Zusammenfassung Vektoren

Gymnasium Georgianum Hildburghausen
Fachbereich Mathematik
Arbeitsblatt 12/1
Thema: Zusammenfassung der Vektorrechnung
Nr. 12.1

Vektor (Def.): Der Vektor a  AB ist die Klasse alle Pfeile, die parallelgleich (parallel, gleichlang und gleich
gerichtet) zum Pfeil a  AB sind. Jeder Pfeil dieser Klasse ist möglicher Repräsentant des Vektors.
Spezielle Vektoren:

Nullvektor 0
  
a  0 a

Gegenvektor  a

 
a   a  0
Einheitsvektor

  

a
e 1 , Normierung:  1 , Basis: i  j  k 1
a
Vektoren können bzgl. einer kartesischen Basis eindeutig durch ihre Koordinaten beschrieben werden.
Darstellung
Komponenten
Ebene



a  ax i  a y j
Raum




a  axi  a y j  az k
Spalten bzw.
Koordinaten
  ax 
a   
 ay 
 ax 
  
a  ay 
a 
 z
y
P
z
A
B
A
0
0
y
x
x
P – Punkt;
OA - Ortsvektor des Punktes A (heißt der Vektor, der den Pfeil OA als Repräsentanten enthält);
AB - Vektor mit AB  OB  OA


Betrag eines
a  a x2  a 2y
a  a x2  a 2y  a z2
Vektors
Länge einer
AB  AB  x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2
AB  AB  xB  x A 2   y B  y A 2
Strecke
Mittelpunkt ei1
M ( AB ) : OM   OA  OB
ner Strecke
2


 
Skalarprodukt
a

b

a
b

a
b
a
 b  a x bx  a y by  a z bz


x
x
y
y





  




 
a  b a b  0
a  b | a |  | b |  cos a; b 
a  b | a |  | b |  cos a; b 

Winkel zwischen Vektoren

 
 
a b

cos  a; b  
| a ||b |
 
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit:
  

Die Vektoren a1; a2 ; a3 ;...; an heißen linear unabhängig, wenn sich aus ihnen der Nullvektor
nur auf trivialer Weise (alle Koeffizienten sind gleich Null) kombinieren lässt. Gibt es noch
mindestens eine weitere Lösung, so heißen sie linear abhängig.
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind. (kollinear)
 


Es gilt: b || a 
b  r  a , mit r  R
Drei Vektoren im Raum sind linear abhängig, wenn sich einer als Kombination der beiden
anderen darstellen lässt. (komplanar)
 
  

 
Es gilt: a, b , c Ebene    a    b  c ,  ,   R und a # b
Vektoren können nur dann eine Basis eines Vektorraumes bilden, wenn sie linear unabhängig sind.
eAMa 12, fi
1
01_AB 12.1 Zusammenfassung Vektoren
Thema: Aufgaben zur Wiederholung
1. In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Körper durch die Punkte A(2; 4; 0),
B(6; 1; 0), C(5; 8; 0) und S(2; 4; 6) gegeben.
a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Körpers. Weisen Sie nach, dass das Dreieck BCS
gleichschenklig ist.
b) Für einen Punkt P auf der Strecke AS ist das Dreieck BCP sogar gleichseitig. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes P!
2. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1; 3; 2), B(5; 1; 2) und
D(3; 7; 2) sowie der Vektor BS   1; 4; 3 gegeben.
a) Bestimmen Sie den Punkt C so, dass die Fläche ABCD ein Quadrat wird! Zeichnen
Sie die Pyramide ABCDS als Schrägbild in ein kartesisches Koordinatensystem!
b) Spiegeln Sie den Punkt S an der xy-Ebene. Der Spiegelpunkt sei S*. Berechnen Sie
das Volumen der Doppelpyramide ABCDSS*!
3. Zeigen Sie, dass durch die Punkte A(5; 4; 1), B(0; 4; 1), C(0; 1; 5), D(5; 1; 5) eine Raute
beschrieben wird. Berechnen Sie den Winkel an einem Eckpunkt dieses Vierecks!
4. Gegeben ist ein Viereck mit den Eckpunkten A(-1; -3; 6), B(5; -1; 8), C(3; 5; -2),
D(-3; 3; -4). M sei der Schnittpunkt der Diagonalen im Viereck ABCD. E, F, G, H seien
die Mittelpunkte der vier Diagonalenabschnitte.
Bestimmen Sie die Ortsvektoren von E, F, G und H!
5. Prüfen Sie, ob di gegebenen Vektoren komplanar sind!
  4  2  0
 3   2    2
 3   1  1
    
   
   
a)   2  ,  1  ,  0 
b)   1 ,   1 ,  0  c)  1  ,  1  , 1
 0   3 1
  1  3   8 
 1   0  1
    
   
   
6. Untersuchen Sie, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind!
 6   12   0 
231
 3   2  5 
   
   
   
a)   1  ,   2  ,  0  b)   1 ,  2  ,  1  c)   1 ,  0  ,   2 
  2   4 1
 1    1   1
 4  1  1 
   
   
   
7. Welche Bedingungen müssen die reellen Zahlen a und b erfüllen, damit die Vektoren linear abhängig sind. Deuten Sie die Aussage geometrisch!
 a   6
 a  1  1
1  1   a 
  
   
   
a)  2  ,  b 
b)  1  ,   1 ,  b 
c) 1 ,  2  ,  0 
 1   3
 2  1  1
1  1   b 
  
   
   
8. Die Vektoren AB  2; 4; 7  und AD   3; 7; 4 spannen im Punkt A(1; 1; 2) ein Parallelogramm auf!
a) Ermitteln Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte des Parallelogramms!
b) Berechnen Sie die Länge der Diagonalen sowie den Diagonalenschnittpunkt!
c) Bestimmen Sie die Maßzahl für den Flächeninhalt dieses Parallelogramms!
 3
 2 
 0
        
9. Gegeben sind die Vektoren at   4  , b    2  , c   0  , t  0 .
t 
 1 
1
 
 
 


a) Wie muss t gewählt werden, damit at  b gilt?


b) Wie muss t gewählt werden, damit at und c einen Winkel von 45° bilden?


c) Bilden Sie einen zu a1 und b orthogonalen Vektor!
2