Topologie

Topologie
Mitschri der Vorlesung von
Dr. Foertsch
Tobias Berner
Universität Zürich
Frühjahrssemester 2008
Graphiken Linus Romer
Inhaltsverzeichnis
1
Metrische Räume
2
Topologische Grundbegriffe
2.1 Topologie und Stetigkeit . . . . . . . . . . . .
2.2 Die Abzählbarkeitsaxiome . . . . . . . . . .
2.3 Etwas Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Der Filterbegriff . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Was ist ein Filter . . . . . . . . . . .
2.4.2 Das Hausdorffsche Trennungsaxiom
2.4.3 Ultra lter . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Bild lter & Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . .
3
3
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6
6
9
12
14
14
17
20
21
Konstruktion Topologischer Räume
3.1 Initiale Topologien, Restriktion und Produktbildung . . . . . . . . .
3.2 Finale Topologien und Quotientenräume . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 C k -Manngifaltigkeiten und C k -Abbildungen, k ∈ N ∪ {∞}
3.3.2 Konstruktionen mit C k Mannigfaltigkeiten M . . . . . . . .
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22
22
24
26
26
28
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4
Zusammenhang und wegweise Zusammenhang
30
4.1 Der Wegzusammenhang und erste Nicht-Homöomorphie Beweise . . . . 30
4.2 Der Zusammenhangsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5
Kompaktheit
34
5.1 De nitionen und Grundlegende Fakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Der Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Abzählbare- und Folgen-Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6
Die Fundamentalgruppe
42
6.1 Homotopien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Die Fundamentalgruppe der S 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Induzierte Homomorphismen und Π1 (S n ) für n ≥ 2 . . . . . . . . . . . 49
7
Wegzusammenhängende Überlagerungen
Index
2
51
55
1 Metrische Räume
De nition 1.1 Sei X eineMenge. Eine Abbildung d ∶ X × X → R+0 heisst eine Metrik,
wenn sie den folgenden Bedingungen genügt.
1. d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ,
2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X ,
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X .
Beispiel 1.2
1. Sei (V, ∥⋅∥) ein normierter Vektorraum. Dann induziert die Norm ∥⋅∥ auf folgende
Weise eine Metrik d∥⋅∥ ∶ V × V → R+0 auf V :
.v − u
v.
.
u
.
Figure 1.1
d∥⋅∥ (u, v) = ∥v − u∥ ∀v, u ∈ V.
2. Sei X ⊂ Rn . Dann sind durch
n
1/2
de (x, y) = (∑ ∣xi − yi ∣2 )
i=1
n
∀x, y ∈ X,
M n.
ds (x, y) = ∑ ∣xi − yi ∣
∀x, y ∈ X,
i=1
dm (x, y) = max {∣xi − xj ∣}
i=1,...,n
∀x, y ∈ X
.φ
die Euklidische Metrik de , die Summenmetrik ds und die Maximal Metrik dm
erklärt.
3. Sei (M, g) eine zusammenhängende Riemannsche C 1 -Mannigfaltigkeit. Dann induziert g auf folgende Weise eine Metrik auf M .
c ∶ [a, b] → M , L(c) ∶= ∫a ∥c′ (t)∥ d t,
dg (x, y) ∶= inf{L(c) ∣ c ist stückweise C 1 und verbindet x mit y}
φ○ψ
.
.
⊂ Rn
dD (x, y) ∶= {
c.
.
Tangentialräume
.
Figure 1.2
1 falls x ≠ y
0 sonst,
die sogenannte diskrete Metrik gegeben.
3
.
⊂ Rn
M n.
b
4. Sei M eine Menge. Dann ist durch dD ∶ M × M → R+0 , mit
ψ.
−1
Metrische Räume
De nition 1.3
1. Eine Abbildung f ∶ (X, dX ) → (Y, dY ) zwischen metrischen Räumen heisst
stetig , wenn ∀x ∈ X , ε > 0 ∃δ = δ(x, ε) > 0, so dass
dX (x, x′ ) < δ Ô⇒ dY (f (x), f (x′ )) < ε.
(∀x ∈ X, ε > 0, ∃δ = δ(x, ε) > 0 so dass f (Bδ (x)) ⊂ Bε (f (x))).
2. Eine Abbildung heisst Homöomorphismus, wenn f bijektiv ist und sowohl f als
auch f −1 stetig sind.
3. Zwei metrische Räume heissen homöomorph zueinander, wenn es einen zwihomöo
schen ihnen vermittelnden Homöomorphismus gibt. (X, dX ) ≅ (Y, dY )
4. Die Abbildung heisst isometrisch, wenn
dX (x, x′ ) = dY (f (x), f (x′ )) ∀x, x′ ∈ X.
Eine bijektive isometrische Abbildung heisst Isometrie.
5. Zwei metrische Räume heissen isometrisch zueinander, wenn es eine Isometrie
isom
gibt, die zwischen ihnen vermittelt. (X, dX ) ≅ (Y, dY ).
6. Zwei Metriken d, d ∶ X × X → R+0 auf derselben Menge X heissen äquivalent,
wenn die Identitätsabbildung
id ∶ (X, d) → (X, d)
ein Homöomorphismus ist.
Bemerkung 1.4 Vom Standpunkt der metrischen Geometrie (der eorie der metrischen
Räume) identi ziert man zwei solche Räume genau dann miteinander, wenn sie isometrisch zueinander sind.
.Dn
.Bn
Notation
Dn ∶= {x ∈ Rn ∣ ∥x∥ ≤ 1} ⊂ Rn ,
B n ∶= {x ∈ Rn ∣ ∥x∥ < 1} ⊂ Rn ,
.Sn−1
S n−1 ∶= {x ∈ Rn ∣ ∥x∥ = 1} ⊂ Rn ,
.In
I n ∶= {(x1 , . . . , xn )⊺ ∈ Rn ∣ 0 ≤ xi ≤ 1∀i = 1, . . . , n} ⊂ Rn ,
W n ∶= {(x1 , . . . , xn )⊺ ∈ Rn ∣ ∣xi ∣ ≤ 1, i = 1, . . . , n} ⊂ Rn ,
S+n ∶= {x ∈ S n ∣ xn+1 ≥ 0}.
.Sn−1
+
.Wn
.
Figure 1.3
Beispiel 1.5
homöo
.R
1. S+n ≅ Dn
√
f ∶ Dn → S+n , x ↦ (x, 1 − ∥x∥2 )
f −1 ∶ S+n → Dn , (y, t) ↦ y .
n+1
Sn
+.
Dn
.
.
Figure 1.4
4
homöo
homöo
2. B n ≅ W n ≅ I n
f ∶ I n → W n , x ↦ 2x − (1, . . . , 1)⊺ .
i ∣}
g ∶ W n → B n , x ↦ max{∣x
x und g(0) = 0.
∥x∥
g −1 ∶ y ↦
I. n
∥y∥
y.
max{yi }
3. Alle durch Normen auf dem Rn induzierten Metriken sind zueinander äquivalent.
. n
.W
Figure 1.5
De nition 1.6 Sei (X, dX ) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge O ⊂ X heisst offen
in (X, dX ), wenn ∀o ∈ O ein ε = ε(o) existiert, so dass Bε(o) (o) ⊂ O.
Behauptung 1.7 Bε (x) ist offen.
B Sei x′ ∈ Bε (x) beliebig. Dann gilt d(d, x′ ) < ε.
Dann gilt B ε−d(x,x′ ) (x′ ) ⊂ Bε (x).
.
.
skalieren
Figure 1.6
2
Denn für x′′ ∈ B ε−d(x,x′ ) (x′ ) gilt
2
′
)
d(x, x′′ ) ≤ d(x, x′ ) + d(x′ , x′′ ) < d(x, x′ ) + ε−d(x,x
= 12 (ε + d(x, x′ )) < ε.
2
Behauptung 1.9 Eine Abbildung f ∶ (X, dX ) → (Y, dY ) ist genau dann stetig, wenn
Urbilder f −1 (O) beliebiger offener Mengen O ⊂ (Y, dY ) offen sind.
B
“⇐” Seien Urbilder beliebiger offener Mengen offen.
Dann insbesondere f −1 (Bε (f (x))) offen, ∀ ∈ X ε > 0.
Das heisst ∃δ = δ(x, ε) > 0, so dass Bδ (x) ⊂ f −1 (Bε (f (x)))
Ô⇒ f (Bδ (x)) ⊂ Bε (f (x))
Ô⇒ f ist stetig.
.O
.Bε(o) (o)
o.
.
Figure 1.7
x′ .
.x′′
x.
.
ε
“⇒” Sei f nun stetig und O ⊂ (Y, dY ) offen.
Sei x ∈ f −1 (O) beliebig. Dann gilt f (x) ∈ O.
Und da O offen ist, ∃ε > 0, so dass Bε (f (x)) ⊂ O.
Da f stetig ist, ∃δ = δ(x, ε), so dass f (Bδ (x)) ⊂ Bε (f (x)).
Ô⇒ Bδ (x) ⊂ f −1 (Bε (f (x)) ⊂ f −1 (O).
Da x beliebig in f −1 (O) war, ist f −1 (O) offen.
.B ε−d(x,x′ )
2
.
Figure 1.8
Behauptung 1.11 Sei (X, d) ein metrischer Raum und bezeichne T ⊂ P(X) die Familie
der offenen Mengen in (X, dX ).
Dann gelten
1. ∅, X ∈ T ,
2. Oi ∈ T , i ∈ I Ô⇒ ⋃i∈I Oi ∈ T
3. Oi ∈ T , i = 1, . . . , n Ô⇒ ⋂n
i=1 Oi ∈ T .
5
2 Topologische Grundbegriffe
2.1. Topologie und Stetigkeit
De nition 2.1
1. Sei M eine Menge. Unter einer Topologie auf M versteht man eine Familie
T ⊂ P(M ) von Teilmengen von M , so dass gilt:
(a) ∅, M ∈ T ,
(b) Oi ∈ T , i ∈ I Ô⇒ ⋃i∈I Oi ∈ T
(c) Oi ∈ T , i = 1, . . . , n Ô⇒ ⋂n
i=1 Oi ∈ T .
2. Sei M eine Menge und T eine Topologie auf M , dann heisst (M, T ) ein topologischer Raum. Die Elemente von T heissen offen.
Beispiel 2.2
1. Nach Behauptung 1.11 bilden die offenen Mengen eines metrischen Raumes eine
Topologie.
Sie heisst die von d auf X induzierte Topologie.
∥ ⋅ ∥1 ,. ∥ ⋅ ∥2
Rn .
2. Nach Beispiel 1.5.3 stimmen die von Normen auf Rn induzierten Topologien alle
miteinander überein.
Diese Topologie heisst auch kanonische Topologie auf Rn .
.
Figure 2.9
3. Sei M eine Menge. Dann ist durch dD ∶ M × M → R+0 , mit
dD (x, y) ∶= {
.B 1 (x)
1 falls x ≠ y
0 sonst
2
eine Metrik auf M erklärt.
Die induzierte Topologie TD = P(M ) heisst die diskrete Topologie auf M .
x.
4. Sei M eine Menge. Dann heisst T = {∅, M }, die sogenannte Klumpen Topologie
von M .
.
Figure 2.10
5. Sei M eine Menge. Die sogenannte Komplement-endlich Topologie auf M besteht
aus allen Mengen in M mit endlichem Komplement und der leeren Menge.
6
2.1 Topologie und Stetigkeit
De nition 2.3 Seien (X, T ) ein topologischer Raum, und sei M ⊂ X .
1. M heisst abgeschlossen, wenn X/M = M c offen ist.
2. Eine Obermenge U ⊃ M heisst Umgebung von M , wenn ein O ⊂ T existiert, so
dass M ⊂ O ⊂ U .
3. Ein Punkt p ∈ M heisst innerer Punkt von M , falls M Umgebung von p ist.
Der offene Kern M ○ von M ist als die Menge aller innerer Punkte von M erklärt.
4. Ein Punkt p ∈ X heisst Berührungspunkt von M , falls für jede Umgebung U von
p gilt U ∩ M ≠ ∅.
Der Abschluss M von M ist als die Menge aller Berührpunkte erklärt.
5. Ein p ∈ X heisst Häufungspunkt von M , falls für alle Umgebungen U um p gilt
U ∩ M /{p} ≠ ∅.
6. Ein Punkt p ∈ X heisst Randpunkt von M , wenn er Berührungspunkt sowohl
von M als auch von X/M ist.
.
Figure 2.11
Behauptung 2.4 Sei (X, T ) ein topologischer Raum.
1.
(a) M ○ ist die grösste offene Teilmenge von M .
(b) Es gilt M1 ⊂ M2 Ô⇒ M1○ ⊂ M2○ .
(c) Es gilt (M1 ∩ M2 )○ = M1○ ∩ M2○ .
2. Es gilt X/M ○ = X/M .
3.
(a) M ist die kleinste abgeschlossene Menge in X die M enthält.
(b) M1 ⊂ M2 Ô⇒ M 1 ⊂ M 2 .
(c) (M1 ∪ M2 ) = M 1 ∪ M 2 .
4. Seien U1 , . . . , Un Umgebungen von p ∈ X . Dann ist auch ∩n
i=1 Ui eine Umgebung
von p.
Ist ferner V ⊃ Ui , dann sind auch V , sowie V ○ Umgebungen von p.
B
1.
.
innerer Punkt
(a) M ○ ist offen. Sei p ∈ M ○ . Dann existiert O ∈ T , so dass p ∈ O ⊂ M . Sei
q ∈ O beliebig dann gilt q ∈ O ⊂ M Ô⇒ q ∈ M ○ . Also gilt p ∈ O ⊂ M ○ und
da p beliebig war, ist M ○ offen.
̃ eine offene Teilmenge von M und q ∈ M
̃. Dann ∃O ∈ T mit
Sei nun M
̃ ⊂ M.
q∈O⊂M
̃ ⊂ M ○.
Ô⇒ q ∈ M ○ , also M
(b) Sei M1 ⊂ M2 , p ∈ M ○ . Dann ∃O ∈ T mit p ∈ O ⊂ M1 ⊂ M2
Ô⇒ p ∈ M2○ , aber M1 ⊂ M2 Ô⇒ M1○ ⊂ M2○ .
7
.
Berührpunkte
Topologische Grundbegriffe
(c) Aus (b) folgt zunächst mit M1 ∩ M2 ⊂ Mi , i = 1, 2, so dass
(M1 ∩ M2 )○ ⊂ Mi○ , i = 1, 2
Ô⇒ (M1 ∩ M2 )○ ⊂ M1○ ∩ M2○ .
Für die ndere Inklusion: Sei p ∈ M1○ ∩ M2○ . Dann ∃O1 , O2 ∈ T , so dass
p ∈ O ⊂ Mi , i = 1, 2.
Sei nun O = O1 ∩ O2 . Dann gilt p ∈ O ⊂ M1 ∩ M2 .
Das heisst p ∈ (M1 ∩ M2 )○ .
2. p ∈ X/M ⇐⇒ Für jede Umgebung V von p gilt V ∩ X/M ≠ ∅ ⇐⇒ p ∉ M ○ .
3.
(a) Nach 2. gilt: M = X/(X/M ) = X/(X/M )○ .
Das heisst M ist abgeschlossen.
Ferner ist fr� eine abgeschlossene Teilmenge A ⊂ X immer A = A.
A = X/(X/A) = X/(X/A)○ = X/(X/A) = A.
(b) Jetzt:M1 ⊂ M2 Ô⇒ M 1 ⊂ M 2 .
M1 ⊂ M2
Ô⇒ X/M2 ⊂ X/M1 .
1.
Ô⇒ (X/M2 )○ ⊂ (X/M1 )○
Ô⇒ X/(X/M1 )○ ⊂ X/(X/M2 )○
2.
Ô⇒ X/(X/M1 ) ⊂ X/(X/M2 )
Ô⇒ M 1 ⊂ M 2 .
(c) M1 ∪ M2 = X/(X/(M1 ∪ M2 )
2.
= X/(X/(M1 ∪ M2 ))○
= X/(X/M1 ∩ X/M2 )○
1.
= X/(X/M1 )○ ∩ (X/M2 )○
= X/(X/M1 )○ ∪ X/(X/M2 )○
2.
= X/(X/M1 ) ∪ X/(X/M2 )
= M 1 ∪ M 2.
De nition 2.6
1. Eine Abbildung f ∶ (X, TX ) → (Y, TY ) zwischen topologischen Räumen ist
stetig , wenn für alle O ∈ TY auch f −1 (O) ∈ TX gilt.
Das heisst Urbilder f −1 (O) beliebiger offener Mengen O in (Y, TY ) sind offen
in (X, TX ).
2. Die Abbildung f heisst Homöomorphismus, wenn sie bijektiv ist, und sowohl f
als auch f −1 stetig sind.
3. Zwei topologische Räume heissen homöomorph zueinander, wenn es einen Homöomorphismus gibt, der zwischen ihnen vermittelt.
Bemerkung 2.7
1. In der Topologie identi ziert man zwei topologische Räume genau dann miteinander, wenn sie homömorph zueinander sind.
2. Sei #X > 1. Dann ist id ∶ (X, TD ) → (X, TK ) eine bijektive stetige Abbildung,
doch die Umkehrabbildung ist nicht stetig.
8
2.2 Die Abzählbarkeitsaxiome
3. Es ist klar, dass Kompositionen stetiger Funktionen wieder stetig sind.
4. Die aus der Analysis bekannte äquivalente Beschreibung der Stetigkeit einer Funktion über die Konvergenz von Folgen, verallgemeinert sich auf beliebige topologische Räume nur stark modi ziert. (Siehe dazu ?? und ??).
2.2. Die Abzählbarkeitsaxiome
De nition 2.8 Sei (X, T ) ein topologischer Raum
1. Eine Teilmenge B der Topologie T , also eine Menge von offenen Mengen aus
(X, T ), heisst Basis der Topologie, wenn sich jede offene Menge als Vereinigung
von Elementen aus B schreiben lässt.
2. Eine Teilmenge S der Topologie T heisst Subbasis der Topologie, wenn jedes Element aus T die Vereinigung von endlichen Schnitten von Elementen aus S ist,
das heisst
T = {⋃ Sι′ ∣ Sι′ ∈ S ′ }
ι∈I
wobei
n
S ′ ∶= { ⋂ Si ∣ n ∈ N, Si ∈ S}
i=1
3. Sei x ∈ X . Dann heisst eine Menge U von Umgebungen von x eine Umgebungsbasis von X , wenn in jeder Umgebung von x ein Element aus U enthalten ist.
Bemerkung 2.9
1. Die offenen Abstandsbälle im Rn bilden eine Basis der Kanonischen Topologie
des Rn . Die offenen Abstandsbälle mit rationalen Basiskoordinaten und rationalen
Radien bilden eine abzählbare Basis der selben Topologie.
2. Die Umgebungen eines Punktes eines topologischen Raumes bilden eine (uninteressante) Umgebungsbasis.
Sei X = Rn , x ∈ X . Dann bilden die offenen Abstandsbälle B1/n (x), n ∈ N eine
abzählbare Umgebungsbasis.
3. Bildet man den Durchschnitt von gar keinen Mengen, dann ist das nach De nition
der gesamte Raum. Damit behält nämlich
( ⋂ Vj ) ∩ ( ⋂ Vi ) = ⋂ Vi
j∈J
i∈I
i∈I∪J
Gütltigkeit.
Lemma 2.10 Sei X eine Menge und S eine Famlie von Teilmengen von X . Es seien
S ′ ∶= {S1 ∩ S2 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ Sn ∣ n ∈ N, Si ∈ S, i = 1, . . . , n}
sowie
T ∶= { ⋃ Si′ ∣ Si′ ∈ S ′ } ∪ {∅, X}.
i∈I
Dann ist T eine Topologie mit Subbasis S und Basis S ′ .
9
pr−1
X (O
. X)
Y.
soll offen sein.
OY .
y.
Topologische Grundbegriffe
pr.Y (x,
. y)
prX .
.
[Beweis Übung]
Figure 2.12
De nition 2.11 Ein topologischer Raum erfüllt das Erste Abzählbarkeits Axiom (ist also
), wenn jeder seiner Punkte eine abzählbare Umbgebungsbasis hat. Er erfüllst das
Zweite Abzählbarkeits Axiom (ist also ), wenn seine Topologie eine abzählbare Basis
besitzt.
Bemerkung 2.12
1. Allgemein gilt  Ô⇒ . Aber nicht umgekehrt.
2. Ganz genauso wie für den Rn sieht man ein, dass metrische Toppologien  sind.
Bemerkung 2.13 Hat ein topologischer Raum eine überabzählbare diskrete Teilmenge
das heisst existieren überabzählbar viele Punkte mit paarweise disjunkten Umgebungen,
so ist der Raum nicht .
Beispiel 2.14
.fπ
1. Sei Cb (R) die Menge der stetigen, beschränkten Funktionen auf R versehen mit
der Supremumsnorm:
8.
6.
∥ ⋅ ∥sup ∶ Cb (R) → R+0 ,
4.
2.
.
Figure 2.13
.
n∈Z
∥f ∥sup ∶= sup ∣f (x)∣
x∈R
x ∈ R+0 ↦ fx , d.h. x ≠ y ∈ R+0 Ô⇒ ∥fx − fy ∥sup ≥ 1. Ô⇒ (Cb (R), ∥ ⋅ ∥sup ) ist
nicht .
.
R
2. Sei X ein nicht-separabler Hilbertraum, d.h. ein Hilbertraum, der keine abzählbare Hilbertbasis besitzt.
Eine Hilbertbasis {ei }i∈I ist dann überabzählbar und ∀ei , i ∈ I , i ≠ j gilt d⟨ , ⟩ (ei , ej ) =
√
2.
Ô⇒ X ist nicht .
Funktions ndung durch
Dezimalbruchentwicklung
3. Um einen topologischen Raum anzugeben, der nicht  ist, werfen wir einen ersten Blick auf unendliche Produkte.
Sei also {Xj }j∈J eine Familie von Mengen. Dann versteht man unter ihrem mengentheoretischen Produkt ∏j∈J Xj die Familie von J -Tupeln
∏ Xι ∶= {{xj }j∈J ∣ xj ∈ Xj ∀j ∈ J }
ι∈J
.offene Zylinder
Ist j ∈ J beliebig. Dann heisst
pri ∶ ∏ Xj → Xi , {xj }j∈J ↦ xi
.
offenes Kästchen
j∈J
die Projektion auf den i-ten Faktor.
.
Figure 2.14
Die Urbilder offener Mengen der Faktoren unter den entsprechenden Projektionen heissen offene Zylinder . Ein offenes Kästchen ist der endliche Schnitt offener Zylinder.
X2 .
10
Xj. 0
.
Figure 2.15
.
X1
.
x
.
OX ∈ TX
2.2 Die Abzählbarkeitsaxiome
De nition 2.15 Unter der Produkttopologie versteht man die gröbste Topologie auf
∏j∈J Xj , so dass alle Projektionen stetig sind.
Das heisst die offenen Zylinder bilden eine Subbasis der Topologie und die offenen Kästchen bilden eine Basis.
Behauptung 2.16 Ist J überabzählbar und jedes Xj nicht-trivial (d.h. dass es abgesehen
von ∅ und Xj noch wenigstens eine offene Menge in Xj gibt.)
Dann ist ∏j∈J Xj versehen mit der Produkttopologie nicht .
B Für jedes j ∈ J wähle eine offene Menge Uj ∈ Tj , die weder ∅ noch ganz Xj ist.
Wähle weiter ein xj ∈ Uj für jedes j ∈ J .
Hätte der Punkt {xj }j∈J eine abzählbare Umgebungsbasis, dann hätte er schon eine abzählbare Umgebungsbasis die aus offenen Kästchens besteht.
Aber an abzählbar vielen Kästchen können überhaupt nur abzählbar viele j beteiligt sein.
Wähle ein unbeteiligtes j0 ∈ J .
Dann enthält pr−1
j0 (Vj0 ) keines jener Kästchen.
De nition 2.18
1. Eine Folge {xi } in einem topologischen Raum heisst konvergent gegen x ∈ X ,
falls für jede Umgebung U von x ein n0 = n0 (U ) ∈ N existiert so dass xn ∈ U
∀n ≥ n0 .
2. Eine Abbildung f ∶ (X, TX ) → (Y, TY ) heisst folgenstetig , wenn für jede gegen
ein x ∈ X konvergierende Folge {xi } in X die entsprechende Bildfolge gegen
f (x) konvergiert. (Da s heisst xi → x Ô⇒ f (xi ) → f (x).)
X.
x.
Bemerkung 2.19 Eine stetige Abbildung f ∶ (X, TX ) → (Y, TY ) ist immer auch folgenstetig. Umgekehrt folgt aus der Folgenstetigkeit im allgemeinen nicht die Stetigkeit.
Es gilt aber
Behauptung 2.20 Sei f ∶ (X, TX ) → (Y, TY ) eine Abbildung. Sei (X, TX ) .
Dann ist f genau dann stetig, wenn f folgenstetig ist.
B Zu zeigen: f ist folgenstetig Ô⇒ f stetig.
⇐⇒ [f ist nicht stetig Ô⇒ f ist nicht folgenstetig.]
xi .
X = Menge der stetigen Funktionen f ∶ [0, 1] → [−1, 1] ⊂ [−1, 1][0,1] = ∏ [−1, 1]
j∈[0,1]
11
.
U
.
f (xi )
.
Figure 2.16
X.
x.
.
′
Sei xn ∈ Vn′ /f −1 (U ), dann konvergiert {xn } gegen x in X . Umgekehrt konvergiert
{f (xn )} natürlich nicht gegen f (x), da sie seine Umgebung U gar nicht tri.
Beispiel 2.22 Gesucht f ∶ X → Y , folgenstetig, aber nicht stetig.
f (x)
.
f.
. −1
f (U )
Sei f nicht stetig. Dann exisitiert x ∈ X und eine Umgebung U in Y von f (x), so dass
f −1 (U ) keine Umgebung von x ist.
Sei Vi , i ∈ N eine abzählbare Umgebungsbasis von x.
Dann gilt f (Vn′ ) ⊂/ U ∀Vn′ ∶= V1 ∩ V2 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ Vn .
Y.
. −1
Vn
f (U )
.
Figure 2.17
Y.
f.
f (x)
.
.
U
.X
Topologische Grundbegriffe
.offen in
̃ ∈ TX s.d. O = O
̃ ∩ A}.
TA ∶= {O ⊂ A ∣ ∃O
Was beduetet Konvergenz einer Folge in X ⊂ ∏[0,1] [−1, 1]?
Also konvergiert {xi } gegen x ∈ X , genau dann, wenn die xi letztlich in jedem offenen
Kästchen um x bleiben. Aso genau dann, wenn sie letztlich in jedem offenen Zylinder um
x bleiben. Also konvergiert eine Folge von Funktionen {fn } genau dann in [−1, 1][0,1]
gegen eine Grenzfunktion f , wenn fn → f punktweise.
Y = L2 ([0, 1])
1
f ∈ Y ⇐⇒ ∫0 ∣f (t)∣2 d t < ∞
1
⟨f, g⟩ ∶= ∫0 f (t)g(t) d t
Betrachte nun id∣X ∶ X ↪ Y = L2 ([0, 1]).
Satz von der majorisierten Konvergenz (Lebesgue 1910)
Seien fn ∶ [0, 1] → R stetig, n ∈ N, so dass fn → f punktweise und ∃ integrierbare
Funktion g ∶ [0, 1] → R mit ∣fn ∣ ≤ g ∀n. Dann ist f ∶= limn→∞ fn integrierbar und
1
es gilt limn→∞ ∫0 ∣fn − f ∣ d µ = 0. (Buch: Rundin)
Ô⇒ Folgenstetigkeit von id
Zu zeigen: id ∶ X → Y ist nicht stetig.
Denn sonst gäbe es zu jedem ε > 0 ein offenes Kästchen K um die Nullfunktion, so dass
1 2
∫0 φ d x < ε ∀φ ∈ K ∩ X . Aber in K zu liegen ist überhaupt nur eine Bedingung an
die Werte von φ an endlich vielen Stellen. Eine solche Bedingung kann nicht verhindern
1
dass ∫0 φ2 d t beliebig nahe an 1 liegt (Widerspruch).
2.3. Etwas Mengenlehre
De nition 2.23
1. Unter einer Relation R auf einer Menge M versteht man eine Teilmenge von
M × M.
(a, b) ∈ R ⇐⇒ a R b
2. Eine Relation ≤ auf einer Menge M heisst eine teilweise Ordnung auf M , wenn
sie
(a) re exiv ist, d.h. x ≤ x ∀x ∈ M ,
(b) antisymmetrisch ist, d.h. x ≤ y ∧ y ≤ x Ô⇒ x = y , ∀x, y ∈ M ,
(c) transitiv ist, d.h. x ≤ y , y ≤ z Ô⇒ x ≤ z ∀x, y, z ∈ M .
3. Eine Teilmenge K ⊂ M einer teilweise geordneten Menge (M, ≤) heisst Kette,
wenn je zwei Elemente x, y ∈ K in Relation zueinander stehen.
Die Kette heisst beschränkt , wenn es ein m ∈ M gibt, so dass x ≤ m ∀x ∈ K .
Eine Kette heisst wohlgeordnet , wenn jede nicht leere Teilmenge der Kette ein
kleinstes Element hat.
12
.
A
.
Figure 2.18
.offen in A
2.3 Etwas Mengenlehre
Lemma 2.24 (Lemma von Zorn) Sei (M, ≤) eine nicht leere, teilweise geordnete Menge. Sei weiter jede Kette K ⊂ M beschränkt. Dann hat M (mindestens) ein maximales
Element, d.h. es gibt ein a ∈ M , so dass für kein x ∈ M die Beziehung x > a gilt.
Jeder Vektorraum hat eine Basis
LU ∶= {X ⊂ V ∣ X ist linear unabhängig}
“⊂” gibt eine teilweise Ordnung auf LU.
1. Menge ist nicht leer,
2. Ketten sind beschränkt.
3. Zornsches Lemma anwenden.
Beispiel 2.25
1. Offener Kern M ○ einer Teilmenge M eines topologischen Raumes.
M ○ = ⋃{O ∣ O ⊂ M offen}.
2. Abgeschlossene Hülle M einer Teilmenge M eines topologischen Raumes.
M = ⋂{A ∣ M ⊂ A abgeschlossen}.
3. Konvexe Hülle Chull (X), X ⊂ Rn
Chull = ⋂{C ∣ X ⊂ C konvex}.
Notation: Man schreibt x < y für x ≤ y und x ≠ y . Ist x ∈ M , A ⊂ M so schreibe x ≥ A,
falls x ≥ a ∀a ∈ A, resp. x > A, x < A etc.
Bemerkung 2.26
1. (N, ≤) ist wohlgeordnet, nicht aber (Z, ≤), (Q, ≤), (R, ≤).
2. Sind M und N wohlgeordnet, so auch M × N in sogenannter lexikographischer
Ordnung.
̃ ̃
(m, n) ≤ (m,
n)
∶⇐⇒
̃ oder (m = m
̃ und n ≤ ̃
m≤m
n)
3. In einer wohlgeordneten Menge gilt das Induktionsprinzip:
Sei k0 minimal in K . Ist A(k) eine Aussage über beliebige k ∈ K und gilt dass
A(k0 ) sowie A(l) ∀l < k Ô⇒ A(k), so gilt A(k) ∀k ∈ K .
Andernfalls gäbe es ein minimales k ∈ K , so dass ¬A(k).
Aber dann folgt A(l) ∀l < k also doch A(k).
Sei J eine Menge, und sei jedem j ∈ J eine Menge Mj zugeordnet, so entspricht das
mengentheoretische Produkt ∏j∈J Mj , das Produkt der Mengen Mj , j ∈ J der Menge
der Abbildungen f ∶ J → ∪j∈J Mj so dass f (j) ∈ Mj : also der Menge der Familien
{mj }j∈J , mj ∈ Mj .
Auswahlaxiom
Ist Mj ≠ ∅ ∀j ∈ J , so ist auch ∏j∈J Mj ≠ ∅.
13
Topologische Grundbegriffe
Das heisst also: Wenn es in jeder Menge ein Element gibt, dann gibt es auch eine Funktion,
die aus jeder solchen Menge ein Element auswählt.
B (B  Z L) Angenommen es gäbe kein maximales Element in M . Dann kann man jeder Kette K ⊂ M sogar ein echt grösseres Element m(K)
zuordnen. Nun nennen wir eine Kette K ∈ M ausgezeichnet, wenn sie wohlgeordnet ist,
und für jeden Abschnitt Kx ∶= {k ∈ K ∣ k < x}, x ∈ K , die Gleichheit x = m(Kx )
gilt. Demnach [folgendes Lemma] ist die Vereinigung ausgezeichneter Ketten eine ausgezeichnete Kette. Sie heisse A. Dann ist m(A) > A und A ∪ {m(A)} ist auch ausgezeichnet, aber dann gilt auch A ∪ {m(A)} ⊂ A, was m(A) ∉ A widerspricht.
Damit folgt das Zornsche Lemma.
Hilfslemma Seien K und L ausgezeichnete Ketten, so ist K = L oder Kx = L oder
Lx = K für ein x aus K bzw L.
B Sei also K ≠ L und Kx ≠ L ∀x ∈ K . Wir wollen zeigen, dass dann K = Lz für
geeignetes z ∈ L gilt.
Zwischenschritt:
Wir zeigen zunächst x ∈ K Ô⇒x ∈ L sowie Kx = Lx ∀x ∈ K .
Beweis. Andernfalls existiert ein kleinstes x ∈ K [weil K wohlgeordnet ist] für das
die Behauptung falsch ist. Dann ist Kx ⊂ L [weil Kx < x] und Kx ≠ L nach Annahme. Sei also z ∈ L minimal [L wohlgeordnet], so dass z ∉ Kx .
Dann ist z > Kx . Sonst wäre nämlich für ein y ∈ Kx , x > y > z .
Aber dann, weil die Behauptung für y gilt, gilt y ∈ L und Ky = Ly und z ∈ Ly .
Im Widerspruch zur Wahl von z . Nun also z > Kx und offenbar dann Kx = Lz
Aber dann x = m(Kx ) = m(Lz ) = z ∈ L Widerspruch.
Jetzt folgt K ⊂ L und wie gerade K = Lz für das minimale z ∈ L, z ∉ K .
Lemma 2.29 Die Vereinigung ausgezeichneter Ketten ist wieder eine ausgezeichnete Kette.
2.4. Der Filterbegriff
2.4.1. Was ist ein Filter
U.
.Konvergenz
X topologischer Raum, {xn } Folge in X .
xn → x ∶⇐⇒ ∀Umgebungen U von x ∃N = NU ∈ N, so dass xn ∈ U ∀n ≥ N .
Beispiel 2.30 Klumpentopologie: Jede Folge konvergiert gegen jeden Punkt.
U.
.
Figure 2.19
.Häufung
x Häufungspunkt :⇐⇒ ∀ Umgebungen U von x ist #{xn ∈ U ∣ n ∈ N} = ∞.
[Wie wir später sehen werden, gibt es Folgen in topologischen Räumen, die einen Häufungspunkt, aber keine konvergente Teilfolge haben.]
De nition der konvergenten Folge und De nition der Stetigkeit gehen beide über Umgebungsbegriff.
→ Konvergenz für Systeme von Teilmengen eines topologischen Raumes so, dass die
14
2.4 Der Filterbegriff
Menge der Umgebungen eines Punktes x gegen x konvergiert.
Ziel: Konvergenzbegriff für Systeme von Teilmengen eines topologischen Raumes, so
dass die Menge der Umgebungen eines Punktes gegen diesen Punkt konvergiert.
• Konvergenz von Folgen ←→ Endstücke von Folgen
En ({xi }i∈N ) ∶= {xi }i≥n
Der Durchschnitt von Endstücken ist wieder ein Endstück.
• Umgebungen: Der Durchschnitt ist zweier Umgebungen ist wieder eine Umgebung.
• Jede Umgebung ist nicht leer.
• Umgebungsbasis: Der Schnitt zweier Elemente der Umgebungsbasis enthält wieder in solches Element als Teilmenge.
De nition 2.31 Ein nicht leeres System B von Teilmengen einer Menge X heisst Filterbasis (auf X ) sofern folgende Bedingungen erfüllt sind:
() Der Durchschnitt zweier Mengen einer Filterbasis enthält wieder ein Element
der Filterbasis als Teilmenge.
.F2
F1 .
.B2
B1 .
() ∅ ∉ B
.
Figure 2.20
Beispiel 2.32
1. Endstücke einer Folge in einer Menge X bilden eine Filterbasis.
.Mengen A aus X
2. Sei X ein topologischer Raum. Dann ist jede Umgebungsbasis eine Filterbasis.
.Falls A Obermenge
3. Jede nicht-leere Teilmenge A einer Menge X ist eine Filterbasis.
4. Sei X eine unendliche Menge. Dann bilden die Komplemente der endlichen Mengen eine Filterbasis.
De nition 2.33 (H. Cartan) Ein nicht-leeres System F von Teilmengen einer Menge
X heisst Filter auf X falls es den folgenden Bedingungen genügt:
() Mit jedem Element von F gehört auch jede seiner Obermengen zu F .
() Der Durchschnitt zweier Filterelemente ist wieder ein Element des Filters.
() ∅ ∉ F .
15
.
B
.
Figure 2.21
.
F
Ein Filter enthält anschaulich Elemente,
die zu gross sind um den Filter zu
passieren.
Topologische Grundbegriffe
Beispiel 2.34
1. Die Umgebung eines Punktes eines topologischen Raumes bilden einen Filter (Umgebungs lter).
2. Die Obermengen einer nicht-leeren Teilmenge A einer Menge X bilden einen Filter.
3. Jede Filterbasis B auf X bestimmt einen Filter F der aus allen Obermengen von
Elementen von B besteht.
4. Ein Filter ist zugleich Filterbasis. Er besitzt im allgemeinen verschiedene Basen.
Man nennt zwei Basen äquivalent, wenn sie den selben Filter erzeugen.
De nition 2.35 Seien F und G Filter auf der Menge M . Dann heisst F gröber als G
(und damit G feiner als F ) falls F ⊂ G . G heisst echt feiner , als F , falls F ⊊ G .
Bemerkung 2.36 Auf der Menge X ist der Filter, der nur aus der Menge X besteht gröber
als alle anderen Filter. Dagegen gibt es, falls X mehr als einen Punkt hat keinen Filter, der
feiner ist, als alle anderen. Betrachte hierzu A ⊂ X , A ≠ ∅, X und Ac ∶= X/A. Dann
gibt es keinen Filter, der feiner als die beiden von A und Ac erzeugten Filter ist. Denn
mit A und Ac müsste auch ∅ = A ∩ Ac zu diesem gehören, Widerspruch.
Die Feiner Relation “⊂” ist eine teilweise Ordnung auf den Mengen der Filter.
Behauptung 2.37 Seien B1 und B2 Filterbasen auf der Menge M . Dann sind folgende
Aussagen äquivalent
1. Der von B1 erzeugte Filter F1 ist feiner, als der von B2 erzeugte Filter F2 .
2. Jedes Element aus B2 enthält ein Element aus B1 als Teilmenge.
B
“1. ⇒ 2.”
Sei B ∈ B2 ⊂ F2 Ô⇒ 2.
“2. ⇒ 1.”
Sei F ∈ F2 . Dann existiert B ∈ B2 mit B ⊂ F
̃ ∈ B1 mit B
̃ ⊂ B2 ⊂ F , also gilt F ⊂ F1 .
Also existiert B
De nition 2.39 Sei X ein topologischer Raum.
1. Ein Filter F auf X heisst konvergent gegen x ∈ X , wenn F feiner als der Umgebungs lter von x ist. Konvergiert F gegen x, dann schreibt man F → x oder
auch x ∈ lim(F). Die Notation x = lim F soll besagen, dass x der einzige Grenzwert von F ist.
2. Eine Filterbasis B heisst konvergent gegen x, wenn der von B erzeugte Filter F
gegen x konvergiert.
3. Ein Filter selber heisst konvergent, wenn er gegen ein x ∈ X konvergiert.
4. Ein Filter heisst Elementar lter wenn er eine Basis besitzt, die aus den Endstücken von Folgen besteht.
.U
xn
.
.Endstück ⊊ U
.
x
5. Eine Folge {xn }n∈N in X konvergiert gegen x ∈ X , wenn der durch {xn } bestimmte Elementar lter gegen x konvergiert.
.
Figure 2.22
16
2.4 Der Filterbegriff
2.4.2. Das Hausdorffsche Trennungsaxiom
Es stellt sich die Frage, welche Bedingungen ein topologischer Raum zu erfüllen hat, damit jeder konvergente Filter einen eindeutigen Limes besitzt. Oder in anderen Worten:
Welche Bedingungen muss ein topologischer Raum erfüllen, damit kein Filter existiert,
der feiner als die Umgebungs lter zweier verschiedener Punkte ist.
Sei (Fj )j∈J eine Familie von Filtern auf der Menge X . Ist der Filter G auf X gröber als
jedes Fj , so gehören die Mengen aus G zu jedem Fj .
Es bezeichne F das System aller derjenigen Teilmengen von X , die zu jedem Fj gehören,
j ∈ J . Dann ist F nicht-leer, da X ∈ F und F ist offensichtlich∗ ein Filter auf X . Er ist
der feinste Filter, der gröber als alle Fj ist.
Zu ∗: Zu zeigen:
1. F1 , F2 ∈ F Ô⇒ F1 ∩ F2 ∈ F ,
Beweis.
F1 , F2 ∈ F Ô⇒ F1 , F2 ∈ Fj ∀j ∈ J
Ô⇒ F1 ∩ F2 ∈ Fj ∀j ∈ J
Ô⇒ F1 ∩ F2 ∈ F .
2. F ∈ F und F̃ ⊃ F Ô⇒ F̃ ∈ F .
Beweis.
F ∈ F Ô⇒ F ∈ Fj ∀j ∈ J
Ô⇒ F̃ ∈ Fj ∀j ∈ J
Ô⇒ F̃ ∈ F .
De nition 2.40 Es sei {Fj }j∈J eine nicht-leere Familie von Filtern auf der Menge X .
Der feinste Filter F der gröber ist, als Fj (d.h. F ⊂ Fj ∀j ∈ J ) heisst der Durchschnitt
oder die unterste Grenze der Familie {Fj }j∈J . Er besteht aus den Mengen, die allen Fj
angehören.
Behauptung 2.41 Es sei {Bj }j∈J eine Familie von von Filterbasen auf der Menge X .
Ein Filter auf X der feiner als alle zu den Basen Bj , j ∈ J gehörenden Filter Fj sind,
j ∈ J , gibt es genau dann, wenn alle Mengen der Gestalt ⋂ni=1 Mji nicht-leer sind, wobei
j1 , j2 , . . . , jn verschiedene Elemente von J sind, und Mji ∈ Bji ist.
Ist diese Bedingung erfüllt, so bilden diese Mengen eine Basis des gröbsten Filters, der
feiner als alle Fj sind j ∈ J .
De nition 2.42 Wenn der in 2.41 beschriebene Filter existiert so heisst er die obere
Grenze der zu den Basen Bj , j ∈ J , gehörigen Filter.
Sei X ein topologischer Raum, x, y ∈ X , x ≠ y . Dann gibt es nach Behauptung 2.41
genau dann einen Filter, auf X , der feiner als die Umgebungs lter Ux , und Uy von x und
y ist (das heisst, ein Filter, der sowohl gegen x als auch gegen y konvergiert), wenn jeder
Umgebung von x jede Umgebung von y tri. Genau dann, wenn das nicht der Fall ist,
17
Topologische Grundbegriffe
hat jeder konvergente Filter auf dem topologischen Raum X einen eindeutigen Grenzwert.
.Ux
.Uy
.
x
De nition 2.43 Ein topologischer Raum X heisst Hausdorff Raum (oder , “” für
Trennungsaxiom), wenn jede zwei verschiedene Punkte x, y ∈ X , x ≠ y disjunkte Umgebungen besitzen.
.
y
.
schneiden sich nicht
.
Figure 2.23
Beispiel 2.44 Von metriken induzierte Topologien sind immer Hausdorffsch.
Satz 2.45 Sei X ein topologischer Raum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
.
x
.
y
.
B d(x,y) (x)
.
B d(x,y) (y)
3
.
Figure 2.24
1. X ist Hausdorffsch.
2. Jedes x ∈ X ist Durchschnitt seiner abgeschlossenen Umgebungen.
3
3. Die Diagonale ∆ ∶= {(x, x) ∣ x ∈ X} ⊂ X × X ist abgeschlossen (bezüglich der
Produkttopologie auf X × X .
X.
4. Jeder konvergente Filter auf X hat einen eindeutigen Grenzwert.
.∆c
.∆ = {(x, x)∣x ∈ X}
.
X
.
Figure 2.25
B
“1. ⇐⇒ 4.” ✓
“1. ⇐⇒ 2.”
“⇒” Sei X , x ∈ X und y ∈ X mit y ≠ x beliebig.
Seien Ux und Uy disjunkte offene Umgebungen von x und y .
Dann ist Uyc ∶= X/Uy ⊃ Ux eine abgeschlossene Umgebung von x.
Da y beliebig war, folgt die Behauptung.
“⇐” Sei 2. erfüllt, dann gibt es für jedes y ∈ X eine abgeschlossene Umgebung Uy
von x, die y nicht enthält. Das heisst, dass Uyc Umgebung von y ist. Und es
gilt Uy ∩ Uyc = ∅.
“1. ⇐⇒ 3.”
“⇒” Sei X . Wir wollen zeigen, dass ∆c offen ist, also Umgebung jedes seiner
Punkte ist.
Sei also (x, y) ∈ ∆c beliebig., d.h. x, y ∈ X mit x ≠ y . Dann existieren
disjunkte Umgebungen Ux und Uy von x ud y . Damit ist Ux × Uy eine Umgebung von (x, y) die in in ∆c enthalten ist. Also ist ∆c offen.
“⇐” …
Bemerkung 2.47
1. In einem topologischen Hausdorff Raum ist jede Einpunktmenge abgeschlossen.
2. Die Umkehrung von 1. gilt im Allgemeinen nicht. Sei dazu X eine unendliche
Menge versehen mit der komplementendlich Topologie.
18
2.4 Der Filterbegriff
3. Die Aussage, dass jeder Punkt abegschlossen ist, ist äquivalent dazu, dass es zu je
zwei Punkten für jeden der Punkte eine Umgebung gibt, die den jeweils anderen
Punkt nicht tri. Man bezeichnet topologische Räume mit dieser Eigenscha auch
als .
Man nennt einen Punkt x Häufungspunkt der Folge {xn }n∈N , wenn in jeder Umgebung
von x unendlich viele Glieder der Folge liegen. Das heisst, jede Umgebung von x tri
jedes Endstück der Folge. Das heisst also, dass x Berührungspunkt jedes Endstückes ist.
Sei jetzt F ein beliebiger Filter auf dem topologischen Raum X und sei B eine Basis von
F . Ist x Berührpunkt jeder Menge aus B, so ist er auch Berührungspunkt jeder Menge
aus F , weil jede solche Menge eine geeignete Obermenge einer geeigneten Menge aus B
ist. Also gehört x zur abgeschlossenen Hülle jeder Menge aus F .
Gehört aber A zu F , so gehört auch A zu F weil A ⊂ A, und x liegt im Durchschnitt
aller abgeschlossener Filtermengen.
Gehört umgekehrt x diesem Durchschnitt an, so ist x Berührungspunkt jeder Filtermenge F ∈ F und damit auch jeder Menge B ∈ B .
Der übliche Begriff des Häufungspunktes einer Folge ordnet sich also folgender De nition unter.
De nition 2.48 Sei F ein Filter auf dem topologischen Raum X . Ein Punkt x ∈ X
heisst Häufungspunkt des Filters F , wenn x dem Durchschnitt aller abgeschlossener
Filtermengen von F angehört.
Der Punkt x heisst Häufungspunkt der Folge {xn }n∈N auf X , wenn x Häufungspunkt
des dazugehörigen Elementar lters ist.
Bemerkung 2.49
1. Ist x Häufungspunkt des Filters F , so ist x auch Häufungspunkt jedes gröberen
Filters. Ist x Limes des Filters F , so ist x auch Limes jedes Filters der feiner ist als
F.
2. Nach der Vorüberlegung zur De nition 2.48 gilt: Sei B eine Filterbasis auf dem topologischen Raum X . Der Punkt x ist genau dann Häufungspunkt des Filters mit
Basis B , wenn x Berührpunkt jeder Menge aus B ist.
Für A ≠ ∅ ist A alleine eine Filterbasis und A ist die Menge der Häufungspunkte
des Filters der aus den Obermengen von A besteht.
3. Aus 2. folgt, dass x genau dann Häufungspunkt des Filters F ist, wenn jede Umgebung von x mit jeder Menge aus F (oder B ) einen nicht-leeren Schnitt hat.
Aus Behauptung 2.41 folgt, dass dies äquivalent dazu ist, dass es einen Filter gibt,
der feiner als F und feiner als der Umgebungs lter Ux von x ist.
19
F. ′
HP
.
.
Figure 2.26
.
⊂
F.
Limes
.
.
⊂
F.′′
Topologische Grundbegriffe
Es gilt aber: Der Punkt x ist genau dann Häufungspunkt des Filters F , wenn es
einen feineren Filter gibt, der gegen x konvergiert.
4. In einem nicht-Hausdorff Raum ist es möglich, dass ein konvergenter Filter ausser
seinem Limes weitere Häufungspunkte besitzt.
Sei dazu X = {x, y} mit der Topologie T = {∅, {x}, {x, y}}.
X bildet einen Filter, der in y konvergiert und x als Häufungspunkt besitzt.
Behauptung 2.50 In einem Hausdorff Raum ist für einen konvergenten Filter F der Limes einzige Häufungspunkt.
B Sei x Limes von F und y Häufungspunkt von F . Dann gibt es eine Verfeinerung
F ′ von F , so dass F ′ in y konvergiert. Aber x ist nach Bemerkung auch Limes von F ′
Ô⇒ x = y .
2.4.3. Ultra lter
De nition 2.52 Ein Filter F auf einer Menge M heisst Ultra lter auf M , wenn es keinen echt feineren Filter auf M gibt.
Satz 2.53 Zu jedem Filter auf einer Menge M gibt es einen feineren Ultra lter.
.F ⊂ G
f∗ (F ) ⊂ f∗ (G).
.X
Y.
f (F
. )
.
f
.
F
.
F̃ ∈ f∗ (F )
.
Figure 2.27
.X
.U
.
x0
.
Figure 2.28
B Mit Zornschem Lemma.
{Fj }j∈J Kette von Filtern.
Ô⇒ Fi ⊆ Fj oder Fj ⊆ Fi , da Kettenelemente.
A1 , . . . , An , Ai ∈ Fi . Zu zeigen: ∩Ai = ∅.
F1 ⊃ F2 ⊃ ⋅ ⋅ ⋅ ⊃ Fn , da endlich viele und Kette von Filtern.
Zu zeigen: ⋂n
i=1 Ai ≠ ∅ ↝ Verfeinerung möglich.
Lemma 2.55 In der Menge aller Filter auf X besitzt jede streng geordnete Teilmenge
(=Kette) eine obere Schranke.
f (U ).
.Y
.
f (x0 )
B Sei M eine streng geordnete Menge von Filtern auf X . Gehören also F und G
zu M, so ist F ⊂ G oder G ⊂ F . Sind F1 , . . . , Fn Filter in M, dann ohne Beschränkung
der Allgemeinheit F1 ⊃ F2 ⊃ ⋅ ⋅ ⋅ ⊃ Fn .
Ist Ai ∈ Fi , i = 1, . . . , n, so gilt Ai ∈ F1 ∀i = 1, . . . , n.
n
Damit gilt ⋂n
i=1 Ai ≠ ∅, denn ⋂i=1 Ai ∈ F1 .
Nach Behauptung ?? existiert also die obere Grenze für die zu M gehörigen Filter.
Aus diesem Lemma und dem Lemma von Zorn ergibt sich direkt der Beweis von Satz
2.53.
Bemerkung 2.57 Sei X eine Menge und x ∈ X . Dann ist der Filter, der genau aus den
Obermengen von {x} besteht, ein Ultra lter. Diese Ultra lter [] sind die einzigen, die
man explizit angeben kann.
Behauptung 2.58 Ein Filter U auf der Menge X ist genau dann ein Ultra lter, wenn für
jede Teilmenge A ⊂ X gilt: A ∈ U oder Ac ∈ U .
Hilfslemma Sei F ein Filter auf der Menge X , A ⊂ X . Dann gehört A genau dann zu
einem Filter auf X , der feiner als F ist, wenn Ac ∶= X/A nicht zu F gehört.
20
2.5 Bild lter & Stetigkeit
B Sei Ac ∈ F , dann gehört Ac auch zu jedem Filter, der feiner als F ist. Das heisst
aber, dass A nicht zu der Verfeinerung gehören kann.
Sein nun Ac ∉ F . Dann gilt für F ∈ F beliebig, dass F ⊂/ Ac .
Also ist F ∩ (Ac )c = F ∩ A ≠ ∅. Nach Behauptung ?? existiert dann die gemeinsame
Verfeinerung von F und dem Filter, der aus den Obermengen von A besteht, also ein
Filter.
B (B  B .) Sei U ein Ultra lter. Sei Ac ∉ U .
Dann gibt es nach dem Hilfslemma eine Verfeinerung von U , die A enthält. Da U Ultralter ist folgt, dass A ∈ U .
Sei U kein Ultra lter. Dann gibt es einen Filter F , der echt feiner ist, als U .
Das heisst, ∃A ∈ F , mit A ∉ U .
Aber dann gilt Ac ∉ F . Also kann Ac auch nicht in U liegen.
Ô⇒ Ac ∉ U .
2.5. Bild lter & Stetigkeit
Erinnerung
X = Menge der stetigen Funktionen, f ∶ [0, 1] → [−1, 1], X ⊂ [−1, 1][0,1] , id ∶ X ↪
C 2 ([0, 1]).
De nition 2.61 Seien X, Y topologisch Räume und f ∶ X → Y eine Abbildung
1. f heisst in x0 ∈ X stetig, wenn für jede Umgebung V von f (x0 ) das Urbild
f −1 (V ) eine Umgebung von x0 ist.
2. F ein Filter ovn X , dann versteht man unter dem Bild lter f∗ (Z), den Filter auf
Y der gerade die Obermengen von Bilder von Filtermengen F ∈ F enthält.
Um zu zeigen, dass f∗ (Z) ein Filter ist, reicht es zu zeigen, dass {f (F ) ⊂ Y ∣ F ∈ F}
eine Filterbasis ist. ∅ ≠ f (F1 ∩ F2 ) ⊂ f (F1 ) ∩ f (F2 ).
Satz 2.62 Sei f ∶ X → Y Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann ist f stetig in
x0 ⇐⇒ Für jeden gegen x0 konvergenten Filter der Bild lter f∗ (F) gegen f (x0 ) konvergiert.
B Es ist klar, dass die Bild lterkonstruktion die Feiner Relation enthält, das heisst,
F ⊂ G Ô⇒ f∗ (F) ⊆ f∗ (G). Deshalb ist die zweite Bedingung äquivalent dazu, dass
f∗ (Ux ) feiner ist als Uf (x) .
Das heisst, zu jeder Umgebung V von f (x0 ) existiert eine Umgebungn U von x0 , so dass
f (U ) ⊂ V . Das heisst, f −1 (V ) ⊃ U ist Umgebung von x0 .
Das ist gerade die Stetigkeit von f in x0 .
21
3 Konstruktion Topologischer Räume
M.
3.1. Initiale Topologien, Restriktion und Produktbildung
N.
pr
. N
.
m
.
i∶m→M
.
. Restriktion
Figure 3.29
.prM
.
M
.
Produkte
De nition 3.1 (X, T ) topologischer Raum. Eine Topologie R auf X heisst feiner als
T (und T damit gröber als R), falls T ⊂ R.
Bemerkung 3.2 Die Topologie R auf X ist also genau dann feiner als T wenn die Abbildung id ∶ (X, R) → (X, T ) stetig ist.
Behauptung 3.3 Sei X eine Menge und seien Tj , j ∈ J Topologien auf X .
1. Dann ist R ∶= ⋂j∈J Tj eine Topologie auf X . Sie ist die feinste Topologie, die
gröber ist, als alle Tj , j ∈ J .
2. Dann ist die von ⋃j∈J Tj erzeugte Topologie T die gröbste Topologie die feiner
ist, als alle Tj , j ∈ J .
B O1 , . . . , O ∈ R
Ô⇒ Oi ∈ Tj ∀i, j
Ô⇒ ⋂ni=1 Oi ∈ Tj ∀j
Ô⇒ ⋂ni=1 Oi ∈ R.
g.
.(X, T )
(Y, R).
.
g ○ fi
.
Figure 3.30
X1 .
.
Figure 3.31
.fi
.(Xi , Ti )
De nition 3.5 Sei X eine Menge und seien (Xi , Ti ) topologische Räume, sowie
fi ∶ X → Xi Abbildungen, i ∈ I .
Eine Topologie auf X heisst initiale Topologie bezüglich der (fi , Ti )i∈I , wenn gilt:
g ∶ (Y, R) → (X, T ) ist genau dann stetig, wenn alle Kompositionen
fi ○ g ∶ (Y, R) → (Xi , Ti ) stetig sind, i ∈ I .
Bemerkung 3.6 Da die identische Abbildung auf X stetig ist, (ganz egal welche Topologie X trägt), folgt insbesondere, dass bezüglich der initialen Topologie auf X alle Abbildungen fi ∶ X → (Xi , Ti ) stetig sind.
.X1 × X2
.
X2
Satz 3.7 Sei X eine Menge, seien (Xi , Ti ) topologische Räume, sowie fi ∶ X → Xi Abbildungen, i ∈ I . Sei T die Topologie auf X mit Subbasis {fi−1 (Oi ) ∣ Oi ∈ Ti , i ∈ I}.
Dann ist T die innitiale Topologie bezüglich der (fi , Ti )i∈I .
Sie ist die gröbste Topologie auf Xi , für die alle fi stetig sind, i ∈ I .
B Aus der Stetigkeit der fi , i ∈ I folgt Tin ⊃ T (Tin initiale Topologie).
Wäre Tin echt feiner als T , dann wäre id ∶ (X, T ) → (X, Tin ) nicht stetig.
Aber es gilt fi ○ id∣X ∶ (X, T ) → Xi ist stetig ∀i ∈ I .
[Widerspruch zur initialen Topologie].
22
3.1 Initiale Topologien, Restriktion und Produktbildung
.(Y, R)
Beispiel 3.9
Behauptung: Sei X eine Teilmenge des topologischen Raumes (Y, R). Die initiale
Topologie T bezüglich der Inklusionsabbildung i ∶ X ↪ Y besteht aus den Schnitten aller O ∈ R mit X . T ∶= {X ∩ O ∣ O ∈ R}.
Diese Topologie heisst Teilraumtopologie auf X oder auch die von R auf X induzierte Topologie.
X.
.A
.O
.
Figure 3.32
Beweis: Es gilt i−1 (O) = X ∩ O.
Mithin genügt es zu zeigen, dsas die Mengne i−1 (O), O ∈ R eine Topologie bilden.
Das ist klar, da bilden von Urbildmengen mit Durchschnitt und Vereinigung verträlgich ist
i−1 (⋃j∈J Oj ) = ⋃j∈J i−1 (Oj ), i−1 (⋂nj=1 Oj ) = ⋂nj=1 i−1 (Oj ).
Bemerkung 3.10 Betrachte zum Beispiel [0, 1] ⊆ R mit der, durch die kanonische Topologie auf R induzierten Topologie. Dann ist zum Beispiel [0, 1/2) offen in [0, 1) und
[1/2, 1) abgeschlossen.
Übung Ein Produkt ist  wenn alle seine Faktoren  sind.
.
Figure 3.33
Satz 3.11 Seien Xi , Xij topologische Räume. Sei X eine Menge, sowie fi ∶ X → Xi und
gij ∶ Xi → Xij Abbildungen .
Trägt jedes Xi die initiale Topologie bezüglich der Abbildungen gij , so stimmen auf X die
initialen Topologien bezüglich der Abbildungen fi und bezüglich der Abbildungen gij ○ fi
miteinander überein.
.X
B Zwei Topologien auf einer Menge X stimmen genau dann miteinander überein,
wenn für alle topologischen Räume Y und alle Abbildungen g ∶ Y → X g genau dann
stetig bezüglic der einen Topologie auf X , wenn sie auch stetig bezüglich der anderen
Topologie auf X ist.
.
0
.
. R
1
.
1
2
.fk .Xk
.
Figure 3.34
.fi .Xi
.gkj .
Xkj
.gij .
Xij
Gilt T1 = T2 , dann ist jedes solche g ∶ Y → X genau dann bezüglich T1 steig, wenn es
bezüglich T2 stetig ist.
Sei nun T1 ≠ T2 und oE ∃O ∈ T2 /T1 , dann ist mit Y = (X, T1 ) und g ∶= idX , g ∶ Y →
(X, T1 ) stetig aber g ∶ Y → (X, T2 ) ist nicht stetig.
Nun gilt g ∶ Y → X Tfi stetig
⇐⇒ fi ○ g stetig ∀i
⇐⇒ gij ○ (fi ○ g) stetig ∀i, j
⇐⇒ (gij ○ fi ) ○ g stetig ∀i, j
⇐⇒ g Tgij ○fi stetig.
Bemerkung 3.13
.∏ Xi
.Xi
=.
1. Ist X ⊂ Y ⊂ Z , und trägt Y die Teilraumtopologie von Z , so stimmen auf X die
Teilraum Topologien bezüglich Y und bezüglich Z miteinander überein.
2. Sind Xi ⊂ Yi , i ∈ J , so stimmen auf ∏i∈J Xi die Produkttopologie und die Teilraumtopologie bezüglich ∏i∈J Xi ⊂ ∏i∈J Yi miteinander überein.
23
.Yi
.∏ Yi
.Z
.iZ .Y
iX
.
Figure 3.35
.
○ iZ
.iY
.Yi
.X
.X
=.
Konstruktion Topologischer Räume
.Gf
F
.i
. −1
∶= . F
pr
X
○i
3. Die Bildung von topologischen Produkten ist assoziativ.
.prY
X ×. Y
Y.
Erinnerung an eine Übungsaufgabe: f ∶ X → Y ,
Gf ∶= {(x, f (x)) ∈ X × Y ∣ x ∈ X} ⊂ X × Y ,
.prX
X.
.
Figure 3.36
R
De nition 3.14 Eine Abbildung f ∶ X → Y zwischen topologischen Räumen heisst
offen (bzw. abgeschlossen ) wenn für jede offene (bzw abgeschlossene Menge) O in X
das Bild f (O) in Y offen (bzw abgeschlossen) ist.
.
.{(x,
1
x )}
R
.
Figure 3.37
Behauptung 3.15 Sei X = ∏i∈J Xi das topologische Produkt der topologischen Räume
Xi , i ∈ J und bezeichne pri ∶ X → Xi die i-te kanonische Projektion, i ∈ J . Dann ist
pri offen ∀i ∈ J .
.
pri sind nicht unbedingt abgeschlossen.
.X
Y.
B Es genügt die Behauptung für Basis der offenen Kästchen in X zu zeigen. Dafür
ist die Behauptung klar.
3.2. Finale Topologien und Quotientenräume
f.
XÒ
Rf
.
f.
nicht injektiv
Y.
f.
.
injektiv
.
Figure 3.38
.(Yi , Ti )
Bemerkung 3.18 Da id∣(Y,T ) stetig ist, sind auch alle gi stetig, i ∈ J .
g.i
(Z, R).
Y.i
g.i
.id
Y.
.
Figure 3.39
.Yi
.O
.
Figure 3.40
De nition 3.17 Sei Y Menge, und seien (Yi , Ti ) topologische Räume sowie
gi ∶ Yi → Y Abbildungen, i ∈ J . Eine Topologie T auf Y heisst nale Topologie bezüglich der Abbildungen gi , i ∈ J , wenn gilt: Eine Abbildung f ∶ Y → (Z, R) ist genau
dann stetig, wenn alle f ○ gi ∶ (Yi , Ti ) → (Z, R) stetig sind.
Satz 3.19 Sei Y eine Menge und seien (Yi , Ti ) topologische Räume, sowie gi ∶ Yi → Y
Abbildungen, i ∈ J . Sei T ∶= {O ⊂ Y ∣ gi−1 (O) offen bezüglich Ti ∀i ∈ J}.
Dann ist T die feinste Topologie auf Y bezüglich der gi , i ∈ J . Sie ist die feinste Topologie
auf Y , für welche alle Abbildungen fi stetig sind, i ∈ J .
Beispiel 3.20 Disjunkte Vereinigung Y = ∐i∈J Yi , i ∈ J
Formal o: Yi′ ∶= Yi × {i}.
′
∐ Yi ∶= ⋃ Yi
i∈J
i∈J
Seien gi ∶ Yi → Y = ∐i∈J Yi die Inklusionsabbildungen, i ∈ J .
Bezüglich der nalen Topologie auf Y ist eine Menge O ⊂ Y genau dann offen, wenn
gi−1 (O) = O ∩ Yi offen ist ∀i ∈ J .
Sei im folgenden X ein topologischer Raum, R eine Äquivalenzrelation auf X . Bezeichne
X Ò die Menge der Äquivalenzklassen und π ∶ X → X Ò die kanonische Projektion.
R
R
De nition 3.21 Die nale Topologie bezüglich π ∶ X → X Ò R heisst die Quotiententopologie auf X Ò R. Sie besteht aus allen Teilmengen O ⊂ X Ò R, so dass π −1 (O) ⊂ X
offen ist.
24
3.2 Finale Topologien und Quotientenräume
Bemerkung 3.22 sei f ∶ X → Y eine Abbildung zwischen Mengen. Dann ist durch
(x, y) ∈ Rf
∶⇐⇒
f (x) = f (y)
eine Äquivalenzrelation gegeben.
Ist f surjektiv, so können wir X Ò Rf mit Y identi zieren.
Die kanonische Projektion π ∶ X → X Ò Rf können wir mit f ∶ X → Y identi zieren.
Ist X also ein topologischer Raum, so erhält Y eine induzierte Quotiententopologie.
R2 .
R2 Ò 2
.Z
π.
Beispiel 3.23
.f¯
f
1. R2 → S 1 × S 1 , f ((x, y)) = (e2πix , e2πiy ).
.
f
2
f ∶ R Ò Z2 …
.S1 × S1
.
Figure 3.41
2. X = S 2 ⊂ R3 , Y = [−1, 1], f ∶ S 2 → [−1, 1] Projektion auf die dritte Koordinate.
f is Homöomorphismus.
Y.
.S 2
f.
Satz 3.24 Sei R eine Äquivalenzrelation auf X . Sei f ∶ X → Y eine stetige Abbildung, die
auf bezgüglich R äquivalenten Punkten x und x′ gleiche Werte f (x) = f (x′ ) annimmt,
dann induziert f eine stetige Abbildung f ∶ X Ò R → Y , f = f ○ π .
.πRf
f¯.
De nition 3.25 Sei f ∶ X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen und
Rf die von f auf X induzierte Äquivalenzrelation, dann heisst f eine Quotientenabbildung , wenn die induzierete Abbildung f ∶ X → Y , f = f ○ π ein Homöomorphismus
ist.
.
Figure 3.42
S2 Ò
∼
.
Satz 3.26 Sei f wie oben, stetig und offen, so ist
f ∶ X Ò R → f (x) ⊂ Y
ein Homöomorphismus.
B Ist f offen, so auch f , also folgt mit Satz 3.24, dass f ein Homöomorphismus
ist.
Satz 3.28 [Siehe Satz 3.11] Seien Yi , Yi,j topologische Räume, Y eine Menge und gi,j ∶
Yi,j → Yi sowie hi ∶ Yi → Y Abbildungen. Jedes Yi trage die nale Topologie bezüglich der
Abbildungen gi,j . Dann stimmen auf Y die nalen Topologien bezüglich der Abbildungen
hi und bezüglich der Abbildungen hi ○ gi,j ∶ Yi,j → Y überein.
Bemerkung 3.29 Es ist klar, dass X Ò R nur dann  sein kann, wenn die Äquivalenzklassen von R in X abgeschlossen sind.
25
.
Yij
.
Figure 3.43
Y.i
Y.
Konstruktion Topologischer Räume
.Tp T 2
.T 2
S2 .
f.
p.
.
Tf (p) S 2
.
Dp f
3.3. Mannigfaltigkeiten
f ∶ Rn → Rm , p ∈ Rn , Dp f ∶ Rn → Rm .
Ziel: Man möchte Räume betrachten, die lokal so aussehen wie der Rn .
.
Figure 3.44
3.3.1. C k -Manngifaltigkeiten und C k -Abbildungen, k ∈ N ∪ {∞}
De nition 3.30 Sei M ein topologischer Raum.
1. Das Paar (U, φ) heisst n-Karte, wenn U eine offene Teilmenge von M ist und
φ ∶ U → O ⊂ Rn ein Homöomorphismus von U auf eine offene Teilmenge O
des Rn ist.
2. Zwei n-Karten (U, φ) und (V, ψ) heissen miteinander C k -verträglich, k ∈ N ∪
{∞}, wenn die Abbildungen
ψ ○ φ−1 ∣φ(U ∩V )
und φ ○ ψ −1 ∣ψ(U ∩V )
von der Klasse C k sind.
3. Ein System A = {(Ui , φi ) ∣ i ∈ I} von n-Karten auf M heisst n-dimensionaler
C k -Atlas, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(a) Die Ui , i ∈ I überdecken M , das heisst
M = ⋃ Ui .
.M
.φ
i∈I
.V
U.
(b) Für je zwei Indizes i, j ∈ I sind die Karten (Ui , φi ) und (Uj , φj ) miteinander C k -verträglich.
ψ.
4. Zwei C k -Atlanten A und B heissen miteinander C k -verträglich, wenn auch A ∪
B ein C k -Atlas ist.
φ○ψ
. −1
.
⊂ Rn
.
Figure 3.45
.
⊂ Rn
Bemerkung 3.31 Die Komponentenfunktionen φi einer Kartenabbildung bezeichnet man
auch als Koordinatenfunktionen. Die C k -Verträglichkeitsbedingung der Karten garantiert, dass die Entscheidung darüber, ob ein Objekt auf der Mannigfaltigkeit von der Klasse C k ist, unabhängig von der Kartenwahl ist.
Bemerkung 3.32 Die C k -Verträglichkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der
n-dimensionalen C k -Atlanten.
De nition 3.33 Eine Äquivalenzklasse von miteinander verträglichen C k -Atlanten
des topologischen Raumes M heisst n-dimensionale C k -Struktur S der Klasse C k , wobei die Dimension durch die Dimension der Bilder der Karten gegeben ist.
De nition 3.34 Eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit (M, D) ist ein topologischer Hausdorffraum M mit einer abzählbaren Basis der Topologie und einer C k Struktur D auf M .
26
3.3 Mannigfaltigkeiten
: Eindeutigkeit von Grenzwerten ↝ lokale Begriffe eindeutig fortsetzen.
: Garantiert Existenz einer Partition der Eins ↝ Integrationstheorie.
Zu Partition der Eins:
i ∈ I , fi ∶ M → [0, 1], ∀p ∈ M ∃ Umgebung Up von p, so dass auf Up nur endlich
viele der fi von Null verschieden sind, und es gilt ∑i∈I fi = 1.
Beispiel 3.35
1. Sei M ⊂ Rn offen. Betrachte den Atlas A ∶= {(M, id∣M )}.
Der maximale Atlas α(A) ist dann gegeben durch
α(A) ∶= {(Uφ , φ) ∣ φ ∶ Uφ → Vφ ⊂ Rn , Uφ ⊂ M offen, φ C k -Diffeo.}.
p
.N
.S 2 ⊂ R3
2. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und sei {a1 , . . . , an } eine Basis von V . Sei
fernen φ ∶ V → Rn gegeben durch φ(v) = (v1 , . . . , vn ), wobei v = ∑n
i=1 vi ai .
Dann ist (V, (V, φ)) eine C ∞ -Mannigfaltigkeit.
3. S ⊂ R ,
1
ψpN ∶ S 2 /{pN } → R2 mit ψpN (x1 , x2 , x3 )⊺ = 1−x
(x1 , x2 )⊺ .
3
1
2
2
⊺
ψpS ∶ S /{pS } → R mit ψpS (x1 , x2 , x3 ) = 1+x3 (x1 , x2 )⊺ .
2
.R2
3
.
pS
.
Figure 3.46
(ψpS ○ ψp−1N )(v1 , v2 )⊺ = (. . . )⊺ .
.
[x]
4. Der reell projektive Raum.
Betrachte den Rn+1 /{0} gefasert nach der Äquivalenzrelation
x∼y
⇐⇒
x.
∃λ ∈ R so dass x = λy .
RPn ∶= R
n+1
0.
/{0}Ò
∼
Versehen mit der Quotiententopologie, also der feinsten Topologie, so dass die
Projektabbildung stetig ist.
π ∶ Rn+ /{0} → RPn , mit π(x) ∶= [x] = [λx] ∀λ ∈ R/{0},
und dem Atlas
A = {(Ui , φi ) ∣ i = 1, . . . , n},
wobei
Ui ∶= {[x] ∣ xi ≠ 0},
und
1
(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn+1 ),
xi
ist das eine C ∞ -Mannigfaltigkeit.
φi ([x]) ∶=
De nition 3.36 Seien (M m , DM ) und (N n , DN ) zwei C k -Mannigfaltigkeiten und
f ∶ M → N eine Abbildung.
1. Dann heisst f in p ∈ M (stetig) diar und von der Klasse C k , wenn für alle
Kartenabbildungen φ ∶ Uφ → Rm um DM und ψ ∶ Vψ → Rn umd DN mit
f (p) ⊂ Vψ die Abbildung
(ψ ○ f ○ φ−1 )∣φ(Uφ ∩f −1 (Vψ )
(stetig) diar von der Klasse C k ist.
27
.
Figure 3.47
Konstruktion Topologischer Räume
.M m
.p
.U
.φ
.
f
.N n
.ψ
ψ ○ f .○ φ−1
.
.
φ(p)
ψ(f (p))
. m
.
Oφ ⊂ R
Oψ ⊂ Rm
.
Figure 3.48
2. f heisst (stetig) diar von der Klasse C k , wenn f in jedem Punkt p ∈ M (stetig)
diar von der Klasse C k ist.
.f (p)
.V
3. f heisst Diffeomorphismus von der Klasse C k , wenn f bijektiv ist und sowohl f
als auch f −1 von der Klasse C k sind.
Bemerkung 3.37
1. Das Kompositum von C k -Abbildungen ist wieder eine C k -Abbildung.
2. Das Kompositum von C k -Diffeomorphismen ist wieder ein C k -Diffeomorphismus.
3.3.2. Konstruktionen mit C k Mannigfaltigkeiten M
1. Restriktion
Sei (M, D) eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, ∅ ≠ U ⊂ M offen. Dann
ist (U, DU ) ebenfalls eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, wobei
DU = {(U ∩ Uφ , φ∣U ∩Uφ ) ∣ (Uφ , φ) ∈ D}.
2. Summe
Seien (Mi , Di ), i = 1, 2, n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit M1 ∩ M2 = ∅.
Dann ist auch (M1 ∪ M2 , D1 ∪ D2 } eine n-dimenisionale C k -Mannigfaltigkeit.
.
Figure 3.49
3. Produkt
Seien (Mi , Di ), i = 1, 2 n-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Dann ist das topologische Produkt M = M1 × M2 , versehen mit der Produktstruktur
D ∶= {(Ui × Vj , φi × ψj ) ∣ (Ui , φi ) ∈ D1 , (Vj , ψj ) ∈ D2 }
eine (n1 + n2 )-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit.
4. Zusammenhängende Summe
Quotientenmannigfaltigkeit
Sei C k (M ) die Menge der C k -Diffeomorphismen von M auf sich selbst. Sei ferner G
eine Gruppe.
De nition 3.38 G wirkt (operiert) auf einer C k -Mannigfaltigkeit M , wenn es eine Abbildung
φ ∶ G × M → M , φ(g, p) =∶ φg (p)
gibt, so dass
1. die φG ∶ M → M C k -Diffeomorphismen sind, und φ(e, p) = p, d.h. φe ≡ id.
2. g1 g2 ∈ G Ô⇒ φg1 g2 = φg1 ○ φg2 .
Wir schreiben o kurz g(p) für φg (p), d.h. (g1 g2 )(p) = g1 (g2 (p)).
Beispiel 3.39
28
3.3 Mannigfaltigkeiten
1. φ ∶ Zn × Rn → Rn , mit φ(k1 ,...,kn ) ((p1 , . . . , pn )) ∶= (p1 + k1 , . . . , pn + kn ).
2. M = R2 = C, G = S 1 = {x ∈ C ∣ ∥x∥ = 1}.
φ ∶ S 1 × R2 → R2 , mit φ(z, w) ∶= z ⋅ w.
De nition 3.40 Sei G eine Gruppe, die auf der Mannigfaltigkeit M operiere und p ∈
M . Dann heisst
G(p) ∶= {g(p) ∣ g ∈ G} ⊂ M
Orbit von p unter G und
Gp ∶= {g ∈ G ∣ g(p) = p}
heisst Isotropiegruppe (Fixgruppe) von p.
De nition 3.41
1. Eine Gruppenoperation heisst frei ( xpunktfrei) genau dann, wenn Gp = {e}
für alle p ∈ M .
2. Eine Gruppenoperation heisst diskontinuierlich, genau dann wenn für alle kompakten Teilmengen K ⊂ M die Menge {g ∈ G ∣ gK ∩ K ≠ ∅} endlich ist.
Behauptung 3.42 Eine Gruppenaktion φ ∶ G × M → M ist genau dann frei und diskontinuierlich auf M , wenn zu jedem p ∈ M eine offene Umgebung U von p existiert, so
dass U ∩ g(U ) = ∅ ∀g ∈ G/{e}.
Beispiel 3.43 Die Gruppenaktion aus Beispiel 3.39 1. ist frei und diskontinuierlich für p ∈
Rn . Sei U = B1/2 (p). Für alle g ∈ Zn /{e} gilt d(p, g(p)) ≥ 1, also g(U ) = B1/2 (g(p))
und dmait U ∩ g(U ) = ∅.
Operiert G auf M , dann bestimmt das eine Äquivalenzrelation auf M
p∼q
∶⇐⇒
∃g ∈ G so dass g(p) = q .
Das heisst, Äquivalenzklassen sind Orbiten.
Satz 3.44 Operiert G auf der n-dimensionalen C k -Mannigfaltigkeit M frei und diskontinuierlich, dann besitzt auch M Ò G auf natürliche Weise eine n-dimensionale C k -Struktur,
so dass die natürliche Projektion π ∶ M → M Ò G, eine C k -Abbildung ist.
29
4 Zusammenhang und wegweise Zusammenhang
4.1. Der Wegzusammenhang und erste Nicht-Homöomorphie Beweise
De nition 4.1 Sei X ein topologischer Raum.
1. Ein Weg in X ist eine stetige Abbildung c ∶ J → X mit J ⊂ R Intervall.
Ist J = [α, ω], so heissen c(α) und c(ω) Anfangspunkt beziehungsweise Endpunkt des Weges c, und man sagt, dass c die Punkte c(α) und c(ω) miteinander
verbindet.
2. X heisst wegzusammenhängend, wenn je zwei Punkte in X durch einen Weg in
X verbunden werden können.
3. Auf X de nieren wir die Äquivalenzrelation
.x
x∼y
.y
.
Figure 4.50
∃Weg in X , der x mit y verbindet.
Lemma 4.2
.X
.
x
∶⇐⇒
1. Sei f ∶ X → Y eine stetige, surjektive Abbildung zwischen topologischen Räumen.
Ist X wegzusammenhängend, so ist auch Y wegzusammenhängend.
Y.
.
x′
f.
.
f (x′ )
.
f (x)
.
Figure 4.51
2. Sei X ⊂ R nicht leer und wegzusammenhängend, dann ist X ein Intervall.
B
1. klar.
2. Anwendung des Zwischenwertsatzes.
Beispiel 4.4 Als triviales Beispiel nicht-homöomorpher Räume haben wir damit zum
Beispiel
X = [0, 1] = [0, 1/2]∪]1/2, 1] und Y = [0, 1/2]∪]3/2, 2].
.S
1
.
f
.
Figure 4.52
R.
Satz 4.5 (Browerscher Fixpunktsatz für die Gerade) Sei f ∶ [0, 1] → [0, 1] stetig.
Dann hat f einen Fixpunkt.
B Sei g(x) ∶= f (t) − t, t ∈ [0, 1]. Dann ist g(0) ≥ 0 und g(1) ≤ 0, also hat g eine
Nullstelle in [0, 1] nach dem Zwischenwertsatz.
Behauptung 4.7 Sei f ∶ S 1 → R stetig. Dann existiert ein x ∈ S 1 mit f (x) = f (−x).
30
4.2 Der Zusammenhangsbegriff
B Sei g ∶ S 1 → R , g(x) = f (x) − f (−x). Rest wie oben.
Korollar 4.9 Es gibt keine injektive, stetige Abbildung f ∶ S 1 → R. Insbesondere ist also
S 1 nicht homöomorph zu einem Teilraum von R.
Nach Lemma 4.2 ist das Bild einer Wegkomponente unter einer stetigen Abbildung wieder in einer Wegkomponente des Bildraums enthalten.
De nition 4.10 Für eine stetige Abbildung f ∶ X → Y (zwischen topologischen Räumen) sei W (f ) ∶ W (X) → W (Y ) die Abbildung, die jeder Wegkomponente V in X
die Wegkomponente in Y zuordnet die f (V ) enthält.
Bemerkung 4.11
1. Nach Lemma 4.2 ist W (f ) wohlde niert.
2. Ist f ein Homöomorphismus, dann ist W (f ) bijektiv.
Beispiel 4.12 Sei X ∶= {(x1 , x2 ) ∈ D2 ∣ x1 ⋅ x2 = 0} das Achsenkreuz in der Einheitskreisscheibe D2 des R2 . Wir zeigen, dass X nicht homöomorph zu einem Intervall ist.
[Mittels Wegkomponenten…]
Beispiel 4.13
.D2
.X
.
Figure 4.53
1. Sei Z ⊂ R3 der offene Zylinder
1
1
Z = {(cos φ, sin φ, z) ∣ − < z < , φ ∈ R},
2
2
und sei M ⊂ R3 das offene Möbiusband
φ
φ
1
1
M = {(r cos φ, r sin φ, z) ∣ r − 1 = λ sin ( ) , z = λ cos ( ) , − < λ < }.
2
2
2
2
.
Figure 4.54
S.2
2. Sei M eine 2-dimensionale, geschlossene Mannigfaltigkeit, die orientierbar ist.
Dann ist M durch ihr sogenanntes Geschlecht g eindeutig bestimmt.
Das Geschlecht g von M ist die maximale Anzahl von disjunkten Kreisen (S 1 ), so
dass das Komplement der Vereinigung dieser Kreise wegzusammenhängend ist.
4.2. Der Zusammenhangsbegriff
De nition 4.14 Sei X ein topologischer Raum.
1. X heisst zusammenhängend, wenn X nicht homöomorph zur Vereinigung zweier offener, disjunkter, nicht-leerer topologischer Räume ist.
2. Eine Zusammenhangskomponente (oder kurz Komponente) von X ist eine ein
maximaler zusammenhängender Teilraum von X .
3. X heisst total unzusammenhängend, wenn die Komponenten von X einpunktig
sind.
Bemerkung 4.15
1. Dass X zusammenhängend ist, ist äquivalent zu jeder der folgenden Aussagen
31
.
Figure 4.55
T.2
Zusammenhang und wegweise Zusammenhang
(a) Ist X = A ∪ B mit A ∩ B = ∅, A, B offen so ist A = X oder B = X .
(b) Die einzigen offenen und abgeschlossenen Teilmengen von X sind ∅ und X .
(c) Es gibt keine stetige, surjektive Abbildung f ∶ X → {0, 1}.
2. Dass X total zusammenhängend ist, sollte nicht damit verwechselt werden, dass X
eine diskrete Topologie trägt. Zum Beispiel ist Q total unzusammenhängend aber
trägt keine diskrete Topologie.
Lemma 4.16 Sei X ein topologischer Raum.
1. Sei A ⊂ X zusammenhängend, und A ⊂ B ⊂ A, so ist auch B zusammenhängend.
2. Sind Ai ⊂ X zusammenhängend, i ∈ J , mit ⋂ Ai ≠ ∅, so ist auch ⋃i∈J zusammenhängend.
3. Jeder Punkt von X liegt in genau einer Komponente von X .
4. Die Komponenten von X sind abgeschossen.
B
1. B trägt die Teilraum Topologie. Wir wollen zeigen, dass für M1 , M2 ⊂ X abgeschlossen, mit B ⊂ M1 ∪ M2 und B ∩ M1 ∩ M2 = ∅ aus B ∩ M1 ≠ ∅ die
Gleichheit B ∩ M2 = ∅ folgt.
Das ist aber klar, denn A ist zusammenhängend, also A ⊂ M1 . Da M1 abgeschlossen ist, folgt auch B ⊂ A ⊂ M .
Y
.X
.
f
.
f (X)
.
f (X)
.
f
.
Figure 4.56
.
Y
.
2. Aufgabe 2, Blatt 7.
Lemma 4.18 Sei f ∶ X → Y eine stetige Abbildung, und X zusammenhängend, dann
ist auch f (X) ⊂ Y zusammenhängend.
B Sind A, B ⊂ Y offen, mit f (X) ⊂ A ∪ B , sowie A ∩ B = ∅. Wir zeigen, dass
dann f (X) ∩ A = ∅, oder f (x) ∩ B = ∅.
Wegen f (X) ⊂ A ∪ B , ist durch X = f −1 (A) ∪ f −1 (B) eine offene Überdeckung von
X gegeben. Wegen A ∩ B = ∅ folgt f −1 ∩ f −1 (B) = ∅.
Sei etwa f −1 (A) ≠ ∅.
Da X zusammenhängen ist, folgt f −1 (B) = ∅, also f (X) ∩ B = ∅.
Satz 4.20 Ein topologisches Produkt nicht-leerer topologischer Räume ist genau dann zusammenhängend, wenn es all seine Faktoren sind.
B
“⇒” Folgt direkt aus Lemma 4.18, da die Projektionsabbildungen pri ∶ X → Xi , i ∈ I
stetig sind und pri (X) = Xi .
“⇐” Seien nun Xi , i ∈ I zusammenhängend, und X = ∏i∈I Xi .
Sei f ∶ X → {0, 1} stetig. Dann ist f −1 (0) offen in X .
Wir müssen also zeigen, dass f −1 (0) ≠ ∅ schon f −1 (0) = X impliziert.
Sei f −1 (0) ≠ ∅. Dann gibt es nach De nition der Produkttopologie eine endliche
Indexmenge J ⊂ I , sowie x∗i ∈ Xi , i ∈ I , so dass f (x) = 0 ∀x = {xi }i∈I mit
xj = x∗j mit j ∈ J .
32
/J
4.57
.
0
.
Xj,j∈J⊂I
4.2 Der Zusammenhangsbegriff
.
1
Sei φj ∶ Xj → X , j ∈ J de niert, durch (prj ○ φj )(y) = y ∀j ∈ J und (pri ○
φj )(y) = x∗i für i ≠ j .
Also ist φj stetig ∀j ∈ J . Damit ist auch f ○ φj ∶ Xj → {0, 1} stetig.
Da die Xi zusammenhängend sind, folgt f ○ φj ≡ 0 ∀j ∈ J . Da die x∗i , i ∈ I/J
beliebig waren, folgt dass f ≡ 0.
Lemma 4.22 Jedes Intervall J ⊂ R ist zusammenhängend.
B Nach Lemma 4.16 1. genügt es dies für offene Intervalle zu zeigen. A, Ac offen
und abgeschlossen, A ∪ Ac ⊃ J .
a0 ∶= sup{a ∈ A ∣ a < t1 }.
Ô⇒ a0 ∉ A, da A offen und a0 ∈ A, da A abgeschlossen ist.
Satz 4.24 Ein wegzusammenhängender topologischer Raum ist auch schon zusammenhängend.
B Sei X nicht zusammenhänged. Dann hat X verschiedene Komponenten. Seien
p, q ∈ X aus verschiedenen Komponenten, dann kann es keinen Weg geben, der p und q
in X verbindet.
Denn nach dem Lemma 4.22 ist [α, ω] Zusammenhängend, (cpq ∶ [α, ω] → X ), aber
−1
[α, ω] ⊂ c−1
pq (A) ∪ cpq (B), offen, nicht leer, disjunkt. Widerspruch.
Beispiel 4.26 Die Umkehrung von Satz 4.24 gilt im Allgemeinen nicht. Betrachte hierzu
1
{(x, y) ∈ R2 ∣ x ≠ 0 Ô⇒ y = sin } ⊂ R2 .
x
.
0
.
Figure 4.58
De nition 4.27 Ein topologischer Raum heisst lokal wegzusammenhängend, wenn es
zu jedem p ∈ X und jeder Umgebung U ovn p eine wegweise zusammenhängende
Umgebung V (p) gibt, die in U enthalten ist.
Bemerkung 4.28 Ein wegzusammenhängender topologischer Raum muss also nicht lokal wegzusammenhängend sein.
Beispiel 4.29 Betrachte X = {ci ∶ Gerade von (0, 1) nach (1/i, 0), mit i ∈ N} ⊂ R2 .
X ist wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend.
.
0
.
Figure 4.59
. . 1.
1 1
4 3
2
.
1
Satz 4.30 Ein zusammenhängender, lokal wegzusammenhängender topologischer Raum ist
wegzusammenhängend.
.
p
B Sei p ∈ X , dann ist die Menge Wp der von p durch stetige Wege zu erreichenden
Punkte nicht leer (da p ∈ Wp ) offen und abgeschlossen, und damit der ganze Raum X .
Korollar 4.32 Eine topologische Mannigfaltigkeit ist genau dann zusammenhänend, wenn
.
sie wegzusammenhängend ist.
p
.
Figure 4.60
33
.a ∈ Wp
.r ∈ W p
5 Kompaktheit
5.1. De nitionen und Grundlegende Fakten
Im Rn sind die beschränkten und abgeschlossenen Teilmengen dadurch charakterisiert,
dass jede Folge auf ihnen einen Häufungspunkt hat, und andererseits auch dadurch, dass
jede Folge auf ihnen eine konvergente Teilfolge besitzt.
.
X
Ui .
A.
De nition 5.1 Sei A eine Teilmenge der Menge X . Eine Familie U = {Ui }i∈I von Teilmengen von X heisst eine Überdeckung von A, wenn A ⋃i∈I Ui .
Ist X ein topologischer Raum, und U = {Uj }j∈J eine Überdeckung von A ⊂ X , so
heisst U offene (beziehungsweise abgeschlossene) Überdeckung von A, wenn alle Ui
offen (bzw. abgeschlossen) sind.
Ist U = {Uj }j∈J eine Überdeckung von A und ist für eine endliche Teilmenge I ⊂ J
auch U ′ ∶= {Uj }j ∈ I eine Überdekcung von A, so sagt man, dass U ′ eine endliche
Teilüberdeckung ist.
.
Figure 5.61
De nition 5.2 Ein topologischer Raum heisst kompakt , wenn jede offene Überdeckung
von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Satz 5.3 Sei X ein topologischer Raum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. X ist kompakt,
2. Sind Ai , i ∈ I abgeschlossene Teilmengen, so dass ⋂ Ai = ∅, so gibt es endlich viele
Indizes i1 , . . . , in mit Ai1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ Ain = ∅.
3. Jeder Filter auf X besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
4. Jeder Ultra lter auf X ist konvergent.
B
• “1.⇔2.”: Die Aussagensind ganz dual zueinander. Seien die Ai mit i ∈ I gegeben.
Dann bilden die Aci = X/Ai eine offene Überdeckung von X ,…
• “2.⇔3.”:
“⇒” Sei also 2. erfüllt. Ist F ein Filter auf X , so ist der Durchschnitt von je endlich
vielen abgeschlossenen Mengen aus F nicht leer. Wegen 2. ist damit aber
auch der Durchschnitt aller abgeschlossener Filtermengen nicht leer. Und
das ist die Menge der Häufungspunkte des Filters F .
34
5.1 De nitionen und Grundlegende Fakten
“⇐” Ist 2. nicht erfüllt, so gibt es auf X eine Familie abgeschlossener Mengen
{Fj }j∈J deren Durchschnitt leer ist, während die Durchschnitte von jeweils
endlich vielen Mengen der Familie nicht leer sind.
Diese Durchschnitte sind abgeschossen und sie bilden die Basis eines Filters,
der keinen Häufungspunkt besitzt.
• “3.⇔4”:
“⇒” Wegen II 4.2.9 3. ist für einen Ultra lter die Konvergenz gleichbedeutend zur
Existenz von Häufungspunkten.
“⇐” Nach Satz II 4.3.2 gibt es zu jedem Filter einen feineren Ultra lter. Dessen
Häufungspunkt ist aber auch HÄufungspunkt von F (siehe Bemerkung II
4.2.9 1.).
Lemma 5.5 Sei A Teilmenge der Menge X , und F ein Filter auf X . Es gehört A genau
dann zu einem Filter, der feiner als F ist, wenn Ac = X/A nicht zum Filter gehört.
Behauptung 5.6 Sei X ein kompakter topologischer Raum. Besitzt ein Filter F auf X
nur einen Häufungspunkt, so ist er konvergent.
B Sei x ∈ X der einzige Häufungspunkt des Filters F auf X , und sei F nicht konvergent gegen x. Wegen Lemma 5.5 existiert dann ein Filter G , der feiner ist, als F , und
der Qc = X/Q enthält.
Nach Satz 5.3 besitzt G einen Häufungspunkt. Die Menge der Häufungspunkte von G ergibt sich als Schnitt aller abgeschlossener Mengen in G . Das heisst, der Häufungspunkt y
muss in der Abgeschlossenen Menge Qc enthalten sein, und ist damit von x verschieden.
Der gröbere Filter F besitzt dann aber die Häufungspunkte x und y ≠ x.
.Q ∉ F
.
x
.
Figure 5.62
Satz 5.8 Abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind kompakt. Das heisst also sei X
kompakt, und A ⊂ X abgeschlossen, dann ist A schon kompakt.
B Sei A abgeschlossene Teilmenge von X . Ist U offene Überdeckung von A, so
gibt es eine Familie U ′ von offenen Mengen in X , so dass U = {A ∩ U ′ ∣ U ′ ∈ U ′ } ist. Sei
W ∶= U ′ ∪ (X/A), dann ist W eine offene Überdeckung von ganz X .
Da X kompakt ist, gilt schon X = (X/A)∪U1′ ∪⋅ ⋅ ⋅∪Un′ für geeignete n ∈ N und Ui′ ∈ U ′ .
Daraus folgt A = (U1′ ∩ A) ∪ . . . (Un′ ∩ A) = U1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Un .
Bemerkung 5.10 Die Umkehrung von Satz 5.8 gilt nicht, ist etwa eine Menge mit ihrer
Klumpentopologie versehen, (d.h. X Menge, T = {∅, X}), dann ist jede Teilmenge von
X kompakt, aber nur ∅ und X sind abgeschlossen.
A.
.X /A
.
Figure 5.63
.A
.
p
Satz 5.11 Sei A Teilraum des Hausdorff-Raumes X . Ist A kompakt, so ist A abgeschlossen.
B Sei p ∈ Ac = X/A. Zu a ∈ A existieren in X offene Umgebungen Oa um p und
Ua um a, so dass Oa ∩ Ua = ∅.
Ist nun A = A ∩ ⋃a∈A Ua ⊂ Ua1 ∪ Ua2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Uan , so ist Oa1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ Oan eine Umgebung
von p, die A nicht tri. Mithin ist Ac offen und A damit abgeschlossen.
Korollar 5.13 Eine Teilmenge eines kompakten Hausdorffraumes ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen ist.
35
.
p
.
Figure 5.64
.A
Kompaktheit
Satz 5.14 Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen sind kompakt. Das heisst,
ist X kompakt und f ∶ X → Y stetig und surjektiv, dann ist Y kompakt.
B Sei U eine offene Überdeckung von Y . Dann ist {f −1 (U ) ∣ U ⊂ U} eine offene
Überdeckung von X . Aus X = f −1 (U1 ) ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ f −1 (Un ) folt Y = U1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Un .
Satz 5.16 Sei f ∶ X → Y stetig, und bijektiv. Sei X kompakt, und Y . Dann ist f ein
Homöomorphismus.
B Es ist zu zeigen, dass f abgeschlossen ist. Das heisst, dass aus A ⊂ X abgeschlossen, auch f (A) ⊂ Y abgeschlossen folgt. Nach Satz 5.8 ist A kompakt. Nach Satz 5.14 ist
f (A) ⊂ Y kompakt, und nach Korollar 5.13 damit auch abgeschlossen.
Bemerkung 5.18 Ist (X, T ) ein kompakter Hausdorff-Raum. Dann ist jede Topologie,
die nicht feiner als T ist nicht kompakt, und jede echt gröbere Topologie nicht .
[Beweis Übung]
Beispiel 5.19 Siehe Beispiel 3.23 2.
5.2. Der Satz von Tychonoff
∏j≠i Xj .
.
Figure 5.65
Satz 5.20 Sei X = ∏j∈J Xj ein nicht-leeres topologisches Produkt. Dann ist X genau dann
kompakt, wenn alle Xj , j ∈ J kompakt sind.
.pr−1
i (xi )
.
xi
.
Xi
Lemma 5.21 Sei X ein topologischer Raum und sei S eine Subbasis der Topologie auf
X mit der Eigenscha, dass jede Überdeckung von X durch Mengen in S eine endliche
Teilüberdeckung besitzt. Dann ist X kompakt.
B Nach Satz 5.3 genügt es zu zeigen, dass jeder Ultra lter auf X konvergiert. Angenommen, es gäbe einen nicht konvergenten Ultra lter F auf X . Dann gäbe es zu jedem x ∈ X eine Umgebung Ux ∈ S/F , denn wäre alle x enthaltenden Mengen aus S in
F , so auch all ihre endlichen Durchschnitte und ihre Obermengen, und F konvergierte
gegen x. Nach Voraussetzung gibt es dann zu {Ux }x∈X eine endliche Teilüberdeckung
X = Ux1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Uxn . Da Uxi ∉ F und F Ultra lter ist, sind die Uxci = X/Uxi in F . Das
n
c
c
c
kann aber nicht sein, da ⋂n
i=1 Uxi = (⋃i=1 Uxi ) = X = ∅.
B (B  S .)
“⇒” X kompakt Ô⇒ Xi kompakt ∀i, da die Xi Bilder des Kompaktums X unter den
stetigen Projektionen pri ∶ X → Xi sind.
“⇐” Zu zeigen: Xi kompakt ∀i Ô⇒ X kompakt
Das heisst, zu zeigen: Sei U Überdeckung von X = ∏i∈J Xi durch offene Zylinder,
die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann kann U keine Überdeckung sein.
−1
−1
1. ∀i ∈ J ∃xi ∈ Xi , so dass pr−1
i (xi ) ⊂ pri (Ui ) ∀Ui mit pri (Ui ) ∈ U .
′
Angenommen nicht, dann gehe zur Teilüberdeckung U von U über, die wie
−1
folgt gegeben ist. U ′ = {pr−1
i (Ui ) ∣ pri (Ui ) ∈ U}.
−1
Ô⇒ Ui mit pr (U ) ∈ U überdecken Xi .
Ô⇒[da Xi kompakt] ∃i1 , . . . , in so dass ⋃nk=1 Uik ⊃ Xi .
Ô⇒ ⋃nk=1 pr−1
i (Uik ) = X [Widerspruch].
36
5.3 Abzählbare- und Folgen-Kompaktheit
Wir wollen jetzt zeigen, dass U so doch keine Überdekcung von X gewesen
sein kann. Dazu reicht es zu zeigen, dass es ein x ∈ X , der in keiner der
Mengen aus U liegt.
Betrachte x = (xi )i∈J . Der Punkt x wird von keinem Element t aus U überdeckt. Denn gäbe es ein k ∈ J mit x ∈ pr−1
k (Uk ) ∈ U , dann wäre auch
−1
pr−1
k (xk ) ⊂ prk (Uk ) ∈ U [Widerspruch].
5.3. Abzählbare- und Folgen-Kompaktheit
De nition 5.24
1. Ein topologischer Raum X heisst abzählbar kompakt , wenn jede abzählbare offene Überdeckug von X eine endliche Teilüberdeckung hat.
2. Ein topologischer Raum X heisst folgenkompakt , wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge besitzt.
Satz 5.25 Sei X ein topologischer Raum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. X ist abzählbar kompakt.
2. Sind Ai , i ∈ N abgeschlossene Teilmengen, mit ⋂i∈N Ai = ∅
Ô⇒ ∃i1 , . . . , in ∈ N mit Ai1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ Ain = ∅.
3. Jede Folge in X besitzt einen Häufungspunkt.
4. Jeder Filter mit abzählbarer Basis hat (mindestens) einen Häufungspunkt.
[Beweis Übung, vergleiche Beweis zu Satz 5.3].
Bemerkung 5.26 Es ist klar, das ein kompakter Raum, auch abzählbar kompakt ist. Es
ist ausserdem klar, dass ein folgenkompakter Raum auch abzählbar kompakt ist.
Lemma 5.27 Besitzt ein Filter eine abzählbare Basis, so besitzt er eine Basis B = {Bn }n∈N
derart, dass m > n Ô⇒ Bm ⊂ Bn .
B Sei F ein Filter mit abzählbarer Basis A = {An }n∈N . Dabei ist zugelassen, dass
die An nicht alle voneinander verschieden sind. Sei nun Bn ∶= ⋂n
i=1 An . Für m > n ist
offenbar Bm ⊂ Bn . Ausserdem gilt, Bn ∈ F . Weil Bn ⊂ An ist {Bn }n∈N eine Basis von
F.
Lemma 5.29 Besitzt ein Filter F eine abzählbare Basis, so gibt es feinere Elementar lter,
und F ist der Durchschnitt aller Elementar lter, die Feiner als F sind.
Bemerkung 5.30 Die abzählbare Kompaktheit eines topologischen Raumes ist also nach
Lemma 5.29 und Bemerkung ?? äquivalent dazu, dass jeder Filter mit abzählbarer Basis
einen Häufungspunkt hat.
B Sei B = {Bn }n∈N eine Basis von F wie in Lemma 5.27. Sei xn ∈ Bn , was wegen
Bn ≠ ∅ möglich ist, so ist der zur Folge {xn }n∈N gehörige Elementar lter feiner als F .
37
.
Figure 5.66
.
Bn
Kompaktheit
Sei nun G der Durchschnitt aller Elementar lter, die feiner als F sind. Nach De nition
?? ist G feiner als F . Es verbleibt also zu zeigen, dass G nicht echt feiner als F ist.
Beweis durch Widerspruch: Angenommenalso, dass G echt feiner als F ist, das heisst,
∃A ∈ G mit A ∉ F . Für jedes n ∈ N wäre dann Bn ∩ Ac ≠ ∅ (andernfalls Bn ⊂ A). Nun
wähle yn ∈ Bn ∩ Ac , so de niert die Folge {yn }n∈N einen Elementar lter G̃ der feiner als
F ist. Wegen yn ∈ Ac ∀n gilt Ac ∈ G̃. Andererseits müsste G̃ nach De nition von G auch
feiner als G sein. Das heisst, A ∈ G̃ , was wegen A ∩ Ac = ∅ zum Widerspruch führt.
X topologischer Raum
1. (allgemeine) Kompaktheit []
• beliebige offene Überdeckungen haben endliche Teilüberdeckung,
• jeder Filter hat Häufungspunkt,
• Ultra lter sind konvergent.
2. abzählbare Kompaktheit []
• abzählbare offene Überdeckungen aben endliche Teilb�erdeckung
• abzählbare Filter haben Häufungspunkte
• Folgen haben Häufpungspunkte.
3. Folgenkompaktheit []
• Jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
Es gilt:
•  Ô⇒ , aber  Ô⇒
/ ,
..
⇐
⇍
.
Figure 5.67
.
FK
⇏
⇒
..
•  Ô⇒
/ , sowie  Ô⇒
/ 
⇏
..
⇍
K.
•  Ô⇒ , aber  Ô⇒
/ ,
.
AK
•  +  Ô⇒ 
.
Figure 5.68
.
xn
.
Un
Lemma 5.32 Sei X topologischer Raum. Es sein F ein Filter mit abzählbarer Basis und
Häufungspunkt x ∈ X .
Besitzt x eine abzählbare Umgebungsbasis, dann gibt es einen Elementar lte, der feiner,
als F ist und gegen x konvergiert.
B Seien {Bn } und {Un } Basen von F und dem Umgebungs lter U von x, wie
in 5.27. Da x Häufungspunkt von F ist, gilt Un ∩ Bn ≠ ∅. Wähle nun {xn } so, dass
xn ∈ Bn ∩Un ∀n ∈ N. Dann hat der zur Folge {xn } gehörige Elementar lter die gewünste
Eigenscha.
Satz 5.34 Erfüllt ein abzählbar kompakter Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom, so ist er
folgenkompakt.
Lemma 5.35 (Lindelöf) Besitzt ein topologischer Raum X eine abzählbare Basis (also
ist ), so gilt: Jede offene Überdeckung von X besitzt eine abzählbare Teilüberdeckung.
38
5.3 Abzählbare- und Folgen-Kompaktheit
B Sei {Qn }n∈N eine abzählbare Basis der Topologie und {Uj }j∈J eine offene Überdeckung von X . Uj = ⋃{Qn ∣ Qn ⊂ Uj }.
Sei Qn1 , Qn2 , . . . , Qni , . . . die Teilfolge derjenigen Basismengen, die in mindestens einem der Uj enthalten sind. Dann ist ⋃∞
i=1 Qni = ⋃j∈J Uj = X .
̃
Wähle zu jedem Qni ein Uni = Uj , für geeignetes j ∈ J .
̃
Dann erhalten wird die abzählbare Teilüberdeckung X = ⋃∞
i=1 Uni von U .
Satz 5.37 Sei X abzählbar kompakt und , dann ist X kompakt.
Beispiel 5.38 Eines kompakten [und damit auch abzählbar kompakten] topologischen
Raumes, der nicht folgenkompakt ist.
Bezeichne Λ die Menge der Teilfolgen der Folge {n}n∈N . Sei weiter I = [0, 1] (das nach
Satz von Weierstraß abzählbar kompakt, und damit (weil ) auch kompakt ist).
Nun sei X = I ∣Λ∣ = ∏λ∈Λ Iλ , mit Iλ = I ∀λ ∈ Λ.
Auf Iλ de nieren wir eine Folge {xkλ }k∈N so: Gehört k ∈ N nicht zur Teilfolge λ ∈ Λ, so
sei xkλ = 0.
Gehört k zu λ, so sei xkλ Null oder eins, je nachdem k in λ einen ungeraden, oder geraden
Platz einnimmt.
Damit {xk } ∶= {{xkλ }λ∈Λ } ist eine Folge auf X de niert, und nach Satz 5.20 ist X kompakt. Mithin besitzt {xk } einen Häufungspunkt in X . Sie besitzt aber keine konvergente
Teilfolge. Jede Teilfolge von {xk } wird nämlich durch eine Teilfolge λ der natürlichen
Zahlen bestimmt. Durch Projektion auf den entsprechenden Faktor erhält man aber eine
divergente Folge [siehe Satz ??
Bemerkung 5.39 Beispiel 5.38 zeigt unter anderem auch, dass beliebige Produkte folgenkompakter Räume nicht folgenkompakt sein müssen. Man kann aber zeigen: Das topologische Produkt von abzählbar vielen folgenkompakten Räumen ist wieder folgenkompakt. Man kann aber zeigen: Das topologische Produkt von abzählbar vielen folgenkompakten Räumen ist folgenkompakt
De nition 5.40 Sei (X, d) ein metrischer Raum
1. Eine Folge {xn }n∈N in X heisst Cauchy-Folge, wenn es ∀ε > 0 ein n0 ∈ N gibt,
so dass d(xn , xm ) < ε ∀n, m ≥ n0 .
2. (X, d) heisst Vollständig , wenn jede Cauchy-Folge in X konvergiert.
3. Ein metrischer Raum heisst totalbeschränkt , wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele
xi ∈ X gibt, so dass X von den ε-Bällen Ki = {x ∈ X ∣ d(x, xi ) < ε} überdeckt
wird.
Satz 5.41 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. X ist kompakt.
2. Jede Folge in X hat einen Häufungspunkt.
3. Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
4. (X, d) ist vollständig und totalbeschränkt.
39
Kompaktheit

B Es gilt: 1. Ô⇒ 2. Ô⇒ 3.
Wir werden zeigen, dass 3.Ô⇒4. und 4.Ô⇒1.
• “3.⇒4.”
a) (X, d) ist vollständig.
Sei x Grenzwert der Teilfolge {xni }i∈N der Cauchy-Folge {xn }n∈N (geht nach
3.), und ε > 0 beliebig. Dann existiert i0 ∈ N, so dass xni ∈ Kε/2 (x) ∀ni ≥
ni0 . Sei nun n0 ∈ N so, dass n0 > ni0 . Dann gilt xn ∈ Kε (x) ∀n ≥ n0 .
b) (X, d) ist total beschränkt.
Wäre X nicht total beschränkt, so gäbe es ein ε > 0, so dass endlich viele εKugeln nicht ausreichten, X zu überdecken. Dann aber können wir induktiv
eine Folge in X konstruieren, für die d(xn , xm ) > ε ∀n, m ∈ N. Solch eine
Folge besitzt keine konvergente Teilfolge.
• “4.⇒1.”
Sei U eine offene Überdeckung von X . Es reicht zu zeigen, dass es ein ε > 0 gibt,
so dass alle ε-Bälle in X in mindestens einem U ∈ U enthalten sind.
Sei dem nicht so, dann gibt es zu jedem n ∈ N ein xn ∈ X , so dass die Kugel
K1/n (xn ) in keinem U ∈ U enthalten ist. Da die xn für jedes ε > 0 in ingesamt
endlich vielen ε-Bällen liegen können wir eine Teilfolge {xni }i∈N nden, die eine
Cauchy-Folge ist. Der Grenzwert x dieser Folge liegt dann in einem U ∈ und dieses
U enthält K1/ni (xi ) für hinreichend grosses i. [Widerspruch].
.
Figure 5.69
Satz 5.43 (Borel-Lebesgue) Eine Teilmenge von Rn ist genau dann kompakt, wenn sie
abgeschlossen und beschränkt ist.
Beispiel 5.44 Ordinalzahlen [für Details: Ulf Friedrichsdorf/Alexander Prestel: “Mengelehre für den Mathematiker”]
0 ∶= ∅
1 ∶= {∅}
2 ∶= {∅, {∅}}
3 ∶= {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 ∶= . . .
[Nachfolgerabildung]
x ist eine natürliche Zahl genau dann, wenn x Element jeder Menge ist, die ∅ enthält
und unter Nachfolgeabbildung abgeschlossen ist. [⇐⇒ x ist Element jeeder induktiver
Menge].
ω ∪ {ω}
.
. . .
01 2
.
Figure 5.70
.
ω
⋯.
.
Ω
• Unendlichkeitsaxiom: Es existiert eine induktive Menge.
•
w ∶= ⋂{x ∣ x ist induktiv}.
• Eine Menge A heisst transitiv ∶⇐⇒ y ∈ A Ô⇒ y ⊂ A.
40
5.3 Abzählbare- und Folgen-Kompaktheit
• x Ordinalzahl ∶⇐⇒ x transitiv und durch “∈” wohlgeordnet.
• Jede Menge lässt sich bijektiv auf eine Ordinalzahl abbilden.
• Jeder Ordinalzahl ist 0, Nachfolgezahl, oder Limeszahl.
• α Limeszahl: α = ⋃β<α β .
• Ordnungstopologie: Subbasis der Topologie sind die offenen Intervalle ]a, b[∶=
{x ∣ a < x < b}.
Ω ∶= erste überabzählbare Ordinalzahl.
Behauptung:
[0, Ω) mit Ordnungstopologie ist folgenkompakt, aber nicht kompakt.
Beweis:
Sei α Ordinalzahl, dann ist [0, α] kompakt (mit trans niter Induktion). Damit ist [0, α]
natürlich auch abzählbar kompakt.
[0, Ω) ist nicht kompakt.
Behauptung [0, Ω) ist abzählbar kompakt. Sei {xi } Folge in [0, Ω). Da [0, Ω] kompakt,
also auch abzählbar kompakt ist, hat jede Folge {xi } in [0, Ω] einen Häufungspunkts in
[0, Ω]. Da Ω nicht Häufungspunkt von der (abzählbaren) Folge {xi } sein kann, gibt es
zu dieser Folge einen Häufungspunkt in [0, Ω). Das heisst, [0, Ω) ist abzählbar kompakt.
Da [0, Ω)  ist, ist [0, Ω) auch folgenkompakt.
41
6 Die Fundamentalgruppe
R.2
Algebraic Topology von Allen Hatcher:
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
R2 /{0}
.
.f (x0 )
.x0
f.
6.1. Homotopien
.
f ○c
.
c
.
zus.ziehbar
.
Figure 6.71
.
nicht zzbar
Für diesen Abschnitt treffen wir die Konvention, dass alle (stetigen) Wege auf I = [0, 1]
parametrisiert sind. f ∶ [0, 1] → X .
De nition 6.1 Eine Homotopie von Wegen in X ist eine Familie ft ∶ I → X , t ∈ [0, 1]
so dass:
1. Die Endpunkte ft (0) =∶ x0 und ft (1) =∶ x1 unabhängig von t (also fest) sind.
x1 .
f1.
1.
2. Die Abbildung F ∶ I × I → X gegeben durch F (s, t) ∶= ft (s) stetig ist.
F.
.t
.
0
.
s
.
1
f.t
.
x0
.
f0
.
Figure 6.72
f1 (s)
.
x0 .
.
Figure 6.73
.x1
.
ft (s)
.
f0 (s)
Die Wege f0 und f1 heissen homotop zueinander, f0 ≃ f1 .
Beispiel 6.2 Je zwei Wege f0 und f1 im Rn , die dieselben Endpunkte haben, sind homotop zueinander. Betrachte hierzu die Homotopie ft (s) = (1 − t) ⋅ f0 (s) + t ⋅ f1 (s).
Allgemeiner zeigt das, dass je zwei Kurven mit gleichen Endpunkten in einer konvexen
Teilmenge des Rn zueinander homotop sind.
Behauptung 6.3 Die Relation “≃” auf der Menge der Wege mit xierten Endpunkten in
einem topologischen Raum ist eine Äquivalenzrelation.
[Die entsprechenden Äquivalenzklassen von Wegen f bezeichnen wir mit [f ]].
B
• Dei Re exivität f ≃ f ist klar.
Betrachte hierzu die konstante Homotopie ft = f für alle t ∈ [0, 1].
• Die Symmetrie ist ebenfalls klar.
Betrachte hierzu eine Homotopie ft von f0 nach f1 . Dann ist durch f1−t eine Homotopie von f1 nach f0 gegeben.
• Transitivität:
Seien also f0 ≃ f1 via ft und f1 = g0 und g0 ≃ g1 via gt . Dann ist f0 homotop zu
g1 via
f
für 0 ≤ t ≤ 12 und
ht ∶= { 2t
g2t−1 für 12 ≤ t ≤ 1.
Da f1 = g0 ist ht wohlde niert.
Es verbleibt zu zeigen, dass die Abbildung H ∶ I × I → X , H(s, t) ∶= ht (s) stetig
42
6.1 Homotopien
ist.
Hilfslemma
Eine Abbildung, die auf der Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen deniert ist, ist stetig, wenn sie auf jeder der abgeschlossenenen Mengen stetig
ist.
In diesem Fall ist H also stetig da sowohl H∣0≤t≤ 1 (s, t) = F (s, 2t) als auch H∣ 1 ≤t≤1 (s, t) =
G(s, 2t − 1) stetig sind.
2
2
De nition 6.5
1. Seien f, g ∶ I → X Wege in X mit f (1) = g(0). Dann versteht man unter ihrer
Komposition den Produktweg f ⋅ g , der durch
(f ⋅ g)(s) ∶= {
f (2s)
g(2s − 1)
0 ≤ s ≤ 12
1
≤s≤1
2
2. Unter einem Loop versteht man einen Weg f ∶ I → X mit Basispunkt f (0) =∶
x0 = f (1). Die Menge aller Homotopieklassen von Loops f ∶ I → X in x0 wird
mit Π1 (X, x0 ) bezeichnet.
Bemerkung 6.6 Die in 1. de nierte Produktoperation respektiert offensichtlich Homotopieklassen von Wegen, denn gilt f0 ≃ f1 sowie g0 ≃ g1 via ft beziehungsweise gt , dann
ist f0 ⋅ g9 ≃ f1 ⋅ g1 via ft ⋅ gt .
f (0) = f (1).
f.
f ⋅. g .g
.f
Produkt
.
.
Figure 6.74
Loop
.
Behauptung 6.7 Sei X ein topologischer Raum. Dann ist Π1 (X, x0 ), versehen mit der
Produktopration [f ] ⋅ [g] ∶= [f ⋅ g], eine Gruppe.
B
f.
1. Die Produktoperation auf der Menge der Homotopieklassen von Loos mit festem
Basispunkt ist wohlde niert, da [f ⋅ g] nur von [f ] und [g] abhängt.
.
1
2
.
4
.
1
4
Es verbleibt die drei Gruppeneigenschaen zu überprüfen.
g.
.
1
1
2
h.
.
.f ⋅ (g ⋅ h)
.
.(f ⋅ g) ⋅ h
1
4
1
4
1.
2. Umparametrisierunge von Wegen:
Sei f ∶ I → X ein Weg und φ ∶ I → I eine stetige Abbildung mit φ(0) = 0 und
φ(1) = 1, dann heisst f ○ φ eine Umparametrisierung von f .
Die essentielle Tatsache, dass Umparametrisierungen Homotopieklassen erhalten
ist anschaulich klar. Es ist f ○ φ ≃ f via f ○ φt mit φt (s) = (1 − t)φ(s) + ts, so
dass φ0 = φ und φ1 (s) = s ∀s ∈ I .
3. Assozitativität
Seien f, g, h ∶ I → X Wege mit f (1) = g(0) und g(1) = h(0). Dann sind die
Produkte (f ⋅g)⋅h und f ⋅(g⋅h) de niert, und f ⋅(g⋅h) ist eine Umparametrisierung
von (f ⋅ g) ⋅ h via der stückweisen linearen Funktion φ ∶ I → I mit Graphen wie
in Abbildung ??.
Auf die Loops mit Basispunkt x0 eingeschränkt, gibt das genau die Assoziativität
des Produktes.
43
.
0
.
Figure 6.75
.
1
Die Fundamentalgruppe
4. Neutrales Element
Sei f ∶ I → X ein Weg, und c ∶ I → X der konstante Weg c(s) = f (1) ∀s ∈ I .
Dann ist f ⋅c eine Umparametrisierung von f via der Funktion φ mit Graphen wie
in Abbildung ??.
Also ist f ⋅c ≃ f ganz genauso ist c⋅f ≃ f wobei c(s) = f (0) ∀s ∈ I . Eingeschränkt
auf Loops mit Basispunkt x0 zeigt das , dass der konstante Loop idx0 ∶ I → X ,
idx0 (s) = x0 ∀s ∈ I eine zweiseitige Identität von Π1 (X, x0 ) ist.
.f
5. Inverses Element
Sei f ∶ I → X ein Weg von x0 nach x1 . Dann ist der inverse Weg f von x1 nach x0
defniert durch f (s) = f (1 − s). Um einzusehen, dass f ⋅ f homotop zu zu einem
konstanten Weg ist, betrachte die Homotoopie ht ∶= ft ⋅ gt , wobei ft ∣[0,1−t] ≡ f
und ft ∣[1−t,1] (s) = f (1−t), sowie gt ∶= f t . Nun ist f0 = f und f1 ist der konstante
Weg in f (0).
Eingeschränkt auf Loops in x0 heisst das, dass [f ] zweiseitiges Inverses von [f ]
in Π1 (X, x0 ) ist.
x.1
.
f¯
.
x0
.
Figure 6.76
(3).
.
(1)
Bemerkung 6.9 Die Gruppe Π1 (X, x0 ) heisst Fundamentalgruppe von X im Basispunkt
x0 . Sie ist erste in einer Folge von sogenannten Homotopiegruppen Πn (X, x0 ) die man
ganz analog erhält, indem man den De nitionsbereich der “Wege” von I auf I n abändert.
.(1)
.(2)
.(2)
Beispiel 6.10 Sei X ⊂ Rn konvex. Dann ist Π1 (X, x0 ) = 0, die triviale Gruppe, da alle
Loops in x0 zueinander homotop sind.
.(3)
Behauptung 6.11 Sei X ein topologischer Raum, und seien x0 und x1 durch einen Weg
h ∶ I → X miteinander verbunden. Dann ist die Abbildung βh ∶ Π1 (X, x1 ) → Π1 (X, x0 )
defniert durch βh ([f ]) ∶= [h ⋅ f ⋅ h] ein Gruppenisomorphismus.
.
Figure 6.77
. n
R
.X
x0 .
B Die Abbildung βh ist wohlde niert, denn ist ft eine Homotopie von Loops in
x1 , dann ist h ⋅ ft ⋅ h eine Homotopie von Loops in x0 .
βh ist ein Gruppenhomomorphismus, da βh [f ⋅ g] ∶= [h ⋅ f ⋅ g ⋅ h] = [h ⋅ f ⋅ h ⋅ h ⋅ g ⋅ h] =
[h ⋅ f ⋅ h] ⋅ [h ⋅ g ⋅ h] = βh ([f ]) ⋅ βh ([g]).
Schliesslich ist βh auch ein Isomorphismus mit Inversem βh , denn [βh ○ βh [f ] = βh [h ⋅
f ⋅ h] = [hhf hh] = [f ] ∀[f ] ∈ Π1 (X, x0 ). Ganz genau so βh ○ βh [f ] = [f ] ∀[f ] ∈
Π1 (X, x1 ).
.
Figure 6.78
De nition 6.13 Ein topologischer Raum X heisst einfach zusammenhängend wenn X
wegweise zusammenhängend ist und seine (vom Basispunkt unabhängige) Fundamentalgruppe trivial ist.
Behauptung 6.14 Ein topologischer Raum ist einfach zusammenhängend, genau dann,
wenn für je zwei Punkte x0 , x1 ∈ X die Homotopieklasse von Wegen, die x0 mit x1
verbinden eindeutig bestimmt ist.
B Sei Π1 (X) = 0. Sei f und g Wege von x0 nach x1 dann ist f ≃ f ⋅ g ⋅ g ≃ g , da
die Loops g ⋅ g und f ⋅ g homotop zum konstanten Loop sind. Sei Π1 (X) ≠ 0, …
6.2. Die Fundamentalgruppe der S 1
44
6.2 Die Fundamentalgruppe der S 1
Satz 6.16 Die Abbildung
ϕ ∶ (Z, +) → Π1 (S 1 ),
n ↦ [ωn ],
die der ganzen Zahl n, die Homotopieklasse des Loops
ωn (s) ∶= (cos(2πns), sin(2πns))
mit Basispunkt (1, 0) zuordnet, ist ein Gruppenismorphismus.
B
1. Die (Überlagerungs-) Abbildung
p ∶ R → S1,
p(s) ∶= (cos(2πs), sin(2πs))
kann man sich wie folgt vorstellen:
R ↪ R3 ,
c
s ↦ (cos(2πs), sin(2πs))
n.
p = pr(x,y) ○ c.
Die Fundamentalgruppe von R ist trivial. Die Existenz einer Abbildung mit gewissen charakteristischen Eigenschaen, wie p sie hat, bedeutet, dass (R, p) die
universelle Überlagerung von S 1 ist.
̃n ∶ I → R, durch
De nieren wir ω
.
R
.n
.ω̃n
2.
.2
c.
1.
.1
0.
̃n (s) ∶= ns ∀s ∈ I ,
ω
̃n = ωn und ein solches ω
̃n heisst Li (Hochhebung) von ωn
dann ergibt sich p ○ ω
via der Überlagerungsabbildung p.
2. Die Abbildung ϕ ∶ Z → Π1 (S 1 )
Sei f̃ ∶ I → R ein beliebiger Weg von f̃(0) = 0 nach f̃(1) = n. Wie wir wissen
̃n via der
(Beispiel 6.2 und Behauptung 6.14) ist jeder solche Weg homotop zu ω
linearen Homotopie
f̃t = (1 − t)f̃+ t̃
ωn .
̃
̃n ≃ p ○ f via der Homotopie p ○ f̃t .
Damit ist aber auch ωn = p ○ ω
Wir können also ϕ auch so de nieren, dass ϕ(n) = [p ○ f̃] für einen (und damit
alle) Wege f̃ in R von 0 nach n.
3. ϕ ist ein Gruppenhomomorphismus, das heisst ϕ(m + n) = ϕ(n) ⋅ ϕ)(n) (wobei
⋅ Produktabbildung von Homotopieklassen von Loops mit Basispunkt (1, 0)).
Sei also Tm ∶ R → R die Translation Tm (x) ∶= x + m um m ∈ Z.
̃m ⋅ (Tm ○ ω
̃n ) ein Weg inR von 0 nach m + n. Also ist ϕ(m + n) die
Dann ist ω
̃n )) von
Homotopieklasse des Loops in S 1 , den man als Bild von p ○ (̃
ωm ⋅ (Tm ○ ω
̃m ⋅ (Tm ○ ω
̃n ) unter p erhält. Dieses Bild ist aber einfach p ○ (̃
̃n )) =
ω
ωm ⋅ (Tm ○ ω
ωm ⋅ ωn , und es gilt
̃n ))]
ϕ(m + n) = [p ○ (̃
ωm ⋅ (Tm ○ ω
= [ωm ⋅ ωn ]
= [ωm ] ⋅ [ωn ]
= ϕ(m) ⋅ ϕ(n).
45
−1.
.
Figure 6.79
.0
.p
.pr
.−1
Die Fundamentalgruppe
4. ϕ ist ein Isomorphismus (das heisst, ϕ ist bijektiv).
Wir benutzen lediglich zwei ganz spezielle Eigenschaen der Überlagerungsabbildung p, die wir gleich im Anschluss in ganz allgemeinem Rahmen beweisen
werden.
̃0 ∈ p−1 (x0 ) gibt es
(a) Zu jedem Weg f ∶ I → S 1 mit f (0) = x0 ∈ S 1 und x
̃
̃
̃0 .
einen eindeutigen Li f ∶ I → R mit f (0) = x
(b) Für jede ( xierte Endpunkt) Homotopie ft ∶ I → S 1 , t ∈ I , von Wegen mit
̃0 ∈ p−1 (x0 ) gibt es eine eindeutige
ft (0) = x0 ∈ S 1 ∀t ∈ I und jedes x
̃
̃0 ∀t ∈ I .
geliete Homotopie ft ∶ I → R [ft = p ○ f̃t ] mit f̃t (0) = x
• Surjektivität von ϕ:
Sei f ∶ I → S 1 ein Loop mit Basispunkt (1, 0), der ein gegebenes Element
[f ] von Π1 (S 1 ) repräsentiert. Nach (a) existiert ein f̃ von f mit f̃(0) = 0.
Dieser Weg f̃endet in f̃(1) = n für geeignetes n ∈ Z, da (p○ f̃)(1) = f (1) =
x0 = (1, 0) und p−1 (x0 ) = Z. Nach der verallgemeinerten De nition von ϕ
erhalten wir ϕ(n) = [p ○ f̃] = [f ]. Also ist ϕ surjektiv.
• Injektivität von ϕ:
Sei also ϕ(m) = ϕ(n), das heisst ωm ≃ ωn .
Sei ft eine Homotopie von ωm = f0 nach ωn = f1 . Nach (b) lieet ft unter
p zu einer Homotopie f̃t von Wegen in R mit f̃t (0) = 0. Die Eindeutigkeits̃m sowie f̃1 = ω
̃n . Nun ist aber nach (b) f̃t
aussage in (a) impliziert f̃0 = ω
eine Homotopie von Wegen, also sind die Endpunkte f̃t (1) unabhängig von
t. Es folgt m ∶= f̃0 (1) = f̃1 (1) = n.
.V1
.V2
p−1 (V2 ).
p−1 (V1 ).
.
− 12
.
Figure 6.80
.
0
.
1
2
.
1
̃ zusammen
De nition 6.18 Sei X ein topologischer Raum. Ein topologischer Raum X
̃
mit einer Abbildung p ∶ X → X heisst Überlagerung von X , wenn p den folgenden
Bedingungen genügt: Es existiert eine offene Überdeckung {Uα } von X , so dass für
̃ ist, von
jedes α das Urbild p−1 (Uα ) die disjunkte Vereinigung offener Mengen in X
der jede unter p homöomorph auf Uα abgebildet wird.
Beispiel 6.19
̃ = R, p ∶ R → S 1 , p(s) = (cos(2πs), sin(2πs)).
1. X = S 1 , X
̃ = R2 , π ∶ R2 → T 2 = R Ò 2 .
2. X = T 2 , X
Z
2
̃ → X eine Überlagerung und sei Y ein topologischer Raum. Sei F ∶
Satz 6.20 Sei p ∶ X
̃ , so dass p ○ F̃0 = F ∣Y ×{0} . Dann gibt
Y × I eine Abbildung und F̃0 ∶ Y × {0} → X
̃ von F nach X
̃ , das heisst, p ○ F̃ = F ,
es eine eindeutige Hochhebung F̃ ∶ Y × I → X
F̃Y ×{0} = F̃0 .
Bemerkung 6.21
1. Aus Satz 6.20 folgt (a) sofort für den Fall Y = {y}.
2. (b) folgt für Y = I . Die Homotopie ft in (b) de niert eine Abbildung F ∶ I × I →
S 1 , F (s, t) = ft (s). Für t ≡ 0 gibt es nach (a) einen eindeutigen Li. Die Einschränkung F̃∣{0}×I sowie F̃∣{1}×I sind Lie konstanter Wege und damit selber
46
2
6.2 Die Fundamentalgruppe der S 1
.
H2
6.81
überliegende Seiten werden
nder identi ziert
konstante Wege. (Eindeutigkeit des Lis in (a)). Also ist f̃t (s) = F̃(s, t) eine ( xierte Endpunkt) Homotopie und f̃t ist Li von ft , da p ○ F̃ = F .
B (B  S .)
̃ für eine Umgebung N von y0 in Y .
1. Sei y0 ∈ Y . Konstruktion von F̃ ∶ N × I → X
• F stetig
Ô⇒ jedes (y0 , t) ∈ Y × I hat eine Produktumgebung Nt × (at , bt ) ⊂ Uα für
geeignetes α (F ((y0 , t)) ∈ Uα , (y0 , t) ∈ F −1 (Uα )).
• Nun ist {y0 } × I , so dass schon endlich viele der Mengen Nt × (at , bt ) das
Kompaktum {y0 } × I überdecken.
• Mit N ∶= ⋂n
i=1 Nti nden wir eine Zerlegung 0 = t0 < t1 < t2 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn = 1,
so dass F (N × [ti , ti+1 ] ⊂ Uα .
• Jetzt induktive Konstruktion von F̃.
Sei F̃ also schon auf N ×[0, t1 ] konstruiert. Aus F (N ×[ti , ti+1 ]) ⊂ Ui (i ist
das geeignete α) und der De nition einer Überlaguerung folgt die Existenz
̃i ⊂ X
̃ , so dass p∣ ̃ ∶ U
̃i → Ui ein Homöomorphismus ist,
eines offenen U
Ui
̃
̃
und F (y0 , ti ) ⊂ Ui .
f1 (y. 0 )
.X
F (y0 , ti ).
t = 0.
.
Ui
F̃ .
.y0 × I
.
p.
.F
N × I.
t = 1.
I.
.X̃
.F (y0 × I)
.f1
.
Ui .
f0
.
f0 (y0 )
.(y0 , 1)
.(y0 , ti )
..
N y0
.
s
U α ⊃.
̃i )
• N nach Verkleinerung, so dass F̃(N × {ti }) ⊂ U
̃i ).
N × {ti } ↝ N × {ti } ∩ F̃∣−1
(
U
N ×{ti }
.(y0 , ti )
.(y0 , 0)
• F̃∣N ×[ti ,ti+1 ] = p∣−1
Ui ○ F .
2. Eindeutigkeit für den Spezialfall Y = {y}.
Sei also F̃ und F̃′ Lis von F ∶ I → S 1 , so dass F̃(0) = F̃′ (0). Genau wie oben 0 =
t0 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn = 1, Zerlegung von I , so dass ∀i = 1, . . . , n gilt, dass F ([ti , ti+1 ]) ⊂
Ui .
Induktion:
Anfang: F̃(0) = F̃′ (0)
Voraussetzung: F̃∣[0,ti ] = F̃′ ∣[0,ti ] .
Behauptung F̃∣[0,ti+1 ] = F̃∣[0,ti+1 ] .
47
.
Figure 6.82
.X
.
Figure 6.83
ti .
.
ti+1
.
Y × {1}
.
Y × {ti }
.
Y × {0}
Die Fundamentalgruppe
• Da [ti , ti+1 ] zusammenhängend
Ô⇒ F̃([ti , ti+1 ]) ist zusammenhängend.
̃i für geeignetes U
̃i , da p Überlagerung ist.
Ô⇒ F̃([ti , ti+1 ]) ⊂ U
̃ ′ und wegen F̃′ (ti ) = F̃(ti ) gilt U
̃′ = U
̃i .
Das gleiche gilt für F̃′ mit U
i
̃i . Also folgt aus p ○ F̃ = p ○ F̃′ , dass
• Nun ist p injektiv auf U
′
̃
̃
F ∣[0,ti+1 = F ∣[0,ti+1 ] .
3. Nach 2. sind F̃ ∶ N × I → R eindeutig entlang jedes {y0 } × I bestimmt. Sie
stimmen als in Überschneidung miteinander überein. Damit ist F̃ auf ganz Y × I
wohlde niert, F̃ ist stetig, denn es ist auf jedem N × I stetig und ist eindeutig,
denn es ist entlang jedes Segmentes {y0 } × I eindeutig.
f 1 ≡ x0 .
.D2
.
f (x)
Satz 6.23 (Browersche Fixpunktsatz in Dimension 2)
Jede stetige Abbildung f ∶ D2 → D2 hat einen Fixpunkt, das heisst ∃x ∈ D2 , so dass
f (x) = x.
.
f0
.
x
r(x).
i
.
Figure 6.84
B Durch Widerspruch:
Sei f (x) ≠ x ∀x ∈ D2 . Sei r ∶ D2 → S 1 wie in Abbildung ??.
• r ist stetig.
• Für x ∈ S 1 Ô⇒ r(x) = x.
x.
.−x
η(s).
. .η(s +
R.
.
0
1
2)
R2 .
.
η
Figure 6.85
Sei f0 ein Loop in S 1 ⊂ D2 . In D2 ist f0 homotop zur konstanten Kurve, zum Beispiel
ft (s) = (1 − t)f0 (s) + tx0 , wobei x0 der Basispunkt von f0 ist. Da r∣S 1 = idS 1 ist r ○ ft
eine Homotopie von r ○ f0 = f0 in S 1 zum konstanten Loop in x0 . [Widerspruch, da f0
beliebig und Π1 (S 1 ) ≠ {id}.]
Satz 6.25 (Borsok-Ulam in Dimension 2)
Sei f ∶ S 2 → R2 eine stetige Abbildung. Dann existieren antipodale Punkte x und −x auf
S 2 mit f (x) = f (−x).
B Durch Widerspruch:
Sei die Aussage falsch. Dann de nieren wir die Abbildung g ∶ S 2 → S 1 , so dass
f (x).
.
f (−x)
g(x) =
.g(−x)
g(x).
.
Figure 6.86
1.
.h(s)
.
h̃(0)
h(s +
.
Figure 6.87
1 .
2)
.
p
.
h̃(1)
Sei η ∶ I → S 2 ⊂ R3 , η(s) = (cos 2πs, sin 2πs, 0). Dann gilt für h ∶ I → S 1 , h = g ○ η ,
h(s + 12 ) = −h(s), ∀s ∈ [0, 12 ].
Nun existiert die Hochhebung ̃
h ∶ I → R von h nach R. h(s+ 12 ) = −h(s) Ô⇒ ̃
h(s+ 12 ) =
q
1
−̃
h(s) + 2 für geeignetes q = 2n + 1, n ∈ N. Jetzt ist aber q = 2[̃
h(s + 2 ) + ̃
h(s)] stetig,
q
1
̃
̃
̃
und damit ist q unabhängig von s. Also erhalten wir h(1) = h( 2 ) + 2 = (h(0) + 2q ) + 2q =
̃
h(0) + q . Das heisst, dass h das q -fache eines Erzeugenden in Π1 (S 1 ) ist. Da q ungerade
ist, kann h nicht nullhomotop (das heisst homotop zum konstanten Loop) sein.
Aber h = g ○ η ∶ I → S 2 → S 1 , und η ist natürlich nullhomotop in S 2 . Also ist h = g ○ η
nullhomotop in S 1 .
Bemerkung 6.27 Sowohl der Browersche Fixpunktsatz als auch das Borsok-Ulan Lemma gelten auch in Dimension n > 2. Das kann man zum Beispiel ganz analog zu unseren
Beweisen mit den höheren Homotopiegruppen beweisen.
48
.
Figure 6.88
f (x) − f (−x)
.
∣f (x) − f (−x)∣
6.3 Induzierte Homomorphismen und Π1 (S n ) für n ≥ 2
Behauptung 6.28 Seien X und Y wegzusammenhängende Topologische Räume. Dann
ist Π1 (X × Y ) isomorph zu Π1 (X) × Π1 (Y ).
[Beweis Übung]
Beispiel 6.29 Π1 (T n ) = Π1 (S 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × S 1 ) = Π1 (S 1 ) × ⋅ ⋅ ⋅ × Π1 (S 1 ) = Zn .
6.3. Induzierte Homomorphismen und Π1 (S n ) für n ≥ 2
Y . pr.Y
.prX
.X
De nition 6.30 Sei φ ∶ X → Y stetig, φ(x0 ) = y0 .
(Notation: φ ∶ (X, x0 ) → (Y, y0 )).
De niere
φ∗ ∶ Π1 (X, x0 ) → Π1 (Y, y0 )
durch
.
X
y0 = φ(x
. 0)
x0 .
f
′
.
.f
.
φ○f
φ.
φ∗ [f ] = [φ ○ f ].
6.89
φ ○ f′
.
Figure 6.90
Bemerkung 6.31
Y
.
• φ∗ ist wohl de niert, denn [f ] = [f ′ ] Ô⇒ [φ○f ] = [φ○f ′ ] ⇐⇒ φ∗ [f ] = φ∗ [f ′ ].
• φ∗ ist Homomorphismus.
Zu zeigen: φ∗ ([f ] ⋅ [g]) = φ∗ [f ] ⋅ φ∗ [g].
Es gilt: φ ○ (f ⋅ g) = (φ ○ f ) ⋅ (φ ○ g).
φ∗ ([f ] ⋅ [g]) = φ∗ ([f ⋅ g]) = [φ ○ (f ⋅ g)] = [(φ ○ f ) ⋅ (φ ○ g)] = [φ ○ f ] ⋅ [φ ○ g] =
φ∗ [f ] ⋅ φ∗ [g].
ψ
.φ ○ f
.f
φ.
.
g
.
Figure 6.91
.
φ○g
φ
• Sei (X, x0 ) → (Y, y0 ) → (Z, z0 ), dann gilt (φ ○ ψ)∗ = φ∗ ○ ψ∗
x.0
• 1∗ = 1. Das heisst, 1 ∶ X → X induziert 1 ∶ Π1 (X, x0 ) → Π1 (X, x0 ).
• Ist φ ∶ X → Y Homöomorphismus mit Inversem ψ ∶ Y → X , dann ist φ∗ ein
Isomorphismus mit Inversem ψ∗ , da φ∗ ○ ψ∗ = (φψ)∗ = 1∗ = 1 und ebenso
ψ∗ φ ∗ = 1 .
B.
.f
.x
Satz 6.32 Π1 (S n ) = 0, falls n ≥ 2.
.f
.x
• f −1 (B) ist offen in (0, 1) also (eventuell unedliche) Vereinigung von disjunkten
offenen Intervallen (ai , bi ).
• f −1 (x) ist kompakt. (Da {x} ⊂ S n abgschlossen, also f −1 (X) abgeschlossen im
kompakten I , also f −1 (x) kompakt).
• Also ist f −1 (x) in der Vereinigung endlich vieler der (ai , bi ) enthalten, i = 1, . . . , n.
• fi ∶= f ∣[a−i,bi ] ⊂ B , f (ai ), f (bi ) ∈ ∂B .
49
.
ai
.
bi
.homotopen
x.0
B Strategie: Sei f ∶ I → S n ein Loop in Basispunkt x0 ∶= f (0) = f (1). Ist das Bild
unter f nicht S n , so ist f nullhomotop, das heisst also Homotop zur konstanten Kurve in
x0 , da S n /{x} homöomorph zu Rn , also insbesondere einfach zusammenhängend ist.
Damit genügt es den Loop f so zu homotopen, dass er nicht surjetiv ist.
f.
.
Figure 6.92
.
Die Fundamentalgruppe
• Da n ≥ 2, können wir gi ∶ [ai , bi ] → ∂B , g(ai ) = f (ai ), g(bi ) = f (bi ) wählen.
• Da B homöomorph zu einer konvexen Teilmenge des Rn ist (also einfach zusammenhängend), gilt gi ≃ gi .
.R
. n−1
S
.
Figure 6.93
• Nach endlich vielen Schritten haben wir f aus x heraushomotopiert.
Beispiel 6.34 Rn /{x} ≅ S n−1 × R.
Also ist Π1 (Rn /{x}) ≅ Π1 (S n−1 × R) ≅ Π1 (S n−1 ) × Π1 (R).
Also: Π1 (R2 /{x}) ≅ Z und für n > 2 hat man Π1 (Rn /{x}) = 0.
Korollar 6.35 R2 ist nicht homöomorph zu Rn für n ≠ 2.
B Sei f ∶ R2 → Rn ein Homöomorphismus, x ∈ R2 beliebig.
Dann ist f ∣R2 /{x} ∶ R2 /{x} → Rn /{f (x)} ebenfalls ein Homöomorphismus.
• n = 1: Wegkomponenten von R2 /{x} und R/{x}.
• n > 2: Π1 (Rn /{x}) ≅ 0 ≇ Z ≅ Π1 (R2 /{x}).
50
7 Wegzusammenhängende Überlagerungen
.
R
5.
4.
̃1 → X und p2 ∶ X
̃2 → X des topoloDe nition 7.1 Zwei Überlagerungen p1 ∶ X
gischen Raumes X heissen isomorph zueinander wenn es einen Homöomorphismus
̃1 → X
̃2 gibt, so dass gilt: p1 = p2 ○ f .
f ∶X
3.
.3
2.
1.
. 0.
Figure 7.94
Satz 7.2 Sei X wegzusammenhängend, lokal wegzusammenhängend und semilokal einfach zusammenhängend. Dann exisitert eine Bijektion zwischen der Menge der Basispunkt erhaltenden Isomorphieklassen der wegzusammenhängenden Überlagerungen p ∶
̃ x
̃0 ) → (X, x0 ) und der Menge der Untergruppen von Π1 (X, x0 ), die der Überla(X,
̃ p̃) die Untergruppe p∗ (Π1 (X,
̃ x
̃0 )) von Π1 (X, x0 ) zuordnet.
gerung (X,
.0
⋮.
Π1 =
.
0.
R.2
. ...
. ...
̃ → X eine Überlagerung.
Satz 7.3 Sei p ∶ X
⋮.
̃ x
̃0 ) → Π1 (X, x0 ) injektiv.
1. Dann ist die induzierte Abbildung p∗ ∶ Π1 (X,
. R . ...
S1 ×
̃ x
̃0 )) von Π1 (X, x0 ) besteht aus Homotopieklassen in
2. Die Untergruppe p∗ (Π1 (X,
̃ mit Basispunkt x
̃0 Loops in X
̃0 sind.
X mit Basispunkt x0 deren Lie nach x
Z.
. ...
Z2 .
.
T2
.
Figure 7.95
B
̃ in x
̃ , so dass g = [f0 ] und ∃
̃0 ∈ X
1. Sei g ∈ ker(p∗ ). Dann ∃ Loop f̃0 ∶ I → X
̃
Homotopie ft ∶ I → X von f0 = p ○ f0 nach f1 ≡ x0 . Die geliete Homotopie
̃ x
̃0 . Also ist g = [f̃0 ] = 0 in Π1 (X,
̃0 ) und p∗ ist
f̃t homotopiert f̃0 nach f̃1 ≡ x
injektiv.
̃0 lien reprästentieren natürlich Elemente des Bil2. Loops in x0 , die zu Loops in x
des von p∗ . Umgekehrt ist ein Loop in x0 , der ein Element des Bildes von p∗ ist,
homotop zu einem Loop, der einen solchen Li hat. Da die Homotopie liet, hat
der Loop damit schon selber einen solchen Li.
f.
.
X̃1
p
.1
.X
.
Figure 7.96
x̃0 .
De nition 7.5
1. Sei H eine Untergruppe der Gruppe G, g0 ∈ G. Dann heisst
X̃2
p2 .
.
x ∈ p−1 (f )
.X̃
p.
Hg0 = {g ∈ G ∣ ∃h ∈ H mit g = hg0 }
x0 .
die Rechtsnebenklasse von H in G bezüglich des Elementes g0 .
.X
.
Figure 7.97
2. G/H ∶= {Hg ∣ g ∈ G}. Elemente sind Äquivalenzklassen.
#G/H heisst Index von H in G.
.x̃0
−1
p
51
g̃.
. .X̃
(g) ∋ x
p.
.x̃0
.
Figure 7.98
.g̃
.X
.
Wegzusammenhängende Überlagerungen
Bemerkung 7.6
1. Hg0 = {g ∈ G ∣ g ○ g0−1 ∈ H}.
2. g ∼ f ∶⇐⇒ g ⋅ f −1 ∈ H . ∼ ist Äquivalenzrelation.
Beispiel 7.7 H ∶= 3Z ⊂ Z =∶ G.
H(0) = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . . }
H(1) = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . . }
H(2) = {. . . , −4, −1, 2, 5, 8, . . . }
g̃.
. .X̃
p−1 (g) ∋ x
.x̃0
p.
.x̃0
.
Figure 7.99
.g̃
.X
̃ → X eine Überlagerung. Dann ist # ∶ X → N ∪ {∞} mit x ↦
Bemerkung 7.8 Sei p ∶ X
−1
#p (X) lokal konstant. Ist X zusammenhängend, dann ist # auch global konstant.
De nition 7.9 Die Zahl #p−1 (x) heisst Vielfachheit der Überlagerung.
̃ x
̃
̃0 ) → (X, x0 ) eine Überlagerung und seien X und X
Behauptung 7.10 Sei p ∶ (X,
wegzusammenhängend, (das heisst insbesondere auch zusammhängend). Dann ist die
̃ x
̃0 )) in Π1 (X, x0 ) gegeben.
Vielfachheit von p durch den Index von p∗ (Π1 (X,
̃ mit Basispunkt
B Sei g ein Loop in X mit Basispunkt x0 . Sei ̃
g der Li nach X
̃
̃
̃0 . Das Produkt h ⋅ g mit [h] ∈ H = p∗ (Π1 (X, x
̃0 )) hat den Li (h ⋅ ̃
x
g )(1) = ̃
g (1),
̃ mit Basispunkt x
̃0 ist. Das heisst ϕ ∶ Π1 (X, x0 )/H → p−1 (x0 )
da ̃
h ein Loop von X
̃ wegzusammenhängend ist. ϕ ist
mit H[g] ↦ ̃
g (1) ist wohlde niert. ϕ ist surjektiv, da X
inejktiv, denn ist ϕ(H[g1 ]) = ϕ(H[g2 ]) Ô⇒ ̃
g1 (1) = ̃
g2 (1) Ô⇒ g1 ⋅ g2−1 liet zu einem
−1
̃
̃0 Ô⇒ [g1 ] ⋅ [g2 ] ∈ H Ô⇒ H[g1 ] = H[g2 ].
Loop in X mit x
̃ → X eines topologischen Raumes heisst
De nition 7.12 Eine Überlagerung p ∶ X
̃
̃ wegzusammenuniversell, wenn X einfach zusammenhängend ist (das heisst, dass X
̃
hängend ist und Π1 (X) = 0).
De nition 7.13
1. Ein topologischer Raum heisst lokal einfach zusammenhängend, wenn es zu jedem x ∈ X und jeder Umgebung V von x eine Umgebung U von x mit U ⊂ V
gibt, die einfach zusammenhängend ist.
2. Ein topologischer Raum heisst semi-lokal einfach zusammenhängend, falls es zu
jedem x ∈ X eine Umgebung V von X gibt so dass der von der Inklusionsabbildung i ∶ V → X induzierte Gruppenhomomorphismus i∗ ∶ Π1 (V, x) →
Π1 (X, x) trivial ist (das heisst, falls im(i∗ ) = 0 ∈ Π1 (X, x) ist).
Beispiel 7.14
.⊂ R
2
1. Der Raum in Graphik 7 ist nicht semi-lokal einfach zusammenhängend.
2. Der Kegel über diesen Raum ist semi-lokal einfach zusammenhängend, aber nicht
lokal einfach zusammenhängend.
.
Figure 7.100
52
Behauptung 7.15 Die Bedingung an einen topologischen Raum semi-lokal einfach zusammenhängend zu sein ist eine notwendige Bedingung dafür, dass der Raum eine universelle Überlagerung besitzt.
̃ → X.
B Explizite Konstruktion p ∶ X
̃ ∶= {[γ] ∣ γ ist Weg in x mit γ(0) = x0 }.
• X
[γ] ist Homotopieklasse von γ bezüglich xierter Endpunkt Homotopie.
̃ → X , [γ] ↦ γ(1).
• p∶X
p ist surjektiv, da X wegzusammenhängend ist.
̃
• Topologie auf X
– Sei U die Familie aller wegzusammenhängenden offenen Mengen U ⊂ X , so
dass i∗ ∶ Π1 (U ) → Π(X) trivial ist.
Ist V ⊂ U ∈ U wegzusammenhängend Ô⇒ V ∈ U .
Also ist U eine Basis der Topologie auf X , sofern X lokal wegzusammenhängend und semilokal einfach zusammenhängend ist.
̃ anzuge– Jetzt geht es darum, eine entsprechende Basis einer Topologie auf X
ben:
U[γ] ∶= {[γ ⋅ η] ∣ η ∶ I → U Weg mit η(0) = γ(1)}.
U[γ] hängt nur von [γ] ab.
– p ∶ U[γ] → U , p([γ ⋅ η]) = η(1). p ist surjektiv, da U wegzusammenhängend
ist und p ist injektiv, da U semilokal einfach zusammenhängend ist.
Denn p([γ ⋅ η]) = p([γ ⋅ η ′ ]) Ô⇒ η(1) = η ′ (1)
Ô⇒ [γ ⋅ η] = [γ ⋅ η ′ ].
X.
U ∈ U.
γ.
η.
.′
η
. ′
γ
x0 .
.
Figure 7.101
.X̃
.U[γ]
′
– (∗): [γ ] ∈ U[γ] Ô⇒ U[γ] = U[γ ′ ] .
Denn aus [γ ′ ] ∈ U[γ] folgt γ ′ = [γ ⋅ η], das heisst γ ′ ≃ γ ⋅ η .
Ist also[α] ∈ U[γ ′ ] Ô⇒ [α] = [γ ′ ⋅ µ] = [γ ⋅ η ⋅ µ] Ô⇒ [α] ∈ U[γ] .
Umgekehrt β ∈ U[γ] Ô⇒ [β] = [γ ⋅ µ] = [γ ⋅ η ⋅ η ⋅ µ] = [γ ′ ⋅ η ⋅ µ] ∈ U[γ ′ ]
̃.
– Die U[γ] bilden die Basis einer Topologie auf X
Jede Familie von Mengne bildet eine Subbasis einer Topologie. Um zu zeigen,
dass eine spezielle Familie von Mengen schon eine Basis einer Topologie bildet, muss man nur zeigen, dass man endliche Schnitte schon druch beliebige
Vereinigungen von Elementen dieser Familie erhält.
Das folgt bei uns sofort aus: (∗∗): [γ ′′ ] ∈ U[γ] ∩V[γ ′ ] Ô⇒ ∃W[γ ′′ ] mit W ∈ U
und [γ ′′ ] ∈ W[γ ′′ ] , W[γ ′′ ] ⊂ U[γ] ∩ V[γ ′ ] .
Beweis von (∗∗)
Nach (∗) gilt [γ ′′ ] ∈ U[γ] ∩ V[γ ′ ]
Ô⇒ U[γ ′′ ] = U[γ] und V[γ ′′ ] = V[γ ′ ] .
Sei W ∈ U , W ⊂ U ∩ V , mit γ ′′ (1) ∈ W .
Dann gilt W[γ ′′ ] ⊂ U[γ ′′ ] ∩V[γ ′′ ] = U[γ] ∩V[γ ′ ] , [γ ′′ ] = [γ ′′ ⋅(γ ′′ (1)) ∈ W[γ ′′ ] .
– p∣U[γ] ∶ U[γ] → U ist Homöomorphismus, denn p∣U[γ] ist Bijektion zwischen
den Topologiebasen {V[γ ′ ] ∣ V[γ ′ ] ⊂ U[γ] } von U[γ] und {V ∈ U ∣ V ⊂ U }
von U . Denn,
p.
.U
.U
α.
x0 .
γ
′
(∗)
53
.
.
η
.
µ
.
γ
.
Figure 7.103
.
U
V
W.
γ.
1. p(V[γ ′ ] ) = V . Das heisst, p ist offen.
2. ∀[γ ′ ] ∈ U[γ] mit γ ′ (1) ∈ V gilt V[γ ′ ] ⊂ U[γ ′ ] = U[γ] . p∣−1
U[γ] (V ) =
V[γ ′ ]
Ô⇒ p∣U[γ] ist stetig.
.X
.
Figure 7.102
.
Figure 7.104
.γ ′
γ ′′ .
.
x0
.
Wegzusammenhängende Überlagerungen
U[γ]
̃ → X ist Überlagerung, denn p ist stetig (folgt aus Betrachtung oben).
– p∶X
Sei U ∈ U fest. Dann folgt aus (∗) [γ ′′ ] ∈ U[γ] ∩ U[γ ′ ] , dass U[γ] = U[γ ′′ ] =
̃ γ(1) ∈ U } eine Zerlegung von
U[γ ′ ] also bildet die Menge {U[γ] ∣ [γ] ∈ X,
p−1 (U ).
̃ ist einfach zusammenhängend:
– X
̃ ist wergzusammenhängend:
* X
̃ beliebig.
Sei [γ] ∈ X
γt ∶ I → X ,
γt (s) = {
γ(s)
γ(t)
s ∈ [0, t]
s ∈ [t, 1]
̃ , der γ lied, in [x0 ] beginnt und in [γ]
Dann ist t ↦ [γt ] ein Weg in X
̃ beliebig war, ist X
̃ wegzusammenhängend.
endet. Da [γ] ∈ X
̃
̃
* Π1 (X, [x0 ]) = 0. Da p∗ ∶ Π1 (X, [x0 ]) → Π1 (X, x0 ) injektiv ist, gẽ [x0 ])) = 0.
nügt es zu zeigen, dass p∗ (Π1 (X,
̃
Sei also [γ] ∈ p∗ (Π1 (X, [x0 ])).
̃ [x0 ]) ein Loop in [x0 ]
Dann ist γ ein Loop in x0 , dessen Li nach (X,
̃
̃ [x0 ]).
ist. Der Weg t ↦ [γt ] in X wie oben liet γ nach (X,
̃
Dass dieser Li ein Loop in X in [x0 ] ist, bedeutet, dass [γ1 ] = [x0 ].
Mit [γ1 ] = [γ] folgt also [γ] = [x0 ], somit ist γ nullhomotop in X und
Satz 7.17 Sei X ein wegzusammenhängender, lokal wegzusammenhängender und semilokal einfach zusammenhängender topologischer Raum. Dann existiert für jede Untergruppe
̃H → X , so das pH∗ (Π1 (XH , x
̃0 )) = H , für
H ⊂ Π1 (X, x0 ) eine Überlagerung pH ∶ X
̃
̃
geeignet gewähltes X0 ∈ XH .
Beweisskizze:
̃ und de niere eine Äquivalenzrelation “∼” auf X
̃,
Betrachte universelle Überlagerung X
gegeben durch
[γ] ∼ [γ ′ ] ⇐⇒ γ(1) = γ ′ (1) und [γ ⋅ γ ′ ] ∈ H .
Weiter noch Propositionen 1.33, 1.34, 1.37, sowie eorem 1.38 aus Hatcher.
54
V[γ. ′ ]
.
Figure 7.105
.
p.
V.
Index
Symbols
Estes Abzählbarkeits Axiom . . . . . . . . . . 10
C k -verträglich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
n-Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
n-dimensionale C k -Struktur . . . . . . . . . . 26
n-dimensionaler C k -Atlas . . . . . . . . . . . . 26
Überdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Überlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
F
A
Abbildung
abgeschlossene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
offene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
abgeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 24
Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
abzählbar kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Abzählbarkeits Axiom
erstes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Zweites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Anfangspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
B
Basis der Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Berührungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
beschränkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
C
Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
D
diskontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
diskrete Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
E
echt feiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
einfach zusammenhängend . . . . . . . . . . . 44
Endpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
feiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Filterbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
nale Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
folgenkompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
folgenstetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
frei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
G
gröber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
H
Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 14
Hausdorff Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Homöomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 8
homotop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
I
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
innerer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
isomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Isotropiegruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
K
kanonische Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Klumpen Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Komplement-endlich Topologie . . . . . . . . 6
Komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
konvergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
55
INDEX
L
lokal einfach zusammenhängend . . . . . . 52
lokal wegzusammenhängend . . . . . . . . . . 33
Loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
M
Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
O
obere Grenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
offen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 f, 24
offene Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
offene Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
offenes Kästchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
P
Produkttopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Q
Quotientenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Quotiententopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
R
Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Rechtsnebenklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
S
semi-lokal einfach zusammenhängend . 52
stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 8
Subbasis der Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . 9
T
teilweise Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
nale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
topologischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
total unzusammenhängend . . . . . . . . . . . 31
totalbeschränkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
U
Ultra lter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56
Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Umgebungsbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
universell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
unterste Grenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
V
Vielfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Vollständig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
W
Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
wegzusammenhängend . . . . . . . . . . . . . . . 30
wohlgeordnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Z
zusammenhängend . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Zusammenhangskomponente . . . . . . . . . 31
Zweites Abzählbarkeits Axiom . . . . . . . . 10