11. Übungsblatt - Institut für Physik

A. Trügler
W. Schweiger
Institut für Physik
FB Theor. Physik
KFU Graz
Theoretische Mechanik
Aufgabe 42: Ein Supertanker mit einer Masse von 200.000 Tonnen fährt mit
30 km/h Geschwindigkeit auf der geographischen Breite von Hamburg (≈
54◦ nördl. Breite). Wie groß und wie gerichtet ist die Kraft mit der er der
Corioliskraft gegensteuern muss, wenn er
SS 09
a) nach Westen,
11. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 19.6.2009)
Aufgabe 40: Die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Bezugssystems BS ′
sei ~ω . Berechnen Sie die Geschwindigkeit ~v ′ und die Beschleunigung ~a′ (bezogen auf BS ′ ), die
a) ein Teilchen aufweist, auf das im Inertialsystem IS keine Kraft wirkt
und das in IS ruht (~v = ~0),
b) ein Teilchen aufweist, das in IS eine gleichförmige Kreisbewegung mit
Winkelgeschwindigkeit ω
~ ausführt (~v = ~ω × ~r).
Aufgabe 41: Ein Ball mit Masse 1kg werde vom schiefen Turm in Pisa (Höhe
50m, ≈ 45◦ nördliche Breite) fallen gelassen. Die Geschwindigkeit des Balles
im reinen Schwerefeld zum Zeitpunkt t ist ~v (0) (t) = −gt~e3 .
a) Wie groß ist die Corioliskraft F~c (t) zum Zeitpunkt t?
b) Unter Berücksichtigung der Corioliskraft F~c (t) ist die Geschwindigkeit
des Balles (in 1. Näherung) durch
~v (1) (t) = ~v (0) (t) + ∆~v (1) (t)
gegeben, wobei
∆~v (1) (t) =
1
m
Z
t
F~c (t′ )dt′ .
0
Berechnen Sie ∆~v (1) (t).
b) nach Südosten fährt?
Aufgabe 43: Gegeben sei ein homogener Kegel (Dichte ρ, Höhe h, Radius der
Basisfläche R).
a) Zeigen Sie, dass sein Trägheitstensor, bezogen auf ein Koordinatensystem, dessen Ursprung sich in der Kegelspitze befindet und dessen
z-Achse mit der Kegelachse zusammenfällt, durch
 2

4h + R2
0
0
3M 
2
2
0 
0
4h + R
θ̂ =
20
0
0
2R2
gegeben ist, wobei M die Masse des Kegels ist.
b) Bestimmen Sie den Trägheitstensor bezogen auf den Schwerpunkt.
Aufgabe 44: Ein homogener Vollzylinder mit Radius R, Länge l und Masse M
rolle reibungsfrei eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel α hinunter.
a) Wie groß ist die Rotationsenergie des Zylinders, wenn der Ursprung des
körperfesten Koordinatensystems in den Schwerpunkt gelegt wird?
b) Stellen Sie die Lagrangefunktion für dieses Problem auf, wobei als generalisierte Koordinate q der Abstand des Auflagepunktes vom oberen
Ende der schiefen Ebene genommen werden soll.
c) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für q auf und lösen Sie diese.
c) Wie weit und in welche Richtung weicht der Aufschlagpunkt (in dieser
Näherung) auf Grund der Corioliskraft vom Lot ab?
d) Was ändert sich, wenn die gesamte Masse des Zylinders homogen auf
seiner Oberfläche verteilt ist? Ist dieses Rohr schneller am Ende der
schiefen Ebene, oder der Vollzylinder?
q
α
20
21