wahrscheinlichkeitsverteilung p x

Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X:
PX(B) = P(X∈B) = P({ω∈Ω|X(ω)∈B}), B ⊆ ℜ
Verteilungsfunktion von X
F = FX : ℜ → [0,1]
mit F(x) = PX((–∞,x]) = P(X ≤ x) = P({ω∈Ω|X(ω) ≤ x}), x∈ℜ
Träger TX einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung PX
TX = {x |P(X = x) > 0}
Träger TX einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung PX
TX = {x | f(x) > 0}
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
1
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Einpunktverteilung εa
ω ∈ Ω ⇒ X(ω ) = a
X
Ω
ω4
ω5
-1
0
1
2
3
4
5
6
ℜ
Bestimmung der Dichte über Laplace - Raum
Setze Ω' = {ω1 }, ω ∈ Ω' ⇒ ω = ω1 ⇒ X(ω1 ) = a ⇒ p(X = a) = 1/ | Ω'| = 1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
2
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Einpunktverteilung εa
Verteilungsfunktion : F(x) = I(a ≤ x)
Zähldichte :
p(x) = I(a = x)
Träger :
TX = {a}
Beispiel : X = Anzahl beteiligter Mannschaft en bei einem Fußballspi el
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
3
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Gleichverteilung G(x1,…xn)
P({ω ∈ Ω | X(ω ) = x 1 }) = P({ω ∈ Ω | X(ω ) = x 2 }) = ... = P({ω ∈ Ω | X(ω ) = x n })
X
Ω
ω4
ω5
-1
0
1
2
3
4
5
6
ℜ
Bestimmung der Dichte über Laplace - Raum
Setze Ω' = {ω1 ,..., ωn }, ω ∈ Ω' ⇒ ω = ωi ⇒ X(ω ) = x i ⇒ p(X = x i ) = 1/ | Ω'| = 1/n
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
4
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Gleichverteilung G(x1,…xn)
1 n
Verteilungsfunktion : F(x) = ∑ I(x i ≤ x)
n i=1
Zähldichte :
1
p(x) = ⋅ I(x ∈ {x 1 ,..., x n })
n
Träger :
TX = {x 1 ,..., x n }
Beispiel : X = Rückennummer eines zufälligen Spielers der Heimmannschaft
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
5
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bernoulli-Verteilung Ber(p)
P({ω ∈ Ω | X(ω ) = 1}) = p , P({ω ∈ Ω | X(ω ) = 0}) = 1 − p
X
Ω
ω4
ω5
-1
0
1
2
3
4
5
6
ℜ
Der Fall X(ω) = 1 wird Erfolg genannt, entsprechend ist p die
Erfolgswahrscheinlichkeit
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
6
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bernoulli-Verteilung Ber(p) P({ω ∈ Ω | X(ω ) = 1}) = p , P({ω ∈ Ω | X(ω ) = 0}) = 1 − p
Bestimmung der Dichte über Laplace - Raum
Sei p o.B.d.A. rational,
d.h. es gibt r, g ∈ ℵ mit p = r/g
Setze Ω' = {ω1 ,..., ω g }
A = {ω1 ,..., ωr } , A C = {ωr +1 ,..., ω g } , X(ω ) = I(ω ∈ A)
Ω
AC
A
ωr+1 ω
r+2
…
ωg
ω1 ω2
…
ωr
r
⇒ p(X = 1) = P( A ) = ∑ 1/ | Ω'| = r/g = p
X
i=1
p(X = 0) = P( A C ) = 1 − r/g = 1 − p
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
0
ℜ
1
7
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bernoulli-Verteilung Ber(p)
0<p<1
Verteilungsfunktion :
F(x) = (1 − p) ⋅ I(0 ≤ x) + p ⋅ I(1 ≤ x)
Zähldichte :
p(x) = p ⋅ I(x = 1) + (1 − p) ⋅ I(x = 0)
Träger :
TX = {0,1}
Beispiel : X = Treffer beim Strafstoß
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
8
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
n
P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = (Ω') | X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) = k}), Y ~ Ber(p) ist die W' keit
n
i=1
für genau k Erfolge in n Zufallsexp erimenten mit Ber(p) - verteilter Zufallsvariable
X
(ω1;1.,ω1;2.)
Ω
(ω2;1.,ω2;2.)
(ω3;1.,ω3;2.)
(ω4;1.,ω4;2.)
-1
0
1
2
3
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
4
5
6
ℜ
9
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
i=1
r, g ∈ ℵ , p = r/g , Ω' = {ω1 ,..., ω g } , A = {ω1 ,..., ωr } , A C = {ωr +1 ,..., ω g } , Y(ωi. ) = I(ωi. ∈ A) , i = 1,..., n
Elementarereignisse insgesamt:
Beispiel n=3, r=3, g=5
| Ω |= | Ω'|n = g n
Gesucht: Anzahl der Elementarereignisse mit k
Erfolgen
i=1
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
×
i=2
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
×
i=3
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
10
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
i=1
r, g ∈ ℵ , p = r/g , Ω' = {ω1 ,..., ω g } , A = {ω1 ,..., ωr } , A C = {ωr +1 ,..., ω g } , Y(ωi. ) = I(ωi. ∈ A) , i = 1,..., n
Elementarereignisse insgesamt:
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
| Ω |= | Ω'|n = g n
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
|A × A
k
C n-k
|= rk ⋅ (g − r)n−k
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
i=1
ω1
ω2
ω3
×
i=2
ω1
ω2
ω3
i=3
×
ω4
ω5
11
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
i=1
r, g ∈ ℵ , p = r/g , Ω' = {ω1 ,..., ω g } , A = {ω1 ,..., ωr } , A C = {ωr +1 ,..., ω g } , Y(ωi. ) = I(ωi. ∈ A) , i = 1,..., n
Elementarereignisse insgesamt:
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
| Ω |= | Ω'|n = g n
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
|A × A
k
C n-k
|= rk ⋅ (g − r)n−k
Die selbe Anzahl ergibt sich für jede Verteilung der k Erfolge
auf die n Experimente.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
i=1
ω1
ω2
ω3
i=2
×
×
i=3
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
12
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
i=1
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
Elementarereignisse insgesamt:
| Ω |= | Ω'|n = g n
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
|A × A
k
C n-k
|= rk ⋅ (g − r)n−k
Anzahl der Anordnungen der k Erfolge in den n Versuchen:
n! = n ∙(n-1) ∙… ∙1 Anzahl der Reihenfolgen-Permutationen
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
i=1
ω1
ω2
ω3
i=2 i=3
ω1 ω4
ω2 ω5
ω3
i=1 i=3 i=2
ω1 ω4 ω1
ω2 ω5 ω2
ω3
ω3
i=2
ω1
ω2
ω3
i=1 i=3
ω1 ω4
ω2 ω5
ω3
i=2 i=3 i=1
ω1 ω4 ω1
ω2 ω5 ω2
ω3
ω3
i=3 i=1 i=2
ω4 ω1 ω1
ω5 ω2 ω2
ω3 ω3
i=3 i=2 i=1
ω4 ω1 ω1
ω5 ω2 ω2
ω3 ω3
13
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
| Ω |= | Ω'|n = g n
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
n-k
i=1
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
Elementarereignisse insgesamt:
| Ak × A C
n
|= rk ⋅ (g − r)n−k
Anzahl der Anordnungen der k Erfolge in den n Versuchen:
n! = Anzahl der Reihenfolgen-Permutationen
Die Reihenfolge der Erfolge/Misserfolge untereinander spielt
dabei keine Rolle; es wird also jedes Elementarereignis k!∙(n-k)!
mal gezählt.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
i=1
ω1
ω2
ω3
i=2 i=3
ω1 ω4
ω2 ω5
ω3
i=1 i=3 i=2
ω1 ω4 ω1
ω2 ω5 ω2
ω3
ω3
i=2
ω1
ω2
ω3
i=1 i=3
ω1 ω4
ω2 ω5
ω3
i=2 i=3 i=1
ω1 ω4 ω1
ω2 ω5 ω2
ω3
ω3
i=3 i=1 i=2
ω4 ω1 ω1
ω5 ω2 ω2
ω3 ω3
i=3 i=2 i=1
ω4 ω1 ω1
ω5 ω2 ω2
ω3 ω3
14
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
i=1
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
Elementarereignisse insgesamt:
| Ω |= | Ω'|n = g n
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
| Ak × A
C n-k
|= rk ⋅ (g − r)n−k
Anzahl der Anordnungen der k Erfolge in den n Versuchen:
n! = Anzahl der Reihenfolgen-Permutationen
Die Reihenfolge der Erfolge/Misserfolge untereinander spielt
dabei keine Rolle; es wird also jedes Elementarereignis k!∙(n-k)!
mal gezählt.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
ω1
ω2
ω3
ω1 ω4
ω2 ω5
ω3
ω4
ω5
ω1
ω2
ω3
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω1
ω2
ω3
ω1
ω2
ω3
15
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
i=1
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
Elementarereignisse insgesamt:
| Ω |= | Ω'|n = g n
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
| Ak × A
C n-k
|= rk ⋅ (g − r)n−k
ω1
ω2
ω3
ω1 ω4
ω2 ω5
ω3
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω1
ω2
ω3
Anzahl der Anordnungen der k Erfolge in den n Versuchen:
Binomialkoeffizient
n
n!
  =
 k  k! (n − k)!
ω4
ω5
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
ω1
ω2
ω3
ω1
ω2
ω3
16
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
Elementarereignisse insgesamt:
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
n-k
i=1
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
| Ω |= | Ω'|n = g n
| Ak × A C
n
|= rk ⋅ (g − r)n−k
g n = 53 = 125
 3
3⋅2 ⋅1
32 ⋅ (5 − 3)3−2 ⋅   = 9 ⋅ 2 ⋅
= 54
2
2
⋅
1
⋅
1
 
Anzahl Elementarereignisse mit insgesamt k Erfolgen
n −k
r ⋅ (g − r)
k
n
⋅  
k 
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
17
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung-Verteilung Bin(n, p)
Bestimmung der Dichte über Laplace-Raum
ω = (ω1 ,..., ωn ) ∈ Ω = (Ω') ,
n
X(ω ) = ∑ Y(ωi. ) , Y ~ Ber(p)
Elementarereignisse insgesamt:
Elementarereignisse mit ausschließlich Erfolgen in den ersten k
Versuchen, danach nur Misserfolge:
( )
n-k
i=1
Beispiel n=3, r=3, g=5, k=2
| Ω |= | Ω'|n = g n
| Ak × A C
n
P(X = 2) = 54/125
|= rk ⋅ (g − r)n−k
Wahrscheinlichkeit für k Erfolge
n
n
r k ⋅ (g − r)n−k ⋅   r k ⋅ (g − r)n−k ⋅  
k
n−k
n
k
k


n k

r


g
−
r

 =
  =  ⋅  ⋅
n-k


P(X = k) =
=
⋅
p
⋅
(1
−
p)

n
k n −k




k  g
k 
gg
g
     g 
 
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
18
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung Bin(n,p)
0 < p < 1, n ∈ ℵ
Verteilungsfunktion :
n
F(x) = ∑ I(i ≤ x) ⋅  ⋅ pi ⋅ (1 − p)n−i
i= 0
i
n
Zähldichte :
n
p(x) = I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅ p x ⋅ (1 − p)n−x
x
Träger :
TX = {0,..., n}
Beispiel : X = Anzahl Treffer bei 5 Strafstößen
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
19
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
n
P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}),
i=1
r(i)


Yi ~ Ber
 ist die W' keit für genau k Erfolge in n Zufallsexp erimenten
r +s −i+1
mit jeweils Ber[r(i), r + s − i + 1] - verteilter Zufallsvariable
 r
 i−1
r(i) = r − Y
i
 ∑
j=1
X
(ω1;1.,ω1;2.)
Ω
,i = 1
,i > 1
(ω2;1.,ω2;2.)
(ω3;1.,ω3;2.)
(ω4;1.,ω4;2.)
-1
0
1
2
3
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
4
5
6
ℜ
20
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
r(i)


P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}), Yi ~ Ber

r +s −i+1
i =1
n
Urnenmodell
k=Anzahl rote Kugeln nach n-maligem Ziehen aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln
ohne Zurücklegen
Beispiel n=3, r=4, s=3
1
4
2
5
6
3
7
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
21
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
r(i)


P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}), Yi ~ Ber

r +s −i+1
i =1
n
Urnenmodell
k=Anzahl rote Kugeln nach n-maligem Ziehen aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln
ohne Zurücklegen
Beispiel n=3, r=4, s=3
1
5
4
2
3
6
7
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
22
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
r(i)


P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}), Yi ~ Ber

r +s −i+1
i =1
n
Urnenmodell
k=Anzahl rote Kugeln nach n-maligem Ziehen aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln
ohne Zurücklegen
Beispiel n=3, r=4, s=3
1
5
4
3
2
6
7
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
23
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
r(i)


P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}), Yi ~ Ber

r +s −i+1
i =1
n
Urnenmodell
k=Anzahl rote Kugeln nach n-maligem Ziehen aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln
ohne Zurücklegen
Beispiel n=3, r=4, s=3
1
5
4
6
3 2
7
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
24
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
r(i)


P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}), Yi ~ Ber

r +s −i+1
i =1
n
Urnenmodell
k=Anzahl rote Kugeln nach n-maligem Ziehen aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln
ohne Zurücklegen
Ω sind alle Möglichkeiten, die n " Ziehungserfolge" auf
die r + s Kugeln zu verteilen.
r + s 
 .
Davon gibt es | Ω |= 
1
 n 
1
5
5
6
6
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
Beispiel n=3, r=4, s=3
5
6
1
6
1
5
6
5
6
1
5
1
1
4
2
5
6
3
7
25
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
r(i)


P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}), Yi ~ Ber

r +s −i+1
i =1
n
Urnenmodell
k=Anzahl rote Kugeln nach n-maligem Ziehen aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln
ohne Zurücklegen
Ω sind alle Möglichkeiten, die n " Ziehungserfolge" auf
die r + s Kugeln zu verteilen.
r + s 
 .
Davon gibt es | Ω |= 
 n 
Die günstigen Fälle sind alle, in denen k rote
und n − k schwarze Kugeln auf die n gezogenen
verteilt werden.
r   s 
 .
Davon gibt es {ω ∈ Ω | X(ω ) = k} =   ⋅ 
k
n
−
k
  

123
126
135
145
156
234
237
247
267
347
367
467
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
124
127
136
146
157
235
245
256
345
356
356
567
125
134
137
147
167
236
246
257
346
357
457
Beispiel n=3, r=4, s=3,
k=2
1
4
2
5
6
3
7
26
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
r(i)


P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω'×Ω'\{ω1. } × ... × Ω'\{ω1. ,..., ωn-1. } | X(ω ) = ∑ Yi (ωi. ) = k}), Yi ~ Ber

r +s −i+1
i =1
n
Urnenmodell
k=Anzahl rote Kugeln nach n-maligem Ziehen aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln
ohne Zurücklegen
r + s 
 Möglichkei ten, die n " Ziehungserfolge" auf die
Es gibt | Ω |= 
 n 
r + s Kugeln zu verteilen.
r   s 
 k rote Kugeln.  r   s 
Davon enthalten {ω ∈ Ω | X(ω ) = k} =   ⋅ 
  ⋅ 

k  n − k 
k n−k
Die Wahrscheinlichkeit für k rote Kugeln beträgt also P(X = k) =   
r + s 


 n 
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
27
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Hypergeometrische Verteilung Hyp(n,r,s)
n ∈ ℵ, 0 < n < r + s
r   s 
  ⋅ 

Verteilungsfunktion : n
i
n
i
−

F(x) = ∑ I(i ≤ x) ⋅   
r + s 
i= 0


i


r   s 
  ⋅ 

Zähldichte :
x
n
−
x

p(x) = I(x ∈ {max(0, n − s),..., min(n, r)}) ⋅   
r + s 


x


Träger : TX = {max(0, n − s),..., min(n, r)}
Beispiel : X = Anzahl Duelle Amateur gegen Erstligist bei der DFB - Pokalauslosung
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
28
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Geometrische Verteilung Geo(p)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = min[i | Yi (ωi. ) = 1] − 1 = k}) , Yi ~ Ber(p)
ist die W' keit, den ersten Erfolg im (k + 1) - ten Zufallsexp eriment
mit jeweils Ber(p) - verteilter Zufallsvariable zu erhalten.
X
(ω1;1.,ω1;2.,…)
Ω
(ω2;1.,ω2;2.,…)
(ω3;1.,ω3;2.,…)
(ω4;1.,ω4;2.,…)
-1
0
1
2
3
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
4
5
6
ℜ
29
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Geometrische Verteilung Geo(p)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = min[i | Yi (ωi. ) = 1] − 1}) ,
Yi ~ Ber(p)
r, g ∈ ℵ , p = r/g , Ω' = {ω1 ,..., ω g } , A = {ω1 ,..., ωr } , A C = {ωr +1 ,..., ω g } , Y(ωi. ) = I(ωi. ∈ A) , i = 1,..., n
Für festes k relevanter Grundraum
Ω'k +1 = | Ω'|k +1 ⇒ | Ω'k +1 |= g k +1
Günstige Elementarereignisse sind diejenigen mit ausschließlich Erfolgen in
den ersten k Versuchen, danach ein Misserfolg:
C k
k
( ) × A |= r ⋅ (g − r)
|A
k
r ⋅ (g − r)k r ⋅ (g − r)k  r   g − r 
⇒ P(X = k) =
=
=   ⋅ 
 = p ⋅ (1 − p)k
k +1
k
g
g⋅g
g  g 
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
30
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Geometrische Verteilung Geo(p)
0<p<1
Verteilungsfunktion :
F(x) = 1 − (1 − p)x +1
Zähldichte :
p(x) = I(x ∈ ℵ ∪ 0) ⋅ p ⋅ (1 − p )
x
Träger : TX = ℵ ∪ 0
Beispiel : X = Anzahl verschossener Strafstöße bis zum ersten verwandelten
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
31
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = k})
n
= lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
n
n→ ∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
ist die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Zeitraum der Länge t genau k Ereignisse zu
beobachten, wenn die mittlere Anzahl an Ereignissen im Zeitraum t durch den Wert von λ
gegeben ist und ein Erfolg zu jedem Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum gleichwahrscheinlich ist
X
(ω1;1.,ω1;2.,…)
Ω
(ω2;1.,ω2;2.,…)
(ω3;1.,ω3;2.,…)
(ω4;1.,ω4;2.,…)
-1
0
1
2
3
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
4
5
6
ℜ
32
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = k})
n
= lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
n
n→ ∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
ist die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Zeitraum der Länge t genau k Ereignisse zu
beobachten, wenn die mittlere Anzahl an Ereignissen im Zeitraum t durch den Wert von λ
gegeben ist und ein Erfolg zu jedem Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum gleichwahrscheinlich ist
x
n− x
n  λ  
λ
Durchführung von n Bernoulli - Experimenten im Zeitraum t : p(x) = I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅   ⋅  1 − 
x  n   n 
1111
λλλλ
=
0
t
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
33
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = k})
n
= lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
n
n→ ∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
ist die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Zeitraum der Länge t genau k Ereignisse zu
beobachten, wenn die mittlere Anzahl an Ereignissen im Zeitraum t durch den Wert von λ
gegeben ist und ein Erfolg zu jedem Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum gleichwahrscheinlich ist
x
n− x
n  λ  
λ
Durchführung von n Bernoulli - Experimenten im Zeitraum t : p(x) = I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅   ⋅  1 − 
x  n   n 
1111
λλλλ
=
0
t
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
34
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = k})
n
= lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
n
n→ ∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
ist die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Zeitraum der Länge t genau k Ereignisse zu
beobachten, wenn die mittlere Anzahl an Ereignissen im Zeitraum t durch den Wert von λ
gegeben ist und ein Erfolg zu jedem Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum gleichwahrscheinlich ist
x
n− x
n  λ  
λ
Durchführung von n Bernoulli - Experimenten im Zeitraum t : p(x) = I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅   ⋅  1 − 
x  n   n 
1111
λλλλ
=
0
t
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
35
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = k})
n
= lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
n
n→ ∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
ist die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Zeitraum der Länge t genau k Ereignisse zu
beobachten, wenn die mittlere Anzahl an Ereignissen im Zeitraum t durch den Wert von λ
gegeben ist und ein Erfolg zu jedem Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum gleichwahrscheinlich ist
x
n− x
n  λ  
λ
Durchführung von n Bernoulli - Experimenten im Zeitraum t : p(x) = I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅   ⋅  1 − 
x  n   n 
1111
λλλλ
=
0
t
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
36
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = k})
n
= lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
n
n→ ∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
ist die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Zeitraum der Länge t genau k Ereignisse zu
beobachten, wenn die mittlere Anzahl an Ereignissen im Zeitraum t durch den Wert von λ
gegeben ist und ein Erfolg zu jedem Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum gleichwahrscheinlich ist
x
n− x
n  λ  
λ
Durchführung von n Bernoulli - Experimenten im Zeitraum t : p(x) = I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅   ⋅  1 − 
x  n   n 
1111
λλλλ
=
0
t
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
37
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω'∞ | X(ω ) = k})
n
= lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
n
n→ ∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
ist die Wahrscheinlichkeit, in einem festen Zeitraum der Länge t genau k Ereignisse zu
beobachten, wenn die mittlere Anzahl an Ereignissen im Zeitraum t durch den Wert von λ
gegeben ist und ein Erfolg zu jedem Zeitpunkt im betrachteten Zeitraum gleichwahrscheinlich ist
x
n− x
n  λ  
λ
Durchführung von n Bernoulli - Experimenten im Zeitraum t : p(x) = I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅   ⋅  1 − 
x  n   n 
0
2.5
λλλλ
=
t
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
38
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Poisson-Verteilung Poi(λ)
n
P({ω = (ω1. , ω2. ,...) ∈ Ω = Ω' | X(ω ) = k}) = lim P({ω = (ω1. ,..., ωn. ) ∈ Ω = Ω' | X n (ω ) = ∑ Yn (ωi. ) = k}) ,
∞
n
n→∞
Yn ~ Ber(λ /n)
i=1
x
n− x
x
n− x

 n!
n  λ   λ  
λ  λ 
p(x) = lim I(x ∈ {0,..., n}) ⋅   ⋅   ⋅  1 −   = I(x ∈ ℵ ∪ 0) ⋅ lim 
⋅   ⋅ 1 −  
n→ ∞
n
→
∞
 x   n   n  
 x! (n − x)!  n   n  

n
−x
 n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − x + 1) λ x 
λ  λ 
= I(x ∈ ℵ ∪ 0) ⋅ lim 
⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ 1 −  
n→ ∞
x!
n  n   n  

n
 λx 
n − xk + 1 
 n n −1 n−2
 λ
 λ
= I(x ∈ ℵ ∪ 0) ⋅ lim   ⋅ lim  ⋅
⋅
⋅ ... ⋅
 ⋅ lim  1 −  ⋅ lim  1 − 
n→∞ x!
n
n  n→∞ n  n→∞ n 
  n→∞ n n
−x
 λx 
λ xe−λ
−λ
= I(x ∈ ℵ ∪ 0) ⋅   ⋅ 1 ⋅ e ⋅ 1 =
x!
 x! 
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
39
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Poisson-Verteilung Poi(λ)
λ>0
λx
Verteilungsfunktion : F(x) = e ⋅ ∑ I(i ≤ x) ⋅
x!
i= 0
−λ
Zähldichte :
λ xe −λ
p(x) =
x!
Träger :
TX = ℵ ∪ 0
n
Beispiel : X = Anzahl Tore pro Bundesliga - Spieltag
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
40
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Rechteckverteilung R(a,b)
a<b
Verteilungsfunktion : F(x) = I(a ≤ x) ⋅
min(x, b) − a
b−a
I(a ≤ x ≤ b)
b−a
Dichtefunktion :
f(x) =
Träger :
TX = [a, b]
Beispiel : X = Zeitpunkt beliebiger Spielunterbrechung
zwischen 10. und 20. Spielminute
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
41
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Exponentialverteilung Exp(λ)
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) =
nx 
[
]
lim P({ω = (ω1. ,..., ω nx . ) ∈ Ω = Ω' | Ynx (ω nx . ) ⋅ ∏ 1 − Ynx  (ωi. ) = 1}) ,
(nx)
n→ ∞
i=1
Ynx  ~ Ber(λ / nx )
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten nach einem Ereignis auf das nächste zu
warten, wenn die Anzahl Ereignisse Z Poisson-verteilt ist mit Parameter λ.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
42
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Exponentialverteilung Exp(λ)
nx 
[
]
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) =
lim P({ω = (ω1. ,..., ω nx . ) ∈ Ω = Ω' | Ynx (ω nx . ) ⋅ ∏ 1 − Ynx  (ωi. ) = 1}) ,
(nx)
n→∞
i=1
Ynx  ~ Ber(λ / nx )
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten nach einem Ereignis auf das nächste zu
warten, wenn die Anzahl Ereignisse Z Poisson-verteilt ist mit Parameter λ.
1111
λλλλ
λke− λ
Verteilung von Z 1 in einer Zeiteinheit : p(Z 1 = k) =
k!
x
=
0
t=1
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
43
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Exponentialverteilung Exp(λ)
nx 
[
]
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) =
lim P({ω = (ω1. ,..., ω nx . ) ∈ Ω = Ω' | Ynx (ω nx . ) ⋅ ∏ 1 − Ynx  (ωi. ) = 1}) ,
(nx)
n→∞
i=1
Ynx  ~ Ber(λ / nx )
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten nach einem Ereignis auf das nächste zu
warten, wenn die Anzahl Ereignisse Z Poisson-verteilt ist mit Parameter λ.
1111
λλλλ
(λ ⋅ t)k e − ( λ⋅ t)
Verteilung von Z t in t Zeiteinheiten : p(Z t = k) =
k!
x
=
0
t=2
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
44
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Exponentialverteilung Exp(λ)
nx 
[
]
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) =
lim P({ω = (ω1. ,..., ω nx . ) ∈ Ω = Ω' | Ynx (ω nx . ) ⋅ ∏ 1 − Ynx  (ωi. ) = 1}) ,
(nx)
n→∞
i=1
Ynx  ~ Ber(λ / nx )
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten nach einem Ereignis auf das nächste zu
warten, wenn die Anzahl Ereignisse Z Poisson-verteilt ist mit Parameter λ.
1111
λλλλ
(λ ⋅ t)k e − ( λ⋅ t)
Verteilung von Z t in t Zeiteinheiten : p(Z t = k) =
k!
Damit gilt : X > t ⇔ Z t = 0
Beide Ausdrücke sagen aus, dass es t Zeiteinheiten lang kein Ereignis gibt.
x
=
0
t=2
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
45
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Exponentialverteilung Exp(λ)
nx 
[
]
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) =
lim P({ω = (ω1. ,..., ω nx . ) ∈ Ω = Ω' | Ynx (ω nx . ) ⋅ ∏ 1 − Ynx  (ωi. ) = 1}) ,
(nx)
n→∞
i=1
Ynx  ~ Ber(λ / nx )
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten nach einem Ereignis auf das nächste zu
warten, wenn die Anzahl Ereignisse Z Poisson-verteilt ist mit Parameter λ.
(λ ⋅ t)k e − ( λ⋅ t)
Verteilung von Z t in t Zeiteinheiten : p(Z t = k) =
k!
Damit gilt : X > t ⇔ Z t = 0
Beide Ausdrücke sagen aus, dass es t Zeiteinheiten lang kein Ereignis gibt.
⇒ F(x) = P(X ≤ x) = 1 − P(X > x) = 1 − P(Z x = 0)
(λ ⋅ x)0 e −(λ⋅x)
= 1−
= 1 − e −(λ⋅x)
0!
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
46
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Exponentialverteilung Exp(λ)
nx 
[
]
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) =
lim P({ω = (ω1. ,..., ω nx . ) ∈ Ω = Ω' | Ynx (ω nx . ) ⋅ ∏ 1 − Ynx  (ωi. ) = 1}) ,
(nx)
n→∞
i=1
Ynx  ~ Ber(λ / nx )
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten nach einem Ereignis auf das nächste zu
warten, wenn die Anzahl Ereignisse Z Poisson-verteilt ist mit Parameter λ.
Verteilungsfunktion: F(x) = 1 − e
− (λ ⋅x)
Dichtefunktion durch Ableitung von F(x) nach x: f(x) = λe −(λ⋅x)
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
47
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Exponentialverteilung Exp(λ)
λ>0
(
Verteilungsfunktion : F(x) = I(0 ≤ x) ⋅ 1 − e −(λ⋅x)
Dichtefunktion :
f(x) = I(0 ≤ x) ⋅ λe −(λ⋅x)
Träger :
TX = [0, ∞)
)
Beispiel : X = Zeit zwischen zwei Spielunterbrechungen
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
48
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Gamma-Verteilung Γ(α,β)
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x})
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten nach einem Ereignis auf das β -nächste zu
warten, wenn die Anzahl Ereignisse Z Poisson-verteilt ist mit Parameter α.
x
0
α=3
β=1
t=2
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
49
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Gamma-Verteilung Γ(α,β)
α > 0, β > 0
x
αβ β−1 −αt
Verteilungsfunktion : F(x) = ∫
t e dt
Γ(β)
0
Dichtefunktion :
α β β−1 −αx
f(x) = I(0 ≤ x) ⋅
x e
Γ(β)
∞
mit Γ(β) = ∫ tβ−1e − tdt = (β − 1)! , β ∈ ℵ
0
Träger :
TX = [0, ∞)
Beispiel : X = Spielminuten von Saisonstart bis zur fünften gelben Karte
eines Spielers
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
50
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Weibull-Verteilung W(α,β)
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x})
ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens x Zeiteinheiten auf das erste Ereignis zu warten, wenn die
Hazardrate
P(t ≤ T < t + δt)
h(t) = limδt→∞
δt
durch die Funktion
h(t) = e(ν +ρ⋅ln(t)) mit ν = ln(α ) − α ⋅ ln(β )
und ρ = α − 1
beschrieben wird.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
51
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Weibull-Verteilung W(α,β)
α > 0, β > 0
(
Verteilungsfunktion : F(x) = I(0 ≤ x) ⋅ 1 − e −(x/β )
α
)
α > 0, β > 0
 α  x  α −1 −(x/β )α 

Dichtefunktion : f(x) = I(0 ≤ x) ⋅  ⋅   e
 β β 



Träger :
TX = [0, ∞)
Beispiel : X = Zeitpunkt des Tors zum 1 − 0, wenn das Hinspiel 0 − 1 verloren wurde
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
52
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) =


 n  Y(ωi. ) − E(X)  
n 1


lim P {ω ∈ Ω' | ∑ 
⋅ Var(X) ⋅ n + E(X) ≤ x} ,

 n i=1

n→∞ 

 Var(X)  



Normalverteilung N(μ,σ2)
Y ~ F0 (E(X) = μ, Var(X) = σ 2 )
ist die Grenzw‘keit für unendliches n, dass der Mittelwert aus n standardisierten Zufalls-variablen,
die aus der selben Verteilung stammen, den Wert [x–E(X)]/[Var(X∙n)0.5] nicht übersteigt.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
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53
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Normalverteilung N(μ,σ2)
σ>0
x
Verteilungsfunktion : F(x) =
∫
−∞
Dichtefunktion : f(x) =
Träger :
1
e
2π σ
1
e
2π σ
1  x −μ 
− 

2 σ 
1  t −μ 
− 

2 σ 
2
dt
2
TX = ℜ
Beispiel : X = Nettospielzeit pro Bundesliga spieltag
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
54
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
χ2-Verteilung χf2 mit f Freiheitsgraden
f


f
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) = P {ω ∈ Ω' | ∑ Y 2 ≤ x} ,
i=1


Y ~ N(0,1)
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe von f quadrierten, standardnormalverteilten
Zufallsvariablen den Wert x nicht übersteigt.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
55
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
χ2-Verteilung χf2 f ∈ℵ
(=Γ[0.5, f/2])
x
1
t f/2−1e − t/2dt
f/2
2 Γ(f/2)
0
Verteilungsfunktion : F(x) = ∫
Dichtefunktion : f(x) = I(0 < x) ⋅
Träger :
1
x f/2 −1e −x/2
f/2
2 Γ(f/2)
TX = [0, ∞)
Beispiel : X = χ 2 − Statistik zwischen Anzahl gelber Karten pro Spiel in
Hin - und Rückrunde
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
56
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
F-Verteilung Ff1,f2 mit f1 und f2 Freiheitsgraden
(
)
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) = P {ω ∈ Ω'f |[Y ⋅ f2 ]/(Z ⋅ f1 ] ≤ x} ,
Y ~ χ 2f1 , Z ~ χ 2f2
ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Quotient zweier durch ihre Anzahl an Freiheitsgraden
dividierter χ2-verteilter Zufallsvariablen den Wert x nicht übersteigt.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
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57
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
F-Verteilung Ff1,f2
f1 ∈ ℵ, f2 ∈ ℵ
Verteilungsfunktionx : Γ f1 + f2 
f1 /2
t f1 /2−1
2   f1 

F(x) = ∫
⋅  
dt
(f1 + f2 )/2
f
f
f
(1
+
f
t/f
)
1
2
0 Γ 1  ⋅ Γ 2   2 
   
2 2
Dichtefunktion :  f1 + f2 
f1 /2
Γ

x f1 /2−1
2   f1 

f(x) = I(0 < x) ⋅
⋅ 
 f1   f2   f2  (1 + f1x/f2 )(f1 + f2 )/2
Γ  ⋅ Γ 
2 2
TX = [0, ∞)
Träger :
Beispiel : X = Verhältnis der mittleren Varia nz der Zuschauerzahlen pro Spiel an
jeweils einem Spieltag zur Varianz der mittleren Zuschauerzahlen pro Spieltag
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
58
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
t-Verteilung tf mit f Freiheitsgraden


Z
P({ω ∈ Ω| X(ω ) ≤ x}) = P {ω ∈ Ω'(f +1) |
≤ x} ,
Y/f


Z ~ N( 0, 1) , Y ~ χ 2f
ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Quotient einer standardnormalverteilten Zufallsvariable und
der Wurzel aus einer durch die Anzahl ihrer Freiheitsgrade dividierter χ2-verteilter Zufallsvariablen
den Wert x nicht übersteigt.
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mathematische Statistik für Informatiker
59
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
t-Verteilung tf
f ∈ℵ
Verteilungsfunktion :
F(x) =
x
∫
−∞
 f +1
Γ

2 −(f +1)/2

 2  ⋅  1 + t 
dt
f 
 f  
fπ ⋅ Γ 
2
X ~ t3
X ~ N(0,1)
 f +1
Γ

2 −(f +1)/2

x 
2 


f(x) =
⋅  1 + 
f 
f
fπ ⋅ Γ  
2
Dichtefunktion :
TX = ℜ
Träger :
Beispiel : X = Geeignet skalierte Differenz aus mittlerer Nettospielzeit an geraden
und ungeraden Spieltagen
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mathematische Statistik für Informatiker
60
Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Kombinationen aus diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Beispiel Wartezeit bis zum Start eines Druckauftrags
Verteilungsfunktion :
F(X) = I(0 ≤ x) ⋅ (1 − pe − λx )
x=0
P(X = 0) = 1 − p
x>0
P(0 < X < x) = p − pe − λx
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mathematische Statistik für Informatiker
61
Erzeugung von Zufallszahlen mittels runif
Inversionsmethode
Für jede Verteilungsfunktion F gilt Y ~ R(0,1) ⇒ GF (Y) ~ F
mit GF : Y → ℜ , GF (y) a inf{x ∈ ℜ |F(x) ≥ y}
Beweis
lim F(x) = F(z) ⇒ GF (Y) ≤ x ⇔ Y ≤ F(x)
x ↓z
⇒ P[GF (Y) ≤ x] = P[Y ≤ F(x)]
=
P[Y ≤ y)]= y⋅I (0≤ y ≤1)
F(x)
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mathematische Statistik für Informatiker
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Erzeugung von Zufallszahlen mittels runif
Inversionsmethode
Für jede Verteilungsfunktion F gilt Y ~ R(0,1) ⇒ GF (Y) ~ F
mit GF : Y → ℜ , GF (y) a inf{x ∈ ℜ |F(x) ≥ y}
Durch Anwendung dieser Folgerung können durch Transformation rechteckverteilter
Zufallsvariablen mit der entsprechenden Zuordnung GF Zufallsvariablen mit beliebiger
Verteilungsfunktion F konstruiert werden.
Nils Raabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematische Statistik für Informatiker
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Erzeugung von Zufallszahlen mittels runif
Inversionsmethode
Y ~ R(0,1) ⇒ GF (Y) ~ F
mit GF : Y → ℜ , GF (y) a inf{x ∈ ℜ |F(x) ≥ y}
Durch Anwendung dieser Folgerung können durch Transformation rechteckverteilter
Zufallsvariablen mit der entsprechenden Zuordnung GF Zufallsvariablen mit beliebiger
Verteilungsfunktion F konstruiert werden.
Beispiel F = Exp(1.5)
(
F(x) = 1 − e −(λ⋅x)
)
⇒
GF (y) = −
ln(1 − y)
λ
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Zwei- und Mehrdimensionale
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Mutinomialverteilung Mult(n,p1,…,pr)
n ∈ ℵ, 0 ≤ pi ≤ 1, i = 1,..., r ,
r
∑p
i
=1
i=1
Zähldichte :
p(x 1 ,..., x r ) = I (x ∈ Tx ) ⋅
r
n!
r
∏x !
⋅ ∏ pi
i=1
i
i=1
r


r
Träger : Tx = x = (x1 ,..., x r ) ∈ (ℵ ∪ {0} ) | ∑ x i = n
i=1


Beispiel : X = Anzahlen geschossener Tore in einer Saison für alle Spieler im Kader
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Zwei- und Mehrdimensionale
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Mutivariate Normalverteilung N(μ,Σ)
μ ∈ ℜr , Σ ∈ ℜr×r , Σ p.s.d.
Dichtefunktion :
f(x 1 ,..., x r ) =
1
(2π )
k/2
e
1
− (x −μ)T Σ −1 (x −μ)
2
Σ
Träger : Tx = ℜr
Beispiel : X = Zuschauerzahl, Etat und Summe der Spielergehälter
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