1 p −→ ∏ 1 1 - F. Schneider

Matthias-Claudius-Gymnasium Hamburg
Jugend forscht 2016 - Mathematik
Zahlentheoretische Untersuchung und
Analyse von polyabundanten Zahlen


∞
ω
X
Y
Y 1
1

k+1<
−→
1 = ∞
j
1
−
p
j=0 pi
i=1
p prim
Fabian Schneider (13.05.1998)
[email protected]
Abstrakt
Hinter Zahlen steckt viel mehr als man denkt, weshalb diverse Aspekte untersucht werden können!
Die echte Teilersumme σ ∗ (n), die die Summe aller Teiler einer Zahl ohne der Zahl selbst angibt, ist
eine der Eigenschaften von Zahlen. So besitzt z.B. 8 die echte Teilersumme 1+2+4 = 7. Wird nun die
Teilersumme mit der Zahl verglichen, kann festgestellt werden, dass manche Teilersummen kleiner,
manche größer und manche gleich groß sind wie die Zahl. Falls die Teilersumme größer ist, wird von
einer abundanten Zahl gesprochen, für die somit σ ∗ (n) > n gilt. Doch es existieren auch Zahlen, bei
denen die Teilersumme k-fach größer ist, also σ ∗ (n) > k · n gilt. Solche Zahlen sollen polyabundante
Zahlen genannt werden! Polyabundante Zahlen werden mit steigendem k sehr selten, jedoch umso
interessanter! Aufgrund dessen wurden diese Zahlen im Rahmen der Ausarbeitung analysiert und
hinsichtlich verschiedener zahlentheoretischer Aspekte untersucht - dabei konnten an viele Stellen
interessante Ergebnisse erzielt werden!
. die Gleichung des Deckblattes beschreibt den wichtigen Ansatz im Beweis 3 (siehe Seite 4)
Vorwort und Danksagung
Zahlentheorie wird leider nicht in der Schule unterrichtet, dennoch ist sie vor allem eines: schön!
Viele Mathematiker vertreten die Ansicht, dass Zahlentheorie das schönste Fachgebiet der Mathematik sei, und es werden auch heute noch erstaunliche Erkenntnisse gewonnen (siehe [6]). Ich haben
versucht dies während der Überlegungen, Feststellungen und Beweise deutlich zu machen und meine
Begeisterung für dieses sehr interessante Gebiet einzubringen. Um diese Abhandlung anfertigen zu
können, war neben zahlentheoretischen Kenntnissen auch eines wichtig: viele Daten! Daher möchte
ich mich besonders bei Markus Flatken vom Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) in
Braunschweig in der Abteilung Simulation and Software Technology bedanken, welcher meine Programme, die viele Zahlen hinsichtlich diverser Aspekte analysiert haben, auf dem Cluster-Computer
vor Ort für mehrere Tage laufen lies, sodass ich mit mehreren Gigabytes an Daten die Suche und Auswertung von polyabundanten Zahlen erst richtig beginnen konnte. Ebenso ist an dieser Stelle Carsten
König vom Max-Planck Institut für Radioastronomie in Bonn zu danken, der ebenfalls die Suche
durch die Computer vor Ort beschleunigte, meine empirischen Auswertungen ebenfalls verbessert hat
und durch die Daten erste Impulse zu zahlentheoretischen Überlegungen liefern konnte.
- Fabian Schneider
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Definition und Werte
3
Anmerkung: Folgende Tabelle gibt Auskunft über
einige verwendeten Symbole und deren Bedeutung,
wobei sich an bestimmten Stellen die Bedeutung
aufgrund des Kontextes ändern kann. In diesem
Fall ist immer die lokale Bedeutung vorzuziehen.
3 Grundlegende zahlentheoretische Untersuchungen
4
3.1 Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . .
4
3.2 Minimalwerteproblem . . . . . . . .
5
3.3 Ungerade Zahlen . . . . . . . . . . .
6
3.4 Kombinationseigenschaften . . . . .
7
3.4.1 Multiplikation und Division .
7
3.4.2 Addition und Subtraktion . .
7
4 Das analytische Verhalten
4.1 Direktes Verhalten . . . . . . .
4.2 Verhalten des Abstands . . . .
4.2.1 Allgemeiner Ansatz . .
4.2.2 Ungerader Abstand . .
4.2.3 Größenbeschränkungen
4.2.4 Wachstum des Abstands
4.2.5 Abstandverteilung . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Weiterführende
zahlentheoretische
Untersuchungen
5.1 Bestimmung von einer untereren
Schranke N 0 . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Übersicht . . . . . . . . . . .
5.1.2 Vorüberlegungen . . . . . . .
5.1.3 Zusammenführung . . . . . .
5.2 Bestimmung von höherstufigen polyabundanten Zahlen . . . . . . . . . .
5.3 Polyabundante Fakultäten . . . . . .
5.4 Zählfunktion . . . . . . . . . . . . .
5.5 Reihe der Reziproke . . . . . . . . .
5.6 Die Darstellung als Summe von Potenzzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
Zeichen
N, Z
π, e
exp(x)
n, m, a, b
pi
σ(n), σ ∗ (n)
τ (n)
d, di
i, j, x, y, u
lim sup f (x)
8
8
9
9
10
10
11
12
x→∞
k, k(n)
p, q, pn
αi , β
ω
Z(p)
λ, λi
λ∗ , λ∗i
12
12
12
13
14
∆λ
δλi
ζ(s)
γ0 , γ1 , γ2 , β
N0
14
16
16
16
bxc, dxe
π(x)
∼
∝
ε,ξ
17
6 Schlussbemerkung
17
Literaturverzeichnis
18
Bedeutung
Menge der natürlichen bzw. ganzen Zahlen
zahlentheoretische Konstanten
Exponentialfunktion, ex
natürliche Zahlen
i-te Primzahl
unechte, echte Teilersumme
unechte Teileranzahl
i-te Teiler einer Zahl
Laufindices
Limes superior von f (x)
X(n)
Fi
S(n)
2
Stufe, Verhältnis zwischen Teilersumme und Zahl, σ(n)/n − 1
verschiedene Primzahlen
Exponenten von Primzahlen bei
der Primfaktorzerlegung
Anzahl verschiedener PrimfaktorenP
einer Zahl
∞
:= i=0 p1i
i-te polyabundante Zahl
i-ter Ausgangswert von polyabundanten Zahlen
Abstand zwischen λ
Abweichungsfunktion
Riemannsche ζ-Funktion
Konstanten
untere Schranke für erste polyabundante Zahl
floor- bzw. ceil-Funktion
Primzahlzählfunktion nach dem
Primzahlsatz
asymptotisch gleich
proportional zu
für λ∗ zu entfernende bzw. hinzuzufügende Komponente
Anzahl polyabund. Zahlen ≤ x
i-teP
Fibonacci-Zahl
∞
:= i=1 αi · pi , siehe Seite 12
1
Einleitung
sowie andere zahlentheoretische Eigenschaften gezeigt, das Verhalten in Bezug auf Verteilung und
Wird eine Zahl n ∈ N betrachtet, dann besitzt diese Abstand untersucht und weitere Aspekte einbezodiverse Eigenschaften. Eine davon ist die Teilersum- gen werden. Da der Umfang dieser Ausarbeitung geme σ(n) aller unechten Teiler von n. Sei di der i-te sprengt würde, werden einige Aspekte nur begrenzt
Teiler von n und habe n genau τ Teiler, wobei ent- angesprochen und diverse Verweise verwendet. Die
sprechend d = {1, d2 , ..., dτ −1 , n}, dann ist
ungekürzte Version besitzt 70 Seiten und ist unter
σ(n) =
τ
X
di =
i=1
X
d.
https://goo.gl/XpsJvt
(1)
d|n
zu finden. Unter dem Verweis [4] zu
Ein Aspekte der Zahlentheorie ist der Vergleich
zwischen n und σ(n), sodass drei Fälle auftreten
können, welche wie folgt benannt werden (vgl. [2]):
https://goo.gl/XZTaIu
befindet sich eine erstellte Datei mit relevanten Bildern. Noch wichtiger befindet sich unter dem Verweis [5] zu
• σ(n) < 2n, so ist n defizient,
• σ(n) = 2n, so ist n vollkommen,
• σ(n) > 2n, so ist n abundant.
https://goo.gl/MkLMXi
Es muss ein Vergleich mit 2n stattfinden, da immer
σ(n) > n, denn n ist ebenfalls ein Teiler von n. Es
gibt am meisten defiziente Zahlen und am seltensten vollkommene Zahlen. Beispiele dafür sind
eine Datei mit diversen Beweisen (z.B. von Lemmata), die hier nicht ausgeführt werden konnten,
jedoch von mir erbracht wurden. Zwar sind die zeitlichen Möglichkeiten der Juroren im Bundeswettbewerb eingeschränkter, dennoch empfehle ich sehr,
insbesondere bei Unklarheiten, einen Blick in die
Verweise zu werfen. Ich wünsche damit viel Freude beim Lesen der hier erbrachten Zahlentheorie,
einem der schönsten Gebiet der Mathematik.
• defizient: 2, 3, 4, 5, 7, 8,
• vollkommen: 6, 28, 496, 8128, 33550336,
• abundant: 12, 18, 20, 24, 30, 40.
Es gibt unendlich viele abundante Zahlen und
lim supn→∞ σ(n) = ∞ (vgl. [2]). Es muss an dieser
Stelle mit Limes superior gearbeitet werden, da die
Teilersumme (wie noch deutlich werden wird) direkt
mit der Primfaktorzerlegung zusammenhängt. Da
die Mathematik bis heute nicht das Verhalten von
Primzahlen verstanden hat, erscheint die Primfaktorzerlegung keinem klaren Muster zu folgen und
die Teilersummenfunktion weist keinen klaren geschlossenen Verlauf auf (siehe Abb. 1 in [4]). In dieser Ausarbeitung soll das Verhältnis k zwischen n
und σ(n) betrachtet werden, sodass die verallgemeinerten Gleichungen
(k + 1) · n < σ(n)
2
Definition und Werte
Eine Zahl ist k-fach abundant, wenn
(k + 1) · n < σ(n),
k≥1
(5)
gilt. Für alle abundanten Zahlen hält die Bedingung
also für k = 1. Es soll nun eine Liste der ersten 2fach und 3-fach abundanten Zahlen mit weiteren
Informationen gegeben werden, da diese Übersicht
für uns später noch relevant wird und bereits jetzt
zur näheren Betrachtung einlädt (unter [5] befindet
(2)
sich eine erweiterte Liste).
bzw.
Erste 2-fach abundanten Zahlen:
σ(n)
−1
k<
n
(3)
n
180
240
360
420
480
untersucht werden sollen. Bei (2) ist die Teilersumme also k-mal so groß wie die Zahl, und wir sagen
n ist k-fach abundant und sprechen allgemein von
polyabundanten Zahlen der Stufe k. Die erste 2fach abundante Zahl ist 180 mit σ(180) = 546 =
6 + 3 · 180 und die erste 3-fach abundante Zahl ist
27720 mit σ(27720) = 112320 = 1440 + 4 · 27720.
Es sollen nun viele verschiedene Aspekte betrachtet
werden. Die Unendlichkeit soll untersucht werden
und insbesondere gezeigt werden, dass
σ(n)
− 1 = ∞,
(4)
lim sup
n
n→∞
σ ∗ (n)
366
504
810
924
1032
σ(n)/n − 1
2,033
2,100
2,250
2,200
2,150
Primfaktorzerlegung
22 · 32 · 5
24 · 3 · 5
23 · 32 · 5
22 · 3 · 5 · 7
25 · 3 · 5
Erste 3-fach abundanten Zahlen:
n
27720
50400
55440
60480
65520
3
σ ∗ (n)
84600
152712
176688
183360
205296
σ(n)/n − 1
3,052
3,031
3,188
3,031
3,134
Primfaktorzerleg.
23 · 32 · 5 · 7 · 11
25 · 32 · 52 · 7
4
2 · 32 · 5 · 7 · 11
26 · 33 · 5 · 7
4
2 · 32 · 5 · 7 · 13
3
3.1
Grundlegende zahlentheoretische Untersuchungen
Da es unendlich viele Primzahlen gibt und daher
p −→ ∞, muss entsprechend 1/p −→ 0, sodass
bei der Wahl einer ’unendlich’ großen Primzahl die
Bedingung erfüllt ist und die Behauptung bewiesen
wäre.
Unendlichkeit
Zunächst stellt sich die Frage, ob es unendlich viele
polyabundante Zahlen gibt. Diese Frage muss je- Aus diesem Ergebnis folgt übrigens, dass allgemein
jede abundante Zahl multipliziert mit einer oder
doch aufgeteilt werden in die zwei Unterfragen:
mehreren Primzahlen wieder eine abundante Zahl
• Gibt es unendlich viele genau k-fach abundan- ergibt, wobei diese neue Zahl mindestens das urte Zahlen?
sprüngliche Verhältnis erfüllt. Dies ist jedoch noch
kein Beweis dafür, dass die Stufe auch unendlich
• Gibt es Zahlen mit beliebig großem k?
weiter gesteigert werden kann, da z.B. das Erhöhen
Die erste Frage bezieht sich auf den Typen (z.B. ob vom Exponenten von p nicht zwingend den k Wert
es unendlich viele 2-fach abundante Zahlen gibt) bis zur nächsten ganzen Zahl steigert und wir durch
und die zweite auf das k selbst (also ob es z.B. diese Methode zunächst nur sicher neue abundante
auch 850-fach abundante Zahlen gibt). Besonders Zahlen dieser Stufe erzeugen. So ist z.B.
die zweite Frage ist nicht leicht zu beantworten.
Zunächst soll die erste Frage betrachtet werden,
wobei diese auch folgendes impliziert: Wenn jemals
eine k-fach abundante Zahl gefunden wird, dann
gibt es auch unendlich viele weitere polyabundante
Zahlen von dieser k-ten Stufe.
kn =
σ(n · pα )
σ(n)
−1
−1<
n
n · pα
σ(n) σ(pα )
=
−1
·
n
pα
α
σ(n) X 1
=
·
− 1.
n
pi
i=0
(12)
(13)
(14)
Lemma 1.1: Es ist σ(a · b) = σ(a) · σ(b) bei
(siehe dazu auch Lemma 3.1). Um einen möglichst
ggT(a, b) = 1 (vgl. [2] und B1 in [5]).
großen Summenwert zu erhalten, muss p = 2 gesetzt und α unendlich groß werden. Da für α −→ ∞
Behauptung 1: Sollte eine einzige k-fach abundie Summe konvergiert (siehe auch (29)), kann also
dante Zahl existieren, dann existieren auch unendaufgrund von
lich viele weitere k-fach abunante Zahlen.
kn < 2 · kn − 1
(15)
Beweis 1: Für die k-fach abundante Zahl n soll die Stufe nicht beliebig gesteigert werden und schon
entsprechend (k + 1) · n < σ(n) gelten und erfüllt gar nicht unendlich groß werden. Dass trotzdem polyabundante Zahlen beliebiger Stufe existieren soll
daher das exakte Verhältnis kn :
nun gezeigt werden.
σ(n)
− 1. (6)
(kn + 1) · n = σ(n) =⇒ kn =
σ(n)
n
Behauptung 2: Es gilt lim sup
− 1 = ∞.
n
n→∞
Wir erzeugen nun eine Zahl m = n · p, wobei
ggT (n, p) = 1 sei. Da wir ggT (n, p) = 1 bestimmt Beweis 2: Die Zahl n soll nun lediglich aus den
ersten ω Primzahlen pi bestehen, die nur einfach
haben, ergibt sich mit Lemma 1.1
mit dem Exponenten αi = 1 in n vorkommen, also
σ(n · p)
σ(n) σ(p)
ω
Y
km :=
−1=
·
− 1.
(7)
n·p
n
p
pi .
(16)
n := p1 · p2 · ... · pω =
i=1
Da σ(p)/p > 1, ist km > kn , sodass die ursprüngliche Stufe etwas größer wurde. Die Behauptung wäre bewiesen, falls für jedes n ein p gefunden
werden kann, sodass km = kn gilt und sich somit die
Stufe nicht verändert hat, trotz eines neuen Primfaktors. Da offensichtlich σ(p) = 1 + p, müsste mit
dieser Bedingung
σ(n)
σ(n · p)
−1=
−1
n·p
n
σ(n) σ(p)
σ(n)
·
=
n
p
n
σ(p)
=1
p
1
1 + = 1.
p
Entnehmen wir den Ausdruck aus der Behauptung,
dann ergibt sich der Anspruch für das hier gewählt
n, dass
σ(n)
−→ ∞ mit ω −→ ∞.
n
Daraus ergibt sich mit Lemma 1.1
ω ω
ω
Q
Q
Q
σ
pi
σ(pi )
(1 + pi ) Y
ω (8)
1
i=1
i=1
i=1
= Q
=
=
1+
.
ω
ω
ω
Q
Q
pi
i=1
pi
pi
pi
(9)
i=1
i=1
i=1
(17)
(10) Es ist offensichtlich, dass
X
ω ω
Y
1
1
1+
>
.
(11)
p
p
i
i=1
j=1 j
4
(18)
Auch ist allgemein bekannt (siehe [1]), dass
X 1
= ∞,
p
stimmen, haben wir mit Lemma 3.2
Z(p) =
(19)
p prim
α
X
1
1
1
1
= 1 + + 2 + ... + α , (21)
x
p
p
p
p
x=0
pα+1 − 1
, (22)
p−1
α+1
p − p1α
1
p
−1
·
=
, (23)
Z(p) =
pα
p−1
p−1
−1
p
1
1
=
=
,
(24)
= 1−
p−1
p
1 − p1
pα · Z(p) =1 + p + p2 + ... + pα =
wobei es sich dabei um die subharmonische Primzahlreihe handelt. Da also die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, divergiert auch der
Quotient σ(n)/n für unser n und die Behauptung
ist bewiesen.
Es wurde theoretisch eine direkte Methode zur
Bestimmung einer k-fach P
abundanten Zahl gelieω
1
fert, nämlich dann, wenn
i=1 pi > k + 1 wird.
Dies hilft jedoch sehr wenig, da die Reihe sehr
langsam divergiert (z.B. überschreitet die Reihe
erst bei ω = 362000 Primzahlen den Wert 3; die
Zahl selbst wäre entsprechend deutlich größer als
362000!, obwohl bereits bei 180 die erste 2-fach
abundante Zahl liegt, da Exponenten α 6= 1 nicht
berücksichtigt werden), nur schlechte Approximationen vorhanden sind und man sogar bei einer
numerischen Computerberechnung, wegen des langsamen Anstiegs, nicht weit kommt.
womit die schöne Behauptung bewiesen wurde.
Behauptung 3: Bei einer polyabundanten Zahl
muss immer ω ≥ 3.
Beweis 3: Es kann leicht gezeigt werden, dass
ω > 1, denn sonst könnte
(k + 1)pα < σ(pα ),
(25)
woraus sich mit σ(pα ) = 1 + p + p2 + ... + pα
(k + 1)pα <
α
X
pj =⇒ k + 1 <
j=0
α
1 X j
p
pα j=0
Dennoch ist dies einer der wichtigsten und erstaunlichsten Beweise die angeführt werden. Somit wird ergibt. Somit müsste mit Lemma 3.1
es auch Zahlen geben, bei denen die Teilersumme
α
X
1
z.B. 1.000.000-mal so groß ist wie die Zahl selbst!
k+1<
j
p
j=0
3.2
(26)
(27)
gelten. Es ist bekannt, dass
Minimalwerteproblem
∞
X
1
= 2.
2i
i=0
(28)
Die erste 2-fach abundante Zahl ist 180 (Primfaktorzerlegung: 2 · 2 · 3 · 3 · 5) und die erste 3fach abundante Zahl 27720 (Primfaktorzerlegung: Da aber k > 1 und (28) bei p > 2 nur kleiner werden
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11). Trotz einer Suche bis mehr als würde, ist (27) niemals wahr. Ähnlich und allgemei70 Millionen, konnte numerisch keine 4-fach abun- ner kann bei ω = 2 verfahren werden. Dabei müsste
dante Zahl gefunden werden (obwohl es natürlich
eine geben wird und wir später auf anderen Wegen
(k + 1)pα q β < σ(pα q β )
(29)
eine, wenn auch nicht die erste, erzeugen werden).
β
α
X X
Dennoch entstehen beim Betrachten der ersten bei(k + 1)pα q β <
pi
qj
(30)
den Zahlen und der umfangreicheren Tabellen eine
i=0
j=0
weitere Frage: Wie hoch ist die Minimalanzahl von
β
α
X
1 X 1
verschiedenen Primfaktoren?
k+1<
.
(31)
pj j=0 q j
i=0
a
a
P 1
1 P j
b =
(vgl. [5]).
Lemma 3.1: Es ist a
j
b j=0
Es soll nun definiert werden, dass für eine beliebige
j=0 b
xn+1 − 1 Primzahl p
2
n
∞
Lemma 3.2: Es gilt 1+x+x +...+x =
X
1
x−1
Z(p)
:=
(32)
für x > 1 (vgl. [8]).
x
p
x=0
gilt. Damit (31) wahr ist, müsste also vereinfacht
Lemma 3.3: Es gilt
α
X
p
1
1
Z(p) :=
=
=
1.
x
p
p
−
1
1
−
p
x=0
k + 1 < Z(p) · Z(q),
(20)
(33)
bzw. nun allgemein für ω verschiedene Primzahlen
k + 1 < Z(p1 ) · Z(p2 ) · ... · Z(pω ) =
Beweis von Lemma 3.3: Wenn wir α −→ ∞ be-
ω
Y
i=1
5
Z(pi ). (34)
1
= 2, konvergiert jedes
2i
Z(p). Durch die Überlegungen in Lemma 3.3 konnte
p
auch der schöne Grenzwert p−1
klar bestimmt werden. Einige dieser Werte sind in folgender Tabelle
enthalten, wobei offensichtlich ist, dass Z(p) −→ 1
mit p −→ ∞.
Da Z(p) ≤ Z(2) =
P∞
auf diese Erkenntnisse später aufgebaut wird. Die
Werte machen deutlich, wie selten polyabundante
Zahlen von nur etwas höherer Stufe sind, wobei sie
diese Eigenschaft ebenso interessant macht!
i=0
3.3
Beim Betrachtet der verschiedenen polyabundanten Zahlen fällt auf, dass keine ungeraden Zahlen zu
finden sind. Dies führt zu der offensichtlichen Fragestellung: Gibt es ungerade polyabundante Zahlen?
Z(pi ) für einige pi :
i
1
2
3
4
5
6
7
pi
2
3
5
7
11
13
17
Z(pi )
2
3/2
5/4
7/6
11/10
13/12
17/16
Ungerade Zahlen
Z(pi )
2
1, 5
1, 25
1, 166
1, 1
1, 0833
1, 0625
Behauptung 4: Es gibt polyabundante Zahlen
ohne den Primfaktor 2 (ungerade).
Beweis 4: Damit die Aussage wahr ist, müsste das
Produkt (34) mindestens den Wert 3 überschreiten,
wobei jedoch Z(2) nicht enthalten sein darf, also
Auf Abb. 3 in [4] sind diese Werte graphisch darω
Q
gestellt. Das größte mögliche Produkt von nur zwei
Z(pi ) Y
ω
Werten wäre Z(2)·Z(3) = 2·1, 5 = 3. Da jedoch für
i=1
=
Z(pi ).
(35)
2+1<
eine polyabundanten Zahl k > 2 gilt, kann aus zwei
Z(2)
i=2
Zahlen keine polyabundante Zahl gebildet werden,
denn 2 + 1 ≯ 3. Erst das Produkt von drei Werten Da sich die einzelnen Werte Z(p ) immer weiter
i
ist größer als 3, denn 2 · 1, 5 · 1, 25 = 3, 75, womit 1 nähern, könnte eine Konvergenz von Qω Z(p )
i
i=1
die Behauptung bewiesen wäre.
vermutet werden - dies ist jedoch falsch! Das Produkt divergiert tatsächlich und lässt sich an folgen3-fach polyabundante Zahlen treten entsprechend der Überlegung zeigen:
bei einer Multiplikation der ersten vier Werte und
∞
∞
Y
Y
Y
somit vier verschiedenen Primzahlen auf, denn
1
1
Z(pi ) =
2 · 1, 5 · 1, 25 · 7/6 = 4, 375. Dies bedeutet jedoch
1 =
1 = ζ(1) (36)
1
−
1
−
pi
p
i=1
i=1
p prim
nicht gleich, dass nur entsprechend viele Primzahlen in der ersten polyabundanten Zahl einer StuDabei handelt es sich um die Eulersche ζ-Funktion,
fe enthalten sein können (z.B. sind in 27720 fünf
die durch
Y
verschiedene Primzahlen enthalten). Eine 4-fach
1
ζ(s) =
(37)
abundante Zahl benötigt übrigens mindestens 6,
1 − p1s
p prim
die erste 5-fach abundante Zahl 9 und die erste 6fach abundante Zahl 14 verschiedene Primfaktoren definiert ist (vgl. B3 in [5]) und ζ(1) −→ ∞ bekannt
(welche dann mit einem bestimmen Exponenten ist, womit die Divergenz gezeigt ist. Auch wurde in
vorkommen). In folgender Tabelle ist eine weitere Beweis 2 gezeigt, dass k beliebig groß wird und somit ein ω gefunden werden kann, sodass die GleiÜbersicht zu finden.
chung (34) für beliebige k wahr ist. Daraus folgt
Kleinstes ω für k-fach abundante Zahlen:
ebenfalls zwingend, dass
k-fach
kleinstes ω
kleinstes n
∞
Y
2
3
30
Z(pi ) = ∞.
(38)
3
4
210
i=1
4
6
30.030
Sollte also, wie bei (35), ein einzelner oder mehre5
9
≈ 223 · 106
17
re bestimmte Werte fehlen, divergiert das Produkt
6
14
> 10
31
trotzdem und wird jeden Wert überschreiten, wo7
22
> 10
58
mit die Aussage bewiesen wurde.
8
35
> 10
104
9
55
> 10
Somit dauert es deutlich länger, bis man auf ei10
89
> 10191
339
ne ungerade polyabundante Zahl stößt, denn der
11
142
> 10
größte Faktor Z(2) = 2 ist nicht enthalten. So
Dies hilft jedoch nur teilweise den Suchbereich für müssen in einer nur ungeraden 2-fach abundanten
z.B. die erste 4-fach abundante Zahlen einzugren- Zahl mindestens acht verschiedene Primfaktoren
zen, da die verschiedenen Primfaktoren beliebig oft enthalten sein, sodass diese Zahl nicht kleiner als
auftreten können und somit auch eine Zahl mit 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 9.699.690 sein könnte.
z.B. nur sechs verschiedenen Primfaktoren unend- Dazu soll folgende Tabelle angeführt werden.
lich groß werden kann. Dennoch konnte bereits
eine erste untere Schranke gegeben werden, sodass Kleinstes ω für ungerade k-fach abundante Zahlen:
6
k-fach
2
3
4
5
6
kleinstes ω
8
21
54
141
372
kleinstes n
≈ 107
> 1029
> 10101
> 10336
> 101074
(9): Unter der Voraussetzung, dass λε ∈ N, würden
einige Primfaktoren von λ wegfallen. Ob durch das
Fehlen der Primfaktoren die Zahl stets oder nicht
länger polyabundant ist, oder ob nur das k etwas
verringert wurde, kommt somit immer auf den Einzellfall an.
Daraus lässt sich übrigens weiterführend schließen,
dass es auch beliebig gigantische k-fach abundante
Zahlen gibt, ohne das eine einzige der ersten 100 3.4.2 Addition und Subtraktion
Primzahlen enthalten ist. Diese Erkenntnis ist sehr Es soll nun λ < λ < ... < λ zusätzlich
1
2
x
interessant und ebenfalls beeindruckend.
implizieren, dass jedes folgende λi die gesamte
Primfaktorzerlegung der vorigen enthält und somit
3.4 Kombinationseigenschaften
ggT (λi , λi+1 ) = λi gilt. δ sei eine polyabundante
Zahl ohne einen einzigen Primfaktor aus λi und soEs sollen nun die Grundrechenarten auf polymit ggT (λi , δ) = 1. Es ergeben sich folgende Zuabundanten Zahlen untersucht werden und wie
sammenhänge:
sich die Eigenschaften von polyabundanten Zahlen
verändern bzw. sich Aussagen diesbezüglich machen
(1) λ + λ = 2 · λ −→ polyabundant
lassen. Diese Erkenntnisse sind besonders für weiPε
(2)
λ = ε · λ −→ polyabundant
tere Überlegungen von Bedeutung. Es soll zunächst
die Multiplikation und Division betrachtet werden,
(3) λ ± ε −→ unklar
da bereits einige Aspekte erwähnt wurden.
Pε
λ)
(4) k(λ) ≤ k(
3.4.1 Multiplikation und Division
(5) λ ± δ −→ unklar
λ sei eine polyabundante Zahl. k(λ) gibt die Stufe
(6) λ1 + λ2 , λ2 − λ1 −→ polyabundant
der k-fach abundanten Zahl an. Es sei ε ∈ N und
sollten λ1 , λ2 , ..., λx vorkommen, dann sei k(λ1 ) <
(7) k(λ1 ) ≤ k(λ1 + λ2 ) , k(λ1 ) ≤ k(λ2 − λ1 )
k(λ2 ) < ... < k(λx ). Es ergeben sich folgende teilweise ersichtliche Zusammenhänge:
Beweise 6.1 - 6.7:
(1) λ · λ = λ2 −→ polyabundant
(1) und (2): Dies folgt direkt aus Beweis 5.3.
α
(2) λ −→ polyabundant
(5) k(λ) ≤ k(λ · ε)
(3) und (5): Bei (5) steht es fest und bei (3) kann
es sein, dass ggT (λ, ε) = 1, wodurch über die Primfaktorzerlegung der erzeugten Zahl nur bekannt ist,
welche Primzahlen nicht enthalten sind, was jedoch
keine Aussagen über σ oder k zulässt.
(6) λ1 · λ2 · ... · λx −→ polyabundant
(4): Dies folgt direkt aus Beweis 5.5.
(3) λ · ε −→ polyabundant
(4) k(λ) ≤ k(λα )
(7) k(λ2 ) ≤ k(λ1 · λ2 )
Qx
(8) k(λx ) ≤ k( i=1 λi )
(9)
(6): Aufgrund der anfänglichen Implikation muss
λ2 = λ1 · P2 , wobei P2 die für λ2 noch erforderliche
Primfaktorzerlegung sei, dann folgt daraus
λ
−→ unklar
ε
λ1 + λ2 = λ1 + λ1 · P2 = λ1 · (P2 + 1) = λ1 · c, (39)
Beweise 5.1 - 5.9:
bzw.
(1), (2), (3) und (6): Da, wie in Beweis 1 gezeigt,
λ2 − λ1 = λ1 · P2 − λ1 = (P2 − 1) · λ1 = λ1 · c, (40)
eine Zahl bei einer Multiplikation nur zusätzliche
Primfaktoren gewinnen kann und sich die Stufe nur wobei c := P2 ± 1, sodass wegen Beweis 5.3 der
erhöhen wird, bleibt die entstandene Zahl poly- Zusammenhang bewiesen wäre.
abundant.
(7): Es ist nur bekannt, dass die Zahl ein min(4), (5), (7) und (8): Da sich sowohl das ω erhöhen, destens so großes k wie λ1 haben muss, da, mit
als auch die einzelnen Exponenten größer werden c := P2 ± 1, wegen der 1 in c auch ggT (P, c) = 1
können, könnte das k ebenfalls größer werden, wo- möglich ist, kann keine weitere Aussage über σ oder
bei das k mindestens so groß sein muss wie das k gemacht werden, sodass nur kneu ≥ k(λ1 ) sicher
größte k eines Faktors.
ist, womit die Behauptung bestätigt wäre.
7
4
4.1
Das analytische Verhalten
Direktes Verhalten
Ein weiterer interessanter Aspekt ist das Verhalten bzw. der Verlauf der polyabundanten Zahlen, wobei
zunächst die polyabundante Zahl λi in Abhängigkeit vom i aufgetragen sei.
Abbildung 1: Verlauf von λi - grob i ∈ [1, 40]
Abbildung 2: Verlauf von λi - fein i ∈ [1, 2000]
Die Ergebnisse sind in Abb. 1 und in Abb. 2 dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass bei der ersten
Abbildung lediglich 20 polyabundante Zahlen aufgetragen wurden (grob), während zum Erkennen
eines deutlicheren Verlaufs in der zweiten Abbildung 2000 polyabundante Zahlen aufgetragen wurden. Das interessante beim Verstehen des Verlaufs
und dem Annähern durch eine Funktion ist, dass
für die Funktion λi ein geschlossener Ausdruck gefunden bzw. angenähert werden könnte und somit
ein Mittel bereitgestellt wird, um direkt die i-te polyabundante Zahl zu bestimmen. Betrachtet man
Abbildung 1 wird jedoch sofort klar, dass, wie bei
allen zahlentheoretischen Aspekten und Funktionen, tatsächlich nur eine Näherung gefunden werden kann, denn der Verlauf weist kein stetiges Verhalten auf. Dennoch kann auf lange Sicht eine Tendenz festgestellt werden. Die Werte folgen auf den
ersten Blick einem linearen Verlauf, sodass eine
Annäherung durch λi = ∆λ · i + λ0 in Erwägung
gezogen werden soll, wobei für die konstante Steigung ∆λ und λ0 bekanntlich
∆λ =
λ i1
λ i2 − λ i1
und λ0 =
i2 − i1
∆λ · i1
(41)
gilt, mit den gegebenen Werten λi1 und λi2 , mit
möglichst i2 i1 . Daher soll (wie bei Abb. 2)
λ1 = 180 und λ2000 = 99.060 gewählt werden, sodass
λi ≈ 49, 4647 · i + 3, 6390.
(42)
In Abb. 4 in [4] ist die Abweichung δλi := (∆λ · i +
λ0 ) − λi dargestellt. Diese Näherung durch eine lineare Funktion weist starke Abweichungen auf und
der Fehler wird vermutlich unendlich groß werden.
Offenbar ist ∆λ nicht konstant und es handelt sich
um keinen linearen Verlauf. Es sind vermutlich zu
wenige Daten gegeben, sodass sich der Verlauf einer Geraden herausbildet. Somit muss verstanden
werden, welche Form von Anstieg vorliegt.
8
4.2
Verhalten des Abstands
Es ist naheliegend den Abstand als Funktion ∆λi = λi+1 − λi zu schreiben und darzustellen.
Abbildung 3: Verlauf des Abstands λi+1 − λi mit i ∈ [1, 1000]
Abbildung 4: Verlauf des durchschn. Abstands ∆z λ(`) mit z = 1000 und ` ∈ [1, 800]
Es ist jedoch offensichtlich und wird durch Abb. 3
deutlich, dass nur eine durchschnittliche Steigung
sinnvoll anzugeben ist. Daher betrachten wir nicht
die einzelnen λi , sondern vergleichen den durchschnittlichen Abstand von z Werten miteinander,
somit also
∆z λ(`) :=
z−1
1 X
·
λj+z·(`−1) − λj+z·(`−1) .
z j=1
4.2.1
Allgemeiner Ansatz
Die Grundlage für die Überlegungen ist die entwickelte Zahlenoszillationstheorie (vgl. T1 in [5]). Diese ist aufgrund von Regel (3) bei Multiplikation und
Division anwendbar. Demnach sind ein Großteil der
polyabundanten Zahlen lediglich Vielfache von vorherigen polyabundanten Zahlen. Es seien also die
vollständigen Werte (alle polyabundanten Zahlen)
(43)
λi und die Ausgangswerte (die keine Vielfachen von
vorherigen polyabundanten Zahlen sind) λ∗i , sodass
Das Resultat für z = 1000 ist in Abbildung 4 enthalλ∗i 6= λj · m, ∀ j, m ∈ N, λj < λ∗i .
(44)
ten, wobei bei i = 800000 entsprechend 800 Werte
erzielt wurden. Die gestrichelte Linie in Abbildung Damit sind also wie bereits bekannt
4 gibt den durchschnittlichen Wert an. Offenbar
λi ∈ {180, 240, 360, 420, 480, 504, 540, ...}, (45)
entstehen große Schwankungen und es ist kein klarer Verlauf erkennbar. Dadurch wird deutlich, dass
die vorhandenen Daten, welche maschinell berech- jedoch nun
net wurden, noch nicht ausreichend sind, um das
λ∗j ∈ {180, 240, 420, 504, 600, 660, 780, 1344,
tatsächliche langfristige Verhalten zu verstehen. So(46)
1584, 1848, 1872, 1890, 2040, 2184,
mit ist es unumgänglich, dieses Problem mathematisch anzugehen!
2280, 2352, 2376, 2760, 2772, 2856, ...}.
9
Es handelt sich somit in Bezug auf die Zahlenoszillationstheorie um die Perioden der Schwingungen,
die vom Ursprung ausgehen.
ggT(λ1 , λu ) = 1. Für den Abstand müsste nach
der Behauptung
∆λ = mu · λu − m1 · λ1
(52)
gelten. Nach dem Lemma von Bêzout somit auch
∆λ = ggT(λ1 , λu ). Da wir ggT(λ1 , λu ) = 1 gesetzt
Da bisher durch maschinelle Suche (siehe (49)) nur haben, wäre somit ∆λ = 1 bestätigt. Da wir nun
gerade Abstände gefunden wurden, ist die Frage auch ∆λ = ggT(λ1 · n, λu · n) = n mit 1 ≤ n ≤ 179
nach ungeraden Abständen offensichtlich zu stellen wegen Behauptung 18 haben, könnte somit jeder
und kann relativ leicht beantwortet werden.
mögliche Abstand beliebig oft auftreten und es
wurde insbesondere gezeigt, dass ∆λ < 4 und poBehauptung 7: Es werden auch ungerade Ab- lyabundante Zahlenzwillinge mit ∆λ = 1 existieren
stände auftreten.
können.
4.2.2
Ungerader Abstand
Beweis 7: Bisher liegen alle polyabundanten Zahlen in der Form λ = 2x vor, jedoch konnte durch
die Überlegungen während der grundlegenden Untersuchungen gezeigt werden, dass auch ungerade
polyabundante Zahlen auftreten werden, also in der
Form λ = 2y −1 mit x, y, z ∈ N. Damit wird irgendwann eine ungerade poylabundante Zahl auf eine
gerade folgen (also x < y), sodass für den Abstand
Lemma 10.1: Neue Ausgangswerte λ∗ entstehen,
indem Primzahlen der vorherigen λ∗ ersetzt werden.
Beweis von Lemma 10.1: Da es sich bei den Ausgangswerten λ∗u um keine Vielfache der vorherigen
polyabundanten Zahlen bzw. Ausgangswerten handelt, darf es kein m ∈ N geben, sodass m · λ∗ = λ∗u
∀ m ∈ N und λ∗ < λ∗u , damit λ∗u ein Ausgangs∆λ = (2y + 1) − (2x) = 2(y − x) + 1
(47) wert ist. Somit könnte durch das Hinzufügen von
∗
∗
= 2z + 1
(48) Primzahlen, also λ · m, keine neuen λ erzeugt
werden. Stattdessen müssen einige der Primzahgilt, womit die Behauptung bewiesen wäre.
len (nämlich ε) aus dem vorherigen Ausgangswert
λ∗u−1 entfernt werden, also λ∗u−1 /ε. Dadurch wäre
4.2.3 Größenbeschränkungen
aber λ∗u < λ∗u−1 , sodass auch einige neue Primzahlen (nämlich ξ) hinzugefügt werden müssen, wobei
In Abbildung 3 wurde die Verteilung der ermittelnatürlich ggT(ε, ξ) = 1, sodass λ∗u > λ∗u−1 gilt und
ten Abstände aufgetragen. Diese hat einige Fragen
λ∗u stets polyabundant ist.
aufgeworfen, da scheinbar keine Abstände über 120
oder unter 4 vorkommen. Tatsächlich treten nur folAlso ist
gende Abstände auf, wodurch weitere Fragen entλ∗
(53)
λ∗u = u−1 · ξ.
standen sind:
ε
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 30,
Lemma 10.2: Der durchschnittliche Abstand der
∗
32, 36, 40, 42, 44, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 66,
(49) Ausgangswerte nimmt mit ∆λu ∝ ln u zu.
68, 70, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 108, 120
Beweis von Lemma 10.2: Nach Lemma 10.1
muss ein gewisser Anteil ε von λ∗u−1 durch einen
neuen Anteil ξ mit ggT(ε, ξ) = 1 ersetzt werden,
Beweis 8: Es ist λ1 = 180 und wegen Regel (3) um λ∗ zu erzeugen. Da λ∗ = 180 = 22 · 32 · 5 bei
u
u
muss λ1 · m, mit m ∈ N ebenfalls polyabunbdant u = 1 und da ω = 3 nicht unterschritten werden
sein. Dementsprechend kann nur ∆λ ≤ 180.
darf, müssen in ξ mit der Zeit auch neue Primzahlen
pn enthalten sein, sodass neue Ausgangswerte λ∗
Damit konnte zudem gezeigt werden, dass jedes erzeugt werden können. Im Mittel gilt asymptotisch
λx durch
(siehe dazu [2] und (67))
λx = λ1 · m + ∆0 ,
(50)
d
pn ∼ ln n.
(54)
mit ∆0 ≤ 180, und einige ∆λx sogar durch
dn
∆λx = λx mod λ1
(51) Demnach muss auch durchschnittlich
Behauptung 8: Es ist ∆λ ≤ λ0 = 180.
∆λ∗ ∝ ln n,
ausgedrückt werden können.
(55)
Lemma von Bêzout: ∀ T1 , T2 ∈ Z ∃ m1 , m2 ∈ Z, wobei sich dies nur langsam abzeichnet.
sodass ggT(T1 , T2 ) = m1 · T1 ± m2 · T2 (siehe [13]).
Die ersten 40 Werte wurden in Abbildung 5 auf der
Behauptung 9: Es könnte 1 ≤ ∆λ ≤ 4, sowie nächsten Seite aufgetragen, wobei jeder Wert∗ den
Mittelwert der nächsten 50 Ausgangswerte λ anjeder mögliche Abstand existieren.
gibt. Der logarithmische Verlauf wird dort bereits
Beweis 9: Aufgrund der Erkenntnisse in Beweis leicht deutlich und der weiterer Anstieg verläuft
3 wird auch eine polyabundante Zahl λu ohne sehr langsam, wodurch die Überlegungen auch gradie Primfaktoren 2, 3 oder 5 existieren, sodass fisch belegt wurden.
10
Abbildung 5: Verlauf des durchschn. Abstands ∆z λ∗ (`) mit z = 50 und ` ∈ [1, 40]
x
Q
Störzahlen entweder um Vielfache von vorhergegangenen polyabundanten Zahlen λy oder um neu
würde der folgende größtmögliche Abstand
= auftretende Ausgangswerte λ∗ handeln könnte.
y
λ∗1 = 180 nicht von Vielfache von λ∗u mit u ≤ x
geschnitten werden.
Der entscheidende Aspekt liefert dabei Lemma 10.3,
wonach alle m · M = m · λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x im Intervall
Beweis von Lemma 10.3: Damit sich die [m · M, m · M + λ∗ ] keine Vielfachen der ersten x
1
Vielfache der beiden Ausgangswerte λ∗1 und λ∗u Ausgangswerte auftreten. Da die Überlegungen in
überschneiden, muss
Beweis 9 ebenfalls implizieren, dass jeder mögliche
Abstand unendlich oft vorkommt, kann dieser Ab∗
∗
m1 · λ1 = mu · λu
(56) stand auftreten, ohne dass Vielfache die Existenz
verhindern.
gelten. Dies trifft offensichtlich bei m1 = λ∗u und
∗
mu = λ1 zu. Damit jedoch die Vielfachen der ersDennoch wird hierbei nicht berücksichtigt, dass
ten x Ausgangswerte in einer polyabundanten Zahl
sich sowohl neue Ausgangswerte in dieser freien
zusammenfallen, müsste
Lücke befinden können, als auch Vielfache von neu
∗
m1 · λ∗1 = m2 · λ∗2 = ... = mx · λ∗x ,
(57) entstandenen Ausgangswerten λy mit y > x. Dies
kann jedoch beides durch Lemma 10.2 in Verbindung mit Lemma 12.1 widerlegt werden, da es somit
was analog für
beliebig große Lücken geben wird, in denen keine
∗
M
λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x
werden, sowohl
= ∗
(58) neuen Ausgangswerte λ entstehen
mi =
λ∗i
λj
im Intervall [m · M, m · M + λ∗1 )], als auch zuvor,
womit die Behauptung bewiesen wäre.
gilt, wobei
Lemma 10.3: Bei M = λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x =
i=1
∆λx
M := λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x =
x
Y
λ∗i
4.2.4
λ∗i
(59)
i=1
Wachstum des Abstands
Behauptung 11: Der durchschnittliche Abstand
von λi nimmt mit i −→ ∞ ab.
entsprechend diese Stelle angibt. Somit treten im
Intervall [M, M + λ∗1 ] keine Vielfache der ersten x Beweis 11: Anhand der Tatsache, dass alle VielfaAusgangswerte auf.
che der Ausgangswerte λ∗ ebenfalls polyabundante
Zahlen sind, wird ersichtlich, dass der durchschnittBehauptung 10: Jeder mögliche Abstand wird liche Abstand immer konstant bleiben würde,
auch auftreten.
würde man nur eine begrenzte Anzahl von λ∗ betrachten. Da es aber unendlich viele λ∗ gibt und
Beweis 10: In Beweis 9 wurde die Möglichkeit damit immer mehr Werte potentielle Vielfache sein
zu jedem beliebigen Abstand gezeigt, dennoch be- können, muss der Abstand insgesamt geringer werstehen zwei Probleme, weshalb sich dadurch nicht den. Dieser Prozess vollzieht sich jedoch äußerst
direkt auch auf die zwingende Existenz schließen langsam und ist mit numerischen Datenerhebungen
lässt. Zum einen könnte es sein, dass z.B. der Ab- nicht zu erkennen.
stand ∆λv = 100 niemals auftritt, da zwischen
m · λ1 und λv andere polyabundante Zahlen lie- Da der Abstand der Ausgangswerte nach Lemma
gen. Dies kann vorkommen, da es sich bei diesen 10.2 zunimmt, muss der durchschnittliche Abstand
11
∆λ immer langsamer abnehmen. Die folgende obere Abbildung zeigt daher des auf sehr langer Sicht
zu erwartende Verhalten des Abstands der poylabundanten Zahlen und die untere Abbildung das zu
erwartende direkte Verhalten.
Dementsprechend treten diese Abstände besonders
häufig auf, da der immer vorhandene Teil ϕ oftmals
eine der obigen Kombination bei dem untersuchten
Zahlenraum ist. Da eine Steigerung der Primfaktorzerlegung möglichst gering ist, gilt
S(λ1 ) < S(λ2 ) < S(λ3 ) < ...,
(60)
wobei
S(n) :=
∞
X
αi · pi = α1 · p1 + α2 · p2 + ...,
(61)
i=1
mit den pi als Primzahlen in n mit den Exponenten αi . Dementsprechend ist bei ϕ · Pi+1 − ϕ · Pi =
ϕ · (Pi+1 − Pi ) = ϕ · ∆ oftmals ∆ = 1 oder ∆ nur etwas größer. Dies erklärt auch, weshalb sich der immer vorhandene Teil ϕ als Abstand ausbildet. Da
∆ auch teilweise etwas größer sein kann, sind die
Abstände in der Tabelle zusätzlich teilweise Vielfache voneinander.
5
Weiterführende zahlentheoretische Untersuchungen
5.1
Bestimmung von einer untereren
Schranke N 0
In den vorherigen Untersuchungen konnte gezeigt
werden, dass zu jeder Stufe k eine erste polyabunAbbildung 6: Zu erwartender Verlauf der polyabun- dante Zahl λ(k) existiert. Auch wurde gezeigt, dass
danten Zahlen auf langer Sicht
die λ beim Erhöhen der Stufe extrem schnell ansteigen. Zwar wurde bereits der allgemeine Verlauf
von λi in Abhängigkeit von i betrachtet, doch ei4.2.5 Abstandverteilung
ne Betrachtung in Abhängigkeit von k fehlt. Dieser
Abbildung 3 macht deutlich, dass offenbar be- sehr interessante Aspekt ist mit einigen Schwierigstimmte Abstände mehrfach auftreten (z.B. 60), keiten behaftet. Ziel soll es sein, eine untere Schranwährend andere seltener vorkommen. Dies sei eben- ke N 0 (k), ab der überhaupt erst λ dieser Stufe gefalls kurz erläutert, da durch einfache logische funden werden können, zu bestimmen. Es muss daÜberlegungen auch diese Erscheinung erklärt wer- her gelten
N 0 (k) ≤ λ(k),
(62)
den kann.
Da die vom Suchprogramm ermittelten ersten polyabundanten Zahlen klein sein müssen, muss entsprechend auch die Primfaktorzerlegung mit kleinen Primzahlen auskommen. Damit diese stets polyabundant sein können, enthalten viele der ersten polyabundanten Zahlen das Produkt bzw. die
Kombination 22 · 3 · 5, sowie 23 · 3 oder 24 · 3 (= ϕ,
siehe unten). Betrachten wir die vorkommenden
Abstände nach Häufigkeit sortiert und deren Primfaktorzerlegung wird einiges deutlich:
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
Abstand
60
24
48
36
12
30
72
PFZ
22 · 3 · 5
23 · 3
24 · 3
22 · 32
23 · 3
2·3·5
23 · 32
wobei es sich bei N 0 entsprechend nicht um eine polyabundante Zahl, sondern um vom Betrag
interessante Schranke handelt. Für diese soll nun
ein möglichst einfacher, gut approximierender und
möglichst geschlossener Ausdruck gefunden werden.
5.1.1
Übersicht
Das Vorgehen hierbei lässt sich grob in drei Teile
einteilen: Die entscheidende Eigenschaft bei N 0 ist
der Minimalwert von ω, was in Beweis 3 herausgefunden wurde. Darum gilt
ω(k)
λ(k) > N 0 (k) >
Y
pi = p1 · p2 · ... · pω(k) .
(63)
i=1
Auf dieser Grundlage muss nun die Funktion ω(k)
angenähert werden und dazu die n-te Primzahl pn .
Dies wird dann auf (63) angewandt. Da jedoch kein
12
Iterationszeichen, sondern ein einfacher, klarer analytischer Ausdruck gefunden werden soll, muss abschließend noch das Produkt angenähert werden.
5.1.2
ergibt sich
pn
ln n
<
pn − 1
ln(n − 1)
pn · ln(n − 1) < pn · ln n − ln n
ln(n − 1)
Vorüberlegungen
pn
< ln n
pn −1
1− p1n
n−1<n
1
1 − logn (n − 1) >
pn
Lemma 12.1: Für den Abstand der Primzahlen
gilt lim sup(pn+1 − pn ) = ∞ (siehe [2]).
n−→∞
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
1
Lemma 12.2: Für die Anzahl der Primzahlen
pn >
.
(74)
1
−
log
π(x) unterhalb von x gilt nach dem Primzahlsatz
n (n − 1)
x
x
π(x) ∼
, wobei zunächst π(x) >
(siehe [2]). Diese Ungleichung stimmt offenbar, da sich bei
ln x
ln x
n = 1, 2, 3, 25 für den rechten Ausdruck 1, ≈ 2, 7,
Behauptung 12: Für die n-te Primzahl pn gilt
≈ 4, 8 oder ≈ 78, 8 ergeben und der Abstand zum
eigentlichen Wert von pn ersichtlich zunimmt.
pn > 2n, n ≥ 5 und pn > n · ln n − n.
Behauptung 13: Für ω(k) gilt
Beweis 12: Die ersten Primzahlen sind:
ln 81
ω(k) > exp
· (k + 1) .
15
n 1 2 3 4 5
6
7
8 ... 25
Beweis 13: Das ω muss einen derartigen Wert bepn 2 3 5 7 11 13 17 19 ... 97
sitzen, sodass Gleichung (34) bei einem bestimmten
k erfüllt wird. Das ω(k) wird umso kleiner, je größer
Da der Abstand zwischen Primzahlen wegen Lem- das Produkt
ma 12.1 nur größer wird und der Abstand weiterhin
p1
p2
p3
pω
·
·
· ... ·
(75)
niemals kleiner als 2 sein kann, abgesehen vom Sonp1 − 1 p2 − 1 p3 − 1
pω − 1
derfall p2 − p1 , gilt pn > 2n ab n = 5. Aus Lemma
12.2 wird für den mittleren Abstand ∆pn ersicht- in (34) bestimmt wird. Aufgrund von Lemma 13.1
könnte daher
lich, dass
ln 1
ln 2
ln 3
ln ω
·
·
· ... ·
(76)
−1
ln(1 − 1) ln(2 − 1) ln(3 − 1)
ln(ω − 1)
dx
d
∆px =
=
π(x)
(64)
dπ(x)
dx
als gute Näherung gesetzt werden. Damit die Werte
−1
−1 mathematisch plausibel werden und da die korred x
ln x − 1
(65) spondierenden Brüche pi /(pi − 1) > 1 ∀ i sind, sol=
=
2
dx ln x
ln x
len die ersten drei Brüche durch die tatsächlichen
2
ln x
=
> ln x,
(66) Werte ersetzt werden, also
ln x − 1
p1
p2
p3
2 3 5
15
·
·
= · · =
. (77)
p1 − 1 p2 − 1 p3 − 1
1 2 4
4
wobei sogar
Da für die restlichen Brüche aus (76)
ln2 x
∆px =
∼ ln x.
ln x − 1
(67)
ln 4 ln 5 ln 6
ln(ω − 1)
ln ω
·
·
· ... ·
·
ln 3 ln 4 ln 5
ln(ω − 2) ln(ω − 1)
(78)
Daraus und durch vorausgegangene Untersuchunln ω
=
gilt, erhalten wir somit für ω ≥ 3
gen in meiner Jugend forscht Arbeit 2015, die sich
ln 3
explizit mit dem Abstand von Primzahlen auseinω
Y
pi
15 ln ω
15
andersetzt (siehe [9]), folgt somit auch, dass ∆pn >
k+1<
≤
·
=
· ln ω (79)
p −1
4 ln 3
ln 81
ln n. Somit ergibt sich für pn
i=1 i
und damit
Z
pn >
ln n dn = n · ln n − n,
(68)
ω ≥ exp
ln 81
· (k + 1) ,
15
womit auch die zweite Approximation bestätigt womit die Behauptung gezeigt wäre.
werden konnte.
Behauptung 14: Es gilt die Approximation
pn
ln n
Lemma 13.1: Es ist
<
.
ω
Y
pn − 1
ln(n − 1)
j
ln ≥ exp (γ0 · ω + γ1 ) .
e
Beweis von Lemma 13.1: Durch Umformungen
j=8
13
(80)
Beweis 14: Die folgenden Überlegungen bauen auf Da erst ln 8e > 1, sollen die ersten sieben ProduktTheorem T2 in [5] auf. Bei dem Produkt
werte durch die tatsächlichen Primzahlwerte ersetzt
werden. Wir erhalten also
ω
Y
j
8
9
ω
ω
2 3 5 7 11 13 17 Y i
P (ω) =
ln = ln · ln · ... · ln
(81)
·
·
·
N 0 (k) > · · · ·
ln · ω!
e
e
e
e
j=8
1 2 3 4 5 6 7 i=8 e
(88)
nimmt der Anstieg kontinuierlich zu. Entsprechend
ω
ω
0
Y i
ebenso bei P (n) = ln P (n), wobei der Anstieg deut2431 Y i
=
·
ln · ω! = γ2 ·
ln · ω!,
lich langsamer stattfindet (siehe dazu Abb. 7 in
24 i=8 e
e
i=8
0
[4]). Daher kann P (n) durch eine Gerade durch die
(89)
ersten beiden Werte (8, P 0 (8)) und (9, P 0 (9)) angenähert werden. Somit ergibt sich für die Gerade mit γ2 := 2431 ≈ 101, 29. Nun kann zuletzt noch das
24
der bekannten Form mx + b
Produktzeichen durch die Näherung aus Behauptung 14 eliminiert werden, sodass
(P 0 (9) − P 0 (8)) · (ω − 8) + P 0 (8)
(82)
N 0 (k) > γ2 · exp (γ0 · ω + γ1 ) · ω!
(90)
= P 0 (9)ω − P 0 (8)ω − 8P 0 (9) + 9P 0 (8)
= (P 0 (9) − P 0 (8)) · ω + 9P 0 (8) − 8P 0 (9)
= γ0 · ω + γ1 ,
wobei
bestimmt werden konnte. Aus Behauptung 13 ist
(83) auch eine gute Näherung für ω(k) bekannt, sodass
die Approximation der unteren Schranke N 0 (k)
vollbracht wäre.
8
8 9
− ln ln ≈ 0, 1800
(84)
γ0 := ln ln ln
e e
e
8
8 9
γ1 := 9 ln ln − 8 ln ln ln
≈ −1, 3636. (85)
e
e e
Da P (n) approximiert werden sollte und P 0 (n) =
ln P (n), erhalten wir die Ungleichung
ω
Y
j
ln ≥ exp (γ0 · ω + γ1 ) ,
e
j=8
Diese Schranke stellt bereits eine gute Näherung
dar, jedoch kann diese sicher durch weitere zahlentheoretische Überlegungen, die bei meinem Vorgehen nicht berücksichtigt wurden, noch weiter verbessert werden. Dass diese nur für ω ≥ 8 und somit
k ≥ 5 hergeleitet wurde, ist hinnehmbar.
5.2
(86)
Bestimmung von höherstufigen
polyabundanten Zahlen
Nachdem nun bekannt ist, ab welcher Zahl N 0
überhaupt erst eine polyabundante Zahl der kwie zu beweisen war.
ten Stufe gefunden werden kann, soll nun eine
Möglichkeit erarbeitet werden, mit welcher relativ
5.1.3 Zusammenführung
einfach eine (nicht die erste) polyabundante Zahl
Behauptung 15: Als untere Schranken für die einer beliebig hohen Stufe ermittelt werden kann.
erste k-fach poylabundante Zahl gelten, mit γ0 :≈ Erneut wird dabei die Bedingung
0, 1800, γ1 :≈ −1, 3636, γ2 :≈ 101, 29 und k ≥ 5,
p1
p2
pω
k+1<
·
· .. ·
(91)
p
−
1
p
−
1
p
1
2
ω −1
N 0 (k) > γ2 · exp (γ0 · ω + γ1 ) · ω! > 2ω · ω!
wichtig. Exemplarisch würden, wie bereits bekannt,
wobei
bei k = 2 genau ω = 3 erforderlich sein, denn
ln 81
ω(k) > exp
· (k + 1) .
2 3 5
15
2 + 1 < · · = 3, 75.
(92)
1 2 4
Beweis 15: Nach (63) muss für die untere Schranke
Dennoch ist die Zahl 2 · 3 · 5 = 30 keinesfalls polyabundant, sondern hat lediglich eine Stufe von
ω(k)
Y
0
k(30) = 2, 4 − 1 = 1, 4. Das Problem ist, dass die
N (k) >
pi
Exponenten nicht ausreichen, um einen Wert veri=1
gleichbar mit den Konvergenzwerten pi /(pi − 1) zu
gelten. Indem die erste Näherung für Primzahlen erzeugen: So könnte zwar nur mit der Zahl 2α ein
2
aus Behauptung 12 verwendet wird, ergibt sich Stufe von 2−1
− 1 = 1 erzeugt werden, jedoch wäre
0
ω
bereits N (k) > 2 · ω!. Diese einfache Schranke bei α = 1 die erreichte Stufe erst σ(2) − 1 = 1+2 −
2
2
2
kann verbessert werden, indem die zweite Prim+23
1 = 0, 5 oder bei α = 3 wäre 1+2+2
−1
=
0,
875.
3
2
zahlnäherung verwendet wird, sodass
Der eigentliche Grenzwert wird daher erst bei einem
höheren Exponenten und somit einer höheren Zahl
ω(k)
ω
ω
Y
Y
Y
i
N 0 (k) >
i·ln i−i = ω!· (ln i−1) = ω!· ln . erreicht. Der Beitrag zu dem Produkt z.B. (91) (ale so nur σ(pα )/pα ) in Abhängigkeit vom Exponenten
i=1
i=1
i=1
i
i
(87) sei durch folgende Abbildung 7 gezeigt.
14
Abbildung 7: Verlauf von σ(pα )/pα in Abhängigkeit von α ∈ [1, 9]
Die deutlich gestrichelten Linien geben die Grenzwerte an, und die Konvergenz wird erkennbar. Dabei beginnen die Linien immer weiter bei 1 und
werden den Grenzwert erst im Unendlichen erreichen. Damit ist klar, dass die Zahl 2x · 3x · 5x automatisch 2-fach polyabundant ist, wenn x sehr groß
gewählt wird, z.B. x = 1010 . Dies wäre jedoch ein
äußerst gigantischer Wert! Darum soll ein anderer
Ansatz gewählt werden: zwar wird der Grenzwert
nicht mit kleinen α erreicht, jedoch durchaus Vielfache vom Grenzwert, z.B. 90%, wobei die gepunkteten Linien in Abbildung 7 diese Werte angeben.
Daher soll zunächst das α00 der Primfaktoren bestimmt werden, sodass diese β = 0, 9 zum Produkt
(34) beitragen. Die entscheidende Gleichung, welche k 0 (n) := σ(n)
(also ohne dem −1 und somit
n
der Anteil am Produkt (34)) in Abhängigkeit vom
α angibt, wurde bereits im Beweis von Lemma 3.3
bestimmt. Demnach gilt
len berechnet werden:
α00 (2) = d− log2 (1 − β)e − 1 = 3
α00 (3) = d− log3 (1 − β)e − 1 = 2
α00 (5) = d− log5 (1 − β)e − 1 = 1
α00 (7) = d− log7 (1 − β)e − 1 = 1
α00 (11) = d− log11 (1 − β)e − 1 = 1
α00 (13) = d− log13 (1 − β)e − 1 = 1
... =
...
= 1
Es ist sehr erstaunlich, dass die benötigten Exponenten relativ klein sind und ab p3 = 5 bereits
der triviale Exponent zum Übersteigen von 90% des
Grenzwertes führt. Daher setzten wir
ω 00 (k)
3
2
λx (k) = 2 · 3 ·
Y
pi .
(99)
i=1
Durch weitere Überlegungen in [3], die umfangreich
sind und hier nicht ausgeführt werden, konnte zu.
(93) dem auch
k 0 (α, pn ) =
pn − 1
k+1
00
< ek+1 ,
(100)
ω (k) < exp
n
Da wir α im Fall von k 0 = β· pnp−1
berechnen wollen,
3β 2 κ
setzten wir
mit β = 0, 9 und κ := 0, 7, als die Anzahl
1
von benötigten Primzahlen bestimmt werden. Es
pn − pα00
pn
n
β·
=
(94) können somit durch (99) und (100) direkt polyabunpn − 1
pn − 1
dante Zahlen von mindestens k-ter Stufe bestimmt
1
werden.
ω 00 erzeugt jedoch schnell sehr große Werte
β · pn = pn − α00
(95)
pn
(sodass das λ mindestens das Verhältnis k erfüllt),
α00 = logpn (pn − β · pn )−1
(96) bei denen die Stufe deutlich über dem gewählten k
liegt. Daher sollte Gleichung (99) eher als Grundα00 = − logpn (1 − β) − 1,
(97)
lage für eine numerische Computerprüfung dienen.
Mithilfe dieses Tricks wurde es möglich, tatsächlich
da jedoch die Exponenten nur ganzzahlig sei polyabundante Zahlen der 4-ten Stufe und höher
können, erhalten wir somit
einfach zu ermitteln. Einige seien hier aufgelistet,
wobei diese sehr schnell große Werte annehmen:
00
α (pn ) = − logpn (1 − β) − 1.
(98)
Stufe 4: 220.540.320
Stufe 5: 3.205.758.874.237.920
Es soll diese Gleichung nun für die ersten PrimzahStufe 6: 241030438614733951137923448480
pn −
1
pα
n
15
5.4
Stufe 7:
9337397164875216062943860531380087995932
9278493149361760
Stufe 8:
5629597942701782727373147155551037273776
8306887198415494022930592647605984439902
90389900773093001176304645280
Zählfunktion
Durch die vorherigen Überlegungen kann nun auch
eine Gleichung angegeben werden, welche das Konzept für die Anzahl der polyabundanten Zahlen
X(n) unterhalb einer gewissen Schranke n angibt.
1
.
∗
λ
∗
Es konnten auf Basis dieser Herangehensweise nun
λ ≤n
auch ungerade polyabundante Zahlen bestimmt Beweis 17: Damit die Anzahl der polyabundanwerden! So ist die Zahl 1.003.917.915 wegen
ten Zahlen λ bestimmt werden kann, müssen nicht
alle
Werte betrachtet werden, sondern es genügt
σ(1.003.917.915)
−1
k(1.003.917.915) =
bereits
die Kenntnis über λ∗ . Es liegen somit n/λ∗u
1.003.917.915
Vielfache von λ∗u unterhalb von n. Dennoch wer≈ 2, 018
den hierbei Überlagerungen wie λ∗u · λ∗u+1 nicht
offensichtlich polyabundant!
berücksichtigt, weshalb es sich lediglich um eine
Näherung handelt, sodass
n
n
n
n
5.3 Polyabundante Fakultäten
X(n) ≈ ∗ + ∗ + ∗ + ... + ∗
λ1
λ2
λ3
λx
In Bezug auf polyabundante Zahlen stellen sich
X 1
Fakultäten als sehr interessant heraus, was durch
=n·
(105)
λ∗
∗
folgende Überlegungen gezeigt sei.
Behauptung 17: Es gilt X(n) ≈ n ·
P
λ ≤n
Behauptung 16: Es ist k(n!) > 2 mit n ≥ 6
und k(n!) > 3 mit n ≥ 10.
bestimmt werden kann.
Da die Überlegungen in Bezug auf das Verhalten
des Abstands von λ∗ noch nicht ausreichend sind,
Beweis 16: Beim Aufschreiben der Fakultät erum den Verlauf tatsächlich zuverlässig zu beschreigibt sich
ben, soll die obige Darstellung nicht weiter ergänzt
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
(101) werden. Es ist jedoch auch besonders interessant zu
erkennen, dass ein direkter Zusammenhang mit der
4
2
2
= 2 · 3 · 5 = λ1 · 2 ,
(102)
Kehrwertsumme besteht.
denn λ1 = 180 = 22 · 32 · 5. Auch ergibt sich für 10!
10! = 24 · 32 · 5 · 7 · 8 · 9 · 10
5.5
(103)
= 28 · 34 · 52 · 7 = Λ4 · 22 · 3 · 5,
Reihe der Reziproke
(104) In der Zahlentheorie nimmt die Untersuchung des
Kehrwertverhaltens von Folgen ein wichtiges Gebiet
wobei Λ4 = 60.480 = 26 · 32 · 52 · 7 die 4-te 3-fach ein. Ob es sich um die berühmt ζ-Funktion
polyabundante Zahl sei.
∞
X
1
1
1
= 1 + s + s + ...
(106)
ζ(s) :=
s
n
1
2
Somit kann zudem eine einfache Schranke gegeben
n=1
werden, ab der die n-te Fakultät k-fach polyabundant sein kann. Da ω(k) Primzahlen enthalten sein oder den Kehrwerten aller ungeraden Zahlen
∞
X
müssen, muss n > pω(k) > ω · ln ω − ω, wobei ω(k)
1
1 1 1
= 1 + + + + ...
(107)
durch den bekannten Ausdruck aus Behauptung 13
2n − 1
3 5 7
n=1
ersetzt werden kann. Erstaunlich ist dabei, dass die
berechneten Fakultäten nicht nur untere Schranken handelt, in diesem Bereich werden viele Untersind, sondern oftmals bereits mindestens k-fach po- suchungen vorgenommen, insbesondere bezüglich
lyabundant sind, denn durch dieses große Produkt Konvergenz und Divergenz. Es liegt nahe, ebensind auch viele Exponenten groß. Offenbar halten so die polyabundanten Zahlen hinsichtlich dieses
Fakultäten als einfache Angabe für polyabundante Aspekts näher zu betrachten.
Zahlen her! So wissen wir nun, dass die Zahlen 185!,
447! und 1079! jeweils 4-, 5- und 6-fach polyabun- Behauptung 18: Die Summe der reziproken po∞
dant sind und eine kurze Schreibweise konnte ge- lyabundanten Zahlen P 1 divergiert.
funden werden. Entsprechend platzsparend können
i=1 λi
nun weitere Stufen angegeben werden, wobei die Beweis 18: Es gilt
eigentlichen Zahlen gigantisch sind:
∞
∞
∞
X
X
1
1
1 X1
1
>
=
·
=
· ζ(1) = ∞,
Stufe 7: 137!
Stufe 8: 263!
λ
i · λ1
λ1 i=1 i
λ1
i=1 i
i=1
Stufe 9: 499!
Stufe 10: 953!
(108)
Stufe 11: 1787!
Stufe 12: 3389!
womit die Behauptung bewiesen wäre.
...
...
Stufe 20: 514903! Stufe 21: 963761!
16
Die Darstellung als Summe von 6 Schlussbemerkung
Potenzzahlen
Im Verlaufe dieser Ausarbeitung haben wir uns ausführlich
5.6
Ein weiterer Aspekt der Zahlentheorie ist die Darstellung bestimmter Zahlen als Summe von zwei
Quadraten. So schrieb der indische Mathematiker
Ramanujan zusammen mit zwei der bekanntesten
britischen Mathematikern, Hardy und Littlewood,
über das Vorkommen von Zahlen, die aus Quadraten zusammengesetzt sind (siehe [14]). Daher sollen
einige Fragestellungen dieses zahlentheoretischen
Zweigs ebenfalls auf die polyabundanten Zahlen
übertragen werden.
Behauptung 19: Es existieren polyabundante
Quadratzahlen.
Beweis 19: Dies folgt direkt aus Regel (3) bei
Multiplikation und Division.
Behauptung 20: Es existieren polyabundante
Zahlen, die sich als Summe von zwei Quadraten
schreiben lassen.
Beweis 20: Demnach muss λ = a2 +b2 mit a, b ∈ N
existieren, und indem wir a = λz und b = λz · p
setzten, erhalten wir
λy = λ2z + (λz · p)2 = λ2z + λ2z · p2
=
λ2z
2
· (1 + p ),
(109)
(110)
wobei es sich dabei wegen Regel (3) erneut um eine
polyabundante Zahl handelt.
Demnach ist jede polyabundante Zahl, die sich
in der Form λ2 · (1 + p2 ) schreiben lässt, auch
als Summme von zwei Quadraten darstellbar, z.B.
1802 · (1 + 22 ) = 162.000 = 1802 + 7202 .
Behauptung 21: Es gibt polyabundanten Zahlen, die sich als beliebige Potenzsumme, also
m
m
m
λ = am
1 + a2 + a3 + ... + ax , darstellen lassen.
Beweis 21: Wir erzeugen unterschiedliche Basen
durch ai = λz · pi−1 , sodass sich mit Lemma 3.2
mit polyabundanten Zahlen λ beschäftigt, für welche die Bedingung
(k + 1) · λ > σ(λ) mit k ≥ 2
gilt. Indem wir die Einteilung in defiziente, vollkommene
und abundante Zahlen ausgebaut und die abundanten Zahlen weiter eingestuft haben, wurden viele interessante Fragen
aufgeworfen, von denen einige beantwortet werden konnten.
So konnte besonders bemerkenswert gezeigt werden, dass
für jedes k ein λ gefunden werden kann, also tatsächlich
σ(n)
− 1 = ∞.
lim sup
n
n→∞
Dementsprechend können beliebigstufige polabundante Zahlen gefunden werden! Dies wird durch die vorige Erkenntnis ergänzt, dass von jeder Stufe unendlich viele Vertreter
existieren. Ein weiterer interessanter Aspekt ist das seltene
Vorkommen von polabundanten Zahlen höherer Stufe, sodass
daher keine 4-fach abundante Zahl durch maschinelle Suche
gefunden werden konnte. Daneben zeichnet sich jede Stufe
durch eine minimale Anzahl von verschiedenen Primzahlen
aus - im Zuge dessen konnte auch herausgefunden werden,
dass es ungerade polabundante Zahlen gibt, welche jedoch
deutlich später auftreten! Im Verlauf der weiterführenden
Untersuchungen, konnten durch diverse Approximationen eine untere Schranke
N 0 (k) > γ2 · exp (γ0 · ω + γ1 ) · ω! > 2ω · ω!
mit
ln 81
· (k + 1) .
15
bestimmt werden. Auf diesen Erkenntnissen aufbauend konnte ein Konzept entwickelt werden, durch welches eine mindestens k-fach polyabundante Zahl direkt bestimmt werden
kann - dies ist sehr faszinierend und wichtig für diese Ausarbeitung! Bisher konnte sogar eine 21-fach polyabundante
Zahl bestimmt werden, wobei diese entsprechend groß ist
und ich weitere Suchvorgänge starten werden.
ω(k) > exp
Ebenfalls wurde der Abstand zwischen den polyabundanten
Zahlen weiterführend betrachtet, wodurch gezeigt werden
konnte, dass für den Abstand 1 ≤ ∆λ ≤ 180 gelten muss.
Mithilfe dieses Wissens und weiteren Überlegungen konnte
herausgefunden werden, dass sowohl ungerade Abstände,
polyabundante Zwillinge, als auch jeder weitere mögliche
Abstand auftreten wird. Insgesamt wird der durchschnittliche Abstand sogar abnehmen, je höhere Intervalle betrachtet
werden. Nachdem zusätzlich die auffällige Abstandsverteilung mithilfe der Primfaktorzerlegung erklärt werden konnte,
wurde in den weiterführenden zahlentheoretischen Betrachtungen das Konzept für eine Zählfunktion
∞ X
X 1
n
X(n) ≈
≈n·
∗
λi
λ∗
i=1
λ∗ ≤n
m
2 m
x−1 m
λy = λm
) aufgestellt, die Summe der Reziproke und die Faz + (λz · p) + (λz · p ) + ... + (λz · p
m
2m
= λm
+ ... + p(x−1)m )
z · (1 + p + p
x
m p −1
= λm
·
1
+
p
·
z
p−1
(111)
ergibt.
kultätsfunktion auf Polyabundanz untersucht. Dabei stellte
sich heraus, dass viele Fakultäten n! k-fach polyabundant
sind und sich daher gut als Angabe für polyabundante Zahlen eignen. Durch diese wunderbare Möglichkeit können nun
auch polyabundante Zahlen höherer Stufe einfach angegeben
werden, ohne mehrere Seiten an Ziffern zu benötigen!
Auch wenn durch den begrenzten Umfang nur ein kleiner
Teil meiner Betrachtungen dargestellt werden konnten, wurden in dieser Ausarbeitung bereits die wichtigsten Aspekte
behandelt. Jedoch können sowohl die Schranken noch weiter verbessert, als auch noch ungelöste Fragen angegangen
werden. Weitere Überlegungen und Berechnungen zu noch
höheren Stufen werden definitiv folgen! Somit hoffe ich, dass
die Dokumentation interessant zu lesen war und ggf. Anregungen zu weiteren zahlentheoretischen Aspekten gegeben
werden konnten, da dieser Bereich der Mathematik besonders
schön und erstaunlich ist und sich weitere Untersuchungen
zu diesem und vielen weiteren Themen lohnen.
Somit ergäbe sich z.B. als eine polyabundante Zahl,
welche aus der Summe von 3 verschiedenen Kuben
besteht, also a3 + b3 + c3 , der Wert
3
3
3 2 −1
180 · 1 + 2 ·
= 1803 · 57 = 332.424.000.
2−1
17
Literaturverzeichnis
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[2] A. Frommer, H. Scheid, Zahlentheorie, Springer Verlag, 4. Auflage 2013
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[4] weitere Abbildungen: https://goo.gl/XZTaIu
[5] weitere Beweise, Tabellen etc.: https://goo.gl/MkLMXi
[6] siehe www.arxiv.org/list/math.NT/recent
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mathworld.wolfram.com/e.html
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[16] Functions, Bull. Lond. Math. 1986 Wilf, H. Generatingfunctionology, 2nd ed. New York: Academic
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18