Bohrsches Atommodell

Pascal Holey <[email protected]>
Bohrsches Atommodell
Vorgeschichte:
Kugelmodell ;
Elektronen in den Atomkugeln (Thomson 1904) ;
Atomkern/-hülle; Elektronen auf Kreisbahnen;
Schwächen:
Atome dürften nicht stabil sein
Erklärt scharfe Spektrallinien nicht
(ständiger Energieverlust)
Kurze Einleitung:
Niels Bohr war ein Schüler Rutherfords und fand 1913 zunächst eine Erklärung für die schärfe der
Spektrallinien. Er verknüpfte Plancks Quantentheorie, also die Existenz eines Wirkungsquantums h mit dem
Rutherford-Modell.
Das Atom besteht aus dem positiv geladenen Kern und den negativ geladenen Elektronen, die den Kern in
bestimmten Abständen (Bohrschen Radien) unkreisen.
Ein Atom kann nur in ganz bestimmten Zuständen, d.h. Energiestufen seiner Elektronen, längere Zeit existieren.
In diesen Zuständen senden die Elektronen keine Strahlen aus. Nur beim Wechsel von einem stationären Zustand
in einen anderen wird Lichtenergie abgegeben. (=> Orbitaltheorie; =>Photochemie). Die Formel für die
maximale Schalenbesetzung lautet: 2 n², dabei bedeutet n die Hauptquantenzahl und entspricht dem Radius einer
Bohrschen Kreisbahn. Die Nebenquantenzahl (s,p,d bzw. 0,1,2 usw. ) ist nach A. Sommerfeld die Zahl, die
festlegt, zu welchen Ellipsenbahnen eine Bohrsche Kreisbahn jeweils entarten kann. Die dritte Quantenzahl
(magnetische Quantenzahl) erfaßt die räumliche Lage der einzelnen Bahnen und die vierte Quantenzahl
(Spinquantenzahl) Richtung und Wert des Spins ( der Drehbewegung des Elektrons um die eigene Achse). Nach
W. Pauli stimmt kein Elektron in seinen vier Quantenzahlen mit einem anderen Elektron überein.
Die drei Postulate von Bohr:
1.
2.
3.
Elektronen dürfen nur auf bestimmten Bahnen um den Atomkern kreisen. Zu jeder Kreisbahn gehört ein
bestimmter Energiezustand. Die Bahnradien r sind verknüpft mit der Plankschen Konstanten h.
Elektronen dürfen auf ihren Kreisbahnen nicht strahlen.
Springen Elektronen von einer Bahn auf eine andere, energetisch tiefer liegende, wird die frei werdende
Energie W als Strahlungsquant der Energie W = h f abgegeben.
Das Bohrsche Atommodell erlaubt eine Berechnung der Frequenzen der Spektrallinien des H-Atoms. Es
sagt aber nicht, warum die Atome stabil sind und versagt bei der Deutung der Spektren von Atomen mit
mehreren Elektronen. Heute wissen wir, daß der klassische Bahnbegriff in atomaren Bereichen keinen
Sinn mehr hat (Seite 165)
1. Bohrsches Postulat
Ein Elektron kreißt nur in bestimmten Bahnen um den Kern. Auf diesen Bahnen gibt es keine Strahlung also
auch keine Energie ab. Es gibt eine kleinste Bahn (Elektron ist am nähsten beim Kern, n = 1)
Der Bahndrehimpuls, also der Impuls des Elektrons auf der Bahn hängt vom Radius ab, durch
L = rnmevn
Und von n durch rn, vn und
L = nh/(2π)
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2. Bohrsches Postulat
Fällt ein Elektron von einer höheren Bahn m auf eine niedrigere n so emittiert es ein Photon mit der Energie:
∆E = Em – En
Die Frequenz dieses Photons ist dem entsprechend:
∆E = hf ! f = ∆E/h
Trifft ein Photon auf ein Elektron so absorbiert dieses die Energie des Photons und wird auf eine höhere Bahn
“geschossen”. Die Energie des Photons und die derzeitige Position des Elektrons bestimmen die spätere Bahn
des Elektrons.
Ein Postulat ist eine festgesetzte Bedingung die nicht bewiesen wird. Bohr hat also behauptet, daß sich ein
Elektron nur auf Bestimmten Bahnen strahlungsfrei bewegt, konnte dies aber nicht beweisen, höchstens durch
Versuche bestätigen.
Berechnung des Radius und der Geschwindigkeit
Die Zentripetalkraft, die für eine Kreisbewegung notwendig ist, ist in diesem Fall die Coulombkraft. Diese
Kräfte setzen wir also gleich, und erhalten
e2
4πε 0
m e v 2n rn =
Nach dem 1. Postulat setzen wir rnmevn=L=nh/(2π),so ergibt sich für rn, vn
rn =
vn =
n 2 h 2ε 0
m e e 2π
e2
2hnε 0
Energie des Elektrons
Die Energie des Elektrons besteht aus zwei Teilen, der kinetischen und der Lageenergie.
Die kinetische Energie ergibt sich durch E =1/2mevn². Man ersetzt vn² und erhält
E kin =
1
8
mee4
ε 02 h 2 n 2
Die Lageenergie erhält man aus dem Coulombgesetz Es ist die Arbeit, die verrichtet werden muß um das
Elektron auf den Abstand rn also auf eine Bahn n zu bringen.
E pot =
− 14
mee4
ε 02 h 2 n 2
Eges = − 18
me e 4
ε 02 h 2 n 2
Da sich die Energie aus kinetischer und potentieller Energie zusammensetzt ergibt sich für die Gesamtenergie
Die Energie ist deshalb negativ, da je höher die Bahn ist um so höher ist auch die Energie. Die Energie nähert
sich also mit zunehmender Höhe 0 an. Ein freies Elektron hat weder kinetische noch potentielle Energie, wenn
keine Kraft auf dieses wirkt, daher ist die Gesamtenergie eines freien Elektrons, also ein Elektron mit der
Umlaufbahn n → ∞, gleich 0.
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Spektralserien
Es gibt verschiedene Serien von Spektrallinien innerhalb eines Spektrums. Beim Wasserstoffatom gibt es
folgende Serien: - Pfund-Serie
infrarot
zur Bahn n = 5
- Brackett-Serie infrarot
zur Bahn n = 4
- Paschen-Serie infrarot
zur Bahn n = 3
- Balmer-Serie teilweise sichtbarer Bereich zur Bahn n = 2
- Lyman-Serie ultraviolett
zur Bahn n = 1
Dieses Serien sind immer eine Vielzahl von Spektrallinien, die jeweils etwas gemeinsam haben. Bei der BalmerSerie z.B. entstehen die Spektrallinien durch die Photonen die von Elektronen emittiert werden, die auf die 2
Bahn, also n = 2, gefallen sind.
Photonenemitation
absorbiertes Strahlungsquant
Formelzet
∆E = Em – En
∆E = hf → f = ∆E/h
E kin =
1
8
mee
4
E pot = − 14
ε 02 h 2 n 2
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E ges = − 18
mee4
ε 02 h 2 n 2
m ee
4
ε 02 h 2 n 2
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Eges = Ekin + Epot
Coulombkraft = Zentripetalkraft
m e v 2n
e2
=
rn
4πε 0 rn2
e2
vn =
2hnε 0
rn =
n 2 h 2ε 0
m e e 2π
∆E = E m − E n
1 
 1
f = C 2 − 2 
m 
n
mee4  1
1 
∆E = 2 2  2 − 2 
8ε 0 h  n
m 
C = Rydbergkons tan te =
mee4
8ε 02 h 3
Zusammenfassung:
Niels Bohr (1885 – 1963, Nobelpreis 1922) hat 1913 versucht, die Mängel des Rutherfordschen Atommodells
durch die Hinzunahme von sogenannten Quantisierungsbedingungen zu beheben: Ohne tiefere Begründung und
in bewußtem Gegensatz zur klassischen Physik verlangte er, daß nur gewisse Bahnradien zulässig sein sollten,
sodaß sich auch nur ganz bestimmte Energieniveaus der Atomelektronen ergeben. Auf diesen ausgezeichneten
Bahnen sollte das Elektron den Kern umlaufen können, ohne zu strahlen. Trotz wesentlicher Erfolge blieb aber
dieses Modell letztlich unbefriedigend, weil für die Quantisierung der Energie kein Grund angegeben werden
konnte und Widersprüche zur Erfahrung bestehen bleiben. Das Wasserstoffatom bleibt auch in diesem Modell
ein Scheibchen.
Die Entdeckung, daß das Atom aus einem Kern und einer für die Größe des Atoms maßgebenden
Elektronenhülle besteht, war ein entscheidender Fortschritt. Die Frage aber, wie der Kern und die Elektronen zu
einem System zusammengefügt sind, wie also das Atom aufgebaut ist, blieb weiterhin ein ungelöstes Rätsel.
Durch das Quantenmodell des Lichtes wurden somit zwei für die klassische Physik unlösbare Probleme
aufgeworfen: Die klassische Mechanik konnte die Beugung von Lichtquanten nicht verständlich machen. Sie
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konnte ebensowenig die mit Hilfe des Quantenmodells aus den Linienspektren folgende Quantisierung der
Energie im Atom erklären und somit auch das Verhalten von Elek tronen im Atom nicht verständlich machen.
Sie versagte also in beiden Fällen bei der Beschreibung des Verhaltens kleinster Teilchen.
Wir haben erkannt, daß das Wellenmodell des Lichtes mit dem Quantenmodell nur dann verträglich sein kann,
wenn für die Lichtquanten eine neue Mechanik gilt. Das Versagen der klassischen Mechanik bei der Erklärung
des Atombaues zeigte, daß auch andere Teilchen (die Elektronen) nicht der klassischen Mechanik folgen, daß
also offenbar alle diese kleinsten Teilchen nur mit einer neuen Mechanik richtig beschrieben werden können.
Die Entwicklung dieser sogenannten Quantenmechanik gelang 1925 Werner Heisenberg und 1926 Erwin
Schrödinger unabhängig voneinander auf zwei ganz verschiedenen Wegen. Sie ist die unerläßliche Grundlage
für jedes tiefere Verständnis im Bereich der Atom- und Teilchenphysik. Die Entwicklung der Quantenmechanik
kann daher ohne Übertreibung als der bedeutendste Fortschritt der Physik in diesem Jahrhundert bezeichnet
werden.
Das Bohr-Atommodell hat sich bei der Beschreibung folgender Erfahrungstatsachen gut bewährt:
1. Der aus dem Modell sich ergebende Durchmesser des Wasserstoffatoms stimmt in der Größenordnung mit
den Meßergebnissen aus klassischen Versuchen überein.
2. Die Spektren des Wasserstoffatoms und der wasserstoffähnlichen Ionen können in Übereinstimmung mit der
Erfahrung berechnet werden.
3. Die berechneten Ionisierungsenergien stimmen mit den gemessenen Werten überein.
4. Die RYDBERG-Konstante kann aufgrund des BOHR-Modells mit anderen bekannten Naturkonstanten
verknüpft werden, und aus dieser Verknüpfung kann ihr Wert in Übereinstimmung mit den Meßergebnissen
berechnet werden.
Leider weist das Bohr-Atommodell aber auch eine Reihe von Unzulänglichkeiten auf, von denen hier einige
genannt werden sollen:
1. Es ist mit Hilfe des Bohr-Atommodells nicht möglich, die Spektren von Atomen, bei denen sich in der Hülle
zwei oder mehr Elektronen befinden, richtig zu berechnen.
2. Die Erfahrung zeigt, daß die zunächst einheitlich erscheinenden Spektrallinien der Atome mit Hilfe von stark
auflösenden Spektralapparaten in mehrere eng benachbarte Linien, die selbst noch eine gewisse, allerdings sehr
kleine Breite haben, aufgelöst werden können. Man bezeichnet diese Erscheinung als die Feinstruktur der
Spektrallinien. Hierfür kann das Bohr-Atommodell keine Erklärung geben.
3. Bohr konnte für die von ihm aufgestellte Quantenbedingung keine zwingende Begründung geben. Diese
Tatsache muß zum mindesten als unbefriedigend betrachtet werden.
Aus den hier dargelegten und einigen weiteren Gründen sahen sich die Physiker veranlaßt, ein Modell für die
Atomhüllen zu entwickeln, das umfassender als das Bohr-Modell ist und das auch die von diesem Modell nicht
erhaltenen Erfahrungen zu beschreiben erlaubt. Einen ersten Schritt in dieser Richtung hat der Physiker A.
SOMMERFELD (1868 – 1951) getan.
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