Logikrätsel – Klasse 5+6/2

Logikrätsel – Klasse 5+6/2
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auch unter dem Namen Logicals bekannt
gegebene Hinweise liefern Schlussfolgerungen, es gibt zuordnende, verneinende und
einschränkende Hinweise
Vorgehensweise zum Lösen eines Logicals
1. Tabelle zeichnen
2. Alle Hinweise durchlesen!!! (Oft schon im Einleitungstext erste Informationen)
3. Zuordnende Hinweise auswerten (mit √)
4. Verneinende Hinweise auswerten (mit X)
5. Einschränkende Hinweise (größer als, früher als, etc.
6. Schlussfolgerungen ziehen
7. Prüfen der gewonnen Ergebnisse anhand der Hinweise
1. Aufgabe
Beim Schulfest möchte der 12-jährige Valentin auf der Bühne Sketche aufführen. Dazu braucht er
noch eine weibliche Partnerin. Die ersten Mädchen, die er fragt, reagieren jedoch recht schroff auf sein
Anliegen. Erst die 4. Kandidatin willigt ein.
In welcher Reihenfolge fragt Valentin welche Klassenkameradin und mit welcher Antwort reagieren
sie?
Hinweise:
1. Der Ausruf „Es hackt wohl“, kommt nicht von der Schülerin, die Valentin als Zweite
fragt.
2. Sina antwortet auf Valentins Frage mit den Worten: „Spinnst du?“
3. Ariane, die Valentin direkt nach Emma fragt, reagiert mit: „Geht’s noch?“
Lösung:
(E) – wegen Einleitung
(1) – (3) wegen Hinweisen 1-3
(5) – Ariane ≠ Meinetwegen = 4.
(6) – Sina ≠ Meinetwegen = 4.
(7) – Lisa = 4. als einziges übrig
(8) – Emma = Es hackt wohl als einziges
übrig
(9) – Geht’s noch = Ariane ≠ 1.
(10) – Es hackt wohl = Emma ≠ 2.
(11) – Ariane direkt nach Emma gefragt,
Emma ≠ 2 Ariane ≠ 3.
(12) – Ariane = 2. als einziges übrig
(13) – wegen (11)
(14) übrig
Aufgabe 2:
Ganz Deutschland steht Kopf wegen der bevorstehenden Fußball – Weltmeisterschaft. So diskutieren
im Mathelager ein paar Jungen eifrig, welche Mannschaft wohl Weltmeister wird. Als die jungen
Fußballfans dabei auf ihre Lieblingsspieler zu sprechen kommen, geraten sie vollends ins Schwärmen.
Wer (Vorname und Alter) lebt in welcher Stadt und welcher Fußballstar ist sein jeweiliger
Lieblingsspieler?
Hinweise:
1. Der Fan des Portugiesen Christiano Ronaldo wohnt in Leipzig.
2. Benjamin, der jünger ist als der Junge aus Jena, schwärmt für den Brasilianer Kaká.
3. Der 12-jährige Junge lebt in Erfurt und Thomas in Ilmenau.
4. Weder der 10-jährige Joseph noch Adam schwärmen für den Argentinier Lionel
Messi. Der Junge, für den Messi der Größte ist, ist nicht 14 Jahre alt.
5. Der 9-jährige Fußballfan, dessen Lieblingsspieler Didier Drogba von der
Elfenbeinküste ist, wohnt nicht in Dresden.
6. Matthias ist nicht 11 Jahre alt.
(1) – (6) gemäß Hinweisen 1-6
(7)
Leipzig = Ronaldo ≠ Drogba = 9 Jahre
(8)
übrig
(9)
Benjamin = Kaká ≠ Drogba = 9 Jahre
(10)
Thomas = Ilmenau ≠ Leipzig =
Ronaldo
(11)
Ilmenau = Thomas = 9 Jahre = Drogba
(12)
Altersabschätzung in Hinweis 2
(13)
übrig
(14)
Joseph = 10 ≠ 9; 12; 14 = Ilmenau,
Erfurt, Jena
(15)
übrig
(16)
gemäß Hinweis 4
(17)
übrig
(18)
Adam = 14 Jahre = Jena
(19)
Benjamin = 11 Jahre = Kaká
Bereits an dieser Stelle ist das Logical gelöst:
Thomas
9 Jahre
Ilmenau
Drogba
Adam
14 Jahre
Jena
Rooney
Matthias
12 Jahre
Erfurt
Messi
Joseph
Benjamin
10 Jahre
11 Jahre
Leipzig
Dresden
Ronaldo
Kaká
Lösung der Klausuraufgabe zu diesem Thema:
Aufgabe 8
Während der Olympiade in Ilmenau unterhalten sich die Betreuer Peter, Anke und Maria über ihre
Schüler – unter ihnen auch die nette Juliette und der neugierige Franz – und deren Lieblingsthemen
im Mathelager.
Welches Kind (Name, Eigenschaft) mag welches Fach? Gib zusätzlich zur unten stehenden Tabelle
eine Zusammenfassung an und begründe deine Überlegungen!
Hinweise:
1. Julia, die nicht ruhig ist, mag Wurzelziehen besonders.
2. Das Kind, das Aussagenlogik toll findet, ist weder neugierig noch quirlig.
3. Georg mag Logicals, aber der quirlige Till keine Graphentheorie.
4. Das stets fröhliche Kind findet Magische Quadrate super, das freche Kind,
das nicht Lorenz ist, mag Kryptogramme.
5. Die Betreuer erzählen auch von Tom. Ein Kind ist ehrgeizig. Ein Kind mag
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Lösung:
(E)
(1)-(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
gemäß Einleitung
entsprechend den Hinweisen 1-4
Till = quirlig ≠ fröhlich; frech = Mag. Quadrate, Kryptogramme
übrig
Julia = Wurzelziehen ≠ Kryptogramme; Mag. Quadrate = fröhlich; frech
übrig
Georg = Logicals ≠ Kryptogramme; Mag. Quadrate = fröhlich; frech
übrig
(11)
übrig
Bereits an dieser Stelle lässt sich die Lösung aus der Tabelle ablesen:
quirliger
Till
Wahrscheinlichkeitsrechnung
ehrgeizige
Julia
Wurzelziehen
frecher
Tom
Kryptogramme
ruhiger
Georg
Logicals
nette
Juliett
Aussagenlogik
neugieriger
Franz
Graphentheorie
fröhlicher
Lorenz
Magische Quadrate
Wahrscheinlichkeitsrechnung – Klasse 5
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umfasst nicht nur Schulstoff (z.B. Würfel, Münzen), sondern auch relevant in der Forschung
Gibt Antwort auf Fragen wie:
Wie groß ist die Chance im Lotto zu gewinnen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfle ich nachdem ich schon zweimal eine „6“
gewürfelt habe, wieder eine?
aus aktuellem Anlass: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass min. zwei der 120 Kinder im
Mathelager am selben Tag des Jahres Geburtstag haben?
Betrachte zum Lösen das Gegenereignis: keine zwei Kinder haben am selben Tag des Jahres
Geburtstag
1. Kind: an einem beliebigen Tag des Jahres (366 Tage) Geburtstag
2. Kind: an einem der 365 verbleibenden Tage Geburtstag
3. Kind: an einem der 364 verbleibenden Tage Geburtstag
…
120. Kind: an einem der 247 verbleibenden Tage Geburtstag
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
365 364
247
̅ = 1 ∙
∙
∙ ⋯∙
<≈ 0,000235
366 366
366
Somit Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mathelagerkinder am gleichen Tag Geburtstag haben:
= 1 − ̅ >≈ 0,999764 = 99,9764%
Wichtige Begriffe:
Zufallsversuch:
Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen X1, X2, …, Xn
Ergebnismenge:
Menge aller möglichen Ergebnisse (Ω)
Ereignis:
Teilmenge der Ergebnismenge
sicheres E.:
Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt (E= Ω)
unmögliches E.:Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintritt (E=Ø)
Elementare.: Ereignis mit genau einem Ergebnis X
Gegenereignis Ē:
Komplementärmenge von E (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht
eintritt)
abs. Häufigkeit Hn(E): Anzahl d. Eintretens des Ereignisses E bei n Versuchsdurchführungen
rel. Häufigkeit:
ℎ =
Bernoulli – Versuch:
Laplace – Versuch:
Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen
Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche
Wahrscheinlichkeit haben. Für E⊂Ω gilt:
=
!".$%&.'ü&..)ü*+,)%.&)%-,**%
!".$%&..ö)",0!%.&)%-,**%
Anhand der durchgeführten Experimente Festigung der Begriffe:
Wurf dreier Münzen: - Ω = {KKK, KKZ, KZZ, ZZZ}
- sicheres Ereignis: Würfeln von (KKK),(KKZ),(KZZ) oder (ZZZ)
- unmögliches Ereignis: (KKKK), da nur 3 Münzen
- Elementarereignisse: (KKK), (KKZ), (KZZ), (ZZZ)
- Gegenereignis zum Ereignis 3mal Zahl: {(KKK),(KKZ),(KZZ)}
- absolute Häufigkeit: Anzahl Striche in Tabelle in entsprechender Spalte
- relative Häufigkeit: Anzahl Striche durch Anzahl Gesamtversuche
- Bernoulli – Versuch: Nein, denn 4 Elementarereignisse
- Laplace – Versuch: Nein, denn (ZZZ),(KKK) sind unwahrscheinlicher als
(KZZ),(ZKK)
2 Würfel werfen:
- Ω = { (1,1),(1,2),…(6,6)}
- sicheres Ereignis: Augenzahlsumme zwischen 2 und 12
- unmögliches Ereignis: Augenzahlsumme 1 oder 13
- Elementarereignisse: (1,1), (1,2), …, (6,6)
- Gegenereignis zum Ereignis Pasch: alle Ereignisse (x,y) mit x,y=1,2,…,6 und
x≠y
- absolute Häufigkeit: Anzahl Striche in Tabelle in entsprechender Spalte
- relative Häufigkeit: Anzahl Striche durch Anzahl Gesamtversuche
- Bernoulli – Versuch: Nein, denn mehr als 2Elementarereignisse
- Laplace – Versuch: Ja, denn alle Elementarereignisse (1,1),…,(6,6)
gleichwahrscheinlich, damit lässt sich Wahrscheinlichkeit für eine Summe 7
berechnen:
Ereignisse, die 7 ergeben: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) = 6 Ereignisse
insgesamt: 36 Ereignisse, damit folgt:
1
7 = 23 ≈ 19,4%
Lösungen der Klausuraufgaben zu diesem Thema:
Aufgabe 4
Was ist ein Bernoulli – Experiment? Ist das Ziehen aus einem Behälter mit 3 schwarzen und 2 weißen
Kugeln ein Bernoulli – Experiment? Begründe!
Lösung:
Ein Bernoulli – Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen
Ereignissen, deswegen ist das Ziehen aus dem Behälter mit schwarzen und weißen
Kugeln ein Bernoulli – Experiment, denn dass das Ziehen einer schwarzen Kugel
wahrscheinlicher ist, spielt keine Rolle, sondern nur, dass es bloß die beiden
Ereignisse schwarz und weiß gibt.
Aufgabe sehr locker gewertet, viele haben Laplace – und Bernoulli – Versuch verwechselt, trotzdem volle Punktzahl vergeben.
Aufgabe 5
Zwei Münzen werden gleichzeitig geworfen. Was ist das Gegenereignis Ᾱ zum Ereignis A, dass beide
Münzen Kopf zeigen? Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(Ᾱ)!
Lösung:
A = {(KK)} Ᾱ = {(KZ),(ZZ)}
4
5
= → 78 = 1 − =
2
5
Denn ein günstiges Ereignis (KK) und insgesamt 4 Ereignisse: (KK), (KZ), (ZK), (ZZ).
Dabei kann man (KZ) und (ZK) aufgrund des gleichzeitigen Werfens zwar nicht
unterscheiden, muss aber theoretisch unterschieden werden, weil (KZ)=(ZK) somit
doppelt so wahrscheinlich ist wie (KK) oder (ZZ).
Wurzelziehen und irrationale Zahlen
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bekannt sind Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, …
Umkehroperation zum Quadrieren: (Quadrat-)Wurzelziehen, zum Beispiel:
√64 = 8
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√121 = 11
Quadrieren „Spezialfall“ des Potenzierens, Quadratwurzelziehen „Spezialfall“ des
•
•
•
•
Radizierens, dabei schreibt man für √ häufig einfach √
obige Beispiele durch Kennen der Quadratzahlen gelöst, aber wie, wenn man √6241 sucht?
Oder √3 mit dem Wissen, dass 3 keine Quadratzahl ist?
Ergebnis von √3 =? ist keine rationale Zahl, sondern eine irrationale Zahl
irrationale Zahlen charakterisiert durch:
1. unendlich viele Nachkommastellen
2. keine Periodizität der Nachkommastellen
2. liefert Unterschied zu rationalen Zahlen, denn:
√2 = 1,414213562 …
•
= 0,666666 … = 0, 6
damit uns bekannter Zahlenbereich auf Menge der reellen Zahlen (rationale und irrationale
Zahlen) erweitert:
mit:
N – Natürliche Zahlen
Z – Ganze Zahlen
Q – Rationale Zahlen
R – Reelle Zahlen
•
im Folgenden zwei Methoden zum Bestimmen der Wurzel einer Zahl vorgestellt :
Intervallmethode
• geeignet für Wurzeln von relativ kleinen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind
• beruht auf Vergleich mit bekannten Quadratzahlen und verkleinern des möglichen
Intervalls, in dem die Wurzel liegt, erklärt am Beispiel √2
• suche zunächst die nächstgrößere und die nächstkleinere Quadratzahl zur Zahl unter
der Wurzel (hier die 2), offensichtlich gilt dann:
1 = √1 < √2 < √4 = 2
•
√2 ∈ (1,2)
Bestimme nun das Quadrat der Zahl in der Mitte des Intervalls (hier: 1,5) und
vergleiche wieder: 1,52 = 2,25
1 = √1 < √2 < 2,25 = 1,5
•
√2 ∈ (1; 1,5)
gleiche Vorgehensweise für neues Intervall (1;1,5): 1,252 = 1,5625
1,25 = 1,5625 < √2 < 2,25 = 1,5
•
√2 ∈ (1,25; 1,5)
um Rechnen zu erleichtern, kann gegen irgendeine Zahl des aktuellen Intervalls
abgeschätzt werden, denn 1,3752 rechnet sich viel schwerer, als z.B. 1,32 =1,69 und
somit:
1,3 = √1,69 < √2 < 2,25 = 1,5 √2 ∈ (1,3; 1,5)
•
•
•
Näherungsverfahren, das heißt, Intervalle müssten unendlich oft verkleinert werden,
um exaktes Ergebnis zu erhalten
Taschenrechner nutzt dieses Verfahren zum Bestimmen von Wurzeln
schematisch sieht Verfahren folgendermaßen aus:
Schriftliches Wurzelziehen
• Verfahren ähnlich dem schriftlichen Dividieren, Schritte an Beispiel erläutert:
Anweisung
1 Zerlege die Zahl
2
3
von rechts
beginnend in
Zweiergruppen
Bestimme größte
Quadratzahl, die
kleiner gleich der
linken
Zweiergruppe ist,
subtrahiere diese
und schreibe
Wurzel dieser
Quadratzahl als
erste Ziffer des
Ergbnisses
Ziehe nachfolgende
Ziffer runter
Beispiel: √119025
4 1. NR: nach Ziffer
5
6
herunterziehen
entstandene Zahl
durch doppeltes des
bisherigen
Ergebnisses teilen,
Rechnung mit Rest
Ergebnis der 1. NR
ist nächste Ziffer
der Wurzel und geht
in 2. NR ein:
Produkt aus
(Ergebnis 1. NR)
(Zahl aus Ziffern
des Dividenden und
Ergebnis 1. NR)
bilden
Ergebnis in
Hauptrechnung
abziehen, nachdem
weitere Ziffer
heruntergezogen
wurde
7 Wiederhole ab
Schritt 3
•
Bemerkungen:
zu 1): enthält die Zahl ein Komma (oder fügt man ,0000 an), so werden die
Zweiergruppen vom Komma ausgehend nach links und rechts gebildet
zu 4): erhält man als Ergebnis der 1.NR eine Zahl >9, verwendet man in den weiteren
Schritten einfach die 9
zu 6): erhält man nach Subtraktion ein negatives Ergebnis geht man zurück zu Schritt
4, verringert das Ergebnis der 1. NR um Eins und rechnet mit dieser Zahl
weiter, eventuell muss Ergebnis aus Schritt 4 mehrmals verringert werden
Im Unterricht behandelte Aufgaben:
Lösungen der Klausuraufgaben zu diesem Thema:
Aufgabe 1 – Klasse 5:
Berechne mit der Methode des schriftlichen Wurzelziehens √7396 !
Lösung:
Aufgabe 1 – Klasse 6:
Berechne mit der Methode des schriftlichen Wurzelziehens √26896 !
Lösung:
Aufgabe 2
Begründe, warum √160223 keine rationale Zahl sein kann! (Argumentieren, nicht
ausrechnen!)
Lösung: √160223 ist nur dann eine rationale Zahl, wenn 160233 eine Quadratzahl ist.
Allerdings endet 160233 auf 3 und es ist schnell gezeigt, dass Quadratzahlen nie auf 3 enden
können, denn:
(…0)2 = …0
(…5)2 = …5
(…1)2 = …1
(…6)2 = …6
(…2)2 = …4
(…7)2 = …9
(…3)2 = …9
(…8)2 = …4
(…4)2 = …6
(…9)2 = …1
mit … = beliebige Ziffern
Quadratzahlen enden also immer auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9, aber nie auf 3. Somit ist 160233
keine Quadratzahl und folglich √160223 keine rationale Zahl, sondern eine irrationale.
Aufgabe 3
Benutze die Intervallmethode um √13 zu nähern. Gib eine Nachkommastelle des Ergebnisses
an!
Lösung: Vergleich mit umgebenden Quadratzahlen liefert 1. Intervall:
3 = √9 < √13 < √16 = 4
√13 ∈ (3; 4)
Quadrat der Intervallmitte bestimmen, vergleichen: 3,52 = 12,25
3,5 = 12,25 < √13 < √16 = 4
√13 ∈ (3,5; 4)
Quadrate von 3,6; 3,7 (gegebenenfalls 3,8; 3,9) bestimmen und vergleichen:
3,62 = 12,96
3,6 = √12,96 < √13 < √16 = 4
√13 ∈ (3,6; 4)
2
3,7 = 13,69:
3,6 = √12,96 < √13 < √13,96 = 3,7
√13 ∈ (3,6; 3,7)
√13 = 3,6 …