9. Fluid description of plasmas (eng)

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Einzelteilchenbeschreibung problematisch wegen langreichweitiger WW
Kinetische Gleichung ist wichtig, wenn kinetische Effekte (z.B. LandauDaempfung) eine Rolle spielen, ist relative aufwendig
Einfacher ist eine Beschreibung analog zu einer Fluessigkeitsbeschreibung, die
ok ist, wenn es ausreicht, globale Parameter wie Temperatur und Dichte zu
kennen
Unterschied zu normaler Fluessigketsbeschreibung: eigentlich haette man 2
Fluessigkeiten (e und i haben sehr unterschiedliche Masse), aber
Oft trotzdem Einfluessigkeitsbeschreibung gewaehlt
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- Temperatur: 3/2 kT = m/2 u^2
- Fuer jede Sorte alpha eine Fluessigkeit definiert
- Man darf Fl. beschr. nur waehlen, wenn das Plasmaverhalten tatsaechlich
lokalisiert ist , d.h. die Groessen an verschiedenen Orten unabhaengig sind von
anderen Orten
Probleme: - stossfreie Plasmen wie in Fusion?? (Lokalisierung durch MF:
Lamor-Radius)
- kleinskalige Prozesse
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- Temperatur: 3/2 kT = m/2 u^2
- Fuer jede Sorte alpha eine Fluessigkeit definiert
- Man darf Fl. beschr. nur waehlen, wenn das Plasmaverhalten tatsaechlich
lokalisiert ist , d.h. die Groessen an verschiedenen Orten unabhaengig sind von
anderen Orten
Probleme: - stossfreie Plasmen wie in Fusion?? (Lokalisierung durch MF:
Lamor-Radius)
- kleinskalige Prozesse
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Wenn mehrere Teilchensorten ist nur die Summe des Stossterms ueber alle
Teilchensorten (integriert ueber Geschwindigkeitsraum) = 0
(Stoss aendert Energie und Impuls von Teilchen, aber fuers Gesamtsystem gilt
Energie-und Impulserhaltung)
Teilchendichte aendert sich nur durch Stroemung oder Kompression
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Wenn mehrere Teilchensorten ist nur die Summe des Stossterms ueber alle
Teilchensorten (integriert ueber Geschwindigkeitsraum) = 0
(Stoss aendert Energie und Impuls von Teilchen, aber fuers Gesamtsystem gilt
Energie-und Impulserhaltung)
Teilchendichte aendert sich nur durch Stroemung oder Kompression
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In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu
Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur
auf Relativgeschwindigkeit an)
Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich
dem ueblichen Druckgradienten
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In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu
Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur
auf Relativgeschwindigkeit an)
Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich
dem ueblichen Druckgradienten
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In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu
Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur
auf Relativgeschwindigkeit an)
Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich
dem ueblichen Druckgradienten
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Ein Fluessigkeitselement wir beschleunigt durch die von aussen einwirkenden
Kraefte (bzw. Bei ruhendem Plasma muessen sich die Kraefte bilanzieren:
- Kraft durch elektrisches Feld
- Lorentz-Kraft
-Reibungskraft
-- Gewichtskraft manchmal wichtig fuer astrophysikalische Plasmne
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Ein Fluessigkeitselement wir beschleunigt durch die von aussen einwirkenden
Kraefte (bzw. Bei ruhendem Plasma muessen sich die Kraefte bilanzieren:
- Kraft durch elektrisches Feld
- Lorentz-Kraft
-Reibungskraft
-- Gewichtskraft manchmal wichtig fuer astrophysikalische Plasmne
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Q: Waermefluss in W/m^3 entspricht externer Heizung oder Kuehlung
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Da Ionen traeger als Elektronen sind, kann bei Einfluessigkeitsbeschreibung nur
die Dynamik der langsameren Spezies beruecksichtigt werden
Forderung an Stossfrequenz nun, dass auf betrachteter Zeitskala
Energieaustausch zwischen Elektronen und Ionen erfolgen kann
(wie frueher gelernt, ist Energieaustausch zwischen Teilchen verschiedener
Masse langsamer als zwischen Teilchen gleicher Masse,
Daher wreden bei Anfangsstoerung zuerst die Elektronen zur Maxwell-Verteilung
zurueckkehren:
tau_ee, dann die Ionen: tau_ii = sqrt(m_i/m_e) tau_ee (T_i/T_e)^1.5
Und noch langsamer tau_ei=tau_ie =sqrt(m_i/m_e) tau_ii (T_e/T_i)^1.5
Fuer Zwei-Fluessigkeitsmodell wuerde Wurzel aus Massenverhaeltnios nicht
auftauchen
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Kont.gl. Gleichung fuer Massendichte statt Teilchendichte
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Der Einfachheit halber: betrachte nur einfach geladene Ionen und nur isotropen
Druck
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Resistivitaet durch Reibungskraft
Zusaetzlich zu gewoehnlichem Ohmschen Gesetz:
-El. Feld durch Plasmabewegung senkrecht zum MF
-Hall-Effekt
-Elektronentraegehit
-Druckgradienten
Letzte beiden Terme in MHD vernachlaessigt, sind nur wichtig fuer kleine Skalen
(r_Li << L_H), bewirken Trennung von e und Ionenbewegung, was mit
Einfluessigkeitsbeschreibung nicht
Vereinbar ist
Hall-Term hat Besonderheit: er veraendert die lineare Beziehung zwischen E und
j: E-Feld senkrecht zum MF bewirkt einen Strom
(wegen Ablenkung der Ladungstraeger durch Lorentz-Kraft), wird spaeter
detailliert noch beschrieben (MHD-Generator) ,
Aber jetzt im folgenden zunaechst mal nicht betrachtet
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Resistivitaet durch Reibungskraft
Zusaetzlich zu gewoehnlichem Ohmschen Gesetz:
-El. Feld durch Plasmabewegung senkrecht zum MF
-Hall-Effekt
-Elektronentraegehit
-Druckgradienten
Letzte beiden Terme in MHD vernachlaessigt, sind nur wichtig fuer kleine Skalen
(r_Li << L_H), bewirken Trennung von e und Ionenbewegung, was mit
Einfluessigkeitsbeschreibung nicht
Vereinbar ist
Hall-Term hat Besonderheit: er veraendert die lineare Beziehung zwischen E und
j: E-Feld senkrecht zum MF bewirkt einen Strom
(wegen Ablenkung der Ladungstraeger durch Lorentz-Kraft), wird spaeter
detailliert noch beschrieben (MHD-Generator) ,
Aber jetzt im folgenden zunaechst mal nicht betrachtet
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Aus Kraftgleicung fuer d/dt=0 und u=0 folgt GG
Neben Gewichtskraft (Sterne) kann Plasma durch MF eingeschlossen werden
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Hier zunaechst endliche Leitfaehigkeit vernachlaessigt (Plasma als unendlich gut
leitend angenommen), ist in Fusionsplasmen oft naehreungsweise ok
Der erste Term beschreibt die zeitliche Aenderung von B durch die Flaeche A
Der zweite Term beschreibt Flussaenderung dadurch, dass sich Spule bewegt mit
Geschwindigkeit v
(und daher nach Zeit delta t an einem anderen Ort und somit an einem anderen
MF ist)
Oberflaechenintegral ist ueber gesamte Oberflaeche zu nehmen:
-Seitenflaechen sind Integrale ueber A (eins mit negativem Vorzeichen, weil n
nach innen zeigt)
-Mantelflaeche ist Ringintegral v dt x dl
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Faradaysches Gesetz verbindet zeitl. Aenderung des MF mit E-Feld
In idealer MHD (siehe Ohmsches Gesetz) E-Feld nur duch Plasmabewegung
Oberflaechenintegral mit Stokeschem Staz umgeformt in Wegintegral, dann
Vektoridentitaet: (A x B) C= - B (A x C)
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Kontraktion eines Sterns zum Neutronenstern passiert bei hohen T in SupernovaExplosionen
(nachdem die Kernfusion wegen Brennstoffmangels ausgeht)-> MF ist praktisch
eingefroren
Beim Kollabieren erhoeht sich Dichte so stark, dass Elektronen in Protonen
gepresset werden -> Neutronen
Bei Kontraktion erhoeht sich wegen Drehimpulserhaltung (r p) die
Rotationsgeschwindigkeit
Beobachtung von Neutronensternen: Pulsare
-Teilchen werden laengs des MF gefuehrt
-Kruemmung des Feldes -> Teilchebewegung fuehrt zum Asussenden von
Radiowellen
-Gyrationsbewegung fuehrt zur Aussendung von Roentgenstrahlung
-Magnetische Achse ist nicht Rotationsachse -> pulsierende Strahlung
-Bild links: Krebsneben, in dessen Zentrum sich Pulsar befindet
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Bei hoher Leitfaehigkeit aber nur sehr langsame Aenderung der MF-Topologie
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Out of plane currents
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Only electrons are megnetised!
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Nur E-Feld in x-Richtung, in y-Richtung sind Elektroden kurzgeschlossen
Da E_y = 0 (durch Kurzschluss der Elektroden) folgt grosser Strom in yRichtung:
-angelegtes E_x-Feld kann nur Elektronen beschleunigen (Ionen unendlich
schwer)
-Wegen Lorentz-Kraft folgt auch Strom in y-Richtung
-Lorentz-Kraft muss kompensiert werden durch Reibungskraft, dazu bracuht man
grossen Strom in y-Richtung
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Sigma/(e n) B = e B/(m_e nu_ei) = om_c/nu
nu_ei ~ nu_ee
j_y erst aus e_y=0, dann Formel fuer E_x mit j_y
Strom in y-Richtung ist groesser, weil er per Reibungskraft die Lorentz-Kraft
kompensieren muss, bei grosser Stossfrequenz ist das leichter und der
Erhoehungsfaktor wird geringer
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Beim Hall-Generator wird Feld in x-Richtung verstaerkt, man nimmt hier kalte
Plasmen, so dass om_c < nu ausnahmsweise
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Beim Hall-Generator wird Feld in x-Richtung verstaerkt, man nimmt hier kalte
Plasmen, so dass om_c < nu ausnahmsweise
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Hier Stroeme in x-Richtung unterdrueckt, daher spielt Hall-Effekt keine Rolle
fuer E_y,
Hier tritt also nur normale Leitfaehigkeit auf
Plasmabewegung wird abgebremst F=j_y B_z
Vorteil von MHD-Generatoren:
- man kann sie bei hohen Temperaturen betreiben (bis zu 2700
Grad,Dampfturbinen nur bis 800 grad) und sowohl
MHD-Effekt als auch nachgeschaltet eine normale Dampfturbine verwenden
-damit ist Gesamtwirkungsgrad bis 60% erreichbar
-Um Leitfaehigkeit der “Gase” zu erhoehen, werden Alkalimetalle zugesetzt
Probleme:
-kein kommerzieller Einsatz wegen Materialproblemen (agressives Na ->
Korrosion)
Aber Umkehrung des MHD-generatorprinzips (j x B -> Beschleunigung von
Plasmen) in Weltraumanwendungen als Plasmatriebwerk,
Geschwindigkeit des ausgestossenen Plasmas wesentlich hoeher als bei
Verbrennungsmotoren.
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