laserspektroskopie, fallen und ihre anwendungen

Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Fachbereich 08 (Physik, Mathematik und Informatik)
VORLESUNG:
LASERSPEKTROSKOPIE, FALLEN UND
IHRE ANWENDUNGEN
Dr. habil. Klaus Blaum
Mainz, Wintersemester 2006/07
Inhalt
I
GRUNDLAGEN
1 Atom- und Ionenstrahlerzeugung
1.1 Atom- und Ionenstrahlquellen . .
1.2 Atomisation im Graphitofen . . .
1.3 Elektronenstoßionisation . . . . .
1.4 Oberﬂächenionisation . . . . . .
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2 Ionennachweis
2.1 Fluoreszenzschirm und Photographische Platte . . . . .
2.2 Faraday-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Mikrokanalplatten-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Sekundärelektronenvervielfacher und Channeltron . . . .
2.5 Nichtdestruktive Nachweismethoden . . . . . . . . . . .
2.5.1 Nichtdestruktiver Ionennachweis mittels FT-ICR
2.5.2 Optischer nichtdestruktiver Ionennachweis . . . .
2.6 Untergrund und Totzeitkorrektur . . . . . . . . . . . . .
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3 Speicherung und Kühlung von geladenen Teilchen
3.1 Die Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Entwicklungsgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Die ideale lineare Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.1 Hyperbolisches Quadrupolpotential . . . . . . . . . . . . .
3.1.2.2 Bewegungsgleichungen in der idealen linearen Paulfalle . .
3.1.2.3 Stabilitätsdiagramme und Massenauﬂösungsvermögen . . .
3.1.2.4 Frequenzspektrum der Lösungen und Ionenﬂugbahnen . .
3.1.3 Die ideale dreidimensionale Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Die reale lineare Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.1 Potentialbeschreibung und Bewegungsgleichungen . . . . .
3.1.4.2 Einschussbedingungen und maximales Auﬂösungsvermögen
3.1.4.3 Transmissionspeakformen des Quadrupol-Massenﬁlters . .
3.1.5 Die reale dreidimensionale Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Kurze Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Die ideale Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Die reale Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.1 Elektrische Feldfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.2 Magnetische Feldfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.3 Asymmetrie der Fallengeometrie und Fehljustage . . . . . .
i
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ii
INHALT
3.2.3.4 Einﬂuss von gespeicherten Ionen anderer Massen
Anregung der Ionenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.1 Dipolanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.2 Quadrupolanregung . . . . . . . . . . . . . . . .
Kühlung von geladenen Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Puﬀergaskühlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Widerstandskühlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Grundlagen des Lasers und der Laserspektroskopie
4.1 Atomphysikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Das Wasserstoﬀspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Das Heliumatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Mehrelektronensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Strahlungsgesetze nach Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Ableitung der Planck-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Konsequenzen der Einsteinschen Beziehungen für das Laserprinzip .
4.2.4 Die Breite von Spektrallinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Kohärenzvolumen, Phasenzelle, Phasenﬂuktuationen . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Kohärenzzeit, Autokorrelationsfunktion, Leistungsspektrum . . . . .
4.3.2 Räumliche Kohärenz und Kohärenzﬂäche . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Phasenﬂuktuationen im Lichtfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die Schawlow-Townes-Schwellenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Die Schwellenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Der Ein-Atom-Maser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Superradianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Lasertermschemata und Lasertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Generelle Prinzipien - Inversion und Verstärkung . . . . . . . . . . .
4.5.1.1 Die Laserschwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1.2 Laserschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Laserresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Lasertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.1 Gaslaser am Beispiel der Edelgas-Ionen-Laser . . . . . . . .
4.5.3.2 Farbstoﬄaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.3 Festkörperlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.4 Halbleiter- oder Diodenlaser . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.5 Der Stickstoﬄaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Die semiklassische Lasertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Klassische Feldgleichung mit Medium im Resonator . . . . . . . . .
4.6.2 Dichtematrixformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Die semiklassische Wechselwirkung zwischen Laserfeld und Medium
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120
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129
3.2.4
3.3
5 Speicherung und Kühlung von Neutralteilchen
5.1 Lichtkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Die Spontankraft . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Strahlungsdruck - Zeeman Bremsen . . . . . . . .
5.4 Reibungskräfte - Optische Molasse . . . . . . . .
5.5 Die magnetooptische Falle (MOT) . . . . . . . .
5.6 Dipolkräfte - Die Dipolfalle als optische Pinzette
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INHALT
5.7
Magnetische Fallen - Lichtlose Neutralteilchenfallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6 Produktion von hochgeladenen Ionen und Radionukliden
6.1 Produktion hochgeladener, schwerer Ionen mit einer Beschleunigeranlage
6.2 Produktion hochgeladener, schwerer Ionen mit einer EBIT . . . . . . . .
6.3 Produktion von Radionukliden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Der On-Line Isotopenseparator ISOLDE . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Das Geschwindigkeitsﬁlter SHIP . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
PRÄZISIONSEXPERIMENTE
7 Präzisionsmassenspektrometrie
8 Das
8.1
8.2
8.3
iii
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134
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143
g − e Experiment und die Elektronenmasse
145
Das magnetische Moment des freien Elektrons: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Das magnetische Moment des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Das magnetische Moment des Protons und Antiprotons: . . . . . . . . . . . . . . 148
9 Präzisionslaserspektroskopie
151
10 Bose-Einstein-Kondensation
152
Tabellen
1.1
Austrittsarbeit φs , Ionisationspotential φi und Elektronenaﬃnität Ae für verschiedene Materialien oder Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.1
Typische Speziﬁkationen eines Mikrokanalplatten-Detektors. . . . . . . . . . . . .
15
3.1
Eigenfrequenzen in einer hyperbolischen Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1
Aktive, dotierte Ionen und Wirtskristalle für Festkörperlaser . . . . . . . . . . . . 105
5.1
Überblick über erreichbare Temperaturen mit verschiedenen Fallentechniken . . . 132
6.1
Betriebsparameter der Super-EBIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
iv
Abbildungen
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
Detailzeichnung eines Graphitofens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Experimenteller Aufbau eines Graphitofens . . . . . . . . . . . . .
Prinzip der Elektronenstoßionisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ionisierungsenergien der chemichen Elemente . . . . . . . . . . . .
Ionisationswirkungsquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich der Ionisationswirkungsquerschnitte zwischen Experiment
Ionisationspotentiale als Funktion des Ladungszustandes . . . . . .
Cross-Beam Elektronenstoßionenquelle . . . . . . . . . . . . . . . .
Ionisationseﬃzienz als Funktion des Ionisationspotentials . . . . . .
Oberﬂächenionenquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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und Theorie
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3
4
4
5
5
7
8
8
9
11
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
Nachweis der Neonisotope durch Thompson 1912 . . . . . .
Photo und Aufbau eines MCP Detektors . . . . . . . . . . .
Elektronischer Schaltplan und Signal eines MCP Detektors
Nachweiseﬃzienz eines Vielkanalplatten-Detektors . . . . .
Funktionsweise eines Sekundärelektronenvervielfachers . . .
Funktionsweise eines Channeltron-Detektors . . . . . . . . .
Channeltron-Detektor in oﬀ-axis Geometrie . . . . . . . . .
Prinzip eines Oﬀ-Axis Channeltron-Detektors . . . . . . . .
Prinzipieller Aufbau eines nichtdestruktiven Nachweises . .
Optischer Nachweis eines Einzelions . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Totzeit eines Channeltron-Detektors . . . .
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13
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16
16
17
18
19
20
21
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
Ideale lineare Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilitätsdiagramm der Mathieu’schen Diﬀerentialgleichung . . . . . .
Stabilitätsdiagramm für die lineare Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilitätsdiagramme 1. Ordnung im (U, V )-Raum . . . . . . . . . . .
Stabile und instabile Ionenﬂugbahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrodenkonﬁguration zur Erzeugung eines Quadrupolpotentials . .
Pseudopotential in einer Paulfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajektorie eines geladenen Teilchens in einer Paulfalle . . . . . . . . .
Reale lineare Paulfalle mit runder Stabgeometrie . . . . . . . . . . . .
Elektrodenkonﬁgurationen für Radiofrequenzionenfallen . . . . . . . .
Nichtlineare Resonanzlinien im Stabilitätsdiagramm des Massenﬁlters
Phasenraum-Akzeptanzellipsen für verschiedene Arbeitspunkte . . . .
Entwicklung der Massenpeakformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theoretische nichtlineare Resonanzen in einer Paulfalle . . . . . . . . .
Experimentelle nichtlineare Resonanzen in einer Paulfalle . . . . . . .
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v
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vi
ABBILDUNGEN
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
Zylindrische und hyperbolische Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenbewegungen eines Ions in der Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radiale Ionentrajektorien in der Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreidimensionale Ionentrajektorien in der Penningfalle . . . . . . . . . . . . .
Energieniveauschema eines Ions in der Penningfalle . . . . . . . . . . . . . . .
Radiale Segmentierung der Ringelektrode einer Penningfalle . . . . . . . . . .
Konversion einer reinen Magnetronbewegung in eine reine Zyklotronbewegung
Veranschaulichung des Theorems nach Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . .
Radiale Ionenbewegung in einer puﬀergas–gefüllten Penningfalle . . . . . . .
Prinzip der Widerstandskühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
Radiale Wellenfunktionen Wahrscheinlichkeitsdichten Wasserstoﬀ-Wellenfunktionen 58
Beispiele von Kugelﬂächenfunktionen Ylm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Vektormodel der LS-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Vollständiges Termschema des Wasserstoﬀatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Formen des Kerns bei Quadrupoldeformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Niveauschema des Heliumatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Vektormodel der Singulett- und Triplett-Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Termaufspaltung und Wechselwirkungen bei der LS-Kopplung . . . . . . . . . . . 67
Termschema des Lithiumatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Wechselwirkung des Strahlungsfeldes mit einem 2-Niveau System . . . . . . . . . 71
Illustration zur Spektralfunktion S(ν) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Linienproﬁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Geometrie bei der Spektroskopie am kollimierten Atomstrahl . . . . . . . . . . . 77
Sättigungsspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Illustration zu Monochromasie und Divergenz eines Lichtbündels . . . . . . . . . 79
Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kohärenzﬂäche und Kohärenzvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Mischung zweier kohärenter Photonenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Stimulierte Emission eines angeregten Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Experimenteller Aufbau des Ein-Atom-Masers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Nachgewiesene Rate der Atome im oberen Maserniveau . . . . . . . . . . . . . . 90
Lawinenentwicklung, Intensitätsverteilung in einem superradianten Medium . . . 91
Schematischer Aufbau eines Lasers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Schema zur Herleitung der Schwellwertbedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Schema von Zwei-, Drei- und Vier-Niveaulasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Transversale TEMx y Modenproﬁle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Single-Mode Laser Betrieb durch Einfügen eines Etalons in den Resonator. . . . 98
Lyot Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Laserschema des Argon-Ionen-Lasers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Vereinfachter Aufbau des Argon-Ionen-Lasers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Farbstoﬀ Rhodamin 6G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Niveauschema des Farbstoﬄasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Laserresonator für gepulsten, seitlich gepumpten Farbstoﬄaser. . . . . . . . . . 103
Aufbau eines Ring-Farbstoﬄasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Niveauschema der Nd3+ Ionen im Nd:YAG Kristall. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Bändermodell eines Halbleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Aufbau einer Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Ausschnitt aus dem Termschema des Stickstoﬀmoleküls . . . . . . . . . . . . . . 108
ABBILDUNGEN
vii
4.39
4.40
4.41
4.42
4.43
4.44
Schaltschema eines gepulsten Stickstoﬄasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Gaslaserrohr eines Stickstoﬄasers mit Leistungsversorgung . . . . . . . . . . . . . 110
Synchrone Oszillogramme des Spannungsverlaufs am Laserrohr und des Laserpulses111
Laserleistung als Funktion der Durchbruchsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Komplexe Suszeptibilität eines Zweiniveausystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Intensität des Lasers als Funktion der Frequenzverstimmung und frequency pulling119
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Aufbau eines Zeeman-Abbremsers . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung der Diﬀusion eines Atoms im Geschwindigkeitsraum
Prinzipskizze einer magnetooptischen Falle. . . . . . . . . . . . .
Aufbau einer magnetooptischen Falle. . . . . . . . . . . . . . . .
Veranschaulichung der Kräfte auf eine dielektrische Sphäre . . .
Aufbau einer Ioﬀe-Pritchard Magnetfalle. . . . . . . . . . . . . .
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124
126
127
128
130
132
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Ladungsverteilung hochgeladener Uranionen . . . . .
Schematische Darstellung der Super-EBIT . . . . . .
Potentialverlauf an der Super-EBIT . . . . . . . . .
Prinzip der Verdampfungskühlung an der EBIT . . .
Ansicht der ISOLDE-Experimentierhalle am CERN .
Der Geschwindigkeitsﬁlter SHIP . . . . . . . . . . .
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135
136
137
139
140
141
7.1
Antiprotonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.1
8.2
8.3
8.4
Energiediagramm eine “Elektron-Geonium” in einer Penning-Falle . . . . . . . .
Penning-Falle zur Bestimmung des g-Faktors des gebundenen Elektrons . . . . .
Vergleich verschiedener CPT-Tests an unterschiedlichen Systemen . . . . . . . . .
Zusammenbau der zylindrischen Penning-Falle zur Bestimmung des g-Faktors des
Protons/Antiprotons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Prinzip der Bose-Einstein-Kondensation . . .
10.2 BEC-Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Evaporatives Kühlen I . . . . . . . . . . . . .
10.4 Evaporatives Kühlen II . . . . . . . . . . . .
10.5 Optischer Stöpsel . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Konﬁguration einer Kleeblattfalle . . . . . . .
10.7 Feld der Kleeblattfalle . . . . . . . . . . . . .
10.8 Entwicklung der erzielten Phasenraumdichte .
10.9 Entstehung eines Kondensats . . . . . . . . .
10.10Phasenkontrastmethode . . . . . . . . . . . .
10.11Interferenz zweier Kondensate . . . . . . . . .
10.12Entwicklung der BEC Forschung . . . . . . .
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156
156
157
158
158
159
159
Teil I
GRUNDLAGEN
1
Kapitel 1
Atom- und Ionenstrahlerzeugung
1.1
Atom- und Ionenstrahlquellen
Atomstrahl- und Ionenstrahlquellen (engl.: atom and ion beam sources) sind von großer Bedeutung in der Laserspektroskopie und für Fallenexperimente. Nur durch eﬃziente Produktion,
Atomisation und bei Bedarf Ionisation der für die Untersuchungen notwendigen Teilchen lassen
sich Präzisionsexperimente mit kleinsten Mengen von Atomen bzw. Ionen durchführen.
Die Atomisations- und Ionisationsmethoden sind vielfältig und zahlreiche Atomstrahl- bzw.
Ionenstrahlquellen sind zumeist nur für eine bestimmte Anwendung entwickelt und optimiert.
Im Rahmen dieser Vorlesung sollen folgende Atomisations- und Ionisationsverfahren diskutiert
werden:
1. Atomisation im Graphitofen (Atomization in a graphite furnace)
2. Elektronenstoßionisation (Electron impact ionization EII)
3. Oberﬂächenionisation (Surface ionization SI)
Als Literaturquelle dienen u.a. die Lehrbücher von L. Vályi, Atom and Ion Sources
[Vály1977], I.G. Brown, The Physics and Technology of Ion Sources [Brow1989], and B. Wolf,
Handbook of Ion Sources [Wolf1995].
1.2
Atomisation im Graphitofen
Zur Erzeugung eines thermischen Atomstrahls eignet sich in idealerweise ein elektrothermisch
geheizter bzw. widerstandsgeheizter Graphitofen. Damit können Verdampfungstemperaturen
bis zu 2500 K problemlos erreicht werden. Abb. 1.1 zeigt ein Beispiel eines Graphitofens. Die
Geometrie des 50 mm langen, pyrolisierten Graphitröhrchens ist ähnlich einer H-Form mit einer
Austrittsöﬀnung von 2.4 mm, einer Wandstärke von 1.1 mm und einer Tiefe der Atomisationskammer von 24 mm, da das Röhrchen in der Mitte durch einen Steg verschlossen ist. Dort wird
die Probe eingebracht. Durch seine Form wirkt der Ofen als selbstkollimierende Strahlquelle,
da das Abdampfen unter einem großem Winkel durch die Zylinderwände unterdrückt wird. Als
Gütekriterium für die Selbstkollimation dient der sogenannte Q-Faktor [Rams1956]
Q=
3l
,
8r
(1.1)
der die Intensitätserhöhung des Strahlstromes in Vorwärtsrichtung bei einer Zylinderquelle mit
Durchmesser d = 2r und Länge l gegenüber einem Filament mit gleicher Verdampfungsrate
2
1.3. ELEKTRONENSTOSSIONISATION
3
angibt. Glg. 1.1 gilt jedoch nur, solange die mittlere freie Weglänge der Atome groß ist gegen
die Länge l des Kanals. Wird der Druck im Innern des Zylinders zu groß, so verwandelt sich die
Eﬀusion teilweise in einen hydrodynamischen Fluss, und es entsteht ein Gasjet. Die Atomisation
muss also vergleichsweise langsam durchgeführt werden. Für die in Abb. 1.1 gezeigte Geometrie
ergibt sich Q = 7.5.
15
Gewinde M3
*
10
10
24
30°
2,4
Bohrung 1 mm
4,6
Gewinde M3
24
50
Abb. 1.1: Detailzeichnung eines Graphitröhrchens zur Atomisation einer Probe, die an die mit
markierte Stelle gebracht wird. Alle Maße sind in mm angegeben.
Als Halterung und zur Stromzuführung dient ein Molybdänstab mit hohem Schmelzpunkt.
Um die thermische Belastung der umgebenden Materialien zu schützen und die Heizleistung
möglichst gering zu halten wird das Graphitröhrchen mit einem mehrlagigen Hitzeschild aus
Tantal ohne direkten thermischen Kontakt umgeben, das die Wärmeabstrahlung der Atomstrahlquelle im Betrieb begrenzt. Das Hitzeschild garantiert darüber hinaus eine bessere Homogenität der Temperaturverteilung im Graphitofen. Die maximalen Betriebstemperaturen von
2500-2800 K werden mit elektrischen Heizleistungen von etwa 700 W (I = 100 A, U = 7 V) erreicht. Ein in ein laserspektroskopisches und massenspektrometrisches Experiment integrierter
Atomstrahlofen mit Kühlsystem ist in Abb. 1.2 dargestellt [Blau2003]. Bei der Konstruktion
der Ofenhalterung muss berücksichtigt werden, dass sich das Graphitröhrchen während des Erhitzens auf Betriebstemperatur gemäß Δl = l·α·ΔT längs der Strahlachse ausdehnt. Für Graphit
beträgt der Längenausdehnungskoeﬃzient α = 7.9 · 10−6 /K [Lide1998]. Bei einer Erwärmung
um ΔT = 2000 K nimmt die Länge des Graphitröhrchens somit um etwa 0.8 mm zu.
1.3
Elektronenstoßionisation
Ionisation von Neutralteilchen durch Kollision bzw. inelastische Stöße mit Elektronen in einem
Gas ist der fundamentalste Ionisationsmechanismus. Diese Methode, die in Abb. 1.3 schematisch
dargestellt ist, wird als Elektronenstoßionisation bezeichnet [Maer1985]. Bei diesem Ionisationsprozess wird ein freies Elektron im Gas durch ein angelegtes elektrisches Feld auf eine Energie
beschleunigt die ausreichend ist, um bei einer Kolission mit dem Neutralteilchen eine Ionisation
hervorzurufen. Die Reaktion lautet: e− + A → 2e− + I. Eine bestimmte Elektronenmindestenergie wird für die Ionisation benötigt, d.h. die Elektronenenergie Ee muss hoch genug sein,
um das äußerste gebundene Elektron vom Neutralatom zu entfernen (Ee > eφi ). Dies ist das
sogenannte erste Ionisationspotential bzw. die Ionisierungsenergie φi .
In Abb. 1.4 ist die Ionisierungsenergie der Elemente als Funktion ihrer Ordnungszahl aufgetragen. Die auﬀallenden Ähnlichkeiten in den chemischen und physikalischen Eigenschaften der
Elemente in jeder senkrechten Spalte des Periondensystems sind ein deutlicher Hinweis darauf,
dass der Aufbau der Atome einer Systematik folgt.
4
KAPITEL 1. ATOM- UND IONENSTRAHLERZEUGUNG
Gd+ + eAnregungsleiter
EI
Massenspektrometer
Laser 1
Laser 2
Laser 3
Gadolinium
Atomstrahl
Abb. 1.2: Experimenteller Aufbau zur Atomisation, Laserionisation und massenspektrometrischem Nachweis einer Gadolinium-Probe.
Abb. 1.3: Prinzip der Elektronenstoßionisation. Gezeigt ist die Elektronenstoßionenquelle mit
Filament, Repeller und Linsensystem.
1.3. ELEKTRONENSTOSSIONISATION
5
Abb. 1.4: Eine Kurve der Ionisierungsenergien der chemischen Elemente als Funktion ihrer
Ordnungszahl. Deutlich erkennbar ist die regelmäßige Wiederholung gewisser Eigenschaften
über die sechs vollständigen Perioden des Periodensystems. Die Anzahl der Elemente in jeder
dieser Perioden ist ebenfalls angegeben [Hall2003].
Die Ionisationswahrscheinlichkeit ist abhängig von der Elektronenenergie: für Energien unterhalb eφi ist sie Null, für Energien drei- bis viermal eφi ist sie maximal und oberhalb nimmt
sie wieder ab. Dieses Verhalten ist in Abb. 1.5(a) dargestellt.
(a)
(b)
Abb. 1.5: (a) Verhalten des Ionisationswirkungsquerschnitts als Funktion der Elektronenstoßenergie für H1 , H2 , He, Ne, N2 und Ar. (b) Variation des Ionisationswirkungsquerschnitts von
Argon, Xenon und Neon Atomen als Funktion der Elektronenstoßenergie nahe der Ionisationsschwelle [Vály1977].
6
KAPITEL 1. ATOM- UND IONENSTRAHLERZEUGUNG
Nahe der Ionisationsschwelle kann der Ionisationsquerschnitt abgeschätzt werden über:
σi = C(Ee − E0i )n
(1.2)
wobei C eine Konstante ist. Für die Ionisation von Atomen gilt n = 1.1269 und für die Ionisation von Ionen beträgt n = 1.056 (bei unterschiedlicher Konstante C). Abb. 1.5(b) zeigt die
Änderung des Ionisationswirkungsquerschnitts für ausgewählte Edelgase bei Elektronenstoßionisation nahe der Ionisationsgrenze. Der Wirkungsquerschnitt ist dabei in Einheiten von a0 ,
d.h. dem Bohr’schen Radius mit a0 = /(e2 m) = 0.529 Å und 1Å= 10−10 m angegeben.
Im klassischen Ansatz kann der inelastische Stoß, der zur Ionisation, führt als Zweiteilchenstoß betrachtet werden, bei dem nur die beiden beteiligten Elektronen (Stoßelektron und Atomelektron) berücksichtigt werden. Wird das Atomelektron als in Ruhe während des Stoßes
angenommen, so ist der Energieübertrag E vom freien Stoßelektron auf das gebundene Elektron
gegeben durch [Land1938]:
E=
4m1 m2
(m1 + m2 )2
Ee2
1+
ρ2 ve42
e1 e2
m1 m2
m1 +m2
2
(1.3)
wobei m1 , m2 ; e1 , e2 ; v1 , v2 ; Ee1 , Ee2 die Massen, Ladungen, Geschwindigkeiten und Energien
des freien und gebundenen Elektrons bezeichnen. Für Elektron-Elektron-Stöße hat man e1 =
e2 = e und m1 = m2 = m und es resultiert die Thomson-Gleichung der Form
E=
Ee2
1+
ρ2 2
E
e2 e2
.
(1.4)
Der Kollisions- bzw. Streuparameter ρ ist gegeben durch
E
e4
e4
E 2
E
2
=
.
−
f
ρ =
(E i )2 Ee2
Ee2
(E i )2
Ee2
(1.5)
Hier bezeichnet E i die Ionisationsenergie. Unter der Annahme, dass jeder Energietransfer E >
E i zu einer Ionisation führt, kann der Ionisationswirkungsquerschnitt σi als Funktion der Anzahl
N der Elektronen in der äußeren Schale angegeben werden mit
σi = N πρ2 = N π
e4
f
(E i )2
E
Ee2
.
(1.6)
Gleichung (1.6) beschreibt qualitativ sehr gut die Energieabhängigkeit des Ionisationswirkungsquerschnitts, sagt aber einen falschen Wert (im Vergleich zum Experiment) für das Maximum
voraus. Abbildung 1.6 zeigt den Vergleich zwischen experimentell gewonnener Wirkungsquerschnittskurve und verschiedenen theoretischen Modellen, u.a. dem hier vorgestellten klassischen
Näherungsmodell nach Thomson [Thom1912].
Die o.a. klassische Beschreibung kann noch verfeinert werden indem die Bewegung des im
Atom gebundenen Elektrons mitberücksichtigt wird [Gryz1959]. Die theoretische Vorhersage
über die Lage des Maximums für den Ionisationswirkungsquerschnitt als Funktion der Elektronenenergie stimmt dabei schon recht gut mit dem experimentellen Wert überein (siehe Abb.
1.6). Es fällt jedoch auf, dass die Abweichungen zwischen Theorie und Experiment bei hohen
Stoßenergien sehr groß sind. Dies liegt daran, dass die Wechselwirkung während der Kollision
zwischen dem Elektron und dem verbleibenden Ion in den Modellen nicht mit berücksichtigt
1.4. OBERFLÄCHENIONISATION
7
Abb. 1.6: Vergleich der Ionisationswirkungsquerschnitte zwischen Experiment und verschiedenen
theoretischen Modellen [Vály1977].
wird. Eine bessere Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment kann nur erreicht werden, wenn eine vollständig quantenmechanische Rechnung durchgeführt wird (siehe z.B. quantenmechanische Näherung durch Bethe [Beth1930]). An dieser Stelle soll jedoch auf eine tiefergehende Beschreibung verzichtet werden.
Neben der einfachen Ionisation durch Elektronenstoß können auch höher geladene bzw.
hochgeladene Ionen produziert werden, sofern die Elektronenstoßenergie ausreichend ist, um
die weiteren Elektronen aus der Atomhülle zu entfernen. Allerdings werden dazu immer höhere
Energien benötigt, da das Ionisationspotential mit der Anzahl der aus der Atomhülle entfernten Elektronen ansteigt. Abbildung 1.7 zeigt berechnete Ionisationspotentiale [Carl1970] als
Funktion des Ladungszustandes.
Eine kommerzielle Cross-Beam-Elektronenstoßionenquelle mit Linsensystem und zwei
Wolfram-Filamenten ist in Abb. 1.8 zu sehen. Sie wird gemeinsam mit einem QuadrupolMassenspektrometer der Firma ABB Extrel vertrieben. Die von der Wolframkathode emittierten
Elektronen werden je nach Einstellung mit 3-200 V Spannung in den Ionisationsraum beschleunigt, so dass das Gas in der Wechselwirkungsregion abhängig von der Elektronenenergie
teilweise stoßionisiert wird. Die entstandenen Ionen werden über die Extraktionselektrode
abgezogen und durch die Ionenlinsen in den Quadrupol-Massenﬁlter fokussiert.
1.4
Oberﬂächenionisation
Atome können bei Kontakt mit einer heißen Metalloberﬂäche ionisiert werden. Dies bezeichnet
man als Kontaktionisation oder Oberﬂächenionisation.
Oberﬂächenionisation kann ein sehr eﬃzienter Weg sein, um Elemente mit niedrigem Ionisationspotential, wie z.B. Alkalis (≤ 5 eV) zu ionisieren. Das gilt auch für Elemente mit hoher
Elektronenaﬃnität zur Bildung von negativen Ionen, wie beispielsweise die Halogene (≥ 1.8 eV).
Oberﬂächenionenquellen für positive Ionenerzeugung bestehen aus einem HochtemperaturIonisator welcher aus einem Material mit hoher Austrittsarbeit, wie z.B. Wolfram, Rhenium,
Iridium oder Zeolite, hergestellt ist. Zur Generierung von negativen Ionen verwendet man Ma-
8
KAPITEL 1. ATOM- UND IONENSTRAHLERZEUGUNG
Abb. 1.7: Berechnete Ionisationspotentiale für alle Ladungszustände aller Elemente [Wolf1995].
Die Zahlenwerte sind entnommen aus [Carl1970].
terialien mit niedriger Austrittsarbeit, so z.B. Wolfram beschichtet mit einer Monolage Cäsium
oder Platin beschichtet mit Kohlenstoﬀ.
Solange die Verweildauer der Teilchen auf der Oberﬂäche lange genug ist, um mit der heißen
Oberﬂäche in ein thermisches Gleichgewicht zu kommen (typischerweise 10−5 bis 10−3 s), so
ist die Ionisationswahrscheinlichkeit durch eine Form der Langmuir-Saha Gleichung [Lang1925]
Wechselwirkungsregion
5.34 cm
WolframFilament
Ionisationsraum
Extraktionslinse
Linse 3
Linse 2
Linse 1
6.06 cm
Abb. 1.8: Die Cross-Beam Elektronenstoßionenquelle.
1.4. OBERFLÄCHENIONISATION
gegeben:
ni
=
Pi =
n0 + ni
9
g0 e(φi −φs )/kT −1
1+ e
.
gi
(1.7)
Hier bezeichnen ni und n0 die Anzahl an Ionen oder Atome die von der Oberﬂäche verdampft
werden, gi und g0 die statistischen Gewichte der Ion- und Atomzustände (für Alkalimetalle gilt
gi /g0 = 1/2), φi ist das Ionisationspotential des Atoms, φs die Austrittsarbeit des Metalls und T
die Temperatur der heißen Metalloberﬂäche. Der Bruchteil an Ionisation, der für die meisten φi −
φs Kombinationen erzeugt werden kann ist in der Regel sehr gering. Aber für die Alkalimetalle
und Erdalkalis (Li, Na, K, Rb, Cs, Ca, Sr, Ba, usw.) mit sehr niedriger Austrittsarbeit erreicht
man auf heißen refraktiven Metallplatten (Ta, W, Re, Ir, Pt, usw.) mittels Oberﬂächenionisation
hohe bis sehr hohe Ionisationswahrscheinlichkeiten. Einige Beispiele: Pi (K auf Pt bei 1500 K)=
1.0, Pi (Cs auf W bei 1500 K)= 0.99 und Pi (Ba auf Re bei 2200 K)= 0.12. Abbildung 1.9 zeigt
an weiteren Beispielen die Ionisationseﬃzienz von verschiedenen Elementen auf einer Oberﬂäche
mit Austrittsarbeit φs = 5.25. Beträgt die Diﬀerenz φs − φi ≥ 0.5, so ist die Ionisationseﬃzienz
größer 90% und für φs = φi beträgt die Eﬃzienz 33% beim gewählten Beispiel. Abhängig von
den statistischen Gewichten g, die durch 2J + 1 gegeben sind - wobei J der Gesamtdrehimpuls
des Ions bzw. Atoms ist - kann die Ionisationseﬃzienz auch deutlich geringer sein.
Abb. 1.9: Die Ionisationseﬃzienz als Funktion des Ionisationspotentials für eine Oberﬂäche mit
Austrittsarbeit φs = 5.25.
Für die Erzeugung von negativen Ionen gilt eine ähnliche Formel wie (1.7), jedoch mit der
Diﬀerenz zwischen Austrittsarbeit der Elektronen aus der Oberﬂäche φs und der Elektronenaﬃnität des Atoms oder Moleküls Ae im Exponenten (φs − Ae ) [Alto1986].
In Tabelle 1.1 sind Werte von Austrittsarbeiten für verschiedene Materialien, sowie Ionisationspotentiale und Elektronenaﬃnitäten für verschiedene Elemente und Moleküle aufgelistet,
die geeignet sind zur Oberﬂächenionisation [Wolf1995].
Obwohl die Ionisationseﬃzienz mit steigender Temperatur abnimmt, muss der Ionisator
doch heiß genug sein, um das entsprechende Element zu verdampfen. Zudem muss die Diffusion oder die Oberﬂächenbedeckung niedrig genug sein (≤ 10% einer Monolage), um die
10
KAPITEL 1. ATOM- UND IONENSTRAHLERZEUGUNG
Tabelle 1.1: Austrittsarbeit φs , Ionisationspotential φi und Elektronenaﬃnität Ae für verschiedene Materialien oder Elemente [Smit1967,
McDa1972, Alto1986, Alto1993].
Material
φs (eV)
φi (eV)
Ni
Mo
Ta
W
W+O
Ir
Pt
Re
Li
Na
Al
K
Ca
Ga
Rb
Sr
In
Cs
Ba
La
Rear earth metals
Th
4.61
4.15
4.12
4.54
6
5.40
5.32
4.85
2.46
2.28
4.2
2.25
3.2
4.16
2.13
2.74
–
1.81
2.11
3.3
∼ 3.5
3.38
7.6
7.2
7.8
8.0
–
9.0
9.0
7.9
5.4
5.1
6.0
4.3
6.1
6.0
4.2
5.7
5.8
3.9
5.2
5.6
5.6-6.9
∼4
Ba auf W
Cs auf W
Th auf W
1.56
1.36
2.63
BaO
SrO
BaO + SrO
Cs-Oxide
1.5
2.0
0.95
0.75
LaB6
ThO2
TaC
ZrO2
MgO
BeO
Al2 O3
SiO2
CuO
W-Oxide
Ni-Oxide
Pt-Oxide
2.70
2.54
3.14
4.2
4.4
4.7
4.7
5.0
5.34
6.24
6.34
6.55
Ae (eV)
1.1
1.3
0.6
0.6
–
1.9
2.5
0.2
0.6
0.55
0.45
0.5
-1.5
0.3
0.49
-1
0.3
0.4
-0.5
0.5
0.5-0.5
–
2.8
1.4. OBERFLÄCHENIONISATION
11
Ionisationsbedingungen (φs ) des Ionisationsmaterials zu erhalten. Daher ist die Kontrolle der
Oberﬂächenbedeckung die Hauptaufgabe bei der Entwicklung von Oberﬂächenionenquellen. Die
Lebensdauer der Ionenquellen kann bei kontinuierlichem Betrieb mehr als 2000 h betragen, wobei
dies natürlich sehr stark vom Ionenquellenaufbau und dem Reservoir für die zu ionisierenden Atome abhängt. Zwei Beispiele von Oberﬂächenionenquellen sind in Abb. 1.10 gezeigt.
Oberﬂächenionenquellen haben den Vorteil, dass sie über einen langen Zeitraum hinweg von
bis zu mehreren tausend Stunden stabile Ionenstrahlbedingungen liefern. Zudem sind sie ideal
geeignet für schwierige Elemente wie z.B. Halogene und Alkalis und zeichnen sich durch eine sehr
gute Elementselektivität aus. Nachteile dieser Ionisationsmethode sind die hohe Wärmeabgabe
an die Umgebung und der nur bedingte Einsatz für Elemente mit niedriger Austrittsarbeit und
großem Ionisationspotential bzw. hoher Elektronenaﬃnität.
Abb. 1.10: Oberﬂächenionenquellen nach Daley [Dale1971] (links) und Souzis [Souz1990]
(rechts).
Eine Thermoionisations-Ionenquelle basiert auf dem gleichen Prinzip wie eine
Oberﬂächenionenquelle, allerdings wird sie in Verbindung mit einer heißen Zelle als Ionisator eingesetzt. Dadurch kann die Ionisationseﬃzienz erhöht werden, denn die Teilchen sind in
der Kavität eingefangen und machen zuerst zahlreiche Stöße mit den Wänden ehe sie die Quelle
verlassen. Elemente mit Ionisationspotentialen bis zu 8 eV können in diesen Ionenquellen
ionisiert werden wobei Temperaturen bis zu 2700 K vorliegen [Kirc1990].
Kapitel 2
Ionennachweis
2.1
Fluoreszenzschirm und Photographische Platte
Der Fluoreszenzschirm ist die älteste Technik zur Sichtbarmachung von geladenen Teilchen
und wurde breits 1886 eingesetzt. Dazu triﬀt das Ion auf eine beschichtete Oberﬂäche aus
üblicherweise Glas oder Zingblende (Zinksulﬁd) und ruft Fluoreszenz hervor. Diese Methode ist
sehr unempﬁndlich und es werden ca. 108 Ionen/Sekunde für den Nachweis benötigt.
Die später im Jahre 1910 entwickelte photographische Platte aus Silberhalogenen hatte bereits eine deutlich höhere Empﬁndlichkeit. So konnten 104 Ionen auf eine Fläche von 0.1 mm2
nachgewiesen werden. Zudem weist diese Nachweismethode einen hohen dynamischen Bereich
von bis zu neun Größenordnungen (104 − 1013 Ionen/s) und ein hohes Auﬂösungsvermögen von
> 105 auf. Die photographische Platte wurde in der Massenspektrometrie u.a. 1912 von Thompson zum erstmaligen Nachweis von Elementisotopen am Beispiel von Neon eingesetzt (siehe Abb.
2.1). Die Nachteile dieser Nachweismethode sind zahlreich:
1. massenabhängige Nachweisempﬁndlichkeit
∼
Z
M
1/2
(2.1)
mit Z/M : Ladung zu Massenverhältnis.
2. keine genaue Isotopenhäuﬁgkeitsbestimmung möglich
3. die Signalintensität nimmt nicht linear mit der Anzahl der auftreﬀenen Teilchen zu
4. Auﬂadung der Plattenoberﬂäche.
2.2
Faraday-Detektor
Ein Faraday-Auﬀänger oder Faraday-Detektor (FC, von engl. Faraday Cup ) ist ein Detektor zur Messung von Ionen- oder Elektronenströmen. Faraday-Auﬀänger werden beispielsweise
in Massenspektrometern als Alternative oder zusätzlich zum Sekundärelektronen-Vervielfacher
(SEV, siehe Kap. 2.4) verwendet. Vorteil des Faraday-Auﬀängers ist seine Zuverlässigkeit und
Robustheit und die Möglichkeit den Ionenstrom oder Elektronenstrom absolut zu messen. Zudem ist die Empﬁndlichkeit zeitlich konstant und nicht massenabhängig. Nachteil ist die geringe
Nachweisempﬁndlichkeit (Imin ≈ 10−16 A bzw. ≈ 103 Ionen) und die geringe Bandbreite (d.h.
lange Reaktionszeit).
12
2.2. FARADAY-DETEKTOR
13
Abb. 2.1: Einsatz einer photographischen Platte 1912 durch Thompson für den erstmaligen
Nachweis von Elementisotopen am Beispiel von Neon [Asto1929].
Der prinzipielle Aufbau ist recht einfach. Ein Faraday-Detektor besteht aus einem Metallbecher (Faradaybecher), der in den zu messenden Ionenstrahl (Elektronenstrahl) gebracht
wird. Da der Faradaybecher auf konstantem Potenzial gehalten wird, müssen die aufgefangenen
Ionen (Elektronen) durch Elektronen, welche über einen angeschlossenen hochohmigen Widerstand (typisch 109 − 1011 Ω) in den Faradaybecher zuﬂießen bzw. abﬂießen können, neutralisiert
werden. Am Widerstand fällt deswegen eine Spannung ab welche ein Maß für den Ionenstrom
(Elektronenstrom) ist und z.B. mit einem Verstärker/Elektrometer gemessen werden kann.
Wird verhindert, dass reﬂektierte Ionen/Elektronen oder aus der Detektoroberﬂäche herausgeschlagene Sekundärelektronen den Faradaybecher verlassen, kann mit einem FaradayAuﬀänger direkt die Anzahl der aufgefangenen Ladungsträger pro Zeiteinheit bestimmt werden.
Das kann durch die geometrische Form des Faradaybechers und durch auf negativem Potenzial liegende Suppressor-Elektroden erreicht werden, welche die Sekundärelektronen wieder zum
Detektor zurückzwingen.
Bei Neutralgas-Faraday-Auﬀängern wird die Suppressor-Elektrode positiv vorgespannt, so
dass die durch den Impakt von neutralen Atomen erzeugten Sekundärelektronen vom FaradayAuﬀänger weggeleitet werden. Zum Ladungausgleich müssen deswegen Elektronen über den
hochohmigen Widerstand nachﬂießen, womit ein Signal detektiert werden kann.
14
2.3
KAPITEL 2. IONENNACHWEIS
Mikrokanalplatten-Detektor
Ein Mikrokanalplatten-Detektor (MCP - micro channel plate) besteht aus einer großen Anzahl
parallel angeordneter, sehr dünner Kanäle (Durchmesser zwischen 10 μm und 100 μm, Länge
zu Durchmesser Verhältnis zwischen 40 und 100), die aus einem Material (z.B. Bleiglas) bestehen, das einen hohen elektrischen Widerstand von etwa 100 MΩ zwischen den Kanälen aufweist
[Wiza1979]. Die Kanalaxen sind typischerweise leicht geneigt (∼ 8◦ ) gegen die MCP Eintrittsﬂäche. Abbildung 2.2 zeigt einzelne MCP Platten und ihr Zusammenbau. Zwischen den
(a)
(b)
(c)
Abb. 2.2: Einzelne MCP Platten (a) und ihr Zusammenbau (b,c). Die Zeichnung in (b) zeigt
zwei aufeinander abgestimmte MCP Platten (grün) in Chevron Konﬁguration. Die Metallanode
ist in blau und die Keramikisolatoren sind in rot dargestellt.
beiden Enden der Kanäle wird eine elektrische Spannung von etwa 1000 V angelegt. Dazu kann
die in Abb. 2.3 gezeigte Spannungsteilerschaltung benutzt werden. Das resultierende Pulssignal
ist ebenfalls in Abb. 2.3 gezeigt. Die Speziﬁkationen eines Mikrokanalplatten-Detektors sind in
Abb. 2.3: Elektronischer Schaltplan und typisches Pulssignal für einen MikrokanalplattenDetektor (mit zusätzlichem Phosphorbildschirm).
Tab. 2.1 aufgelistet.
Ein Ion, das auf das MCP triﬀt, erzeugt ein primäres Elektron, das im Kanal beschleunigt
wird und eine Lawine von sehr vielen (103 − 104 ) auslöst. Mittels einer zweiten Platte (siehe
Abb. 2.2b/c, Chevron Konﬁguration) erhält man einen ausreichend starken Strompuls, der von
einem Vielkanalzähler zeitgerecht abgespeichert wird.
Typische Nachweiseﬃzienzen eines Mikrokanalplatten-Detektors für verschiedene Teilchen
sowie als Funktion der Teilchenenergie zeigt Abb. 2.4. Für Ionen mit einer kinetischen Energie
von etwa 2 keV beträgt die Nachweiseﬃzienz ca. 25-30%. Für den Nachweis von Ionen ist bei
2.4. SEKUNDÄRELEKTRONENVERVIELFACHER UND CHANNELTRON
Tabelle 2.1:
Detektors.
15
Typische Speziﬁkationen eines Mikrokanalplatten-
Eigenschaft
Verst”
Dunkelzählrate
Maximale Zählrate
Widerstand
Maximale Arbeitsspannung
Bereich Arbeitstemperatur
Bereich Arbeitsdruck (max.)
Pulsanstiegsdauer
Pulsbreite
Wert
107 bei 2200 V
5 Ereignisse/Sekunde/cm2
108 /Sekunde
66-400 M Ω
2200 V
-50◦ bis 100◦
1.0 · 10−6 mbar
≈ 0.5 ns
≈ 1 ns
niedriger Zählrate (< 1 MHz) ein Channeltron-Detektor (siehe Kap. 2.4) eindeutig einem MCP
Detektor vorzuziehen.
e- for Channeltron
(2)
ions for MCP
(1)
e-for MCP
Abb. 2.4: Nachweiseﬃzienz eines Mikrokanalplatten-Detektors für verschiedene Teilchen (links)
und als Funktion der Teilchenenergie (rechts) [BURL2004].
2.4
Sekundärelektronenvervielfacher und Channeltron
Der Sekundärelektronenvervielfacher (siehe Abb. 2.5) besteht aus einer lichtempﬁndlichen
Photokathode, einem elektronenoptischen Eingangssystem, einem Vervielfachersystem und
einer Anode. Die im Szintillator erzeugten Photonen gelangen durch das Eintrittsfenster auf die Photokathode des Sekundärelektronenvervielfacher und lösen dort über den
Photoeﬀekt Photoelektronen aus. Bei den meisten für Szintillationszählern verwendeten
Sekundärelektronenvervielfachern ist die Photokathode als dünne Metallschicht aufgedampft
(halbdurchlässige Photokathode). Als Kathodenmaterial eignen sich Kombinationen verschiedener Alkali- und Erdalkalimetalle, die den Empﬁndlichkeitsbereich für die nachzuweisende
Photonenstrahlung bestimmen. Beim Ionen- bzw. Elektronennachweis spielt das eine untergeordnetere Rolle.
Durch das elektronenoptische Eingangssystem werden die Photoelektronen bzw. Elek-
16
KAPITEL 2. IONENNACHWEIS
Ele
k
n/
tro
Io
n
Abb. 2.5: Funktionsweise eines Sekundärelektronenvervielfacher mit Szintillator, Lichtleiter,
Photokathode, Dynoden, Anode, Reﬂektor, lichtdichtes Gehäuse und Spannungsteiler.
tronen/Ionen beschleunigt und auf die erste Elektrode (erste Dynode) des Vervielfachersystems fokussiert. In dem aus mehreren Dynoden bestehenden Vervielfachungssystem wird
durch Sekundärelektronenemission der Kathodenstrom verstärkt und gelangt schlussendlich zur
Anode.
Der Anodenstrom erzeugt durch den Spannungsabfall an einem Widerstand das Ausgangssignal. Die Höhe des Spannungsimpulses ist proportional der im Szintillator entstehenden und auf
die Photokathode auftreﬀenden Lichtmenge. Die Lichtmenge ihrerseits entspricht der im Detektor absorbierten Strahlungsenergie.
In modernen Massenspektrometern wie z.B. bei Quadrupolmassenﬁltern und Penningfallenmassenspektrometern ist höchste Nachweiseﬃzienz für den Einteilchennachweis unabdingbar.
Daher erfolgt heute der Nachweis bei diesen beiden Methoden zumeist mit einem ChanneltronDetektor, dessen Funktionsprinzip in Abb. 2.6 erläutert ist.
Abb. 2.6: Funktionsweise eines Channeltron-Detektors.
2.5. NICHTDESTRUKTIVE NACHWEISMETHODEN
17
Eine mögliche Geometrie eines Channeltrons ist in Abb. 2.7 dargestellt. Der Detektor ist
in oﬀ-axis-Anordnung, d.h. außerhalb der Zentralachse angebracht. Dadurch wird verhindert,
dass Neutralteilchen, die beispielsweise den Massenﬁlter unselektiert durchlaufen, oder gestreute
UV-Photonen die Zählrate verfälschen. Aufgrund der gekrümmten und trichterähnlichen Form
sowie des Spannungsabfalls von bis zu 3 kV entlang des zentralen Kanals1 Spannung arbeitet
das aus Bleiglas gefertigte und mit einem Halbleitermaterial beschichtete Channeltron als
Sekundärelektronenvervielfacher. Da die Sekundärelektronenausbeute von der Geschwindigkeit
der auftreﬀenden Ionen abhängt, d.h. bei gegebener Energie von deren Masse, nimmt die Nachweisempﬁndlichkeit mit zunehmender Masse ab. Um diese Form der Massendiskriminierung zu
vermeiden, erfolgt der Ionennachweis indirekt: Die transmittierten Ionen werden von einer dem
Channeltron gegenüber angebrachten und auf -4 kV Hochspannung liegenden Konversionsdynode abgezogen. Anschließend folgt der Nachweis der herausgeschlagenen Elektronen im Channeltron, das auf deutlich kleinerem Potential (-2 kV) liegt. Dieser Vorgang ist zur Verdeutlichung
in Abb. 2.8 dargestellt.
+
e-
Abb. 2.7: Channeltron-Detektor in oﬀ-axis Geometrie (Model 402A-H) der Firma DeTech
(Palmer, MA, USA). Die Gesamthöhe beträgt ca. 8 cm.
2.5
2.5.1
Nichtdestruktive Nachweismethoden
Nichtdestruktiver Ionennachweis mittels FT-ICR
Das Grundprinzip des nichtdestruktiven Fouriertransformation–Ionenzyklotronresonanz (FT–
ICR) Nachweises über induzierte Spiegelströme ist in Abb. 2.9 am Beispiel einer Ionenfalle
schematisch dargestellt. Ein gespeichertes Ion der Ladung q bzw. eine Ionenwolke mit N Einzelladungen (Q = N · q) wird zu einer kohärenten Bewegung mit einem bestimmten Radius angeregt. Dies geschieht durch ein kurzes, resonantes Radiofrequenz (RF)–Signal, das dipolartig
an zwei gegenüberliegenden Fallenelektroden angelegt wird. In Abb. 2.9 sind dies die geteilten
Hälften der Ringelektrode, was der Beobachtung der reduzierten Zyklotronbewegung dient. Die
1
Die Höhe des Spannungsabfalls ist abhängig vom gewählten Detektormodell. Typischerweise werden Spannungen von nicht mehr als 2.1-2.3 kV angelegt.
18
KAPITEL 2. IONENNACHWEIS
(a)
(b)
Abb. 2.8: Prinzip eines Oﬀ-Axis Channeltron-Detektor ohne (a) und mit (b) Einsatz einer
Konversionsdynode.
sich bewegende Ladung Q inﬂuenziert in den Metallelektroden der Penningfalle eine zeitlich
veränderliche Ladungsverteilung. Sind die Elektroden mit einem Widerstand R verbunden, fällt
dort ein Wechselspannungssignal ab, das die Frequenzanteile aller kohärent angeregten Ionen
enthält. Das Spannungssignal, auch als Transient bezeichnet, wird nach seiner Verstärkung
aufgenommen, indem man es in diskreten Zeitschritten mit der Abtastfrequenz (engl.: sampling frequency) νs digitalisiert. Eine Fouriertransformation in den Frequenzbereich liefert das
Frequenz- oder Massenspektrum, das die relativen Anteile der einzelnen Ionensorten wiedergibt.
2.5.2
Optischer nichtdestruktiver Ionennachweis
Eine sehr eﬃziente Methode, um die Anwesenheit von Atomen bzw. Ionen z.B. in einer Teilchenfalle nachzuweisen, ist ihr laserinduziertes Fluoreszenzlicht zu detektieren. Dieses Verfahren ist
allerdings limitiert auf Teilchen die ein Energieniveauschema besitzen, das die Anregung mit
verfügbaren Lasern erlaubt. Dieser optische nichtdestruktive Nachweis basiert auf der Tatsache, dass die Lebensdauer eines angeregten atomaren bzw. ionischen Energieniveaus in der
Größenordnung von 10−7 liegt, wenn es über elektrische Dipolstrahlung zerfällt. Wiederholte
Anregung des gleichen Ions mit einem Laser bei Sättigungsintensität führt dann zu einer Fluoreszenzzählrate von 107 Photonen pro Sekunde. Unter der Annahme, dass ein Photonendetektionssystem verwendet wird mit einem Akzeptanzöﬀnungswinkel von 10◦ , einer Photomultipliernachweiseﬃzienz von 10% sowie Filter- und Transmissionsverluste von 90%, so kann ein Bruchteil
von etwa 10−3 der Photonen detektiert werden. Dies führt zu einem leicht nachweisbaren Signal
und man erreicht höchste Nachweisempﬁndlichkeit, wie die in Abb. 2.10 gezeigte optische
Detektion eines einzelnen Bariumions in einer Paulfalle eindrucksvoll verdeutlicht. Die optische
Nachweismethode setzt jedoch voraus, dass das Ion sich permanent im Laserstrahl bewegt. Dies
erfordert eine Kühlung der Ionenbewegung in einem Maße, dass die Bewegungsamplitude kleiner
als der Durchmesser des Laserstrahls ist.
2.6. UNTERGRUND UND TOTZEITKORREKTUR
MAGNETIC
FIELD
19
z
PENNING
TRAP
I
FFT
SPECTRUM
ANALYSER
LOW NOISE
AMPLIFIER
EXCITED ION AT
CYCLOTRON ORBIT
MASS SPECTRUM
INDUCED AC-CURRENT
SEGMENTED
RING ELECTRODE
I
dP/df
FFT
time
frequency
Abb. 2.9: Prinzipieller Aufbau für eine nichtdestruktive Bestimmung von Eigenfrequenzen.
Gespeicherte Ionen werden durch ein Radiofrequenzsignal zu einer kohärenten Bewegung angeregt. Nach der Verstärkung der in den Elektroden inﬂuenzierten Spiegelströme erhält man
die für einzelne Ionensorten charakteristische Frequenzinformation durch eine Fourieranalyse.
2.6
Untergrund und Totzeitkorrektur
Die Totzeitverluste in der Nachweiselektronik basieren auf zwei Eﬀekten: (1) Der Totzeit der
Ausleseelektronik und (2) der Totzeit des Detektors. Zur Minimierung der Ausleseelektroniktotzeit werden häuﬁg zwei Counter in einer Art Ping-Pong-Konﬁguration eingesetzt, d.h.
während der eine Counter zählt, wird der andere Counter ausgelesen, auf Null gesetzt und für
den nächsten Zählbetrieb vorbereitet. Dadurch können die Totzeitverluste in der Ausleseelektronik, die im Bereich von ≈ 1 ns liegen, vernachlässigt werden. Nicht zu vernachlässigen sind
jedoch die Verluste aufgrund des limitierten Auﬂösungsvermögens von Pulspaaren. In allen
Detektorsystemen ist eine gewisse Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen nötig,
um diese als zwei getrennte Pulse zu registrieren. Unter Totzeit des Detektors versteht man
daher im Allgemeinen die Zeit, innerhalb der die Nachweiselektronik mit der Erkennung eines
Ereignisses beschäftigt ist und keine weiteren Ereignisse registrieren kann.
Bei der Totzeitkorrektur muss zwischen einem retriggerbaren und einem nicht-retriggerbaren
Detektor unterschieden werden [Leo1994]. In einem nicht-retriggerbaren Detektor wird nach
jedem registrierten Signal der Detektor für eine fest vorgegebene Zeit τ für neue Ereignisse
blockiert. Solange die Zählrate unterhalb der Sättigung bleibt, kann die Korrektur gemäß
n=
m
1−m·τ
(2.2)
erfolgen. Dabei stellt m die gemessene, n die wahre Zählrate und τ die Totzeit des Detektors dar.
Bei einem retriggerbaren System, wie z.B. im Falle des Channeltrons, verlängert ein innerhalb der
Totzeit eintreﬀendes zweites Signal den Verarbeitungsprozess des ersten Signals. Mit steigender
Ereignisrate kann die Verarbeitung eines Signals nicht beendet werden und die Zählrate geht
gegen Null. In diesem Fall ist der Zusammenhang zwischen beobachteter und tatsächlicher
20
KAPITEL 2. IONENNACHWEIS
Abb. 2.10: Optischer Nachweis eines einzelnen Bariumions in einer Paulfalle.
Zählrate durch
m = n · e−n·τ
(2.3)
gegeben. Diese Gleichung lässt sich bei bekanntem m und τ und gesuchtem n nur numerisch
lösen. Für Zählraten bis 0.1 · τ −1 beträgt die Abweichung des Verhältnisses der aus Gl. (2.2)
und (2.3) bestimmten Zählraten allerdings weniger als 0.5% und Gl. (2.2) kann demzufolge als
gute Näherung verwendet werden. Dies liegt darin begründet, dass eine Taylorentwicklung der
beiden Gleichungen um τ = 0 in erster Ordnung das gleiche Ergebnis liefert.
Zur Bestimmung der Totzeit τ eines retriggerbaren Detektors wird gewöhnlich die
Umkehrpunkt-Methode gewählt, bei der ab einer bestimmten Zählrate trotz weiterer Erhöhung
des Ionenstromes die registrierte Ereigniszahl abnimmt. Die maximale Zählrate mmax wird
genau dann beobachtet, wenn die wahre Zählrate gerade der inversen Totzeit entspricht, also
nmax = τ −1 . Durch Einsetzen dieses Wertes in Gl. (2.3) folgt für die Totzeit des Detektors der
Ausdruck τ = (e · mmax )−1 . Diese Methode kann jeoch zur Schädigung des Detektors führen,
da häuﬁg sehr hohe Zählraten zum Erreichen des Umkehrpunktes notwendig sind. Aus diesem
Grund ist die Zwei-Isotopenmethode - sofern realisierbar - zu bevorzugen [Whit1986, Fahe1998],
die eine sehr präzise Bestimmung von τ auch bei niedrigen Zählraten garantiert. Dazu trägt
man für ein Element mit zwei (A, B) oder mehr Isotopen die bei unterschiedlichen Zählraten
nA gemessenen Isotopenverhältnisse R = A/B gegen nA auf. Aus der Regressionsgeraden
ergibt sich die Totzeit zu
τ=
(R − R0 )/nA
R − R0
Steigung
=
.
=
nA · (1 − R0 )
1 − R0
1 − Achsenschnittpunkt
(2.4)
R0 bezeichnet hierbei das wahre Isotopenverhältnis ohne Totzeitverluste. Abb. 2.11 zeigt hierzu ein Beispiel [Blau2000]. Mittels Elektronenstoßionisation (siehe Kap. 2.1) wurden die
Isotopenverhältnisse 40 Ca/42 Ca und 40 Ca/44 Ca für verschiedene Zählraten des Isotops 40 Ca
bestimmt und gemäß Abb. 2.11 aufgetragen. Die eingezeichneten Fehler resultieren aus den statistischen Fehlern der gemessenen Zählraten. Die fehlergewichteten Regressionsgeraden liefern
2.6. UNTERGRUND UND TOTZEITKORREKTUR
21
nach Gl. (2.4) eine gemittelte Totzeit von τ = (25.9 ± 1.6) ns. Dies steht in hervorragender Übereinstimmung mit dem vom Hersteller angegebenen Wert von τ ≈ 25 ns für diesen
Channeltron-Detektortyp. Mit Alterung des Channeltrons nimmt dieser Wert jedoch leicht zu,
so dass die Messung etwa halbjährlich wiederholt werden sollte.
156
Isotopenverhältnis
152
τ = (27.2 ± 1.9) ns
148
144
40
Ca / 42Ca
50
48
τ = (24.6 ± 1.3) ns
46
40
44
44
Ca / Ca
4.0x105
8.0x105
1.2x106
1.6x106
2.0x106
40
Ca Zählrate / s
Abb. 2.11: Bestimmung der Totzeit eines Channeltron-Detektors aus der Änderung des Isotopenverhältnisses 40 Ca/42 Ca und 40 Ca/44 Ca als Funktion der gemessenen Zählrate des 40 Ca-Isotops.
Kapitel 3
Speicherung und Kühlung von
geladenen Teilchen
3.1
3.1.1
Die Paulfalle
Entwicklungsgeschichte
Anfang der 50er Jahre entwickelte Wolfgang Paul die Idee, dass elektrische und magnetische Multipolfelder Teilchen mit einem magnetischen oder elektrischen Dipolmoment in zwei Dimensionen
fokussieren können. Linsen für Atom- und Molekülstrahlen wurden verwirklicht [Frie1951]. Die
Frage: ,,was geschieht, wenn man geladene Teilchen - Ionen oder Elektronen - in solche Multipolfelder injiziert?”1 führte 1953 zur Entwicklung des Quadrupol-Massenspektrometers (QMS)
[Paul1953]. Dieses benutzt zur Massentrennung nicht nur die fokussierenden und defokussierenden Kräfte eines hochfrequenten elektrischen Quadrupolfeldes, sondern macht auch von den
Stabilitätseigenschaften der Bewegung Gebrauch. Die theoretischen und experimentellen Entwicklungen des linearen QMS wurden von der Gruppe um Paul bestimmt [Paul1955]. Die klassische Veröﬀentlichung ,,Das elektrische Massenﬁlter als Massenspektrometer und Isotopentrenner ” von Paul, Reinhard und von Zahn [Paul1958] bildete den vorläuﬁgen Höhepunkt dieser
Forschungsarbeiten. Durch Erweiterung der Methoden der zweidimensionalen Fokussierung auf
drei Dimensionen konnten Ionenfallen, die der Speicherung von Ionen in einem räumlich begrenzten Bereich dienen, entwickelt werden [Fisc1958, Fisc1959, Ghos1995, Majo2004]. Die vorgenannten Arbeiten führten zur Verleihung des Nobelpreises 1989 an Wolfgang Paul (1913-1993),
Universität Bonn, für ,,die Entwicklung der Ionenkäﬁgtechnik ”.
Die Anwendungsmöglichkeiten und Eigenschaften der linearen Paulfalle bzw. des Quadrupols
wurden nach 1958 in einer Reihe von theoretischen und experimentellen Arbeiten detailliert untersucht und publiziert, wie z.B. [Busc1961, Brub1961, Brub1964, Lee1971, Aust1992, Blau1997,
Tito1998a, Tito1998b]. Besonders hervorzuheben sind die Arbeiten von Dawson, deren Resultate großteils in dem grundlegenden Werk und Lehrbuch: ,,Quadrupole Mass Spectrometry
and its Applications” [Daws1995] zusammengefasst sind. In jüngster Zeit führten dann vor
allem Computersimulationen zu einem tieferen Einblick über die Ionenbewegung in der linearen Paulfalle [Munt1995, Reub1996, Blau1998b, Blau2000a]. Da die dreidimensionale Paulfalle
lediglich eine Erweiterung der linearen Paulfalle darstellt, und im Idealfall die Ionenbewegung in
radialer und achsialer Richtung als unabhängig voneinander betrachtet werden können, werden
im Folgenden die Grundlagen der Ionenbewegungen für den zwei- und dreidimensionalen Fall
getrennt behandelt.
1
Entnommen aus dem Nobel-Vortrag von Wolfgang Paul am 12. Oktober 1989 in Stockholm.
22
3.1. DIE PAULFALLE
3.1.2
23
Die ideale lineare Paulfalle
In der linearen Paulfalle bewegen sich geladene Teilchen in einem hochfrequenten elektrischen
Vierpolfeld, wobei die für die Stabilität der Ionenbahnen entscheidende Eigenschaft direkt die
speziﬁsche Ladung Ze/m ist. Der Betrag der aus dem quasistationären Wechselfeld der linearen
Paulfalle resultierenden Feldstärke ist proportional zu dem Abstand r von der vorgegebenen
z-Achse eines Koordinatensystems. Die Realisation eines idealen Vierpolfeldes erfolgt durch die
Verwendung hyperbelförmiger Elektroden.
3.1.2.1
Hyperbolisches Quadrupolpotential
Bei Verwendung von vier hyperbolisch geformten Elektroden, die sich entlang der z-Achse er→
strecken, folgt aus Φ(−
r , t) = Φ0 (t) · (ax2 + by 2 + cz 2 ) mit a = −b = 1/r02 für das Potential der
linearen Paulfalle:
(x2 − y 2 )
→
.
(3.1)
Φ(−
r , t) = Φ0 (t) ·
r02
Dabei beträgt der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden felderzeugenden Elektroden 2r0 ,
das Potential auf den Elektroden ±Φ0 . Eine Darstellung der Elektrodenkonﬁguration mit den
resultierenden Äquipotentiallinien (x2 − y 2 ) = const. zeigt Abb. 3.1. Aus Gl. (3.1) ergeben sich
-Φ0
+Φ0
2r0
+Φ0
y
z
-Φ0
x
Abb. 3.1: Elektrodenanordnung der idealen, endlich großen linearen Paulfalle und Verlauf der
Äquipotentiallinien, die eine vierzählige Symmetrie in Bezug auf die z-Achse aufweisen.
die Feldstärkekomponenten zu:
Ex = −2 Φ0 · x/r02 , Ey = 2Φ0 · y/r02 , Ez = 0 .
(3.2)
Schießt man positive Ionen in z-Richtung bei konstanter Spannung +Φ0 ein, so führen sie
harmonische Schwingungen in der (x, z)-Ebene aus. Aufgrund des umgekehrten Vorzeichens für
das Feld Ey wird ihre y Amplitude exponentiell ansteigen, d.h. die resultierende Kraft ist in
der y-Richtung defokussierend; die Teilchen stoßen gegen die Elektroden und gehen verloren.
24
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Durch Anlegen einer periodischen Wechselspannung kann dieses Verhalten vermieden werden.
Aufgrund des periodischen Wechsels des Vorzeichens der elektrischen Kraft erhält man in beiden Raumrichtungen alternierend Fokussierung und Defokussierung. Dies führt bei geeigneter
Frequenz über das Prinzip der starken Fokussierung zu einer stabilen Ionenbahn. Ist die an
die jeweils gegenüberliegenden Elektroden der Paulfalle angelegte Spannung Φ0 durch eine Gleichspannung U und eine Wechselspannung V mit der Frequenz Ω
Φ0 (t) = U + V · cos Ωt
(3.3)
gegeben, so lautet das ideale, ungestörte Quadrupolpotential:
(x2 − y 2 )
→
Φ(−
r , t) = (U + V · cos Ωt) ·
.
r02
3.1.2.2
(3.4)
Bewegungsgleichungen in der idealen linearen Paulfalle
Betrachten wir im Folgenden ein einfach positiv geladenes Ion der Masse m im Quadrupolpotential (3.4). Aus der Diﬀerentialgleichung
··
→ →
−
→
r +e ∇Φ(−
r , t) = 0
m−
(3.5)
resultieren die Bewegungsgleichungen in x-, y-, und z-Richtung:
ẍ +
2e
· (U + V · cos Ωt) · x = 0
mr02
(3.6)
ÿ −
2e
· (U + V · cos Ωt) · y = 0
mr02
(3.7)
z̈ = 0 .
(3.8)
Auf den ersten Blick würde man erwarten, dass der zeitabhängige Teil der Kraft im zeitlichen
Mittel verschwindet, was in einem homogenen Feld auch der Fall ist. In einem inhomogenen,
periodischen Feld wie dem Quadrupolfeld bleibt jedoch eine kleine mittlere Kraft übrig, die
immer in Richtung des abnehmenden Feldes wirkt, also hier in Richtung der Mittelachse. Aus
diesem Grund bleiben die Ionen unter geeigneten Bedingungen in radialer Richtung gespeichert, ohne die Elektroden zu berühren. Die Ionen führen nach Gl. (3.6) und (3.7) periodische Schwingungsbewegungen um die z-Achse aus, die durch eine sich periodisch verändernde
·
Rückstellkraft hervorgerufen werden. Integration von Gl. (3.8) liefert z = const., d.h. die in
z-Richtung eingeschossenen Ionen bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit in z-Richtung
durch das Feld. Durch Einführung der dimensionslosen Transformationsparameter
ax = −ay =
8eU
4eV
, qx = −qy =
,
2
2
mr0 Ω
mr02 Ω2
Ωt = 2ξ
(3.9)
erhält man aus Gl. (3.6) und (3.7) die Mathieu’schen Diﬀerentialgleichungen:
d2 x
+ (ax + 2qx · cos 2ξ) · x = 0
dξ 2
,
(3.10)
d2 y
− (ay + 2qy · cos 2ξ) · y = 0 .
dξ 2
(3.11)
3.1. DIE PAULFALLE
25
Dabei gibt a/4 das Verhältnis von maximaler potentieller Energie eU im Gleichspannungsfeld zu
kinetischer Energie mv 2 /2 = mr02 Ω2 /2 der Schwingung mit Amplitude r0 und q/2 das Verhältnis
von Epot im Wechselspannungsfeld zu Ekin an.
Das Verhalten der Ionen ergibt sich aus den Eigenschaften der Lösungen der Schwingungsgleichungen (3.10) und (3.11) mit periodischen Koeﬃzienten. Beide Bewegungskomponenten
gehorchen der gleichen Diﬀerentialgleichung, so dass es genügt, die Mathieu’sche Diﬀerentialgleichung in der Normalform
d2 u
+ (au − 2qu · cos 2ξ) · u = 0
dξ 2
mit
u = x, y
(3.12)
zu betrachten [McLa1947, Meix1954]. Alle Lösungen lassen sich als Linearkombination zweier
linear unabhängiger Lösungen in einer Fourierreihe der Form
u(ξ) = αI · e
μu ξ
∞
2isξ
c2s,u e
∞
−μu ξ
+ αII · e
s=−∞
c2s,u e−2isξ
(3.13)
s=−∞
darstellen. Mit Hilfe der Euler’schen Gleichung e±ix = cos x ± i sin x und dem charakteristischen Exponenten μu = iβu kann die allgemeine Lösung der Mathieuschen Diﬀerentialgleichung zu
u(ξ) = A ·
∞
s=−∞
c2s,u cos [(2s + βu )ξ] + B ·
∞
c2s,u sin [(2s + βu )ξ]
(3.14)
s=−∞
umgeschrieben werden, wobei die Koeﬃzienten A := αI + αII und B := i(αI − αII ) durch die
Anfangsbedingungen [u(ξ = 0), u̇(ξ = 0)] bestimmt sind. Die Konstante βu wird durch die
Transformationsparameter au und qu in einer Kettenbruchgleichung festgelegt:
βu2 = au +
+
2
qu
(2+βu )2 −au −
(4+βu )2 −au −
2
qu
(2−βu )2 −au −
(4−βu )2 −au −
2
qu
2
qu
(6+βu )2 −au −...
2
qu
.
(3.15)
2
qu
(6−βu )2 −au −...
Die Koeﬃzienten c2s,u der Reihenentwicklung (3.13) und (3.14) hängen ebenfalls nur vom Arbeitspunkt (au , qu ) und nicht von den Anfangsbedingungen der Teilchenbahn ab und können
über Rekursionsformeln berechnet werden [Marc1989]. Wegen
1
lim |c2s,u | |s| = 0
s→±∞
(3.16)
konvergieren sie für große |s| schnell gegen Null.
3.1.2.3
Stabilitätsdiagramme und Massenauﬂösungsvermögen
Die Mathieu-Gleichung (3.12) hat zwei Klassen von Lösungen:
• Stabile Bewegung: die Ionen schwingen mit begrenzter Amplitude in x- und y-Richtung
und durchqueren das Quadrupolfeld in z-Richtung, ohne an die Elektroden zu stoßen; u(ξ)
bleibt für ξ → ∞ beschränkt;
26
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
• Instabile Bewegung: die Schwingungsamplituden in x- oder in y-Richtung wachsen exponentiell an, so dass die Teilchen von den Elektroden weggefangen werden ehe sie das Ende
des Quadrupols erreichen; u(ξ) wächst für ξ → ∞ über alle Grenzen.
Der Lösungstyp ist nach Gl. (3.13) bzw. (3.14) eindeutig durch μu bzw. βu bestimmt, d.h.
ob Stabilität besteht, hängt nur von den Parametern au und qu ab, dagegen nicht von den Anfangsbedingungen der Ionenbewegung, z.B. ihrer Geschwindigkeit und ihrem Ort. Für komplexe
μu ist die Lösung instabil, wenn αI = 0 ist. Falls μu reell und μu = 0 ist, wächst einer der beiden
Terme eμu ξ oder e−μu ξ uneingeschränkt; die Lösungen sind ebenfalls instabil. Es zeigt sich also,
dass die Lösungen (3.14) nur dann periodisch und stabil sind sowie die Amplituden der Ionenbewegung beschränkt, wenn βu reell und nicht ganzzahlig ist. Die Lösungen mit ganzzahligem
βu heißen Mathieu’sche Funktionen und bilden die Grenze zwischen Stabilität und Instabilität. Trägt man in einem Koordinatensystem mit den Achsen au und qu die Bereiche stabiler
und instabiler Lösungen ein, so erhält man das in Abb. 3.2 dargestellte Stabilitätsdiagramm
der Mathieu’schen Diﬀerentialgleichung. Die schattierten Bereiche repräsentieren dabei stabile
1 4
a )
1 2
0 .2
b )
1 0
s ta b le
1 2
c )
0 .1
8
1 0
0 .0
6
8
-0 .1
4
6
2
-0 .2
z
0
-0 .3
a
a
a
z
4
-2
2
-0 .4
-4
0
-6
-2
-0 .5
-8
z -s ta b le
r-s ta b le
-1 0
-4
-0 .6
-1 2
-6
-1 6
-1 2
-8
0
-4
q
4
8
1 2
1 6
z a n d r -s ta b le
-0 .7
0
2
4
6
8
q
1 0
z
1 2
1 4
1 6
1 8
1
0 .0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
q
1 .0
1 .2
1 .4
z
Abb. 3.2: (a) Bereiche stabiler Lösungen der Mathieu’schen Diﬀerentialgleichung. (b) Bereiche
stabiler Lösungen für die axiale und radiale Bewegung der Ionen in der Paulfalle. (c) Vergrößerter
Ausschnitt aus Abb. (b). Der Punkt kennzeichnet einen möglichen Arbeitspunkt. Die Linie
stellt eine Arbeitsgerade dar für welche die Paulfalle als Massenﬁlter betrieben wird. Weitere
Erläuterungen im Text.
Lösungen; sie müssen aufgrund der Unabhängigkeit der Lösungen von Gl. (3.12) vom Vorzeichen des qu -Parameters symmetrisch zur au -Achse sein. Da die Ionenbewegung nur dann stabil
ist, wenn sich für beide Bewegungskomponenten (x, y) stabile Bahnen ergeben, müssen beide
Arbeitspunkte (ax , qx ) und (ay , qy ) im stabilen Bereich liegen. Nach Gl. (3.9) gilt ax = −ay
und qx = −qy . Daher fallen bei Spiegelung der (au , qu )-Ebene an der au - und qu -Achse die
beiden Arbeitspunkte a = ax = −ay und q = qx = −qy zusammen. Infolgedessen erhält man die
überlappenden Gebiete der (x, y)-Stabilität. Die ersten drei stabile Bereiche für eine lineare
Paulfalle bzw. einen Quadrupolmassenﬁlter sind in Abb. 3.3(A) mit I, II und III beschriftet.2
Die Grenzen der jeweiligen Stabilitätsbereiche sind durch die Mathieu’schen Funktionen der
ganzzahligen charakteristischen Exponenten βu gegeben, die auch charakteristische Kurven
genannt werden. Sie können durch Potenzreihenentwicklung von Gl. (3.15) um qu2 = 0 berechnet
werden [Blau1997]. Für den in der Praxis relevanten ersten Stabilitätsbereich einer linearen
2
Die Reihenfolge der Stabilitätsbereiche entspricht der Notation von [Daws1995]. Andere Autoren verwenden
teilweise eine abweichende Notation.
3.1. DIE PAULFALLE
27
Abb. 3.3: (A) Die Stabilitätsbereiche (schattiert) der linearen Paulfalle bzw. des Quadrupolmassenﬁlters. (B) Ausschnitt I aus (A): Der erste Bereich gleichzeitiger Stabilität in x- und
y-Richtung. Weitere Erläuterungen im Text.
Paulfalle gilt 0 ≤ βu ≤ 1. Er ist in Abb. 3.3(B) vergrößert dargestellt. Ein Ion bleibt nur dann
auf einer stabile Bahn, wenn sein zugehöriger Arbeitspunkt (au , qu ) innerhalb des dreiseitigen
Gebietes liegt, dessen Spitze durch
(a0 , q0 ) = (0.237, 0.706)
(3.17)
gegeben ist. Da die höheren Stabilitätsbereiche II und III mit Mathieu-Parametern (au , qu )II ≈
(0.02, 7.57) und (au , qu )III ≈ (3, 3) in der Praxis nur eine untergeordnete Rolle spielen, soll hier
nicht weiter auf sie eingegangen werden; näheres dazu ﬁndet man in [Daws1995] und [Du1999].
Die mathematischen Grenzen βy = 0 und βx = 1 des 1. Stabilitätsbereiches sind als rein theoretisch anzusehen. Für eine lineare Paulfalle bzw. realen Quadrupolmassenﬁlter endlicher Größe
müssen die Grenzen des realen Stabilitätsbereiches zwingend innerhalb dieses Gebietes liegen,
da die Ionenbahnen noch zusätzlich durch weitere Bedingungen, wie etwa den endlichen Abstand
der Elektroden, eingeschränkt werden (siehe Kap. 3.1.4.2).
Bei einer vorgebenen Wahl der Spannungen U , V sowie festen Werten für r0 und Ω liegen
gemäß Gl. (3.9) alle Massen m auf einer Arbeitsgeraden au /qu = 2U/V = const. (siehe Abb.
3.3(B)), die nicht von der Masse und Ladung des eingeschossenen Ions, sondern nur vom
Verhältnis der Gleichspannungs- und Wechselspannungsamplitude U/V abhängt. Legt man die
Arbeitsgerade mit konstantem au /qu einer linearen Paulfalle durch den Nullpunkt des (au , qu )Diagramms, so deﬁnieren die Schnittpunkte der Arbeitsgeraden mit den Begrenzungslinien
βy = 0 und βx = 1 des Stabilitätsdreiecks ein Intervall [q1 , q2 ], welchem mit der Transformationsgleichung (3.9) eindeutig ein Massenintervall Δm zugeordnet werden kann. Nur die darin enthaltenen Ionenmassen gelangen auf stabilen Bahnen durch das Spektrometer (in dem gewählten
Beispiel die Masse m2 ). Die anderen Ionenmassen werden gegen die Quadrupolstäbe beschleunigt oder lateral aus dem Feld geworfen. Zu schwere Ionen (m1 ) sind x-stabil und y-instabil,
während zu leichte Ionen (m3 ) x-instabil und y-stabil sind. Eine Vergrößerung der Steigung der
Arbeitsgeraden bewirkt eine Annäherung an die Spitze des Stabilitätsdreiecks; der Massenbereich Δm wird schmäler und nähert sich Δm = 0. Im Extremfall U/V = a0 /(2q0 ) ≈ 0.168 ist der
Quadrupol-Massenﬁlter nur noch für Ionen einer exakt bestimmten Masse durchlässig bzw. die
lineare Paulfalle speichert nur noch eine bestimme Masse.
28
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
In der Nähe der Spitze des Stabilitätsdreiecks lässt sich das theoretische Massenauﬂösungsvermögen = m/Δm aus den beiden Schnittpunkten der Arbeitsgeraden mit
den Randkurven des stabilen Bereiches als Funktion des Quotienten U/V berechnen:
≈
0.126
0.126
=
0.16784 − U/V
(0.16784 − γ) + δ/V
.
(3.18)
Die Auﬂösung kann über den Quotienten U/V , d.h. über die Steigung der Arbeitsgeraden
gemessen in Bruchteilen von 0.16784 = a0 /2q0 , variiert werden. Experimentell wird dies
gewöhnlich durch Anpassung der Beziehung U = γV − δ erreicht. Dabei bestimmt der Arbeitsparameter γ die Auﬂösung. Der Parameter δ ist ein zusätzlicher Gleichspannungsoﬀset.
Für δ = 0 wird eine konstante Auﬂösung des Massenﬁlters garantiert. Mit der Wahl
γ = 0.16784 und δ = 0 ist die Auﬂösung proportional zur Wechselspannung V und somit auch
proportional zur Ionenmasse m. Dies ist die Bedingung für einen konstanten Δm Modus, bei
dem die Breite des transmittierten Massenbereichs konstant und unabhängig von der Masse
ist. Die Beziehung (3.18) wurde unter der Voraussetzung hergeleitet, dass das Quadrupolfeld
in z-Richtung unendlich lang ist, denn nur für t → ∞ streben die instabilen Ionenbahnen
gegen ∞. In der Praxis genügt es zu verlangen, dass die Ionen eine bestimmte Anzahl n
von Hochfrequenzperioden im Massenﬁlter bzw. in der Paulfalle der Länge L ausführen, die
groß genug ist, um die Amplituden instabiler Bahnen so weit aufzuschaukeln, dass die Ionen
schließlich auf die Elektroden treﬀen. Die Frequenz des Wechselfeldes bzw. die Länge der
linearen Paulfalle muss also gewährleisten, dass die Verweilzeit der Ionen im Feld sehr viel
größer ist als die Dauer einer Hochfrequenzperiode.
Durch Umformung der Transformationsgleichungen (3.9) zu
U=
ay mr02 Ω2
qy mr02 Ω2
qx mr02 Ω2
ax m2 r02 Ω2
=−
, V =
=−
8e
8e
4e
4e
(3.19)
wird die Wirkungsweise des Quadrupols als Massenspektrometer deutlich. Bei konstantem r0 und Ω erhält man durch Einsetzen der einzelnen Ionenmassen aus dem (au , qu )Stabilitätsdiagramm die Stabilitätsdiagramme für die einzelnen Massen im (U, V )-Raum.
Abb. 3.4: Die in den (U, V )-Raum transformierten Stabilitätsdiagramme 1. Ordnung für die
Massen m1 < m2 < m3 .
3.1. DIE PAULFALLE
29
Wie Abb. 3.4 verdeutlicht, entsprechen die Stabilitätsdiagramme für die Massen m1 <
m2 < m3 der Form nach demjenigen im (au , qu )-Raum, sind aber nach Gl. (3.19) mit massengewichteten Faktoren gestreckt. Ändert man die an den Elektroden liegenden Spannungen U
und V gleichzeitig und proportional, d.h. au /qu bleibt konstant, so bewegt man sich entlang der
Arbeitsgeraden und verschiebt Ionen immer größer werdender Masse in den stabilen Bereich. Es
resultiert ein massenaufgelöstes Spektrum.
Auf der V -Achse, d.h. für U = 0, wird der Massenﬁlter bzw. die lineare Paulfalle im ,,rfonly” Modus betrieben [Daws1985]. Es liegt Stabilität für 0 < qu < qmax = 0.92 vor (siehe
Abb. 3.3(B)). Daraus folgt, dass sich alle Ionen mit Masse q 4eV
2 2 < m < ∞ auf stabilen Bahnen
u r0 Ω
bewegen. In diesem Falle wirkt das Quadrupolfeld wie ein Hochpass-Massenﬁlter. Man erhält
ein integrales Spektrum, da jeweils an den Schnittpunkten der Stabilitätsdreiecke mit der
Abszisse die Beträge der leichteren, aber stetig ansteigenden Massen weggeschnitten werden.
3.1.2.4
Frequenzspektrum der Lösungen und Ionenﬂugbahnen
Aus der allgemeinen Lösung der Mathieu’schen Diﬀerentialgleichung (3.14) folgt, dass die Bahnen aller Ionen gleicher Masse sich nur in den Konstanten A und B entsprechend den verschiedenen Anfangsbedingungen u0 , u̇0 und Ωt0 unterscheiden. Daraus ergibt sich das Frequenzspektrum der Ionenbewegung für einen festen Arbeitspunkt (au , qu ) unter Verwendung von Ωt = 2ξ
zu:
Ω
ωs,u = |2s + βu |
(3.20)
s = 0, ±1, ±2, ...
u = x, y .
2
Wegen der Konvergenz der Koeﬃzienten c2s,u nach Gl. (3.16) für große |s| nehmen die Anteile
der höheren Frequenzen rasch ab. Es ist zu betonen, dass Ionen unterschiedlicher Masse verschiedene Arbeitspunkte im Stabilitätsdiagramm und folglich verschiedene Koeﬃzienten c2s,u
und βu haben. Die Frequenzspektren ihrer Bewegung, insbesondere die Grundfrequenz
ω0,u = βu
Ω
2
für
s=0 ,
(3.21)
sind verschieden.
Zur Beschreibung der Ionenbewegung im Quadrupolmassenﬁlter bzw. in der linearen
Paulfalle ist es am einfachsten, die beiden Spezialfälle mit den Arbeitspunkten nahe des
Koordinatenursprungs und nahe der Stabilitätsspitze näher zu betrachten. Für den ersten Fall
βu2 1 kann die Kettenbruchgleichung (3.15) zu
qu2
(3.22)
für
|au | qu 1
2
genähert werden. Diese Näherung wird häuﬁg bei Ionenfallen angewendet und adiabatische
Näherung genannt. Es genügt, die Koeﬃzienten c2s,u mit s = 0, ±1 zu betrachten, für die in
der Näherung (3.22) eine einfache Formel angegeben werden kann:
qu
(3.23)
c2,u = c−2,u = − c0,u .
4
Die allgemeine Lösung der Mathieu’schen Diﬀerentialgleichung lautet demnach:
βu
qu
2
2
cos Ωt cos
Ωt − ϕ
(3.24)
u(t) = c0,u A + B · 1 −
2
2
2
A − B2
.
(3.25)
mit
ϕ = arctan
A2 + B 2
Sie setzt sich aus zwei überlagerten Bewegungen zusammen:
βu2 = au +
30
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
1. der Makrobewegung, einer langsamen Schwingung mit der Frequenz ωu =
βu
2 Ω,
und
2. der Mikrobewegung,
einer schnellen Schwingung mit der Führungsfeldfrequenz Ω, deren
Amplitude 12 qu jedoch klein ist gegen die der ersten Bewegung.
Aus der Harmonizität der Schwingung folgt der Ansatz, die Bewegung der Ionen über
ein eﬀektives statisches Pseudopotential darzustellen, wobei man ausgehend von den
Mathieuschen Diﬀerentialgleichungen (3.12) die Bewegung in einen Anteil niedrigerer und
einen höherer (getrieben durch das Führungsfeld) Frequenz aufteilt. Dadurch lassen sich
die Gleichungen lösen und man erhält die Bewegung eines harmonischen Oszillators mit den
Säkularfrequenzen
Ω qu2
Ω qu2
− au und ωy =
+ au
(3.26)
ωx =
2
2
2
2
in einem Pseudopotential der Tiefe
1
e2 V 2
eU
+
Dx = mr0 ωx2 =
2
2
2
2
4mr0 Ω
(3.27)
1
e2 V 2
eU
Dy = mr0 ωy2 =
.
−
2
2
2
2
4mr0 Ω
(3.28)
bzw. analog
Der zweite Spezialfall nahe der Spitze des Stabilitätsdreiecks bei βx ≈ 1 und βy ≈ 0 (siehe
Abb. 3.3(B)) ist vor allem für den Quadrupol-Massenﬁlter mit hohem Auﬂösungsvermögen
m/Δm relevant. Die stabilen und instabilen Ionenbewegungen, die für den hyperbolischen
Quadrupol-Massenﬁlter endlicher Ausdehnung resultieren, sollen anhand von Flugbahnsimulationen diskutiert werden. Abb. 3.5 zeigt typische aus diesem Spezialfall resultierende Flugbahnen
eines ,,stabilen”3 Ions der Masse m2 (A), eines ,,instabilen”, zu leichten Ions der Masse m1 < m2
(B) sowie eines ,,instabilen”, zu schweren Ions der Masse m3 > m2 (C) in der (x, z)-Ebene
(oben) und (y, z)-Ebene (unten). Der Ioneneintritt in den Massenﬁlter erfolgte jeweils parallel
zur z-Achse. Man beachte die unterschiedlichen Achsenskalierungen für die einzelnen Projektionen. Die Frequenzen der jeweiligen Bewegung können Gl. (3.20) entnommen werden. Aus
der Gleichung für das Potential in der Nähe der z-Achse folgt, dass die Komponenten der elektrischen Feldstärke (3.2) in der x- und y-Richtung jeweils der Koordinate x bzw. y proportional
und unabhängig von der anderen Koordinate sind. Für positive Ionen wirkt das reine Gleichspannungsfeld nach Gl. (3.6) in der x-Richtung fokussierend, sie werden anfänglich zur Achse
beschleunigt (Abb. 3.5(A), oben). Die Ionen führen ohne ein Wechselfeld stabile harmonische
Schwingungen aus. Durch das Hinzufügen einer Wechselspannung V wird die Ionenbewegung
ähnlich der eines Schwingungssystems, das ganz in der Nähe seiner Resonanzfrequenz angeregt
wird [Brub1961]. Die Amplitude erreicht nach wenigen Schwingungen den bis zu 15fachen Anfangswert und klingt dann wieder ab; der Verlauf ist periodisch. Die Schwingungsfrequenz in der
x-Richtung: ω0,x = β2x Ω ≈ 12 Ω ist etwa halb so groß wie die angelegte Wechselspannungsfrequenz
Ω.
In der y-Richtung wirkt gemäß Gl. (3.7) das reine Gleichspannungsfeld auf positive Ionen
defokussierend (Abb. 3.5(A), unten). Für achsennahe Eintrittsorte erfahren die Ionen zu Beginn nach außen gerichtete, defokussierende Kräfte, die jedoch mit wachsender Auslenkung für
stabile Ionenﬂugbahnen durch die zunehmende Wirkung des Wechselfeldes rückläuﬁg gemacht
3
Die Begriﬀe ,,stabile” bzw. ,,instabile” Ionen werden hier als vereinfachte Bezeichnungen für Ionen mit stabilen
(beschränkte Maximalamplitude) bzw. instabilen (unbeschränkte Maximalamplitude) Flugbahnen verwendet.
3.1. DIE PAULFALLE
31
x-Auslenkung [mm]
(A)
(C)
8
0.12
6
6
0.09
4
4
0.06
2
2
0.03
0
0
0.00
-2
-2
-0.03
-4
-4
-0.06
-6
-6
-8
-8
8
0.09
6
y-Auslenkung [mm]
(B)
8
z
-0.09
-0.12
8
6
0.06
4
4
2
0.03
0
0.00
0
-0.03
-2
2
-2
z
-4
-4
-0.06
-6
-6
-8
-0.09
m2
x, y stabil
-8
m 1 < m2
x instabil, y stabil
m 3 > m2
x stabil, y instabil
Abb. 3.5: Flugbahn eines stabilen Ions der Masse m2 (A), eines instabilen, zu leichten Ions
der Masse m1 < m2 (B) sowie eines instabilen, zu schweren Ions der Masse m3 > m2 (C).
Darstellung jeweils in der (x, z)- und (y, z)-Ebene.
werden. Das Ion erreicht wieder die z-Achse. Durch die Diﬀerenz der entgegengesetzt wirkenden Beschleunigung des Gleich- und Wechselfeldes wird die mittlere zeitliche Bahn des Ions
bestimmt. Die resultierende Beschleunigung ist proportional zur Auslenkung des Ions, d.h. die
Bewegung ist harmonisch. Wie für die x-Ionenbewegung beträgt auch hier die Maximalamplitude etwa das 15fache des Anfangswertes. Wegen βy ≈ 0 setzt sich die y-Ionenbewegung
im Wechselfeld nach Gl. (3.20) und (3.24) aus einer Makroschwingung, mit der langsamen
β
Frequenz ω0,y = 2y Ω, und einer schnelleren etwa synchron mit der Frequenz
Ω der Wechβ
selspannung erfolgenden Mikroschwingung, mit der Frequenz ω1,y = 1 + 2y Ω, zusammen.
Zusätzlich treten die Frequenzen der höheren Entwicklungsterme mit s > 1 auf, jedoch mit
deutlich kleineren Amplituden; sie sind in Abb. 3.5 nicht sichtbar.
Zu leichte Ionen mit m1 < m2 führen aufgrund zu starker defokussierender Kräfte in der
x-Richtung eine instabile Bewegung aus (Abb. 3.5(B), oben), d.h. ihre Schwingungsamplitude
schaukelt sich in der (x, z)-Ebene exponentiell auf, bis sie von den Elektroden weggefangen
werden. In der (y, z)-Ebene verläuft die Schwingungsbewegung stabil (Abb. 3.5(B), unten).
Für zu schwere Ionen mit m3 > m2 ist der Eﬀekt gerade umgekehrt (Abb. 3.5(C)). Entlang
einer Arbeitsgeraden sind Ionen mit (au , qu )-Parametern außerhalb des Stabilitätsdreiecks also
immer nur in einer Koordinate instabil, während die Ionenbewegung für die andere Koordinate
stabil verläuft.
32
3.1.3
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Die ideale dreidimensionale Paulfalle
Eine dreidimensionale Speicherung der Ionen macht neben der zuvor beschriebenen radialen
Speicherung auch die axiale Speicherung erforderlich. Da die Form und Art der Endelektroden
bei den verschiedenen bisher in Experimenten verwendeten linearen Fallen nicht einheitlich ist,
müsste man genaugenommen jeden speziellen Fall einzeln untersuchen. Ziel ist es aber immer,
ein möglichst harmonisches statisches Potential zu erzeugen. Die unterschiedlichen Realisierungen wie z.B. hyperbolische Endkappen, gelochte Endbleche, Ringe um die Quadrupolstangen,
Überlagerung von End- und Hauptsegmenten, Endstifte oder Endsegmente orientieren sich meist
an der Zugänglichkeit der Ionen für Anregung und Nachweis, und man ﬁndet eher selten Hinweise
auf Gründe, die das Potential betreﬀen.
Grundsätzlich tritt allerdings durch ein elektrostatisches Potential in axialer Richtung ein
defokussierender Eﬀekt in radialer Richtung ein. Die Schwächung des Quadrupolpotentials wird
in [Ghos1995] folgendermaßen beschrieben: Das statische Potential in axialer Richtung kann als
harmonisches Potential angenähert werden
κU
1 2
2
2
(3.29)
x +y
Φs = 2 z −
2
z0
wobei z die halbe Länge des Endelektroden-Abstands und κ ein von der Fallengeometrie
abhängender Faktor ist. U ist die an den Endelektroden anliegende Spannung. Die Elektrodenkonﬁguration für die Erzeugung eines axialsymmetrischen Quadrupolpotentials zeigt
Abb. 3.6.
Abb. 3.6: Grundlegende Elektrodenkonﬁguration zur Erzeugung eines axialsymmetrischen
Quadrupolpotentials. Die inneren Flächen der Elektroden sind Hyperboloide und folgen den
Äquipotentialﬂächen des elektrischen Feldes.
ωz =
2κqU
mz02
(3.30)
ist die axiale Schwingungsfrequenz der Ionen im parabolischen Pseudopotenial (siehe Abb. 3.7
links) der Falle. Das Pseudopotential wird geschwächt durch die Hinzunahme des statischen
Potentials (Abb. 3.7 rechts)
m
Φr =
(ωr )2 x2 + y 2
(3.31)
2q
wodurch die eﬀektive Kreisfrequenz der Makrobewegung ωr in folgender Weise reduziert wird:
1
(3.32)
ωr = ωr2 − ωz2 .
2
3.1. DIE PAULFALLE
33
R F + D C
e le c tr ic p o te n tia l V
e le c tr ic p o te n tia l V
R F o n ly
z
H
z
H
Abb. 3.7: Pseudopotential in einer Paulfalle. Links: nur ein rf Potential wird an die Falle
angelegt. Rechts: ein zusätzlich angelegtes DC Potential.
Eine geladenes Mikroteilchen in einer idealen dreidimensionalen Paulfalle führt somit eine
Lissajous-ähnliche Bewegung aus. Eine solche Trajektorie zeigt Abb. 3.8 [Wuer1959].
Abb. 3.8: Beobachtete Lissajous-ähnliche Trajektorie eines geladenen Mikroteilchens in einer
Paulfalle [Wuer1959].
3.1.4
Die reale lineare Paulfalle
Gegenüber der im vorangegangenen Abschnitt diskutierten idealisierten Paulfalle besitzt die
reale lineare Paulfalle, wie sie in Abb. 3.9 dargestellt ist, eine Reihe von Unvollkommenheiten,
die Abweichungen von der idealen Potentialverteilung hervorrufen und dadurch die Ionenbewegung beeinﬂussen. Diese sind u.a. die endliche Dimensionierung, die Näherung hyperbolischer
Äquipotentialﬂächen durch kreisrunde Stäbe als Elektroden sowie Herstellungs- und Justagefehler. Es ist daher zwingend notwendig die reale lineare Paulfalle bzw. den realen Massenﬁlter
zu betrachten. Einige mögliche Elektrodenkonﬁgurationen für Radiofrequenzionenfallen können
Abb. 3.10 entnommen werden.
34
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Austrittsblende
L
Detektor
Massen separierter
Ionenstrahl
y
Linsen
z
Quadrupolfilterstäbe
−Φ0
Ionenquelle
R
x
r0
+Φ0
Abb. 3.9: Schematische Darstellung eines realen Quadrupol-Massenﬁlters bzw. linearen Paulfalle
mit runder Stabgeometrie. Die Einlage kennzeichnet die Polarität des Potentials Φ0 in Bezug
auf die kartesischen Koordinaten x und y, dem freien Feldradius r0 und dem Stabradius R.
Abb. 3.10: Mögliche Elektrodenkonﬁgurationen für Radiofrequenzionenfallen.
Im Folgenden wird zunächst die Abweichung vom idealen Quadrupolpotential durch die Verwendung runder Stäbe endlicher Länge und deren Auswirkungen auf die Bewegungsgleichungen
und die maximal erreichbare Auﬂösung diskutiert. Anschließend wird auf die Beschränkung
der maximalen Schwingungsamplitude durch den endlichen Abstand der Elektroden eingegangen. Weitere Abweichungen wie z.B. Justagefehler der Stabelektroden, Potentialschwankungen,
Raumladungseﬀekte und Einwirkungen äußerer elektrischer und magnetischer Felder seien hier
zwar erwähnt, werden aber nicht im Detail betrachtet.
3.1.4.1
Potentialbeschreibung und Bewegungsgleichungen bei runder Stabgeometrie
Elektroden mit hyperbolischem Querschnitt zur Erzeugung eines echten Quadrupolpotentials,
wie es der Mathieu’schen Diﬀerentialgleichung (3.12) zugrunde liegt, werden erst seit wenigen
Jahren in Quadrupol-Massenﬁltern eingesetzt. Auch die linearen Paulfallen sind zumeist aus
runden Stäben aufgebaut. Die resultierende Abweichung vom idealen Feldverlauf macht sich
vor allem dann bemerkbar, wenn Resonanzeﬀekte auftreten, bei denen sich die Einwirkung
kleiner Störungen zeitlich akkumulieren. Bei bestimmten (au , qu )-Werten innerhalb des Stabilitätsdreiecks kommt es zu instabilen Ionenbewegungen, die zu Transmissionseinbußen führen.
Diesen Eﬀekt bezeichnet man als nichtlineare Resonanzen [Busc1961, Daws1969, Daws1995],
wobei die nichtlinearen Terme zu resonanter Anregung von Schwingungen mit großen bzw.
3.1. DIE PAULFALLE
35
unbeschränkten Amplituden führen. Eine Vielzahl von Studien wurden dazu in der dreidimensionalen Ionenfalle durchgeführt, da die nichtlinearen Resonanzen zu einem rapiden Verlust gespeicherter Ionen führen können [Wang1994, Fran1995, Wert1996]. Die allgemeinen
Resonanzbedingungen für nichtlineare Terme in der linearen Paulfalle werden im Folgenden
hergeleitet.
Die Potentialverteilung in der (x, z)-Ebene eines Quadrupols bzw. einer linearen Paulfalle mit
runden Stäben kann als eine unendliche Multipolentwicklung ausgedrückt werden [Busc1961],
die ebenfalls die Laplace-Gleichung erfüllt. In Zylinderkoordinaten gilt:
m
∞
r
Cm
cos(mθ)
(3.33)
Φ(r, t) = [U + V cos(ωt)] ·
r0
m=0
mit θ = arctan(y/x). Terme mit r−m treten nicht auf, da die Bedingung Φ(r, t) = 0 auf der Achse
erfüllt sein muss. Die Entwicklungskoeﬃzienten Cm können als Funktion des Elektrodenradius
numerisch ermittelt werden [Deni1971]. Im Falle einer perfekten vierfach-Symmetrie, bei der
alle vier Stäbe den identischen Radius R haben und präzise im Abstand r0 von der z-Achse
angebracht sind, dreht sich das Vorzeichen des Potentials um, wenn sich θ um ±π/2 ändert.
Demzufolge muss die Bedingung
π
cos m
= −1
(3.34)
2
erfüllt werden. Dies impliziert, dass der Ausdruck für das Potential (3.33) nur die Terme mit
m = 2, 6, 10, 14, ..., 2(2n + 1), ... annehmen kann. In allgemeiner Form folgt:
Φ(r, t) = [U + V cos(ωt)] ·
∞
Cn
n=0
r
r0
2(2n+1)
× cos [2 (2n + 1) θ] .
(3.35)
Der erste Term (n = 0) in dieser Multipolentwicklung ist der Quadrupolterm, der zweite (n = 1)
wird als Duodekapolterm, der dritte (n = 2) als 20-Pol-Term, usw. bezeichnet. Für den Spezialfall hyperbolischer Stäbe bleibt nur der erste Term übrig. Es resultiert die Mathieu’sche Differentialgleichung in der Normalform (3.12). Aufgrund der (r/r0 )-Abhängigkeit werden die
Terme höherer Ordnung erst in der Nähe der Quadrupolstäbe, d.h. im äußeren Feldbereich,
relevant und können zu einer messbaren Abweichung vom idealen Quadrupolpotential führen.
Für die Herleitung der Bewegungsgleichungen muss die Beziehung (3.35) diﬀerenziert werden.
In rechtwinkligen kartesischen Koordinaten lauten die Lösungen [Blau1998b]:
d2 x
dξ 2
= − [a + 2q cos(2ξ)] ·
∞
Cn (2n + 1) ×
n=0
x2 + y 2
r02
2n
× {x cos [2 (2n + 1) θ] + y sin [2 (2n + 1) θ]}
d2 y
dξ 2
= − [a + 2q cos(2ξ)] ·
∞
n=0
Cn (2n + 1) ×
x2 + y 2
r02
× {y cos [2 (2n + 1) θ] − x sin [2 (2n + 1) θ]}
(3.36)
2n
(3.37)
mit ξ, a = ax = −ay und q = qx = −qy gemäß Gl. (3.9). Wichtig ist, dass der Quadrupolterm
(n = 0) beider Bewegungsgleichungen nur von einer einzigen Koordinate x oder y abhängt. Im
Gegensatz dazu sind die Bewegungsgleichungen in der x- und y-Richtung für die höheren Multipolterme der Feldentwicklung gekoppelt. Die beste Approximation an ein reines Quadrupolpotential erhält man durch Wahl des Elektrodenradius R derart, dass C1 = 0 ist und damit der
36
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Beitrag des 12-Pol-Terms, der die stärkste Abweichung des realen vom idealen Quadrupolpotential beinhaltet, verschwindet. Dayton und Mitarbeiter [Dayt1954] bestimmten als erste
empirisch, dass sich das reale Quadrupolfeld bei einem Stab- zu freiem Feldradiusverhältnis
von R/r0 = 1.148 dem Hyperbelfeld am besten annähert. Diese Anpassung liefert das größte
Gebiet um die Achse, in dem der Feldstärkegradient konstant ist. In der Praxis werden die
Quadrupolstäbe in ein geerdetes Gehäuse eingebaut, welches nur geringfügig größer ist als der
Elektrodenaufbau selbst und somit zur Potentialverteilung beiträgt. Der Einﬂuss des Gehäuses
auf den optimalen Stabradius ist aufgrund der Radialsymmetrie gering, es vergrößert aber stark
den elektrischen Feldgradienten in der Nähe der 45◦ Ebenen zwischen den Stäben [Deni1971].
In einer späteren Arbeit [Lee1971] wird anhand von semianalytischen Rechnungen zur Potentialverteilung das ideale Verhältnis von Stab- zu Feldradius mit
R
= 1.14511
r0
=⇒
C1 = 0
(3.38)
angegeben. Mit diesem Wert, der bei einer Fertigungspräzision der Stäbe von etwa 10 − 50 μm
nur bis zur dritten Nachkommastelle relevant ist, resultiert als erster nicht verschwindender
Störterm in der Multipolentwicklung (3.35) der 20-Pol-Term mit n = 2. Dieser Beitrag sowie der
von Termen höherer Ordnung ist in der Nähe der z-Achse der linearen Paulfalle vernachlässigbar,
wird aber in der nahen Umgebung der Stäbe signiﬁkant.
Eine Folge der Störterme höherer Ordnung ist das Auftreten von nichtlinearen Resonanzen, im Englischen auch häuﬁg ,,stop-bands” genannt. Resonanzen zwischen der Ionenbewegung und einem Multipolmoment gerader Ordnung N des Feldes ﬁndet man bei den x-,
y-Bewegungsfrequenzen, die der Beziehung
Ω = Ω = n
βy
βx
Ω + (N − n) Ω
2
2
für
n = 0, 2, 4, 6, ..., N
(3.39)
genügen. Wird die bei der Herleitung von Gl. (3.35) geforderte Spiegelsymmetrie gegenüber der
z = 0 Ebene gebrochen, so können grundsätzlich Multipolglieder beliebiger Ordnung auftreten.
Ungerade Ordnungen beschreiben dabei asymmetrische, gerade Ordnungen hingegen spiegelsymmetrische Abweichungen vom idealen Quadrupolfeld.
Neben den oben beschriebenen Fehljustagen stellen Frequenzfehler der Wechselspannung
eine weitere Quelle für Störterme dar, weil sie Oberwellen im zeitlichen Feldverlauf hervorrufen.
Diese Störglieder sind aber nur von untergeordneter Bedeutung. Die dominierenden Resonanzlinien niedrigster gerader und ungerader Multipolordnung sind in Abb. 3.11 mit Angabe der
zugehörigen Resonanzbedingung eingezeichnet. Fährt der Arbeitspunkt bei einem Massenscan
entlang der Arbeitsgeraden über die entsprechenden Stellen im Stabilitätsbereich hinweg, so
sollte die Transmission durch den Massenﬁlter bzw. die lineare Paulfalle an den markierten
Stellen ein lokales Minimum aufweisen. Eine quantitative Aussage über den Ionenverlust beim
Durchlaufen einer nichtlinearen Resonanz kann an dieser Stelle nicht gegeben werden.
3.1.4.2
Einschussbedingungen und maximales Auﬂösungsvermögen
Wie bereits erwähnt, entscheidet bei einem vorgegebenen Feld allein die speziﬁsche Ladung
Ze/m eines Ions bzw. der Arbeitspunkt (au , qu ), ob die Teilchenbahn stabil oder instabil ist.
Anfangsort sowie Richtung und Größe der Anfangsgeschwindigkeit haben keinen Einﬂuss auf
die Stabilität. Die zusätzliche Einschränkung der Amplitude stabiler Bahnen durch die endliche
Ausdehnung des Elektrodensystems führt allerdings zu einer oberen Grenze für die Transversalgeschwindigkeit der Ionen in x- und y-Richtung sowie zu einer Begrenzung des Einschussbereiches der Ionen. So dürfen die maximalen Schwingungamplituden xmax und ymax , die selbst
3.1. DIE PAULFALLE
37
aa/q
2U/V
u/qu==2U/V
Abb. 3.11: Die nichtlinearen Resonanzlinien 3. (strichpunktiert), 4. (punktiert), 6. (durchgezogen) und 10. (gestrichelt) Ordnung im Stabilitätsdiagramm des Massenﬁlters.
bei parallelem Einschuss zur z-Achse leicht eine Größenordnung über den Startwerten liegen,
nicht den freien Feldradius r0 (siehe Abb. 3.9) überschreiten. Die Maximalamplitude einer Ionenﬂugbahn ergibt sich aus der Bewegungsgleichung (3.14) zu:
∞
2
2
|c2s,u |
|umax | = A + B ·
mit
u = x, y
.
(3.40)
s=−∞
Die Koeﬃzienten A (ξ0 , u0 , u̇0 ) und B (ξ0 , u0 , u̇0 ) sind durch die Anfangsbedingungen vorgegeben
und können aus dem Fundamentalsystem
u (ξ0 ) = A · uI (ξ0 ) + B · uII (ξ0 )
(3.41)
u̇ (ξ0 ) = A · u̇I (ξ0 ) + B · u̇II (ξ0 )
berechnet werden. Für den Betrag der maximalen Schwingungsamplitude folgt:
|umax | =
∞
1
·
|c2s,u | ·
− u̇I · uII s=−∞
uI · u̇II
[u0 · u̇II (ξ0 ) − u̇0 · uII (ξ0 )]2 + [u̇0 · uI (ξ0 ) − u0 · u̇I (ξ0 )]2
.
(3.42)
Trägt man die zu einer festen Phase ξ0 gehörigen Orts/Geschwindigkeits-(u0 , u̇0 )-Paare in
ein Phasenraum-Diagramm ein, so erhält man eine Kollektion von Akzeptanzellipsen
[Daws1995, Mars1998]. In Abb. 3.12 sind einige ausgewählte Akzeptanzellipsen für au = 0
und βu = 0.2, 0.5, 0.8 dargestellt. Normiert auf den freien Feldradius umax = const. = r0 des
38
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Abb. 3.12: Phasenraum-Akzeptanzellipsen für verschiedene Punkte βu im Stabilitätsdreieck.
Die Eintrittsphasen sind: (a) ξ0 = 0 (b) ξ0 = π/4 (c) ξ0 = π/2 (d) ξ0 = 3π/4.
Quadrupols beschreiben diese den kompletten Satz an Anfangsparametern, die zu einer Transmission des Ions bei der entsprechenden Phase des Wechselfeldes führen. Im Falle der ,,rf-only”
betriebenen linearen Paulfalle (U = 0) sind die x- und y-Ionenbewegungen und demzufolge auch
die resultierenden Akzeptanzellipsen identisch. Dies gilt nicht für au = 0 bzw. U = 0. Maximale
Transmission der erwünschten Masse wird nur dann erreicht, wenn das Phasenraumvolumen
des (im Ionisationsprozess) erzeugten Ionenensembles innerhalb der dunkelgrau schraﬃerten
Flächen liegt. Denn nur in diesem Bereich ist gewährleistet, dass die (umax , u̇max )-Paare für alle
Einschussphasen kleiner als die gegebenen Randbedingungen bleiben.
Eine weitere Limitierung realer Quadrupole bzw. linearer Paulfallen gegenüber dem idealisierten Fall ist die endliche Länge der Stäbe. Um eine vollständige Massenselektion zu erreichen,
müssen alle Ionen falscher Masse eine genügend starke transversale Beschleunigung erfahren und
zudem lange genug im Feld verweilen. Wolfgang Paul veröﬀentlichte in seiner Arbeit von 1958
[Paul1958] eine einfache Beziehung zwischen dem maximalen Auﬂösungsvermögen max und
der Anzahl an Hochfrequenzperioden N , die das Ion während des Durchquerens des Massenﬁlters
ausführt:
(3.43)
max = m/Δm ≈ N 2 /12.25 .
Δm gibt die Halbwertsbreite (FWHM) des Massenpeaks m an. Diese Abschätzung ist gültig
für vernünftige Transmissionswerte und wurde in einer Reihe von weiteren Arbeiten bestätigt
(siehe z.B. [Daws1995, Blau1998b]). Sie basiert auf der Tatsache, dass bei hoher Auﬂösung die
Arbeitsgerade nahe der Spitze des Stabilitätsdreiecks verläuft. In diesem Fall erfolgt gemäß Kap.
3.1.2.4 die Mikroschwingung des Ions in dery-Richtung nahezu synchron zur Hochfrequenz ν
des Wechselfeldes und es gilt: N = νt ≈ νL m/2E. Die Anzahl an RF-Zyklen kann demnach
durch Verringerung der axialen Geschwindigkeit des Ions, durch Erhöhung von ν und/oder
durch Vergrößerung der Stablänge des Massenﬁlters L erhöht werden. Bei einer vorgegebenen
Auﬂösung max liefert dies eine obere Grenze für die maximal erlaubte axiale Ionenenergie Emax :
2
mamu /Emax,eV .
max ≈ 0.0426L2cm νMHz
(3.44)
Für ein System mit L = 21 cm und ν = 2.9 MHz wäre beispielsweise zum Erreichen einer
Auﬂösung max > 1000 bei einer Massenzahl m = 40 amu eine Ionenenergie Emax < 6 eV
Voraussetzung. Wird der Massenﬁlter im Bereich niedriger Auﬂösung eingesetzt, so bestimmen
die experimentellen Parameter U und V die Auﬂösung, und man kann näherungsweise Gl.
(3.18) des idealen unendlich langen Quadrupol-Massenﬁlters verwenden.
3.1. DIE PAULFALLE
3.1.4.3
39
Transmissionspeakformen des Quadrupol-Massenﬁlters
In diesem Abschnitt sollen die Auswirkungen der vorgenannten Abweichungen auf die allgemeine
Form eines Massenpeaks beschrieben werden, wie es in Abb. 3.13 skizziert ist [Blau2000a]. Der
durch die Steigung der Arbeitsgeraden vorgegebene Bereich Δqu , der zur stabilen Transmission führt, ist in Abb. 3.13(A) dargestellt. Der ideale Massenﬁlter sollte einen rechteckförmigen
Massenpeak liefern (Abb. 3.13(B)). Wie diskutiert, führt die endliche transversale Ausdehnung
des realen Quadrupols zu einem Verlust von Ionen auf an sich stabilen Bahnen, wenn deren
Startparameter nicht in der Akzeptanzellipse des Massenﬁlters liegen. Das Akzeptanzvolumen
nimmt nahe der Grenzen des Stabilitätsdreiecks stark ab, und man erhält einen Massenpeak
(A)
e
gerad
s
t
i
e
Arb
(B)
(C)
(D)
Abb. 3.13: Entwicklung der realen Massenpeakformen. Gezeigt sind die Spitze des ersten Stabilitätsbereiches (A), die erwarteten Peakformen für ein ideales unendliches Feld (B), für ein
transversal limitiertes Feld (C) sowie für ein endliches Feld limitiert in transversaler und longitudinaler Dimension (D).
40
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
mit Rundungen. Dies rührt daher, dass Ionen mit (au , qu )-Werten nahe den Stabilitätsgrenzen
deutlich größere Maximalamplituden besitzen als in der Mitte des stabilen Bereiches und
demzufolge ein Teil der Ionen trotz stabiler Flugbahnen aufgrund des limitierten freien Feldradius r0 von den Stäben weggefangen werden. Wegen der unterschiedlichen x- und ySchwingungsbewegung (siehe Abb. 3.5) ist dieser Eﬀekt zur größeren Massenseite hin ausgeprägter. Folglich wird der ﬂache Transmissionspeak asymmetrisch rund mit einer leichten
Verschiebung des Peakmaximums zur kleineren Massenseite hin, wie in Abb. 3.13(C) verdeutlicht. Aufgrund seiner endlichen Länge besitzt ein realer Quadrupol ein zwar kleines, aber
endliches Akzeptanzvolumen für Ionen falscher Masse. Dies führt dazu, dass Ionen auf instabilen Flugbahnen den Quadrupol passieren können, wenn ihre Startparameter innerhalb dieser
Akzeptanzellipse liegen. Daraus resultieren gemäß Abb. 3.13(D) Ausläufer an den Massenpeaks, die zur kleineren Massenseite hin stärker sind (wiederum aufgrund der unterschiedlichen
x-y-Bewegungsklassen). Die Peakform wird darüberhinaus durch Randfelder am Massenﬁltereintritt und -austritt [Brub1968, Daws1971, Hunt1989, McIn1989] sowie durch die in Kap.
3.1.4.1 hergeleiteten nichtlinearen Resonanzen verändert. Letztere bewirken zusätzliche schmale
Strukturen auf den Massenpeaks. Die exakten Lagen der möglichen nichtlinearen Resonanzen
können durch die Multipolentwicklung der Quadrupol-Feldverteilung (3.35) bzw. durch Abb.
3.11 vorhergesagt werden. Für die Massenanalyse sind insbesondere die Resonanzlinien, die
durch die Spitze des Stabilitätsdreiecks hindurchgehen, von größerer Bedeutung. Denn nur
diese werden bei hohem Massenauﬂösungsvermögen von der Arbeitsgeraden au /qu = 2U/V
geschnitten. Sie führen zu Unsicherheiten in der Transmission und somit zu Ionenverlusten.
3.1.5
Die reale dreidimensionale Paulfalle
In der experimentellen Wirklichkeit treten einige Abweichungen vom idealen Verhalten von
dreidimensionalen Paulfallen auf. Es gibt eine Reihe von Eﬀekten, die dazu führen, dass die
Potentiale nicht mehr die exakte Form haben, was teilweise erhebliche Auswirkungen auf Speicherdauer, Laserkühlen etc. hat. Eine recht detailierte Untersuchung (sowohl theoretisch als
auch experimentell) ﬁndet sich für die klassische Paulfalle bei [Ghos1995, Majo2004]. Diese Effekte wurden bereits für die lineare Paulfalle behandelt und sollen hier nur qualitativ diskutiert
werden.
Störungen des idealen Quadrupolpotentials werden u.a. verursacht durch:
- Justageungenauigkeiten beim Zusammenbau der Falle sowie die technische Unmöglichkeit,
unendlich ausgedehnte hyperbolische Elektroden zu bauen. In der Praxis verwendet man runde
Stangen, da diese exakter gefertigt werden können und das Potential in der Nähe der Fallenachse
dennoch gut als Quadrupolpotential angenommen werden kann.
- Kontaktpotentiale durch Ablagerungen auf den Kupferelektroden, verursacht vom Ofen
beim Erzeugen der Ionen. Die dadurch entstehenden statischen Dipolfelder führen zu einer
verschobenen Gleichgewichtslage der Ionen außerhalb der Fallenmitte. Somit sind die Ionen
dem Führungsfeld ausgesetzt, was in einer erhöhten Mikrobewegung resultiert. Der Dopplereﬀekt 1. und 2. Ordnung wird so größer und die Aufheizung durch Restgasstöße nimmt zu.
- die Raumladung größerer Ionenwolken: die Ionen beeinﬂussen durch ihre Ladungsverteilung
das Pseudopotential. Der sich daraus ergebende Abschirmeﬀekt führt zu einer Verschiebung der
realen gegenüber den theoretischen Speicherparameter.
Aufgrund von Abweichungen vom idealen Quadrupolfeld treten auch innerhalb des stabilen
Bereichs Instabilitäten auf. Diese werden dadurch ausgelöst, daß die aufgelisteten Störungen
zu höheren Multipolkomponenten des Potentials führen, und bei bestimmten Verhältnissen der
Säkularfrequenzen ein Energietransfer von der einen in die andere Bewegungsrichtung stattﬁnden kann. Dies führt zu einer Aufweitung der Teilchenbahn und dadurch zum Verlust der
3.1. DIE PAULFALLE
41
Ionen. Diese sogenannten nichtlinearen Resonanzen treten entlang bestimmter Linien im
Stabilitätsdiagramm auf. Weitere Folgen sind, daß die Säkularfrequenzen ortsabhängig werden (d.h. eine Bahnamplitudenänderung entspricht einer eﬀektiven Änderung der Speicherparameter) und die Entkopplung der Bewegungen in axialer und radialer Richtung nicht mehr
streng gilt. Die theoretischen Instabilitätslinien bzw. nichtlinearen Resonanzen im ersten
Stabilitätsbereich der Paulfalle sind für die Störungen der Ordnung n = 3 bis n = 8 in
Abb. 3.14 dargestellt. Die Ergebnisse der entsprechenden experimentellen Untersuchungen zeigt
Abb. 3.15 [Alhe1996b, Alhe1997b].
Abb. 3.14: Theoretische Instabilitätslinien bzw. nichtlinearen Resonanzen im ersten Stabilitätsbereich der Paulfalle für Störungen der Ordnung n = 3 bis n = 8.
Eine sorgfältige Justage beim Bau der Falle, sowie ein Ausgleichen von Kontaktpotentialen
42
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
durch zusätzlich an einzelne Elektroden angelegte Korrekturspannungen und die Wahl eines
stabilen Arbeitspunkts sind die dem Experimentator zur Verfügung stehenden Maßnahmen. In
einzelnen Fällen, wie z.B. zur Isotopentrennung [Alhe1996], kann eine Anregung der Ionen durch
zusätzlich angelegte Multipolfelder oder durch gezieltes Ausnutzen der Instabilitäten durchaus
erwünscht sein.
Abb. 3.15: Experimentelle Instabilitätslinien bzw. nichtlinearen Resonanzen im ersten Stabilitätsbereich einer realen Paulfalle mit gespeicherten H+
2 Ionen. Die Instabilitätslinien sind
gemäß Abb. 3.14 zugeordnet, wobei Ω/2π auf 1 normiert wurde. Die Intensität der Grauschattierung ist proportional zur Anzahl der gespeicherten Ionen.
3.2. DIE PENNINGFALLE
3.2
43
Die Penningfalle
Dieser Abschnitt behandelt die theoretischen Grundlagen zur Speicherung eines geladenen
Teilchens in einer Penningfalle. Abweichungen von den idealen Speicherbedingungen durch die
Speicherfelder selbst, sowie durch die Anwesenheit von mehreren Ionensorten werden betrachtet.
Die notwendigen Schritte zur geeigneten Präparation und Anregung der gespeicherten Ionen werden aufgezeigt. Eine ausführliche Beschreibung des Systems eines geladenen Teilchens in einer
Penningfalle beﬁndet sich in dem Übersichtsartikel von L.S. Brown und G. Gabrielse [Brow1986]
sowie in G. Bollen [Boll1990] und K. Blaum [Blau2006] im Hinblick auf Massenbestimmungen.
In diesem Kapitel sind die wesentlichen Merkmale kurz aufgezeigt.
3.2.1
Kurze Historie
Aus dem Gauß’schen Gesetz folgt, dass ein elektrostatisches Feld allein ein geladenes Teilchen
nicht gleichzeitig in allen drei Raumrichtungen einschließen kann. Durch Überlagerung eines
elektrischen 3D-Multipolfeldes mit einem magnetischen Dipolfeld ist es allerdings möglich. Dabei
verhindert das in z-Richtung anliegende Magnetfeld das Ausbrechen des Ions in radialer Richtung, während das elektrische Feld für den axialen Einschluss sorgt. Die erste experimentelle Verwirklichung dieser Idee gelang Frans Michel Penning in den 1930er Jahren. Hans Dehmelt realisierte 1959 ein elektrisches Quadrupolfeld durch das Anlegen einer einfachen Gleichspannung an
Elektroden, deren Form sich den hyperbolischen Äquipotentialﬂächen des 3D-Quadropolfeldes
annähert. Diese Geometrie wird bis heute für Präzisions-Penningfallen verwendet.
3.2.2
Die ideale Penningfalle
Die dreidimensionale Speicherung eines geladenen Teilchens in einer Penningfalle beruht auf
seiner Bewegung im elektromagnetischen Feld. Beﬁndet sich ein Teilchen der Ladung q und der
Masse m in einem starken, homogenen Magnetfeld B, das in z–Richtung zeigt, so bewegt es sich
mit der Zyklotronfrequenz
q
(3.45)
ωc = B
m
auf Kreisbahnen um die magnetischen Feldlinien und ist somit in radialer Richtung gebunden.
Eine Speicherung in allen Raumrichtungen erhält man durch die zusätzliche Überlagerung eines
schwachen, elektrostatischen Quadrupolpotentials der Form
1 2
V0
2
(3.46)
V (z, ρ) = 2 z − ρ ,
2d
2
gegeben in zylindrischen Koordinaten.
Ein solches Potential kann durch eine Elektrodengeometrie von drei Rotationshyperboloiden
erreicht werden, deren Oberﬂächen den Äquipotentialﬂächen identisch sind. Abbildung 3.16 (a)
zeigt die geometrische Anordnung einer hyperbolischen Penningfalle, bestehend aus einer
geschlossenen Ringelektrode und den beiden Endkappen. Mit anderen Käﬁgformen, wie z.B.
der zylindrischen Falle in Abb. 3.16 (b) mit oﬀenen Zylinderelementen als Elektroden, lässt sich
ebenso ein speicherndes Potential in axialer Richtung erzeugen. V0 ist die angelegte Fallenspannung entsprechender Polarität zwischen der Ringelektrode und den beiden Endelektroden mit
dem jeweiligen Minimalabstand ρ0 bzw. z0 zum Fallenzentrum. Die Größe
1
ρ20
2
2
z +
(3.47)
d =
2 0
2
ist ein Maß für die Dimension der Falle.
44
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Löst man die Bewegungsgleichungen [Brow1986] für alle Raumkoordinaten,
,
und
mρ
¨ = q Eρ + ρ
˙ × B
mz̈ = qEz
mit den elektrischen Feldstärken
V0
Ez = − 2 z
d
und
Eρ =
V0
2d2
(3.48)
ρ
,
(3.49)
so erhält man als resultierende Bewegung die Überlagerung dreier entkoppelter Schwingungen
(siehe Abb. 3.17) mit den charakteristischen Eigenfrequenzen
(a)
(b)
B
z
B
z
z0
V0
r
0
r
V0
r
Abb. 3.16: Penningfalle mit hyperbolischen (a) und zylindrischen (b) Elektroden. Das Magnetfeld ist jeweils entlang der Fallenachse gerichtet. Zur Speicherung wird zwischen der Ringelektrode und den Endkappen die Fallenspannung V0 entsprechender Polarität angelegt.
ωz =
qV0
md2
und
ωc
ω± =
±
2
ωc2 ωz2
−
.
4
2
(3.50)
Die harmonische, axiale Schwingung mit der Frequenz ωz ist von der angelegten Fallenspannung
V0 und den Geometrieparameter d abhängig. Die Bewegung in der Radialebene besteht aus den
beiden überlagerten Kreisbewegungen mit einer schnellen reduzierten Zyklotronfrequenz ω+ und
einer langsamen Magnetronfrequenz ω− . Eine Reihenentwicklung der radialen Eigenfrequenzen
liefert die folgende Beziehungen:
V0
(3.51)
ω− ≈ 2
2d B
und
V0
(3.52)
ω+ ≈ ω c − 2 ,
2d B
für die radialen Eigenfrequenzen. Dies zeigt, dass die Magnetronfrequenz in erster Näherung
unabhängig von der Masse des gespeicherten Teilchens ist. Zwischen allen Eigenfrequenzen
3.2. DIE PENNINGFALLE
45
b
a
Endkappe
B
c
Magnetronbewegung (ν-)
z
r
Ringelektrode
rr+
V=
Modifizierte Zyklotronbewegung (ν+)
Axiale Bewegung (νz)
Abb. 3.17: Schematische Darstellung der drei idealerweise unabhängigen Eigenbewegungen eines
gespeicherten Teilchens in einer Penningfalle (a): Eine harmonische Schwingung im speichernden
elektrischen Potential in axialer Richtung (ωz ), sowie die Überlagerung einer schnellen Kreisbewegung mit der reduzierten Zyklotronfrequenz (ω+ ) und der langsamen Magnetronbewegung
(ω− ) in der Radialebene (b). Die Amplituden der Gesamtionenbewegung (c) liegt zur Vermeidung von Feldfehlern idealerweise unter einem Millimeter.
gelten die Relationen:
ωc = ω + + ω − ,
ωc2
=
2
ω+
+
2
ω−
+
ωz2 ,
(3.53)
(3.54)
ω− < ωz < ω+ ,
(3.55)
2ω+ ω− = ωz2 .
(3.56)
Einige Beispiele zur Ionenbewegung in der Penningfalle sind in den Abbildungen 3.18 und 3.19
zusammengefasst. Radiale Trajektorienprojektionen sind in Abb. 3.18 dargestellt, dreidimensionale Trajektorien zeigt Abb. 3.19.
Zur Bestimmung der Masse eines gespeicherten Teilchens ergibt sich zum einen die
Möglichkeit die freie Zyklotronfrequenz (3.45) direkt über einen Flugzeitnachweis zu messen,
wie später noch beschrieben wird. Zum anderen kann die Masse über die individuelle
Beobachtung der Eigenschwingungen (3.54) durch Detektion des inﬂuenzierten Signals in den
Fallenelektroden ermittelt werden. Diese Methode wurde bereits in Kapitel 2 vorgestellt.
Als Beispiel sind in Tabelle 3.1 typische Werte der Eigenfrequenzen für eine hyperbolische
Penningfalle aufgelistet. Die Fallendimensionen sind durch den Radius ρ0 = 6,38 mm und
den einfachen Abstand zur Endkappe z0 = 5,5 mm gegeben. Die Speicherparameter betragen
B = 7 T für das Magnetfeld und V0 = 10 V als typische Fallenspannung. Betrachtet werden
Ionen der Massen A = 1 u, A = 133 u, A = 197 u und A = 250 u.
3.2.3
Die reale Penningfalle
Abweichungen von der zuvor beschriebenen idealen Penningfalle mit harmonischem Speicherpotential, wie z.B. mögliche Inhomogenitäten und eine Dejustage der Achse des Magnetfeldes,
ergeben für die gespeicherten Teilchen eine Frequenzabhängigkeit von den Bewegungsamplituden
und eine mögliche Kopplung der einzelnen Eigenbewegungen. Dies schränkt die Präzision einer
Messung der Schwingungsfrequenzen ein. Zudem modiﬁziert sich mit zunehmender Anzahl von
geladenen Teilchen in der Falle die Tiefe des Speicherpotentials und einzelne Ionen tasten mit
ihren unterschiedlichen Bewegungsamplituden verschiedene Speicherfelder ab, was insgesamt zu
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
1
1
0.5
0.5
y / x0
y / x0
46
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1 -0.50 0.5 1
(b)
x / x0
1
0.5
0.5
0
-0.5
-1
(c)
-1 -0.50 0.5 1
x / x0
1
y / x0
y / x0
(a)
-1
0
-0.5
-1
-1 -0.50 0.5 1
-1 -0.50 0.5 1
(d)
x / x0
x / x0
Abb. 3.18: Einige radiale Projektionen von Ionenbewegungen mit r− = 2, 5r+ . Periodische
Bahnen für√(a) ω+ /ω− = 2; (b) ω+ /ω− = 8; (c) ω+ /ω− = 9/2; (d) quasiperiodische Bahn für
ω+ /ω− = 2 17.
einer Verbreiterung und Verschiebung des Resonanzschwerpunkts einer Frequenzmessung führen
kann. Die genannten Aspekte werden im Folgenden diskutiert.
3.2.3.1
Elektrische Feldfehler
Die Harmonizität des elektrischen Potentials ist gestört durch die nur endliche Ausdehnung der
Elektrodenoberﬂächen, die Bohrungen in den Endkappen der Falle zum Einfang und Ausschuss
der Ionen, die Segmentierung der Ring- und der Endkappenelektroden zum Einkoppeln des
Anregungssignals und zur Detektion des Ionenstromes, sowie durch mechanische Fertigungstoleranzen und Ungenauigkeiten beim Zusammenbau der Fallenelektroden. Das reale Speicherpotential lässt sich für Bewegungsamplituden ρ in der Nähe der Fallenmitte (ρ ρ0 ) durch eine
Entwicklung nach Legendrepolynomen angeben
ρ k
1 V = Videal + V0
Ck
Pk (cos θ) .
2
d
∞
(3.57)
k=0
Wegen der Symmetrie unter der Transformation von z → −z, verschwinden die ungeraden
Ordnungen in k. Der Term mit k = 2 verändert die Stärke des Quadrupolpotentials und führt
zu einer Modiﬁkation von ωz zu
qV0
(1 + C2 )
(3.58)
ωz2 =
md2
3.2. DIE PENNINGFALLE
47
1
z/ x0 0
-1
-5
(a)
5
0
0
x/ x0
0
5 -5
y/ x0
1
z/ x0 0
-1
-5
(b)
5
0 y/ x
0
0
x/ x0 0
5 -5
Abb. 3.19: Trajektorien in drei Dimensionen mit den Startbedingungen r− = 50r
√ + , rz = 0, 2r+ .
(a) Periodische Bahn für ω+ /ωz = 6; (b) quasiperiodische Bahn für ω+ /ωz = 35.
und damit auch zur Verschiebung von ω+ und ω− mit jeweils entgegengesetztem Vorzeichen.
Die Summenfrequnz ωc bleibt unverändert. Terme höherer Ordnung (k ≥ 4) führen jedoch zu
unerwünschten Frequenzverschiebungen, da diese von den Bewegungsamplituden der gespeicherten Teilchen abhängen. Zusätzliche Elektroden zwischen der Ringelektrode und den Endkappen,
bzw. an die Endkappe anschließend, ermöglichen das Anlegen einer Korrekturspannung, die anharmonische Anteile des Potentialverlaufs kompensieren soll.
3.2.3.2
Magnetische Feldfehler
Neben Einﬂüssen aufgrund von Inhomogenitäten des supraleitenden Magneten führt das starke,
homogene Magnetfeld B0 zu einer Magnetisierung der in den Magneten eingebrachten Materialien der Ionenfallenapparatur und damit je nach Größe und Betrag ihrer magnetischen Suszeptibilität zu lokalen Veränderungen in der Feldstärke und in den Eigenfrequenzen. Die linearen Beiträge zur Magnetfeldänderung werden durch die Ionenbewegung weggemittelt. Terme
der nächsthöheren Ordnung, durch einen quadratischen Oﬀset ΔB(β2 ) zum magnetischen Feld
beschrieben:
ΔB
= β2 z 2 − ρ2 /2 · z − z · ρ ,
(3.59)
B0
ergeben analog zum Fall der elektrischen Feldfehler eine Frequenzverschiebung, die von der
Größe der Bewegungsamplituden abhängt:
ρ2−
ρ2+
Δωc
ωc
ωc
2
−
.
(3.60)
1−
1+
= β2 (z −
ωc
4
ω+ − ω−
4
ω+ − ω−
3.2.3.3
Asymmetrie der Fallengeometrie und Fehljustage
Eine Verkippung der Magnetfeldachse relativ zur Symmetrieachse der Fallenelektroden und
somit zur Achse des elektrischen Potentials, sowie die Abweichung des Quadrupolpotentials
von einer perfekten Zylindersymmetrie können allgemein durch
1
1
1
(3.61)
V = mωz2 z 2 − (x2 + y 2 ) − ε (x2 − y 2 )
2
2
2
beschrieben werden, wobei zusätzlich zum Quadrupolpotential (3.46) die quadratischen
Änderungen durch den Asymmetrieparameter ε modelliert werden. Die Komponenten des
48
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Tabelle 3.1: Eigenfrequenzen νi = ωi /2π von einfach geladenen Ionen
in einer hyperbolischen Penningfalle mit den Betriebsparametern ρ0 =
6,38 mm, z0 = 5,5 mm, V0 = 10 V und B = 7 T für Ionensorten
verschiedener Masse.
A/u
1
133
197
250
ν+
107,6 MHz
804,7 kHz
541,8 kHz
426,0 kHz
νz
982,8 kHz
85,22 kHz
70,02 kHz
62,16 kHz
ν−
4,487 kHz
4,512 kHz
4,525 kHz
4,535 kHz
magnetischen Feldes, das um die Winkel θ und φ verkippt ist, schreiben sich zu
Bx = B sinθ cosφ,
(3.62)
By = B sinθ sinφ,
(3.63)
Bz = B cosθ.
(3.64)
Als wichtigstes Resultat des so gewonnenen Gleichungssystems folgt eine Invarianzbeziehung
zwischen den Eigenfrequenzen ωi einer nicht vollkommenen Penningfalle analog zu Gl. (3.54)
ω 2c = ω 2+ + ω 2− + ω 2z ,
(3.65)
die dazu dienen kann, die Justage des Magnetfeldes zu überprüfen.
3.2.3.4
Einﬂuss von gespeicherten Ionen anderer Massen
Werden im Verlauf einer Frequenzmessung mehrere Ionen unterschiedlicher Masse gleichzeitig in
der Penningfalle gespeichert, so können die kontaminierenden Ionen einen Einﬂuss auf die Lage
der Linienmitte der zu untersuchenden Ionensorte haben. Diese Verunreinigungen sind durch
den Produktionsprozess der Ionen vorgegeben. Beispielsweise handelt es sich an ISOLTRAP
im Wesentlichen um weitere Isobare oder isomere Zustände eines Nuklids. Die Ergebnisse systematischer Untersuchungen mit 10 bis 30 gespeicherten Ionen, sowie einer Simulation zweier
Ionen verschiedener Masse unter Einﬂuss der Coulombwechselwirkung sind in [Köni1991] und
[Boll1992a] diskutiert. Haben die Ionen die gleiche Masse, so werden beide gleichermaßen mit
einem Radiofrequenzfeld angeregt und damit keine Frequenzverschiebung beobachtet. Bei unterschiedlichen Massen hängt das Vorzeichen der Frequenzverschiebung vom Unterschied beider Resonanzfrequenzen relativ zu deren Linienbreiten (FWHM) ab. Sind die Frequenzen beider Ionensorten innerhalb ihrer Linienbreiten nicht zu trennen, so wird eine Resonanzkurve
beobachtet, die schmäler ist als die Überlagerung beider Einzelresonanzen und beide Frequenzen verschieben sich in Richtung des gemeinsamen Schwerpunktes. Ist der Unterschied beider
3.2. DIE PENNINGFALLE
49
Ionenmassen so groß, dass deren Resonanzkurven einzeln aufzulösen sind, so beobachtet man eine
Verschiebung beider Resonanzen zu niedrigeren Frequenzen hin. Der Betrag der Verschiebung
ist in beiden Fällen von der Anzahl der gespeicherten Ionen abhängig.
3.2.4
Anregung der Ionenbewegung
Jede der drei idealerweise voneinander entkoppelten Eigenbewegungen eines gespeicherten Ions
stellt für sich gesehen einen frequenzscharfen harmonischen Oszillator dar, dem durch die
resonante Einstrahlung eines elektrischen Wechselfeldes von außen Energie zugeführt werden
kann. Abbildung 3.20 zeigt die Energieniveaus der einzelnen Eigenschwingungen, die sich zur
Abb. 3.20: Energiediagramm von harmonischen Oszillatorniveaus eines spinlosen Teilchens gespeichert in einer idealen Penningfalle (siehe Abb. 3.17). Dabei bezeichnet ω+ die reduzierte
Zyklotronfrequenz, ωz die axiale Frequenz und ω− die Magnetronfrequenz.
Gesamtenergie des gespeicherten Teilchens addieren. Die Besonderheit der Magnetronbewegung
ist, dass sie hauptsächlich durch ihren negativen Anteil an potentieller Energie bestimmt wird.
Ein Erhöhen der Quantenzahl n− bzw. ein Vergrößern des Magnetronradius bedeutet in diesem
Fall einen Verlust an potentieller Energie. Die resonante Dipolanregung kann allgemein dazu
dienen, einzelne Eigenfrequenzen genau zu bestimmen. Eine Quadrupolanregung bei einer Summenfrequenz νi +νj führt zu einer Kopplung der beiden Bewegungen i und j mit einem Übergang
zwischen den einzelnen Niveauschemata. Da die Eigenfrequenzen zum Teil massenabhängig sind
(Gl. (3.45), Gl. (3.50)), lassen sich somit gespeicherte Ionenwolken manipulieren bzw. einzelne
Ionenspezies nach ihrer Masse selektieren. Eine quantenmechanische Betrachtung der Bewegung
eines gespeicherten Ions in der Penningfalle erfolgt in den Übungen.
3.2.4.1
Dipolanregung
Eine Dipolanregung bei einer bestimmten Eigenfrequenz wird im Experiment angewendet, wenn
die einzelne Eigenbewegung einer Ionensorte manipuliert werden soll. Dies kann dazu dienen, die
50
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Bewegungsamplitude bewusst zu vergrößern, oder um schließlich unerwünschte, kontaminierende
Ionensorten aus der Falle zu entfernen. Zuvor muss die Eigenfrequenz über die resonante Anregung bestimmt werden. Sie kann beispielsweise durch eine Minimierung der Ionenzählrate nach
dem Ausschuss aus der Penningfalle erkannt werden. Das Einstrahlen eines Dipolfeldes Ex für
die radiale x–Komponente
Ud
· cos (ωrf t − φrf ) · x̂
(3.66)
Ex =
a
geschieht über eine Wechselspannung der Amplitude Ud beim Radius a und der Frequenz ωrf .
−Uq
(a)
(b)
r
+Ud
r0
−Ud
r
r0
+Uq
+Uq
−Uq
Abb. 3.21: Radiale Segmentierung der Ringelektrode zur Einstrahlung eines elektromagnetischen
Wechselfeldes. (a) Das Einstrahlen einer Radiofrequenz an zwei gegenüberliegenden Ringsegmenten führt zu einem Dipolfeld. (b) Ein Quadrupolfeld lässt sich durch eine Anregung zwischen
den jeweils gegenüberliegenden Segmenten eines viergeteilten Ringes erzeugen.
Sie wird an zwei gegenüberliegenden Ringsegmenten der Falle (siehe Abb. 3.21 (a)) angelegt.
Wird die Wechselspannung über die Endkappen eingestrahlt, so wirkt sie auf die axiale
Bewegung. Bei geeigneter Phasenbeziehung zwischen Ionenbewegung φion und anregendem Feld
φrf erhält man ein Anwachsen der Bewegungsamplitude, die der Dauer der Anregung Trf und
der Anregungsamplitude Ed proportional ist.
3.2.4.2
Quadrupolanregung
Die Quadrupolanregung bei der Summe von einzelnen Eigenfrequenzen kann zur Kopplung von
Eigenbewegungen sowie zur Frequenzbestimmung genutzt werden. Möchte man z.B. zusammengesetzte Frequenzen messen, wie die zur Massenbestimmmung verwendete reine Zyklotronfrequenz ωc = ω+ + ω− (3.53), so erfolgt die Anregung über ein azimutales Quadrupolfeld
mit der Frequenz ωrf , das an den jeweils gegenüberliegenden Segmenten der vierfach geteilten
Ringelektrode eingestrahlt wird (siehe Abb. 3.21 (b)):
2Uq
Ex = 2 · cos (ωrf t − φrf ) · yx̂ ,
a
(3.67)
2Uq
Ey = 2 · cos (ωrf t − φrf ) · xŷ .
(3.68)
a
Dies bewirkt eine Kopplung der beiden Radialbewegungen, die im Resonanzfall ωrf = ωc zu einer
vollständigen periodischen Konversion zwischen den beiden Bewegungsradien ρ+ und ρ− führt
3.2. DIE PENNINGFALLE
51
[Köni1995a, Köni1995b]. Abbildung 3.22 zeigt die berechnete Entwicklung der Bewegungsradien
einer vollständigen Konversion einer anfangs reinen Magnetronbewegung in eine reine reduzierte
Zyklotronbewegung. Die radiale kinetische Energie (ohne Dämpfung) Erad ändert sich wegen
Erad,i ∼ ρi 2 · ωi 2 ebenfalls periodisch mit T = 2 Tconv , wobei
Tconv = π ·
m a2
a2
·
(ω+ − ω− ) ≈ π
B.
q 2Uq
2Uq
(3.69)
Mit ω+ ω− und somit (ω+ − ω− ) ≈ ωc ist die notwendige Anregungsdauer Trf in erster
Näherung nur durch das Magnetfeld B und die eingestrahlte Amplitude Uq bestimmt.
(a)
(b)
Abb. 3.22: Konversion einer reinen Magnetronbewegung in eine reine Zyklotronbewegung aufgrund der Anregung durch ein azimutales Quadrupolfeld der Zyklotronfrequenz ωc = ω+ + ω− .
Teil (a) und (b) zeigen die erste und die zweite Hälfte der Konversion. Die durchgezogene
Kreislinie in (a) deutet den Startradius der Magnetronbewegung an (aus [Boll1990]).
52
3.3
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
Kühlung von geladenen Teilchen
Ganz allgemein bedeutet Kühlung die Erhöhung der Phasenraumdichte eines Atom- bzw. Ionenstrahls, d.h. die gleichzeitige Reduzierung der räumlichen Ausdehnung und der Winkeldivergenz (transversaler Impuls) des Teilchenstrahls und somit eine Reduzierung der Strahldivergenz. Dies verletzt das Theorem nach Liouville, das besagt, dass für eine gegebene Engergie
(Geschwindigkeit) die Strahlemittanz [mm · mrad], d.h. das Produkt aus Strahlgröße und
Winkeldivergenz, konstant sein muss, sofern ausschließlich konservative Käfte wirken. Abbildung 3.23 verdeutlicht das Theorem nach Liouville. Die Lösung besteht darin äußere Wechselwirkungen ins Spiel zu bringen, wie z.B. mit Elektronen bei der Elektronenkühlung, Atome bei
der Puﬀergaskühlung oder Photonen bei der Laserkühlung.
A = πε
!
= const.
divergence p
size x
divergence p
size x
Abb. 3.23: Veranschaulichung des Theorems nach Liouville. Die Emittanz, d.h. das Produkt
aus Strahlgröße x und Winkeldivergenz (transversaler Impuls) p ist konstant.
In der Paul- bzw. Penningfalle bedeutet ein Kühlen der Ionenbewegung eine Reduzierung
der Bewegungsamplituden bzw. im quantenmechanischen Bild eine Verminderung der Quantenzahlen der Bewegungsmoden und somit auch eine Verminderung von Einﬂüssen elektrischer und
magnetischer Feldfehler (siehe Kap. 3.1.5 und 3.2.3) auf die Eigenfrequenzen. Zusätzlich ist der
Transfer eines gekühltes Ionenensembles durch die resultierende, geringere zeitliche Verteilung
erleichtert. Für die Kühlung von Ionenensembles sind mehrere Verfahren bekannt, sechs davon
sollen im Folgenden vorgestellt werden.
3.3.1
Puﬀergaskühlen
Unter Anwesenheit eines leichten Puﬀergases verlieren die Ionen der Masse m mit der
Geschwindigkeit v durch mehrfache Stöße mit den Gasmolekülen an kinetischer Energie. Dies
wird durch eine geschwindigkeitabhängige Dämpfungskraft
F = −δ · m · v ,
(3.70)
mit dem Dämpfungskoeﬃzienten
δ=
q
1
p/pN
·
·
m Mion T /TN
(3.71)
beschrieben, wobei Druck p und Temperatur T des Gases in Einheiten von Normaldruck und
Normaltemperatur gegeben sind. Mion stellt die reduzierte Mobilität der Ionen im Gas dar.
3.3. KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
53
Dies führt für die axiale und die reduzierte Zyklotronbewegung – die beide von der Ionenmasse abhängig sind – zu einer Reduzierung der Amplituden, während sich der Magnetronradius aufweitet [Sava1991, Köni1995a]. Ein Verlust der Ionen kann durch eine Ankopplung der
Magnetronbewegung an eine der beiden anderen Eigenbewegungen verhindert werden. Wie
in Kap. 3.2.4 beschrieben, bewirkt die zusätzliche Quadrupolanregung bei dem Seitenband
ω+ + ω− = ωc eine starke Kopplung der beiden Radialbewegungen. Da ω+ ω− wird die reduzierte Zyklotronbewegung schneller gekühlt (Gl. (3.70)). Dies ist in Abb. 3.24 (a) dargestellt.
Unter Anwesenheit eines Puﬀergases beobachtet man eine schnelle Reduzierung des Zyklotronradius ρ+ , während der Magnetronradius ρ− langsam anwächst. Die Kopplung durch das
Quadrupolfeld kann bei geeigneter Wahl von Druck und Anregungsamplitude zu einer Reduktion
der Bahnamplituden aller Freiheitsgrade führen [Sava1991]. Ist die Anregung mit der wahren
Zyklotronfrequenz ωc = qB/m zu einer Masse m resonant, bewirkt dies ein massenselektives Zentrieren einer Ionensorte, wie in Abb. 3.24 (b) dargestellt. Der Ausschuss von gespeicherten Ionen
durch ein Diaphragma an der Ausgangsseite der Falle stellt somit eine Selektionsmöglichkeit für
einzelne Ionensorten dar. Bei ISOLTRAP wird das massenselektive Puﬀergaskühlen zur Trennung von Isobaren mit einem Auﬂösungsvermögen von bis zu R = 105 verwendet [Raim1997].
Zudem ermöglicht die Bündelung der Ionenwolke einen leichteren Transfer zwischen zwei Fallen
durch die resultierende, geringere zeitliche Verteilung der Ionen [Beck1997a].
(a)
(b)
Abb. 3.24:
Radiale Ionenbewegung in einer puﬀergas–gefüllten Penningfalle.
Der
Kreuzungspunkt stellt den Mittelpunkt der Falle dar.
(a) Unter Einﬂuss der
geschwindigkeitsabhängigen Dämpfung beobachtet man eine schnelle Reduzierung des Zyklotronradius sowie ein langsames Anwachsen des Magnetronradius, das letztendlich zum Ionenverlust führt. (b) Die zusätzliche Anregung durch ein resonantes Quadrupolfeld bei ωc = ω+ +ω−
bewirkt eine langsamere Abnahme des Zyklotronradius mit einer Verringerung des Magnetronradius und damit das massenselektive Zentrieren einer Ionensorte zum Fallenzentrum hin.
3.3.2
Widerstandskühlen
Die Methode des Widerstandskühlens wird im Folgenden analog [Ghos1995] dargestellt. Diese
Beschreibung bezieht sich auf den vereinfachten Fall eines Plattenkondensators mit dem Elektrodenabstand d. Betrachtet man das Kühlen der axialen oder der radialen Ionenbewegung mit
der entsprechenden Geschwindigkeitskomponente v in der Penningfalle, werden die folgenden
Beziehungen lediglich durch einen Geometriefaktor modiﬁziert. Oszilliert eine Ladung q zwi-
54
KAPITEL 3. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON GELADENEN TEILCHEN
schen den Platten eines Kondensators, die über einen Widerstand R verbunden sind, so ﬂießt
der Strom
qv
.
(3.72)
i=
d
Die im ohmschen Widerstand dissipierte Leistung P = dE/dt beträgt
q2v2
q2E
1
dE
= −R · i2 = −R · 2 = −R ·
=− E .
dt
d
md2
τ
(3.73)
Ausgehend von einer harmonischen Schwingung v = v0 · cosωt ist < mv 2 >= mv02 < cosωt >=
1
2
2 mv0 = E. Die aus Glg. (3.73) ersichtliche Zeitkonstante τ des Kühlprozesses:
τ=
md2
,
Rq 2
(3.74)
macht deutlich, dass das Widerstandskühlen für Ionen mit einem großen Ladungs-zu-MasseVerhältnis gut geeignet ist. Der Kühlprozess lässt sich durch einen großen Widerstand R maximieren. Dies geschieht durch die Ankopplung eines auf die Eigenfrequenz der Ionen abgestimmten Parallelschwingkreises.
TUNED
CIRCUIT
z
R = Q / ω+C
. C .. L .
R
I
P=RI
2
Abb. 3.25: Die Energie der reduzierten Zyklotronbewegung (ω+ ) kann an einen abgestimmten
Schwingkreis der Güte Q = ω/Δω abgegeben werden.
Abbildung 3.25 stellt das Prinzip des Widerstandskühlens für die radiale Bewegung mit
einem angeschlossenen Nachweiskreis dar. Dies wird für die axiale und die reduzierte Zyklotronbewegung am g–Faktor Experiment [Häﬀ2003] an der Universität Mainz angewendet. Man
erreicht z.B. für ein einzelnes mehrfach geladenes Sauerstoﬃon (16 O7+ ) mit einem angepassten
Schwingkreis (Q = 2000, T = 4K) eine Kühlzeit von τ = 132 ms [Häﬀ2003]. Am SHIPTRAP–
Experiment mit einfach geladenen schweren Ionen (A = 250) sind die resultierenden langen
Kühlzeiten für die Untersuchung von kurzlebigen Radionukliden nicht praktikabel, und es wird
deshalb das Puﬀergaskühlen angewandt.
Kapitel 4
Grundlagen des Lasers und der
Laserspektroskopie
Dieser Teil des Skriptums basiert in wesentlichen Teilen auf der Ausarbeitung von Prof. Dr.
Ernst Otten (Vorlesung: Physik des Lasers), dem ich an dieser Stelle ganz herzlich danken
möchte. Auch Kristian Haberkorn sei gedankt für die Unterstützung bei der Erstellung dieses
Kapitels.
In diesem Kapitel sollen einige Grundlagen des Lasers und der Laserspektroskopie behandelt werden. Der Text kann und soll kein Lehrbuch ersetzen, sondern lediglich einige wichtige
Punkte zusammenfassen und zur Erinnerung dienen. Als Lehrbücher sind u.a. zu empfehlen:
W. Demtröder, Laser Spectroscopy [Demt1998] und B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Fundamentals of
Photonics [Sale1991].
Die konventionelle Hochfrequenztechnik, die sich elektronischer Bauelemente zur Erzeugung kohärenter elektromagnetischer Wellen bedient, hatte bis etwa 1950 den gesamten
Wellenlängenbereich bis herunter zu den Millimeterwellen erschlossen. Man hatte damals
erkannt, dass die Erzeugung noch wesentlich kürzerer Wellenlängen, wie auch der Bau stabiler
Frequenznormale, die die Quarzuhren an Genauigkeit übertreﬀen, hier an technische Grenzen
gestoßen war. Ein entscheidender Durchbruch konnte nur durch Realisierung eines gänzlich
anderen physikalischen Prinzips gewonnen werden, nämlich dem, die stimulierte Emission
zwischen atomaren oder molekularen Niveaus anzufachen. Das gelang in den fünfziger Jahren
zunächst durch die Entwicklung des Masers und im optischen Bereich 1960 durch die erste
Realisierung eines Lasers durch Maiman. Das Wort Maser (Laser) ist eine Abkürzung für
Microwave (Light) Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation. Die hervorstechenden
Merkmale der Laserlichtquellen, auf die wir uns hier in dieser Vorlesung konzentrieren, können
durch folgende Stichworte zusammengefasst werden:
- Die Strahlung kommt durch stimulierte Emission aus elektronisch angeregten Niveaus von
Atomen, Molekülen oder Festkörpern zustande.
- Sie ist in dem Maße monochromatisch, in dem die beteiligten Niveaus scharf sind.
- Die stimuliert emittierte Strahlung zeichnet sich durch starke Kohärenz aus.
- Sie ist optimal kollimiert, d.h. das Produkt aus Öﬀnungswinkel und Durchmesser des
Lichtbündels ist von der Größenordnung λ.
- Es werden extrem hohe Leistungsdichten erreicht, wodurch unter anderem die Erzeugung
einer Vielzahl nichtlinearer optischer Eﬀekte möglich wird.
55
56
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
- Bei Verwendung von Lasermedien mit breiten Emissionsbändern kann die Laserstrahlung
monochromatisch über die Bandbreite abgestimmt werden.
Alle diese Charakteristika haben ihre gemeinsame physikalische Ursache im Mechanismus der
Wechselwirkung des Strahlungsfeldes mit der Materie, dem wir uns in den nächsten Abschnitten
ausführlich und aus verschiedenen Blickwinkeln widmen werden.
4.1
Atomphysikalische Grundlagen
4.1.1
Das Wasserstoﬀspektrum
1. Quantenzahlen
Die radialsymmetrische nichtrelativistische Schrödingergleichung (SGL) des Wasserstoﬀatoms
ĤΨ = EΨ
mit
Ĥ =
Ze2
2 2 Zαc
p̂2
−
=−
∇ −
2m 4π0 r
2m
r
(4.1)
lässt sich mit Hilfe eines Produktansatzes Ψ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ) lösen1 . Dies führt
zu Eigenzuständen des Atoms, die sich mit den folgenden Quantenzahlen charakterisieren
lassen:
• Hauptquantenzahl n
• Drehimpulsquantenzahl , = 0, 1, 2, ..., n−1, Drehimpuls 2 = (+1)2 . Bezeichnet
werden die Zustände mit = 0, 1, 2, 3, 4, ... durch die Kleinbuchstaben s (sharp), p
(principal), d (diﬀuse), f (fundamental), g, h, ....
• magnetische Quantenzahl m , m = −, −+1, ..., 0..., −1, ; Drehimpulskomponente
z = m .
• Mit diesen Quantenzahlen alleine, ließen sich einige Resultate des Stern-Gerlach Experimentes nicht verstehen und auch der so genannte ”anomale Zeeman Eﬀekt” konnte nicht gedeutet werden. Die heuristische Einführung des Elektronenspins in der
Pauli Gleichung2
2
1
2 − Ze − e σ · B
(
p − eA)
(4.2)
H=
2m
4π0 r 2m
und den Paulimatrizen σ = (σx , σy , σz ), löste diese Probmit dem Vektorpotential A
leme. Dabei wurde die z-Komponente des Elektronenspins sz = ± 12 mit der Spinquantenzahl ms , ms = ± 12 als zusätzlicher Freiheitsgrad hinzugefügt. 3
Da sich in einem Mehrelektronenatom alle Elektronen gemäß Pauli Prinzip in mindestens
einer Quantenzahl voneinander unterscheiden
müssen, ﬁnden auf einer Schale mit der
=n−1
Hauptquantenzahl n insgesamt 2
(2
+
1) = 2n2 Elektronen Platz. Wenn ein
=0
weiteres Elektron hinzugefügt wird, ist dieses deutlich schwächer gebunden.
1
Das Operatorsymbol ˆwird im Weiteren fallen gelassen.
Die Pauli Gleichung wurde 1927 von Wolfgang Pauli vor der Dirac’schen Beschreibung des Elektrons
eingeführt. Sie kann als nichtrelativistische Näherung der Dirac Gleichung hergeleitet werden.
3
Es sei noch angemerkt, dass sich im Rahmen einer relativistischen Theorie der Elektronenspin zwanglos als
integraler Bestandteil der Lösungen der Dirac Gleichung ergibt.
2
4.1. ATOMPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
57
2. Energieeigenwerte
In der nichtrelativistischen Näherung der SGL ergibt sich für das Wasserstoﬀatom eine
Entartung aller Eigenzustände zu gleichem n gemäß
En = −ERyd
1
1
1
= − m(αc)2 2
2
n
2
n
(4.3)
2
1
[Gabr2006].
mit der Feinstrukturkonstanten α = 4πe0 c = 137.035 999
710(96)
Der Energieunterschied
zwischen
zwei
elektronischen
Niveaus
ergibt
sich zu
1
1
En = −ERyd n2 − m2 .Damit lässt sich das Spektrum des Wasserstoﬀatoms bereits sehr gut beschreiben: Für n = 1 ergibt sich die Lyman Serie, für n = 2 die Balmer
und für n = 3 die Paschen Serie (m > n). Die -Entartung wird allerdings durch
relativistische Eﬀekte (Feinstruktur) aufgehoben.
3. Wellenfunktionen
Die nichtrelativistischen Wellenfunktionen setzen sich aus einer Radialwellenfunktion
Rnl (r), den Kugelﬂächenfunktionen Ylml (θ, φ) und den (zweikomponentigen) Spinwellenfunktionen χms zusammen:
1
0
Ψn ml ms = Rn (r) Ym (θ, φ) χms ,
χms =
,
.
(4.4)
0
1
Die Radialwellenfunktionen Rn (r) hängen von der Hauptquantenzahl n und dem Bahndrehimpuls ab. Einige Beispiele sind in Abb. 4.1 dargestellt. Der Zustand mit = 0
hat am Ursprung immer die größte Amplitude. Bei den Zuständen mit > 0 erkennt
man den Einﬂuss des Zentrifugalpotentials: je größer der Drehimpuls, desto weiter außen
liegt das erste Maximum der Wellenfunktion. Bei der quantenmechanischen Behandlung
des Rechteckpotentials und des harmonischen Oszillators (siehe QM I) zeigte sich, dass
die Zahl der Nulldurchgänge der Wellenfunktion (radiale Knoten nr ) direkt mit der die
Energie kennzeichnenden Quantenzahl verbunden ist. Beim Wasserstoﬀatom ist dies nicht
der Fall, vielmehr gilt hier n = nr + , wobei die asymptotische Nullstelle mitgezählt wird.
Es ist die dem Coulombpotential eigentümliche Entartung, die bewirkt, dass alle Zustände
mit gleichem n die gleiche Energie besitzen. (Anm.: In der Kernphysik weicht das Potential stark vom 1/r Potential ab und es ist daher nützlicher die Kernwellenfunktionen nach
der Anzahl der radialen Knoten zu klassiﬁzieren.)
Die Wahrscheinlichkeit ein Elektron im Abstandsintervall [r, r + dr] zu ﬁnden, ist durch
4π
das Integral Pn (r) dr = 0 r2 dΩ |Ψnlm (r)|2 dr = 4πr2 |Rn |2 dr gegeben, welches in
Abb. 4.1(b) für einige Fälle dargestellt ist. Man erkennt, dass Zustände mit Drehimpuls
= 0 immer ein lokales Maximum in der Nähe des Nullpunktes, also in Kernnähe, besitzen,
während mit zunehmendem Drehimpuls das erste Maximum immer weiter nach außen
rückt. Dies hat Konsequenzen für die Niveaufolge in Mehrelektronenatomen. Im ”klassischen” Bild nach Sommerfeld entsprechen die Elektronenbahnen mit kleinem Drehimpuls
langgestreckten Ellipsen, bei denen sich das Elektron öfter in Kernnähe aufhält als bei den
mehr kreisförmigen Bahnen mit = n − 1. Man beachte, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für n = 1 ihr Maximum beim Bohrschen Radius a0 hat. Allgemein gilt:
1
( + 1)
n2
1+
1−
,
(4.5)
rn = a0
Z
2
n2
der zweite Term in der geschweiften Klammer kann als eine (zentrifugalabhängige) Korrektur zum klassisch berechneten Bohrradius angesehen werden.
58
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.1: Radiale Wellenfunktionen (a) und radiale Wahrscheinlichkeitsdichten (b) von Wasserstoﬀwellenfunktionen
Die Kugelﬂächenfunktionen Ym (θ, φ) sind Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators mit
L2 Ym = ( + 1)2 Ym und Lz Ym = m Ym und Lösungen der Azimuthal und Polargleichung für jedes beliebige Zentralpotential. Für = 0 zeigen sie keine Winkelabhängigkeit. Zustände mit Drehimpuls = 0 sind daher kugelsymmetrisch. Beispiele
für Winkelverteilungen mit = 0 sind in Abb. 4.2 dargestellt.
Der Hamiltonoperator ist invariant unter Raumspiegelungen, d.h. r → −r, dementsprechend kann jeder Eigenfunktion von H die Parität +1 oder -1 zugeordnet werden.
Ein näherer Blick auf die Wellenfunktionen zeigt, dass P Ψn ml ms = (−1)l Ψn ml ms ,
diese also nur von der Drehimpulsquantenzahl abhängt.
4. Magnetisches Moment, g-Faktor und Feinstruktur
Das Elektron als bewegte Ladung induziert ein Magnetfeld, welches dem Atom ein magnetisches Dipolmoment aufprägt. Klassisch ergibt sich für das magnetische Moment eines
4.1. ATOMPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
59
Abb. 4.2: Beispiele von Kugelﬂächenfunktionen Ylm
Kreisstromes der Ladung q mit dem Radius r, und dem Drehimpuls = mυr
q q =
.
μ=
2m SI
2mc cgs
(4.6)
ist gegeben durch Epot =
Die potentielle Energie eines Dipols im magnetischen Feld B
Legt man ein äußeres Magnetfeld an (z-Achse), so beginnt das magnetische
−
μ · B.
Moment des Atoms um die B-Feld Achse zu präzedieren und nur die z-Komponente von
μ
ist erhalten während die Erwartungswerte der x- und y-Komponenten Null werden.
Dementsprechend ergibt sich
−e e
Epot = −
m B
·B =
(4.7)
.
2me
2me
Der Vorfaktor
μB =
e
= 9.27 · 10−24 J/T = 1.4 GHz/T
2me
(4.8)
wird als Bohrsches Magneton bezeichnet. Die Aufpaltung der entarteten Elektronenniveaus in 2 + 1 Komponenten aufgrund des mit dem Bahndrehimpuls verknüpften magnetischen Momentes heißt normaler Zeeman Eﬀekt.
Neben dem magnetischen Moment der Bahnbewegung besitzt das Elektron aber auch
noch ein intrinsisches magnetisches Moment aufgrund des halbzahligen Spins sz = /2.
Experimentell ﬁndet man, dass der klassische Zusammenhang 4.6 zwischen magnetischem
60
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Moment und Spin-Drehimpuls in diesem Fall nicht mehr gegeben ist. Das Verhältnis
des magnetischen Momentes des freien Elektrons zum mechanischen Drehimpuls ist beim
Elektronenspin etwa doppelt so groß. Aus diesem Grund führt man einen zusätzlichen
Faktor, den Landé g-Faktor in Gleichung 4.6 ein:
μ
s =
gs μB
s.
(4.9)
Im Rahmen der relativistischen Dirac Theorie ergibt sich gs = 2; Präzisionsexperimente
zeigen jedoch, dass der Landé Faktor des freien Elektrons gs = 2.0023193043617(76)
[Odom2006] ist. Die Abweichung von dem Wert 2 kann in der Quantenelektrodynamik
(QED) sehr genau berechnet werden und steht in ausgezeichneter Übereinstimmung mit
den Experimenten.
Das magnetische Moment des Elektrons hat in dem durch die Bahnbewegung verursachten
Magnetfeld zwei Einstellmöglichkeiten - es kann sich parallel oder antiparallel ausrichten.
Dementsprechend spalten alle Niveaus aus Gl. 4.3 durch die Spin-Bahn-Wechselwirkung
auf in
.
= En + gs μB μ0 · Ze
s
·
(4.10)
·B
Ens = En − μ
· 8πme r3
Das Skalarprodukt s · kann positiv oder negativ sein, je nach Spinstellung relativ zum
Bahndrehimpuls. Durch die Wechselwirkungsenergie koppeln die beiden Drehimpulse und
es ist hilfreich den Gesamtdrehimpuls j = + s einzuführen. Damit lässt sich Gl. 4.10
Abb. 4.3: Vektormodel der LS-Kopplung und Präzession des Gesamtdrehimpulses in einem
= B ez
äußeren Magnetfeld B
schreiben als
Ens = En +
a
[j (j + 1) − ( + 1) − s (s + 1)] .
2
(4.11)
mit der Spin-Bahn-Kopplungskonstanten a = μ0 Ze2 2 /8πm2e r3 (Näherung: gs ≈ 2). Für
die Wasserstoﬀwellenfunktionen ergibt sich damit für die Feinstrukturaufspaltung
μ0 Ze2 2
1 α2 Z 2
1
1
=
−E
.
(4.12)
l
+
ΔE,s = ā l + 2 =
n
2
8πm2e
r3
n( + 1)
4.1. ATOMPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
61
Die Aufspaltung ist somit proportional zu Z 4 /n3 ( + 1). Berücksichtigt man zusätzlichdie
relativistische Massenzunahme des Elektrons so ergibt sich insgesamt
1
1 2 (Zα)4
3
(4.13)
−
ΔEn,j = mc
2
n3
4n
j + 12
und damit eine j-Entartung der Niveauenergien. Die Energie des elektronischen Zustandes
(n, l, j) hängt nicht mehr vom Bahndrehimpuls ab. Alle Terme mit gleichen n und j haben
die gleiche Energie. Dies ist eine Besonderheit des 1/r Potentials und gilt nur bei wasserstoﬀartigen Systemen. In Mehrelektronensystemen liegt hingegen kein Coulombpotential
mehr vor und die Termenergien werden explizit abhängig von .
Das magnetische Moment μ
j eines Zustands mit Gesamtdrehimpuls j, ist aufgrund des
anomalen magnetischen Momentes nicht mehr parallel zu j. Vielmehr gilt
μB μ
j =
g + gss
mit g = 1 und gs ≈ 2. Da s und im Magnetfeld der Bahnbewegung präzedieren,
präzediert auch μj um die raumfeste Achse von j. Der zeitliche Mittelwert ist daher die
Projektion von μ
j auf j. Nach dem Wigner-Eckart-Theorem ergibt sich
j (j + 1) + s (s + 1) − (l + 1)
.
μj = gj μB |j|/ mit dem Landé Faktor gj = 1 +
2 j (j + 1))
Die Abhängigkeit von s und führt zu einem wesentlich komplizierteren Aufspaltungsbild
im Magnetfeld als beim normalen Zeeman Eﬀekt und wird als anomaler Zeeman-Eﬀekt
bezeichnet.
5. Lamb Verschiebung
Die j-Entartung der Feinstrukturzustände wird aufgrund der Wechselwirkung des Elektrons mit den Nullpunktsﬂuktuationen des Vakuums wieder aufgehoben. Klassisch gesehen
führen diese Fluktuationen zu einer schnellen oszillatorischen Bewegung des Elektrons und
damit zu einer Verschmierung seiner Ladung. Die Folge ist, dass s-Zustände weniger stark
gebunden sind als von der Dirac Theorie vorhergesagt. Die sich daraus ergebende Aufspaltungsenergie ist klein und beträgt im Falle des 2s1/2 und des 2p1/2 Zustandes 1057
MHz. Erstmals wurde sie 1947 durch W.E. Lamb und R.C. Retherford gemessen. Die
theoretische Behandlung erfolgt mit Hilfe der Quantenelektrodynamik. Die wichtigsten
Beiträge erster Ordnung sind die Vakuumpolarisation, die Vertex-Korrektur und die Selbstwechselwirkung. Die theoretische Beschreibung ist in ausgezeichneter Übereinstimmung
mit experimentellen Resultaten und aus der Diskrepanz zwischen Theorie und Experiment kann auf die innere Struktur des Protons geschlossen werden. Wir werden bei der
Besprechung ausgewählter Experimente auf diesen Punkt zurück kommen.
6. Kernspin und Hyperfeinstruktur
Bislang wurde der Atomkern (im Falle des Wasserstoﬀs also das Proton p) lediglich als
Punktladung und Ursprung des Coulombpotentials angesehen. Ebenso wie das Elektron
besitzt das Proton jedoch einen Spin und ein dazugehöriges magnetisches Moment:
μp = gp
μK
sp
(4.14)
62
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.4: Vollständiges Termschema des Wasserstoﬀatoms mit allen bekannten Wechselwirkungen.
mit dem Kernmagneton μK = e/2mp ≈ μB /1836 = 5.05·10−27 J/T und dem g-Faktor des
Protons gp = 5.58. Die Wechselwirkung von μ
p mit dem Elektron führt zu einer Aufspaltung und Verschiebung der Energieniveaus der Elektronenhülle, der ”Hyperfeinstruktur”
(HFS). Sie wird hervorgerufen durch zwei Beiträge:
• Wechselwirkung des magnetischen Kernmomentes mit dem Magnetfeld Bj das von
den Elektronen am Kernort erzeugt wird,
• Wechselwirkung des elektronischen magnetischen Momentes mit dem vom Kernmoment erzeugtem Magnetfeld.
Die Kopplung zwischen j und dem Kernspin I führt zur Ausbildung des Gesamtdrehim |I − j| ≤ F ≤ I + j. Die Behandlung erfolgt analog der Feinstruktur
pulses F = j + I,
und man erhält:
A
(4.15)
ΔEHFS = [F (F + 1) − j (j + 1) − I (I + 1)] ,
2
4.1. ATOMPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
63
mit dem Intervallfaktor A = gI μK Bj /(I · j). Für den relativen Abstand der Terme gilt
die Intervallregel
ΔEF +1 − ΔEF = A (F + 1),
(4.16)
d.h. der Abstand zweier Terme in einem Hyperfeinmultiplett ist proportional zum größeren
der beiden F Werte. Der Intervallfaktor enthält ein Produkt aus dem Kernmoment μk
und dem Hüllenfeld Bj . Wenn eine der beiden Größen bekannt ist, kann man die andere
durch die Beobachtung der Aufspaltung messen.
Neben der magnetischen Wechselwirkung zwischen Kern- und Hülle, gibt es im Falle komplexerer, nicht kugelsymmetrischer Kerne auch noch eine elektrostatische Wechselwirkung.
Diese wurde in der Hyperfeinstruktur von stabilen Europium-Isotopen entdeckt, bei denen
die Intervallregel für die magnetische Hyperfeinstruktur nicht erfüllt wurde. Theoretisch
wurden diese Diskrepanzen durch die Abweichung der Kernform von der Kugelgestalt
gedeutet: Ist der Kern punktförmig, so gilt die Dirac- oder Schrödingergleichung. Ist
der Kern ausgedehnt, aber kugelförmig, so werden die Feinstrukturniveaus verschoben (→
Feldeﬀekt der Isotopieverschiebung). Ändert sich aber die Gestalt des Kerns von der vorher
angenommenen kugelsymmetrischen Form zu einem Rotationsellipsoid, so tritt zusätzlich
zur magnetischen die elektrische Hyperfeinstruktur auf, weil die potentielle Energie des
Kerns im Gradienten des elektrischen Feldes ∂ 2 φ/∂z 2 der Elektronenhülle abhängig wird
von der Orientierung des Kernspins relativ zum Drehimpuls der Elektronenfülle.
Abb. 4.5: Formen des Kerns bei Quadrupoldeformation. Links: kugelförmig (Q = 0), Mitte:
prolate Deformation (Q > 0); rechts: oblate Deformation (Q < 0). Bei kugelförmiger Gestalt
und bei I = 0 ist keine Richtung ausgezeichnet.
Atomkerne haben eine kugelförmige Gestalt, wenn sie doppelt magisch sind. Die magischen Zahlen für Neutronenzahl N oder Protonenzahl Z lauten Zmag oder Nmag = 2,
8, 20, 28, 50, 82, 126. Für Z oder N etwas kleiner als Zmag oder Zmag hat der Kern oft
eine oblate (diskusförmige) Deformation (Abb. 4.5 rechts). Für Z oder N mit Werten
zwischen magischen Protonenzahlen oder Neutronenzahlen nimmt der Kern eine prolate
(zigarrenförmige) Gestalt an (Abb. 4.5 Mitte). Das intrinsische Quadrupolmoment einer
Ladungsverteilung ergibt sich bei zylindersymmetrischem elektrischen Feld klassisch zu
1
Qz =
e
d3 r (3z 2 − r2 ) ρ(r).
Das spektroskopische Quadrupolmoment Qs ist deﬁniert als der Erwartungswert
Qs = I, mI = I |Qz | I, mI = I
64
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
und man ﬁndet nach etwas länglicher quantenmechanischer Rechnung für die Wechselwirkungsenergie
EQ =
1
4
∂2φ
∂z 2
eQs
3
2 C(C
+ 1) − 2I(I + 1)j(j + 1)
I(2I − 1)J(2J − 1)
(4.17)
mit dem Casimirfaktor C = F (F + 1) − j (j + 1) − I (I + 1) und dem spektroskopischen
Quadrupolmoment Qs .
Sie tritt lediglich für Zustände mit I, j ≥ 1 auf und ist für das Waserstoﬀatom (I = 1/2)
daher nicht relevant. Der Deuteriumkern hingegen hat I = 1 und besitzt ein Quadrupolmoment, dass sich in den elektronischen Zuständen mit j > 12 bemerkbar macht. Besonders
große Quadrupolmomente ﬁndet man aufgrund kollektiver Eﬀekte bei schweren Atomkernen mit halbgefüllten Kernschalen zwischen den magischen Zahlen.
4.1.2
Das Heliumatom
Bereits für das Zwei-Elektronen-System Helium lassen sich keine analytischen Lösungen für die
Wellenfunktionen und Energien der Zustände mehr angeben. Man muss in diesem Fall mit
störungstheoretischen Ansätzen arbeiten und kann die Heliumzustände beispielsweise als Superpositionen von Wasserstoﬀeigenzuständen beschreiben. Eine solche Darstellung führt aber nur
zu sehr langsamer Konvergenz, d.h. man braucht sehr viele Basiszustände um einen elektronischen Zustand des Heliums darzustellen. Viele Eigenschaften des Heliumspektrums, wie es in
Abb. 4.6 gezeigt ist, kann man aber qualitativ durch Symmetriebetrachtungen verstehen. Dies
soll im Folgenden kurz erläutert werden.
Wenn mehrere Elektronen in einem Atom vorhanden sind, so verteilen sich die Elektronen
auf die verschiedenen Energiezustände so, dass
• das Pauli-Prinzip erfüllt ist, d.h. die Gesamtwellenfunktion (räumliche Wellenfunktion
⊗ Spinwellenfunktion) muss unter Vertauschung zweier beliebiger Elektronen vollständig
antisymmetrisch sein.
• die Gesamtenergie aller Elektronen für den Grundzustand jedes Atoms minimal wird.
Mit der Voraussetzung, dass sich die beiden Elektronen des Heliums in mindestens einer
Quantenzahl unterscheiden müssen, ist sofort einsichtig, dass maximal 2 Elektronen im 1s Zustand untergebracht werden können. Diese unterscheiden sich in der magnetischen Spinquantenzahl ms , d.h. ihre Spins sind antiparallel ausgerichtet. Alle anderen Quantenzahlen sind
identisch, d.h. die Ortswellenfunktion kann nur symmetrisch sein unter Austausch der Elektronen
(4.18)
Ψ100 (1)Ψ100 (2)
weil die entsprechende antisymmetrische Wellenfunktion verschwindet. Folglich muss die Spinwellenfunktion antisymmetrisch sein
1 √ χ 1 ,+ 1 (1)χ 1 ,− 1 (2) − χ 1 ,+ 1 (2)χ 1 ,− 1 (1) .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Wendet man die Operatoren s2 und sz auf diese Wellenfunktion an, so stellt man fest, dass dies
2 = (s1 + s2 )2 = 0 und Sz = s1z + s2z = 0 ist.
eine Spin-Eigenfunktion mit dem Gesamtspin S
Die symmetrischen Spinwellenfunktionen
4.1. ATOMPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
65
Abb. 4.6: Niveauschema des Heliumatoms mit Singulett- und Triplettzustäanden bis L=3
√1
2
χ 1 ,+ 1 (1) · χ 1 ,+ 1 (2)
χ 1 ,+ 1 (1)χ 1 ,− 1 (2) + χ 1 ,+ 1 (2)χ 1 ,− 1 (1)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
χ 1 ,− 1 (1) · χ 1 ,− 1 (2)
2
2
2
2
S = 1, MS = +1
S = 1, MS = 0
(4.19)
S = 1, MS = −1
2
hingegen, können nur mit antisymmetrischen Ortswellenfunktionen kombiniert werden. Sie existieren daher nur für angeregte Zustände des Heliumatoms bei denen sich die beiden Elektronen
in wenigstens einer der räumlichen Quantenzahlen unterscheiden. Aufgrund der möglichen Ein in einem magnetischen Feld, bezeichnet man Zustände
stellmöglichkeiten des Gesamtspins S
= 1 als Triplett-Zustände. Alle möglichen
mit Gesamtspin S = 0 als Singulett, solche mit S
Stellungen der beiden Spins zueinander sind in Abb. 4.7 symbolisch dargestellt. Allgemein wird
die Zahl der Einstellmöglichkeiten 2S + 1 als Multiplizität des Zustandes bezeichnet und als
linker oberer Index vor das Termsymbol geschrieben:
2S+1
LJ
= 1 + 2 der Gesamtbahndrehimpuls und J = L
+S
der Gesamtdrehimpuls ist. Das
wobei L
66
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.7: Vektormodel der Singulett- (S = 0)und Triplett-Zustände (S = 1) bei der Kopplung
zweier Elektronenspins
Heliumatom hat also den Grundzustand 1s2 1 S0 - ein Triplett-Zustand kann in der Konﬁguration 1s2 nach dem Pauli Prinzip nicht existieren. Wird eines der beiden Elektronen durch Stoß
oder durch Photonen in ein höher gelegenes Niveau befördert, so kann der räumliche Anteil
der Wellenfunktion sowohl gerade als auch ungerade sein, d.h. angeregte Zustände des Heliums
existieren sowohl als Singulett-, als auch als Triplett-Zustände. Dabei gilt, dass der Triplettzustand energetisch immer tiefer liegt als der zugehörige Singulett-Zustand. Dies ist durch die
Antisymmetrie der Ortswellenfunktion zu erklären: diese muss bei Austausch zweier Elektronen
ihr Vorzeichen wechseln
(4.20)
Ψ(r1,r2 ) = −Ψ(r2 , r1 )
d.h. für r1 = r2 muss Ψ = 0 sein und die elektrostatische Abstoßung der Elektronen ist dadurch
reduziert und folglich die Bindungsenergie der Elektronen erhöht.
Drehimpulskopplung
Wir haben hier ein erstes Beispiel für die Drehimpulskopplung in einem Vielelektronensystem, wie es bei den leichten Elementen fast immer auftritt, die so genannte LS-Kopplung. Sie
trägt diesen Namen, weil zunächst die Bahndrehimpulse aller Elektronen zu einem Gesamt-
4.1. ATOMPHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
67
Abb. 4.8: Termaufspaltung und Wechselwirkungen bei der LS-Kopplung am Beispiel einer
(n1 p)1 , (n2 d)1 Konﬁguration
= N si
= N i und die Spins aller Elektronen zum Gesamtspin S
Bahndrehimpuls L
i=1
i=1
und S
koppeln dann zum elektronischen Gesamtdrehimpuls J = L
+ S.
Verekoppeln. L
infacht werden diese Betrachtungen dadurch, dass die Elektronenspins und Bahndrehimpulse
einer abgeschlossenen Schale (alle Zustände einer Hauptquantenzahl n) oder Unterschale (alle
m die zu einem gehören) immer zu Null koppeln. Bei schwereren Atomen wird die Kopplung zwischen dem Spin jedes einzelnen Elektrons und seinem Bahndrehimpuls stärker und es
kommt zur immer stärkeren Ausprägung der jj-Kopplung. In ihrer reinen Form bedeutet
Ndies,
dass zunächst si und i zu ji koppeln und dann der Gesamtdrehimpuls der Hülle J = i=1 ji
gebildet wird. Der Übergang von der LS zur jj-Kopplung geschieht kontinuierlich.
Es sei an dieser Stelle bereits vorweggenommen, dass die Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung gewisse Auswahlregeln für die Quantenzahlen des angeregten Elektrons
erfüllen muss. Eine dieser Auswahlregeln besagt, dass elektrische Dipolstrahlung nicht am Elektronenspin angreift, der ja eine magnetische Erscheinung ist, und daher die Kopplung der Spins
nicht beeinﬂusst. Die Auswahlregel lautet daher ΔS = 0 und ein Übergang von einem der 1s2s
3 S Zustände in den Grundzustand 1s2 1 S oder umgekehrt ist ”verboten” - der 3 S Zustand
0
J
J
ist ”metastabil”. Absorption und Emission wird man also nur zwischen Niveaus innerhalb des
Triplett- oder Singulettsystems beobachten, es treten keine sogenannten Interkombinationslinien
auf. Dies gilt streng nur für reine LS Kopplung die beim Helium sehr gut erfüllt ist. So gut,
dass man lange Zeit glaubte, es gäbe zwei Heliumarten: Orthohelium (Triplett) und Parahelium
(Singulett).
4.1.3
Mehrelektronensysteme
Für das Verständnis der elektronischen Struktur von Mehrelektronensystemen sind die Alkaliund Erdalkaliatome besonders aufschlussreich, weil man es hier mit ein bis zwei Elektronen
außerhalb kompett gefüllter Elektronenschalen zu tun hat. Das Spektrum der Alkaliatome
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
2
S1/2
2
P1/2 3/2
2
D3/2 5 /2
2
F5/2 7 /2
5.3917
45000
5
5s
Energy [eV]
4
4s
5p
4p
4d
3p
3d
5f 40000
4f
30000
3s
3
20000
2
2p
Energy [cm-1]
68
10000
1
0 2s
0
Abb. 4.9: Termschema des Lithiumatoms
und Erdalkaliionen besitzt eine Struktur die dem des Wasserstoﬀs ähnlich ist.4 Das äußere
Elektron (Leuchtelektron) bewegt sich in einem Potential, welches für große Abstände r durch
das Coulombpotential angenähert werden kann. Für kleine Abstände r hingegen, hängt das
Potential von der Ladungsdichteverteilung der inneren Elektronen ab. Insbesondere wenn das
Leuchtelektron einen kleinen Drehimpuls besitzt, taucht es weit in die Bahnen der inneren
Elektronen hinein und erfährt mehr und mehr das Potential der vollen Kernladung Ze, d.h.
−
Ze
e
≤ Φeﬀ (r) ≤ −
.
4π0 r
4π0 r
Dadurch wird die beim Wasserstoﬀ vorhandene Entartung (vor Berücksichtigung der Feinstruktur und Lambshift) der Zustände mit gleichem n und aufgehoben. Beispielhaft ist dies am
Spektrum des Lithiums in Abb. 4.9 gezeigt. Der 1s2 2s Zustand ist gegenüber dem 1s2 2p Zustand deutlich abgesenkt, entsprechendes gilt für den 3s und 3p Zustand. Man erkennt, dass
die Energieunterschiede zwischen den einzelnen Drehimpulszuständen mit gleichem n, bei wachsender Hauptquantenzahl immer geringer werden, weil die Eindringtiefe der s Elektronen in die
inneren Schalen abnimmt Für große n lassen sich die Zustände der Alkaliatome analog zum
4
Diese Systeme sollten trotzdem nicht als wasserstoﬀähnlich bezeichnet werden - dies ist Ionen mit einem
einzigen Elektron vorbehalten.
4.2. STRAHLUNGSGESETZE NACH EINSTEIN
69
Wasserstoﬀatom durch die Rydbergformel
En, = −
const
const
=−
(n − δn, )2
n2eﬀ
beschreiben, wobei die ganzzahlige Hauptquantenzahl n um den von n und abhängigen Quantendefekt vermindert wird. Für große n wird δ praktisch unabhängig von n.
4.2
Strahlungsgesetze nach Einstein
4.2.1
Ableitung der Planck-Formel
Zwar hatte schon Planck den ersten Erfolg in der Strahlungstheorie mit der Ableitung seines
Strahlungsgesetzes unter der Hypothese der Quantisierung der Strahlungsenergie verbucht;
jedoch wird darin wenig über die Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie ausgesagt,
weil man im thermodynamischen Gleichgewicht der Hohlraumstrahlung von den tatsächlichen
Absorptions- und Emissionsraten absehen kann. Einstein war der erste, der diese Prozesse
berücksichtigte [Eins1917]. Er ging bei seiner Ableitung von folgenden Voraussetzungen aus:
1. Die relativen Besetzungszahlen Pn diskreter Atomzustände folgen im thermodynamischen
Gleichgewicht der Boltzmann-Verteilung
Pn = gn e−En /kT .
(4.21)
gn ist das statistische Gewicht des betrachteten Zustandes, d.h. im allgemeinen die Multiplizität eines entarteten Zustandes.
2. Die abzuleitende Strahlungsformel muss asymptotisch in das mit klassischer Statistik abgeleitete und experimentell im Limes T → ∞ bestätigte Rayleigh-JeansStrahlungsgesetz einmünden
8πν 2
ρ = 3 kT,
(4.22)
c
sowie für T → 0 in das empirisch bestätigte Wiensche Gesetz
ρ = αν 3 e−hν/kT .
(4.23)
ρ ist die Strahlungsenergie pro Volumen- und Frequenzeinheit. Bezüglich des RayleighJeans-Gesetzes erinnern wir daran, dass 8πν 2 /c3 gleich der Anzahl der Eigenschwingungen
eines Hohlraums pro Volumen und Frequenzeinheit ist, wobei jede Eigenschwingung im
statistischen Mittel den thermischen Energieinhalt kT hat.
Auch Planck war bei der Ableitung seines Strahlungsgesetzes vom Rayleigh-Jeans-Gesetz
ausgegangen und hatte dann durch Einführung der Quantenhypothese sein Gesetz ﬁnden
und die Brücke zum Wienschen Gesetz schlagen können. Einstein kommt aber mit den
weiteren heuristischen Annahmen über die Wechselwirkung zwischen Strahlungsfeld und
Atom viel schneller zum Ziel:
Zwischen den (nach Bohr) diskreten Energiezuständen Em und En können zwei Typen
von Strahlungsübergängen erfolgen, nämlich:
3. Aus dem energetisch höheren Zustand sei eine spontane Emission in den niedrigeren
möglich, die zeitlich einem statistischen, dem radioaktiven Zerfall analogen Gesetz folgt:
dNm = −Anm Nm dt.
(4.24)
70
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Dabei ist Nm die Zahl der angeregten Atome und Anm die spontane Zerfallsrate oder der
Einsteinsche A-Koeﬃzient. Bezogen auf das einzelne Atom können wir stattdessen auch
die Wahrscheinlichkeit deﬁnieren, im Zeitintervall zwischen t und t+dt spontan zu zerfallen
als
(4.25)
dWm→n = Anm dt.
4. Es soll eine induzierte Absorption und Emission aus dem Strahlungsfeld bzw. in das
Strahlungsfeld zurück möglich sein (siehe Abb. 4.10), deren Rate jeweils proportional zur
vorhandenen Strahlungsdichte ist. Wir haben demnach
dWn→m = Bnm ρdt
(induzierte Absorption)
(4.26)
(induzierte Emission)
(4.27)
und
n
ρdt
dWm→n = Bm
Auch hier wird die Rate außer durch ρ durch einen, für den betreﬀenden Übergang charakteristischen Koeﬃzienten, den Einsteinschen B-Koeﬃzienten, bestimmt. Die heuristischen Ansätze (4.26) und (4.27) lehnen sich an das Beispiel des Hertzschen Dipols in
der klassischen Elektrodynamik an, dessen Schwingung von einem äußeren, resonanten
Strahlungsfeld auch angefacht bzw. gedämpft werden kann, je nach relativer Phasenlage
zwischen Dipolschwingung und elektromagnetischer Welle. Wir fragen jetzt nach derjenigen Strahlungsdichte als Funktion von Temperatur und Frequenz, die mit den Prozessen
(4.24) bis (4.27) den Gleichgewichtszustand der Boltzmann-Verteilung erhält, d.h. in
Summa gleich viele Absorptions- wie Emissionsprozesse erzeugt, also:
n
ρ + Anm ) .
g e−En /kT B m ρ = gm e−Em /kT (Bm
n ! " n
!
"
∼Nn
(4.28)
∼Nm
Wir betrachten (4.28) für T → ∞, wobei die beiden Exponentialfunktionen gleich 1 werden
und wegen ρ → ∞ auch die spontane Emission gegenüber der induzierten vernachlässigbar
klein wird; dann folgt
n
.
(4.29)
gn Bnm = gm Bm
(4.29) eingesetzt in (4.28) und aufgelöst nach ρ ergibt
ρ(ν) =
8πν 2
3
c! "
1
hν
!"
Zahl der Moden
im Intervall [ν, ν + dν]
Photonenenergie
! − 1"
ehν/kT
.
(4.30)
therm. Besetzungszahl der Mode
Wenn (4.30) für T → 0 in das Wiensche Gesetz einmünden soll, dann müssen die Argumente der beiden Exponentialfunktionen gleich sein. Hieraus gewinnt Einstein ohne
weitere Voraussetzungen die Bohrsche Beziehung zurück
Em − En = hν.
(4.31)
Mit (4.31), eingesetzt in (4.30), betrachten wir jetzt noch einmal den Grenzwert T → ∞
und entwickeln dabei die Exponentialfunktion im Nenner bis zum ersten Glied. Vergleich
mit dem Rayleigh-Jeans-Gesetz liefert dann für das Verhältnis der Einstein-Koeﬃzienten
sofort die Einsteinsche Beziehung
8πhν 3
8πν 2
Anm
=
=
· hν .
n
Bm
c3
c3
(4.32)
4.2. STRAHLUNGSGESETZE NACH EINSTEIN
71
(4.32) wieder eingesetzt in (4.30) ergibt das Plancksche Strahlungsgesetz
ρ=
1
8πν 2
.
hν hν/kT
3
c
e
−1
(4.33)
Diese Aufteilung der Planckschen Formel in die drei Faktoren wie oben lässt deutlich ihre
Struktur erkennen: der erste Faktor ist die Zustandsdichte, der zweite das Energiequant
eines jeden Zustands, der dritte die Anzahl der Quanten, mit denen jeder Zustand im
statistischen Mittel besetzt ist.
Abb. 4.10: Schema der Wechselwirkung eines Strahlungsfeldes ρ(ν) mit einem 2-Niveau System.
Es treten (a) Absorptions- und (b) induzierte Emissionsprozesse auf, aber auch (c) spontane
Emissionsprozesse, die nicht vom Strahlungsfeld abhängen. n1 und n2 sind die Dichten der
Atome in Zustand |1 und |2 und B12 , B21 und A21 sind die Einstein - Koeﬃzienten für Absorption, stimulierte und spontane Emission.
Bevor wir diese Zusammenhänge im nächten Abschnitt ausdiskutieren, sei noch auf einige
Punkte der Einsteinschen Arbeit aufmerksam gemacht, die in der Literatur nicht so häuﬁg zitiert werden. Zunächst zeigt sich Einstein unbefriedigt darüber, dass er (4.32) nicht aus einer
vollständigen Quantentheorie der Strahlung, die die Wechselwirkung zwischen Atom und Photon wirklich beschreibt, ableiten kann, sondern auf Koeﬃzientenvergleiche angewiesen ist. Insofern sieht er das Problem von der Dynamik her als prinzipiell ungelöst an. Vielmehr “erschließt” er das Gesetz aus heuristischen Annahmen im Rahmen gültiger statistischer Gesetze.
Im zweiten Teil der Arbeit führt er die statistischen Überlegungen fort, indem er bei jedem
Strahlungsprozess auch den Impulsübertrag des Photons hk auf das Atom mit berücksichtigt,
der die Geschwindigkeitsverteilung der Atome beeinﬂusst. Unter der Annahme, dass die
Strahlungswechselwirkung die einzige zwischen den Atomen sei - dass also gaskinetische Stöße
keine Rolle spielen (z.B. betriﬀt das die heißen, dünnen Gase der Sonnencorona) - kann
gezeigt werden, dass die Strahlungswechselwirkung dann und nur dann die Boltzmannsche
Geschwindigkeitsverteilung der Atome erzeugt, wenn für die Strahlungsdichte das Plancksche
Gesetz gilt - ein bemerkenswerter Zusammenhang.
4.2.2
Auswahlregeln
Für die Anregung eines Atoms von einem Anfangszustand |i in einen Endzustand |f unter
Absorption eines Photons, gibt es Auswahlregeln, die sich aus den Symmetrieeigenschaften der
Wellenfunktionen und damit letztlich aus den Invarianzeigenschaften des Hamiltonoperators
ergeben. Für elektrische Dipolübergänge erhält man aus den Dipolmatrixelementen für linear
polarisiertes Licht ψf | ez |ψi , respektive zirkular polarisiertes Licht ψf | e(x ± iy) |ψi , die folgenden Auswahlregeln:
72
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
• = ± 1,
Δ = ±1 (Drehimpulserhaltung)
• unterschiedliche Parität der beiden Zustände
• m = m , für linear polarisiertes Licht
• m = m ± 1, für rechtszirkular (σ + ), bzw. linkszirkular (σ − ) polarisiertes Licht.
Berücksichtigt man die Spin-Bahn-Kopplung, so kann sich auch der Spin ändern, da jetzt
der Zustand eine Linearkombination aus Bahndrehimpuls und Spinzuständen ist. Die Lichtwelle
greift jedoch immer nur am Bahndrehimpulsanteil an. Die Stärke des Übergangs hängt
also vom Anteil der Bahndrehimpulswellenfunktion an der gesamten Wellenfunktion ab. Die
Zahlen, die diesen Beitrag angeben, heißen Clebsch-Gordon-Koeﬃzienten. Man erhält folgende
Auswahlregeln:
• ΔJ = 0, ±1
• ΔmJ = 0, ±1
• kein Übergang von J = 0 → J = 0
• für ΔJ = 0 kein mJ = 0 → mJ = 0
Für Hyperfeinübergänge gelten die Regeln entsprechend mit den Quantenzahlen F und mF .
Übergänge die diesen Auswahlregeln genügen, heißen ”erlaubte” elektrische (Dipol-,
E1)Übergänge, andere Übergänge sind ”verboten”. Aber auch ”verbotene” Übergänge können,
stattﬁnden, beispielsweise als magnetische Dipolübergänge (M1), oder höhere elektrische, bzw.
magnetische Multipolübergänge (E,M). Desweiteren gibt es die Möglichkeit mehr als ein Photon gleichzeitig zu absorbieren oder emittieren; dann spricht man von Mehrphotonenübergängen.
(−1)+1 .
Die Parität eines Photons der Multipolordnung E ist (−1) , für M entsprechend
Ein Photon der Multipolstrahlung der Ordnung trägt einen Drehimpuls ( + 1). Aus
der Drehimpulserhaltung und der Paritätserhaltung ergeben sich dann wieder entsprechende
Auswahlregeln.
In der Atomphysik ist im wesentlichen die Dipolstrahlung von Interesse. Dies liegt daran,
dass die Übergangswahrscheinlichkeit für einen E/M Übergang proportional ist zu
2πR
λ
2l
.
(4.34)
Für Atome R ≈ 10−10 m und Strahlung im sichtbaren Bereich (λ ≈ 6 · 10−7 m) ergibt sich daraus
eine Unterdrückung von annähernd 10−6 für Multipolstrahlung der nächsthöheren Ordnung. Bei
Kernübergängen (R ≈ 10−15 m, Eλ = 2 MeV) hingegen ist dieser Faktor bereits auf etwa 2 · 10−4
reduziert, hier sind höhere Multipolübergänge von größerer Bedeutung. Magnetische Übergänge
sind gegenüber elektrischen der gleichen Multipolordnung auch noch einmal um einen Faktor
(υ/c)2 unterdrückt. Trotz (oder gerade wegen) ihrer geringen Übergangswahrscheinlichkeit besitzen auch die Übergänge höherer Multipolordnung z.B. als Uhrenübergänge eine große Bedeutung in der Atomphysik.
4.2. STRAHLUNGSGESETZE NACH EINSTEIN
4.2.3
73
Konsequenzen der Einsteinschen Beziehungen für das Laserprinzip
Wir wollen in diesem Abschnitt zwei für das Laserregime sehr wichtige Verhältnisse diskutieren,
nämlich
- das Verhältnis aus stimulierter Emission zu stimulierter Absorption und
- das Verhältnis aus stimulierter Emission zu spontaner Emission.
Klarerweise kann eine Verstärkung einer Lichtwelle durch stimulierte Emission in einem Medium
nur dann funktionieren, wenn diese die stimulierte Absorption überwiegt. Für ein Gas im
thermischen Gleichgewicht ist aber laut (4.28) und (4.29) das Verhältnis gleich
nN
gn Nm
Bm
m
=
= e−(Em −En )/kT < 1.
m
Bn Nn
gm Nn
(4.35)
Ein thermisches Gas schwächt also in jedem Falle die einfallende Welle. Um eine Verstärkung
zu erlangen, muss eine Inversion der Besetzungszahlen vorliegen, derart, dass das betrachtete
Verhältnis
gn Nm
> 1.
(4.36)
gm Nn
wird. Bezogen auf die (entarteten) jeweiligen Unterzustände der beteiligten Terme bedeutet
dies, dass die des oberen jeder für sich stärker besetzt sein müssen, als die des unteren, oder
dass im schlichten zwei-Niveau-System Nm /Nn > 1 sein muss. Die obige Inversionsbedingung
(4.36) ist zwar notwendig, aber keineswegs hinreichend für den Lasereinsatz. Vielmehr muss sich
die stimulierte Emission nicht nur gegen die Absorption, sondern auch gegen die Konkurrenz
der spontanen Emission durchsetzen. Hierzu wird ein gewisser, minimaler Schwellenwert der Inversion verlangt, der im einzelnen erst im Abschnitt zur Schawlow-Townes-Schwellenbedingung
abgeleitet wird. Wir können uns aber an dieser Stelle schon ein Bild darüber machen, wie
das Verhältnis aus stimulierter zu spontaner Emission im Falle der Hohlraumstrahlung, also im
thermischen Gleichgewicht, aussieht. Wir betrachten die induzierte sowie die spontane Emissionsrate (Γi bzw. Γs ) eines einzelnen Atoms, das sich innerhalb des Hohlraums beﬁnde. Hierfür
erhalten wir aus dem Einsteinschen Ansatz und der Planckschen Strahlungsformel (im folgenden
n = B und An = A)
gelte immer Bm
m
1
ρB
= hν/kT
= δ.
A
e
−1
(4.37)
δ war aber gerade der dritte Faktor in (4.33), also die Besetzungszahl des betreﬀenden Eigenzustands der Frequenz des Hohlraums, die auch Entartungsparameter genannt wird. Die induzierte
Emission überwiegt also im Bereich δ > 1, d.h. dann, wenn im Mittel jeder Schwingungsmode
mit mehr als einem Quant besetzt ist. Dazu muss, grob gesprochen, die thermische Energie kT
größer als die Quantenenergie hν sein.
Wir führen zu δ einige Beispiele an:
Bei Zimmertemperatur beträgt kT ungefähr 25meV , die Energie eines Lichtquants im optischen Bereich aber etwa 2, 5eV . Der Entartungsparameter ist demnach δ ≈ e−100 , d.h. ein
Hohlraum ist bei Zimmertemperatur für das Auge in der Tat absolut schwarz. Selbst im sichtbaren Sonnenlicht, emittiert bei Temperaturen um 6000K, ist δ immer noch kleiner als 1%
(Lichtquellen mit δ > 1 haben für das Auge oﬀensichtlich verheerende Blendwirkung; das erklärt
die Gefährlichkeit des Lasers). Ganz anders liegen die Verhältnisse im Mikrowellengebiet (z.B.
beim Maser). Bei einer Frequenz von 5GHz beträgt die Quantenenergie nur ca. 2 · 10−5 eV .
Für den Entartungsparameter gilt dann δ ≈ 103 . Entsprechend drastisch sind die Unterschiede
74
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
im Rauschen: im Mikrowellengebiet, wie auch natürlich im ganzen Radiogebiet, dominiert die
thermische Strahlung als Rauschquelle; es lohnt sich also, Empfänger zu kühlen. Im optischen
Gebiet dagegen ist die spontane Emission die einzige ernst zu nehmende Rauschquelle. Wir
betrachten jetzt noch die totale Emissionswahrscheinlichkeit
ΓE
tot = Γi + Γs = ρB + A = A (δ + 1) ,
(4.38)
wobei in der letzten Gleichung B mit Hilfe von (4.37) eliminiert wurde. In der Klammer vertritt
jetzt δ die induzierte und 1 die spontane Emission. Wir interessieren uns im folgenden statt
für einen abstrakten, beliebig großen Hohlraum für einen ganz konkreten Hohlraumresonator,
dessen Volumen V das strahlende Lasermedium einschließen soll, und es geht jetzt darum,
mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Lichtquant in eine ganz bestimmte Eigenschwingung (engl.:
mode) emittiert wird. Hierzu nehmen wir an, das Medium emittiere mit einer Spektralfunktion
S(ν), deren Maximum auf 1 normiert sei (siehe Abb. 4.11). Wir müssen zunächst die Zahl der
Moden Z bestimmen, die unter der Spektralfunktion liegen, d.h. in die hinein Emission erfolgen
kann. Wir erhalten sie aus der Faltung der Zustandsdichte dZ/dν des realen Resonators mit der
Spektralfunktion S(ν)
dZ
S(ν)dν.
(4.39)
Z=
dν
Abb. 4.11: Illustration zur Spektralfunktion S(ν) und Modenzahl eines Hohlraumresonators
War 8πν 2 /c3 die Zustandsdichte pro Volumeneinheit, so erhalten wir diejenige des realen Resonators durch Multiplikation mit seinem Volumen V :
dZ
8πν 2
= 3 V.
dν
c
(4.40)
Bei V = 1cm3 beträgt sie im optischen Bereich ungefähr 1 pro Hertz. Selbst bei den scharfen optischen Spektrallinien passen also noch immer sehr viele Modes unter die Linienbreite, und es war
daher gerechtfertigt, in (4.39) die Summation durch das Integral zu ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Photonen in einen ganz bestimmten Mode k mit der Frequenz νk emittiert werden,
ist dann gegeben durch
A (nk + 1) S (νk )
.
(4.41)
ΓE
k (νk ) =
Z
Statt des statistischen Mittels δ wurde in (4.41) die jeweilige Besetzungszahl nk des Modes
k eingesetzt. Da Z proportional zu V ist, sieht man, dass (4.41) über das Verhältnis nk /V
4.2. STRAHLUNGSGESETZE NACH EINSTEIN
75
proportional zur Energiedichte im betreﬀenden Resonatormode ist, wie erwartet. Außerdem ist
ΓE
k (νk ) nach Voraussetzung proportional zur Spektralfunktion. Je größer das Resonatorvolumen
ist, auf umso mehr Modes verteilt sich die Emission, deren Gesamtrate ΓE , die Summe über alle
ΓE
k , davon allerdings unberührt bleibt.
Als Beispiel einer Spektralfunktion führen wir die Lorentzkurve an, deren Breite Δν = A/2π
nur durch die Strahlungsdämpfung A gegeben sei und erhalten (mit ν0 Δν)
Z=
dZ
dν
2πν02
≈
A · V.
dν 1 + (2(ν − ν0 )/Δν)2
c3
(4.42)
In (4.41) hebt sich damit A heraus.
Die spezielle Situation des Lasers besteht nun darin, dass die stimulierte Emission nur in
einen oder wenige Resonatormodes erfolgt in Konkurrenz zur spontanen Emission in alle
übrigen. Wir haben damit schon die meiste Vorarbeit zur Ableitung der Schawlow-TownesSchwellenbedingung geleistet, möchten aber, bevor wir damit fortfahren, in den nächsten beiden
Abschnitten noch einige grundsätzliche Fragen der Strahlungsphysik behandeln.
4.2.4
Die Breite von Spektrallinien
Die spontane Emission führt zu einer endlichen Lebensdauer des angeregten Zustands |2 und
damit zu einer endlichen Energiebreite, d.h. der Zustand ist nicht ”scharf”. Unter der Annahme, dass kein Strahlungsfeld vorhanden ist (ρ(ν) = 0) ist nur die spontane Emission von
Null verschieden. Die Lebensdauer von |2 ergibt sich dann aus der Integration von der Gleichung für die spontane Emission mit der Annahme, dass die Besetzungsdichte n2 proportional
ist zur quantenmechanischen Wahrscheinlichkeit ein Atom im Zustand |2 zu ﬁnden. Die Lösung
für n2 lautet
(4.43)
n2 (t) = n2 (0) e−A21 t
:= 1 = 1 . Kann das Atom in mehrere
γ21−1 2πΓ21
- die elektromagnetische Welle, die
tieferliegende Zustände j zerfallen, so gilt τ2 =
j A2j
vom Atom abgestrahlt wird, klingt somit exponentiell ab - im Frequenzraum entspricht dies
einem Spektrum der Form
Γ
1
2
(4.44)
GL (ν) =
π (ν − ν0 )2 + Γ 2
und damit ist die mittlere Lebensdauer τ2 =
1
A21
2
mit der zentralen Übergangsfrequenz ν0 = = (E2 − E1 )/h und Γ = Γ21 = Γ2 + Γ1 . Ein solches
Lorentz-Proﬁl ist in Abb. 4.12(a) als durchgezogene Linie dargestellt. Seine volle Breite zwischen
den Punkten halber Intensität ist ΔνFW HM = Γ = 2πA21 . Die Integration über das Proﬁl ergibt
die totale Übergangsrate A12 . In einem dichten Gas wird der Wellenzug vor dem natürlichen
Abklingen oftmals bereits durch phasenstörende Stöße mit anderen Atomen unterbrochen. Dies
führt zu einer zusätzlichen (Druck-)Verbreiterung der Linie5
Γeﬀ = Γ21 + ΓStoß = Γ21 + const · p.
(4.45)
Beide Arten der Verbreiterung werden als homogen bezeichnet weil sie eine Eigenschaft aller
Atome eines Ensembles sind. Weitere homogene Verbreiterungen werden auch verursacht durch
kurze Wechselwirkungszeiten zwischen Lichtstrahl und Atomen (Flugzeitverbreiterung) oder
sehr starke Strahlungsfelder (Sättigungsverbreiterung). Sie werden als homogen bezeichnet,
5
Darüberhinaus kommt es auch zu einer Verschiebung der Linienlage.
76
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.12: (a) Linienform von Lorentz- und Gaußproﬁl. (b) Das Voigtproﬁl ergibt sich unter
Berücksichtigung der homogenen Linienbreite jedes Atoms.
weil Licht einer Frequenz, die in das Proﬁl passt, jedes Atom anregen (oder abregen) kann.
Dies ist nicht der Fall bei der (scheinbaren) Verbreiterung einer Linie durch den Dopplereﬀekt
in einem Gas (Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung). Die emitierte Frequenz eines Atoms
hängt hier in erster Näherung von der Momentangeschwindigkeit υ der Atome (Masse M ) in
Emissionsrichtung ab, d.h. ν = ν0 (1 ± υc ). Dadurch kommt es zu einem Proﬁl mit der Form
einer Gauß-Verteilung
M c2 ν − ν0 2
4 ln 2 1
(4.46)
exp −
GGauss (ν) =
π ΓD
2kT
ν0
wie sie in Bild Abb. 4.12(a) gestrichelt dargestellt ist. Dabei ist die volle Halbwertsbreite des
Gaußproﬁls durch
8kT ln(2)
T
−7
[K/amu]
(4.47)
= 7.16 · 10 ν0
Γ D = ν0
M c2
M
gegeben. Man √
beachte, dass
die Dopplerbreite proportional ist zur Resonanzfrequenz ν0 des
Überganges, zu T und zu 1/M . Diese Verbreiterung der Spektrallinie nennt man inhomogen,
weil Licht einer Frequenz aus dem Intervall nur Atome derjenigen Untergruppe anregen kann,
deren momentane Geschwindigkeit υz in Richtung auf den Beobachter die Resonanzbedingung
νLaser · (1 ± υc ) ≈ ν0 ± Γ2 erfüllt.
Beispiel: In einem Gas von Calciumatomen beträgt die Dopplerbreite der 422.8 nm Resonanzlinine von 44 Ca bei 1200 K ungefähr 2.8 GHz. Dies ist rund das 80-fache der natürlichen
Linienbreite von 35 MHz. Die Hyperfeinstruktur der ungeraden Isotope 41,43 Ca liegt in der
Größenordnung 100 MHz und kann unter diesen Bedingungen nicht aufgelöst werden.
Um ein realistischeres Linienproﬁl für dopplerverbreiterten Linien zu erhalten, muss man
berücksichtigen, dass jedes Atom aus dem Dopplerproﬁl mit der Geschwindigkeit υ selbst noch
eine homogene Verbreiterung aufweist. Daher muss das Gaußproﬁl noch mit einem Lorentzproﬁl
4.2. STRAHLUNGSGESETZE NACH EINSTEIN
77
gefaltet werden:
+∞
dν GGauss (ν ) GLorentz (ν − ν ).
GVoigt (ν) =
(4.48)
−∞
Das resultierende Proﬁl wird als Voigt-Proﬁl bezeichnet, sein Zustandekommen ist in
Abb. 4.12(b) veranschaulicht. Es ist nahe der Resonanz durch das Dopplerproﬁl, weitab der
Resonanzfrequenz hingegen durch die weiten Flanken des Lorentzproﬁls dominiert. Es gibt
zahlreiche laserspektroskopische Methoden um die inhomogenen Linienverbreiterungen zu
überwinden, um Spektren zu erhalten, deren Auﬂösung nur durch die natürliche Linienbreite
begrenzt ist. Beispielhaft seien drei Methoden an dieser Stelle erwähnt:
1. Spektroskopie am kollimierten Atomstrahl
Atome die aus einem heißen Röhrchen in z-Richtung austreten (vgl. Kapitel 1) können
durch eine entfernte Blende gut kollimiert werden. Die Atome des entstandenen Strahls
besitzen nur eine kleine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Atomstrahlrichtung.
Eine Blende mit Durchmesser b im Abstand d führt zu einem vollen Öﬀnungswinkel des
Strahls von ε ≈ b/d (Abb. 4.13). Wird der Laser in der x-y Ebene eingestrahlt, so ist
dementsprechend die Dopplerbreite um einen Faktor sin(ε/2) ≈ ε/2 reduziert. Bei Laserstrahlen mit kleinen Durchmessern und hohen Ofentemperaturen kann allerdings durch die
kurze Wechselwirkungszeit zwischen Atomen und Laserstrahl eine Flugzeitverbreiterung
auftreten.
Beispiel: Eine Kollimation b = 1 mm, d = 5 cm führt zu einer Reduktion der Dopplerbreite
um einen Faktor 100. Im obigen Beispiel kann die Dopplerbreite ungefähr auf die natürliche
Lineinebreite reduziert und die Hyperfeinstruktur der Calciumatome aufgelöst werden.
Abb. 4.13: Geometrie bei der Spektroskopie am kollimierten Atomstrahl.
2. Kollineare Spektroskopie
Die Beschleunigung von Ionen auf Energien von einigen 10 keV, führt zu einer drastischen
Reduktion der Dopplerbreite wenn der Laser in Richtung des Atomstrahls (kollinear oder
anti-kollinear) eingestrahlt wird. Für ein Ensemble mit der mittleren kinetischen Energie
E = 12 mv 2 beträgt die Energiebreite aufgrund der unterschiedlichen Geschwindigkeiten
δE = mυ δυ. Werden diese Ionen in einem elektrostatischen Feld beschleunigt, so bleibt
die Energieunschärfe δE erhalten. Da die Geschwindigkeit υ aber stark zunimmt, muss δυ
78
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
entsprechend sinken und damit die Dopplerbreite ΓD auf
ΓD
1
=
2
δE
ΓD
E
(4.49)
reduziert. Anschaulich wird dies verständlich, wenn man bedenkt, dass langsame Ionen
länger im Beschleunigungsfeld verweilen als solche die in Feldrichtung bereits mit einer
hohen Anfangsgeschwindigkeit starten. Dadurch werden die Unterschiede in der Anfangsgeschwindigkeit ausgeglichen (siehe Übungen).
3. Sättigungsspektroskopie
Während man in den ersten beiden Verfahren die externen Freiheitsgrade der Atome bzw.
Ionen verändert, werden bei der Sättigungsspektroskopie die Atome einer bestimmten
Geschwindigkeitsklasse mittels eines Laserstrahls quasi markiert und diese Markierung mit
einem zweiten Laserstrahl abgefragt. Unter Sättigung versteht man, dass mit wachsender
Laserleistung der Absorptionskoeﬃzient sinkt und das Medium für den Laserstrahl transparent wird. Ein intensiver resonanter Laserstrahl (Pumplaser) kann also ein Medium derart ausbleichen, dass ein zweiter, ebenfalls resonanter Laserstrahl (Probestrahl) nicht mehr
absorbiert und gestreut wird. Der Pumpstrahl bleicht diejenige Geschwindigkeitsklasse
aus, die mit der Laserfrequenz resonant ist. Der Nachweis kann durch das Beobachten einer
verminderten Absorption mit dem Probe-Laser erfolgen. Wird für Pump- und Probestrahl
der gleiche Laser verwendet (Abb. 4.14 a) und gegenläuﬁg durch eine Gaszelle geschickt, so
bleichen sie sich im Resonanzfall gegenseitig aus. Man erhält einen sehr schmalen Einbruch
im Spektrum (Lamb-Dip), der von der Aborption der Atome ohne Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung stammt (Abb. 4.14 b). Die Resonanzfrequenz bleibt daher unberührt
vom Dopplereﬀekt. Damit kann man atomare Übergangsfrequenzen sehr genau messen
und ist nur noch durch die natürliche Linienbreite begrenzt.
Abb. 4.14:
Experimenteller
Sättigungsspektroskopie.
Aufbau
(a)
und
Absorptionssignal
(b)
bei
der
4.3. KOHÄRENZVOLUMEN, PHASENZELLE, PHASENFLUKTUATIONEN
4.3
4.3.1
79
Kohärenzvolumen, Phasenzelle, Phasenﬂuktuationen
Kohärenzzeit, Autokorrelationsfunktion, Leistungsspektrum
Im Folgenden sei immer ein quasimonochromatisches und schlankes Lichtbündel vorausgesetzt,
das die Bedingungen Δν ν0 und Δϑ 2π erfüllt (siehe Abb. 4.15).
Abb. 4.15: Illustration zu Monochromasie und Divergenz eines Lichtbündels
Als Kohärenzzeit bezeichnet man im allgemeinen die reziproke Linienbreite
tc =
1
,
Δν
(4.50)
denn nach einer Zeit tc nimmt der relative Phasenunterschied zwischen den verschiedenen spektralen Komponenten des Lichtbündels bereits Werte zwischen
0 ≤ Δϕ ≤ 2πΔνtc = 2π,
(4.51)
an. Bringen wir ein solches Lichtbündel nach einem Laufzeitunterschied von tc mit sich selbst
zur Interferenz, so werden die spektralen Komponenten teils konstruktiv, teils destruktiv interferieren und der Interferenzkontrast in summa stark abgeschwächt sein. Wir wollen diese
Beziehung genauer untersuchen und zunächst eine exakte Meßvorschrift für die Kohärenzzeit
mittels des Michelson-Interferometers geben (siehe Abb. 4.16).
Abb. 4.16: Michelson-Interferometer zur Bestimmung der Autokorrelationsfunktion eines
Lichtbündels
80
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Am Empfänger wird die aus der Interferenz der beiden Teilbündel resultierende Intensität I(t)
als Funktion des Laufzeitunterschieds
τ=
2(L2 − L1 )
c
(4.52)
gemessen und zwar nicht momentan, sondern bei jedem τ als zeitlicher Mittelwert über eine
längere Meßperiode 2T τ . Die Intensität am Empfängerort r ist über die Beziehung
I(r, t) = c · ρ = c ε0 E 2 (r, t) zum Quadrat der elektrischen Feldstärke am Interferenzort proportional. Wir erhalten somit für den Mittelwert im Limes T → ∞
T
2
I(r, τ )
1
= lim
E(r, t) + E(r, t + τ ) dt
T →∞ 2T
c ε0
−T
#
2 $
= E(r, t) + E(r, t + τ )
(4.53)
t
= 2E (r, t) t + 2E(r, t)E(r, t + τ ) t
2
Bei (4.53) müssen wir voraussetzen, dass E 2 (t) über die Messzeit 2T einen stabilen Mittelwert
hat, wohingegen kleine Fluktuationen von Amplitude und Frequenz zugelassen sind. Während
der erste Term in der letzten Zeile von (4.53) die inkohärente Summe der Teilintensitäten
darstellt, beschreibt der zweite Teil
1
K(τ ) = lim
T →∞ 2T
T
E(r, t)E(r, t + τ ) dt
(4.54)
−T
die durch den Laufzeitunterschied entstandene, zeitunabhängige und in τ = 2π/ω periodische
Interferenz der beiden Teilstrahlen, die für τ > tc ausklingt (ihre Abhängigkeit vom Beobachtungsort r interessiert hier nicht und wird unterdrückt). K(τ ) ist die sogenannte Autokorrelationsfunktion, die bei allen Kohärenzfragen und auch in vielen anderen, statistisch gestörten
Systemen ein entscheidendes Charakteristikum ist.
Zufolge des Wiener-Khintchine-Theorems besteht zwischen der Autokorrelationsfunktion und
dem Leistungsspektrum dI(ν)/dν ein eineindeutiger Zusammenhang über die Fouriertransformationen
1 dI(ν)
=
cε0 dν
∞
K(τ )e−2πiντ dτ
−∞
bzw.
(4.55)
∞
K(τ ) =
−∞
1 dI(ν) 2πiντ
e
dν.
cε0 dν
Die Spektroskopie durch Ausmessung der Autokorrelationsfunktion im Michelson-Interferometer
heißt deswegen auch Fourierspektroskopie und hat in den letzten Jahrzehnten sehr an Bedeutung gewonnen, nachdem es möglich geworden ist, mit Hilfe von Prozessrechnern auch sehr
komplizierte und datenreiche Autokorrelationsfunktionen schnell einer Fouriertransformation
zu unterwerfen. Sie hat besonders im infraroten Spektralbereich Vorteile im Signal-RauschVerhältnis gegenüber anderen hochauﬂösenden spektroskopischen Methoden. Der Zusammenhang (4.55) gilt für jedes beliebige Spektrum, gleichgültig auf welche Art und Weise die spektrale
4.3. KOHÄRENZVOLUMEN, PHASENZELLE, PHASENFLUKTUATIONEN
81
Verteilung zustande gekommen ist, ob durch Strahlungsdämpfung, Stoßdämpfung, Dopplereffekt, Überlagerung verschiedener Spektrallinien, schwarze Strahlung oder sonstige Eﬀekte. Dies
gilt aber wie gesagt nur für die spektrale Intensitätsverteilung, nicht unbedingt für die Amplitudenverteilung, die ja auch im Experiment nicht gemessen wird.
Im Folgenden werden wir der Einfachheit halber häuﬁg mit komplexen, statt reellen Feldamplituden rechnen. Die theoretische Optik benutzt hierzu das sogenannte “komplexe analytische
Signal” (oder Feld) A(r, t) (Gabor 1946). Es kann wie folgt deﬁniert werden: Sei ein reelles Feld
A(r) (r, t) gegeben durch das Integral seiner spektralen Fourierkomponenten v(r, ν)
∞
(r)
A
v(r, ν)e2πiνt dν,
(r, t) =
(4.56)
−∞
dann muss v(r, −ν) = v (r, ν) gelten, damit A(r) reell ist. Folglich ist alle Information über A(r)
schon in den Komponenten positiver Frequenz enthalten. Deshalb beschränkt man sich bei der
Einführung des komplexen analytischen Feldes auf ν > 0:
∞
v(r, ν)e2πiνt dν
A(r, t) =
0
(4.57)
⇒ A(r) (r, t) = 2Re (A(r, t)) .
Enthalte A(r) nur streng monochromatische Komponenten νk , seien also die v(r, ν) δ-Funktionen
von νk (Linienspektrum), dann kann man mit (4.57) leicht nachprüfen, dass der Übergang von
A(r) → A wie gewohnt durch die Ersetzung
1
cos ωk t − kk r → ei(ωk t−kk r)
2
erfolgt. Das ist auch noch für quasimonochromatische Felder, auf die wir uns hier immer
beschränken können, in guter Näherung richtig, also z.B. für ein schwach gedämpftes Signal
der Form
Γ
e− 2 t cos(ωt) mit Γ ω.
Die Intensität oder genauer Energiedichte von A(t) wird deﬁniert als
I(r, t) = A(r, t)A (r, t)
(4.58)
und ist bei einem schwach veränderlichen, quasimonochromatischen Feld gleich
2 1 (r)
A (r, t)
I(r, t) =
2
t
gemittelt über eine Periode T . Sie variiert also nicht mehr mit der hohen optischen Frequenz,
sondern nur noch mit den längerfristigen Änderungen des mittleren Amplitudenquadrats. Dementsprechend wird auch K(τ ) umdeﬁniert zu
K(τ ) = A (r, t)A(r, t + τ )t
1
= lim
T →∞ 2T
T
A (r, t)A(r, t + τ )dt.
−T
(4.59)
82
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Das zugehörige Leistungsspektrum
dI(r, ν)
=
dν
∞
K(τ )e−2πiντ dτ
(4.60)
−∞
enthält jetzt nur noch positive Frequenzen wegen (4.57).
Der Zusammenhang (4.55) zwischen Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum gilt auch
unverändert, wenn man nur einzelne Lichtpulse statt einer stationären Lichteinstrahlung betrachtet. Allerdings verschwindet dann im Limes T → ∞ der zeitliche Mittelwert von K(τ ) (vgl.
Gl. 4.53) und damit auch von dI(ν)/dν. Man betrachtet daher zweckmäßigerweise stattdessen
das zeitliche Integral über das Leistungsspektrum, also das Energiespektrum des Pulses:
dE(ν)
=
dν
∞
−∞
dI(ν)
dt
dν
das wieder endlich ist. Außerdem ist die Gesamtenergie E des Pulses sowohl als Integral
über das Energiespektrum als auch über die zeitliche Verteilung der Intensität darstellbar (vgl.
Manuskript von H. Backe, Elektronik):
∞
E=
−∞
4.3.2
dE
dν =
dν
∞
A (t)A(t)dt
−∞
Räumliche Kohärenz und Kohärenzﬂäche
Die Lichtquelle habe einen quasi kreisförmigen Querschnitt der Fläche ΔS und einen
Durchmesser Δl (siehe Abbildung 4.17).
Abb. 4.17: Zu Kohärenzﬂäche und Kohärenzvolumen
Dann bezeichnen wir als die Kohärenzﬂäche ΔA im Abstand R von der Lichtquelle diejenige
Fläche, die die Punkte enthält, deren optische Weglänge zu jedem Punkt der Lichtquelle um
weniger als λ variiert. Würde man also im Abstand R einen Schirm mit Löchern innerhalb dieser
ersten Fresnelzone aufstellen, so würde das Licht dahinter noch klare Interferenzstrukturen
zeigen. Die Kohärenzﬂäche wird berandet durch den Kegel mit dem Öﬀnungswinkel
Δϑ ≈
λ0
(λ0 : zentrale Wellenlänge).
Δl
4.3. KOHÄRENZVOLUMEN, PHASENZELLE, PHASENFLUKTUATIONEN
83
Ihre Fläche ist demnach
λ20 R2
.
(4.61)
ΔS
Als Kohärenzvolumen bezeichnet man das Produkt aus Kohärenzlänge und Kohärenzﬂäche, also
2 4
cλ20 R2
λ0
R
ΔV = ctc ΔA ≈
≈
.
(4.62)
ΔνΔS
Δl
Δλ
ΔA ≈ (RΔϑ)2 ≈
Dabei versteht man als Kohärenzlänge diejenige Strecke c · tc , die das Licht innerhalb der
Kohärenzzeit zurücklegt. In der klassischen Wellenoptik hat das Kohärenzvolumen folgende
Bedeutung: wenn man aus einem Lichtwellenfeld, das durch die Parameter ΔS und Δν der
Lichtquelle gegeben ist, ein Lichtbündel herausschneidet, das weniger als das Kohärenzvolumen
einnimmt, so kann man dieses, im Kohärenzvolumen eingeschlossene Licht auf keine Art und
Weise spektral oder räumlich trennen.
Geht man vom klassischen Feld zum Feld der Lichtquanten über, so kann man das
Kohärenzvoumen im Sinne der Quantenstatistik umdeuten, indem man den Phasenraum
betrachtet, den die im Kohärenzvolumen eingeschlossenen Lichtquanten einnehmen. Da wir
ein schlankes, quasimonochromatisches Bündel betrachten, ist in erster Näherung die Impulsunschärfe in Ausbreitungsrichtung z (siehe Abbildung 4.17) nur durch die spektrale Unschärfe
gegeben, während die transversalen Komponenten um ihren vollen, durch den Öﬀnungswinkel
begrenzten Wert schwanken. Wir haben also
Δpz ≈
hΔν
c
(4.63)
und
hν0 Δl
hν0
Δα ≈
.
c
c R
Somit erhalten wir für das eingenommene Phasenraumvolumen ΔΦ
Δpx ≈ Δpy ≈
ΔΦ = (Δpx Δpy Δpz )(ΔV )
& %
%
&
c 2 R 2
h3 ν02 Δl 2
= h3 .
λ
Δν ·
≈
c3
R
Δν 0 Δl
(4.64)
(4.65)
In der Quantenstatistik ist aber h3 die Größe einer Phasenzelle. Alle Teilchen in der gleichen Phasenzelle sind also im gleichen Quantenzustand und in diesem Sinne ununterscheidbar.
Statt einer strahlenden Fläche betrachten wir jetzt ein strahlendes Volumen V und bestimmen den Gesamtphasenraum, in den diese Lichtquelle emittiert, also unter Einschluß des vollen
Raumwinkels Ω = 4π. Das Licht sei weiterhin quasimonochromatisch mit der spektralen Breite
Δν. Der eingenommene Impulsraum ist daher durch den Inhalt der Kugelschale
ΔVp ≈ 4πp20 Δp ≈
4πh3 ν02
Δν
c3
(4.66)
gegeben. Multipliziert mit dem Ortsraum V und einem weiteren Faktor 2, der die beiden
unabhängigen Polarisationsrichtungen des Lichts als unabhängige Freiheitsgrade berücksichtigt,
ergibt sich
8πν 2
ΔΦ ≈ h3 3 0 ΔνV = h3 Z .
(4.67)
c
Die Zahl Z der eingenommenen Phasenzellen ist de facto identisch mit der Zahl Z der im Volumen V und Frequenzintervall Δν zur Verfügung stehenden Eigenschwingungen eines Hohlraumresonators ((4.39) bis (4.42)); man berücksichtige, dass (4.66) nur eine Abschätzung und keine
84
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
exakte Integration über die Impulsunschärfe war.
Für den Laser können wir aus (4.67) folgende Konsequenzen ziehen:
Die Laserwirkung durch stimulierte Emission wird im wesentlichen nur eine Phasenzelle be
treﬀen und sich gegen die Konkurrenz der spontanen Emission in alle Z durchsetzen müssen.
Zahlenmäßig ist dieses Ergebnis das gleiche, wie in Abschnitt 4.2.3. abgeleitet; jedoch ist die Betrachtungsweise viel allgemeiner. Es kommt in der Tat nicht auf das Resonatorvolumen, sondern
nur auf das Volumen des Lasermediums an. Das erstere kann ohne weiteres größer sein als das
letztere. Die Zahl Z ist dann zwar größer als Z ; das Anwachsen der Resonatormodes wird aber
vom Lasermedium gar nicht unterschieden; es fallen dann eben mehrere Resonatormodes in die
gleiche Phasenzelle des Lasermediums und tragen daher auch mit der Summe ihrer Lichtquanten
kohärent zur stimulierten Emission bei. Am Schwellenwert wird sich dadurch nichts ändern. Es
ist natürlich auch unerheblich, ob der Resonator geschlossen ist, oder nur von kleinen Spiegeln
im interessanten Raumwinkelbereich des Laserstrahls gebildet wird, die die für die stimulierte
Emission in Frage kommenden Modes selektieren; denn dass die Gesamtrate der konkurrierenden, spontanen Emission unabhängig vom Resonatorvolumen ist, hatten wir schon in Abschnitt
4.2.3. gezeigt. Mit (4.67) zeigen wir darüber hinaus, dass die spontane Emission überhaupt
unabhängig von der Existenz eines Resonators ist, wie es auch der Einsteinschen Grundannahme über den A-Koeﬃzienten entspricht (Voraussetzung ist allerdings, dass ein eventueller
Resonator groß genug ist, damit genügend Modes innerhalb der natürlichen Linienbreite liegen).
Aber auch für die Laserwirkung ist der Resonator im Prinzip nicht notwendig; denn die stimulierte Emission könnte sich bei geeigneten Voraussetzungen auch ohne die Rückkopplung durch
die Spiegel in einer Phasenzelle des Lasermediums durchsetzen und dort lawinenartig anwachsen
(siehe Abschnitt über Superradianz).
4.3.3
Phasenﬂuktuationen im Lichtfeld
Bei einer klassischen Hochfrequenzwelle ist es im Prinzip kein Problem, alle ihre Parameter, also
Amplitude, Frequenz und Phase, beliebig genau zu bestimmen. Das stimmt jedenfalls solange,
wie das Feld genügend stark und frei von Rauschen ist. Bevor wir dieses Problem im Bereich
der Quantenoptik diskutieren, stellen wir uns erst die Frage, wie man überhaupt die Phase einer
Lichtwelle, gegeben durch das klassische Feld
A(r, t) = A0 ei(ωt−kr+ϕ)
(4.68)
messen kann. Hierzu könnte man es mit einem Feld A (r, t) bekannter Frequenz und Phase
mischen, indem man beide Felder räumlich kohärent auf einen Photomultiplier oder eine Photodiode einstrahlt.
Der Photostrom ist proportional zur einfallenden Gesamtintensität
2
I(t) ∼ A(r, t) + A (r, t) ,
die mit der Schwebung
i
2Re(A A ) = 2Re A0 A0 e
ω −ω t− k −k r + ϕ −ϕ
(4.69)
moduliert ist.
Die Schwebungsfrequenz darf die Grenzfrequenz des Empfängers nicht
überschreiten, die bei sehr schnellen Dioden im Bereich von 100GHz liegt. Die Schwebung
sei nun verrauscht (siehe Abbildung 4.18) durch Fluktuationen von Amplitude, Frequenz und
Phase des Feldes A(r, t). Das Rauschen werde vor allem durch die Intensität der empfangenen
4.3. KOHÄRENZVOLUMEN, PHASENZELLE, PHASENFLUKTUATIONEN
85
Abb. 4.18: Mischung zweier kohärenter Photonenfelder in einer Photodiode
Welle bestimmt. Daher wird auch die Unsicherheit, die das Rauschen in der Bestimmung
der Schwebungsphase erzeugt, mit abnehmender Intensität wachsen. Im einzelnen sind die
Zusammenhänge kompliziert und stellen ein schwieriges Kapitel in der klassischen Wellenoptik
dar, z.B. behandelt in [Mand1965], sowie vor allem in [Born1970].
Andererseits liefert die Quantentheorie des Lichts über die Unschärferelation einen Zusammenhang zwischen Energie und Phase einer Lichtwelle. Sei die mittlere Energie Ē im
Kohärenzvolumen gegeben durch eine mittlere Anzahl von Photonen n̄
Ē = n̄ ω,
dann beträgt deren Schwankung
ΔE = Δn ω =
√
n̄ ω.
Aus der Unschärferelation folgt dann mit der Kohärenzzeit tc = Δt als Zeitunschärfe
ΔE Δt = Δn ω Δt = Δn Δϕ ≈ und daraus
1
Δϕ ≈ √
n̄
(4.70)
Von einer deﬁnierten Phase kann man also nur bei entartetem Licht sprechen, also in der Regel
nur bei Laserlicht. Bei thermischen Lichtquellen, einschließlich aller Typen von Spektrallampen, bei denen der Entartungsparameter sehr viel kleiner als 1 ist, wird man daher auch keine
Schwebung beobachten können, selbst dann nicht, wenn das Licht beliebig monochromatisch,
die Kohärenzlänge also beliebig lang sein sollte.
Die Ableitung (4.70) schaut wie ein Taschenspielertrick aus, ist aber keiner. In der Quantenelektrodynamik kann man zeigen, dass Quantenzahl und Phase kanonisch konjugierte Variable des
Lichtfelds sind.
Zusammenfassend können wir feststellen, dass sich das Lichtquantenfeld bezüglich seiner Fluktuationen bei hohem Entartungsgrad wie ein klassisches Wellenfeld verhält, wie es auch das
Korrespondenzprinzip verlangt. Da bei den meisten Fragestellungen der Laserphysik immer
hohe Quantenzahlen im Spiel sind, genügt daher in der Regel eine semiklassische Behandlung,
bei der zwar die Zustände der Lasermaterie, nicht aber das Lichtfeld quantisiert werden.
86
4.4
4.4.1
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Die Schawlow-Townes-Schwellenbedingung und ihre Konsequenzen
Die Schwellenbedingung
Wir gehen von einem Zwei-Niveau-System aus, wobei das untere den Index 1, das obere den
Index 2 tragen soll. Weiterhin setzen wir Inversion voraus, d.h. N2 > N1 . Das Lasermedium
nehme das Volumen V ein und sei lediglich von zwei axialen Endspiegeln begrenzt, zwischen
denen wir die stimulierte Emission erwarten. Die Bedingung, dass der Resonator geschlossen sei
und genau das Volumen V einnehme, können wir nach Kapitel 4.3 fallenlassen, da die Zahl der
zur Verfügung stehenden Phasenzellen, in die das Lasermedium emittieren kann, ohnehin nur
durch dessen Volumen begrenzt wird und näherungsweise durch (4.67) oder genauer durch
8πν02
S(ν)dν
(4.71)
Z=V
c3
gegeben ist. Über Größe, Form und Anordnung der Endspiegel wird an dieser Stelle nicht näher
eingegangen; hier genügt es festzustellen, dass sie stabile, longitudinale Eigenschwingungen in
Form eines schlanken Lichtbündels gestatten. Die Laserwirkung wird nun in einem der stabilen
Moden dieses Spiegelsystems einsetzen, weil die Lichtquanten darin durch mehrfache Reﬂexion
gespeichert werden und für eine längere Wechselwirkungszeit tW mit dem Medium zur Verfügung
stehen, bis sie durch die unvollkommene Reﬂexion oder andere Mechanismen verloren gehen
(siehe Abb. 4.19).
Nehmen wir an, es sei genau ein Photon in einem solchen Mode, dann müssen wir verlangen,
dass es während tW durch stimulierte Emission mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als eins
ist, ein weiteres Photon in dem Mode erzeugt, damit die Laserschwingung angefacht wird. Für
die stimulierte Emissionsrate in diesem Mode k muss also gelten
N2 Γik tW > 1.
(4.72)
N2 AS(ν)tW
> 1.
Z
(4.73)
Aus (4.41) erhalten wir dann mit nk = 1
Neben den Verlusten an den Spiegeln müssen wir natürlich auch die Verluste durch Reabsorption
aus dem unteren Zustand, die mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie die stimulierte Emission
erfolgt, berücksichtigen und damit die Schwellenbedingung vervollständigen zu
(N2 − N1 )AS(ν)tW
> 1.
Z
(4.74)
Da Z immer proportional zu V ist, ist die Schwellenbedingung oﬀensichtlich weniger an die
absolute Zahl der Inversion geknüpft, als an ihre Dichte. Bei gegebenem Volumen würde es
sich aber lohnen, ihm eine lange, schlanke Form zu geben, damit die Flugwege (und damit tW )
größer werden.
Für eine Lorentzkurve, deren Breite nur durch die Strahlungsdämpfung A gegeben ist, hatten
wir Z bereits in (4.42) berechnet und erhalten hierfür die Schwellenbedingung bei der Frequenz
ν:
2πν02 V
N2 − N1 > 3
.
(4.75)
c SL (ν)tW
Darin hebt sich die Übergangswahrscheinlichkeit, also das Matrixelement des speziellen
Übergangs, wieder heraus. Sie wird also im wesentlichen nur durch die Zustandsdichte im
4.4. DIE SCHAWLOW-TOWNES-SCHWELLENBEDINGUNG
87
Abb. 4.19: Stimulierte Emission eines angeregten Atoms in einen Resonatormode
Phasenraum bestimmt. Wir hatten früher gesehen (vgl. Gl. 4.40), dass die Zustandsdichte im
optischen Bereich bei einem Volumen von ca. 1cm3 von der Größenordnung 1 pro Hertz ist.
Im Zentrum der Spektrallinie bei S(ν0 ) = 1 läge also die Inversionsschwelle bei der reziproken
Wechselwirkungszeit, gemessen in Sekunden. Bei einer Länge des Mediums von 1m und einem
Reﬂexionsgrad der Spiegel von 99% ergäbe sich damit ein Mindestüberschuss von 3 · 106
invertierten Atomen. Da diese Zahl mit ν 2 abnimmt, würden im Mikrowellenbereich schon ganz
wenige angeregte Atome genügen, um sich gegenseitig zur Laserwirkung zu stimulieren. Obwohl
diese Abschätzung in der Regel viel zu optimistisch ist, wie wir im folgenden Absatz sehen
werden, gibt es doch ein physikalisches Regime, in dem Laserwirkung von wenigen angeregten
Atomen beobachtet wurde, und zwar von sogenannten Rydbergatomen, die sich in sehr hohen
Quantenzuständen, n > 20, beﬁnden und Übergangsfrequenzen zum nächst tieferen Zustand im
Mikrowellenbeiech haben (siehe z.B. [Haro1981] sowie Kap. 4.4.2 über den Ein-Atom-Maser).
In der Regel wird aber die Spektralfunktion durch andere Faktoren bestimmt, im Falle von
Gasen insbesondere durch die Geschwindigkeitsverteilung, die zur Dopplerkurve führt
%
&
4 ln 2 (ν − ν0 )2
2ν0 2kT
ln 2
(4.76)
mit ΔνD =
SD (ν) = exp −
c
m
(ΔνD )2
(m ist hier die Masse des Atoms oder Moleküls). Wie bei der Lorentzkurve bezeichnet ΔνD die
volle Halbwertsbreite und ist bei Zimmertemperatur, sichtbarem Licht und mittleren Massen
von der Größenordnung 1GHz. Die Integration über die Dopplerverteilung liefert für die Zahl
der Phasenzellen mit ν0 ΔνD
4πν02 V
π
ΔνD ,
Z=
(4.77)
3
c
ln 2
die sich von (4.67) im wesentlichen nur durch die Linienbreite unterscheidet. Bei erlaubten
optischen Übergängen ist die Lorentzbreite von der Größenordnung 10M Hz. Durch die
Dopplerverbreiterung erhöht sich also die Schwelle um einen Faktor 100 und mehr.
Wir fragen jetzt nach der erforderlichen minimalen Lichtleistung Pmin , die das Lasermedium
spontan abstrahlen muss, um die Schwelle für den Lasereinsatz zu überwinden.
Wir
berücksichtigen hierbei wie gesagt nur die spontane Emissionsleistung in dem betreﬀenden
Laserübergang und betrachten die Abstrahlung im übrigen Spektrum sowie die zur Aufheizung
und Dissoziation des Plasmas und andere Verlusteﬀekte notwendige Energiezufuhr als Verlustleistung, die den Wirkungsgrad des Lasers beeinträchtigen. Wenn wir die Reabsorption der
spontan emittierten Quanten durch Atome im unteren Zustand vernachlässigen (das ist außer
88
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
für den kleinen, durch die Endspiegel abgedeckten Raumwinkelbereich entlang des Laserrohres
sicherlich richtig, weil quer dazu die Schichtdicke sehr klein ist), dann ist die Strahlungsleistung
gegeben durch
(4.78)
P (ν) = N2 hνA.
Mit N2 ≥ I = N2 − N1 und den Formeln (4.74, 4.76, 4.77) für I erhalten wir für den Fall des
dopplerverbreiterten Spektrums für die minimal erforderliche Leistung die Abschätzung (mit
ν0 ΔνD )
8πhν04 2πkT
Zhν0
m V
.
=
Pmin (ν) ≥ (N2 − N1 )hν0 A ≥
SD (ν)tW
c4 tW SD (ν)
(4.79)
Die Charakteristika von (4.79) sind:
- Pmin ist unabhängig von A und damit vom Matrixelement des speziellen Übergangs.
- Pmin ist umgekehrt proportional zur Wechselwirkungszeit tW und bevorzugt damit bei
gegebenem Volumen ein lang gestrecktes Lasermedium mit guten Endspiegeln.
- Pmin wächst mit der vierten Potenz der Frequenz, wodurch den Lasern im kurzwelligen
Bereich praktische Grenzen gesetzt sind.
Nimmt man ein Lasermedium von einem Volumen von V = 1cm3 , gestreckt auf 1m Länge, den
Reﬂexionsgrad der Spiegel R = 99% (d.h. ∼ 100 Durchgänge der Lichtquanten) und für die
thermische Geschwindigkeit den Wert von vth = 5 · 104 cm/s, so ergibt sich bei der Wellenlänge
λ = 1000nm eine Schwellenleistung im Zentrum der Linie (SD (ν0 ) = 1) von P > 0, 05mW . Bei
100nm sind es demnach schon 0, 5W . Das betriﬀt wie gesagt nur die spontane Strahlungsleistung aus dem betreﬀenden Laserübergang. Die insgesamt aufzubringende Leistung liegt in der
Regel eine bis vier Größenordnungen darüber.
Ist die Schwelle für Verstärkung der stimulierten Emission in einem bestimmten Mode einmal
überschritten, so wird die Zahl der Quanten in diesem Mode exponentiell anwachsen, weil die
Verstärkung jeweils proportional zur Zahl der schon vorhandenen Quanten ist. Die Inversion
wird dann rasch abgebaut.
Beschränkt man den Laser auf rein axiale Modes, so fallen nur wenige davon unter die Dopplerbreite, weil die Modendichte ganz erheblich eingeschränkt wird. Der Abstand zweier rein axialer
Modes n und m, die jeweils der Resonanzbedingung l = λ n/2 bzw. l = λ m/2 genügen müssen,
ist im Frequenzmaßstab gleich
(m − n) c
,
(4.80)
Δν =
2d
also minimal gleich c/2d, und das wäre bei einem Spiegelabstand von 1m etwa 150M Hz.
4.4.2
Der Ein-Atom-Maser
Wir haben oben schon bemerkt, dass man im Mikrowellenbereich Masertätigkeit schon mit nur
wenigen - im Grenzfall einem einzigen - Atom erreichen kann. Wir wollen in diesem Abschnitt
auf die Realisierung eines derartigen Ein-Atom-Masers eingehen. Man macht sich dabei
zunutzte, dass z.B. nach der Schwellenbedingung (4.75) die erforderliche Anzahl der invertierten
Atome mit ν 2 abnimmt und daher im Mikrowellenbereich schon wenige angeregte Atome - im
Grenzfall 1 Atom - genügen, um Laser- bzw. Masertätigkeit zu stimulieren. In Atomstrahlexperimenten mit hochangeregten Rydbergzuständen der Atome konnte Masertätigkeit mit nur
einem Atom im Strahlungsfeld eines Mikrowellenresonators hoher Güte beobachtet werden.
Rydbergatome sind atomare Zustände mit großer Hauptquantenzahl n ≥ 20. Im Falle von
4.4. DIE SCHAWLOW-TOWNES-SCHWELLENBEDINGUNG
89
Abb. 4.20: Experimenteller Aufbau des Ein-Atom-Masers (nach [Mesc1985])
Rubidium wird in einem einstuﬁgen Laseranregungsprozess der Grundzustand (5s 2 S1/2 )
in den Rydbergzustand 63p 2 P3/2 angeregt. Die hochangeregten Zustände zeichnen sich
durch eine lange natürliche Lebensdauer aus, die im wesentlichen mit der dritten Potenz der
Hauptquantenzahl n skaliert; im betrachteten Fall ist τ ≈ 200μs.
Damit lassen sich Atomstrahlexperimente mit makroskopischen Abmessungen l der
Wechselwirkungszonen (hier: Mikrowellenresonator) und der Nachweiseinheit durchführen
(v̄ ≈ 3 · 104 cm/s ⇒ l = v̄ · τ ≈ 6cm).
Der experimentelle Aufbau ist in Abb. 4.20 wiedergegeben und besteht aus einer Atomstrahlquelle (Rb-Ofen), einem Mikrowellenresonator und einem Detektor zum Nachweis der
Rydbergatome im oberen Maserniveau durch zustandsselektive Feldionisation.
(Bei derart hohen Quantenzahlen triﬀt ein klassisches, sogenanntes Sattelpunktmodell der
Feldionisation gut zu. Demnach ist das Elektron dann nicht mehr gebunden, wenn das
wegtreibende äußere elektrische Feld E stärker als das rücktreibende Coulombfeld an der Stelle
des maximalen Bahnradius rmax wird:
2
E > e2 /rmax
∼ n−4 .
(4.81)
Der Bahnradius wächst proportional zum Quadrat der Hauptquantenzahl n.)
Die Laseranregung der Rb-Grundzustandsatome in den 63p 2 P3/2 -Zustand erfolgt unmittelbar
vor dem Eintritt des Atomstrahls in den Mikrowellenresonator. Bei einer maximalen Laserleistung von 60μW (λ = 297nm) werden ca. N ≈ 30000Atome/s in das obere Maserniveau
gehoben. Der Mikrowellenresoantor ist zylinderförmig aufgebaut mit der Möglichkeit einer Feinabstimmung seines T E121 Resonatormodes auf die Frequenz von ν = 21, 506GHz des Übergangs
63p 2 P3/2 → 61d 2 D3/2 .
In dem supraleitenden Resonator werden Güten bis zu Q = 8 · 108 bei T = 2 ◦ K erreicht. Damit
90
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
lassen sich mittlere Speicherzeiten eines angefachten Resonatormodes von τ ≈ 5ms erzielen. Bei
diesen langen Abklingzeiten wird die Maserschwelle auch dann noch überschritten, wenn sich im
zeitlichen Mittel weniger als 1 Atom im oberen Maserniveau beﬁndet (Durchf lugzeit · F luss ≈
200μs·800/s = 0, 16). Abb.4.21 zeigt die nachgewiesene Rate der Atome im oberen Maserniveau
als Funktion der Verstimmmung des Resonators um die Übergangsfrequenz bei 3 verschiedenen
Flüssen N .
Abb. 4.21: Nachgewiesene Rate der Atome im oberen Maserniveau als Funktion der Frequenzverstimmmung des Resonators von der Übergangsfrequenz 21506.50M Hz [Mesc1985]
Die Abnahme dieser Rate in Resonanz zeigt deutlich, dass auch einzelne Atome eine kontinuierliche Oszillation im Mikrowellenresonator anfachen und aufrecht erhalten können. So beträgt
unter der Annahme, der Übergang werde im Photonenfeld gesättigt, bei N ≈ 800Atomen/s die
mittlere Zahl von Photonen im Resonator:
1
n = N t ≈ 2,
2
d. h. die Hälfte der durchﬂiegenden Atome geben ihr Energiequant an den Resonator ab.
4.4.3
Superradianz
Verzichtet man auf die Speicherung der Lichtquanten im Resonator, so kann man dennoch
Laserwirkung erhalten, wenn man die Schwelle um etwa zwei Größenordnungen gegenüber dem
Resonatorfall anhebt. Denn dann genügt als Wechselwirkungszeit schon die einfache Durchﬂugszeit durch das Medium tW = l/c (s. Abb. 4.22), um ein weiteres Photon stimuliert in die
gleiche Phasenzelle zu emittieren und (4.74) wird dann zu
N2 − N1 >
Zc
.
lAS(ν)
(4.82)
Zum Verständnis von (4.82) ist es interessant, wiederum den Lorentzfall mit Δω = A zu betra-
4.4. DIE SCHAWLOW-TOWNES-SCHWELLENBEDINGUNG
91
Abb. 4.22: Lawinenentwicklung (oben) und Intensitätsverteilung (unten) in einem superradianten Medium
chten, für den (4.75) im Maximum bei S(ν0 ) = 1 den Wert annimmt:
N1 − N2 = (n1 − n2 )V ≥
2πV
2πν02 V
≥ 2
c2 l
λ0 l
λ2
mit σ0 = 0 ⇒ (n1 − n2 )σ0 l > 1 .
2π
(4.83)
In (4.83) haben wir zunächst die Inversion selbst durch die Inversionsdichte (n2 − n1 ) ersetzt
und dann durch das Volumen V dividiert. Nun ist aber λ2 /2π der Wirkungquerschnitt für
die Resonanzabsorption bzw. stimulierte Emission eines Photons in der Resonanzmitte. Damit
bekommt die Schwellenbedingung die sehr einprägsame Form, dass das Produkt aus Inversionsdichte, Wirkungsquerschnitt und durchstrahlter Länge größer als 1 sein muss. (In [Harv1970]
steht auf Seite 310 statt einer 2 eine 4 in der ersten Zeile von (4.83); es wird oﬀensichtlich vom
mittleren Flugweg des Photons ¯l = l/2 ausgegangen. Aber in diesen Grenzen ist die Festlegung
einer Schwelle immer willkürlich.)
Nehmen wir an, das Medium sei durch eine einmalige, kurzzeitige Anregung über die superradiante Schwelle gehoben worden, so wird sich die Inversion in einem superradianten Laserblitz
abbauen, dessen zeitliche Länge durch die oben genannte Flugzeit tW = l/c gegeben ist. Dadurch
ist auch seine spektrale Breite, Δω = 1/tW bestimmt. Er muss ausgelöst werden durch spontan
emittierte Quanten, denen im Prinzip der gesamte Raumwinkel Ω = 4π zur Verfügung steht;
jedoch ist die Chance, entlang der langen Achse verstärkt zu werden, am größten, so dass der
Laserblitz an den beiden Stirnseiten austreten wird. Die Chance ist in beiden Richtungen gleich
groß. Die lawinenartige Verstärkung führt zu einem exponentiellen Intensitätsanstieg in beide
Richtungen, so dass das Gesamtintensitätsproﬁl über die Länge geschrieben werden kann als
(siehe Abb. 4.22)
l α
I = I0 cosh x −
.
2
92
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
(Hierbei ist α die Verstärkung pro Längeneinheit.)
Eine reproduzierbare Intensitätsverteilung des superradianten Laserblitzes wird man nur dann
erwarten können, wenn die Schwelle um ein Vielfaches überschritten wurde. In der Nähe
der Schwelle ist es sehr unsicher, ob überhaupt und an welcher Stelle des Lasermediums ein
Lichtquant zunächst spontan in eine zur Weiterverstärkung geeignete Phasenzelle emittiert wird.
Die Zahl der in diesen Phasenzellen stimuliert emittierten Quanten wird im ganzen klein sein und
stark schwanken. Der austretende Laserstrahl wird nicht sehr ausgeprägt und weder räumlich
noch zeitlich kohärent sein, da er viele Phasenzellen besetzt. Wenn die Schwelle aber stark
überschritten wird und die Verstärkung schon auf einem kleinen Bruchteil der zur Verfügung
stehenden Länge größer als eins ist, wird die Besetzungszahl in der ersten, mit einem spontan
emittierten Lichtquant besetzten Phasenzelle sich so schnell vermehren, dass sie sich als einzige
durchsetzen und die Inversionsenergie in einem kurzen, kohärenten Laserpuls abrufen kann.
Der Eﬀekt der Superradianz kann manchmal störend wirken, weil er die in einem Lasermedium
gespeicherte Energie begrenzt. Hochleistungslaser, wie sie zum Beispiel für die Kernfusion und
andere technische Zwecke vorgesehen sind, kann man daher nicht in einem Stück aufbauen, sondern muss sie auf viele, hinereinander aufgereihte Teilstücke aufteilen, die jeweils als Verstärker
dienen. In jedem von ihnen muss die Energie unterhalb der Superradianzschwelle bleiben, damit
sie gespeichert bleibt, bis der eigentliche, vom Zündlaser stammende Laserpuls durchläuft und
die Energie abruft. Aus dem gleichen Grunde empﬁehlt es sich, bei Hochleistungslasern ein
Medium zu wählen, bei dem das Verhältnis aus Strahlungsbreite zur restlichen Linienbreite
besonders klein ist, weil dann zufolge (4.71) und (4.74) die Schwelle besonders hoch ist.
Farbstoﬄaser haben eine sehr hohe Strahlungsbreite und neigen daher leicht zur Superradianz.
Sie reagieren dann natürlich nicht auf die Abstimmelemente im Resonator. Relativ leicht erzielt
man Superradianz auch im Infraroten wegen (4.83), also z.B. zwischen zwei dicht benachbarten,
angeregten Niveaus von Atomen, nachdem man zuvor das höhere der beiden mit einem Laserpuls
selektiv angeregt hat.
4.5
Lasertermschemata und Lasertypen
Laser ist ein Akronym für ”Light Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation”. Es handelt sich um optische Oszillatoren, die durch Rückkopplung eines optischen Verstärkers entstehen. Grundlage des Lasers ist der zuvor besprochene Prozess der stimulierten Emission. Wenn
es auf irgendeine Weise gelingt, dass sich für einen optischen Übergang |1 → |2 mehr Atome im
angeregten Zustand |2 beﬁnden als im Grundzustand |1 (Inversion), so werden Photonen der
Resonanzfrequenz beim Durchgang durch das Medium in geringerem Maße absorbiert, als sie
durch den Prozess der stimulierten Emission vermehrt werden. Um diesen Eﬀekt zu verstärken,
kann man in einem optischen Resonator die produzierten Photonen wieder und wieder durch
das Verstärkungsmedium laufen lassen. Es kommt in diesem Fall zum typischen exponentiellen
Anwachsen der Photonenzahl.
Damit haben wir die wesentlichen Komponenten eines Lasers, wie sie in Abb. 4.23 dargestellt
sind, bereits genannt: Benötigt werden
(a) ein optisches Verstärkungsmedium
Wenn im optischen Medium eine Besetzungsinversion vorliegt, d.h. wenn N2 > N1 , E2 > E1
ist, wird die Rate der stimulierten Emission BρN2 größer als die Absorptionsrate BρN1 . Unter
diesen Umständen wird ein Lichtstrahl der mit der Resonanzfrequenz durch das Medium tritt
nicht abgeschwächt sondern verstärkt. Das Verstärkungsmedium kann ein Gas, ein Kristall oder
eine Flüssigkeit sein. Wir werden im folgenden einige häuﬁg verwendete Typen kennenlernen.
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
93
(b) ein Prozess der die Inversion erzeugt (Pumpe)
die Inversion ist eine nicht-thermische Besetzungsverteilung, denn nach der Boltzmannverteilung
im thermischen Gleichgewicht ist die Besetzungszahl N (E) ∝ e−E/kT der niederenergetischen
Zustände immer größer als die der höher energetischen Zustände. Um dieses Nichtgleichgewicht
aufrecht zu erhalten muss ständig Energie in das Verstärkungsmedium eingebracht werden. Dazu
können beispielsweise Blitzlampen, elektrischer Strom oder die Strahlung leistungsstarker anderer Laser (Pumplaser) verwendet werden.
(c) ein optischer Resonator
In der Regel ist die Verstärkung beim einfachen Durchgang durch das Verstärkungsmedium
sehr klein. Aus diesem Grunde verwendet man Resonatoren, die das Licht vielfach durch das
Verstärkungsmedium laufen lassen und für eine positive Rückkopplung sorgen. Dadurch wird der
Verstärker zum Oszillator. In Analogie zum elektrischen Oszillator in dessen Rückkopplungskreis
man ein Filter einbaut um die Oszillationsfrequenz festzulegen, können frequenzselektive Elemente im Resonator zur Festlegung der Laserwellenlänge dienen.
4.5.1
4.5.1.1
Generelle Prinzipien - Inversion und Verstärkung
Die Laserschwelle
Um eine Beziehung für die Laserschwelle herzuleiten betrachten wir das in Abbildung 4.24
gezeigte System aus zwei Spiegeln und dem aktiven Medium. Die Spiegel des Resonators haben
den Abstand d und das aktive Medium hat die Länge L. Nach dem Lambert-Beerschen Absorptionsgesetz verändert sich die Intensität des Laserstrahles beim Durchgang durch das Medium
gemäß
(4.84)
I(ν, z) = I(ν, 0) e−α(ν) z .
Gewöhnlicherweise besitzen die optischen Medien einen Absorptionsindex α > 0 und dementsprechend nimmt die Lichtintensität beim Durchgang durch das Medium ab. Um
Lasertätigkeit zu erreichen muss α < 0 sein, damit die Lichtintensität beim Durchgang durch
das Medium zunimmt. Mikroskopisch lässt sich der Absorptionskoeﬃzient ausdrücken durch
g1
(4.85)
α(ν) = N1 − N2 σ(ν)
g2
mit dem Wirkungsquerschnitt σ(ν) für die Absorption bzw. induzierte Emission eines Photons
und dem Verhältnis der statistischen Gewichte g1 /g2 der Zustände |1 und |2. Damit α negativ
Abb. 4.23: Schematischer Aufbau eines Lasers.
94
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.24: Schema zur Herleitung der Schwellwertbedingung.
wird und Verstärkung eintritt, muss
N2 >
g2
N1
g1
(4.86)
werden (1. Laserbedingung, notwendig aber nicht hinreichend). Dies alleine ist jedoch nicht ausreichend, wir müssen noch berücksichtigen, dass das aktive Medium (Länge L) im Allgemeinen
den Resonator (Länge d ) nicht voll ausfüllt. Alle Verluste, die pro Umlauf auftreten, z.B. durch
unvollständige Reﬂexion an den Spiegeln (γR ), Streuung (γS ) oder Beugung (γB ), seien in dem
Verlustkoeﬃzienten γ = γR + γS + γB + · · · zusammengefasst:
I(2d)
= e−γ .
I(0)
(4.87)
Damit ergibt sich für die Nettoverstärkung G(ν) pro Umlauf
G(ν) = e− [2α(ν)·L+γ]
(4.88)
und als Bedingung für Lasertätigkeit
g1
G(ν) > 1 2 N1 − N2 σ(ν) L + γ < 0
g2
aus der man problemlos die Schwellwertbedingung
ΔN = N2
γ(ν)
g2
= ΔNSchwelle
− N1 ≥
g1
2 σ(ν) · L
(4.89)
herleiten kann. Verwendet man noch die Relation, dass der Wirkungsquerschnitt für die Absorption proportional zum Quadrat der Wellenlänge ist, so erhält man den Zusammenhang
ΔNSchwelle ∝
γ ν2
,
L
(4.90)
aus dem zu ersehen ist, dass die Laserschwelle mit wachsender Frequenz immer höher liegt und
schwerer zu erreichen ist. Dadurch sind LASER auch sehr viel schwieriger zu realisieren als ihre
Mikrowellenkollegen, die MASER (100 THz statt 1 GHz → Faktor 1010 ) .
4.5.1.2
Laserschemata
Voraussetzung für Laseraktion ist eine Inversion der Zustände, zwischen denen der
Laserübergang stattﬁnden soll. Der Laser arbeitet um so eﬀektiver, je höher dieses Inversion ist. Um eine hohe Inversion zu erhalten, sollte der Einsteinkoeﬃzient A des oberen
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
95
Laserniveaus klein sein, damit die spontane Emission nicht zu Verlusten führt. Das heißt, die
Lebensdauer τ des oberen Laserniveaus sollte lang sein. Das untere Laserniveau sollte für eine
hohe Inversion möglichst wenig besetzt, d.h. seine Lebensdauer kurz sein.
Das Niveau, in das gepumpt wird, muss möglichst eﬀektiv besetzt werden. Deshalb sollte
die Absorption aus dem Grundzustand, also Bρ, möglichst groß sein. Dies bedeutet, daß ein
großer Einsteinkoeﬃzient B günstig ist. Dann ist auch der Koeﬃzient A groß und damit τ kurz.
Bei einem Zwei-Niveau-System sind nicht alle Bedingungen gleichzeitig erreichbar. Sowohl im
unteren wie im oberen Niveau gibt es Widersprüche zu den obigen Forderungen. Deshalb gibt es
keine Zwei-Niveau-Laser. Dies ergibt sich auch direkt aus der Kombination der Ratengleichungen für das Zweiniveausystem. Demnach gilt für die Änderung der Besetzungszahl des oberen
Zustandes
(4.91)
Ṅ2 = −N2 Bρ + N1 Bρ − N2 A.
Die Pumplichtquelle kann die Zahl der Atome im oberen Zustand nur solange erhöhen, bis das
Geichgewicht Ṅ1 = −Ṅ2 erreicht ist und dementsprechend
N2 (Bρ + A) = N1 Bρ
ist. Für das Verhältnis der Atomzahl im Grund- und im angeregten Zustand folgt daraus
A
N1
Bρ + A
Bρ→∞
=1+
≥ 1 → 1.
=
N2
Bρ
Bρ
Der Übergang zu sehr hohen Laserleistungen ist gleichbedeutend mit einem sehr großem Produkt
Bρ. Daraus ist ersichtlich, dass auch bei beliebig hoher Intensität des Pumplasers maximal
eine Gleichbesetzung der beiden Niveaus erfolgen kann - eine Inversion ist nicht erreichbar.
Das Medium wird vielmehr für den Pumplaserstrahl transparent, weil auf jede Absorption eine
stimulierte Emission kommt. Der Energieeintrag in das aktive Medium ist ineﬃzient.
Bei einem Drei-Niveau-System gibt es einen Widerspruch zu obigen Forderungen entweder
im Grundzustand oder in dem Zustand, zu dem gepumpt wird. Dies ist in Abb. 4.25 illustriert.
Drei-Niveau-Laser lassen sich nur gepulst realisieren (z.B Rubinlaser) oder als Dauerstrichlaser,
wenn die Anregung nichtoptisch erfolgt (Argon-Ionen-Laser). Bei einem Vier-Niveau-System
lassen sich alle obigen Forderungen erfüllen und Dauerstrichlaser realisieren. Beispiele sind der
Farbstoﬄaser, der Nd:YAG-Laser oder der Titan-Saphirlaser.
4.5.2
Laserresonatoren
Laserresonatoren sind wichtig als Rückkopplungselement, um die Verstärkung der stimulierten
Emission und damit einen aktiven Oszillator zu erhalten. Sie sorgen dafür, dass die erzeugten
Photonen auf wenige Moden konzentriert werden und damit die Schwellwertbedingung leichter
erreicht wird. Ein Resonator der Länge d mit 2 planparallelen Spiegeln hat einen Modenabstand
Δν oder freien Spektralbereich (FSR) von
F SR = Δν =
c
.
2d
(4.92)
Beispielsweise hat ein Resonator einer Länge von d = 1 m einen longitudinalen Modenabstand
von Δν = 150 MHz.
Durch Beugung an den Rändern der Resonatorspiegel erhält man transversale Moden (TEM
= transversal electromagnetic modes), die mit Hilfe der Kirchhoﬀ-Fresnel’schen Beugungstheorie berechnet werden können. Gewünscht wird die transversale Grundmode, die sogenannte
TEM00-Mode, da man hiermit ein Gauß’sches Strahlproﬁl erhält. Abbildung (4.26 a) zeigt die
96
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.25: Schema von Zwei-, Drei- und Vier-Niveaulasern. Nur bei Vier-Niveaulasern gibt es
keine Widersprüche (↔) bei den für eine hohe Inversion geforderten Lebensdauern (∞: unendlich
lebender Grundzustand).
Amplituden-Verteilung einiger T EMm,n -Moden und Abb. (4.26 b) entsprechende Photographien einiger niedriger Moden.
Ein Fabry-Perot-Interferometer mit planparallelen Platten ist als Laserresonator nicht
günstig, da diese Konﬁguration sehr schwierig zu justieren und instabil ist. Es gibt verschiedene
Resonator-Konﬁgurationen wie konfokale oder konkav-konvexe Anordnungen, die häuﬁg benutzt
werden.
Wenn mehrere longitudinale Resonator-Moden über der Laser-Schwelle liegen, so kann der
Laser auf mehreren Frequenzen anschwingen. Um ihn nur in einem einzigen Mode zu betreiben
(single-mode Betrieb), muß eine einzige longitudinale Lasermode selektiert werden. Dies erfolgt
durch zusätzliche frequenzselektive Elemente innerhalb des Laserresonators. Häuﬁg verwendet
werden beispielsweise Lyot- oder Birefringent-Filter und Etalons (siehe unten). Ihr Wirkungsprinzip ist in Abbildung 4.27 am Beispiel eines Gaslasers dargestellt. Sein Verstärkungsproﬁl ist
durch die Dopplerbreite der Spektrallinie gegeben. Hier liegen vier longitudinale Moden oberhalb
der Laserschwelle und können anschwingen. Mit Hilfe einer beidseitig verspiegelten Glasplatte
(Etalon), die einen größeren Modenabstand als der Laserresonator besitzt, kann eine einzelne
dieser Moden selektiert werden, indem man die Lage einer Etalonmode mit einer der Resonatormoden synchronisiert. Durch nderung der Laserresonatorlnge und synchrones Verkippen des
Etalons kann der Laser im Single-Mode-Betrieb über den gesamten Bereich der Dopplerbreite
der oberhalb der Laserschwelle liegt, durchgestimmt werden.
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
97
Abb. 4.26: Transversale TEMx y Modenproﬁle.
Lyot Filter Ein Lyot- oder Birefringent-Filter dient zur groben Frequenzwahl und seine
Wirkungsweise basiert auf der Drehung der Polarisationsebene des Lichtes beim Durchgang
durch einen doppelbrechenden Kristall. Es besteht in der Regel aus mehreren Platten des
doppelbrechenden Materials die hintereinander angeordnet sind und ein Dickeverhältnis von
k : k 2 : k 3 mit einer ganzen Zahl k aufweisen. Kombiniert man ein solches Filter mit einem
polarisationsselektiven Element in einem Resonator, so ergeben sich die in Abb. 4.28a gezeigten
Transmissionsmaxima durch die einzelnen Platten. Man erkennt, dass für die Gesamtkonﬁguration der freie Spektralbereich der dünnsten Platte erhalten bleibt, aber die Breite der Transmissionskurve rasch abnimmt. Während das klassische Lyot-Filter aus dem doppelbrechenden
Kristall zwischen 2 Polarisatoren besteht (Abb. 4.28b), kann in einem Resonator auf die Polarisatoren verzichtet werden, wenn die Kristallplatten im Brewsterwinkel angeordnet sind und
somit eine Polarisationsrichtung aufgrund geringerer Verluste bevorzugt wird. Mit einem Lyot
Filter werden typische Bandbreiten von etwa 0,1 nm (etwa 80 GHz bei 600 nm) erreicht.
Etalon Bei einem Etalon6 handelt es sich im einfachsten Fall um eine teilverspiegelte Glasplatte zwischen deren Flächen die Lichtstrahlen viele Male hin und her reﬂektiert werden. Aufgrund der Vielstrahl-Interferenz weist das Etalon beim Verkippen Transmissionsmaxima im Abstand Δν= 2nl ccos θ mit dem Brechungsindex n des Mediums, der Dicke l des Etalons und dem
Verkippungswinkel θ gegenüber dem senkrechten Einfall. Damit ändert sich die Resonatorfrequenz bei fester Knotenzahl q = ν/Δν bei weiterer Verkippung um
dν = q
6
von franz. etalon, Eichmaß
sin θ
d(Δν)
dθ = q Δν
dθ ≈ νθdθ.
dθ
cos θ
98
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.27: Single-Mode Laser Betrieb durch Einfügen eines Etalons in den Resonator.
4.5.3
4.5.3.1
Lasertypen
Gaslaser am Beispiel der Edelgas-Ionen-Laser
Diese Laser arbeiten im Dauerstrichbetrieb (cw = continuous wave). Das Verstärkungsmedium
eines Argon- bzw. Krypton-Ionenlasers besteht aus dem entsprechenden Edelgas in dem bei
einem Druck von 0.01 - 0.1 mbar eine Plasmaentladung mit Entladungsströmen von bis zu
60 A brennt. Durch sukzessive Kollisionen mit den Elektronen werden die Edelgasatome
ionisiert und angeregte ionische Zustände bevölkert. Das vereinfachte Niveauschema ist in
Abb. 4.29 dargestellt. Während Ar+ -Laser im blau-grünen Bereich und im nahen ultraviolett Lasertätigkeit zeigen, liegen die Wellenlängen des Kr+ -Lasers vorwiegend im roten Bereich.
Beim Ar+ -Laser sind im Multiline Betrieb 2 bis 100 W (1 bis 20 W für Kr+ ) erreichbar, während
für Einzellinien maximal 10 bis 15 Watt erzielt werden können (Ar+ : 2 W @ 363 nm, 15 W @
Abb. 4.28: Wirkungsweise (a) und Aufbau (b) eines Lyot-Filters zur Wellenlängenselektion.
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
99
Abb. 4.29: Laserschema des Argon-Ionen-Lasers.
488 nm, 14 W @ 514 nm, Kr+ 10W @ 647 nm).
Der Ar+ -Laser hat in der Spektroskopie eine sehr große Bedeutung als Pumplichtquelle für
Farbstoﬀ- und Titan-Saphirlaser erlangt. Darüberhinaus wird er in der Medizin z.B. in der
Augenchirurgie eingesetzt; auch Disco-Laser sind häuﬁg Ionen-Laser.
Nachteile der Ionen-Laser sind ihre geringen Konversionseﬃzienzen die im Promillebereich
liegt (bspw. 10 W Laserlicht bei etwa 10 kW elektrischer Leistung) und der große technologische Aufwand, der durch die hohen Temperaturen im Plasma (ca. 5000◦ C) bedingt ist.
Das Entladungsrohr und die Anode müssen gekühlt und hitzebeständige Materialien (Graphit,
BeO und Metallkeramik) eingesetzt werden. Abb. 4.30 zeigt einen Querschnitt durch das typischerweise 0,5 bis 1 m lange Plasmarohr. Die inneren Bohrungen des Plasmarohres werden
durch widerstandsfähige Wolframscheiben geschützt. Diese sind in Kupferscheiben eingesetzt,
die für einen schnellen Abtransport der Wärme sorgen. Axiale Magnetfelder sorgen für eine Einschnürung des Gasplasmas um die Leistung durch die hohen Stromdichten zu verbessern und
die Wände vor Abtragung zu schützen. Die Leistung ist über den Entladungsstrom des Plasmas
regelbar. Da die Edelgasionen zur Kathode diﬀundieren, muss das Gas zurückgeführt werden,
damit die Plasmaröhre gleichmäßig mit Ar befüllt bleibt. Dies geschieht durch Löcher in den
Kupferscheiben in denen der Ausgleichsstrom zurückﬂießen kann. Durch Implantation der Edelgasionen in die Behälterwand wird das Edelgas im Laufe der Zeit aufgebraucht. Deshalb sind
die kommerziellen Ionenlaser mit einem Reservoir ausgestattet, aus dem das Edelgas bei Bedarf
automatisch nachgefüllt wird. Die ungenutzte elektrische Leistung wird überwiegend in Wärme
umgesetzt und muss durch eine aufwändige Wasserkühlung wieder abtransportiert werden. Aus
diesen Gründen werden die Ionenlaser zunehmend durch frequenzverdoppelte Festkörperlaser
(Nd:YAG) ersetzt. Falls Pumplicht im UV Bereich benötigt wird, sind die Argon-Ionenlaser
allerdings bis heute konkurenzlos.
4.5.3.2
Farbstoﬄaser
Farbstoﬄaser haben eine sehr große Bedeutung erlangt, da mit Ihnen Laserlicht über den
gesamten optischen Spektralbereich erzeugt werden kann. Sie können sowohl gepulst als auch
100
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.30: Vereinfachter Aufbau des Argon-Ionen-Lasers.
kontinuierlich betrieben werden. Als aktives Medium dienen in einem Lösungsmittel (z.B.
Methanol oder Ethylenglykol) gelöste Farbstoﬀe. Diese Farbstoﬀe sind komplexe organische
Moleküle die eine Vielzahl konjugierter Doppelbindungen (d.h. C=C Bindungen die durch
eine C-C Einfachbindung separiert sind) besitzen. Bei diesen Molekülen sind die Elektronen
Abb. 4.31: Strukturformel des Rhodamin 6G Farbstoﬀs mit Absorptions- (durchgezogene Linie)
und Fluoreszenzspektrum (gepunktete Linie).
der Mehrfachbindungen (π-Elektronen) schwach gebunden und entlang der Kohlenstoﬀkette
delokalisiert. Da sie leicht verschoben werden können, weisen die langen Farbstoﬀmoleküle
große Dipolmatrixelemente auf. Als Beispiel ist in Abb. 4.31 die Strukturformel des weit
verbreiteten Farbstoﬀes Rhodamin 6G gezeigt. Bei optischer Anregung beginnen die Farbstoﬀe zu ﬂuoreszieren; als Pumplichtquellen werden Blitzlampen, gepulste oder kontinuier-
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
101
liche Laser eingesetzt. Die elektronischen Grund- und angeregten Zustände dieser Moleküle
weisen eine Vibrations- (IR-Bereich) und Rotations-Feinstruktur (Mikrowellenbereich) auf,
durch die ein nahezu kontinuierliches Band von Schwingungs- und Rotationszuständen oberhalb des Bandenkopfes jedes elektronisch angeregten Niveaus entsteht. Durch Stöße mit den
Lösungsmittelmolekülen relaxieren die Schwingungs- und Rotationsanregungen des Farbstoﬀmoleküls untereinander mit Zeitkonstanten im Pikosekundenbereich. Diese ”Mischung” der
Zustände führt dazu, dass die Auswahlregeln der Übergänge bezüglich der Rotations- und
Schwingungsquantenzahl aufgehoben sind. Deshalb liegen nicht nur die Zustände dicht, sondern auch das Spektrum der auftretenden Linien füllt das ganze Band quasi kontinuierlich aus.
Abb. 4.32: Niveauschema des Farbstoﬄasers.
Abbildung 4.32 zeigt schematisch einen Ausschnitt aus dem Spektrum eines typischen Laserfarbstoﬀes, anhand dessen viele Eigenschaften der Farbstoﬄaser diskutiert werden können:
Der elektronische Grundzustand ist meist ein Singulett-Zustand (S0 -Band), bei dem alle
Elektronenspins gepaart sind. Gemäß des Interkombinationsverbots erfolgt die optische Dipolanregung mit dem Pumplicht wiederum in einen Singulettzustand, in ein Rotations- Vibrations(=rovibronisches) Niveau des S1 - oder S2 -Bandes, wobei das Franck-Condon Prinzip festlegt,
welche Niveaus des gekoppelten elektronischen Zustandes erreicht werden können. Von hier relaxiert das Molekül innerhalb von etwa 1-10 ps zum Bandenkopf herunter, genau gesprochen in
eine Umgebung δE ≈ kT oberhalb des Bandenkopfes, um dann durch spontane oder induzierte
Emission in eines der rovibronischen Unterniveaus des S0 Grundzustandes zurückzukehren.
Dieses wiederum wird durch schnelle Relaxationen wieder in den Bereich des Bandenkopfes
entleert, so dass eine Inversion des Laserüberganges leicht erreicht werden kann. Beim Farbstofﬂaser handelt es sich also um einen Vier-Niveau-Laser. Optische Absorption und Emission erfolgen immer aus der Umgebung des Bandenkopfes, daher ist klar ersichtlich, dass das Emissionsspektrum gegenüber dem Absorptionsspektrum rotverschoben ist (Stokesverschiebung). Abbildung 4.31 zeigt entsprechende Spektren für den Farbstoﬀ Rhodamin 6G. Sie überlappen in
einem schmalen Bereich in der Nähe der Absorptionskante, deren Breite von der Größenordnung
102
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
kT ist.
Der zur gleichen Elektronenkonﬁguration wie das S1 - Band gehörende Triplettzustand mit
Spin S = 1, der das T1 Band bildet, liegt analog zum Spektrum des Heliums tiefer als das
zugehörige S1 -Band. Während das Interkombinationsverbot für Dipolübergänge bei diesen
Molekülen recht streng gilt, erfolgt durch Relaxation7 mittels Stößen zweiter Ordnung (spinaustauschende Stöße) eine Kopplung des S0 - und S1 -Bandes an das T1 -Band. Dies hat wichtige
Konsequenzen für die Laserdynamik. Abbildung 4.32 kann entnommen werden, dass die sogenannte Phosphoreszens, d.h. der radiative Zerfall aus dem T1 -Band in das S0 -Band eine partielle
Lebensdauer in der Größenordnung 1s besitzt, wohingegen die Relaxation auf der Mikrosekundenskala stattﬁndet. Ähnlich führt die Relaxationskopplung zwischen dem S1 - und dem T1 Band zu Übergangsraten, die denen des spontanen radiativen Zerfalls S1 → S0 entsprechen.
Anhand der Relaxationsraten in der Kaskade S1 → T1 → S0 ist ersichtlich, dass sich im optischen Pumpzyklus der T1 Zustand aufgrund seiner größeren Lebensdauer anreichert. Dies
ist unangenehm für den Laserbetrieb, da somit Population aus dem Laserzyklus entfernt wird
und darüber hinaus die Absorption des T1 → T2 -Überganges, die im Wellenlängenbereich der
Laseremission liegt, die Lasertätigkeit dämpft. Aus diesem Grunde können Farbstoﬄaser nur im
Durchﬂussbetrieb arbeiten. Für gepulste Laser werden üblicherweise durchströmte Küvetten,
im cw Betrieb hingegen ein Hochdruckjet eingesetzt. Der Düsenstrahl mit der Lösung des Farbstoﬀs wird dabei frei in den Fokus des Pumplasers und des Resonators gespritzt. Dabei muss
die Oberﬂäche des Strahls optische Qualität besitzen, d.h. extrem plan sein. Schwankungen in
der Dicke des Jets führen zu unerwünschten Phasenvariationen die zu einem guten Teil für die
Restlinienbreite kommerzieller Farbstoﬄaser im Single-Mode-Betrieb verantwortlich sind.
Von Nachteil ist die Giftigkeit vieler der eingesetzten Farbstoﬀe und die relativ aufwändigen
Lasersysteme. Wenn die beim Pumpen angeregten elektronischen Zustände energetisch hoch
liegen, z.B. beim Pumpen mit UV Licht oder in das S2 Niveau, so sind sie auch schon reaktiv
und es kann zur photochemischen Zersetzung des Farbstoﬀes kommen, so dass in regelmäßigen
Abständen die Farbstoﬄösung ausgetauscht werden muss. Aus diesen Gründen bemüht man
sich mehr und mehr, Farbstoﬄaser durch wartungsärmere Festkörperlasersysteme zu ersetzen.
Im Bereich von 550 - 630 nm sind Farbstoﬄaser aber immer noch konkurrenzlos. FestkörperLasersysteme können diese Wellenlängen zurzeit nur über Summenfrequenzmischung erreichen.
In dem genannten Frequenzbereich wechselt die Farbe des Lichtes von grün rasch über gelb nach
rot und das Durchstimmen eines Farbstoﬄasers über diesen Farbbereich ist sicherlich eine der
optisch eindruckvollsten Demonstrationen in einem Laserlabor.
Die Durchstimmbereiche der einzelnen Farbstoﬀe betragen typischerweise mehrere
10 nm.
Um zu vermeiden, dass der Laser auf allen Wellenlängen oszilliert, werden
wellenlängenselektierende Elemente, beispielsweise Gitter und Etalons, eingesetzt.
Gepulste Farbstoﬄaser Abbildung 4.33 zeigt ein typisches gepulstes Farbstoﬄasersystem.
Der Resonator wird aus einem Spiegel und einem Reﬂexionsgitter in Littrow-Anordnung, bei
der die 1. Gitterordnung in sich zurückreﬂektiert wird, gebildet. Innerhalb des Resonators
beﬁndet sich die Küvette mit der Farbstoﬄösung die kontinuierlich umgepumpt wird, um die
Triplettzustände aus dem Wechselwirkungsvolumen zu entfernen und die Küvette zu kühlen.
Das Teleskop dient zur Aufweitung des Laserstrahls, da die Gitterauﬂösung proportonal zur
Zahl der ausgeleucheteten Gitterlinien ist. Statt zweier Linsen kann auch eine Anordnung aus
zwei Prismen verwendet werden. Schließlich beﬁndet sich noch ein Etalon zur weiteren Frequen7
Weil sich durch die Vibration der Atome des Moleküls auch der Potentialtopf der Elektronen ändert, sind
Vibrations- und Elektronenbewegungen aneinander gekoppelt und elektronische Anregungsenergie aus höheren
Bändern kann per Relaxation abgeführt werden.
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
103
Abb. 4.33: Laserresonator für gepulsten, seitlich gepumpten Farbstoﬄaser.
zselektion im Resonator. Die frequenzselektierenden Elemente können ihre Wirkung nur entfalten, wenn der Laser unterhalb der Schwelle für die Superradianz bleibt, d. h. wenn nicht allein
spontan in Richtung der Längsachse des Verstärkungsmediums emittierte Photonen bereits die
Lasertätigkeit einsetzen lassen und die Inversion abrufen. Da die Superradianzschwelle bei Farbstoﬀen relativ niedrig liegt, bedient man sich zur Erzeugung hoher Leistungen eines Tricks: Man
teilt den Pumpstrahl in mehrere Teile auf und führt den größeren Anteil in Verstärkerküvetten
außerhalb des Resonators. In beide Küvetten wird das Pumplicht transversal zur anschwingenden Lasermode eingekoppelt und mit einer Zylinderlinse kurz hinter das seitliche Fenster der
jeweiligen Küvette fokussiert. Das im Resonator erzeugte Laserlicht wird dann beim Durchlauf
durch die Verstärkerküvette unter Beibehaltung seiner spektralen Eigenschaften verstärkt.
Kontinuierliche Farbstoﬄaser Bei einem kontinuierlich arbeitendem Laser muss auch die
Pumplichtquelle kontinuierlich sein. Es ist allerdings nicht möglich, die Laserschwelle von Farbstoﬀen in der Größenordnung 300 kW/cm2 im großen Volumen einer Küvette zu erreichen.
Stattdessen verwendet man als Verstärkungsmedium einen Düsenjet der Farbstoﬄösung in dem
das Pumplicht mit einer kurzbrennweitigen Linse auf einen Fleck von einigen Mikrometern
Größe fokussiert wird. Um die Taille der Lasermode entsprechend eng zu formen, wird der
Resonator von zwei sphärischen Spiegeln gebildet die symmetrisch um den Farbstoﬀ-Jet angeordnet sind. Um ausreichend Platz für wellenlängenselektive Elemente zu bekommen, wir der
Resonator gefaltet, d. h. mindestens ein dritter Spiegel hinzugenommen. In diesem Arm wird
die Lasermode aufgeweitet und nahezu parallel geformt. Beispielhaft ist dies für ein Ringlasersystem in Abb. 4.34 dargestellt, wie es sowohl für kontinuierlich betriebene (cw = continuous
wave) Farbstoﬀ- als auch für Titan-Saphir-Lasersysteme kommerziell eingesetzt wird. Bei dem
gezeigten Ringlaser gelingt es durch das Zusammenspiel eines Lyot-Filters und zweier Etalons
unterschiedlicher Dicke nur noch einen einzelnen Lasermode anschwingen zu lassen. Dabei ist
das Auﬂösungsvermögen der optischen Elemente so abgestuft, dass immer nur eine Mode des
nächst feineren Filters innerhalb der Linienbreite des nächst gröberen liegt. Mit diesen drei optischen Elementen gelingt es also, die spektrale Breite des Farbstoﬀes von annähernd 100 THz
auf ein Fluoreszensspektrum von etwa 1 MHz Breite einzuengen. Diese Breite ist bedingt durch
Phasenﬂuktuationen aufgrund z.B. Dichte und Dickeänderungen im Farbstoﬄaserjet, Vibrationen der Resonatorspiegel und ähnlichem. Mit technischen Kniﬀen und einer schnellen Regelung
auf sehr stabile Referenzen, lässt sich die Linienbreite sogar auf unter 1 Hertz reduzieren.
104
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.34: Aufbau eines Ring-Farbstoﬄasers für den kontinuierlichen Betrieb. Von links kommt
der Pumpstrahl, nach rechts wird das Laserlicht ausgekoppelt. Die Signale A und B dienen zur
Regelung der Laserfrequenz. Diese wird auf das temperaturstabilisierte Interferometer stabilisiert. Bei Abweichungen von der Sollfrequenz kann die Laserfrequenz mit Hilfe des piezoelektrischen Elementes des einen Faltspiegels (schnelle Variationen = Jitter
und der im Resonator beﬁndlichen Brewsterplatte (langsame Variationen = Drift) korrigiert
werden.
4.5.3.3
Festkörperlaser
Als aktives Medium von Festkörperlasern dienen Gläser oder Kristalle, die mit optisch anregbaren Atomen oder Ionen dotiert sind. Als optisch durchlässige Festkörper werden eine Reihe
von Kristallen aber auch Glas verwendet die als laseraktive Zentren Ionen von Metallen, seltenen
Erden oder Aktiniden enthalten. Die Ionen besetzen in der Regel normale Gitterplätze des Wirtsgitters und besitzen einerseits breite Absorptionsbänder im optischen Bereich und zum anderen
eine Reihe von Fluoreszenzlinien. Abhängig davon, ob das obere Laserniveau an die Schwingungen des Kristallgitters ankoppelt, erhält man Festfrequenzlaser (z.B. Nd:YAG) oder breit abstimmbare Laser (z.B. Titan:Saphir). Festkörperlaser werden ausschließlich optisch gepumpt,
dazu werden meist Blitzlampen oder Diodenlaser verwendet; festfrequente Festkörperlaser werden ihrerseits häuﬁg wieder als Pumplaser für Farbstoﬀ- oder Titan-Saphirlaser eingesetzt und
verdrängen hier nach und nach die früher meist verwendeten Argon-Ionen-Laser. Tabelle 4.1
zeigt eine kleine Auswahl solcher Laser.
Neodym-Laser Die leistungsstärksten Laser sind Neodynm-Glas und Neodym:YAG (Yttrium Aluminium Granat Y3 Al5 O12 ) Laser. Mit ihnen lassen sich bei einer entsprechenden Nachverstärkung im Impulsbetrieb höchste Strahlungsleistungen im nahen Infrarotbereich
(1.06 μm) erzeugen. Das aktive Medium enthält als strahlende Zentren Neodym (Nd3+ ) Ionen.
Nd dotiertes Glas (bis zu 8% Nd-Ionen) hat den Vorteil, dass es sich in optisch einwandfreier
Qualität in größeren Abmessungen (Stäbe bis zu 1 m Länge) herstellen lässt.Beim Nd:YAG Laser
sind bis zu 4% Nd Ionen in einen YAG Kristall eingebettet. Vorteilhaft ist hier der gegenüber
Glas bis zu einem Faktor drei höhere Absorptionsquerschnitt der Nd Ionen und die höhere optische Qualität der Kristalle. Diese können allerdings nur in kleineren Abmessungen produziert
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
105
Tabelle 4.1: Aktive, dotierte Ionen und Wirtskristalle für Festkörperlaser
aktives Ion
Wirtskristall
Wellenlänge [μm]
Gd3+
Y3 Al5 O12
0,3146
Ti3+
Al2 O3
0,800
Cr3+
BeAl2 O4
0,752
Er3+
YAlO3
1,6630
Nd3+
Y3 Al5 O12
1,0642
Nd3+
CaWO4
1,0582
Ho3+
(Y,Er)AlO3
2,1230
Tm3+
YAlO3
2,3490
U3+
CaF2
2,6130
werden. Das Energieniveauschema der Nd3+ Ionen in einem Nd:YAG Laser ist vereinfacht in
Abb. 4.35 gezeigt. Es handelt sich um ein typisches Vier-Niveau-System. Die Ionen besitzen
breite Absorptionsbanden im oberen Pumpniveau 3 die durch optisches Pumpen mit Blitzlichtlampen oder Diodenlasern populiert werden. Durch einen schnellen Relaxationsprozess wird die
Energie dann in das obere Laserniveau 2 übertragen. Das untere Laserniveau 1 entleert ebenfalls
rasch in das Pumpniveau 0, so dass zwischen den Laserniveaus 1 und 2 Inversion leicht erreicht
werden kann. Damit ist Laseremission sowohl im Puls- als auch im kontinuierlichen Betrieb
möglich. Fluoreszenzübergänge treten bei den Wellenlängen 920 nm, 1060 nm und 1370 nm
auf, wobei üblicherweise der in der Abb. 4.35 gezeigte, intensivste Übergang bei etwa 1060 nm
verwendet wird (die genaue Lage ist vom verwendeten Glas abhängig). Weitere Varianten der
Nd-Laser sind Nd:YLF und Nd:YVO4 -Laser bei denen die Nd-Ionen in Yttrium-Lithium-Fluorid
bzw. Yttrium-Vanadat Kristalle eingebettet sind. Der Nd:YLF Laser (1048.5 nm) besitzt
eine hohe Energiespeicherkapazität und eignet sich daher für besonders hohe Pulsleistungen.
Nd:YVO4 Laser zeichnen sich hingegen durch einen hohen Wirkungsgrad aus und besitzen mit
1064.3 nm fast die gleiche Wellenlänge wie ein Nd:YAG-Laser (1064.2 nm). Nd-Laser werden
unter anderem als Pumplaser für Farbstoﬀ und Titan:Saphir-Laser (frequenzverdoppelt bei 532
nm), zur Materialbearbeitung und in der nichtlinearen Optik angewendet.
Titan:Saphir-Laser Der Titan:Saphir-Laser (Ti:Sa) besitzt als aktives Medium Titan Ionen (Ti3+ , bis zu 5%) die in einem Korund Kristall (Al2 O3 ) eingebaut sind. Die Vorteile des
Ti:Sa liegen vor allem in den guten optischen Eigenschaften des Wirtskristalls und seiner hohen
Wärmeleitfähigkeit, die auch die Realisierung sehr hoher Pumpleistungsdichten ermöglicht. Der
Ti:Sa Kristall absorbiert zwischen 400 und 600 nm, wobei ein Maximum bei 485 nm (blau-grün)
liegt. Optisch gepumpt wird er meist mit der Strahlung eines Argon-Ionen-Lasers (λ zwischen
488 und 514 nm) oder der zweiten Harmonischen eines Nd:YAG-Lasers bei 532 nm. Die Laserniveaus sind durch Schwingungswechselwirkung verbreitert, wodurch der Laser über einen weiten
Bereich abstimmbar (gepulst etwa 650-1100 nm, cw von etwa 700-1000 nm) wird. Kontinuierlich wird der Ti:Sa meist als Ringlaser, analog zu dem in Abb. 4.34 gezeigten Farbstoﬄaser,
betrieben. Aufgrund seiner hohen Bandbreite von bis zu 100 THz, ist er im Pulsbetrieb einer
der wichtigsten Laser zur Erzeugung ultrakurzer Pulse. Die bandbreitenbegrenzte Pulslänge
106
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.35: Niveauschema der Nd3+ Ionen im Nd:YAG Kristall.
(Fourierlimit) beträgt etwa 6 fs und es werden Ausgangsenergien von etwa 1 nJ pro Puls bei
10 fs Pulslänge und 100 MHz Repetitionsrate (Pulsfolgefrequenz) erreicht.
4.5.3.4
Halbleiter- oder Diodenlaser
Halbleiterlaser besitzen als aktives Medium eine Halbleiterdiode, bei der die Besetzungsinversion
in der Regel durch einen Injektionsstrom herbeigeführt wird. Am gebräuchlichsten sind IIIV-Verbindungen (d. h. Verbindungen von Elementen der dritten und fünften Hauptgruppe des
Periodensystems) wie GaAs. Bei der Rekombination von Löchern im Valenzband mit Elektronen
des Leitungsbandes entsteht Licht. Der Wellenlängenbereich, in dem der Laser Licht aussendet,
wird durch die Dotierung des Materials bestimmt, die Feinabstimmung der Wellenlänge erfolgt
durch Temperaturänderung und Stromänderung.
Bei der Leuchtdiode wird inkohärentes Licht ausgesandt, da hier keine Inversion erreicht wird:
Per deﬁnitionem liegt bei einem Halbleiter die Fermikante in der Bandlücke zwischen Leitungsund Valenzband wie im linken Teil der Abb. 4.36 zu sehen. Die Besetzungswahrscheinlichkeit
der Zustände ist durch
1
f (W ) = (W −F )/kT
e
+1
gegeben. Man erhält f (WLeitungsband ) ≈ 0, während die Zustände im Valenzband nahezu
vollständig besetzt sind f (WValenzband ) ≈ 1. Durch starke Dotierung (1019 Atome/cm3 ) kann
aber eine Inversion erreicht werden. Wie im rechten Teil der Abb. 4.36 dargestellt, kann der
Halbleiter mit Hilfe von Donatoren so stark n-leitend gemacht werden, dass die zusätzlichen
Elektronen die Fermikante in das Leitungsband drücken. Mit Hilfe von Akzeptoren erhält man
entsprechend einen p -leitenden Halbleiter, bei dem die Elektronen abgesaugt werden und so die
Fermikante verschoben wird. An der Grenzzone zwischen p- und n-leitendem Halbleiterleitermaterial ist die Besetzungswahrscheinlichkeit f (W ) an der Unterkante des Leitungsbandes größer
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
107
Abb. 4.36: Bändermodell eines Halbleiters, der stark n- bzw. p-dotiert ist. Die jeweiligen
Fermikanten sind eingezeichnet.
als an der Oberkante des Valenzbandes. Damit ist eine Inversion erzeugt, die Grenzzone dient
als aktives Lasermedium und aus der Leuchtdiode ist ein Diodenlaser geworden.
Abbildung 4.37 zeigt schematisch den Aufbau einer Heterostruktur-Laserdiode. Die aktive
Laserzone zwischen p- und n- dotiertem GaAs ist etwa 1 μm dick. Längs dieser Schicht wird
das Licht, das beim Übergang der Elektronen vom Leitungs- in das Valenzband entsteht, durch
stimulierte Emission verstärkt. Die linke Seite der Laserdiode ist verspiegelt. Die Brechungsindexänderung beim Übergang GaAs/Luft auf der rechten Seite, der Frontfacette der Laserdiode,
reicht in der Regel zur Rückkopplung aus, denn wegen des hohen Brechungsindex (GaAs bei
λ = 850 nm ist n = 3, 5) wird das Reﬂexionsvermögen
R=
n−1
n+1
2
≈ 0, 30.
(4.93)
Aufgrund der hohen Verstärkung genügt dieser Wert, um trotz der hohen Reﬂexionsverluste von
70% pro Umlauf die Schwelle zur Laseroszillation zu erreichen. Der so gebildete Resonator mit
einer Länge von d = 0, 5 mm hat einen Modenabstand von ≈ 200 GHz. Da im Allgemeinen
mehrere longitudinale Moden anschwingen, wird der Diodenlaser zur Spektroskopie mit einem
externen Resonator versehen. Durch Rückkopplung eines Teils des Lichts erreicht man SingleMode-Betrieb.
Typische Ausgangsleistungen solcher Halbleiterlaser liegen bei 10-20 mW, wenn sie mit einem
Strom von 100-200 mA gepumpt werden. Es gibt aber auch spezielle Anordnungen, die aus
Diodenarrays bestehen, die über 30 W Ausgangsleistung abgeben bei einem Wirkungsgrad von
Abb. 4.37: Schematische Darstellung einer Laserdiode. Die etwa 0,5 - 1 μm dicke laseraktive
Schicht (Heterostruktur) ist durch Aufdampftechnik seitlich auf 2 - 200 μm begrenzt. Es entsteht
ein stark divergentes, asymmetrisches Bündel von Laserlicht.
108
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
etwa 25%. Sie werden zum Schweißen und Härten von Metallen in der metallverarbeitenden
Industrie eingesetzt.
Single-Mode Laserdioden gibt es vom blauen Bereich bis in das tiefe Infrarot. In der Praxis
gibt es aber häuﬁg Schwierigkeiten, für eine bestimmte Wellenlänge die geeignete Laserdiode zu
ﬁnden, da das Spektrum nicht kontinuierlich abgedeckt wird, sondern an vielen Stellen Lücken
auftreten.
4.5.3.5
Der Stickstoﬄaser
Als Beispiel für einen superradianten, gepulsten Laser führen wir den bekannten Stickstoﬄaser
an, der in der Praxis als Pumplaser zur Anregung von gepulsten Farbstoﬄasern benutzt wird
(er wird heute durch leistungsfähigere Pulslaser z.T. vom Markt verdrängt). Das Lasermedium
ist molekularer Stickstoﬀ, der durch Elektronenstoß aus dem Grundzustand des Moleküls
1 Σ vorzugsweise in einen angeregten Zustand mit der Bezeichnung C 3 Π (ν = 0) angeregt
0
u
wird. Dieser Zustand zerfällt mit einer Lebensdauer von τ2 = 40ns in ein Zwischenniveau mit
der Bezeichnung B 3 Πg (ν = 0), das dann seinerseits mit einer Lebensdauer τ1 > τ2 in den
Grundzustand zurückfällt (siehe Abb. 4.38).
Abb. 4.38: Ausschnitt aus dem Termschema des Stickstoﬀmoleküls; der Laserübergang erfolgt
zwischen den Niveaus 2 und 1
Die Elektronenstoßanregung in das obere Niveau ist stärker als in das mittlere, so dass nach
einer pulsförmigen Anregung eine Inversion zwischen den Niveaus 2 und 1 vorliegt. Allerdings
kann diese Inversion nur kurzzeitig nach einer Pulsanregung andauern und nicht im stationären
Gleichgewicht bei einer Gleichstromanregung. Im letzteren Fall stehen die Besetzungszahlen
im gleichen Verhältnis wie die Lebensdauern der Zustände: N2 /N1 = τ2 /τ1 . Dies ist aber in
diesem Fall kleiner als eins, und somit liegt keine Inversion vor. Der Laser wird sich also nach
einem kurzen Puls durch Abbau der Inversion selbst löschen (self-termination).
Um stationäre Bedingungen zu vermeiden, muss also die Anregung in einer schockartigen
Gasentladung erfolgen, deren Dauer sehr viel kürzer als τ2 = 40ns ist. Man muss also die
elektrische Leistung durch eine kapazitive Entladung mit minimaler Induktion zuführen. Das
ist in den Abbildungen 4.39 und 4.40 gezeigt, die aus der Originalarbeit [Gell1968] entnommen
sind.
Zwei Kupferbleche mit einer dazwischen liegenden Mylar-Folie bilden einen Kondensator, wobei
aber die obere Platte geteilt ist, und die Hälften durch das Zünden einer Reihe paralleler
Funkenstrecken leitenden Kontakt bekommen. Je eine Kante der unteren und der rechten
oberen Platte sind auseinandergebogen, in das Gasentladungsrohr geführt und bilden dort auf
4.5. LASERTERMSCHEMATA UND LASERTYPEN
109
Abb. 4.39: Schaltschema eines gepulsten Stickstoﬄasers
der ganzen Länge des Rohrs die beiden Elektroden. Die untere Platte ist geerdet. Die linke
Platte wird jetzt über einen (vergleichsweise langsamen) Schaltkreis, z.B. ein Tyratron, auf
ca. 30kV aufgeladen. Dann werden die Funkenstrecken durch einen Triggerpuls gezündet,
die Ladung läuft sehr rasch auf die rechte obere Platte und lädt diesen Kondensator solange
auf, bis das Gas im Stickstoﬀrohr durchbricht und dort ein Plasma zündet. Das Plasma
im Stickstoﬀrohr erhält eine sehr große Leitfähigkeit und kann in wenigen Nanosekunden
den rechten Kondensatorteil entladen, da die Induktivität in Folge der sehr kleinen, vom
Stromkreis gebildeten Schleife minimal ist. Die nach dem Durchbruch des Lasergases über die
Funkenstrecken eventuell noch nachﬂießende Ladung aus dem linken Kondensatorteil kommt
dem Laserpuls nicht mehr zugute, da Widerstand und Induktivität der Funkenstrecken sie zu
langsam nachführen. Es kommt also nur die in der Zeit zwischen dem Triggern der Funkenstrecke und dem Durchbruch des Lasergases gespeicherte Energie zum Zuge, die proportional
zum Quadrat der Durchbruchspannung ist.
Nun ist aber die Durchbruchsspannung bei einem allmählichen Anwachsen der Spannung
sehr viel kleiner als bei einem plötzlichen, da der Durchbruch selbst Zeit braucht, um sich zu
entwickeln. Daher ist es wichtig, dass der rechte Kondensatorteil schnell geladen wird, so dass
man den linken Kondensatorteil als Zwischenspeicher einführt, der ebenfalls eine kleine Induktivität hat und über die Funkenstrecken relativ schnell auf den rechten entladen werden kann.
Abbildung 4.41 zeigt synchrone Oszillogramme des Spannungsverlaufs am Laserrohr und
des Laserpulses, der unmittelbar nach dem Durchbruch einsetzt und nach ca. 10ns beendet
ist. Entlang der Stickstoﬀröhre entwickelt sich der superradiante Laserpuls, der am vorderen
Brewsterfenster austritt, wobei auch die rückwärts laufende Welle durch Reﬂexion am hinteren
Spiegel ausgenutzt wird. Abbildung 4.42 zeigt die Laserleistung als Funktion der Durchbruchspannung bei verschiedenen Wellenwiderständen des rechten Stromkreises.
Die in der Originalarbeit genannten Daten lauten:
Leistung: ca. 1M W
Pulsdauer: ca. 10ns
Repetitionsrate: 10-100Hz .
Sie sind auch für heutige, kommerzielle Stickstoﬄaser im großen und ganzen typisch.
110
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.40: Gaslaserrohr eines Stickstoﬄasers mit Leistungsversorgung
4.6
Die semiklassische Lasertheorie
Die semiklassische Lasertheorie behandelt das Lasermedium als ein quantisiertes System und
löst für dieses die zeitabhängige Schrödingergleichung unter dem Einﬂuss eines äußeren Lichtfeldes, das als klassisches Feld angenommen wird. Die Rückwirkung des Lasermediums auf das
klassische Feld in Form von Emission, Absorption und Dispersion wird ebenfalls berechnet. Die
Annahme eines klassischen Lichtfeldes ist nach dem Korrespondenzprinzip bedenkenlos richtig,
wenn das Lichtfeld einen hohen Entartungsgrad besitzt, also viele Quanten im Mode hat. Das
triﬀt für den Laser im allgemeinen zu, ausgenommen, wenn die Anfangsinversion nur knapp die
Schwelle erreicht.
4.6.1
Klassische Feldgleichung mit Medium im Resonator
Wir wollen zunächst die klassische Feldgleichung in einem Resonator diskutieren, der mit einem
Medium angefüllt ist. Die Wechselwirkung des Feldes mit dem Medium wird dann klassisch
durch den Brechungsindex n oder die Polarisation
− ε0 E
P = D
beschrieben.
Wir wollen nun einen ganz bestimmten Mode m mit der Wellenzahl
km = m
π
l
(4.94)
4.6. DIE SEMIKLASSISCHE LASERTHEORIE
111
Abb. 4.41: Synchrone Oszillogramme des Spannungsverlaufs am Laserrohr (a) und des Laserpulses (b), Zeitbasis: 10ns/cm, Vertikal: (a) Laserspannung-9.3kV /cm; (b) Leistung-2M W/cm2
betrachten und seine Vakuumfrequenz mit ω und die Frequenz unter dem Einﬂuß der Polarisation
mit Ω bezeichnen, so dass gilt, dass das Verhältnis
Ω
= nm
ω
(4.95)
gleich dem Brechungsindex n des Mediums für den Mode m ist. Der Resonatormode sei eine
ebene stehende Welle in z-Richtung, die in x-Richtung polarisiert ist; das gleiche gilt dann für
die Polarisation
(z, t) = x̂ 1 E (t) ei(ωt+ϕ(t)) sin (kz) + c.c.
E
2
1
P (z, t) = x̂ P (t) ei(ωt+ϕ(t)) sin (kz) + c.c.
2
(4.96)
In (4.96) haben wir die Amplituden E(t) und P (t) sowie die Phase ϕ(t) noch mit einer expliziten
Zeitabhängigkeit versehen, damit sie uns das dynamische Verhalten des Lasers beschreiben
können. Ihre zeitlichen Änderungen sind aber sehr langsam im Vergleich zu der des optischen Feldes eiωt .
Um die Feldgleichung aufzustellen, betrachten wir die Maxwellgleichungen in SI-Einheiten
·D
=ρ
∇
×H
=D
˙ + J
∇
×E
= −B
˙
∇
·B
=0
∇
(4.97)
(4.98)
(4.99)
(4.100)
Wir bilden die Rotation von (4.99) und erhalten durch Einsetzen von (4.98) mit Hilfe der
Verknüpfungsrelation
= μ0 H
(4.101)
B
das Ergebnis
× ∇
˙ + J = 0
×E
+ μ0 d D
∇
dt
(4.102)
112
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Abb. 4.42: Laserleistung als Funktion der Durchbruchsspannung bei verschiedenen Werten der
Impedanzen des pulsformenden Stromkreises
mit Hilfe von (4.94) und benutzen wir das Ohmsche Gesetz in seiner
Ersetzen wir jetzt D
diﬀerentiellen Form
J = σ E
(4.103)
so erhalten wir die Wellengleichung im Resonator
× ∇
˙ + μ0 P¨ = 0
¨ + μ0 σ E
×E
+ μ0 ε0 E
∇
(4.104)
Sie ist gegenüber dem freien Fall um zwei Terme ergänzt. Der erste von ihnen, proportional zu
˙ , ist ein Verlustterm, der die Schwächung der Welle an den Spiegeln usw. enthält und mit dem
σE
Vorfaktor μ0 σ (mit σ als Leitfähigkeit) in der ﬁktiven Form Ohmscher Verluste beschrieben ist.
Der letzte Term berücksichtigt den durch die Polarisation verursachten Verschiebungsstrom. Wir
setzen jetzt die zweiten und die gemischten Ableitungen der Amplituden- und Phasenfunktionen
gleich Null
Ë = P̈ = ϕ̈ = Ė ϕ̇ = Ṗ ϕ̇ = 0,
(4.105)
da sie in Konkurrenz zu der sehr viel stärkeren Ableitung von eiωt stehen. Im gleichen Sinne
können wir annehmen, dass die Quellen und Senken schwach sind und das Feld während einer
4.6. DIE SEMIKLASSISCHE LASERTHEORIE
113
Periode 2π/ω kaum verändern. Daraus folgen die Näherungen
σ Ė = σ ϕ̇ = Ṗ = 0.
(4.106)
Setzen wir jetzt mit diesen Vereinfachungen den Ansatz (4.96) in (4.104) ein, so erhalten wir die
Diﬀerentialgleichung für die Amplituden- und Phasenfunktionen
Ω2 E −
iσω
ω2
E − 2iω Ė − (ω + ϕ̇)2 E =
P.
ε0
ε0
(4.107)
Es ist zweckmäßig, statt der Leitfähigkeit die Güte des Resonators Q einzuführen mit Hilfe von
σ=
ε0 ω
.
Q
Wir ordnen jetzt (4.107) nach Real- und Imaginärteil und führen noch die Näherung ein
Ω2 − (ω + ϕ̇)2 ≈ 2ω(Ω − ω − ϕ̇),
(4.108)
wobei ϕ̇2 vernachlässigt und Ω + ω ≈ 2ω gesetzt wurde. (4.107) zerfällt dann in die beiden
Diﬀerentialgleichungen
1ω
1ω
E=−
Ė +
Im(P )
(4.109)
2Q
2 ε0
1 ω Re(P )
.
(4.110)
2 ε0 E
Statt der Polarisation benutzt man auch häuﬁg die komplexe Suszeptibilität mit der Deﬁnition
ω + ϕ̇ = Ω −
= ε0 (χ + iχ )E
+ c.c.,
P = ε0 χE
womit (4.109) und (4.110) die Form annehmen
1 1ω
− ωχ E
Ė = −
2Q 2
(4.111)
(4.112)
1
ω + ϕ̇ = Ω − ωχ .
(4.113)
2
Die Gleichungen lassen erkennen, dass Frequenzverschiebung und die Phase des Lasermodes
durch den Realteil der Suszeptibilität beschrieben werden, während der Imaginärteil je nach
Vorzeichen eine zusätzliche Dämpfung oder Entdämpfung des Feldes beschreibt. Wir machen
das noch deutlicher, indem wir zum einen die stationäre Lösung von (4.113) mit ϕ̇ = 0 betrachten
Ω
1
= n = 1 + χ ,
ω
2
(4.114)
wodurch wir die bekannte Formel für den Brechungsindex zurückgewinnen. Zum anderen erweitern wir (4.112) mit E und beachten, dass die Energiedichte ρ ∼ E 2 ist, so dass wir eine
Diﬀerentialgleichung für die Feldenergie erhalten
1
− χ ρ,
(4.115)
ρ̇ = −ω
Q
eine Formel, die wir in ähnlicher Form aus der Schwingungslehre kennen.
Das Laserproblem besteht jetzt darin, P bzw. χ als Funktion der Parameter des Lasers, also des
Pumpens, der Relaxationen, der Frequenz, der Intensität etc. zu berechnen. Diese Berechnung
114
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
soll nun quantenmechanisch mit zeitabhängiger Störungsrechnung durchgeführt werden, wobei
wir als quantenmechanische Zustände nur die beiden Laserniveaus einführen, a für das untere
und b für das obere. Pumpen und Zerfälle werden wir später ad hoc als Raten den Gleichungen
hinzufügen. Nehmen wir also
ψ(r, t) = a(t)ua (r) + b(t)ub (r),
so gilt per deﬁnitionem
|ψ(t)
ck (t) |uk mit Ĥ0 |uk = Ek |uk .
(4.116)
k
Dabei zählt dN/dV die Anzahl der lasenden Atome pro Volumeneinheit. Da wir über ein
Ensemble von Atomen mitteln müssen, ist es angebracht, den Formalismus der Dichtematrix zu
benutzen, aus dem wir im folgenden Abschnitt die wichtigsten Formeln zusammenstellen, da sie
im üblichen Kurs der Quantenmechanik meist nur am Rande behandelt werden.
4.6.2
Dichtematrixformalismus
Literatur: Alle Lehrbücher der Quantenmechanik, z.B. Messiah: Quantenmechanik Band 1
Die zeitabhängige Wellenfunktion eines einzelnen Atoms sei gegeben durch die Entwicklung
ck (t) |uk mit Ĥ0 |uk = Ek |uk ,
(4.117)
|ψ(t) =
k
wobei Ĥ0 der ungestörte zeitunabhängige Hamiltonoperator sei. Dann ist der Dichteoperator
deﬁniert durch
ρ̂ = |ψ(t) ψ(t)| .
(4.118)
Seine Matrixelemente ρik sind dann
ρik = ui |ψ(t) ψ(t)| uk = ci (t)c∗k (t).
(4.119)
Die Normierung verlangt: Spur(ρ) = 1 .
Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung erhalten wir mit der Deﬁnition (4.118) unmittelbar
1 ρ̂˙ =
Ĥ, ρ̂
i
1 (Hil ρlk − ρil Hlk ) .
ρ̇ik =
i
(4.120)
l
Da (4.117) eine Entwicklung nach Eigenzuständen war, gilt weiterhin für die ungestörte Dichtematrix
1
(Ei − Ek ) ρik (t)
i
ρ̇kk (t) = 0
ρ̇ik (t) =
(4.121)
ρik (t) = ρik (0)e−i(ωik t+ϕik ) .
Die Diagonalelemente beschreiben also die Besetzungswahrscheinlichkeit jedes Eigenzustands des
Atoms, während die Nichtdiagonalelemente die Oszillation und Phase eines kohärenten Zustands
angeben, die dann auftreten, wenn sich das Atom nicht in einem reinen Eigenzustand beﬁndet.
4.6. DIE SEMIKLASSISCHE LASERTHEORIE
115
Sie sind also nach (4.116) entscheidend für die Polarisation.
Aus der Deﬁnition ergibt sich weiterhin für den Erwartungswert einer Observablen Ô
# $
ρlk Okl .
Ô = ψ| Ô |ψ = Spur ρ̂ · Ô =
(4.122)
l,k
Seien nun viele Atome 1, 2, ..., N in einem Ensemble gegeben mit den Wellenfunktionen ψ (1) , ψ (2) ,
..., ψ (N ) , wobei sich die ψ (i) durch ihre Zustandsvektoren c(i) (t) unterscheiden mögen, nicht aber
durch ihre Eigenwerte. Zwecks Einführung einer normierten Dichtematrix dieses Ensembles
werden alle Atome mit gleichem Zustandsvektor c(i) (t) = c(j) (t) zu einer Wahrscheinlichkeit p(k)
zusammengefasst, so dass sich die resultierende Dichtematrix schreibt als
ρ=
p(k) ρ(k) .
(4.123)
k
Die p(k) können auch eine kontinuierliche Funktion eines Parameters sein, z.B. der Temperatur
im Boltzmann-Gleichgewicht, dessen Dichtematrix gegeben ist durch
gk e−Ek /kT
.
ρik (T ) = ρik (T )δik = ρkk (T ) = −Ek /kT
k gk e
(4.124)
Hierin sind die Nichtdiagonalelemente Null, weil im statistischen Mittel keine einheitliche Phase
der atomaren Anregung vorliegt. Nur bei speziellen, Kohärenz erzeugenden äußeren Wechselwirkungen, denen das ganze Ensemble simultan ausgesetzt wird, können sie Werte ungleich Null
annehmen. Man erkennt die mangelnde Kohärenz des Ensembles an den Ungleichungen
ρ̂2 = ρ̂ bzw. 0 ≤ Spur ρ2 ≤ 1.
Für ein einzelnes Atom galt hingegen identisch
ρ̂2 = |ψ ψ|ψ ψ| = |ψ ψ| = ρ̂.
Letzteres gilt auch dann und nur dann für das ganze Ensemble, wenn alle Atome exakt den
gleichen Zustandsvektor haben. Aber auch für das inkohärente Ensemble gelten die Gleichungen (4.120) bis (4.122). Genau das ist der Vorteil des Dichtematrixformalismus gegenüber der
Schrödingergleichung, die ein Ensemble nur im Falle strikter Kohärenz beschreiben kann.
4.6.3
Die semiklassische Wechselwirkung zwischen Laserfeld und Medium
Wir wollen jetzt den Dichtematrixformalismus auf das Lasermedium unter Einwirkung des Laserfeldes als Störung anwenden. Seien Ĥ0 und V̂ der Hamiltonoperator des ungestörten Laseratoms
bzw. der Störung durch das Lichtfeld, so genügt der Dichteoperator jetzt der Gleichung
1 ρ̂˙ =
Ĥ0 + V̂ , ρ̂
i
mit den Matrixelementen
ρ̇ik
1
(Ei − Ek ) ρik +
=
(Vil ρlk − ρil Vlk ) ,
i
(4.125)
l
wobei ρ̂ diagonal in Ĥ0 angenommen war. V̂ habe nur ein einziges, nennenswertes Matrixelement
Vab zwischen den Zuständen a und b, wobei a das untere Laserniveau sei und b das obere.
116
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Sie haben zeitabhängige Amplituden a(t) und b(t). Wir brauchen daher (4.125) nur für eine
zweireihige Matrix zu lösen, die ausgeschrieben lautet:
ρ̇aa =
1
(Vab ρba − ρab Vba ) − γa ρaa + λa
i
(4.126)
1
(Vba ρab − ρba Vab ) − γb ρbb + λb
(4.127)
i
1
ρ̇ab = −iω0 ρab + Vab (ρbb − ρaa ) − γρab .
(4.128)
i
Zusätzlich zu der Wechselwirkung V haben wir noch die Zerfallsraten γ, γa und γb sowie
Pumpraten λa und λb ad hoc eingeführt, ohne den Pump- oder Zerfallsmechanismus explizit
speziﬁzieren und quantenmechanisch durchrechnen zu wollen. Sonst hätten wir auch noch
diejenigen Komponenten der Dichtematrix einschließlich der Pump- und Zerfallswechselwirkung
in (4.126 - 4.128) zusätzlich aufnehmen müssen, die die übrigen, früher in den Ratengleichungen
des Drei- und Vier-Niveau-Lasers vorkommenden Zustände betreﬀen. Die exakte Quantenmechanik dieser Prozesse ist aber im Rahmen der semiklassischen Lasertheorie nicht interessant
und kann daher durch Raten vertreten werden. Man beachte aber, dass dadurch die Normierung
von (4.126 - 4.128) verloren geht, so dass ρaa und ρbb jetzt die tatsächlichen Besetzungszahlen
darstellen.
Besondere Beachtung verdient die Zerfallskonstante γ des Nichtdiagonalelements
ρ̇bb =
γ=
1
(γa + γb ) + γϕ .
2
(4.129)
Darin gehen γa und γb je zur Hälfte ein, da ρab proportional zum Produkt der beiden Amplituden ist. γϕ soll eine zusätzliche Phasenrelaxation beschreiben, die die relative Phase zwischen
den beiden Zustönden stört, die Besetzungszahlen aber unverändert lässt. Hierfür könnten im
Prinzip zwei Ursachen genannt werden:
1. Eine inhomogene Linienbreite, die die relativen Phasen der Atome auseinanderlaufen lässt.
Dieser Fall lässt sich aber nicht so einfach durch eine zusätzliche Phasendämpfung erschlagen, sondern korrekterweise müsste dann ω0 in (4.128) durch ein Spektrum ersetzt werden.
Wir wollen uns dieser Komplikation nicht aussetzen, sondern uns auf den zweiten Fall
beschränken.
2. Eine zusätzliche homogene Linienverbreiterung, die in einem Gaslaser zum Beispiel
durch gaskinetische Stöße verursacht wird. Man hat sich eine solche Phasenrelaxation
physikalisch folgendermaßen vorzustellen: Während der kurzen Stoßzeit verschieben sich
adiabatisch die Energielagen der beiden Niveaus relativ zueinander infolge der molekularen Wechselwirkung mit dem stoßenden Atom. Dieser Frequenzunterschied multipliziert
mit der Stoßdauer ergibt eine Phasenverschiebung des gestoßenen Atoms gegenüber den
anderen. Da diese Stöße nach Häuﬁgkeit und Stärke eine statistische Verteilung haben,
führen sie zu einer Phasenrelaxation. Der zeitliche Mittelwert der Phasensprünge erzeugt
darüber hinaus die sogenannte Druckverschiebung, die wir durch eine Korrektur von ω0
berücksichtigen können und die in der Regel sehr viel kleiner als die Stoßverbreiterung ist.
Die Störung durch das in x-Richtung polarisierte und in z-Richtung eine stehende Welle bildende
Laserlicht ist gegeben durch
1
Vab (z, t) = − μx E(t)ei(ωt+ϕ(t)) sin(kz)
2
(4.130)
4.6. DIE SEMIKLASSISCHE LASERTHEORIE
117
mit
μx = ua | er |ub x .
Für die Polarisation des Ensembles erhalten wir daraus mit (4.111) und (4.122)
P = px x̂ = Spur {μx ρ(z, t)} x̂ = (μx ρab (z, t) + c.c.) x̂,
(4.131)
wobei in der Spurbildung die Diagonalelemente des Dipoloperators nicht beitragen, da sie bei
guter Parität der Eigenfunktionen für einen ungeraden Operator verschwinden. Außerdem haben
wir die Dichte dN/dV mit in die ohnehin nicht mehr normierte Dichtematrix hineingezogen.
In den Diﬀerentialgleichungen (4.96). hatten wir uns allerdings nicht mehr für die schnell
veränderliche zeitliche und räumliche Phase ei(ωt+ϕ(t)) · sin(kz) der Polarisation interessiert,
sondern für den langsam veränderlichen Amplitudenfaktor P (t), den wir in (4.96) abgespalten
hatten. Wir gewinnen ihn aus (4.131) durch Multiplikation mit 2 · e−i(ωt+ϕ(t)) · sin(kz) und
Mittelwertbildung über z entlang der Länge L des Lasermediums:
2
P (t) = 2e−i(ωt+ϕ(t))
L
L
sin(kz)μx ρab (z, t)dz.
(4.132)
0
Die Aufgabe besteht jetzt darin, mit (4.130) das Gleichungssystem (4.126 - 4.128) zu lösen,
diese Lösung in (4.132) einzusetzen und damit in die Feldgleichungen (4.107, 4.109, 4.110)
hineinzugehen. Wir können auf diesem Lösungsweg nur Näherungen betrachten und formen
hierzu zweckmäßigerweise (4.128) durch Integration in eine Integralgleichung um
i
e−(iω0 +γ)(t−t ) Vab z, t ρaa z, t − ρbb z, t dt .
(4.133)
ρab (z, t) =
In der Nähe des eingeschwungenen Lasers können wir annehmen, dass die Amplituden- und
Phasenfunktionen E(t) und ϕ(t), ebenso wie die Inversion [ρaa − ρbb ] während Zeiten von der
Größenordnung 1/γ nahezu konstant sind. Wir können sie daher vor das Integral ziehen und
erhalten
μx E(t) i(ωt+ϕ(t))
ρaa (z, t) − ρbb (z, t)
ρab (z, t) = −
e
(4.134)
sin(kz)
2i
i(ω0 − ω) + γ
Gehen wir mit der Lösung (4.134) zurück in (4.126) und (4.127), so erhalten wir für die Besetzungszahlen wieder Ratengleichungen
ρ̇aa (z, t) = λa − γa ρaa − R (ρaa (z, t) − ρbb (z, t))
ρ̇bb (z, t) = λb − γb ρbb + R (ρaa (z, t) − ρbb (z, t))
γ
1 μx E (t) sin (kz) 2
.
mit R =
2
(ω0 − ω)2 + γ 2
(4.135)
Wir können jetzt dieses Ratengleichungssystem lösen und damit in (4.134) und (4.132)
zurückgehen, so dass wir in der Näherung
R
erhalten:
P (t) = −
μ2x E (t)
γ a + γb
1
γa γb
λa λb
−
γa
γb
(ω0 − ω) + iγ
(ω0 − ω)2 + γ 2 (1 + p)
(4.136)
118
KAPITEL 4. GRUNDLAGEN DES LASERS UND DER LASERSPEKTROSKOPIE
Wir sehen jetzt, dass der Realteil von P , der den Brechungsindex beschreibt, die übliche Dispersionskurve ist, während der Imaginärteil, der für Absorption und stimulierte Emission zuständig
ist, die Lorentzform zeigt. Der Vorfaktor aus Pump- und Zerfallsraten ist die Besetzungszahldiﬀerenz ρaa − ρbb und bestimmt Größe und Vorzeichen der komplexen Suszeptibilität (s. Abb.
4.43). Man beachte, dass ein invertiertes Medium nicht nur das Vorzeichen des Absorptionskoeﬃzienten sondern auch das der Dispersion gegenüber dem Normalfall umkehrt.
Abb. 4.43: Real- und Imaginärteil der komplexen Suszeptibilität eines Zweiniveausystems.
Die oben betrachtete Näherung bezüglich R und den γ , s bedeutete, dass die Rate der stimulierten Prozesse, gegeben durch R, klein sei gegen die Phasenrelaxation γϕ . Mit anderen
Worten schwang der Laser kurz über der Schwelle. Ist dies nicht mehr der Fall, so wird der
Faktor (1 + p) im Nenner von (4.136) bedeutsam (Eﬀekt der Leistungsverbreiterung, der auch
in der Kernresonanz auftritt). In zweiter Näherung ist dieser Faktor gegeben durch
(1 + p) = 1 +
3 μ2x E 2 (γa + γb )
.
8
2 γγa γb
(4.137)
Diese Näherung ist bis zu einer Laserleistung von ca. 20% oberhalb der Schwelle gut.
Mit der Lösung (4.136) kann man jetzt im letzten Schritt in die klassischen Feldgleichungen
(4.109) und (4.110) gehen und gewinnt Diﬀerentialgleichungen für E(t) und ϕ(t). Die stationären
Lösungen können angegeben werden und bestimmen Intensität und Frequenz des Lasers.
Abb. 4.44 zeigt links die Intensität des Lasers als Funktion der Verstimmung des Lasermodes ω
gegen die Resonanzfrequenz ω0 in Einheiten der Linienbreite. Mit wachsender Schwelleninversion wird das Intensitätsproﬁl höher und breiter.
4.6. DIE SEMIKLASSISCHE LASERTHEORIE
119
Abb. 4.44: Links: Intensität des Lasers als Funktion der Frequenzverstimmung; rechts: frequency pulling.
Aus dem Verlauf der invertierten Dispersionskurve und dem Zusammenhang (4.95) zwischen
Brechungsindex und den Eigenfrequenzen des Resonators im Vakuum und im Medium entnehmen wir qualitativ, dass die Modes von ihrem Vakuumwert weg in Richtung auf die Zentralfrequenz ω0 hin verschoben werden. Der Eﬀekt ist am stärksten in der Flanke und verschwindet
im Zentrum der Spektralkurve. Genauer gilt ein Zusammenhang
ωi =
Ωi + Sω0
,
1+S
(4.138)
wobei S ein sehr komplizierter Faktor ist, der aber kleiner als 1 ist, so dass man entwickeln kann
%
&
SΩi 2
ω0
χi
+O
.
(4.139)
=S 1−
ni − 1 =
2
Ωi
ωi
Der erste Term beschreibt demnach die Steigung der Dispersion bei Ωi = ω0 (s. Abb. 4.43).
Dieses “frequency pulling” ist qualitativ in Abb. 4.44 dargestellt. Seine wichtigste Folge ist,
dass die Modes nicht mehr äquidistant sind, wodurch die phasenstarre Kopplung verschiedener
Modes behindert wird.
Kapitel 5
Speicherung und Kühlung von
Neutralteilchen
Dieses Kapitel basiert auf den Ausarbeitungen von Dr. Wilfried Nörtershäuser (Vorlesung
WS05/06: Laserspektroskopie, Fallen und deren Anwendungen), dem ich an dieser Stelle ganz
herzlich danken möchte.
Die Auﬂösung bei der Spektroskopie von Atomen ist durch die Dopplerverbreiterung limitiert. In speziellen Fällen kann man durch Einsatz der Zweiphotonenspektroskopie die Dopplerverbreiterung vermeiden, dabei limitiert aber oft die Durchﬂugsverbreiterung die Linienbreite.
Idealerweise möchte man folglich die thermische Energie der Atome bei der hochauﬂösenden
Spektroskopie möglichst klein und die Wechselwirkungszeiten sehr lang machen. Durch Nutzung
der Kräfte, die ein Lichtstrahl auf ein Atom ausübt, gelingt es, den Atomen sukzessive Bewegungsenergie zu entziehen. Für den Einfang und die Speicherung neutraler Teilchen hat man
in den letzten Jahrzehnten eine Reihe von Methoden entwickelt, die es heute erlauben Atome
nahe an den absoluten Nullpunkt abzukühlen und in externen Feldern einzuschließen. Diese
Techniken haben eine Vielzahl von Anwendungen die von hochpräzisen Atomuhren, über die
Nanotechnologie (präzises Verschieben und Positionieren einzelner Atome) und Interferometrie
mit Atomstrahlen bis zum geplanten Einschluss von Antimaterie-Atomen reicht. Einige dieser
Methoden sollen im Folgenden diskutiert werden.
5.1
Lichtkräfte
Bereits im Jahre 1619 postulierte Kepler, dass das von der Sonne ausgesandte Licht, Kräfte
auf Gase und Partikel ausübt. Dieser Lichtdruck sollte (unkorrekterweise) erklären, warum
ein Kometenschweif immer von der Sonne wegzeigt. Im Rahmen der Maxwellschen Theorie
gelang es die Kräfte die aufgrund von Absorption oder Reﬂexion von dem Lichtfeld auf Materie
ausgeübt werden zu berechnen. Es zeigte sich, dass diese Kräfte sehr klein sind. Für eine
von Sonnenstrahlung senkrecht beschienene, ideal reﬂektierende Fläche von 1 m2 , ergibt sich
beispielsweise ein ”Druck” der einer Gewichtskraft von 0.8 mg (idealer Spiegel) entspricht.
Mit dem Konzept des Photons, welches 1905 von Einstein eingeführt wurde, ergab sich, dass
die Impulserhaltung ein wichtiger Aspekt des Gleichgewichtes zwischen Strahlung und Materie
ist. In einer Arbeit von 1917 zeigte Einstein, dass der Impuls des Photons p direkt proportional
zu seiner Energie E ist
E
2π
h
p = k =
(5.1)
ek = ek = ek .
c
λ
λ
Im Jahre 1933 konnte Otto Frisch in Hamburg erstmals die Ablenkung von Natrium-Atomen
120
5.2. DIE SPONTANKRAFT
121
in einem Atomstrahl durch die Absorption von Photonen demonstrieren. Mit der Verfügbarkeit
intensiver und in höchstem Maße gerichteter Lichtstrahlung von Lasern wurden diese Experimente wesentlich einfacher und es zeigte sich bald, dass Laserstrahlen ein ideales Werkzeug zur
Manipulation neutraler Teilchen sind. Konzeptionell kann man die Kräfte die Licht auf Atome
ausübt, unterscheiden in solche, die mit der inkohärenten Streuung von Photonen über die spontane Emission zusammenhängen (Spontankraft) und solche, die weitab einer Resonanzfrequenz
durch die Wechselwirkung des Lichtfeldes mit induzierten oder permanenten (nur Moleküle)
Dipolmomenten (Dipolkraft) zustande kommen.
5.2
Die Spontankraft
Wenn ein Atom ein Photon absorbiert, so muss es den gesamten Impuls des Photons als Rückstoß
aufnehmen. Nach kurzer Zeit, wird das angeregte Atom unter Emission eines Photons wieder
in den Grundzustand zurückkehren. Dabei erleidet es wiederum einen Rückstoß in Höhe des
Photonenimpulses. Nach n optischen Anregungen ergibt sich der insgesamt übertragene Impuls
zu
Δ
pA =
kLaser +
kspontan .
(5.2)
n
n
!
"
→ 0 f ür n1
Da die spontane Emission gleichverteilt in alle Raumrichtungen erfolgt, mittelt sich der zweite
Term über viele Anregungszyklen zu Null, d. h. im Mittel entsteht durch sie keine
gerichtete
Kraft. Damit bleibt als resultierender Impulsübertrag nur der erste Term Δ
pA = n kLaser , da
alle Absorptionsimpulse in Richtung des Laserstrahls wirken. Eine Abschätzung für die mittlere
Kraft ergibt sich aus der Zahl der pro Zeiteinheit gestreuten Photonen:
1
1
d
pA
= nkLaser
= nkLaser
F =
dt
Zykluszeit
τ /f
(5.3)
wobei τ die Lebensdauer des angeregten Zustandes und f der mittlere Anteil der Atome im angeregten Zustand ist. f hängt von der Lichtintensität ab und kann aufgrund der Sättigung maximal den Wert 12 annehmen. Die Streurate (τ /f )−1 liegt typischerweise in der Größenordnung
von 108 /s bei Abstimmung auf die Resonanzfrequenz. Die eﬀektiv vorliegende Kraft aus Absorption und spontaner Emission ist zeitlich nicht konstant. Sie ﬂuktuiert, weil die Richtungen
und die Zeitpunkte der Emission statistisch verteilt sind. Die spontane Emission bewirkt also
eine geringe Aufheizung und begrenzt so die niedrigste erreichbare Temperatur. Die Kraft hängt
stark von der Frequenz des Laserlichtes ab. Nahe einer Resonanz ist die Streurate wesentlich
höher als weiter entfernt. Andererseits konkurriert nahe der Resonanz die induzierte mit der
spontanen Emission und der Photonenrückstoß bei der stimulierten Emission hebt gerade den
Impulsübertrag bei der stimulierten Absorption auf. Dadurch wird das Anwachsen der abbremsenden Kraft mit der Laserleistung durch einsetzende stimulierte Emission begrenzt. Die
Abhängigkeit der Kraft von der Verstimmung
δ = ωL − ω0
(5.4)
der Laserfrequenz νL gegenüber der Resonanzfrequenz ν0 , ist gegeben durch
F = k
I / I0
γ
·
2 1 + I / I0 + (2δ/γ)2
(5.5)
wobei I0 die sogenannte Sättigungsintensität ist. Bei Sättigung und Abstimmung des Lasers auf
die Resonanz wird F (I = I0 , δ = 0) = k γ4 .
122
KAPITEL 5. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON NEUTRALTEILCHEN
Beispiel: Für Natriumatome (Resonanzlinie des 3s → 3p Überganges bei λ = 589 nm) beträgt
die Lebensdauer des 3p Niveaus τ = 16 ns resultierend in einer natürlichen Linienbreite von
Γ = 10 MHz. Bei Sättigung (f= 12 ) ergibt sich eine Kraft von Fmax = 1.5 · 105 m/s2 . Dies ist zwar
sehr groß gegenüber der Gravitationsbeschleunigung, jedoch um viele Größenordnungen kleiner
als die Beschleunigung eines einfach geladenen Ions in einem elektrischen Feld der Feldstärke
1 V/cm von F = qE/M ≈ 4 · 1010 m/s2 .
Die Geschwindigkeitsänderung pro Photonenabsorption beträgt (MNa = 23 amu)
ΔpZyklus
kL
Δυ
=
=
≈ 3 cm/s.
Zyklus
M
M
(5.6)
Diese rückstoßbedingte Änderung der Geschwindigkeit führt natürlich zu einer Änderung
der Dopplerverschiebung der Laserfrequenz im Ruhesystem des Atoms und somit zu einer
künstlichen Verstimmung von der Resonanzfrequenz. Die Halbwertsbreite des Übergangs
entspricht einer maximalen Geschwindigkeitsänderung von
Δυ = c
γ
γ
= = λΓ ≈ 6 m/s,
ω0
k
(5.7)
d.h. nach spätestens 200 Zyklen ist das Atom nicht mehr in Resonanz mit der Laserfrequenz
und die Streurate geht gegen Null.
5.3
Strahlungsdruck - Zeeman Bremsen
Für viele Anwendungen in der Atomoptik oder der hochauﬂösenden Spektroskopie werden Atome
benötigt, deren longitudinale Ausbreitungsgeschwindigkeit deutlich kleiner ist als ihre mittlere
thermische Geschwindigkeit. Heizt man beispielsweise die Natriumatome aus obigem Beispiel
bei etwa 600 K aus einem Ofen, so beträgt ihre mittlere Geschwindigkeit etwa 900 m/s und
um sie auf sehr kleine Geschwindigkeiten abzubremsen benötigt man etwa 30.000 Absorptions/Emissionszyklen. Überdies muss der Laser zunächst um etwa ΔνDoppler = υ/λ ≈ 1, 5 GHz
von der Resonanzfrequenz ruhender Atome rot verstimmt sein, damit sie mit den Atomen der
am stärksten populierten Geschwindigkeitsklasse wechselwirken. Wie oben diskutiert werden die
Atome durch die Wirkung der spontanen Streukraft langsamer und dadurch ändert sich über den
geschwindigkeitsabhängigen Dopplereﬀekt die eﬀektive Verstimmung. Die Resonanzbedingung
für maximale Streukraft wird zunehmend verletzt, d. h. die Bremswirkung lässt drastisch nach.
Um dem entgegen zu wirken werden unterschiedliche Methoden angewandt.
Eine Möglichkeit besteht darin, die Laserfrequenz während des Abbremsens der Atome
so zu variieren, dass sie der jeweiligen Verschiebung der Resonanzfrequenz durch den
geschwindigkeitsabhängigen Doppler-Eﬀekt folgt. Da die Frequenz des Lasers zeitlich verändert
(”gechirpt”) wird, ist beim so genannten ”chirped-slower” nur die Erzeugung eines gepulsten
Strahls langsamer Atome möglich. Zur Implementation dieser Methode eignen sich Diodenlaser
besonders gut, da ihre Frequenz einfach durch eine Änderung des Betriebstromes um wenige mA
über mehrere GHz durchgestimmt werden kann. Dies entspricht Geschwindigkeitsänderungen
von einigen km/s.
Alternativ kann man die atomare Übergangsfrequenz räumlich so verändern, dass Atome auf
ihrem Bremsweg immer in Resonanz mit dem eingestrahlten Laserlicht bleiben. Dazu nutzt man
entweder im so genannten Stark-Abbremser den Stark-Eﬀekt (Verschiebung der Energieniveaus
durch statische elektrische Felder) oder im Zeeman-Abbremser (Zeeman-Slower) den ZeemanEﬀekt (Verschiebung der Energieniveaus durch statische Magnetfelder) aus. Bei beiden Methoden wird die zeitliche Variation der atomaren Übergangsfrequenz im Laborsystem während
5.3. STRAHLUNGSDRUCK - ZEEMAN BREMSEN
123
des Bremsvorgangs räumlich kompensiert. Dadurch ist das ununterbrochene Abbremsen eines
Atomstrahles zum kontinuierlichen Betrieb einer Quelle langsamer Atome möglich.
Die eﬀektive Verstimmung von der Resonanzfrequenz für ein Atom mit Geschwindigkeit υ
in z-Richtung (entgegen dem Laserstrahl) in einem Magnetfeld B beträgt
δeﬀ
= ωL + kυ − ω0 − (μe − μg ) B/
(5.8)
= δ + kυ − ΔμB/.
(5.9)
Dabei sind μe und μg die magnetischen Momente des Atoms im angeregten Zustand |e und
im Grundzustand |g. Δμ ist deren Diﬀerenz. Unter Annahme einer konstanten Beschleunigung a = F/M entgegen der Ausbreitungsrichtung der Atome (z-Richtung) ergibt sich für die
räumliche Variation der atomaren Geschwindigkeit
υ(t) = υ0 − at
1
z(t) = υ0 t − at2
2
und damit aus (5.11)
υ0
t(z) =
a
2az
1± 1− 2 .
υ0
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Für die Ortsabhängigkeit erhält man durch Einsetzen in (5.10)
2az
υ(z) = υ (t(z)) = υ0 1 − 2 .
υ0
(5.13)
Die gesamte Abbremsstrecke ist
z0 = z(t0 =
1 υ02
υ0
)=
a
2 a
(5.14)
womit sich (5.13) schreiben lässt als
z
υ(z) = υ (t(z)) = υ0 1 − .
z0
(5.15)
Für das zur Gewährleistung der Resonanz notwendige Magnetfeld beim Zeeman-Slower, das
während des gesamten Abbremsvorganges die Resonanzbedingung erfüllen soll, erhält man über
δeﬀ = 0 aus Gleichung (5.9)
z
(5.16)
B(z) = B0 + B1 1 −
z0
wobei B0 = δ/Δμ für ein ruhendes Atom die Verstimmung δ der Laserfrequenz kompensiert
(B0 = 0 für δ = 0) und B1 = kυ0 /Δμ die ortsabhängige Dopplerverschiebung korrigiert. Im
Zeeman-Slower werden alle Atome mit einer Eintrittsgeschwindigkeit υ ≤ υ0 abgebremst und
tragen zu einem kontinuierlichen Strahl langsamer Atome bei. In Abb. 5.1 ist sowohl der typische
Aufbau eines Zeeman-Slowers als auch dessen magnetisches Feld als Funktion von z dargestellt.
Wird ein Stark-Slower eingesetzt, ergibt sich die Feldabhängigkeit aufgrund der üblicherweise
quadratischen Abhängigkeit
1
ΔωS = α |E|2
(5.17)
2
124
KAPITEL 5. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON NEUTRALTEILCHEN
Abb. 5.1: Aufbau eines Zeeman-Abbremsers
der Energie von der elektrischen Feldstärke E entsprechend zu
z
E(z) = E0 1 − 1 − .
z0
(5.18)
Die elektrische Polarisierbarkeit α variiert über die Alkaliatome um Faktoren 3-5. Typische
Werte liegen in der Größenordnung 100 kHz × |E|2 wobei E in kV/cm gegeben ist. Eine
typische Dopplerverschiebung von 700 MHz erfordert also Felder in der Größe von 80 kV/cm.
Ein Vorteil des Stark-Slowers ist die oﬀene Geometrie, sein Nachteil die erforderlichen starken
elektrischen Felder. Ein Feld der Form (5.18) lässt sich durch zwei plane Elektroden realisieren
die in einer trapezförmigen Anordnung mit Abständen von einem zu einigen cm angebracht sind
und an die einige 10 kV angelegt werden. Dies macht den Atomstrahl im Gegensatz zu einem
Solenoiden lateral zugänglich.
5.4
Reibungskräfte - Optische Molasse
Überlagert man zwei rotverstimmte (δ < 0) Laserstrahlen antiparallel, so hat dies im Zusammenspiel mit dem Doppler-Eﬀekt zur Folge, dass ein Atom, das sich auf einen der beiden Laserstrahlen zubewegt, überwiegend Photonen aus diesem Strahl absorbiert. Das Atom wird somit
durch die spontane Streukraft entgegen seiner Bewegungsrichtung beschleunigt und dadurch ein
Entweichen in dieser Raumrichtung erschwert. Die Konﬁguration gegenläuﬁger Strahlen hat die
Bezeichnung optische Molasse erhalten, da bei geeigneter Verstimmung der Laser ein Reibungsterm in der Spontankraft auftritt. Im Folgenden betrachten wir zwei gegenläuﬁge Strahlen
gleicher Frequenz. Wenn die Intensität in jedem Strahl klein ist, also I/I0 1, dann ist die totale Kraft auf das Atom gleich der Summe beider Strahlungsdrücke (wir nehmen weiter an, dass
diese Kraft über die Ausdehnung einer Wellenlänge gemittelt ist). In einer Dimension erhalten
wir für die Kraft auf ein Atom aus zwei antiparallelen Laserstrahlen der Intensität I :
γ I
1
1
M υ̇ = F (υ) = k
.
(5.19)
·
−
2 Io
1 + (2 (δ − kυ) /γ)2 1 + (2 (δ + kυ) /γ)2
5.5. DIE MAGNETOOPTISCHE FALLE (MOT)
125
Die Steigung von F (υ) bei υ = 0 ist maximal, wenn 2|δ| /γ = 1. F (υ) ist nur über einen kleinen
Bereich linear Δυ ≈ γ/k. Für kleine Werte von υ (kυ γ) und fern der Sättigung (I/I0 1)
ist die Kraft näherungsweise
F (υ) = 4k 2
I/I0
2δ
υ
2 = −αυ.
γ
1 + (2δ/γ)2
(5.20)
Der Reibungskoeﬃzient α hat die Dimension [kg/s]. Im Falle der Rotverstimmung wird die
Geschwindigkeit υ mit der Rate
υ̇
α
=
= γυ
(5.21)
υ
M
gedämpft. γυ−1 ist die charakteristische Zeit zur Dämpfung der atomaren Geschwindigkeit. Für
einen gegebenen Wert von I/I0 erreicht diese Zeit ein Minimum für
1
2δ
= −√ .
γ
3
(5.22)
Ebenso wie bei dem Abbremsen eines Atomstrahls wird die kinetische Energie des Atoms
dabei dissipiert indem die Frequenz des emittierten Photons im Mittel größer ist als die des
zuvor absorbierten Photons. Der Prozess ist irreversibel, da er Photonen aus einer Mode des
Laserstrahls in das Kontinuum der Vakuummoden durch die spontane Emission umverteilt. Wie
jeder dissipative Prozess ist auch dieser mit Fluktuationen und damit Heizprozessen verbunden.
Diese sind verursacht durch die stochastische Natur des Absorptionsprozesses und der spontanen
Emission, die zu einer zufälligen Wanderung im Impulsraum (Diﬀusion) führt. Bisher haben wir
nämlich nur die Kraft im zeitlichen Mittel betrachtet, in Wirklichkeit ﬁnden jedoch diskrete
Impulsüberträge statt, wenn das Atom Photonen absorbiert bzw. emittiert. Diese Diskretheit
bedeutet, dass die Kraft um einen Mittelwert herum ﬂuktuiert. Diese Fluktuationen heizen die
Atome auf und haben zwei Ursachen: Fluktuationen in der Zahl der pro Zeiteinheit absorbierten
Photonen und Fluktuationen in der Richtung der emittierten Photonen. Nimmt man an, dass
die Kraft im Mittel Null ist, aber eben Photonen absorbiert und emittiert werden, so unterliegt
das Atom im Impulsraum einem Random Walk mit der Schrittweite k. Ein solcher ist in
Abb. 5.2 dargestellt. Dabei erhöht sich das mittlere Quadrat des Impulses - die Energie steigt.
Dies geschieht solange, bis die Energiedissipation über die Reibung, die Energiezufuhr wieder
ausgleicht. Eine untere Grenze für die in einer optischen Molasse erreichbaren Temperatur
ergibt sich analog zur Brownschen Bewegung aus der Einstein-Relation über das Verhältnis des
Diﬀusionskoeﬃzienten zum Reibungskoeﬃzienten. Diese Grenze ist bei einer Verstimmung von
δ = −γ/2 minimal und wird Doppler-Limit genannt:
TDoppler =
Γ
.
2kB
Die minimale Temperatur ergibt beispielsweise für Natrium 240 μK (9 cm/s). Interessanterweise stellte sich heraus, dass experimentell deutlich niedrigere Temperaturen erreicht werden
konnten. Ursachen dafür sind zusätzliche Kühlmechanismen (z.B. Sisyphus-Eﬀekte, Polarisationsgradientenkühlung), die für realistische Systeme mit mehr als 2 Niveaus in gegenläuﬁgen
Laserstrahlen auftreten können, im Weiteren aber nicht behandelt werden sollen.
5.5
Die magnetooptische Falle (MOT)
Die optische Molasse ist keine Falle im eigentlichen Sinne, da die Diﬀusion der Atome diese in die
Randbereiche der Laserstrahlen treiben kann, so dass sie aus dem Molassenvolumen entkommen
126
KAPITEL 5. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON NEUTRALTEILCHEN
Abb. 5.2: Darstellung der Diﬀusion eines Atoms im Geschwindigkeitsraum für eine optische
Molasse.
können. Zur Realisierung einer Falle für Atome benötigt man zusätzlich eine ortsabhängige
Kraft, die zum Fallenzentrum gerichtet ist. Bei der magnetooptischen Falle wird diese ähnlich
wie beim Zeeman-Slower durch die Kombination von Laserstrahlen und magnetischen Feldern
erzeugt.
Das Prinzip der MOT soll an einem eindimensionalen Modell für ein Atom mit einem drehimpulslosen Grundzustand |g, mJ = 0 und einem dreifach entarteten angeregten Zustand mit
Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl Fe = 1, |e, −1, |e, 0 und |e, +1 erklärt werden.
Wie in Abb. 5.3 skizziert, beﬁndet sich dieses Atom in einem Magnetfeld B(z) = bz mit
positivem Gradienten b. Dieses wird von einem Spulenpaar in einer Anti-Helmholtz-Anordnung
erzeugt, d.h. von zwei Spulen, die in entgegengesetzter Richtung von einem Strom durchﬂossen
werden. Die Anordnung und die Magnetfeldlinien sind in Abb. 5.4 illustriert. Anhand der
Höhenliniendarstellung erkennt man, dass das Magnetfeld in der Fallenmitte Null ist und mit
wachsender Entfernung vom Zentrum etwa linear ansteigt. Entsprechend ergibt sich eine linear
anwachsende Zeeman-Aufspaltung wie es in Abb. 5.3 dargestellt ist.
Von links wird ein σ + -polarisierter, von rechts ein σ − -polarisierter Laserstrahl eingestrahlt
(diese Angaben beziehen sich auf Abb. 5.3). Dabei werden die Polarisationen üblicherweise
bezüglich einer Raumachse (hier der z-Achse) angegeben. Beide schwach sättigenden Laserstrahlen sind um den gleichen Betrag |δ| gegen die atomare Übergangsfrequenz ω0 rot verstimmt.
Ohne Magnetfeld ergibt sich eine eindimensionale optische Molasse, die zur Kühlung der Atome
führt. Das Magnetfeld induziert nun zusätzlich zur Kühlkraft eine rücktreibende Kraft, deren
Ursprung in einem ortsabhängigen Ungleichgewicht der Streuraten der beiden Laserstrahlen
liegt. Dies wird deutlich, wenn man ein ruhendes Atom am Ort z > 0 betrachtet.
Während der Grundzustand unberührt bleibt, ist aufgrund des Zeeman-Eﬀektes die Entartung im angeregten Zustand aufgehoben. Die Energie des |e, −1 Zustandes ist abgesenkt, der
Betrag der eﬀektiven Verstimmung (5.9) für den Übergang |g, 0 → |e, −1 wird bis zum Ort
z = Rc kleiner und damit die Streurate auf diesem Übergang resonant überhöht. Gerade dieser
Übergang wird durch den von rechts kommenden, d. h. sich in −z-Richtung ausbreitenden, σ − polarisierten Laserstrahl getrieben. Je weiter das Atom in Richtung Rc driftet, desto stärker
wird es folglich abgebremst. Im Gegensatz dazu erhöht sich die Energie des |e, +1 Zustandes,
wodurch der Betrag der eﬀektiven Verstimmung größer und die Streurate auf dem Übergang
|g, 0 → |e, +1 kleiner wird. Dieser Übergang wird von dem von links kommenden, d. h. sich
5.5. DIE MAGNETOOPTISCHE FALLE (MOT)
127
Abb. 5.3: Prinzipskizze einer magnetooptischen Falle.
in +z-Richtung ausbreitenden, σ + -polarisierten Laserstrahl induziert. Es resultiert folglich eine
zum Fallenzentrum gerichtete Nettokraft auf das Atom. Diese hat im Falle geringer Sättigung
bzw. großer Verstimmungen (|δ| |kυ| + |Δμ B/|) die Form
= αυ − κz mit
I/I0
δ
α = −8k 2 2 (Dämpfungskonstante)
γ
2
1 + (2δ/γ)
F
κ = −8Δμ bk
δ
γ
I/I0
2
2 (Federkonstante).
(5.23)
(5.24)
(5.25)
1 + (2δ/γ)
Laden der Falle
Die Maximalgeschwindigkeit (|υ| < υc ) mit denen ein Atom in die MOT eintreten und noch
innerhalb des räumlichen Fangbereichs der MOT abgebremst werden kann, liegt typischerweise
bei etwa υc < 10 − 40 m/s und liegt deutlich unter der mittleren Geschwindigkeit von Atomen in
einem atomaren Gas, die bei Raum- bzw. Verdampfungstemperatur einige hundert bis tausend
m/s beträgt. Man fängt deshalb entweder in einer sogenannten ”Dampfzellen-MOT” nur einen
kleinen Anteil der Atome aus dem Hintergrundgas oder bremst schnellere Atome durch Einsatz
eines Atomstrahl-Abbremsers vor dem Eintritt in die MOT ab.
128
KAPITEL 5. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON NEUTRALTEILCHEN
Abb. 5.4: Aufbau einer magnetooptischen Falle.
Verlustprozesse
Limitiert wird die Maximale Teilchendichte in der MOT durch Mehrfachstreuprozesse von
Photonen, Ein-Körper- und Zwei-Körper-Verluste. Ab typischerweise etwa N > 106 Atomen
beﬁndet sich eine magnetooptische Falle im Regime der Vielfachstreuung. Die Wahrscheinlichkeit ist hoch, dass ein Atom Photonen absorbiert, die zuvor von anderen MOT-Atomen
emittiert wurden. Bei einem solchen Emissions-Reabsorptions-Prozess nimmt der Relativimpuls
der beteiligten Atome im Mittel um den Betrag 2k zu. Dies führt zu einer eﬀektiv repulsiven
Kraft zwischen den MOT-Atomen. Zusätzlich ist der Strahlungsdruck auf Atome im Zentrum
der MOT geringer als auf Atome am Fallenrand, denn die MOT-Laserstrahlen werden aufgrund
der hohen optischen Dichte der Atomwolke zum Zentrum hin abgeschwächt.
Zu den linear mit der Atomzahldichte skalierenden Verlustprozessen, so genannte EinKörper-Verluste, gehören zum einen Stöße von MOT-Atomen mit Atomen aus dem Hintergrundgas oder aus dem Atomstrahl. Dabei kann auf die MOT-Atome soviel kinetische Energie
übertragen werden, dass ihre Geschwindigkeit die Einfanggeschwindigkeit der magnetooptischen
Falle übersteigt.
Bei einem nicht geschlossenen MOT-Übergang können Atome aus dem Kühlzyklus herausfallen, wenn sie in langlebige Zustände übergehen, die nicht mehr mit dem Laserlicht wechselwirken. Sie entkommen dann aufgrund ihrer durch die Gravitation beschleunigten Bewegung
aus dem räumlichen Fangbereich der MOT.
Zwei-Körper-Verluste treten hingegen auf, wenn zwei MOT-Atome exotherm inelastisch
stoßen und die dabei in atomare Bewegung umgewandelte Energie so groß ist, dass die Atome
aus der Falle entweichen können. Dazu muss sich im Allgemeinen wenigstens eines der Atome
in einem angeregten Zustand beﬁnden. Wird die Anregung der Atome durch Laserstrahlen hervorgerufen, spricht man von lichtassistierten bzw. lichtinduzierten Stößen. Die Anregungsen-
5.6. DIPOLKRÄFTE - DIE DIPOLFALLE ALS OPTISCHE PINZETTE
129
ergie (∼ Photonenenergie) wird beim inelastischen Stoß wenigstens teilweise in kinetische Energie
umgewandelt.
5.6
Dipolkräfte - Die Dipolfalle als optische Pinzette
Ein Atom bzw ein Stück Materie ist polarisierbar. Das elektromagnetische Feld der Laserstrahlung induziert im Atom (in der Materie) einen elektrischen Dipol und das Feld tritt mit
diesem Dipol in Wechselwirkung. In einem homogenen Feld erfährt ein Dipol nur ein Drehmoment, in einem inhomogenen Feld jedoch auch eine Kraft, die in Richtung stärkeren oder
schwächeren Feldes gerichtet ist. Diese Dipolkraft hat, wie die Spontankraft, starken Resonanzcharakater, aber ungleich der Spontankraft ist sie anziehend, wenn die treibende Frequenz
unterhalb der Resonanz liegt und abstoßend, wenn sie über der Resonanz liegt. Außerdem ist
die Dipolkraft für ruhende Atome nicht dissipativ.
Die Dipolkraft läßt sich gut in Analogie zu einem harmonischen Oszillator verstehen. Eine
harmonisch gebundene Ladung, die durch ein oszillierendes elektrisches Feld angetrieben wird,
ist in Phase mit dem Feld, wenn die Erregerfrequenz unter der Resonanzfrequenz liegt (rotverstimmt, δ < 0), und phasenverschoben um 180◦ , wenn die Erregerfrequenz über der Resonanzfrequenz liegt (blauverstimmt, δ > 0).
Die Wechselwirkungsenergie zwischen dem induzierten Dipol p = αE (α ist die Polarisierbarkeit) und dem Feld E ist U = −pE = −αE 2 , damit negativ unterhalb der Resonanzfrequenz
und der Oszillator wird in Richtung stärkeres Feld gezogen. Bei Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz wird er in Richtung schwächerer Feldstärke beschleunigt.
Quantitativ lässt sich die potentielle Energie aus
1 # $
1
Re(α) I
(5.26)
=−
Udip = − p · E
2
20 c
bestimmen, wobei der Realteil von α die Komponente der Polarisierbarkeit beschreibt, die sich
in Phase mit dem Feld beﬁndet. Die Dipolkraft ergibt sich aus dem Gradienten des Potentials
I (r).
dip (r) = − Re(α) ∇
Fdip = −∇U
(5.27)
20 c
Klassisch erhält man die vom Oszillator absorbierte Leistung aus
ω
Pabs = ṗ · E = 2ωIm(pE∗ ) =
Im(α) I .
(5.28)
0 c
Die absorbierte Leistung wird in Form von gestreuten Photonen wieder abgegeben, dementsprechend gilt
Im(α)
Pabs
=−
I (r).
(5.29)
Γscatt =
ω
0 c
Mit Hilfe des klassischen Oszillatormodells nach Lorentz lässt sich ein Ausdruck für die Polarisierbarkeit α herleiten, der dann zu den folgenden Ausdrücken führt:
Udip (r) =
Γscatt (r) =
mit der Sättigungsintensität I0 =
cγ
.
6λ3
γ 2 I (r)
8 δ I0
γ 3 I (r)
8 δ 2 I0
(5.30)
(5.31)
Aus dem Verhältnis der beiden Relationen ergibt sich
γ
(5.32)
Γscatt = Udip .
δ
Diese Beziehungen geben die wesentlichen Abhängigkeiten der Dipolkraft wieder:
130
KAPITEL 5. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON NEUTRALTEILCHEN
• Bei Rotverstimmung δ < 0 ist das Dipolpotential negativ und die Wechselwirkung zieht
Atome in das Lichtfeld hinein, umgekehrt liegt der Fall bei einer Blauverstimmung δ > 0
• Das Dipolpotential skaliert wie I/δ, hingegen geht die Streurate wie I/δ 2 . Da die Streurate
immer zur Aufheizung der Atome führt ist eine große Verstimmung (bei ausreichender
Laserleistung) oft vorteilhaft.
Man kann sich die Dipolkraft vorstellen als Folge von Absorption und nachfolgender stimulierter Emission. Im Unterschied dazu ist der Strahlungsdruck eine Folge der Absorption (und
darauf folgender spontaner Emission oder anderer Energiedissipation). Wichtig ist, dass bei
der Dipolkraft Absorption und stimulierte Emission nicht als getrennte Prozesse angesehen werden können. Letztlich ist die Dipolkraft eine direkte Konsequenz der AC-Stark Verschiebung
(Lichtverschiebung der atomaren Energieniveaus).
Abb. 5.5: Veranschaulichung der Kräfte auf eine dielektrische Sphäre in einem fokussierten
Laserstrahl.
Eine andere Erklärung der Dipolkraft betrachtet die Wirkung der Lichtbrechung in einem
Medium. Wir stellen uns einen Gauß’schen Strahl in Luft vor, der eine Kugel mit einem
Brechungsindex nk > 1 beleuchtet, wie in Abb. 5.5 gezeigt. Das Zentrum der Kugel liegt in
einem Gradienten des Laserfeldes. Wenn wir die Reﬂektion außer Acht lassen, dann wird insgesamt mehr Licht in Richtung kleinerer Intensität gebrochen. Damit ergibt sich eine Beschleunigung der Kugel ins Zentrum des Laserstrahles (in Richtung höherer Intensität). Wenn der
Gauß’sche Strahl im Wasser vorliegt und auf eine Luftblase triﬀt, dann ist nk < nH2 O und genau
das Umgekehrte ist der Fall, die Luftblase wird aus dem Gebiet hoher Intensität herausbeschleunigt.
5.7. MAGNETISCHE FALLEN - LICHTLOSE NEUTRALTEILCHENFALLEN
131
Da sich in der Nähe einer optischen Resonanz der Brechungsindex von < 1 nach > 1 ändert,
ist diese Bild identisch mit der Aussage des klassischen Oszillators. Dieses Bild zeigt auch, dass
die Dipolkraft nicht dissipativ ist.
5.7
Magnetische Fallen - Lichtlose Neutralteilchenfallen
Die Wechselwirkung zwischen atomaren magnetischen Momenten und einem inhomogenen Magnetfeld kann zur Speicherung von Atomen genutzt werden. Die potentielle Energie eines Atoms
lautet
mit magnetischem Moment μ
im Magnetfeld B
μ · B,
Epot = −
und die daraus resultierende Kraft ist
μ
pot = ∇
·B
F = −∇E
= B× ∇×μ
+ B·∇ μ
+μ
× ∇×B + μ
·∇ B
= μ · ∇B.
für μ = const
(5.33)
(5.34)
(5.35)
Bezeichnet mF die magnetische Quantenzahl der Atome bezüglich der Magnetfeldrichtung als
Quantisierungsachse, so ergibt sich
E = gF mF μB B.
(5.36)
Dabei sind gF der Landésche g-Faktor, μB das Bohrsche Magneton und B die Magnetfeldstärke.
Die Energieverschiebung hat zur Folge, dass Atome mit positivem (negativem) magnetischen
Moment gF mF > 0 (gF mF < 0) eine konservative Kraft in Richtung schwächerer (stärkerer)
Magnetfelder erfahren. Man klassiﬁziert deshalb die Atome in sogenannte ”low-ﬁeld seeker”
(gF mF > 0) und ”high-ﬁeld seeker (gF mF < 0). Während statische lokale Magnetfeldmaxima
aufgrund der Quellenfreiheit magnetischer Felder nicht existieren, sind lokale Magnetfeldminima
realisierbar. ”Low-ﬁeld seeker” können folglich mit Hilfe statischer magnetischer Felder gefangen
werden.
Magnetfallen bestehen aus einer geeigneten Anordnung von Spulen oder Permanentmagneten
zur Erzeugung eines Magnetfeldes mit lokalem Minimum. W. Paul schlug eine Quadrupolfalle
vor, die aus zwei identischen Spulen besteht, durch die entgegengesetzte Ströme ﬂießen (AntiHelmholtz Anordnung) und die wir bereits von der MOT kennen. Bei einem Abstand der
beiden Spulen der dem 1,25-fachen ihres Radiuses entspricht, hat eine solche Falle in radialer
und longitudinaler Richtung die gleiche Fallentiefe. In ihrem Zentrum ist das Feld Null und
steigt nach außen hin gemäß
ρ2 = x2 + y 2
(5.37)
B = A ρ2 + 4z 2
mit konstantem Feldgradienten A an. Die Kraft, die in dieser Falle auf die Atome wirkt, ist
weder harmonisch noch eine Zentralkraft und eine Drehimpulserhaltung ist somit nicht gegeben.
Eine solche Falle ist extrem einfach und erlaubt größtmöglichen optischen Zugang zum Falleninneren. Eine weitere vielgenutzte Geometrie ist die in Abbildung 5.6 gezeigte Ioﬀe-Pritchard Falle,
bestehend aus 4 geraden Stromelementen, die ein Quadrupolfeld erzeugen. Der longitudinale
Einschluss wird durch ein Spulenpaar an den Enden bewerkstelligt.
Die Kräfte in den magnetischen Fallen sind so gering, dass Atome im Allgemeinen nur dann
gespeichert werden können, wenn ihre kinetische Energie in der Größenordnung einiger mK oder
132
KAPITEL 5. SPEICHERUNG UND KÜHLUNG VON NEUTRALTEILCHEN
Abb. 5.6: Aufbau einer Ioﬀe-Pritchard Magnetfalle.
Tabelle 5.1: Überblick über erreichbare Temperaturen mit verschiedenen Fallentechniken
Methode
erreichbare Temp
Zeeman-Abbremser & Optische Molasse
500 K →≈ 200μK
MOT
5-40 μK
magnetische Falle
≈ nK
darunter liegt. Durch die Verwendung der sehr starken Magnetfelder supraleitender Spulen kann
die Potentialtiefe bis zu 1 K gesteigert werden.
Zum Beladen einer Magnetfalle für Atome kommen vor allem zwei Methoden zum Einsatz.
Zum einen werden in der Mehrzahl der Experimente Atome zuerst lasergekühlt und dann zeitgleich das Licht aus und die Magnetfelder eingeschaltet. Zum anderen können Atome durch
elastische Kollisionen mit einem kalten Puﬀergas im Innern einer Magnetfalle soweit abgekühlt
werden, dass sie aus dieser nicht mehr entweichen können. Dieses Puﬀergas-Laden (buﬀer gas
loading) wurde zuerst für magnetooptische und später für magnetische Fallen vorgeschlagen.
Beide Methoden sind diskontinuierlich, d. h. die Falle kann nicht kontinuierlich während des
Betriebes gefüllt werden.
Gekühlt werden können die Atome in der magnetischen Falle mit Hilfe des Verdampfungskühlens. Dazu wird das Speicherpotential der Falle kontinuierlich erniedrigt, damit die
jeweils höchstenergetischen Atome die Falle verlassen können. Diese Atome erreichen ihre ”hohen” Energien durch Stöße mit anderen Atomen, die nach dem Stoß mit geringerer Energie
zurück bleiben. Dadurch wird den in der Falle verbleibenden Atomen kontinuierlich Energie entzogen und sie kühlen immer weiter ab. Entfernt werden die ”heißen” Atome in der Praxis durch
Einstrahlung von Mikrowellen, die die Atome am oberen Ende der Falle (die Resonanzfrequenz
der Larmorpräzession ist von dem Magnetfeld abhängig), durch einen induzierten Übergang in
5.7. MAGNETISCHE FALLEN - LICHTLOSE NEUTRALTEILCHENFALLEN
133
einen nicht gefangenen Spinzustand transferieren. Auf diesem Wege konnten die ersten BoseEinstein-Kondensate erzeugt werden.
Verlustprozesse in den magnetischen Fallen sind vor allen Dingen spinändernde Stöße der
Atome untereinander oder mit Restgas. Nach einem solchen Spin-Flip können die Atome nicht
mehr in der Falle gespeichert werden, da sie von ”low-ﬁeld”- in ”high-ﬁeld”-seeker umgewandelt
werden.
Kapitel 6
Produktion von hochgeladenen
Ionen und Radionukliden
Für die Produktion von höchstgeladenen Schwerionen, wie z.B. U91+ , mit hoher Intensität gibt es
weltweit nur zwei Anlagen, die sich aber konzeptionell stark voneinander unterscheiden. Dies ist
die mit einem Elektronenstrahl betriebende Falle für hochgeladene Ionen Super-Electron-BeamIon-Trap (Super-EBIT) in Livermore und der Experimentier-Speicher-Ring (ESR) in Kombination mit dem Schwerionensynchrotron (SIS) der GSI in Darmstadt. Die folgenden Erläuterungen
der beiden Produktionsmechanismen sind entnommen aus [Stöh1998].
Radionuklide werden erzeugt, indem stabile Atome mit hochenergetischen Teilchen bestrahlt
werden. Dadurch werden die Atomkerne (z.B. Uran oder Blei) gespalten. Je nach Menge
und Gewicht der bestrahlten Nuklide spricht man von einem dünnen oder dicken “Target”.
Weltweit gibt es ca. 50 Institute, die sich mit der Forschung an derart erzeugten kurzlebigen
Radionukliden beschäftigen. In Deutschland ist das z.B. die GSI in Darmstadt. Ein weltweit
führendes Forschungszentrum ist die Europäische Organisation für Kernforschung (CERN) in
Genf/Schweiz.
6.1
Produktion hochgeladener,
Beschleunigeranlage
schwerer Ionen mit einer
Atome können in Stößen mit Photonen, Elektronen und Ionen ionisiert werden. Um selbst
die Innerschalenelektronen in den schwersten Ionen zu entfernen, sind sehr hohe Energie- und
Impulsüberträge erforderlich, die gegenwärtig nur durch intensive, hochenergetische Elektronenstrahlen und durch Beschuss mit Ionen aufgebracht werden können. Für die Ionisation durch
Teilchenbeschuss kann gezeigt werden, dass bei einer Stoßgeschwindigkeit v ≈ vK bzw. einer
Stroßenergie Ekin ≈ EK der Wirkungsquerschnitt annähernd sein Maximum erreicht und für
v vK Elektronen- und Protonenstoßquerschnitte sich - in einer ersten Näherung - gleich
verhalten. vK bezeichnet hierbei die mittlere Geschwindigkeit des aktiven K-Schalenelektrons.
Für den Beschuss mit Ionen der Kenladungszahl Z erreicht man einen im Vergleich zum Protonenbeschuss einen um Z 2 höheren Ionisationsquerschnitt und die Produktion hochgeladener
Schwerionen ist entsprechend eﬃzient. An Beschleunigeranlagen wird genau dieses Prinzip ausgenutzt, wobei jedoch die Rolle des Targets mit dem des Projektils vertauscht wird, d.h. hier
werden niedrig geladene Schwerionen (Projektile) auf eine Stripper -folie geschossen und beim
Durchgang durch diese Folie werden in Stößen mit den Targetatomen (Kernladung ZT ; T für
Target) die hochgeladenen Projektile erzeugt. Die hierdurch entstehenden Ladungsverteilungen
lassen sich mittlerweile sehr gut für unterschiedliche Folienmaterialien und Dicken als Funktion
134
6.2. PRODUKTION HOCHGELADENER, SCHWERER IONEN MIT EINER EBIT
135
der Stoßenergie vorhersagen. Tatsächlich ist zur eﬃzienten Produktion nackter Uranionen eine
Projektilenergie EP von mindestens EP = M/m · Ekin = 300 MeV/u erforderlich (M/m = 1823
ist das Verhältnis der atomaren Masseneinheit zur Elektronenmasse und Ekin entspricht in etwa
der K-Schalenbindungsenergie von 132 keV).
Zwar ist für Elektronenbeschuss der Ionisationsquerschnitt wesentlich kleiner, jedoch besteht
hier die Möglichkeit, mit sehr intensiven Elektronenstrahlen und extrem hohen Stromdichten von
ca. 5000 A/cm2 bei einem Strahlradius von ca. 35 μm zu arbeiten, wie es an der Super-EBIT
der Fall ist (siehe z.B. [Marr1991]). In Abb. 6.1 sind die Ladungsverteilungen dargestellt, wie
sie zum einen an der Super-EBIT für Uran bei einem Elektronenstrom von 200 mA mit einer
Elektronenenergie von 198 keV erzeugt wurden. An einem Beschleuniger entspricht dies einer
Projektilenergie von ca. 360 MeV/u. Die entsprechende Ladungsverteilung ist ebenso in der
Abbildung wiedergegeben.
50
50
SIS
A n te il [% ]
Super-EBIT
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
92 91 90 89 88 87 86
92 91 90 89 88 87 86
Ladungszustand Q
Abb. 6.1: Ladungsverteilung hochgeladener Uranionen, gemessen (a) an einer Super-EBIT mit
einem Elektronenstrom von 200 mA und einer Energie von 198 keV und (b) hinter dem SIS
nach dem Durchgang durch eine Cu-Folie bei einer äquivalenten Stoßenergie von 360 MeV/u
[Stöh1998].
Wie aus der Abb. 6.1 entnommen werden kann, ist am Beschleuniger die Ausbeute an nackten
Uranionen wesentlich höher, jedoch können einige nackte Ionen - insbesondere aber Ionen mit
oﬀener L-Schale - in der EBIT produziert werden.
6.2
Produktion hochgeladener, schwerer Ionen mit einer EBIT
Bereits vor über 40 Jahren konnte erstmals erfolgreich demonstriert werden, dass sich hochgeladene Ionen durch aufeinander folgende Stöße mit hochenergetischen Elektronen erzeugen lassen
[Plum1957]. Zehn Jahre später erfolgte der eigentliche Durchbruch durch die von Donets entwickelte erste elektronenstrahlbetriebene Quelle für hochgeladene Ionen, der EBIS (Electron
Beam Ion Source) [Done1989]. Aufbauend auf dem EBIS-Konzept wurde in Livermore eine
elektronenstrahlbetriebene Quelle für hochgeladene Ionen entwickelt, in der zum einen hohe
Ladungszustände erzeugt werden können und zum anderen Experimente mit den stationären
136KAPITEL 6. PRODUKTION VON HOCHGELADENEN IONEN UND RADIONUKLIDEN
Ionen möglich sind [Marr1988, Levi1989, Marr1994a]. Mittlerweile sind weltweit mehrere EBITFallen (Electron Beam Ion Trap) in Betrieb, in denen üblicherweise mittelschwere hochgeladene
Elemente untersucht werden. Die einzige EBIT, in der selbst nacktes Uran erzeugt werden kann,
ist die Super-EBIT in Livermore [Marr1994b].
Eine schematische Darstellung der Super-EBIT ist in Abb. 6.2 gegeben, die eigentliche Fallengeometrie kann aus Abb. 6.3 entnommen werden.
1
2
3
4
5
6
7
Abb. 6.2: Schematische Darstellung der Super-EBIT in Livermore [Marr1994a]. Dargestellt sind:
(1) Kollektor, (2) Suppressor, zur Unterdrückung von Sekundärelektronen, (3) Transportmagnete, (4) EBIT Kollektor, (5) Bahn-Korrekturspulen, (6) Driftröhren, (7) Elektronenkanone. Die
Elektronenkanone und der Kollektor beﬁnden sich auf einem negativen Potential von -170 kV.
Der Elektronenstrahl durchläuft die Driftröhren, die die Falle einschließen und an denen ein
zusätzliches Potential von bis zu 40 kV angelegt werden kann.
Ein monoenergetischer Elektronenstrahl mit einer maximalen Energie von 200 keV und einer
maximalen Stromstärke I von I = 200 mA durchläuft drei Driftröhren, wobei sich die eigentliche
6.2. PRODUKTION HOCHGELADENER, SCHWERER IONEN MIT EINER EBIT
137
Abb. 6.3: Driftröhrengeometrie und Potentialverlauf an der Super-EBIT [Marr1994a].
Falle in der mittleren Driftröhre beﬁndet. Am Anfang eines Messzyklus werden einfach und
zweifach geladene Ionen aus einer Ionenquelle in die Falle eingeschossen. Zudem besteht auch
die Möglichkeit, neutrale Gasatome (z.B. Xenon) direkt in die Falle einzulassen, in der sie durch
Stöße mit den Elektronen ionisiert werden.
In der Falle werden die Ionen in radialer Richtung durch das negative Raumladungspotential des Elektronenstrahls gefangen (ca. 10 V). Zwischen der mittleren und den beiden äußeren
Driftröhren wird zudem eine Potentialdiﬀerenz zwischen 10 und 100 V angelegt, so dass die Ionen auch in axialer Richtung in der Falle gehalten werden. Außerdem beﬁnden sich die Falle
und die Driftröhren in einem drei Tesla starken Magnetfeld, das von zwei supraleitenden Spulen
erzeugt wird und den Elektronenstrahl auf die extrem hohe Dichte von 5000 A/cm2 komprimiert.
Dies entspricht einem Strahlradius von 35 μm. Diese Dichte ist erforderlich, damit durch sehr
häuﬁge, aufeinander folgende Stöße hohe Ionisationswahrscheinlichkeiten erreicht werden. Die
Ausdehnung der Falle beträgt in axialer Richtung 2 cm und in radialer Richtung ca. 1 mm.
Die Betriebsparameter der Super-EBIT, die zur Produktion nackter Uranionen verwendet
wurden, sind zusammenfassend in Tab. 6.1 wiedergegeben.
Das dargestellte Prinzip ist aber noch nicht ausreichend, um den Betrieb der Falle zu
gewährleisten. Der Beschuss der Ionen mit dem sehr intensiven und hochenergetischen Elektronenstrahl führt zu einer starken Aufheizung der Ionen, die folgender Abhängigkeit unterliegt
[Marr1994a]:
dEIon
j·m
∝
· Q2Ion ,
(6.1)
dt
EKin · M
mit j der Stromdichte, EKin der kinetischen Energie der Elektronen, m/M das Masseverhältnis
138KAPITEL 6. PRODUKTION VON HOCHGELADENEN IONEN UND RADIONUKLIDEN
Tabelle 6.1: Betriebsparameter der Super-EBIT, die zur Produktion
nackter Uranionen verwendet wurden [Marr1996].
Strahlradius
35 μm
Strom
200 mA
Stromdichte
5000 A/cm2 (ρe ≈ 1013 )
Spannung
198 keV (100 eV FWHM)
Anzahl der Ionen
≈ 5 · 104
Ionen Temperatur
≈ 2 · Q eV
Radiales Potential
≈ 8V
Axiales Potential
10–100 V
Magnetfeld
3T
Fallenlänge
2 cm
Anfangsladungszustand
0+ , 1+ , 2+
von Elektron zu Ion und QIon der Ladungszustand der Ionen. Unter den obigen Bedingungen (Strahlenergie ≈ 200 keV und Stromstärke ≈ 200 mA) würden die U89+ Ionen, die im Gleichgewicht am häuﬁgsten in der Falle vorkommen, einen Energieübertrag von 6 keV pro Sekunde
erfahren. Ohne zusätzlichen Kühlmechanismus wird somit den hochgeladenen Ionen ausreichend
kinetische Energie zugeführt, um das Fallenpotential zu überwinden.
Zum Kühlen der Ionen in der Falle wird die evaporative Kühltechnik angewendet (Verdampfungskühlung) [Levi1988], wozu ein Strahl neutraler Neonatome in die Falle eingelassen
wird. Hierbei werden ca. 0.2 Prozent der Neonatome ionisiert und in die Falle eingeleitet. Die
Neonatome werden im wesentlichen durch Coulombstöße mit den schwereren Ionen aufgeheizt,
während das Aufheizen der Neonatome durch Stöße mit den Elektronen nahezu vernachlässigt
ist (das Prinzip der Verdampfungskühlung an der EBIT ist in Abb. 6.4 illustriert). Durch Computersimulationen lässt sich zeigen, dass die Uranionen auf diese Weise auf eine Temperatur von
etwa 80 eV abgekühlt werden können [Pene1991].
6.3
Produktion von Radionukliden
Die Produktion radioaktiver kurzlebiger Nuklide kann auf vielfältige Art und Weise erfolgen. Hier werden die beiden Methoden die an ISOLDE (CERN, Genf) und an SHIP (GSI
Darmstadt) zum Einsatz kommen vorgestellt, da im zweiten Teil der Vorlesung (Teil II:
Präzisionsexperimente) einige Experimente an diesen beiden Einrichtungen näher diskutiert
werden [Blau2006].
6.3. PRODUKTION VON RADIONUKLIDEN
Obere Driftröhre
139
Mittlere Untere Driftröhre
Driftröhre
Abb. 6.4: Das Prinzip der Verdampfungskühlung an der EBIT. Schwere hochgeladene Ionen
werden durch das Potential QV und niedrig geladene leichte Ionen durch qV in der Falle gehalten.
Die Temperatur aller Ionen gleicht sich durch Ion-Ion Stöße aus. Vorzugsweise entkommen nur
die niedrig geladenen Ionen.
6.3.1
Der On-Line Isotopenseparator ISOLDE
Der on–line Isotopenseparator ISOLDE [Kugl2000] am CERN in Genf ist eine Anlage zur Erzeugung und Bereitstellung radioaktiver Nuklide für etwa 30 verschiedene Experimentiergruppen
mit dem Schwerpunkt auf atom- und kernphysikalischen Fragestellungen. Mehr als 700 Radionuklide (70 chemische Elemente), von denen sich einige weitab der Stabilität (Halbwertszeiten T1/2 im Bereich von Millisekunden) beﬁnden, werden nach ihrer Massenzahl separiert
und als Ionenstrahlen bei einer Energie von 60 keV zur Verfügung gestellt. Eine Übersicht
der ISOLDE–Einrichtung ist in Abb. 6.5 gegeben. Durch den Beschuss eines dicken Targets
mit einem gepulsten Protonenstrahl einer mittleren Stromstärke von bis zu 2,1 μA und einer
Energie von 1,4 GeV des Protonen-Booster-Synchrotron (PSB) werden exotische Kerne durch
Spallation, Spaltung oder Fragmentationsreaktionen erzeugt. Diese diﬀundieren durch Heizen
des Targets mit Stromstärken von bis zu 850 A und einer Temperatur von maximal 2600 K über
ein geheiztes Transferrohr in den verbundenen Ionenquellenbereich, wo sie durch Oberﬂächenbzw. Elektronenstoßionisation in einem Plasma oder über schrittweise resonante Laseranregung ionisiert werden. Besonders die letztere Methode erlaubt aufgrund der hohen Selektivität
eine Reduzierung des oberﬂächenionisierten Untergrundes. Des weiteren ist durch die Wahl
der Targetmaterialien sowie z.B. durch das Beeinﬂussen der temperaturabhängigen Diﬀusions–
und damit der Freisetzungszeiten für einzelne Nuklide eine zusätzliche Möglichkeit gegeben,
elementspeziﬁsch zu selektieren [Bjør1986].
Es existieren zwei verschiedene Targetbereiche auf einem Potential von 60 kV mit je einer
magnetischen Separatoreinheit mit verschiedenem Massenauﬂösungsvermögen: Der General
Purpose Separator (GPS) mit einem derzeitigen Auﬂösungsvermögen von m/Δm ≈ 1000 und
der High Resolution Separator (HRS), der eine maximale Auﬂösung von bis zu m/Δm ≈ 10000
erreichen kann. Der kontinuierliche Ionenstrahl wird auf die einzelnen Verzweigungen der
Strahlführung verteilt und damit für die Experimente zur Verfügung gestellt.
140KAPITEL 6. PRODUKTION VON HOCHGELADENEN IONEN UND RADIONUKLIDEN
1.0 or 1.4 GeV
protons from PSB
targets
GPS
HRS
ISOLTRAP
Abb. 6.5: Ansicht der ISOLDE-Experimentierhalle am CERN. Der gepulste Protonenstrahl
vom PS-Booster (PSB) wird auf eines der Targets des General Purpose Separators (GPS) bzw.
des High Resolution Separators (HRS) geleitet. Das ISOLTRAP-Experiment beﬁndet sich am
zentralen Strahlrohr und ist über drei Etagen aufgebaut.
6.3.2
Das Geschwindigkeitsﬁlter SHIP
Das Geschwindigkeitsﬁlter SHIP (Separator for Heavy Ion Reaction Products) [Münz1979]
beﬁndet sich am Linearbeschleuniger UNILAC der GSI Darmstadt. Hier gelang die Erzeugung
und der Nachweis der schwersten Elemente Z = 107 − 112 [Hofm2000], was sich auch in der
Namensgebung von Hassium (Hs, Z = 108) und Darmstadtium (Ds, Z = 110) widerspiegelt.
Oberhalb des Fermiums (Z = 100) werden Elemente durch Fusionsreaktionen zwischen schweren,
stabilen Targetatomen (z.B. Pb, Bi) mit beschleunigten Projektilionen der Masse A = 40 − 80
produziert. Die Projektilenergie (E ≈ 5 MeV/u) muss dabei so eingestellt werden, dass die
Ionen die Coulombbarriere der Targetatome durchdringen, ohne jedoch dem entstehenden Verbundkern (engl.: compound nucleus) eine zu große Anregungsenergie zu übertragen (sogenannte
kalte Fusion). Dieser kann durch den übertragenen Impuls die dünne Targetfolie (d = 1 mg/cm2 )
verlassen.
Das Geschwindigkeitsﬁlter ist in Abb. 6.6 dargestellt. Es besteht aus einem doppel-
6.3. PRODUKTION VON RADIONUKLIDEN
141
TO
SHIPTRAP
TOFDETECTORS
ELECTRIC
FIELD
SiDETECTORS
BEAM
STOP
TARGET
WHEEL
MAGNETS
PROJECTILES
FROM UNILAC
QUADRUPOLE
LENSES
Abb. 6.6: Der Geschwindigkeitsﬁlter SHIP. Seine Gesamtlänge beträgt ca. 11 m. Im rotierenden
Targetrad ﬁnden die Fusionsreaktionen zwischen Projektil- und Targetkernen statt. Das WienFilter trennt die leichteren Projektilionen von den Fusionsprodukten. Deren Identiﬁkation erfolgt
aus einer Flugzeitmessung und dem Nachweis des Zerfalls der Nuklide. Der verwendete Silizium
(Si)–Detektor wird bei dem gemeinsamen Betrieb mit SHIPTRAP entfernt.
ten Wien–Filter. Die Geschwindigkeitsklasse der Fusionsprodukte wird selektiert und der
Primärstrahl der leichteren Projektilionen an der Mittelebene des Filters abgetrennt. Magnetische Quadrupollinsen dienen der Strahlfokussierung. Nach der schnellen Trennung innerhalb
einiger μs und der Massenbestimmung im Flugzeitdetektor werden die Fusionsprodukte in ortsempﬁndliche Silizium (Si)–Zähler implantiert. Über die korrelierte Abfolge von α–Zerfällen bestimmter Zerfallsenergien und Halbwertszeiten erfolgt der eindeutige Nachweis des produzierten
Mutternuklids.
Teil II
PRÄZISIONSEXPERIMENTE
142
Kapitel 7
Präzisionsmassenspektrometrie
Die Masse eines Atoms und die mit ihr verknüpfte Atom- bzw. Kernbindungsenergie ist eine
der fundamentalen Größen eines Atomkerns. Sie ist einzigartig wie ein Fingerabdruck, denn
jedes Nuklid tritt mit einem eigenen Massenwert auf, der sich von allen anderen unterscheidet.
Präzisionsmassenmessungen an kurzlebigen Nukliden machen beispielsweise Kernstruktureﬀekte
sichtbar, legen die Grenzen der Stabilität genauer fest und erlauben es, Kernmodelle zu testen
und ihre Vorhersagekraft zu verbessern. Darüber hinaus ermöglichen sie es, das Standardmodell
zu Überprüfen, insbesondere im Hinblick auf die schwache Wechselwirkung und die Unitarität
der Cabibbo-Kobayashi-Maskawa- Quarkmischungsmatrix, sowie die Nukleosynthese in der Astrophysik zu modellieren. Desweiteren sind präzise Massenwerte für zahlreiche Anwendungen,
die über die Kernphysik hinausgehen, wichtig. Massenmessungen an stabilen Atomen erreichen
heute relative Ungenauigkeiten von 10−11 . Diese extreme Genauigkeit ist zum Beispiel in der
Metrologie, für die Bestimmung von Fundamentalkonstanten oder einer Neudeﬁnition des Kilogramms, von großer Bedeutung. Sie wird zudem für Tests der Quantenelektrodynamik und der
Ladungskonjugation, Paritäts- und Zeitinvarianz gefordert. Die Einführung von Penning-Fallen
in das Feld der Massenspektrometrie haben diese Methoden zur ersten Wahl auf dem Gebiet der
hochpräzisen Massenbestimmung von kurzlebigen und stabilen Nukliden gemacht. Dies zeigt
sich u.a. in der großen Anzahl an Fallen, die weltweit im Betrieb, im Aufbau oder in der Planung sind. Mit der Entwicklung und Anwendung von geeigneten Kühl- und Detektionsmethoden
besitzt die Speichertechnik das Potenzial höchste Sensitivität und Genauigkeit auch für extrem
kurzlebige Nuklide fernab der Stabilität zu erzielen. Im Folgenden wird besonderes Augenmerk
auf die Vielzahl der Anwendungen von präzisen Massenwerten in verschiedenen Gebieten der
Physik gerichtet.
Massenmessungen an kurzlebigen Radionukliden und hochgeladenen Ionen: Siehe
hierzu [Blau2005] und [Blau2006b]. Als Übersichtsartikel zu diesem Thema empﬁehlt sich
[Blau2006].
Die Masse des Antiprotons: Mithilfe der Zyklotronfrequenz in einer Penning-Falle kann
man natürlich auch die Masse des gespeicherten Ions messen, sofern das Magnetfeld genau
genug bekannt ist. Am Antiprotonenspeicherring lear am cern ist es der Gruppe um G.
Gabrielse (Harvard) gelungen, Antiprotonen (die in Kollisionen bei mehr als 4 GeV erzeugt
werden müssen) abzubremsen und in eine Penning-Falle zu laden. Dort wurde dann durch die
Zyklotronfrequenz die Masse der Antiprotons mit der des Protons verglichen (Bild 7.1). Im
bisher letzten und genauesten Experiment [Gabr1999] wurde statt des Protons H− verwendet
und als Resultat kam heraus, dass die Ladungs-zu-Masse Verhältnisse für das Antiproton und das
143
144
KAPITEL 7. PRÄZISIONSMASSENSPEKTROMETRIE
Proton auf besser als 10−10 übereinstimmen. Dies ist der auf diesem Sektor genaueste Test des
CPT-Theorems welches besagt, dass alle physikalische Prozesse unter einer simultanen Paritäts-,
Ladungskonjugations- und Zeitumkehrtransformation invariant sind. Das CPT-Theorem kann
aus sehr grundlegenden Annahmen über Feldtheorien hergeleitet werden.
Abb. 7.1: (a) Vergleich der Masse des Antiprotons mit der seines Antiteilchens, des Protons. (b)
Malmberg-Falle zur Bestimmung der Masse des Antiprotons. Quelle: [Ghos1995, Gabr1999].
Kapitel 8
Das g − e Experiment und die
Elektronenmasse
8.1
Das magnetische Moment des freien Elektrons:
In diesen Versuchen bestimmt man das anomale magnetische Moment des Elekrons (oder
Positrons, Müons). Derzeit ist dies der genaueste Test der Quantenelektrodynmaik (QED).
Im Magnetfeld der Penning-Falle hat man eine Zyklotronbewegung mit ωc = eB/me sowie eine
Spinpräzession. Die Spinzustände entsprechen Energien Es = −gms μB B, d.h. zum Spinumklappen ist eine Energie ΔEs = geB/2me notwendig, entsprechend einer RF-Frequenz ωs .
Durch Vergleich der Zyklotronfrequenz ωc mit der Spinumklappfrequenz ωs (auch Lamorfrequenz ωL = geB/(2me ) genannt) erhält man ωs /ωc = g/2. Gemessen wird im Experiment der
Frequenzunterschied ωa = ωs − ωc . In Realität ist es etwas komplizierter, da wie oben erwähnt,
die Frequenzen in der Penningfalle modiﬁziert sind. Experimentell hat man Zugriﬀ auf
ωa = ωs − ωc + ω0− .
Die Anomalie des g-Faktors (d.h. die Abweichung von 2) wird dann gemessen durch
2 /2ω )
g−2
ωa − (ω0z
0+
=
2 /2ω ) .
2
ω0+ + (ω0z
0+
Der momentan beste Werte (Gruppe von H. Dehmelt und R. VanDyck, University of Washington) ist
g −
(e ) = 1.001 159 652 188 4(4.3),
2
eine der am genauesten gemessenen Naturkonstanten überhaupt. Das System eines einzelnen
Elektrons in einer Penning-Falle wurde von Dehmelt Geonium genannt. Geonium ist in gewisser
Weise ein künstliches Atom, mit diskreten Anregungen entsprechend der Axial-, Zyklotron- und
Magnetronbewegung. Ein Niveaudiagramm ist in Abb. 8.1 gezeigt.
8.2
Die Elektronenmasse und das magnetische Moment des
gebundenen Elektrons:
Die Elektronenmasse ist eine der Fundamentalkonstanten der Physik. Entsprechend gibt es
viele, zumeist indirekte Ansätze zu ihrer Bestimmung. Physikern der Universität Mainz gelang
es jüngst, den Wert um einen Faktor vier zu verbessern [Beie2002, Voge2003]. Sie nutzten dafür
145
146
KAPITEL 8. DAS G − E EXPERIMENT UND DIE ELEKTRONENMASSE
Abb. 8.1: Energiediagramm eine “Elektron-Geonium” in einer Penning-Falle.
[Ghos1995].
Quelle:
die Messung des anomalen magnetischen Moments des Elektrons in wasserstoﬀartigen Ionen
[Haef2000, Verd2004].
Die Elektronenmasse geht in die Beschreibung praktisch aller physikalischen Systeme ein.
In vielen Zusammenhängen, insbesondere auf mikroskopischen Skalen, muss ihr Wert mit größt
möglicher Genauigkeit bekannt sein. Jüngst durchgeführte Messungen an gespeicherten wasserstoﬀartigen Ionen, also Ionen mit nur einem einzigen Hüllenelektron, liefern den Wert der Elektronenmasse mit bisher unerreichter Präzision.
Durch Elektronenstoß-Ionisation wird aus dem jeweiligen Atom ein einzelnes wasserstoﬀartiges Ion, beispielsweise 12 C5+ [Haef2000] oder 16 O7+ [Verd2004], erzeugt. Dieses fängt man in
einer Penning-Falle ein (siehe Abb. 8.4), wo es bei etwa 4 K im Vakuum mehrere Monate lang ge-
8.2. DAS MAGNETISCHE MOMENT DES ELEKTRONS
147
speichert werden kann. Die Speicherung erfolgt durch Kombination eines magnetischen Feldes,
welches das Ion durch die Lorentz-Kraft auf eine Kreisbahn zwingt, mit einem elektrischen Feld,
das ein Potentialminimum in der dazu senkrechten Dimension erzeugt. Dadurch ist das Teilchen
in allen drei Dimensionen in seiner Bewegung eingeschränkt.
Die jeweils zugehörigen Bewegungsfrequenzen des Ions lassen sich mit sehr hoher Präzision
messen und geben Aufschluss über verschiedene Eigenschaften des Ions. Insbesondere kann der
Spinzustand des Elektrons in einem inhomogenen Teil des Magnetfeldes anhand der Bewegungsfrequenz bestimmt werden. Strahlt man Mikrowellen geeigneter Frequenz in die Falle ein, klappt
der Spin des Elektrons um. Die Frequenz, bei der die Wahrscheinlichkeit für ein Umklappen des
Spins maximal ist, gibt Aufschluss über den g-Faktor des gebundenen Elektrons.
Abb. 8.2: Die an der Universität Mainz verwendete Penning-Falle zur Bestimmung des g-Faktors
des gebundenen Elektrons in hochgeladenen Ionen. Das Ion bleibt für mehrere Monate in der
Falle gespeichert. Quelle: Doktorarbeit J. Alonso und Doktorarbeit B. Schabinger.
Ziel der Messungen am gespeicherten Ion ist die Bestimmung des anomalen magnetischen
Moments des Elektrons in seiner Bindung an den Atomkern. Dies ist die Abweichung des gFaktors vom Wert 2, wie ihn Dirac 1928 für freie Fermionen vorhergesagt hat. Der g-Faktor
verknüpft das magnetische Moment μ des Elektrons mit seinem Drehimpuls j durch die Gleichung:
e
j,
(8.1)
μ=g
2me
wobei e die elektrische Ladung und me die Elektronenmasse sind. Durch die Bindung des
Elektrons an den Atomkern wird der Wert g = 2 modiﬁziert. Hierbei spielt eine Vielzahl
von Eﬀekten eine Rolle, welche insbesondere die Quanten-Elektrodynamik (QED) vorhersagt.
Für das Elektron in 16 O7+ ist der von Theoretikern der Gesellschaft für Schwerionenforschung
(GSI) in Darmstadt und der Universität von St. Petersburg in Russland ermittelte Wert gtheo =
148
KAPITEL 8. DAS G − E EXPERIMENT UND DIE ELEKTRONENMASSE
2, 000 047 020 2(6) [Yero2002].
Am Institut für Physik der Universität Mainz ist nun die Resonanz der Spin-UmklappWahrscheinlichkeit des Elektrons als Funktion der eingestrahlten Mikrowellenfrequenz mit hoher Präzision gemessen worden [Verd2004]. Legt man den bislang genauesten Wert für die
Elektronenmasse zugrunde (m = 0, 000 548 579 911 0(12) u [Mohr2002]), so ergibt sich der Wert:
g = 2, 000 047 024 6(15)(44). Die erste in Klammern angegebene Unsicherheit von 1, 5 · 10−9 ist
die statistische und systematische Unsicherheit des Experiments. Der deutlich größere Fehler
in der zweiten Klammer von 4, 4 · 10−9 geht allein auf die Unsicherheit der dabei verwendeten
Elektronenmasse zurück.
Geht man davon aus, dass die QED den richtigen Wert von g liefert, so kann man umgekehrt
einen neuen Wert für die Masse des Elektrons aus dem jüngst gemessenen g-Faktor ableiten.
Man erhält m = 0, 000 548 579 909 3(3) u, entsprechend 9, 109 389 923(5) · 10−31 kg, also ein viermal genauerer Wert als zuvor [Beie2002]. Dieser neue Wert hat kürzlich Eingang in das neue
CODATA-Tabellenwerk gefunden [Mohr2005].
8.3
Das magnetische Moment des Protons und Antiprotons:
Der zurzeit genaueste Wert des magnetischen Momentes des Protons, wie er in den “CODATA
Recommended Values of the Fundamental Physical Constants 2000* ” [Mohr2005] verzeichnet
ist, wird aus der gemessenen Hyperfeinstruktur im Grundzustand des Wasserstoﬀatoms inklusive einiger Bindungskorrekturen errechnet. Die angegebene Unsicherheit beträgt 1 · 10−8 . Mit
einer ähnlichen Methode wie beim g-Faktor des freien bzw. gebundenen Elektrons (in wasserstoﬀähnlichen hochgeladenen Ionen) diskutiert, lässt sich dieser Wert um ca. eine Größenordnung
genauer bestimmen. Dies ist von allgemeiner Bedeutung für ein möglichst präzises System
der Fundamentalkonstanten. Da die Messungen am freien Proton stattﬁnden sollen, können
darüber hinaus die theoretisch berechneten Bindungskorrekturen im Wasserstoﬀatom experimentell überprüft werden. Das unten erläuterte Messverfahren ist auf nahezu beliebige geladene
Teilchen anwendbar. Insbesondere kann es auf das Antiproton angewendet werden, und die
dabei erzielbare Genauigkeit ist identisch mit derjenigen am Proton. Der Vergleich der magnetischen Momente kann als Test der CPT-Invarianz angesehen werden in der gleichen Weise,
wie dies etwa beim Vergleich der Massen von Proton und Antiproton oder der magnetischen
Momente von Elektron und Positron der Fall war (siehe Abb. 8.3). Voraussetzung für die Messungen am Antiproton ist die Verfügbarkeit dieser Teilchen bei niedrigen Energien. Dies ist zur
Zeit am AD am CERN möglich bzw. ist Bestandteil der Ausbaupläne der GSI durch den NESR,
und die Bestimmung des g-Faktors des Antiprotons mit einer Genauigkeit von besser 10−9 , sechs
Größenordnungen besser als der derzeit beste Wert, stellt ein Schlüsselexperiment für die FLAIRAnlage an FAIR dar. Das Messverfahren beruht darauf, dass ein einzelnes Proton im starken
Magnetfeld einer Penning-Ionenfalle gespeichert und durch Beobachtung der in den Fallenelektroden induzierten Spiegelladungen nachgewiesen wird [Verd2005]. Durch Widerstandskühlung
mit supraleitenden, auf die Schwingungsfrequenz des Protons abgestimmten Resonanzkreisen
wird es auf die Umgebungstemperatur von 4.2 K abgekühlt. Das Magnetfeld am Ort des Protons
wird durch Bestimmung der Zyklotronfrequenz des Protons kalibriert. Das magnetische Moment
wird aus einer Messung der übergangsfrequenz zwischen den beiden Spinrichtungen des Protons
gewonnen. Die Spinrichtung wird mithilfe des “kontinuierlichen Stern-Gerlach-Eﬀektes” bestimmt [Quin2004]. Dabei wird die axiale Oszillationsfrequenz des Protons gemessen, die sich
in einem inhomogenen Magnetfeld gemäß dem Spinzustand des Protons verschiebt. In Experimenten an wasserstoﬀähnlichen Ionen wurden diese Techniken entwickelt und erprobt, es
wurden statistische und systematische Unsicherheiten unterhalb von 10−9 bei der Bestimmung
8.3. DAS MAGNETISCHE MOMENT DES PROTONS UND ANTIPROTONS:
149
der Frequenzen erzielt [Haef2000, Verd2004]. Die Anwendung des Verfahrens auf Antiprotonen
erfordert den externen Einschuss dieser Teilchen in die Penning-Falle. Nach elektromagnetischer
Abbremsung und Extraktion aus dem NESR und weiterer Reduzierung der Energie im LSRSpeicherring und in der HITRAP-Anlage, können die Antiprotonen durch geeignete Schaltung
der Käﬁgpotentiale eingefangen werden. Nach dem Einfang und der Isolierung eines einzelnen
Antiprotons ist das Experiment identisch mit dem Verfahren am Proton. Da die PenningFalle inklusive der Wände der Messapparatur auf der Temperatur ﬂüssigen Heliums liegt, ist
das Vakuum hinreichend gut, um die kontinuierliche Speicherung eines Antiprotons über einen
Zeitraum von mehreren Monaten zu gewährleisten, wie dies bereits am CERN demonstriert
wurde. Die Apparatur zur Bestimmung des g-Faktor des Protons bzw. Antiprotons beﬁndet
sich zur Zeit in meiner Arbeitsgruppe in Zusammenarbeit mit der Gruppe um J. Walz (Universität Mainz) und W. Quint (GSI Darmstadt) im Aufbau. Die Falle zur Speicherung der Teilchen
wurde teilweise am Institut für Mainzer Mikrotechnik gefertigt und ist inzwischen fertiggestellt.
Abb. 8.4 zeigt die speziell entwickelte Penning-Falle.
magnetic moment (g - 2)
e+ e -
(g - 2)
μ+ μ-
q/m
e + e-
charge/mass
mass difference
1s–2s two-photon spectroscopy
10-18
10-15
10-12
10-9
rel. precision
p
p
K0 K0
H H
10-6
Abb. 8.3: Vergleich verschiedener CPT-Tests an unterschiedlichen Systemen.
150
KAPITEL 8. DAS G − E EXPERIMENT UND DIE ELEKTRONENMASSE
1 cm
Ring Elektrode
Abb. 8.4: Zusammenbau der zylindrischen Penning-Falle zur Bestimmung des g-Faktors
des Protons/Antiprotons. Ein Teil der Fallenkomponenten wurden aufgrund der hohen
Präzisionsanforderung und der Kleinheit der Teile am Institut für Mainzer Mikrotechnik (IMM)
gefertigt. Die Elektroden sind aus hochreinem sauerstoﬀfreiem Kupfer hergestellt (mit dünner
Goldschicht), die Isolierringe aus Saphir. Rechts ist eine geschlitzte Ringelektrode zu sehen mit
einem menschlichen Haar als Größenvergleich. Quelle: Doktorarbeit S. Kreim und Diplomarbeit
S. Ulmer.
Kapitel 9
Präzisionslaserspektroskopie
In diesem Kapitel möchte ich mich im Wesentlichen auf das TOPLIS-Experiment zur
präzisen Bestimmung der Ladungsradien der radioaktiven Lithium-Isotope 8 Li, 9 Li, und 11 Li
beschränken. Als Literatur sei empfohlen [Ewal2004, Ewal2005a, Ewal2005b, Sanc2006].
Hier nur eine Zusammenfassung des Experiments, entnommen aus [Ewal2005b]:
Die Messung der Isotopieverschiebung atomarer Übergänge ist der einzige kernmodellunabhängige Zugang zur Bestimmung der Kernladungsradien kurzlebiger Isotope. Bis heute war
dies jedoch auf Isotope mit der Ladungszahl Z ≥ 10 beschränkt. Im Rahmen der Dissertation
von G. Ewald [Ewal2005b] wurde ein neuartiges Verfahren entwickelt, um die Ladungsradien
kurzlebiger Lithium-Isotope zu bestimmen. Es basiert auf der präzisen Messung eines atomaren Übergangs in Kombination mit einer kürzlich durchgeführten, sehr genauen theoretischen
Berechnung des speziﬁschen Masseneﬀekts. Das Messverfahren erfüllt die hohen Anforderungen, die hinsichtlich Eﬃzienz (> 10−4 ) und Genauigkeit (< 200 kHz) gestellt werden, indem
Doppler-freie Zweiphotonen-Spektroskopie des 2S → 3S-Übergangs am thermischen Atomstrahl
mit anschließender Resonanz-Ionisation und Nachweis durch ein Quadrupol-Massenspektrometer
angewandt wird. Am Online-Massenseparator der GSI konnte die Isotopieverschiebung der Isotope 6 Li bis 9 Li mit einer Genauigkeit von besser als 180 kHz bestimmt werden. Die extrahierten
Kernladungsradien nehmen von 6 Li bis 9 Li monoton ab. Dieses Verhalten lässt sich durch die
starke α + d-Clusterung des 6 Li-Kerns erklären, die mit zunehmender Neutronenzahl abnimmt.
Die Resultate werden mit den Vorhersagen verschiedener Kernmodelle verglichen und tragen so
zu einem verbesserten Verständnis der Struktur dieser Kerne bei. Mit diesem Experiment konnte
die Grundlage für die Bestimmung des Ladungsradius des Halokerns 11 Li gelegt werden, welcher
später in einem on-line Experiment am TRIUMF in Vancouver/Canada [Sanc2006] bestimmt
wurde.
151
Kapitel 10
Bose-Einstein-Kondensation
Wenn bosonische Teilchen mit genügend Phasenraumdichte vorliegen, so dass der Abstand zwischen den Teilchen kleiner als die de-Broglie Wellenlänge wird, d.h. die Wellen der einzelnen
Teilchen überlappen, kommt es zum Phänomen der Bose-Einstein-Kondensation. Das Kondensat wird dann durch eine einzige, makroskopische Wellenfunktion beschrieben. Dies ist graﬁsch
in Abbildung 10.1 dargestellt. Als einführende Literatur empﬁehlt sich [Lamb1996, Petr1996,
Corn1998].
Abb. 10.1: Graﬁsche Darstellung des Kondensationsprozesses. Quelle: Webseite von W. Ketterles Gruppe am MIT, Boston.
Bisher war der BEC-Eﬀekt nur in Helium bekannt, verknüpft mit dem Phänomen
der Supraﬂuidität etc.. Allerdings handelt es sich bei ﬂüssigem Helium um ein starkwechselwirkendes System, d.h. die hohe Phasenraumdichte wird erzielt mit hoher räumlicher
Dichte und kurzen de-Broglie-Wellenlängen. Deshalb sind sich die He-Atome sehr nahe und
152
153
die Beschreibung der Atom-Atom Wechselwirkung ist ungleich komplizierter als im Falle eines
sehr verdünnten Gases, wo man hohe Phasenraumdichte mit großen Teilchenabständen und
großen de-Brogliewellenlängen erzielt (siehe Abb. 10.2). Dazu braucht man natürlich ultrakalte
Atome, und es war frühzeitig erkannt worden, dass Laserkühlung die beste Chance dazu bietet
[Cohe1995]. In vieler Hinsicht wurde die rasante Entwicklung von Fallenmethoden in den
letzten zehn Jahren vom Wettlauf zur Herstellung eines Kondensats getrieben.
Abb. 10.2: Die de-Broglie-Wellenlänge und der mittlere Abstand zwischen den Teilchen für eine
Auswahl von Experimenten an Wasserstoﬀ, Para-Exzitonen, Rubidium und Cäsium. Quelle:
Physikalische Blätter.
Für n λ3dB ≥ 2.612 besetzen alle Bosonen den gleichen, tiefsten Zustand, und es ﬁndet ein
Phasenübergang statt; n ist hierbei die Teilchendichte (der genaue numerische Faktor hängt
übrigens vom Fallenpotential ab), die de-Broglie Wellenlänge ist
1
h
∝ √
mv
T
2
2π
.
=
mkT
λdB =
(10.1)
Am Beispiel von Natrium in einer MOT (T ≈ 20μK,n ≈ 1011 cm−3 ) kann man sich leicht
überzeugen, dass man die notwendige Phasenraumdichte nicht schaﬀen kann, da nλ3dB ≈ 10−5
bei weitem zu klein ist. Deshalb muss man die Atome in magnetische oder optische Fallen
umladen. Da diese Fallen jedoch konservative Potentiale nutzen, müssen zusätzliche Mechanismen zur Erhöhung der Phasenraumdichte eingesetzt werden. Der richtige Weg wurde mit dem
sogenannten evaporativen Kühlen gefunden.
Evaporatives Kühlen: Diese Methode wird hier anhand der magnetischen Falle demonstriert. Wie in Abb. 10.3 gezeigt, wird Radiofrequenz der passenden Wellenlänge eingestrahlt,
so dass Teilchen ab einer bestimmten Energie im Fallenpotential so weit nach außen wandern
können, dass die RF einen Spinﬂip induzieren kann. Eﬀektive schneidet man das Potential somit
bei einer bestimmten Höhe ab. Die heißen Teilchen in der Falle werden also “verdampft”. Zurück
154
KAPITEL 10. BOSE-EINSTEIN-KONDENSATION
μ || Β
W
μ || Β
B
μ || Β
J=1/2
hνRF
x
μ || Β
Abb. 10.3: Evaporatives Kühlen in der magnetischen Falle. Die Radiofrequenz induziert Spinﬂips
bei einer bestimmten Fallenhöhe.
bleibt ein kälteres Ensemble, das zudem noch eine höhere Dichte hat. Wichtig ist, dass man
die Teilchen langsam verdampft, damit die verbleibenden Atome wieder Zeit zum thermalisieren
haben. Dazu wird die RF-Frequenz langsam abgesenkt. Dies ist in Abb. 10.4 verdeutlicht.
Abb. 10.4: Evaporatives Kühlen. Quelle: Webseite der Ertmer-Gruppe, Univ. Hannover.
Wie schon weiter oben erwähnt, hat man das Problem der Spinﬂips im Zentrum der Falle,
falls man dort ein verschwindendes Feld hat. Da das evaporative Kühlen recht langsam geht
(über viele Sekunden hinweg), sind die Verluste zu hoch. Historisch wurde diese Problem zuerst
mit der sog. TOP-Trap in Boulder gelöst, wo das erste Kondensat hergestellt wurde. Da dieses
155
Prinzip technisch etwas unhandlich ist, sollen hier die moderneren Methoden vorgestellt werden.
• Die Atome werden optisch vom Fallenzentrum ferngehalten mit einem blauverstimmten
Lichtstrahl, quasi eine Kombination von magnetischer und optischer Falle, man spricht
vom optischen Propf (Stöpsel). Das resultierende Potential ist in Abb. 10.5 gezeigt.
• Verwendung einer magnetischen Falle ohne Magnetfeldnull, zum Beispiel die Kleeblattfalle
(cloverleaf-trap), benannt nach dem Aussehen der Spulen (Abbn. 10.6 und 10.7).
Abb. 10.5: Schnitt durch das Potential, in dem die Atome gespeichert und verdampft werden.
Es beruht auf der Kombination von einem linearen Magnetfeld, der optischen Dipolkraft eines
blauverstimmten Lasers und Radiowellen. Das Magnetfeld sorgt für die rücktreibende Kraft der
Falle. Da der Feldgradient in axialer Richtung (z) doppelt so groß ist wie derjenige in radialer
Richtung (x), ist das resultierende Potential nicht rotationssymmetrisch und weist zwei Minima
auf. Der steile Höcker im Zentrum der Falle ist der ”optische Stöpsel”. Die Atome werden so vom
Nulldurchgang des Magnetfeldes, dem Loch in der Falle, ferngehalten. Die Radiowellen klappen
den Spin der Atome bei einem einstellbaren Wert des Magnetfeldes um. Dies führt zu einem
Vorzeichenwechsel der magnetischen Kraft. Die Atome werden über diese Kante verdampft
(RF-induzierte Verdampfung).
Mit diesen Methoden war es nun möglich, BEC zu produzieren. Zuerst war die Gruppe
um C. Wieman und E. Cornell am JILA in Boulder/Colorado mit Rubidium erfolgreich, gleich
darauf R. Hulet (Rice U./Houston) mit 7 Li, diese Messung wurde jedoch angezweifelt und erst
ein Jahr später überzeugend wiederholt. Drei Monate nach der Erstentdeckung war dann auch
die Gruppe von Wolfgang Ketterle am MIT mit 23 Na erfolgreich, die dann schnell die Führung
auf diesem Gebiet übernahm. Das Diagramm 10.8 zeigt nochmals die Entwicklung der Phasenraumdichte in den Jahren der Entdeckung von BEC.
Abschließend nun noch einige schöne Bilder rund um BEC: in Bild 10.9 sieht man die zeitliche
Entwicklung eines Kondensats. Die z-Achse ist ein Maß der Anzahl der Atome in Abhänigkeit
ihrer kinetischen Energie entlang der zwei Hauptachsen der Falle. Im ersten Bild sieht man die
Verteilung in der Falle vor der Entstehung des Kondensats. Im zweiten Bild schießt plötzlich
ein schmaler, also kalter, Peak in der Mitte heraus, der nicht einer thermischen Verteilung von
Atomen entspricht — das Kondensat. Treibt man das evaporative Kühlen noch weiter, sind
schließlich in Bild (3) praktisch alle Atome Teil des Kondensats.
156
KAPITEL 10. BOSE-EINSTEIN-KONDENSATION
Abb. 10.6: Konﬁguration der Kleeblattfalle. Quelle: Webseite der Ketterle-Gruppe am MIT
und [Mewe1996].
Abb. 10.7: Feld der Kleeblattfalle. Achtung: die Abszisse zeigt B − B0 . Quelle: Webseite der
Ketterle-Gruppe am MIT.
157
Abb. 10.8: Entwicklung der erzielten Phasenraumdichte, Quelle: Webseite der Ketterle-Gruppe
am MIT.
Zum Erstellen von Bild 10.9 war es notwendig, für jede einzelne Temperaturmessung die Falle
abzuschalten und mit einer ballistischen Flugmessung die Temperatur der Atome zu bestimmen,
d.h. jedesmal wird das Kondensat zerstört. Eine viel eﬃzientere Methode der zerstörungsfreien
Beobachtung der Evolution des Kondensats wurde von Ketterle eingeführt: die Phasenkontrastmethode. Ein von der atomaren Resonanz verstimmter, also wenig Photonen streuender, Laserstrahl durchläuft die Falle, erfährt aber durch die Gegenwart der Atome einen Phasenverschub
(das Fallengas hat ja einen Brechungsindex der vom Vakuumwert verschieden ist). Hinter der
Falle wird dieser Strahl mit einem Referenzstrahl, der nicht durch die Falle ging, überlagert und
zum Interferieren gebracht. Damit kann man die Kondensatsevolution in Echtzeit beobachten,
wie in Abb. 10.10 gezeigt.
Weiterhin kann man zwei Kondensate miteinander interferieren lassen. Man erzeugt diese
z.B. durch einen blauverstimmten Laserstrahl, der die ursprüngliche Falle und das Kondensat
in zwei Teile spaltet, analog zum optischen Pfropf. Dann kann man die Kondensate wieder
zusammenführen und beobachtet Interferenz, wie Bild 10.11 bezeugt.
Seit 1995 gibt es zahlreiche Gruppen, die erfolgreich BEC hergestellt haben, die BECHomepage an der Georgia State University enthält eine aktuelle Liste (Abb. 10.12). Alle Experimente verwenden die gleichen Alkaliatome wie die ersten drei Gruppen mit der Ausnahme
des Wasserstoﬀexperiments von D. Kleppner am MIT. Mit diesem Experiment hatte in den
70ern die Suche nach BEC in atomaren Gasen angefangen. Da man für Wasserstoﬀ keine MOT
zur Verfügung hat, basierte dieser Versuch ausschließlich auf magnetischen Fallen und evaporativer Kühlung. Da Wasserstoﬀ theoretisch viel einfacher ist als schwere Alkalis, bedarf dieses
158
KAPITEL 10. BOSE-EINSTEIN-KONDENSATION
Abb. 10.9: Entstehung eines Kondensats mit fortschreitendem evaporativem Kühlen. Quelle:
Webseite der Ketterle-Gruppe am MIT.
Abb. 10.10: Evolution eines Kondensats beobachtet mit der Phasenkontrastmethode. Die Farbcodierung entspricht dem Phasenverschub und damit der lokalen integrierten Dichte entlang
der Beobachtungsrichtung. Das Kondensat macht sich durch das Erscheinen einer sehr dichten
Komponente in der Fallenmitte bemerkbar. Die Zigarrenform der Atomwolke rührt von den
unterschiedlichen Potentialgradienten in axialer und radialer Richtung in der Kleeblattfalle her.
Quelle: Webseite der Ketterle-Gruppe am MIT.
159
Abb. 10.11: Interferenz zweier Kondensate. Quelle: Webseite der Ketterle-Gruppe am MIT.
Experiment besonderer Erwähnung.
Abb. 10.12: Entwicklung der BEC Forschung in den letzten Jahren. Quelle: GSU-Webseite
http://amo.phy.gasou.edu/bec.html/.
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