Geometrie Dieter Remus SS 2006 Kristian Brüning Blatt 6 Aufgabe 1

Geometrie
SS 2006
Dieter Remus
Kristian Brüning
Blatt 6
Aufgabe 1 Sei G = {f : R2 → R2 |f ist Isometrie} die Menge der Isometrien auf dem R2 mit der Komposition von Abbildungen ◦ als Multiplikation.
Zeige, dass (G, ◦) eine Gruppe ist.
(4)
Aufgabe 2 Sei f ∈ G eine Isometrie (siehe Aufgabe 1). Zeige
(i) f bildet Geraden auf Geraden ab.
(ii) f erhält Parallelität von Geraden.
(iii) f bildet Strecken auf gleich lange Strecken ab.
(vi) f erhält Winkel zwischen Geraden.
(4)
Aufgabe 3
(i) Seien a := ( 00 ) , b := ( 21 ) , c := ( 03 ) und (a, b, c) das Dreieck mit den
Eckpunkten a, b und c. Bestimme die Eckpunkte des Bildes des Dreiecks
(a, b, c) unter der Drehung um den Punkt ( 42 ) mit dem Winkel π4 .
3
) unter einer einer Spiegelung an
(ii) Bestimme das Bild des Punktes ( −1
der Geraden −x + y − 1 = 0.
(4)
Aufgabe 4 Der Punkt 15 ( 15
7 ) sei aus x durch eine Spiegelung an der Geraden
3
) mit
x + 2y + 2 = 0 und einer nachfolgenden Drehung um den Punkt ( −1
3
dem Winkel 2 π hervorgegangen. Bestimme x.
(4)