Präsentation Bandornamente/Parkette

Symmetriearten
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Achsensymmetrie
Punktsymmetrie
Drehsymmetrie
Schubsymmetrie
Schubspiegelungssymmetrie
Gibt es schubsymmetrische
Figuren?
Bandornamente, die als unendlich zu betrachten sind, sind
schubsymmetrisch.
Bandornamente
aus verschiedenen
Kulturen
Dieses Bandornament ist nicht nur
achsensymmetrisch und schubsymmetrisch, sondern
auch schubspiegelungssymmetrisch.
Muster in der Fläche
Parkettieren
= vollständiges lückenloses, überlappungsfreies
Auslegen der Ebene mit Figuren
Dreiecksparkette
Abgeleitete Figuren
„Nicht-normale“ Parkette
aus Quadraten …
„Nicht-normale“ Parkette aus Rechtecken
Ein Parkett aus einem allgemeinen
Viereck erstellen
Parkette aus Vierecken …
Parkett aus konkavem Viereck
Parkett aus konkavem Viereck
Gegenbeispiel
Notwendige Passbedingungen
beim Parkettieren
• Beim „normalen“ Parkett stoßen die
Figuren an einer Ecke zusammen:
Der Gesamtwinkel muss genau 360°
betragen.
• Aneinander stoßende Seiten müssen hier
gleich lang sein.
Innenwinkelsumme S im n-Eck
Kernidee:
Zerlegen in Dreiecke
Im Fünfeck:
3x180°
Jedes weitere
hinzukommende Eck
bedeutet ein weiteres
Dreieck, also +
1x180°
Allgemein:
S = (n-2) x 180°
Innenwinkelsumme S im n-Eck
Kernidee:
Zerlegen in Dreiecke
Im Fünfeck:
5x180° - 360°
Allgemein:
S = nx180° - 360° =
nx180° - 2x180° =
(n-2) x 180°
Archimedische Parkette
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Sie enthalten zwei oder mehr
Sorten regelmäßiger Vielecke
An jeder Ecke gibt es von
jeder Vieleckssorte die gleiche
Anzahl
Jede Seite eines Vielecks ist
Seite eines weiteren Vielecks;
insbesondere sind alle Seiten
gleichlang
Zu je zwei Ecken P und Q des
Parketts gibt es Drehungen,
Verschiebungen oder
Spiegelungen, die P auf Q und
das Parkett auf sich abbilden
Zählweise bei
archimedischen
Parketten
Innenwinkel in regelmäßigen n-Ecken
n-Eck
3
4
5
6
8
9
10
12
15
Winkel
60°
90°
Innenwinkel in
regelmäßigen
n-Ecken
3
60°
4
90°
5
108°
6
120°
7
128 4/7°
8
135°
9
140°
10
144°
11 147 3/11°
12
150°
15
156°
18
160°
20
162°
24
165°
42 171 3/7°
Die Passbedingungen sind hier zunächst erfüllt. Jedoch
lässt sich die Ebene nicht mit dem Typ 10,5,5 parkettieren
Parkettieren mit
mindestens zwei
Sorten regelmäßiger
Figuren:
Bei einem
archimedischen
Parkett sind alle
Ecken vom gleichen
Typ.
Hier 3,3,3,4,4
bzw. 4,3,4,3,3
Typ: 4,3,4,6
3-Eck 4-Eck 6-Eck 8-Eck 12-Eck Summe
60°
90° 120° 135° 150°
360°
1
1
2
2
3
4
0
1
0
1
Entstehung weiterer Parkette