Kapitel 7 Hamiltonsches Prinzip

Kapitel 7
Hamiltonsches Prinzip
Kapitel 1 und 2 waren der Beschreibung von Bewegungen, der Kinematik gewidmet. Dabei wurde die Bewegung eines Teilches als gegeben betrachtet und die
Frage nach der Ursache der Bewegung wurde nicht gestellt. Dies ist die Aufgabe
der Dynamik, die die Änderung der gleichförmigen Bewegung auf Wechselwirkungen zwischen Teilchen und Feldern zurückführt, die als Kräfte beschrieben
werden. In der klassischen Mechanik wurde dieser Zusammenhang das erste Mal
in den Newtonschen Gesetzen formuliert. Wenn das zweite Newtonsche Gesetz in
der Form
F = mr̈r
(7.1)
geschrieben wird, erhält man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die es
erlaubt, die Position r (t) eines Teilchens zu jedem beliebigen Zeitpunkt t in der
Zukunft oder in der Vergangenheit aus einem Satz von Anfangsbedingungen r (t0 )
und ṙr (t0 ), dem Ort und der Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit t0 , zu
bestimmen. Die Kraft F muss dabei an jedem Ort und zu jeder Zeit bekannt
sein.
Das zweite Newtonsche Gesetz kann man als differentiellen Ansatz ansehen,
bei dem die Bahnkurve eines Teilchens dadurch berechnet wird, dass man die infinitesimale Änderung von Ort und Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt
bestimmt. Ein anderer Weg, die Bahnkurve zu berechnen, den man als integralen
Ansatz bezeichnen könnte, besteht darin, zu untersuchen, wie sich der Wert eines
Funktionals F [rr (t)] ändert, wenn die Bahnkurve r (t) variiert wird. Üblicherweise
versucht man, für gegebene Wechselwirkungen, ein solches Funktional zu finden,
das für die richtige Bahnkurve, also die Bahnkurve die tatsächlich durchlaufen
wird, extremal wird. Solche Variationsprinzipien haben in der Physik eine lange Tradition. Der antike Mathematiker Heron von Alexandria formulierte etwa
um die Zeitenwende ein Prinzip des kürzesten Weges für die Ausbreitung von
Lichtstrahlen, um die Reflektion an Spiegeln zu erklären. Der arabische Mathematiker al-Haitham (965 bis etwa 1040) hat dieses Prinzip 1021 in ein Prinzip der
kürzesten Zeit umformuliert, um auch die Brechung von Lichtstrahlen zu erklären.
Der französische Mathematiker Pierre de Fermat (etwa 1600 bis 1665) formulierte
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Abbildung 7.1: Brechung von Lichtstrahlen an Grenzflächen.
das Prinzip der kürzesten Zeit 1662 in seiner modernen Form als Extremalprinzip,
und ihm zu Ehren wird es auch als Fermatsches Prinzip bezeichnet.
7.1
Fermatsches Prinzip
Im Rahmen der Wellenoptik lässt sich dieses Prinzip aus dem Huygenschen Prinzip ableiten, das besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront wieder Ausgangspunkt einer Kugelwelle ist. Wenn ein Weg für das Licht extremal ist (das heißt
die Zeit, die das Licht für diesen Weg benötigt, ist minimal oder maximal - oder es
liegt ein Sattelpunkt vor), dann ist die Laufzeit des Lichts auf diesem Weg in erster
Ordnung gleich der Laufzeit des Lichts auf dicht benachbarten Wegen. Der Phasenunterschied von Lichtstrahlen auf diesen benachbarten Wegen verschwindet
dann in erster Ordnung und es kommt zu konstruktiver Interferenz. Bei anderen
Wegen, die nicht extremal sind, weisen Lichtstrahlen auf benachbarten Wegen
einen Phasenunterschied auf, und es kommt zu destruktiver Interferenz.
Abbildung 7.1 veranschaulicht dies am Bespiel der Brechung an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher optischer Dichte. Für den
Lichtstrahl 3 wird die Laufzeit minimal, und der Phasenunterschied zwischen
Lichtstrahl 3 und 4 verschwindet, so dass diese Strahlen konstruktiv interferieren. Die Lichtstrahlen 1 und 2 können dagegen wegen eines Phasenunterschieds
destruktiv interferieren.
7.2
Interferenz
Betrachten wir ein mikroskopisches Teilchen, das durch eine Wellenfunktion ψ =
Aeiφ beschrieben wird. Wir nehmen an, dass sich die Welle ψ auf allen möglichen
Wegen ausbreitet, und dass es dabei zu destruktiver und konstruktiver Interferenz
kommen kann. Sowohl der Vorfaktor A als auch die Phase φ hängen von Ort r
und Zeit t ab. Der Einfachheit halber gehen wir aber davon aus, dass sich A
nur sehr langsam mit r und t ändert. Die Interferenz zwischen zwei Wellen, die
verschiedene Wege genommen haben, hängt dann nur von der Phase ab, die wir
in der Form
φ = k · r − ωt
(7.2)
56
schreiben. Dabei ist ω = 2πν die Kreisfrequenz und k der Wellenvektor mit dem
Betrag |k| = 2π/λ. Längs eines infinitesimalen Wegstückes dr ändert sich die
Phase dann um
dφ = k · dr − ω dt
(7.3)
Das Wegstück können wir in Abhängigkeit vom Impuls p = m dr/dt als dr =
vdt = pdt/m schreiben, wobei m die Masse des Teilchens ist. Für die Änderung
der Phase erhalten wir dann


1
k · p − ω dt .
(7.4)
dφ =
m
Um die Abhängigkeit der Phasenänderung von der Energie E und dem Impuls
p des mikroskopischen Teilchens zu erhalten, verwenden wir die Planckformel
E = h̄ω (mit h̄ = h/2π) und die de-Broglie-Wellenlänge λ = h/|p|. Für den
Impuls schreiben wir dann p = h̄k. Die Phasenänderung lautet dann


1 p2
− E dt .
(7.5)
dφ =
h̄ m
Identifizieren die Differenz aus kinetischer Energie (T = p2 /2m) und potentieller
Energie (V = E − T ) als Lagrange-Funktion L = T − V , dann folgt
dφ =
1
L dt .
h̄
(7.6)
Durch Integration über die Zeit erhalten wir dann die Phasendifferenz zwischen
den Zeitpunkten t1 und t2 :

1 t2
φ2 − φ1 =
L dt .
(7.7)
h̄ t1
Das Integral auf der rechten Seite von (7.7) bezeichnen wir als Wirkung
 t2
S=
L dt .
(7.8)
t1
Damit zwei Wellen konstruktiv interferieren können, müssen sie die gleiche Phasendifferenz φ2 − φ1 aufweisen, das heißt die Wirkung (7.8) muss gleich sein. Nehmen wir an, eine Welle nimmt einen Weg, für den die Wirkung extremal wird,
das heißt benachbarte Wege führen zu praktisch der gleichen Wirkung. In diesem
Fall wird sich die Welle mit allen Wellen, die auf benachbarten Wegen gelaufen
sind, konstruktiv interferieren, das heißt die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen auf
diesem Weg zu finden ist groß. Wenn die Wirkung sehr groß gegenüber h̄ ist, wie
das bei makroskopischen Teilchen der Fall ist, dann führen schon kleine Abweichungen von dem Weg mit extremaler Wirkung zu destruktiver Interferenz, und
das Teilchen ist nur längs einer scharf abgegrenzten Bahn zu finden.
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7.3
Hamiltonsches Prinzip
Ein Teilchen, dessen Bewegung auf die x-Achse beschränkt sei, befinde sich zum
Zeitpunkt t1 am Ort x1 und zur Zeit t2 am Ort x2 . Das Hamiltonsche Prinzip
besagt nun, dass es mindestens eine Funktion L(x, ẋ) gibt, so dass die Bahnkurve
x(t) zwischen diesen beiden Randpunkten derart verläuft, dass die Wirkung S,
die durch das Integral
 t2
L(x, ẋ, t) dt,
(7.9)
S=
t1
definiert wird, minimal wird, sofern die Zeitpunkte t1 und t2 nicht zu weit voneinander entfernt sind. Die tatsächlich durchlaufene Bahnkurve x(t) unterscheidet sich also von allen anderen Bahnkurven dadurch, dass sie zu einer kleineren
Wirkung S führt. Wenn wir die einschränkende Bedingung für die Länge des Zeitintervalls t2 − t1 weglassen wollen, müssen wir das Hamiltonsche Prinzip etwas
allgemeiner formulieren: die Wirkung wird dann für die tatsächliche Bahnkurve
stationär, das heißt es wird entweder die kleinstmögliche oder die größtmögliche Wirkung erzielt, oder aber die Wirkung hat eine Art von verallgemeinertem
Wendepunkt. Die Wirkung ist mathematisch gesehen ein Funktional, das heißt in
diesem Fall die Abbildung aus der Menge möglicher Bahnkurven auf die Menge
der reellen Zahlen. Obwohl in der Definition der Wirkung, (7.11), auch die Ge˙ auftaucht, verwenden wir nur die Bahnkurve x(t) als Argument
schwindigkeit x(t)
dieses Funktionals,
S = S[x(t)]
(7.10)
denn die Geschwindigkeit ẋ(t) wird eindeutig durch die Bahnkurve x(t) bestimmt.
Das Hamiltonsche Prinzip fordert nur die Existenz einer geeigneten Funktion
L, die wir im Folgenden als Lagrange-Funktion bezeichnen werden, sagt aber
nichts darüber aus, wie diese Funktion aussieht. Wir werden später allgemeine
Eigenschaften der Lagrange-Funktion festlegen. Wie diese aber genau aussieht,
hängt von den betrachteten physikalischen Objekten ab, die untersucht werden,
und von den Wechselwirkungen zwischen diesen Objekten.
Wir können das Hamiltonsche Prinzip leicht für die Bewegung eines Teilchens
im dreidimensionalen Raum verallgemeinern, indem wir in (7.9) die x-Koordinate
durch den Ortsvektor r ersetzen. Die Wirkung lautet dann

t2
S=
L(r, ṙ, t) dt .
(7.11)
t1
7.4
Bewegung im unbeschleunigten System
Betrachten wir als Beispiel die kräftefreie Bewegung einer einzelnen, punktförmigen Masse m. Wenn wir uns speziell in einem Inertialsystem befinden, schreiben
58
Abbildung 7.2: Verlauf der Geschwindigkeit für einen freien Massenpunkt.
wir die Lagrangefunktion versuchsweise als Differenz L = T − V zwischen der kinetischen Energie T und der potentiellen Energie V . Im Abschnitt (??) finden wir
einige Gründe für diese Wahl. Die potentielle Energie können wir in diesem Fall
gleich Null setzen, so dass die Lagrangefunktion gleich der kinetischen Energie
ist,
m
(7.12)
L = v2 .
2
Befindet sich das Teilchen zu den Zeitpunkten t1 und t2 an den Orten r1 und r2 ,
dann ist die Wirkung durch

m t2 2
S=
v dt
(7.13)
2 t1
gegeben. Intuitiv kann man schon erkennen, dass die rechte Seite von (7.13) minimal wird, wenn die Geschwindigkeit
konstant ist und damit gleich der Durcht
schnittsgeschwindigkeit v = t12 v dt. Jede Abweichung von der Durchschnittsgeschwindigkeit macht das Integral nur größer aber nie kleiner. Diese intuitive
Erwartung lässt sich auch ohne großen Aufwand beweisen, indem wir die Wirkung in zwei Summanden aufspalten,

m t2 2
v dt
(7.14)
S =
2 t1


m t2  2
S =
−v + v2 + v2 dt
2 t1


m t2  2
S =
−v + 2vv + (v − v)2 dt
2 t1

m
m t2
2
S =
(t2 − t1 )v +
(v − v)2 dt ,
2
2 t1
von denen der erste Summand konstant und der zweite entweder größer als Null
ist oder gleich Null ist. Der zweite Fall tritt ein, wenn sich der Massenpunkt zu
jedem Zeitpunkt mit der konstanten Durchschnittsgeschwindigkeit v bewegt. Die
geradlinig-gleichförmige Bewegung, r(t) = r1 + (t − t1 )v, ist also genau die Bahnkurve, die die Wirkung (7.13) des kräftefreien Massenpunktes minimiert. Diese
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Bahn, die gerade Verbindung, ist gleichzeitig auch der kürzeste Weg, den der
Massenpunkt von r1 zu r2 nehmen kann. Hier sehen wir eine Analogie zum Fermatschen Prinzip, nach dem das Licht sich in Bereichen mit konstanter Lichtgeschwindigkeit den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten wählt. Für den einfachen
Spezialfall der kräftefreien Bewegung eines Massenpunktes haben wir gesehen,
dass das Hamiltonsche Prinzip zum gleichen Ergebnis führt wie die Newtonsche
Mechanik. Später werden wir sehen, dass dies für alle mechanischen Systeme gilt.
7.5
Bewegung im beschleunigten System
Das Hamiltonsche Prinzip gilt auch in Nicht-Inertialsystemen. Allerdings müssen
wir dann die Lagrangefunktion entsprechend transformieren. Bleiben wir bei dem
einfachen Beispiel der kräftefreien Bewegung eines einzelnen Massenpunktes, den
wir aber diesmal in einem Koordinatensystem S’ beschreiben wollen, das gegenüber dem ursprünglich gewählten Inertialsystem konstant mit a beschleunigt
ist. Die Koordinaten im beschleunigten System S’ lauten dann
1
r = r′ + at2
2
und v = v′ + at ,
(7.15)
sofern die Geschwindigkeit klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist, und wir
die Galilei-Transformation anwenden dürfen. Wenn wir den Ausdruck für v aus
Gleichung (7.15) in die Lagrangefunktion (7.12) einsetzen, erhalten wir für die
Lagrangefunktion L′ im beschleunigten System
m
m
L′ (v′ ) = L(v) = v2 = (v′ + at)2
(7.16)
2
2
Wie wir im folgenden Abschnitt zeigen werden, führt diese Lagrangefunktion im
beschleunigten Koordinatensystem S’ auf die beschleunigte Bewegung
v′ = v − at
(7.17)
wie wir es entsprechend der Transformationsgleichungen (7.15) erwarten.
7.6
Verallgemeinerte Koordinaten
Bisher haben wir ausschließlich kartesische Koordinaten für die Beschreibung
physikalischer Gesetze verwendet. Bei vielen physikalischen Gesetzen wird die
Formulierung durch die Wahl der Koordinaten bestimmt. Das Hamiltonsche Prinzip dagegen, in seiner kürzesten Form durch
δS = 0
(7.18)
wiedergegeben, ist offenbar unabhängig von der Wahl der Koordinaten, die wir
erst benötigen, wenn wir die Wirkung S explizit beschreiben wollen. Auch wenn
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die Wirkung im Allgemeinen keine messbare Größe ist, nehmen wir doch an,
dass die Wirkung unabhängig von der Wahl der Koordinaten sein soll, da sonst
auch die Bewegungsgleichungen von der Wahl der Koordinaten abhängen würden.
Die Tatsache, dass die Wirkung S nicht eindeutig ist, dass also verschiedene
Wirkungen auf die gleiche Bewegungsgleichung führen können, ändert an dieser
Betrachtung nichts.
Um nun die Schlussfolgerungen aus dem Hamiltonschen Prinzip so allgemein
wie möglich zu halten verwenden wir im Folgenden wo es möglich ist verallgemeinerte Koordinaten (auch generalisierte Koordinaten genannt). Dies gibt uns
die Möglichkeit im konkreten Einzelfall solche Koordinaten zu verwenden, die eine möglichst einfache Beschreibung des konkret betrachteten Systems erlauben.
Dies werden in der Regel Koordinaten sein, die die Symmetrien des Problems
widerspiegeln. Bei Zentralkräften wie der Coulomb- oder der Gravitationskraft,
die spährisch symmetrisch sind, also nur vom Abstand zum Zentrum abhängen,
sind dies beispielsweise die Kugelkoordinaten r, θ und φ.
Betrachten wir ein System aus N Massenpunkten, das durch die 3N kartesischen Koordinaten xi (i = 1, . . . , 3N ) und die dazugehörigen kartesischen Geschwindigkeiten ẋi beschrieben wird. Wenn wir dieses System gleichwertig durch
3N verallgemeinerte Koordinaten qj und verallgemeinerte Geschwindigkeiten q̇j
beschreiben können, dann müssen die verallgemeinerten Koordinaten durch eineindeutige (oder bijektive) Funktionen fj aus den kartesichen Koordinaten erhalten lassen:
qj = fj (x1 , . . . , x3N , t) mit j = 1, . . . , 3N .
(7.19)
Da die Funktionen fj bijektiv sein sollen, muss es Umkehrfunktionen gj geben,
mit deren Hilfe man die kartesischen Koordinaten aus den verallgemeinerten Koordinaten erhält:
xj = gj (q1 , . . . , q3N , t) mit j = 1, . . . , 3N .
(7.20)
Die verallgemeinerten Geschwindigkeiten q̇ erhalten wir durch Ableitung von
(7.19) nach der Zeit:
q̇j =
dfj
dt
mit j = 1, . . . , 3N .
(7.21)
Durch Anwendung der Kettenregel folgt daraus
q̇j =
3N

∂fj ∂xi
i=1
∂xi ∂t
+
∂fj
∂t
mit j = 1, . . . , 3N
(7.22)
mit j = 1, . . . , 3N .
(7.23)
oder
q̇j =
3N

∂fj
i=1
∂xi
ẋi +
∂fj
∂t
61
Die verallgemeinerten Geschwindigkeiten q̇j hängen also von den kartesischen
Koordinaten xi und von den kartesischen Geschwindigkeiten ẋi ab. Das Entsprechende gilt auch für die kartesischen Geschwindigkeiten:
ẋi =
3N

∂gi
j=1
∂qj
q˙j +
∂gi
∂t
mit i = 1, . . . , 3N .
(7.24)
Als besonders einfaches Beispiel betrachten wir die Beschreibung eines Massenpunktes, der sich in der x-y-Ebene bewegt, durch Polarkoordinaten r und φ.
Die Transformationsgleichungen für die Koordinaten lauten
y

(7.25)
r = x2 + y 2 und φ = arctan
x
sowie
x = r cos φ und y = r sin φ .
(7.26)
Für die verallgemeinerten Geschwindigkeiten erhalten wir nach (7.23)
xẋ + y ẏ
ṙ = 
x2 + y 2
und φ̇ = −2
y ẋy + xẏ
.
x x2 + y 2
(7.27)
Umgekehrt gilt für die kartesischen Geschwindigkeiten
ẋ = ṙ cos φ − rφ̇ sin φ und ẏ = ṙ sin φ + rφ̇ cos φ .
7.7
(7.28)
Lagrange-Gleichungen
Für ein System, das durch N verallgemeinerte Koordinaten qi beschrieben wird,
lässt sich das Wirkungsintegral (7.11) wie folgt verallgemeinern:
 t2
S=
L(q1 , . . . , qN , q̇1 , . . . , q̇N , t) dt .
(7.29)
t1
Gesucht sind jetzt (als verallgemeinerte Bahnkurve) N Funktionen qi (t), für die
die Wirkung S extremal wird. Diese Funktionen sind durch N gekoppelte Differentialgleichungen bestimmt, die als Lagrange-Gleichungen (oder genauer als
Lagrange-Gleichungen 2. Art) bezeichnet werden:
 
d ∂L
∂L
−
= 0 mit i = 1, . . . , N .
(7.30)
dt ∂ q̇i
∂qi
Diese Lagrange-Gleichungen sind nichts anderes als die Verallgemeinerung der
Euler-Lagrange-Gleichung (6.19) auf N Koordinaten angewandt auf das Minimierungsproblem δS = 0 für die in (7.29) definierte Wirkung. Ebenso wie das
Hamiltonsche Prinzip sind auch die Lagrange-Gleichungen unabhängig von der
Wahl der Koordinaten.
Um das Verhalten eines physikalischen Systems im Ablauf der Zeit zu beschreiben, können wir nach dem folgenden Schema vorgehen:
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• Zunächst muss die (oder besser eine) für das System passende LagrangeFunktion gefunden werden. Durch diesen Schritt ist physikalische Beschreibung des Systems bereits festgelegt.
• Mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen werden dann die Bewegungsgleichungen aufgestellt.
• Im letzten Schritt müssen die Bewegungsgleichungen gelöst werden, was
häufig nur näherungsweise oder nur mit numerischen Verfahren möglich
ist.
7.8
Zusammenfassung
Das Hamiltonsche Prinzip besagt, dass sich die Bahnkurve, die ein Teilchen
durchläuft, durch die Variation eines Funktionals bestimmen lässt. Ein solches
Funktional ist die Wirkung

t2
S=
L(x, ẋ, t) dt ,
(7.31)
t1
die durch Integration einer (nicht notwendigerweise eindeutigen) LagrangeFunktion L festgelegt wird. Für die tatsächlich durchlaufene Bahnkurve x(t) liefert das Funktional der Wirkung einen extremalen Wert, so dass die Variation
der Wirkung für diese Bahnkurve verschwindet:
δS = 0 .
(7.32)
Das bedeutet, dass kleine Änderungen der Bahnkurve in erster Näherung die
Wirkung nicht ändern. Unterstellt man dem Teilchen Wellencharakter, dann interferieren benachbarte Bahnkurven konstruktiv.
Um für ein konkretes Problem die Bahnkurve zu bestimmen, muss eine passende Lagrange-Funktion gefunden werden, die alle Wechselwirkungen des Teilchens
mit seiner Umgebung berücksichtigt. Die Suche nach der richtigen LagrangeFunktion ist gleichwertig mit der Suche nach physikalischen Gesetzen zur Beschreibung von Wechselwirkungen, denn diese Gesetze lassen sich mit dem Variationsprinzip δS = 0 aus der Lagrange-Funktion gewinnen.
Wir vermuten, dass sich die Lagrange-Funktion in vielen Fällen als Differenz
aus kinetischer und potentieller Energie schreiben lässt:
L=T −V .
(7.33)
Für ein freies Teilchen in einem Inertialsystem führt diese Vermutung zum ersten
Newtonschen Gesetz.
63
Das Hamiltonsche Prinzip lässt sich auch auf Nichtinertialsysteme anwenden. In diesen Fällen muss die Lagrange-Funktion entsprechend der Beschleunigung des Bezugssystem angepasst werden, was gleichwertig zur Einführung von
Trägheitskräften für Nichtinertialsysteme ist.
Das Hamiltonsche Prinzip ist auch unabhängig von der Wahl der Koordinaten.
Beschreibt man ein System durch einen beliebigen Satz von verallgemeinerten
Koordinaten qi , lautet die Wirkung
 t2
L(q1 , . . . , qN , q̇1 , . . . , q̇N , t) dt .
(7.34)
S=
t1
Die Bedingung, dass die Variation dieser Wirkung für eine bestimmte N dimensionale Bahnkurve (q1 (t), . . . , qN (t)) verschwindet, ist äquivalent zu den
N Lagrange-Gleichungen für die verallgemeinerten Koordinaten:
 
∂L
d ∂L
= 0 mit i = 1, . . . , N .
(7.35)
−
dt ∂ q̇i
∂qi
64