PDF inklusive passenden Lösungen herunterladen

Selbsteinstufungstest
Mathematikvorkurs TH Köln Campus Gummersbach
1 AUSWERTUNG
1
Auswertung
0-7 richtige Lösungen:
Ein Großteil der elementaren Themen ist Ihnen nicht mehr gegenwärtig. Nehmen Sie am Vorkurs teil und üben Sie noch einmal die Schulmathematik!
8-12 richtige Lösungen:
Sie beherrschen die grundlegenden Themen der Mathematik. Bei einigen Themengebieten, sind jedoch noch einige Lücken vorhanden. Wir empfehlen Ihnen den
Mathematik-Vorkurs zu besuchen!
13-15 richtige Lösungen:
Sie beherrschen die grundlegenden Themen der Mathematik bereits gut. Unsere Empfehlung ist es, trotzdem den Mathematik-Vorkurs zu besuchen! Hierdurch
können Sie Ihre Kenntnisse festigen. Notwendig ist dies jedoch nicht.
2
2 AUFGABEN
2
2.1
Aufgaben
Aufgabe 1
4
Für das kommende Semester schreiben sich 336 Studentinnen ein, das sind der
7
sich einschreibenden Studenten. Wie viele Studenten schreiben sich insgesamt ein?
Zeige Rechenweg Aufgabe 1
2.2
Aufgabe 2
In einem Aquarium steht das Wasser 3 /4 m hoch. Das Aquarium ist zu 5 /8 gefüllt.
Wie hoch ist das Aquarium?
Zeige Rechenweg Aufgabe 2
2.3
Aufgabe 3
Ein Auto hat für 850 km 102 Liter Benzin verbraucht. Wie hoch war der Verbrauch
auf 100 km?
Zeige Rechenweg Aufgabe 3
2.4
Aufgabe 4
Bei einem Fußballspiel im Dortmunder Stadion waren 36000 Zuschauer. Das Stadion war zu 80% besetzt. Wie viele Zuschauer kann das Stadionaufnehmen?
Zeige Rechenweg Aufgabe 4
3
2.5
2.5
Aufgabe 5
2 AUFGABEN
Aufgabe 5
Ein Computer kostet 2200,– € . Da es sich um ein Vorführgerät handelt, wird der
Preisum 15% herabgesetzt. Berechnen Sie den neuen Preis:
Zeige Rechenweg Aufgabe 5
2.6
Aufgabe 6
Drei Geschäfte bieten Autos zu je 20.000€ an. Jedes Geschäft erhöht jährlich die
Preise:
• Geschäft A: zuerst 4%, dann 6%
• Geschäft B: zuerst 6%, dann 4%
• Geschäft C: zuerst 5%, dann 5%
Bei welchem Geschäft ist der Wagen in zwei Jahren am teuersten?
Zeige Rechenweg Aufgabe 6
2.7
Aufgabe 7
Berechnne x. logx (81) = 4
Zeige Rechenweg Aufgabe 7
2.8
Aufgabe 8
Berechne den Flächeninhalt eines Trapezes mit den beiden angegebenen parallelen
Seitenlängen und der angegebenen zugehörigen Höhe: a=24dm; c=1m; h=32dm
Zeige Rechenweg Aufgabe 8
4
2.9
Aufgabe 9
2.9
2 AUFGABEN
Aufgabe 9
In einem rechtwinkligen Dreieck mit a = Ankathete, b = Gegenkathete,
c = Hypotenuse ist sin α = ?
Zeige Rechenweg Aufgabe 9
2.10
Aufgabe 10
Die Funktion f (x) = −3x2 − 6x + 9 beschreibt:
Zeige Rechenweg Aufgabe 10
2.11
Aufgabe 11
Die Nullstellen der Funktion f (x) = x2 − 10x + 9 werden berechnet:
Zeige Rechenweg Aufgabe 11
2.12
Aufgabe 12
Berechnen Sie die Lösung der Gleichung | x-4 | = 5
Zeige Rechenweg Aufgabe 12
2.13
Aufgabe 13
(x + 2y)2 =?
Zeige Rechenweg Aufgabe 13
5
2.14
2.14
(
Aufgabe 14
2 AUFGABEN
Aufgabe 14
36m2
) ÷ 9m = ?
5n2
Zeige Rechenweg Aufgabe 14
2.15
Aufgabe 15
Vereinfachen Sie:
(5x+y)
,
(2+6)
mit x = 2 + y
Zeige Rechenweg Aufgabe 15
6
3
3
LÖSUNGEN
Lösungen
3.1
Rechenweg Aufgabe 1
Aus dem Aufgabentext entnehmen wir, dass 336 Studenten, 4 /7 entsprechen.
Gesucht werden nun 7 /7 .
336 =
x=
4
7
7
7
⇒x∗
4
= 336
7
|:
7
4
Kehrbruch !
⇔ x = 588
7
3.2
Rechenweg Aufgabe 2
3.2
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 2
Aus dem Text können wir zunächst einmal entnehmen, dass 3 /4 m so viel sind
wie 5 /8 des Ganzen.
Herauszufinden gilt welche Zahl x ∗ 5 /8 gleich 3 /4 m sind.
3
5
m=
4
8
x∗
5
3
= m
8
4
⇒x∗
5
3
=
8
4
|:
5
8
Kehrbruch !
⇔ x = 1, 2m
8
3.3
Rechenweg Aufgabe 3
3.3
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 3
Die Aufgabe kann mit einem simplen Dreisatz gelöst werden.
850 km
102 l
1
x
Wir finden zunächst heraus wie viel Liter für einen Kilometer verbraucht
werden.
x = 102 ÷ 850 l /km
= 0,12 Liter für einen Kilometer
850 km 102 l
1
0,12
100
x
x = 0,12 * 100
x = 12
Somit verbrauchen wir 12 Liter auf 100 Kilometer.
9
3.4
Rechenweg Aufgabe 4
3.4
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 4
Die Aufgabe kann erneut mit einem simplen Dreisatz gelöst werden.
36000 Zuschauer entsprechen 80% der Gesamtkapazität des Stadions.
80% = 0,8
36000
0,8
x
1
x = 36000 ÷ 0, 8
x = 45000 P ersonen
10
3.5
3.5
Rechenweg Aufgabe 5
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 5
Zuerst müssen wir herausfinden, wie viel 15% von 2200 sind. Dazu rechnen wir:
2200 ∗
15
beziehungsweise 2200 ∗ 0, 15
100
= 330€
Dies ziehen wir nun vom Originalpreis ab und erhalten den neuen Preis.
2200€ - 330€ = 1870€
11
3.6
3.6
Rechenweg Aufgabe 6
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 6
Geschäft A
20.000€
20.000€
20.800€
20.800€
∗ 0,04 = 800€
+ 800€ = 20.800€
∗ 0,06 = 1.248€
+ 1.248€ = 22.048€
Einfach verfasst: 20.000€ ∗ 0,04 ∗ 0,06
Geschäft B
20.000€ ∗ 0,04 ∗ 0,06 = 22.048€
Tipp: A und B haben dieselbe Basis und werden beide einmal ∗ 0,04
und ∗ 0,06 gerechnet. Aus diesem Grund müssen sie dasselbe Ergebnis haben.
Geschäft C
20.000€ ∗ 0,05 ∗ 0,05 = 22.050€
Antwort: Bei Geschäft C ist der Wagen in 2 Jahren am teuersten.
12
3.7
Rechenweg Aufgabe 7
3.7
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 7
Ein Logarithmus ist die Umkehrung einer Potenzrechnung.
ohne Taschenrechner:
x4 = 81
⇒x=
√
4
81
⇔x=
√
4
3 ∗ 27
⇔x=
√
4
3∗3∗9
⇔x=
√
4
3∗3∗3∗3
| Anwendung Definition 4. Wurzel:
”Welche Zahl 4x mit sich selbst * gerechnet ergibt x”
⇔x=3
13
3.8
3.8
Rechenweg Aufgabe 8
3
Rechenweg Aufgabe 8
Trapezformel: A =
1
2
∗ (a + c) ∗ h
Zuerst gleichen wir die Einheiten an.
a = 24dm
c = 1m = 10dm
h = 32dm
Einsetzen:
1
A = ∗ (24dm + 10dm) ∗ 32dmA = 5440dm2
2
14
LÖSUNGEN
3.9
Rechenweg Aufgabe 9
3.9
3
Rechenweg Aufgabe 9
sin:
G
H
⇒
b
c
cos:
A
H
⇒
a
c
tan:
G
A
⇒
b
a
A
G
⇒
cotan:
a
b
15
LÖSUNGEN
3.10
3.10
Rechenweg Aufgabe 10
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 10
Der höchste Exponent in der Funktion ist 2. Somit handelt es sich um eine
Funktion 2.Grades, welche eine Parabel darstellt.
16
3.11
3.11
Rechenweg Aufgabe 11
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 11
Nullstellen einer Funktion 2.Grades können sowohl mit der PQ-Formel, als auch
mit quadratischer Ergänzung berechnet werden.
17
3.12
3.12
Rechenweg Aufgabe 12
3
LÖSUNGEN
Rechenweg Aufgabe 12
Zunächst einmal wird der Umschlagspunkt des Betrages ermittelt.
x−4=0
⇔x=4
|+4
Fall 1: Ergebnis muss > 4 sein.
x−4=5
⇔x=9
Fall 2: Ergebnis muss > 4 sein.
−(x − 4) = 5 ⇔ −x + 4 = 5
⇔ x = −1
L = {−1, 9}
18
3.13
3.13
Rechenweg Aufgabe 13
3
Rechenweg Aufgabe 13
Es handelt sich um die erste Binomische Formel.
(a + b) = a2 + 2ab + b2
(x + 2y)2 =?
x2 + 2 ∗ x ∗ 2y + (2y)2
⇒ x2 + 4xy + 4y 2
19
LÖSUNGEN
3.14
Rechenweg Aufgabe 14
3.14
(
3
Rechenweg Aufgabe 14
36m2
) ÷ 9m
5n2
⇔(
36m2
1
)∗
2
5n
9m
⇔(
36m2 ∗ 1
)
5n2 ∗ 9m
⇔
4m
5n2
20
LÖSUNGEN
3.15
3.15
Rechenweg Aufgabe 15
Rechenweg Aufgabe 15
(5x + y)
(2 + y)
⇔
| x mit x = (2+y) einsetzen
(5(2+y)+y)
(2+y)
2+y)
⇔ 5(2+y
+
⇔
3
y
y+2
y
2+y
+5
21
LÖSUNGEN