦
wenn die Sonnenstrahlen auf der Erde mit einem Winkel von α = 37.5 gegenüber dem Erdboden
aufschlagen?
(b) Eine Feuerwehrleiter der Länge 22m ist im Winkel
bendet sich auf der Höhe
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1.80m
65◦
aufgestellt. Das Drehgelenk der Leiter
auf Auf welcher Höhe berührt die Leiter das Hochhaus?
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Lösung V8:
(a)
2.6065m
(b)
21.74m
Aufgabe 9
- Geometrie im Dreieck :
Bei beiden Teilaufgaben ist eine Skizze ganz am Anfang unerlässlich. Diese Skizze sollte die Situation
veranschaulichen, sie braucht nicht maÿstabsgetreu sein!
(a) Ein Straÿenstück ohne Kurven der Länge
L = 320m steigt unter α = 7.5◦
an. Wie lang wäre das
Straÿenstück auf einer Karte mit dem Maÿstag 1:25000 wenn es keine Steigung hätte? Wie lang
ist es (bei Berücksichtigung der Steigung) auf einer solchen Karte? Welche Steigung in % hat die
Straÿe?
(b) Ein Straÿenstück ohne Kurven der Länge
L = 600m hat ein Gefälle von 12%. Wie lang ist es auf
einer Karte mit dem Maÿstab 1:50000? Wie lange wäre es auf der Karte, wenn die Straÿe keine
Steigung hätte? Unter welchem Winkel fällt die Straÿe gegen die Horizontale (in Grad)?
Lösung V9:
(a) keine Steigung, dann wäre es
1.28cm
lang, Berücksichtigung der Steigung ergibt
1.2690cm.
Stei-
gung ist 13.17%
(b) keine Steigung, dann wäre es
1.2cm
ergibt auf der Karte eine Länge von
Aufgabe 10
-
lang. Steigung ist
6.8428◦ .
Berücksichtigung der Steigung
1.19cm.
:
(a) Konstanz und Bregenz liegen beide am Bodensee und sind ca. 45km voneinander entfernt. Trotzdem sieht man selbst bei klarstem Wetter nicht vom Bregenzer Ufer bis nach Konstanz. Wie hoch
müsste der Kirchturm in Konstanz sein, damit man ihn vom Ufer in Bregenz sehen könnte? Rechnen Sie zuerst mit einer geeigneten Dreiecksnäherung und dann mit der exakten 45km-Entfernung
entlang der Erdkrümmung.
(b) Steht man mit den Fuÿsohlen im Wasser, so besitzt man eine gewisse Augenhöhe. Überlegen Sie
sich, wie sich die Ergebnisse hierdurch ändern.
Wie hoch muss der Konstanzer Kirchturm bei einer Augenhöhe von 1.75m noch sein?
Lösung V10:
(a) Die Formel für die Kirchturmhöhe
lautet mit
r=
40000
;
2π
h(x) =
r
h
[in Meter] in Abhängigkeit der Entfernung
πx
cos( 20000
)
− r · 1000;
Einsetzen von
x = 45
liefert
x [in Kilometer]
h = 159.05, d.h.
der Kirchturm müsste 159m hoch sein.
x = 4.72km.
Man
einzusetzen, es ergibt sich
h =
(b) Durch Ausprobieren erhält man als Sichtweite bei 1.75m die Entfernung
bekommt also 4.72km geschenkt und deshalb ist
127.43m.
x = 40.28
Der Kirchturm braucht also nur noch 127.43m hoch sein.
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Aufgabe 11
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- Geometrie im Dreieck :
Bei beiden Teilaufgaben ist eine Skizze ganz am Anfang unerlässlich. Diese Skizze sollte die Situation
veranschaulichen, sie braucht nicht maÿstabsgetreu sein!
(a) In einer Ebene steht ein Turm. Eine Straÿe führt in gerader Linie vom Dorf Hausen zum Turm.
3.2km bis Hausen
α = 22.51◦ . Auÿerdem
3.3km bis Hausen sind
Von der Plattform des Turmes aus sieht man ein Hinweis-Schild, dass es noch
sind und zwar unter dem Tiefenwinkel (= Winkel gegen die Horizontale)
sieht man von der Plattform des Turms ein Hinweis-Schild, dass es noch
β = 39.14◦ . In welcher Höhe bendet sich die Plattform und
und zwar unter dem Tiefenwinkel
wie weit ist der Turm von Hausen entfernt?
(b) Um die Höhe eines Turmes zu bestimmen, der auf einem Hügel steht, misst jemand die in der
◦
◦
◦
Skizze eingezeichneten Winkel α = 21 , β = 47 , γ = 26 und die Strecke a = 40m. Wie hoch ist
der Turm und wie hoch der Hügel?
t
h
γ
β
α
Lösung V11:
(a) Turm ist
84.4398m
hoch und ist
(b) Turm ist
22.9754m
hoch und Hügel ist
Hochschule Esslingen
3403.7550m
von Hausen entfernt
12.8095m
hoch.
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