Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl
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fwg Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl M 5.1 Die Zahlen nennt man natürliche Zahlen: Nimmt man auch die hinzu, schreibt man: Zahlenstrahl 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer ist sie. fwg Dezimalsystem M 5.2 Große Zahlen kann man mit Hilfe der Stellenwerttafel leichter lesen: … … Billionen Milliarden HBio ZBio Bio 2 3 5 Millionen HMrd ZMrd Mrd HMio ZMio 7 1 0 2 6 Tausender Mio HT ZT T H Z E 6 7 0 0 3 2 2 In Worten: Zweihundertfünfunddreißig Billionen siebenhundertzehn Milliarden zweihundertsechsundsechzig Millionen siebenhunderttausenddreihundertzweiundzwanzig Die Zahlen heißen Stufenzahlen. Mit der Potenzschreibweise kann man sie kürzer schreiben: Runden M 5.3 fwg Beim Runden einer Zahl auf eine bestimmte Stelle betrachtet man die rechts von dieser Stelle stehende Ziffer: Ist diese Ziffer eine oder , so wird abgerundet. Ist diese Ziffer eine oder , so wird aufgerundet. Man verwendet das Zeichen „ “ („ist ungefähr gleich“). Runden auf Zehner Runden auf Hunderter Runden auf Tausender M 5.4 fwg Fachbegriffe für die Rechenarten Beispiel Name des Terms Summe Die erste Zahl heißt Die zweite Zahl heißt Summand Summand Subtrahend Rechenart Addition Differenz Minuend Produkt Faktor Quotient Dividend Divisor Division Potenz Basis Exponent Potenzieren Faktor Subtraktion Multiplikation fwg Ganze Zahlen und Zahlengerade M 5.5 Die natürlichen Zahlen zusammen mit ihren Gegenzahlen und der Null nennt man ganze Zahlen: Zahlengerade 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 negative Zahlen 𝟎 𝟏 𝟐 Nullpunkt 𝟑 𝟒 positive Zahlen Den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt nennt man Betrag der Zahl: | | Gegenzahlen | | | | | | | | Koordinatensystem M 5.6 Ein Koordinatensystem besteht aus einer waagrechten Zahlengeraden: -Achse und einer senkechten Zahlengeraden: -Achse Der Schnittpunkt der Achsen heißt Ursprung. Jeder Punkt im Koordinatensystem lässt sich durch ein Zahlenpaar beschreiben: | „vom Ursprung waagrecht“ „dann senkrecht“ -Koordinate -Koordinate | | | | fwg M 5.7 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Addition bei gleichen Vorzeichen Addiere die Beträge Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen Addition bei unterschiedlichen Vorzeichen Subtrahiere den kleineren Betrag vom größeren Betrag Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag Auflösen von Klammern fwg Geometrische Grundbegriffe M 5.8 [ Strecke Streckenlänge Halbgerade ̅̅̅̅ [ ] Gerade ist parallel zu ist senkrecht zu Abstand eines Punktes von einer Geraden ] ̅̅̅̅ fwg fwg Geometrische Grundfiguren M 5.9 Ebene Figuren Quadrat Kreis Rechteck Drachenviereck Dreieck Parallelogramm Raute Trapez M 5.10 fwg Geometrische Grundkörper Würfel Quader Sechs gleiche quadratische Seiten Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich Prisma Gleiche eckige Grund- und Deckfläche Zylinder Gleiche kreisförmige Grund- und Deckfläche Pyramide Eckige Grundfläche und eine Spitze Kegel Kreisförmige Grundfläche und eine Spitze Kugel Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt Umfang M 5.11 Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie. Viereck Rechteck Quadrat fwg fwg Winkel M 5.12 Dreht sich eine Halbgerade gegen den Uhrzeigersinn um ihren Anfangspunkt , so entsteht ein Winkel. Arten von Winkel Spitzer Winkel Rechter Winkel Stumpfer Winkel Gestreckter Winkel Überstumpfer Winkel M 5.13 Achsensymmetrie fwg Kann man eine Figur entlang einer Geraden so falten, dass die beiden Hälften genau aufeinander liegen, so nennt man sie achsensymmetrisch. Die Faltgerade heißt Symmetrieachse. Die Verbindungsstrecke von zwei symmetrischen Punkten und steht senkrecht auf der Achse und wird von dieser halbiert. Symmetrieachse Punkt Spiegelung mit dem Geodreieck Bildpunkt M 5.14 Rechnen mit und fwg M 5.15 fwg Potenzieren Für Produkte mit gleichen Faktoren gibt es eine Kurzschreibweise: Die Potenzschreibweise Exponent 𝟔 Faktoren Zehnerpotenzen Quadratzahlen Basis M 5.16 Primfaktorzerlegung Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als , die nur durch teilbar ist. Jede natürliche Zahl ist entweder eine Primzahl oder lässt sich in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen. Diese eindeutige Zerlegung heißt Primfaktorzerlegung. fwg und sich selbst Baumdiagramme M 5.17 fwg Situationen, bei denen man mehrere Dinge auswählen und miteinander kombinieren muss, kann man mit einem Baumdiagramm darstellen. Die Anzahl der Baumenden entspricht der Anzahl an Möglichkeiten. Herr Huber hat für den Strandurlaub drei Hemden und zwei Shorts dabei. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat er? Es gibt Möglichkeiten. M 5.18 1. 2. Multiplikation und Division ganzer Zahlen fwg Multipliziere (Dividiere) die Beträge. Sind die Vorzeichen gleich, gib dem Ergebnis ein Plus. Sind die Vorzeichen verschieden, gib dem Ergebnis ein Minus. Multiplikation Division Rechengesetze M 5.19 Kommutativgesetz Vertauschungsgesetz oder Assoziativgesetz Verbindungsgesetz oder Distributivgesetz Verteilungsgesetz oder Rechenvorteile fwg Vorrangregeln M 5.20 Klammern Bei reinen Punkt- oder Strichrechnungen: Von links nach rechts rechnen vor Potenzen vor Punktrechnungen Und was noch nicht zum Rechnen dran, das schreibe unverändert an! vor Strichrechnungen [ ] fwg [ ] [ ] Größen M 5.21 ; Rechnen mit Größen: fwg M 5.22 Ein Maßstab von wie auf dem Plan ist. Maßstab: fwg Maßstab bedeutet, dass in Wirklichkeit alles Länge in Wirklichkeit Länge auf der Karte: Maßstab: Länge auf der Karte Länge in Wirklichkeit: Länge in Wirklichkeit: Länge auf der Karte: -mal so lang Maßstab M 5.23 Flächeneinheiten fwg Die Größe der eingeschlossenen Fläche einer Figur nennt man Flächeninhalt . 𝐋ä𝐧𝐠𝐞 𝐋ä𝐧𝐠𝐞 Flächeneinheiten und ihre Umrechnung ; 𝐅𝐥ä𝐜𝐡𝐞 𝑨 M 5.24 Flächeninhalt des Rechtecks Rechteck fwg Quadrat Den Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren berechnet man, indem man sie in Rechtecke zerlegt oder zu Rechtecken ergänzt. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß wie der des Rechtecks. M 5.25 Tabellen und Diagramme Diagramme und Tabellen geben eine bessere Übersicht über Daten. fwg
