Mathematik 1

Skript zur Vorlesung
Mathematik 1
für Studierende der Bachelorstudiengänge Chemie und Biophysik
Dr. Caroline Löbhard
13. Oktober 2015
Inhaltsverzeichnis
1 Folgen und Konvergenz
1.1 Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . .
1.2 Grenzwert und Konvergenz einer Folge
1.3 Grenzwertsätze/Rechenregeln . . . . .
1.4 Punktfolgen im Rn (n ∈ N) . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
9
10
3
1 Folgen und Konvergenz
1.1 Folgen reeller Zahlen
Definition 1.1. Eine reelle Zahlenfolge ist eine Abbildung f : N → R die jeder
natürlichen Zahl n ∈ N eine reelle Zahl an = f (n) zuordnet. Anstatt f schreibt man
üblicherweise (an )n∈N .
Beispiel 1.2.
Definition 1.3. Ist (an )n∈N ⊂ R eine Folge und g : N → N eine Auswahlfunktion mit
g(n + 1) > g(n), so ist (bn )n∈N = (ag(n) )n∈N eine Teilfolge von (an )n∈N .
Beispiel 1.4.
Definition 1.5. Eine Zahl a ∈ R heißt Häufungspunkt (HP) einer Folge (an )n∈N , wenn
für ein beliebiges > 0 die Ungleichung
|a − an | < für unendlich viele n ∈ N erfüllt ist.
5
1 Folgen und Konvergenz
Beispiel 1.6.
1.2 Grenzwert und Konvergenz einer Folge
Definition 1.7.
wenn gilt:
(i) Eine Zahl a ∈ R heißt Grenzwert (GW) einer Folge (an )n∈N ⊂ R
∀ > 0 ∃N ∈ N, so dass ∀n ∈ N mit n ≥ N : |a − an | < .
n→∞
Man schreibt a = limn→∞ an oder an −→ a und sagt: Die Folge (an )n∈N konvergiert
gegen a.
(ii) Das Symbol ∞ (Unendlich) heißt uneigentlicher Grenzwert einer Folge (an )n∈N ⊂
R wenn gilt:
∀K ∈ R ∃NK ∈ N, so dass ∀n ∈ N mit n ≥ NK : an > K.
n→∞
Man schreibt an −→ ∞ und sagt: Die Folge (an )n∈N divergiert bestimmt gegen
Unendlich.
(iii) Das Symbol −∞ heißt uneigentlicher Grenzwert einer Folge (an )n∈N ⊂ R wenn
gilt:
∀K ∈ R ∃NK ∈ N, so dass ∀n ∈ N mit n ≥ NK : an < K.
n→∞
Man schreibt an −→ −∞ und sagt: Die Folge (an )n∈N divergiert bestimmt gegen
Minus Unendlich.
6
1.2 Grenzwert und Konvergenz einer Folge
Beispiel 1.8.
Satz 1.9.
(i) Besitzt eine Folge keinen HP, so ist sie bestimmt divergent.
(ii) Besitzt eine Folge genau einen HP, so ist dies ihr Grenzwert.
(iii) Besitzt eine Folge mehrere HPe, so ist sie unbestimmt divergent, d.h. sie konvergiert nicht, und divergiert auch nicht bestimmt gegen ∞ oder −∞.
Beispiel 1.10.
Definition 1.11. Eine Folge (an )n∈N mit limn→∞ an = 0 heißt Nullfolge (NF).
Satz 1.12. Es sei a ∈ R, (an )n∈N ⊂ R. Es gilt:
lim an = a
n→∞
⇔
lim |a − an | = 0.
n→∞
Beispiel 1.13.
7
1 Folgen und Konvergenz
Satz 1.14. Es sei x ∈ R und (an )n∈N = (xn )n∈N . Es gilt:
(xn )n∈N ist eine Nullfolge
⇐⇒
|x| < 1.
Definition 1.15. Eine Folge (an )n∈N ⊂ R heißt beschränkt, wenn eine Zahl M ∈ R
existiert, so dass für alle n ∈ N gilt:
|an | < M.
Beispiel 1.16.
Satz 1.17. (i) (Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen
Häufungspunkt.
(ii) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
(iii) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beispiel 1.18.
8
1.3 Grenzwertsätze/Rechenregeln
1.3 Grenzwertsätze/Rechenregeln
Satz 1.19. Es sei limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b, a, b ∈ R. Dann gilt:
(i) limn→∞ (an ± bn ) = limn→∞ an ± limn→∞ bn ,
(ii) limn→∞ (an · bn ) = limn→∞ an · limn→∞ bn ,
(iii) Falls b 6= 0, ∀n ∈ N : bn 6= 0: limn→∞
an
bn
=
limn→∞ an
,
limn→∞ bn
(iv) Ist (cn )n∈N eine Teilfolge von (an )n∈N , so konvergiert (cn )n∈N auch gegen a.
Ist limn→∞ an = a = ±∞ und limn→∞ bn = b ∈ R ∪ {±∞}, so gilt
a, falls b 6= −a,
(v) limn→∞ (an ± bn ) =
??, falls b = −a,

 a, falls b > 0,
−a, falls b < 0,
(vi) limn→∞ (an · bn ) =

??, falls b = 0,

 a, falls b > 0, b 6= ∞
an
−a, falls b < 0, b 6= −∞
(vii) limn→∞ bn =

??, falls b = ±∞,
(viii) Ist (cn )n∈N eine Teilfolge von (an )n∈N , so konvergiert (cn )n∈N auch gegen a.
Beispiel 1.20.
Definition 1.21. Eine Folge (an )n∈N ⊂ R heißt
(i) monoton wachsend, falls ∀n ∈ N :
(ii) monoton fallend, falls ∀n ∈ N :
an+1 ≥ an ,
an+1 ≤ an .
9
1 Folgen und Konvergenz
Beispiel 1.22.
Satz 1.23. Jede monotone, beschränkte Folge konvergiert.
n konvergiert. Der Grenzwert heißt EuSatz 1.24. Die Folge (an )n∈N = 1 + n1
n∈N
ler’sche Zahl,
n
1
e := lim 1 +
.
n→∞
n
Satz 1.25 (Sandwich-Lemma). Es seien (an )n∈N , (bn )n∈N ⊂ R zwei Folgen mit dem
selben Grenzwert g = limn→∞ an = limn→∞ bn . Außerdem sei (xn )n∈N ⊂ R eine Folge,
so dass für ein N ∈ N gilt:
∀n ∈ N, n ≥ N : an ≤ xn ≤ bn .
Dann folgt:
lim xn = g.
n→∞
Beispiel 1.26.
1.4 Punktfolgen im Rn (n ∈ N)
In diesem Abschnitt repräsentiert n ∈ N die Raumdimension. Vektoren x im Raum Rn
besitzen also n Komponenten.
Definition 1.27. Eine Punktfolge im Rn ist eine Abbildung f : N → Rn . Man schreibt
xk = f (k) ∈ Rn , (xk )k∈N ⊂ Rn .
Beispiel 1.28.
10
1.4 Punktfolgen im Rn (n ∈ N)
Definition 1.29. Ein Vektor x̄ ∈ Rn heißtGrenzwert einer Folge (xk )k∈N ⊂ Rn , wenn
jede Komponente der Folge gegen die jeweilige Komponente von x̄ konvergiert, d.h.,
wenn
∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : lim xk,i = x̄i .
k→∞
Beispiel 1.30.
11