1 Wahrscheinlichkeitsräume - WWW-Docs for TU

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Wahrscheinlichkeitsräume
Die nachfolgenden Definitionen basieren auf dem Buch „Randomisierte Algorithmen“ von
Juraj Hromkovic, Kapitel 2.2. Für Erklärungen und Veranschaulichungen empfiehlt es sich, den
Text zu lesen.
1 Wahrscheinlichkeitsräume
Definition 1. Ein Wahrscheinlichkeitsraum (S , Wahr) besteht aus einer (abzählbaren)
Menge S von elementaren Ereignissen und einer Funktion Wahr: P(S) → [0, 1], genannt
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf S. Ein Ereignis ist eine Teilmenge von S. Es gelten folgende Eigenschaften:
i. Wahr({x}) ! 0 für jedes elementare Ereignis x ∈ S,
ii. Wahr(S) = 1, und
!
"∞
iii. Wahr( ∞
i=1 Ai) =
i=1 Wahr(Ai) für paarweise disjunkte Ereignisse Ai ⊆ S.
Anstelle der Funktion Wahr wird häufig auch Pr als Name verwendet. Eine schwächere Form
der dritten Eigenschaft für endliche Vereinigungen ist: Wahr(A ∪ B) = Wahr(A) + Wahr(B) mit
A ∩ B = ∅. Intuitiv ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der enthaltenen
elementaren Ereignisse zu allen möglichen elementaren Ereignisse. Daraus ergibt sich auch folgende Definition:
Definition 2. Seien A, B ⊆ S zwei Ereignisse mit Wahr(B) 0. Die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B mit Sicherheit eintritt,
ist
Wahr(A ∩ B)
Wahr(A|B)
.
Wahr(B)
Definition 3. Zwei Ereignisse A, B ⊆ S nennt man unabhängig, wenn
Wahr(A ∩ B) = Wahr(A) · Wahr(B).
Aufgaben
Aufgabe 1. Beweisen Sie, dass folgende Eigenschaften für jeden Wahrscheinlichkeitsraum (S , Wahr) und A,
B ⊆ S gelten:
a) Wahr(∅) = 0
b) Wahr(S − A) = 1 − Wahr(A)
c) A ⊆ B ⇒ Wahr(A) ! Wahr(B)
d) Wahr(A ∪ B) = Wahr(A) + Wahr(B) − Wahr(A ∩ B) ! Wahr(A) + Wahr(B)
"
e) Wahr(A) = x∈A Wahr({x})
Aufgabe 2. Sei (S , Wahr) ein Wahrscheinlichkeitsraum und WahrB ({s})
Zeigen Sie, dass (B , WahrB ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist und
Aufgabe 3. Seien A, B ⊆ S zwei Ereignisse mit Wahr(B)
dann unabhängig sind, wenn Wahr(A|B) = Wahr(A).
Wahr({a})
Wahr({b})
=
Wahr({s}|B) für ein B ! S.
Wahr B ({a})
Wahr B ({b})
für alle a, b ∈ B gilt.
0. Zeigen Sie, dass die Ereignisse A und B genau
Aufgabe 4. Seien A und B zwei Ereignisse. Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Wahr(A ∩ B) = Wahr(B) · Wahr(A|B)
b) Wahr(A|B) =
Wahr(A) · Wahr(B |A)
Wahr(B)
Wahr(A) · Wahr(B |A)
c) Wahr(A|B) = Wahr(A) · Wahr(B |A) + Wahr(S − A) · Wahr(B |S − A)
Aufgabe 5. Seien A1, A2,
Beweisen Sie, dass
Wahr(A1 ∩
, An ⊆ S, so dass Wahr(A1)
∅, Wahr(A1 ∩ A2)
∩ An) = Wahr(A1) · Wahr(A2|A1) ·
∅,
, Wahr(A1 ∩
· Wahr(An |A1 ∩
∩ An−1).
∩ An−1)
∅.
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Abschnitt 2
2 Zufallsvariablen
Definition 4. Jede Funktion X: S → R wird Zufallsvariable (auf S) genannt. Für jede Zahl
z ∈ R definieren wir das Ereignis(X = z) {s ∈ S |X(s) = z }. Statt Wahr(Ereignis(X = z)) wird
vereinfacht Wahr(X = z) geschrieben.
Definition 5. Die Dichte von X ist die Funktion fX : R → [0, 1] mit
fX (z)
Wahr(X = z).
Die Verteilungsfunktion von X ist die Funktion DisX : R → [0, 1] mit
#
DisX (z) Wahr(X " z) =
Wahr(X = y).
y!z
Definition 6. Seien X und Y zwei Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
Ereignis(X = x) ∧ Ereignis(Y = y) und
(S , Wahr). Wir schreiben Ereignis(X = x ∧ Y = y)
sagen, dass X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind, falls
Wahr(X = x ∧ Y = y) = Wahr(X = x) · Wahr(Y = y) für alle x, y ∈ R.
Definition 7. Sei der Wertebereich einer Zufallsvariable X definiert als RX
{x ∈ R | ∃s ∈ S: X(s) = x}. Der Erwartungswert E[X] von X ist
#
E[X]
x · Wahr(X = x),
{X(s)|x ∈ S } =
x∈RX
falls diese Summe endlich ist oder konvergiert.
Definition 8. Sei X eine Zufallsvariable, g: R → R eine beliebige Funktion, dann ist Z=g(X)
definiert durch Z(s) g(X(s)) für alle s ∈ S. Für zwei Zufallsvariablen X1 , X2 ist X = X1 + X2
definiert durch X(s) = X1(s) + X2(s) und Y = X1 · X2 definiert durch Y (s) = X1(s) · X2(s) für
alle s ∈ S.
Aufgaben
Aufgabe 6. Sei (S , Wahr) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Zufallsvariable auf S. Beweisen Sie folgende Aussagen für alle z ∈ R:
a) Wahr(X = z) " 0
"
y ∈R X Wahr(X = y) = 1
"
c) fX (z) = s∈S ,X(s)=z Wahr({s})
b)
Aufgabe 7. Die Dichte-Funktion fX lässt sich mit FX (B)
dass (RX , FX ) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist.
Aufgabe 8. Zeigen Sie für den Erwartungswert, dass E[X] =
"
"
y ∈B
s∈S
fX (y) auf RX erweitern. Zeigen Sie,
X(s) · Wahr({s}).
Aufgabe 9. Seien X und Y zwei Zufallsvariablen mit X(s) ! Y (s) für alle s ∈ S. Beweisen Sie E[X] ! E[Y ].
Aufgabe 10. Eine Zufallsvariable wird Indikatorvariable gennant, wenn sie S auf {0, 1} abbildet. Zeigen Sie:
Für jede Indikatorvariable XA gilt E[XA] = Wahr(A) mit A = {s ∈ S |XA(s) = 1}.
Aufgabe 11. Sei g(y) = a y + b für feste a, b ∈ R und X eine Zufallsvariable auf (S , Wahr). Zeigen Sie die
schwache Linearität des Erwartungswertes E[g(X)] = a E[X] + b.
Aufgabe 12. Seien X und Y zwei Zufallsvariablen auf (S , Wahr). Zeigen Sie die Linearität des Erwartungswertes E[X + Y ] = E[X] + E[Y ].
Aufgabe 13. Seien X und Y zwei Zufallsvariablen auf (S , Wahr) und Z(s)
S. Beweisen oder widerlegen Sie E[Z] = min {E[X], E[Y ]}.
min {X(s), Y (s)} für alle s ∈
Aufgabe 14. Seien X und Y zwei Zufallsvariablen. Beweisen Sie, dass E[X · Y ] = E[X] · E[Y ], falls X und Y
unabhängige Zufallsvariablen sind.