Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die

Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die lineare Gleichung die Lösung
y=−5 besitzt.
x+a y=1
b x+2 y=4
x= 12 und
(I)
(II)
0.5 – 5 a=1⇒ a=−0.1
Lösung:
0.5 b−10=4⇒ b=28
Aufgabe 2
Ein Behälter wird durch eine Speiseleitung in 4 Stunden gefüllt und durch eine Entnahmeleitung in
6 Stunden geleert.
a) Wann ist der Behälter gefüllt, wenn beide Leitungen geöffnet sind und der Behälter bereits zu
einem Drittel gefüllt ist?
b) Wie lange dauert eine ¾ Füllung, wenn die Speiseleitung 2 Stunden vor der Entnahmeleitung
geöffnet wird und der Behälter bei Füllbeginn leer war?
t t 2
– =
t=8 h
3 t−2 t=8
Lösung:
a)
4 6 3
b)
t t
− =1/ 4
3 t−2 t=3
t=3 h
4 6
Fülleitung resamthat 5 h, Entnahmeleitung 2 h
Aufgabe 3
Der Stundenlohn eines Angestellten beträgt bei normaler Arbeitszeit Fr. 56.-. Wird die normale
Arbeitszeit überschritten, so wird der Stundenlohn für die Überzeit erhöht.
Ein Angestellter bekam in einer Woche, in der er 50 Stunden arbeitete, Fr. 2935.- und in einer
zweiten Woche bei einer Arbeitszeit von 57 Stunden Fr. 3516.- Lohn.
a) Wie gross ist die normale wöchentliche Arbeitszeit?
b) Wie hoch ist der Lohnzuschlag für Überstunden?
Lösung:
x: Normarbeitszeit
y: Überstundenlohn
56 x+(50−x)⋅y=2935
56 x+(57−x)⋅y=3516
7 y=581
y = 83 (Überstundenlohn)
56 x+(50−x)83=2935
27 sfr Lohnzuschlag
50⋅83−27 x=2935 ⇒ x=45( Normarbeitszeit)
Aufgabe 4
()
u
Für welches u ist der Zwischenwinkel der beiden Vektoren 30°, wenn die Vektoren a⃗ = −2
1
()
u
⃗b = 1
3
gegeben sind.
Test.BIA12.Vektoren
1
und
Lösung:
u 2+1= √u 2+5⋅√ u 2+10
x=
√
3
2
±√ 6⋅√ 217+222
2
x 1=−6.37153 , x 2=+6.3713
x 2+2 x+1= 34⋅( x 2 +15 x+50)
2
2
4 x +8 x+4=3 x +45 x+150
x 2−37 x−146=0
Aufgabe 5
Von einem gleichschenkligen Trapez ABCD kennt man
die Eckpunkte A(1; 2; 1), B(3; 3; 5) und D(0; 0; 2).
Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes C.
Lösung:
⃗
OC =(0/0/ 2)T +s (2 /1 /4)T =(2s/ s /2+4s)T
() ()( )
( )( ) ( )( )
0
2
2s
⃗
OC =⃗
OD+s⋅⃗
AB= 0 +s⋅ 1 =
s
2
4
2+4 s
⃗
AD · ⃗
AB=⃗
BA· ⃗
BC
−1 2
−2 2 s−3
⋅
=
−2 1
−1 ⋅ s−3
1
4
−4 4 s−3
0=−4 s+6−s+3−16 s+12 → s=1 C (2 /1 /6)
Aufgabe 6
Von einem Dreieck sind die Ecken A(0|0|0), B(1|5|2) und C(2|2|4) gegeben.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Höhenfusspunktes Hc.
Lösung:
Skalarprodukt:
H c =s(1/5 /2)
( )
2−s
⃗
H c C = 2−5 s
4−2s
2
⃗
AH c⋅⃗
H c C=2−s+10−25 s+8−4s=0 → 20=30 s → s=
3
oder minimaler Abstand:
Test.BIA12.Vektoren
()
1
⃗
AH c = 5
2
2
()
⃗
H c=
2
3
10
3
4
3
(2−s)2+(2−5 s)2+(4−2 s) 2=4−4 s+s 2+4−20 s+25 s 2+16−16 s+4 s 2
30 s 2−40 s+24⇒ max für s=
40 2
=
60 3
Aufgabe 7
Bestimmen Sie den Punkt P auf der y-Achse so, dass der Vektor ⃗
PA mit der y-Achse einen
(4
/6/3) .
Winkel von 60° einschliesst. Der Punkt A hat die Koordinaten
Lösung:
P (0/ y /0)
⃗y=( 0/1/0)
()
4
⃗
PA= 6−y
3
0
⃗y= 1
0
PA=( 4/6− y /3)
( )
⃗
PA⋅⃗y =PA⋅y⋅cos 60 °
(6− y)⋅1= √16+36 – 12 y+ y 2+9⋅√ 1⋅12
6− y=√ 61 – 12 y+ y 2⋅12
2(6−y )=√ 61−12y+ y 2
144−48 y+4 y 2 =61 – 12 y+ y 2
3 y 2 – 36 y+83=0
y 1=8.886751345
y 2=3.1132
Aufgabe 8
Gegeben sind die Koordinaten der Punkte A = (-1 / 1) und B = (3 / - 2).
AB sowie dessen Betrag ∣⃗
AB∣ .
Bestimmen Sie den Vektor ⃗
⃗
∣⃗
Lösung:
a)
AB= 4
AB∣=5
−3
( )
Aufgabe 9
Längen und Winkel im Dreieck mit dem Skalarprodukt Berechne die Seitenlängen, die Innenwinkel
und den Flächeninhalt des Dreieckes ABC mit Hilfe des Skalarproduktes.
A(2∣3∣0), B(−1∣10∣−4) und C(−2∣0∣7)
−3
−1
4
−4
⃗
⃗
⃗
⃗
AB= 7
BC = −10
CA= 3
AC = −3
Lösung:
−4
11
−7
7
()
AB=√ 74
( )
BC =√ 222=√ 3⋅√ 74
Gleichschenklig :β=γ=30 °
⃗
AB⋅⃗
AC =∣⃗
AB∣⋅∣⃗
AC∣⋅cos α
()
CA=√ 74
2 halbe gleichseitige Dreiecke
−37=√ 74⋅√ 74 cos α
−0.5=cos α⇒ α=120 °
Test.BIA12.Vektoren
()
3
A= 12 c⋅b sin α= 12 √74⋅√74⋅sin 120 °=37⋅sin 120 °=32.0429399=32.04
Aufgabe 10
Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH. Der Punkt M ist der
Mittelpunkt der Seite GH . Vereinfachen Sie den
folgenden Ausdruck so weit wie möglich.
a) ⃗
GC – ⃗
HB+⃗
HA
1
CM +⃗
FB – (⃗
AH +2 ⃗
BE )
b) 3⋅⃗
2
AE
Verwenden Sie als Basis: ⃗
AB ; ⃗
AD und ⃗
Lösung:
a)
−⃗
AB−⃗
AE
b)
0.5 ⃗
AE – 0.5 ⃗
AB – 0.5 ⃗
AD
Aufgabe 11
Die Diagonalen ⃗e und ⃗
f eines
Parallelogramms sind durch die Vektoren
⃗e = 13 und ⃗
f = −10 gegeben.
8
7
a und ⃗b der
a) Bestimmen Sie die Vektoren ⃗
Parallelogrammseiten.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des
Parallelogrammes.
( )
Lösung:
( )
( )
( )
1
11.5
a = 2 (⃗e −⃗f )=
⃗
0.5
1.5
⃗b= 1 ( ⃗e +⃗
f )=
2
7.5
a=11.510864433
b=7.648529270
a⋅⃗b=21
⃗
cos α=21over 11.51⋅7.64=0.23880895738=0.239
α=76.1837452692479=76.18°
A=a⋅b⋅sin α=85.39072530=85.4
⃗e x ⃗f =171 ⇒ A=85.5
A=⃗
a x ⃗b=85.5
Aufgabe 12
Gegeben sind die folgende Vektoren:
Bestimmen Sie die Komponenten von:
Test.BIA12.Vektoren
() ()
−3
u⃗ = 1
2
i) ⃗u – ⃗v
4
4
v⃗ = 0
−8
ii)
()
6
w
=
⃗ −1
−4
6 ⃗u +2 ⃗
w
Lösung:
()
()
−7
u⃗ −⃗v = 1
10
−6
6 u⃗ +2 ⃗
w= 4
4
Aufgabe 13
Gegeben sind die zwei Punkte A( 2/0/6) ,
B(3 /5 /2) . Bestimme die Koordinaten des
Durchstosspunktes D der Geraden AB mit der xyEbene.
Lösung:
() ( )
2
1
⃗
⃗
⃗
OX = OA+⋅ t⋅AB= 0 +t⋅ 5
6
−4
z=0⇒ 0=6 – 4t ⇒ t=1.5
D(3.5 /7.5 /0)
Aufgabe 14
Die Punkte A(0/0/4), B(5/0/0) und C(0/4/0) legen eine Ebene E fest.
Bestimmen Sie eine mögliche Parametergleichung und eine mögliche Koordinatengleichung der
Ebene.
x y z
+ + −1=0
4 x+5 y +5 z−20=0
Lösung:
5 4 4
() ( ) ( )
0
5
0
⃗
OX =⃗
OA+⋅ t⋅⃗
AB+⋅ s⋅⃗
AC= 0 +t⋅ 0 +s⋅ 4
4
−4
−4
Test.BIA12.Vektoren
5