Die Zufallsvariable

Die Zufallsvariable
Bei diskreten
Zufallsvariablen
Die Parameter
(Kennzahlen) einer
Zufallsvariablen:
1. Erwartungswert
2. Varianz
n
E(x) = ∑ x i if (x) = μ
i =1
+∞
Bei stetigen
Zufallsvariablen
Bei diskreten
Zufallsvariablen
∫ x if (x) = μ
E(x) =
−∞
V ar(X ) = V (X ) =
n
(x − μ
∑
i =1
) 2 if ( x ) = σ 2
Bei stetigen
Zufallsvariablen
Var(X) = V(X) = ∫ (x − μ ) if (x) = σ2
Formeln Varianz
für TR umgeformt
(diskret)
V(x) = ∑ x 2 if (x) − μ 2 = σ 2
Formeln Varianz
für TR umgeformt
(stetig)
+∞
2
−∞
n
i =1
+∞
V(x) =
∫x
2
if (x)dx − μ 2 = σ 2
−∞
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Für beliebige
Zufallsvariablen
gilt:
E(aX) = a i E(X)
V(aX) = a 2 iV(X)
Das Rechnen mit
Zufallsvariablen
E(X i Y) = E(X)i E(Y)
Für stochastisch
unabhängige
Zufallsvariablen
gilt:
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
σ(X + Y) = σ2 (X) + σ2 (Y)
Für die Summe
n
Z = ∑ X i von n
Das n − Gesetz
i =1
unabhängigen
Zufallsvariablen
mit denselben
Parametern gilt:
μ z = n iμ und σz = n iσ
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Philipp Eschmann GM04C
Die Binominalverteilung
Voraussetzungen
Binominalverteilung:
Parameter:
1. Diskrete
Zufallsvariable
2. Dichotomer
Ereignisraum (on-off)
3. Wahrscheinlichkeit
Θ ist bekannt
4. Entnahme mit
zurücklegen
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
⎛n⎞
f B (x; Θ; n) = W(X = x) = ⎜ ⎟iΘ x i(1 − Θ) n − x
⎝x⎠
Verteilfunktion:
⎛n⎞ v
n −v
∑
⎜ ⎟iΘ i(1 − Θ)
v =0 ⎝ v ⎠
x
Bn,Θ
n und Θ
Kurzschreibweisen:
oder B(n,Θ) resp. Bn,p oder B(n, p)
Erwartungswert:
μ = E(X) = n iΘ = n ip
Bei einer B(n, Θ) verteilten Zufallsvariablen gilt:
Varianz:
σ = V(X) = n iΘi(1 − Θ) = n ipi(1 − p)
2
Standardabweichung:
σ = V(X) = n iΘi(1 − Θ) = n ipi(1 − p)
Das Hypothesetestverfahren
Formulierung der
Hypothese:
-Hypothese H1
(Vermutung)
Testverfahren:
Signifikanztest
-Nullhypothese H0
(Testannahme)
α = Signifikantsniveau (Wahrscheinlichkeit,
H 0 irrtümlicherweise abzulehnen)
1 − α = Vertrauenswahrscheinlichkeit
Prinzip des indirekten Beweises: Man nimmt an, dass H0
zutreffe. Sollte der Test diese Annahme falsifizieren, so wird H0
abgelehnt und H1 angenommen
Mehr dazu Skript Prof. V.Cho Kapitel 2 Seite 9ff.
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Philipp Eschmann GM04C
Die Hypergeometrische Verteilung
Voraussetzungen
Hypergeometrische
Verteilung:
Parameter:
1. Diskrete
Zufallsvariable
2. Dichotomer
Ereignisraum
(on-off)
3. N ≥ M
4. Ziehen ohne
zurücklegen
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
⎛M⎞ ⎛ N − M⎞
⎜ ⎟•⎜
⎟
X ⎠ ⎝n − x ⎠
⎝
W(X) = f H =
⎛ N⎞
⎜ ⎟
⎝n ⎠
Verteilfunktion:
⎛M⎞ ⎛ N − M⎞
⎟•⎜
⎟
x ⎜
X ⎠ ⎝n − x ⎠
⎝
W(X ≤ x) = FH (X) = ∑
⎛ N⎞
k =0
⎜ ⎟
⎝n ⎠
Erwartungswert:
M
μ = E(X) = n i
N
N,M und n
Bei einer
Hypergeometrisch
verteilten
Zufallsvariablen gilt:
Varianz:
σ 2 = V(X) = n i
M ⎛ M⎞ ⎛ N−n ⎞
i⎜ 1 − ⎟i⎜
⎟
N ⎝
N ⎠ ⎝ N −1 ⎠
Approximation der hypergeometrischen Verteilung:
n
≤ 0.5 , dann kann mit der Binominalverteilung gearbeitet
N
werden.
Wenn
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Philipp Eschmann GM04C
Die Poissonverteilung
Voraussetzungen für
Poissonverteilung:
Parameter:
μ
1. Diskrete Zufallsvariable
2. Dichotomer
Ereignisraum (on-off)
3. Unendliche Menge G
4. nicht möglich
anzugeben wie oft das
untersuchte Ereignis
nicht eingetreten ist
5. Seltenes Ereignis
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
μx
W(X = x) = f p (x) = ie−μ
x!
Verteilfunktion:
x
x
μ k −μ
μk
−μ
Fp (X) = ∑ ie = e i∑
k = 0 k!
k = 0 k!
Tabelliert in Büchlein
Kobelt/Steinhausen
Charakteristik der Poissonverteilung: (nach Lüthi)
→∞
1. n ⎯⎯
2. Seltenes Ereignis
3. a.)Approximation mit Binominalverteilung wenn n>10 und
Θ <0.05
b.) Standardfall: μ ist gegeben, hingegen muss n und
Θ gesucht werden
Achtung: Approximation mit Binominalverteilung hat eigene Formel (wurde
nicht besprochen im Unterricht):
λ x −λ
• e mit λ = np als Wahrscheinlichkeitsfunktion
x!
x
λ x −λ
W(X ≤ x) = Fp (x, λ) = ∑ • e mit λ = np als Verteilfunktion
v = 0 x!
W(X = x) = f p (x, λ ) =
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Philipp Eschmann GM04C
Die Normalverteilung
Parameter:
σ resp. σ 2 und μ
Bezieht sich auf stetige
Zufallsvariablen, d.h. die
Wahrscheinlichkeit, dass
genau 1 Wert eintritt kann
nicht gesagt werden, resp.
=0!
Funktion der
Normalverteilung
f N (x; μ; σ 2 ) =
1
σ • 2π
ie
1 ⎛ ( x −μ ) ⎞
− ⎜⎜
⎟
2 ⎝ σ ⎟⎠
2
Tabellen um Wahrscheinlichkeiten abzulesen finden wir im
Büchlein von Kobelt/Steinhausen, Tab. 10! -> zuerst jedoch
transformieren in Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung
Umbenennung von x -> z
in
Standardnormalverteilung
Funktion der
Standardnormalverteilung
1
− z2
1
ie 2
f n (z;0;1) =
2π
Verteilfunktion
z
Spezielle
Normalverteilung
mit
μ = 0 und σ = 1
Fn (z; 0;1) =
∫ f (z)dz
−∞
Transformation von
Normalverteilung auf
Standardnormalverteilung
z1 =
a −μ
b−μ
und z 2 =
σ
σ
Allgemein: Z =
X −μ
σ
Ablesen in Tabellen 10c, 10d ff. oder über Statistik Programm in TR eingeben.
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Philipp Eschmann GM04C
Approximation diskreter Verteilungen durch die
Normalverteilung
Faustregel: Für σ 2 > 9 (σ > 3)
kann eine
binominalverteilte
Zufallsvariable X als
angenähert normalverteilt
behandelt werden.
Grenzwertsatz von
Moivre/Laplace:
Die Stetigkeitskorrektur
Vorgehen:
1. Prüfen ob Approximation überhaupt
möglich
2. Binominalformel von vorne nehmen
z1 =
a − np
b − np
oder z 2 =
np(1 − p)
np(1 − p)
a -> a-0.5
b -> b+0.5
Approximation der Poissonverteilung durch die
Normalverteilung
Faustregel:
Hinreichende Genauigkeit
für:
λ≥9
Für grosse Werte von λ
nähert sich die
Poissonverteilung P( λ )
der Normalverteilung
N( μ; σ 2 ) an mit :
μ = λ und σ2 = λ
(σ = λ )
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Philipp Eschmann GM04C
Wenn Normalverteilung angewandt wird:
Stetigkeitskorrektur
berücksichtigen
Entscheidungsdiagramm Übersicht
Die
Zufallsvariable
Diskrete Werte
Stetige Werte
Ziehen mit
zurücklegen
Binominalverteilung
Ziehen ohne
zurücklegen
Poissonverteilung
Hypergeometrische
Verteilung
Normalverte
ilung
Standardnor
malverteilung
Achtung!: Approximationen der Binominal- und
Poissonverteilung durch Standardnormalverteilung
möglich. Auch Poisson kann durch Binominal
approximiert werden.
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Philipp Eschmann GM04C