8 Das Bohrsche Atommodell 9. Grundlagen der Quantenmechanik
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8 Das Bohrsche Atommodell 1. Einführung 1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien 1.2. Historischer Rückblick 2. Kann man Atome sehen? Größe des Atoms 3. Weitere Eigenschaften von Atomen: Masse, Isotopie 4. Atomkern und Hülle: das Rutherfordexperiment 5. Das Photon: Welle und Teilchen 6. Teilchen als Welle (de Broglie) 7. Heisenbergsche Unschärferelation 8. Das Bohrsche Atommodell 8.1. Experimenteller Befund 1: Diskrete Spektren 8.2. Experimenteller Befund 2: Franck Hertz Versuch 8.3. Model: Die Bohrschen Postulate 8.4. Veranschaulichung des Models 1: Rydbergatome 8.5. Korrektur durch endliche Kernmasse 8.6. Veranschaulichung des Models 2: Myonische Atome 8.7. Veranschaulichung des Models 3: Positronium, Antiwasserstoff 8.8. Weitere Korrektur: Sommerfeld 8.9. Bohrmodell und DeBroglie Wellen 8.10. Die Grenzen des Bohrmodells 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt 9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen 9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator 9. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechanik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion komplexwertig Ψ(r,t) normierbar s Ψ2(x) dx =1 stetig differenzierbar Evolutions gleichung Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung Mess grössen Jeder physikalischen Größe A(r, p) (“Observable“), die eine Funktion von Ort r und Impuls p eines Teilchens ist, entspricht ein Differentialoperator Â, den man erhält, indem man p durch -iħ ∇ ersetzt: Wellengleichung für ein Teilchen im Potentzial V(r) Zeitabhängige SG daraus folgt mit Ψ(r),t)=ψ(r) eiE/~ t die stationäre SG, siehe extra slide Funktionen von r,p Ort: x(t) Operatoren X (Multiplikation mit x) Prinzip 1: Basis Prinzip 2: Messung: Jede Einzelmessung kann als Zahlenwert nur die Eigenwerte des Operators liefern. Beispiel 1: Impuls Eigewertgleichung: Impuls mv(t)=m dx(t)/dt Drehimpuls L= Energie (Hamilton-Funktion) E = H (r , p) = 2 p + V (r ) 2m Drehimpulsoperator Hamiltonoperator 2 ˆ = H ( r , − ih ∇ ) = − h Δ + V ( r ) H 2m Abgeleitet, allgemein: ersetzt x,p durch Operatoren Beispiel 2: Energie: H ψ(x) = E ψ(x) Energieoperator Energieeigenwerte (Diskrete Energien) 9. Grundlagen der Quantenmechanik Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Wie kommt man drauf? ÆGeraten, aber naheliegend! Wieso ist das die Energie? ÆZunächst nur Konstante die E heisst ÆDimension Energie: ~ == Energie*Zeit ÆGesamtenergie klärt sich bei Anwendung 9. Grundlagen der Quantenmechanik Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Linear: wenn ψa(x) und ψb(x) Lösungen sind Löst auch Ψ(x) = A * ψa(x) + B * ψb(x) Bsp: Überlagerungen von Ebenen Wellen zu Wellenpaketen 9. Grundlagen der Quantenmechanik Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: Ψ(x)=Aeikx + B e-ikx löst: Konstante E Ist die Energie des Systems (da V(x)=0 nur kinetische Energie) Kinetische Energie 9. Grundlagen der Quantenmechanik Komplexwertige Wellenfunktion Ψ(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - ωt) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Allgemeiner Ansatz: Ψ(x)=Aeikx + B e-ikx Beispiel 1: V(x)=0 löst: Mit Zeitabhängigkeit: 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten V(x)= 0 für 0·x¸L 1 sonst Ψ(x)=Aeikx + B e-ikx Ψ(x·0)=Ψ(x¸L)=0 Randbedingung 1 Ψ(x=0) = 0 ) A+B=0 ) Ψ(x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx) Randbedingung 2 Ψ(x=L) = 2iA sin(kL) = 0 ) kL= nπ (n=1,2,3 ...) Quantenzahlen n N ist nicht Anzahl der Knoten N=0 ist psi=o kein Teilchen Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: fehlte 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1) Nur feste Impulse 2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3) Woher kommt die Quantisierung?? 4) Zeitentwicklung der Zustände? hängt von En (n2) ab! Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1) Nur feste Impulse 2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3) Woher kommt die Quantisierung?? 4) Zeitentwicklung der Zustände? hängt von En (n2) ab! Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: 9. Grundlagen der Quantenmechanik Visualisierung der Zeitabhängikeit der Zustände: a) Eigenzustände haben keine Zeitabhängikkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Real Imaginärteil Aufenthaltswahrscheinlichkeit http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1) Nur feste Impulse 2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3) Woher kommt die Quantisierung?? 4) Zeitentwicklung der Zustände? 5) Was passiert wenn man andere Energie, Wellenfunktion erzwingt? z.B. Barriere aufziehen? Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: 9. Grundlagen der Quantenmechanik Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT?? http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm 9. Grundlagen der Quantenmechanik Teilchen mit Anfangsimpuls in 2 dim Potentialtopf (kx , ky) = (0.86 , 0.5) (σx , σy) = (2λ , 2λ) http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm 9. Grundlagen der Quantenmechanik Wichtigste Lehre aus dem Beispiel unendlicher Potentialtopf: Quantenzahlen, und die Quantisierung einer Größe sind Folge der Randbedingungen und der Forderung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit Am Beispiel der Potentialtopf ist dies ohne explizites Lösen der Schrödingergleichung ersichtlich, bei „echten“ Potentialen ist dies etwas versteckter, das Prinzip ist aber gleich. Ausblick: Die Quantisierung des Drehimpulses wird sich auch herausstellen als Folge von Randbedingungen, allerdings nicht des Potentials, sondern aus der Rotation Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt 9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen 9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) (I) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx E(x) Stationäre Schrödingergleichung (II) E0 Bereich (II): α2 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx x Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) ΨI(x=0)=ΨII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=α(C-D) (ii) 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) (I) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx E(x) 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung (II) E0 Bereich (II): α2 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx x Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) ΨI(x=0)=ΨII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=α(C-D) (ii) Fall a) E<E0 α reel ) C=0 weil sonst ΨII(x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=α (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen: ik-α ik+α 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) (I) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): E(x) Stationäre Schrödingergleichung (II) E0 α2 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx x Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) 1. Potentialwall reflektiert vollständig 2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein ΨI(x=0)=ΨII(x=0) ) A+B=C+D (i) Energieerhaltung??? Δ EΔt>~ ) ik(A-B)=α(C-D) (ii) Fall a) E<E0 α reel ) C=0 weil sonst ΨII(x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=α (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen: ik-α ik+α 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) (I) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx E(x) Stationäre Schrödingergleichung (II) E0 Bereich (II): α2 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx x Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) ΨI(x=0)=ΨII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=α(C-D) (ii) Fall b) E>E0 klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) (I) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx E(x) Stationäre Schrödingergleichung (II) E0 Bereich (II): α2 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx x Ψ(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) ΨI(x=0)=ΨII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=α(C-D) (ii) Fall b) E>E0 ΨΙΙ(x)=C eik‘x + D e-ik‘x D=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen D=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) ) 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) E(x) Stationäre Schrödingergleichung (I) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): |A|2 α2 E0 (II) |D|2 |B|2 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx x 1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0) 2. Wellenfunktion ΨI(x=0)=ΨII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-α(C-D) (ii) Fall b) E>E0 ΨΙΙ(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) ) 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) E(x) Stationäre Schrödingergleichung (I) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): |A|2 α2 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx E0 (II) |D|2 |B|2 x 1.Ψ(x) Auch E>E0 wird ein Teil reflektiert! (Je mehr, je) höher E_0) soll wenn stetig differentierbar auchder beiWelle x=0 sein (Randbedingung) 2. Wellenfunktion ΨI(x=0)=ΨII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-α(C-D) (ii) 9. Grundlagen der Quantenmechanik Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Teilchen läuft mit doppelter Energie der Stufe auf die Stufe zu ein klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen! Ort E = ½ Ekin Impuls + auf Stufe zu - reflektiert gausspaket-auf-potentialstufe-mit-halber-energie07_06b.mov 9. Grundlagen der Quantenmechanik Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Teilchen läuft “bergab”: klassisch würde es beschleunigt weiterlaufen gausspaket-potentialstufe-bergab07_06c.mov 9. Grundlagen der Quantenmechanik Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Potentialstufe in 2 Dimensionen Farbcode: Farbe: Phase Sättigung: Amplitude gausspaket-2dim-potentialstufe-07_08a.mov (I) E(x) 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt (II) E0 x Idee: kann man die Welle “freisetzen”?? 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt (I) (II) (III) ΨΙ(x)=A eikx + B e-ikx E0 ΨΙΙ(x)=C eαx + D e-αx ΨΙΙΙ(x)=A‘ eikx 0 x a Randbedingungen: ΨI(0)=ΨII(0) , ΨII(a)=ΨIII(a) Höhe 0.3eV, Breite 1nm 100 10-1 T Transmissionskoeffizient (E<E0) 10-2 10-3 für αa >>1 (dicke Barriere) 10-4 0 0.05 0.1 0.15 ENERGY (eV) 0.2 0.25 0.3 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt Transmission hängt ab von: 1. Barrierenhöhe (Exponentiell) 2. Barrierenbreite a 3. Masse Makroskopisch irrelevant 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt Ekin<E Fragen: 1. Energieerhaltung ??? 2. Wie lange braucht das Teilchen? 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt 9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Alpha Zerfall: Pollonium 212Po -> α + 208Pb + 8.78 MeV He Coulombabstossung 208Pb 1012 Tunnelwahrscheinlichkeit Coulomb versus Kasten! Kernkräfte http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alptun2.html#c1 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen 9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop •Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional •Dämpfung!!! •Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Elektronen in Metallspitze quasi frei Spitze Wand: Potentialstufe Substrat a 0 Zwischenraum: Potentialbarriere Zwischenraum 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen 9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop •Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional •Dämpfung!!! •Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) STM-still07_18a.mov STM-scanning07_18c.mov 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre KlassischeSchrödingergleichung: Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot E(x) En∝n2 E0 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre KlassischeSchrödingergleichung: Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot |Ψ(x)|2 Ψ(x) Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ ω Gausskurve: 1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich 2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!) 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre KlassischeSchrödingergleichung: Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot |Ψ(x)|2 Ψ(x) Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ ω Hermitesche Polynome 9. Grundlagen der Quantenmechanik Harmonischer Oszillator: 1. Energieniveus äquidistant (~ω) 2. Nullpunkstenergie 1/2 (~ω) Bohrsche Atom: En∝ 1/n2 Kastenpotential: En∝ n2 9. Grundlagen der Quantenmechanik Rayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh ν diskret 9. Grundlagen der Quantenmechanik Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit ν=20 ν=4 ν=0 9. Grundlagen der Quantenmechanik Überlagerung von Zuständen 0,1 Ort Merke: Grosse Auslenkung Kleiner mittleren Impuls! Impuls 05_03c.mov 9. Grundlagen der Quantenmechanik Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden Gauss: läuft NICHT ausseinander (dank Potential) Wellenpaket im Impuls und Ortsraum ν 05_10c.mov
