Physik I Serie 10

Physik I
Serie 10
FS 08
Prof. R. Hahnloser
Aufgabe 10.1
Eine Punktladung q = 16 µC wird in einen Eckpunkt eines Würfels mit Kantenlänge a =
7.6 cm gebracht. Wie gross ist der Fluss durch
a) jede der Würfelächen, die diese Ecke bilden, und
b) jede der anderen Würfelächen?1
Aufgabe 10.2
a) Zwei grosse, dünne Metallplatten stehen einander parallel in geringem Abstand
gegenüber (siehe Abb. 1). Die Platten sind auf ihren Innenseiten mit unterschiedlichen
Vorzeichen und einer Flächenladungsdichte vom Betrag 5.93 × 10−22 C/m2 geladen,
wobei sich die positiv geladene Platte links bende. Bestimme den Betrag des elektrischen Feldes an Punkten
i) links von beiden Platten,
ii) rechts von beiden Platten,
iii) zwischen den Platten.
Figure 1: Anordnung der Platten in Aufgabe 2 a).
b) Die Innere zweier konzentrischer Kugeln mit den Radien 7.57 cm und 17.8 cm trägt
die Ladung 4.25 × 10−8 C, die Äussere die Ladung 2.98 × 10−8 C. Wie gross ist das
elektrische Feld
i) im Abstand r1 = 9.65 cm,
ii) im Abstand r2 = 37.6 cm vom gemeinsamen Mittelpunkt?1
Aufgabe 10.3
In der Nähe der Erdoberäche kann man nicht selten eine elektrische Feldstärke von
ungefähr 120 V/m messen. Herrschte ein Feld dieser Stärke über der gesamten Oberäche
der Erde, wie gross wäre dann das Potenzial eines Punktes auf der Erdoberäche? (V =
0 im Unendlichen.)1
Aufgabe 10.4
a) Wir modellieren ein Wasserstoatom vereinfacht als Kern der Ladung +e mit einem
Elektron der Ladung −e, das im Abstand aB = 0.53 × 10−10 m um den Kern
kreist. Berechne die kinetische sowie die potenzielle Energie des Elektrons in eV
und bestimme daraus die Ionisierungsenerige des Wasserstoatoms.
Das Elektron kreist aber in Realität nicht um den Kern, sondern ist als Welle über
den ganzen Raum verteilt mit einer ortsabhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit (siehe
Physik II). Die daraus resultierende Ladungsdichte des Elektrons im Wasserstoatom ist
gegeben durch ρ(~r) = A exp(−2|~r|/aB ).
b) Bestimme die Konstante A mit Hilfe der Bedingung, dass die Gesamtladung des
Elektrons −e beträgt.
c) Ermittle die Stärke des gesamten elektrischen Feldes (Elektron und Kern) als Funk-
tion des Kernabstandes R. In welche Richtung zeigt das Feld? Nutze dazu die
Kugelsymmetrie der Raumladungsdichte ρ.
d) Bestimme das elektrische Potenzial im Abstand aB zum Kern, wobei das Potenzial
im Unendlichen null ist.
R∞
B)
B +x
Hinweis2 : x exp(−2R/a
(1 + 2R/aB + 2R2 /a2B )dR = exp(−2x/aB ) axa
.
R2
B
Aufgabe 10.5
Mit einem Geiger-Müller-Zählrohr, auch nur Geiger-Zähler genannt, kann ionisierende
Strahlung gemessen werden.3 Dazu wird ein dünner Draht (r0 = 0.5 µm) axial durch ein
Metallrohr (R = 2 cm) gespannt. Zwischen Draht und Rohr wird eine Spannung U angelegt, wodurch der Draht eine Ladung +Q und das Metallrohr die Landung −Q erhält.
Durch ein strahlungsdurchlässiges Fenster können ionisierende Teilchen/Strahlen in das
Rohr gelangen. Bei geeigneter Energie ionisiert ein solches Teilchen ein Atom im Innern.
Das dadurch ionisierte Atom und das frei gewordene Elektron werden durch das angelegte
elektrische Feld beschleunigt, bis sie mit einem weiteren Atom kollidieren. Die mittlere
freie Weglänge s (der durchschnittliche Weg zwischen zwei Stössen) beträgt typischerweise 100 nm. Gewinnen die Elektronen (Ionen) auf dieser Strecke bereits wieder genügend kinetische Energie um weitere Atome zu ionisieren ( 30 eV), so kann sich eine Lawine geladener Teilchen bilden, die vom Draht (Metallrohr) angezogen werden. Dadurch
entsteht ein messbarer Strompuls.
a) Berechne das elektrische Feld E(r) unter der Annahme, dass die Länge l des Rohres/Drahtes
viel grösser ist als R. Drücke es insbesondere als Funktion von r, r0 und E0 := E(r0 )
aus.
Figure 2: Schematischer Aufbau eines GeigerMüllerZählrohrs (siehe Aufgabe 5).
b) Zeige, dass die Spannung U zwischen einem Punkt auf der Oberäche des Drahtes
und einem Punkt im Abstand r zur Rohrachse gegeben ist durch U (r) = E0 r0 ln(r/r0 ).
c) Welche elektrische Feldstärke E0 wird folglich benötigt, um eine lawinenartige Ladungsfreisetzung von Elektronen zu ermöglichen, wenn das erste Atom im Abstand r
von der Rohrachse ionisiert worden ist? Wir betrachten hier nur einfach ionisierte
Teilchen.
d) Der Geiger-Zähler soll alle einfallenden Teilchen, die höchstens einen Abstand ra =
2 µm von der Rohrachse haben, messen können. Wie gross muss folglich die Feldstärke sein? Welche Spannung U muss angelegt werden?
1 Anmerkung:
nummerische Werte können bei den Online-Aufgaben variieren.
geneigte Leser sei angehalten, dies zu verizieren. . .
3 Ionisierende Strahlung vermag aufgrund ihrer hohen Energie Materie beim Durchdringen zu ionisieren. Zur ionsierenden Strahlung gehören die kosmische Strahlung (schnelle geladene Teilchen), die
Röntgenstrahlung (durch Prozesse in der Elektronhülle entstanden) und die (unzutreend) als radioaktive Strahlung bezeichnete α, β und γ Strahlung, die bei verschiedenen Kernprozessen vom Atomkern
emittiert wird. Bei der αStrahlung (He2+ Kerne) bzw der β Strahlung (Elektronen) handelt es sich um
Teilchenstrahlung. γ Strahlung dagegen ist wie die Röntgenstrahlung ein Bereich des elektromagnetischen Spektrums und überlappt sich mit dieser. Die beiden werden aufgrund ihrer Herkunft unterschieden
(Röntgenstrahlung: Elektronenhülle, Gammastrahlung: Atomkern).
In Physik II wird gezeigt, dass es einen sogenannten WellenTeilchenDualismus gibt, d.h. je nach Experiment zeigen Licht, Röntgen und Gammastrahlung nicht Wellen-, sondern Teilchenverhalten, während
α und β Teilchen sich nicht immer wie Teilchen, sondern unter bestimmten Bedingungen auch wie
Wellen verhalten.
2 Der