Übungsblatt 4

Beschleuniger und Detektoren – SoSe 2009
Übung 3 (Abgabe am 26.5 in der Übung)
1. Synchrotronstrahlung
Aus der Elektrodynamik wissen Sie, dass jede beschleunigte Ladung Energie in Form von
elektromagnetischen Wellen abstrahlt. Wir wollen diese Strahlung für verschiedene Teilchen wie
Elektronen, Myonen und Protonen vergleichen. Für den Fall einer Ladung e mit Ruhemasse m0, die
r
r
sich mit einem Impuls p = mo v mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit v « c bewegt, fand Lamor
bereits im 19. Jh. für die totale abgestrahlte Leistung:
r
r
e2
⎛ dp ⎞ 2 hα ⎛ dp ⎞
PS =
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
6πε 0 m02c 3 ⎝ dt ⎠ 3 m02c 2 ⎝ dt ⎠
α = e 2 / 4πε 0hc ≈ 1 / 137. Offenbar wird Leistung nur dann abgestrahlt, wenn auf das Teilchen eine
r
Kraft wirkt, also dp / dt ≠ 0 gilt. Für relativistische Geschwindigkeiten findet man die
Strahlungsgleichung:
2 hαc 2
PS =
3 (m0 c 2 ) 2
⎡⎛ dpr ⎞ 2 1 ⎛ dE ⎞ 2 ⎤
⎟ ⎥
⎢⎜ ⎟ − 2 ⎜
⎣⎢⎝ dτ ⎠ c ⎝ dτ ⎠ ⎦⎥
r
mit der Eigenzeit dτ = (1 / γ )dt . Betrachten Sie nun die beiden Extremfälle dv dt
r
r
dv dt ⊥ v :
r
v und
1a. Lineare Beschleunigung
Für Kräfte, die parallel zur Flugrichtung des Teilchens angreifen
• Geben Sie die Strahlungsgleichung als Funktion von dE/dx, dem Energiegewinn pro Meter, an.
• Berechnen Sie den Wirkungsgrad eines Linearbeschleunigers
η=
PS
dE / dt
wenn Sie annehmen, dass bei der Beschleunigung ein Energiegewinn von dE/dx = 15MeV/m
erreicht wird.
1b. Kreisbeschleunigung:
Nehmen Sie nun an, dass sich die Teilchen in einem Speicherring bei konstanter Energie befinden und
auf einer Kreisbahn gehalten werden. Nehmen Sie an, dass die Strahlung quasi-kontinuierlich emittiert
wird ohne Änderung der Rate, ferner dass es sich um eine exakte Kreisbahn handelt.
• Wie lautet jetzt die Strahlungsgleichung PS = PS(E;R) als Funktion der Energie E des
Teilchens und dem Radius R?
• Vergleichen Sie die abgestrahlte Leistung von Elektronen relativ zu der von Protonen gleicher
Energie.
Betrachten Sie nun den LEP Ring am CERN, der bei einem Radius von 3056 m Elektronen mit einer
Energie von ca. 100 GeV speichern konnte.
• Welchen Radius hätte ein Myon-Beschleuniger, wenn pro Umlauf dieselbe Leistung
abgestrahlt würde wie im Fall der Elektronen?
• Der Large Hadron Collider (LHC) wurde in demselben Tunnel wie LEP aufgebaut. Hier
sollen Protonen auf 7 TeV beschleunigt werden. Berechnen Sie die durch
Synchrotronstrahlung abgestrahlte Leistung für LEP (100 GeV Elektronen) und LHC (7 TeV
Protonen) zunächst für jeweils genau ein Teilchen. Geben Sie eine Formel für den
Energieverlust pro Umlauf an, und zwar einmal als Funktion von E und einmal als Funktion
von γ (Hinweis: ΔE ∝ E 4 ∝ γ 4 ). Berechnen Sie nun den Energieverlust für LEP und für
LHC pro Umlauf für ein Teilchen. Schließlich ist die gesamte abgestrahlte Leistung von
Interesse, berechnen Sie diese, indem Sie berücksichtigen , dass bei LEP ca. 1012 e- im Ring
waren, bei LHC ca. 1014 p im Ring sein sollen.
2. Energieverlust und Reichweite für schwere geladene Teilchen, Bethe-Bloch
Geladene Teilchen werden in Materie durch Stöße mit Kernen und Elektronen abgebremst. Schwere
Teilchen der Ruhmasse M » me verlieren ihre kinetische Energie überwiegend durch unelastische
Stöße mit den Atomelektronen des Bremsmediums, also durch Ionisation und Anregung der Atome.
Der Energieverlust pro Wegstrecke in einem homogenen Medium mit N = ρNA/A Atomen/cm3 der
Kernladung Z·e wird durch die Bethe-Bloch-Gleichung beschrieben:
⎧⎪ 1 2mec 2 β 2γ 2Tmax
dE 4π z 2e 4
C ⎫⎪
δ
2
−
=
−
−
−
NZ
β
ln
2
⎨
⎬
2
dx mec 2 β 2
Z ⎪⎭
2
Iq
⎪⎩ 2
Dabei sind
ρ; A; Z : Stoffdichte, Atommassenzahl, Ordnungszahl des Bremsmediums;
z; v=βc : Ladungszahl, Geschwindigkeit des Projektils;
γ : Lorentz-Faktor des Projektils;
me : Ruhemasse des Elektrons;
NA : Avogadro-Konstante (Loschmidt-Zahl);
δ/2 : Korrekturgröße zum Dichte-Effekt;
Tmax = 2mec2β2γ2: eine ,,Niederenergie-Näherung für den maximalen Energieübertrag auf freie
Elektronen;
Iq: Ionisationspotential, gemittelt über alle Elektronenschalen der Atome des Bremsmediums.
C: Schalenkorrektur
•
Bestimmen Sie den Energieverlust von Protonen und vollständig ionisierten 12C Ionen pro
Zentimeter Bremsweg in Wasser als Funktion von βγ = p/Mc.
Nutzen Sie die Konstante K = 4πNAe4/mec2 = 0:307075 MeV cm2 und die Werte Z/A =
0,55509 sowie Iq = 75 eV für H2O und vernachlässigen Sie die Korrekturen δ/2 (Dichte) und
C/Z (Schalen).
Bestimmen Sie mit Hilfe eines Computers die Reichweiten von Protonen und 12C-Ionen der
kinetischen Energie 135 MeV bzw. 135 MeV pro Nukleon.
•
Zeichnen Sie die Braggschen Kurven für obige Beispiele. Benutzen Sie dazu die Abschätzung
für die Reichweite
−1
T0
⎛ dE ⎞
R = ∫⎜−
⎟ dE
dx ⎠
0⎝
bzw. für ein Teilchen mit kinetischer Energie T0 die kinetische Energie in der Tiefe D
D
dE
dx
dx
0
T ( D) = T0 − ∫
Tragen Sie dazu –dE/dx über dem durchlaufenen Bremsweg x bzw. der Absorberdicke ρ x auf.
Der charakteristische Bragg-Pik am Ende der Kurve wird zur Bestrahlung von Krebsgewebe
im menschlichen Körper ausgenutzt.