G9A KLAUSUR MATHEMATIK (1) Die Cheopspyramide

G9A KLAUSUR MATHEMATIK
15.03.2012
(1) Die Cheopspyramide ist eine quadratische Pyramide, dessen Quadrat eine
Kantenlänge von 227 m und eine Seitenkantenlänge von 211 m hat.
a) Welches Volumen hat die Cheopspyramide?
b) Welchen Flächeninhalt hat eine der vier Seitenflächen?
c) Welchen Winkel hat die Seitenfläche gegenüber der Grundebene?
d) Das Gestein, aus dem die Cheopspyramide gebaut ist, hat eine Dichte von
2,5 g/cm3 . Welche Masse hat die Pyramide?
a) Das Seitendreieck ist gleichschenklig mit Basis 227 m. Bezeichnet h1 die
)2 = 2112 , also h1 =
Höhe dieses Dreiecks, dann gibt Pythagoras h21 + ( 227
2
177,9 m.
Die Höhen der Pyramide und des Seitendreiecks bilden zusammen mit der
halben Kante des Quadrats ein zweites Dreieck; noch einmal Pythagoras h2 +
( 227
)2 = 177,92 ergibt h = 137 m.
2
Damit folgt1
1
· G · h ≈ 2350000,
3
also 2,35 Millionen Kubikmeter.
V =
Eine zweite Methode, die Höhe der Pyramide zu bestimmen, geht über die
Diagonale des Quadrats. Pythagoras gibt 2272 +2272 = d2 , also d = 321 m. Das
Dreieck aus Seitenkante, Höhe und halber Diagonale liefert mit Pythagoras
s2 = h2 + (d/2)2 , also wie oben h = 137 m.
b) Die Höhe des Seitendreiecks ist h1 = 177,9 m; damit wird2 F = 21 gh =
1
· 227 · 177,9 ≈ 20200, d.h. eine Seitenfläche ist etwa 20200 Quadratmeter
2
groß.
c) Das aus Höhe und Seitenhöhe gebildete Dreieck liefert tan α =
1,207 und α = tan−1 (1,207) ≈ 50, 4◦ .
h
a/2
=
137
113,5
≈
d) Es ist m = V · ρ, d.h. die Masse der Pyramide ist m = 2, 35 · 106 m3 · 2,5
g/cm3 = 2,35 ·1012 cm3 · 2,5 g/cm3 ≈ 5,9 · 1012 g. Damit sind es noch knapp
6 ·109 kg oder 6 Millionen Tonnen.
1Bei
Kegel und Pyramide ist V = 13 · G · h, wobei G die Grundfläche bezeichnet, bei Kegel und
Zylinder also einen Kreis, bei Pyramide ein Quadrat. Volumenformeln der Art Oberfläche mal Höhe
gibt es nicht.
2In der nächsten Formel ist g die Grundseite des Dreiecks, keine Grundfläche!
2
15.03.2012
(2) Zwei zylindrische Bleiwalzen von 34 mm Durchmesser und 48 mm Höhe werden in einen Würfel umgeschmolzen. Wie groß wird dessen Kantenlänge?
Beim Einschmelzen bleibt das Volumen (und nicht die Oberfläche oder irgendwelche Kantenlängen) erhalten. Das Volumen einer Bleiwalze ist V = πr2 h =
π · 172 · 48 ≈ 43600 mm3 oder 43,6 cm3 . Beide zusammen haben also ein Volumen von 87,2 cm3 . Der Würfel hat das gleiche Volumen; a3 = 87,2 ergibt
(dritte Wurzel!) a = 4,4 cm.
(3) Ein zylinderförmiges Glas hat die Höhe 12,3 cm; das Glas hat dabei eine Dicke
von 0,3 cm (die Innenhöhe ist also 12 cm). Der Innenradius des Glases beträgt
4 cm.
a) wieviel Liter passen in das Glas?
b) Wie hoch steht die Flüssigkeit über dem Boden, wenn im Glas 0,3 Liter
Wasser sind?
c) Das Glas hat eine Dichte von 4 g/cm3 ; welche Masse hat das Glas?
a) V = πr2 · h = π · 42 · 12 = 603, also passen 600 cm3 oder 0,6 Liter (also
keine 6 und schon gar keine 60 Liter) ins Glas.
b) Wenn nur 0,3 Liter im Glas sind, steht die Flüssigkeit nur halb so hoch,
also etwa 6 cm.
c) Für viele mag es eine Überraschung sein: das Glas ist nicht massiv, sondern
innen hohl, damit es zum Trinken benutzt werden kann. Deswegen muss man
vom Volumen eines Zylinders mit Radius 4,3 cm und Höhe 12,3 cm dasjenige
eines Zylinders mit Radius 4 cm und Höhe 12 cm abziehen. Man findet
V = π · 4,32 · 12,3 − π · 42 · 123 = 111,3 cm3 .
Bei einer Dichte von g/cm3 hat das Glas also eine Masse von 445 g.
(4) In ein kegelförmiges Sektglas passen 200 ml. Wieviel Sekt ist im Glas, wenn
es nur bis zur halben Höhe gefüllt ist?
Ist r der Radius und h die Höhe des Glases, so ist das halb gefüllte Glas ein
Kegel mit Radius 21 r und Höhe 12 h. Das halbe Glas hat also ein Volumen von
1 r 2 h
1 1
1
V = π
= · πr2 h = · 200 = 25 ml.
3 2 2
8 3
8
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3
(5) Zeige, dass der schwarze Kreis die gleiche Fläche hat wie die graue Figur. Der
Radius des großen Kreises ist r = 2a.
q
Der schwarze Kreis hat Fläche πa2 , der große Halbkreis 12 π(2a)2 = 2πa2 , die
beiden weißen Halbkreise zusammen sind ebenso groß wie der schwarze Kreis.
Also hat die graue Figur Fläche
2πa2 − πa2 = πa2
wie behauptet.
(6) Wie groß muss der Winkel α sein, damit der Kreisausschnitt denselben Flächeninhalt hat wie das Quadrat?
a
α
Gleichsetzen von Fläche des Quadrats und des Kreisausschnitts (mit Radius
r = a) gibt
α
a2 =
· πa2 ,
360◦
◦
und Auflösen nach α gibt α = 360
≈ 114, 6◦ .
π