Lösung der Hausübungen

Prof. U. Mosel, Dr. H. van Hees
Sommersemester 2009
Übungen zur Quantenmechanik I
Blatt 9, Lösungen zur Hausübung
Hausübung 12 (Dipolmoment des Wasserstoffatoms)
(a) Da der Hamiltonoperator invariant unter Raumspiegelungen ist und Wellenfunktionen zur Drehimpulsquantenzahl l gleichzeitig Paritätseigenzustände mit Paritätseigenwerten (−1)l sind, sind
die ψnlm unter Raumspiegelungen gerade oder ungerade Funktionen, je nachdem ob l gerade bzw.
ungerade ist. Folglich ist |ψlmn |2 eine gerade Funktion und schließlich z|ψlmn |2 eine ungerade, so
daß die Diagonalelemente von ẑ bzgl. der Basis ψlmn allesamt verschwinden. Ein Wasserstoffatom
im Grundzustand hat also kein elektrisches Dipolmoment.
(b) Der Erwartungswert des Dipolmoments ist
hPz i = −e
Z
= −e
Z
d3 x|Ψ2 (~x)|2 z
R3
d3 x
R3
4 X
4
X
c∗k1 ck2 u∗k1 (~x)uk2 (~x)z =
4 X
4
X
(1)
Wk1 k2 c∗k1 ck2 .
k1 =1 k2 =1
k1 =1 k2 =1
Da offensichtlich Wk1 k2 =
ist, d.h. Wk1 k2 eine hermitesche 4 × 4-Matrix ist, ist der Erwartungswert reell, wie es sein muß. Dies ist natürliche eine Folge der Hermitezität von P̂z .
Wk∗2 k1
(c) Wie bei Teilaufgabe (a) können wir zunächst mit der Parität argumentieren. Da die Parität der
Wellenfunktion u1 +1 ist und die der uk für k ∈ {2, 3, 4} (−1), ist u∗1 uk für k ∈ {2, 3, 4} ungerade,
und folglich zu∗1 uk gerade, so daß sich ein von 0 verschiedenes Matrixelement ergeben kann. Für
uk ’s zum gleichen l ist zu∗k1 uk2 ungerade, und das Matrixelement muß daher verschwinden.
∗
Es können also nur die
i = Wk1 mit k ∈ {1, 2, 3} überhaupt von 0 verschieden sein. Weiter
h W1k
nutzen wir aus, daß ẑ, L̂z verschwindet (rechnen Sie das nach!). Weil die uk Eigenfunktionen
von L̂z zu den Eigenwerten ~mk mit m1 = m2 = 0, m3 = ~, m4 = −~ sind, gilt
0 = −e
Z
R3
d
3
xu∗1 (~x)
h
i
ẑ, L̂z uk (~x) = −e(mk − m1 )~
Z
R3
d3 xzu∗1 (~x)uk (~x) = (mk − m1 )W1k , (2)
wobei wir das L̂z im Kommutator im ersten (zweiten) Term des Kommutators auf uk (auf u∗1 )
haben wirken lassen, wobei wir die Hermitezität von L̂z benutzt haben. Gemäß (2) muß also
entweder das Matrixelement W1k oder (mk − m1 ) verschwinden. Mit anderen Worten . W1k kann
∗ 6= 0.
nur von 0 verschieden sein, wenn mk = m1 = 0 ist, d.h. nur W12 = W21
(d) Zunächst benötigen wir die Eigenfunktionen u1 und u2 . Es ist
2a − r
r
u1 = ψ200 = √
,
exp −
2a
4 2πa5
r
r
cos ϑ.
u2 = ψ210 = √
exp −
2a
4 2πa5
(3)
Das Matrixelement ist also
W12 = −e
= −e
Z
d3 xzu∗1 (~x)u2 (~x)
R3
Z ∞
0
dr
Z
0
π
dϑ
Z
0
2π
dϕ r| 2 sin
{z ϑ} |r cos
{z ϑ} u1 (r, ϑ, ϕ)u2 (r, ϑ, ϕ).
Jakobid..
z
(4)
Da die Wellenfunktion nicht von ϕ abhängt, ergibt die Integration über ϕ einfach einen Faktor
2π. Die Integration über ϑ läßt sich durch Substitution v = cos ϑ, dv = −dϑ sin ϑ lösen:
Z
π
2
dϑ sin ϑ cos ϑ =
0
Z
2
dvv 2 = .
3
−1
1
(5)
Es ist also mit den angegebenen Integralen
∗
W12 = W21
= −e
Z
0
∞
dr
r 4 (2a − r)
r
exp −
16a5
a
= +3ea.
(6)
Damit ist gemäß (1)
hPz i = W12 c∗1 c2 + W21 c∗2 c1 = 3ea(c∗1 c2 + c2 c∗1 ).
(7)
Bemerkung: Je nachdem, aus welchem Buch Sie die Kugelflächenfunktionen genommen haben, kann
sich Ihr Resultat von (6) um einen Phasenfaktor (also eine komplexe Zahl vom Betrag 1) unterscheiden.
Dies ist physikalisch nicht wichtig.
Der physikalische Hintergrund für diese Rechnung ist folgender: Sie werden später in der Vorlesung noch lernen, wie man näherungsweise die Eigenzustände eines Hamiltonoperators der Form
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 berechnen kann, wenn Sie das Eigenwertproblem für Ĥ0 exakt lösen können und der Erwartungswert von Ĥ1 für die relevanten Eigenlösungen von Ĥ0 klein gegen die dazugehörigen Energieeigenwerte von Ĥ0 sind. Dann lassen sich die Korrekturen der Energieeigenwerte und -eigenfunktionen
aufgrund der Störung systematisch nach Potenzen des Operators Ĥ1 entwickeln (zeitunabhängige Störungsrechnung).
In unserem Fall ist Ĥ0 der Hamiltonoperator für die Relativbewegung von Proton und Elektron im
Wasserstoffatom. Setzen wir nun ein Wasserstoffatom in ein homogenes elektrostatisches Feld in zRichtung, ist die dazugehörige potentielle Energie ist
Ĥ1 = eEz ẑ = −P̂z Ez ,
(8)
wobei Ez = const das elektrische Feld bezeichnet. Die Matrixelemente von Ĥ1 für ein Wasserstoffatom im ersten angeregten Zustand sind also gerade −Ez Wk1 k2 . Eine Diagonalisierung dieser Matrix
ergibt dann in erster Ordnung Störungsrechnung gerade die Korrekturen zum Energieeigenwert E2
aufgrund der Störung des Wasserstoffatoms durch das angelegte elektrische Feld. Es ergibt sich, daß
das vierfach entartete Wasserstoffniveau in drei unterschiedliche Niveaus aufspaltet. Dies ist der sog.
lineare Starkeffekt, weil die Energiekorrekturen in erster Ordnung Störungstheorie ∝ Ez sind. Diese
Aufspaltung der Energieniveaus im elektrischen Feld läßt sich durch Spektroskopie des von angeregten
Wasserstoffatomen ausgesandten Lichtes sehr genau messen.
Für kompliziertere Atome sind die Energieniveaus zu verschiedenem l i.a. nicht entartet, und die
Energiekorrekturen in erster Ordnung Störungstheorie verschwinden. Daher ist i.a. der Starkeffekt
von zweiter Ordnung im angelegten elektrischen Feld, d.h. die Aufspaltung der Spektrallinien erfolgt
aufgrund des durch dieses Feld induzierte elektrische Dipolmoment.
Homepage zu Vorlesung und Übungen:
http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/qm1-ss09/