Studiengang: PT/LOT/PVHT Semester: WS 10/11

Studiengang:
PT/LOT/PVHT
Algebra
Semester: WS 10/11
Serie 1
Thema: Vektoralgebra
1. Aufgabe
Seien ~a, ~b und ~c Vektoren der Ebene. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze das:
Assoziativgesetz: ~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
2. Aufgabe
Die Vektoren ~a1 ,~a2 ,~a3 seien als Linearkombination der Vektoren ~e1 und ~e2 wie folgt darstellbar.
~a1 = 3~e1 − ~e2 , ~a2 = −2~e1 + ~e2 , ~a3 = ~e1 − ~e2 .
Stellen Sie den Vektor ~x = ~a1 + 2 ~a2 − 2 ~a3 als Linearkombination der Vektoren ~e1 und ~e2
dar.
Zeigen Sie, dass die Vektoren ~a1 ,~a2 ,~a3 linear abhängig sind!
3. Aufgabe
Wir betrachten zwei kartesische Koordinatensysteme (x,y- Koordinaten und u,v-Koordinaten),
die um 45◦ gedreht sind. Die Koordinateneinheitsvektoren bzgl. der x,y-Achse werden mit
~ex und ~ey bezeichnet und entsprechend bzgl. der u,v-Achse mit ~eu und ~ev .
Stellen Sie den bezüglich der x,y - Koordinaten gegebenen Vektor ~a = 2~ex + ~ey als Linearkombination durch die Basisvektoren ~eu und ~ev , dar.
Hinweis: vgl. auch Aufgabe 2.
4. Aufgabe
Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von ~a und ~b die linearen Unabhängigkeit von ~a + ~b
und ~a − ~b ?
5. Aufgabe
Seien s, t beliebige Parameter.
Bedingung

 Unter
 welcher


sind die Vektoren
s
0
t






~a =  t  , ~b =  s  und ~c =  0 
0
t
s
linear unabhängig ?
1
6. Aufgabe
Stellen 
Sie folgende
Vektoren in der Form ~a = α · ~e, mit |~e| = 1 dar.

2


a) ~a =  1 , b) ~b = 3e~1 − 4e~2 + 8e~3
4
7. Aufgabe
Wo liegt die Spitze des Vektors, der im Punkt P1 (7; 3; −2) angreift, in Richtung auf
P2 (6; −1; 4) zeigt und die Länge s = 5 hat?
8. Aufgabe
~ von 1000 N ausübt.
An einem Seil hängt eine Last, die eine Kraft L
~ und G.
~ Im statischen Gleichgewicht gilt:
Auf die Seile wirken die Zugkräfte F
~ =F
~ + G.
~
L
~
~
Berechnen Sie die Zugkräfte F
und G
9. Aufgabe
Ein Gerüst, bestehend aus zwei geraden, unterschiedlich langen verbundenen Balken
und trage eine Last von 2700kN . Die beiden Balken sollen stufenförmig
aufliegen. (vgl. Skizze) Welchen Druckkräften sind die beiden Balkenquerschnitte ausgesetzt?
Wie groß sind die senkrecht gerichteten Auflagedruckkräfte sowie die waagerecht
wirkenden Seitendrücke in den Auflagepunkten der (gewichtslos gedachten) Balken?
10. Aufgabe
Bilden
 Siemit denVektoren



1
−3
4






~a =  1 , ~b =  0 , ~c =  10 
1
4
−2
die folgenden Skalarprodukte:
a) ~a · ~b b) (~a − 3~b) · (4~c)
2
11. Aufgabe
Welchen
 Winkel
 schließen
 die
 Vektoren ~a und ~b ein?
3
1




a) ~a =  1 , ~b =  4 , b) ~a = e~x − 2e~y + 5e~z , ~b = −e~x − 10e~z
−2
2
12. Aufgabe
Berechnen Sie:
a) den Winkel α zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden
Kanten eines Würfels.
b) den Winkel β zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden
Flächendiagonalen eines Quadrates der Würfeloberfläche.
13. Aufgabe
Berechnen

2

~a =  −2
1
14. Aufgabe
~
Sie
 die Komponente

 des Vektors b in Richtung des Vektors ~a, wobei
5



, und ~b =  1 ,
3
Welche Bedingungen müssen die Vektoren ~a und ~b erfüllen, damit ~c = ~a + ~b und d~ = ~a − ~b
senkrecht aufeinander stehen?
15. Aufgabe
Seien ~a, ~b linear unabhängige Vektoren der Ebene. Stellen Sie die orthogonalen Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 mittels der Vektoren ~a, ~b dar.
16. Aufgabe
Begründen Sie, dass ein Vektor ~a, der orthogonal zu allen Vektoren ~x ist (d.h. ∀~x : ~a ·~x = 0),
der Nullvektor sein muß (~a = ~0)
17. Aufgabe
Bilden
 Sie mit
 den Vektoren




1
2
0






~a =  4 , ~b =  −1 , ~c =  2 
−6
2
3
die folgenden Vektorprodukte:
a) ~a × ~b b) (~a − ~b) × (3~c)
18. Aufgabe






10
6
9

 ~




Gegeben sind die Vektoren ~a =  −14 , b =  5 , ~c =  y  .
2
−2
z
Wie müssen y und z bestimmt werden, damit ~c orthogonal zu ~a und ~b ist.
3
19. Aufgabe
Liegen
 die
−3

~a =  4
0
Vektoren
~a, ~b, ~c


−2
 ~

, b =  3
5
in
Ebene?
 einer gemeinsamen


−1



, ~c =  3 
25
20. Aufgabe
Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen:
3(x − 2) + (y − 5) + 2(z − 6) = 0 und 2(x − 1) + 3(z − 1) = 0
21. Aufgabe
Unter Zugrundelegung eines kartesischen Bezugssytems sind
im R3zweiPunkte
(−1, 2,
−1) ,
 P1 
x
−3
3

 
 

P2 (1, 3, 2) , sowie eine Gerade g mit der Parametergleichung  y  =  3 +t  −1 ,
z
1
2
t ist beliebig reell, gegeben.
P3 sei derjenige Punkt auf g, für den das Dreieck mit den Eckpunkten P1 , P2 , P3 minimalen
Flächeninhalt hat.
Wie lauten die Koordinaten von P3 ∈ g und wie groß ist der Inhalt des flächenkleinsten
Dreiecks?
22. Aufgabe
Wir betrachten einen drehbar gelagerten Winkelhebel (vgl. Skizze).
Für welchen Winkel x befindet sich diese Konstruktion im Gleichgewicht
.
23. Aufgabe
Auf eine Ebene E mit der Normalen ~n fällt im Punkt P ein Lichtstrahl, dessen Richtungssinn durch den Vektor ~a festgelegt sei. Bestimmen Sie den Richtungsvektor ~x des
reflektierten Lichtstrahls.
24. Aufgabe
In jedem Speichenreflektor eines Fahrrades, in jedem Autorücklicht und in dem Laserreflektor auf dem Mond ist das Prinzip des Eckenspiegels oder Tripelspiegels zu finden..
Ein Lichtstrahl trifft auf eine Fläche des Eckenspiegels, der Strahl wird so
reflektiert, dass er auf eine zweite Fläche trifft und über die Reflektion an der
dritten Fläche tritt der Lichtstrahl wieder parallel zum Eingangsstrahl aus dem Eckenspiegel.
4
Beweisen Sie diese Behauptung unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe 23
25. Aufgabe




2
2




Wie lautet die Gleichung der Projektion der Geraden ~r =  −3  + t  1  auf die
4
−3
Koordinatenebenen in parameterfreier Form?
26. Aufgabe
Die Punkte P1 (0, 0, 1) , P2 (1, −1, 0) und P3 (−2, 1, 1) spannen eine Ebene E auf.
Geben Sie E in der Form a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b an und bestimmen Sie den Abstand q
des Punktes Q(4, 5, 3) von dieser Ebene.
27. Aufgabe
Geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene an, bezüglich der die Punkte P (1, 1, −4)
und Q (−1, 1, 0) spiegelbildlich liegen.
5
Lösungen:
2) ~x = −3~e1 + 3~e2
4) Ja
6)

3) ~a =

0, 436


a) ~a = 4, 58 ·  0, 218 
0, 873
b) ~b = 9, 434 · (0, 318e~1 − 0, 424e~2 + 0, 848e~3 )
5) s 6= −t
10) a) 1 b) 288
12) a ) α = 54, 7◦
b) β = 35, 26◦
14) |~a| = ~b
8) 518 N bzw. 730 N
18) y = 16
20)
z = 67




0
3




Schnittgerade: ~r(λ) =  59/3  + λ  −5 
5/3
−2
Schnittwinkel: ϕ = 27, 200
22) x = 38, 95◦ , x = 218, 95◦ (stabiles Gleichgewicht)
25) x − 2y = 8; 3y + z = −5; 3x + 2z = 14
27) x − 2z = 4
6
3
2
√
2~eu −
1
2
√
2~ev
7 − √553



√20
7) 
 3 − 53 
30
−2 + √53


9)
√
√
FI = 150 20 kN ∧!FII = 300 50 kN
!
−
→
−
→
−300 kN
300 kN
FI =
, F II =
−600 kN
−2100 kN
0
0
11) a) ϕ =
 79, 92 b) ϕ = 157, 90
22/9


13) b~a =  −22/9 
11/9
~b − ~b · ~e1 ~e1
~a
15) ~e1 =
, ~e2 = |~a|
e1 ~e1 ~b − ~b · ~




2
93




17) a)  −14  b)  9 
−9
−6
19) ja
21) A∆ =
1
2
√
42 F E
23 ~x = ~a − 2 (~a · ~n) ~n
√
26) E : x + 2y − z = −1 . q = 2 6 ≈ 4, 9