Aufgaben Lineare Algebra I, Wintersemester 2012/2013 6. Serie (12

Aufgaben Lineare Algebra I, Wintersemester 2012/2013
6. Serie (12-11-12)
(i)
(ii)
Zeigen Sie, die Menge Z2 aller Paare ganzer Zahlen ist mit den Operationen
(a,b) + (a’’,b’’) := (a+a’’, b+b’’)
(a,b)u(a’’,b’’) := (aa’’-bb’’,. ab’’+a’’b)
ist ein kommutativer Ring mit 1. Finden Sie alle Einheiten dieses Rings.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe Ihrer Schulkenntnisse zu den Winkelfunktionen, jede
komplexe Zahl z läßt sich in der Gestalt
z = au(cos q + iusin q)
schreiben mit reelen Zahlen a und q, wobei a *0 gilt. Beschreiben Sie, in
welchem Maße die Zahlen a und q durch die komplexe Zahl z festgelegt sind.
Zeigen Sie insbesondere, es gilt
a = |z|.
Anmerkung: die Zahl q heißt Argument der komplexen Zahl z.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe Ihrer Schulkenntnisse zu den Winkelfunktionen, für
komplexe Zahlen
z = au(cos q + iusin q) und w = bu(cos s + iusin s)
gilt
zuw = abu(cos (q+s) + iusin(q+s)).
(c) Geben Sie für die Aussage von (b) eine geometrische Interpretation an.
(iii) Sei h: H H H ein R-Algebra-Homomorphismus. Beweisen sie für jedes
Quaternion q P H die folgenden Aussagen.
(a) h(q) ist rein, falls q rein ist.
(b) h(%
q ) = %%%
h(q).
(c) |h(q)| = |q|
Lösungen:
Zu (i)
Hinweis: Man kann sich etwas Arbeit ersparen, indem man die Abbildung
Z2 H C2, (a, b) U a + bi,
betrachtet. Das Bild dieser Abbildung heißt Ring der ganzen Gaußschen Zahlen.
Zu (iii)(a)
Ist q ein reines Quaternion, so ist q2 reell und ) 0. Weil h ein R-AlgebraHomomorphismus ist, gilt damit
h(q)2 = h(q2) = q2.
Also ist h(q)2 reell und ) 0. Dann ist aber h(q) ein reines Quaternion.
Zu (iii)(b)
Wir schreiben q in der Gestalt
q=r+_
mit einer reellen Zahl r und einem reinen Quaternion _. Dann gilt
%
q =r-_
also
h(%
q ) = h(r) - h(_) (weil h ein Homomorphismus ist)
= r - h(_)
(weil h ein R-Algebra-Homomorphismus ist)
Nach (a) ist mit _ auch h(_) ein reines Quaternion. Also gilt
h(%
q ) = r%%%%%%
+ h(_ ) (nach Definition der Konjugation)
%%%%%%
= h(r
+ _ ) (weil h ein R-Algebra-Homomorphismus ist)
= %%%
h(q)
(nach Definition von r und _)
Zu (i)(c)
Es gilt
|h(q)|2 = h(q):%%%
h(q)
(nach Definition des Betrags)
%
= h(q):h(q ) (nach (b))
= h(q:%
q)
(weil h ein Homomorphismus ist)
2
= h(|q| )
(nach Definition des Betrags)
2
= |q|
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil |q|2 reell und h ein R-AlgebraHomomorphismus ist. Wir haben gezeigt:
|h(q)|2 = |q|2
Weil |h(q)| und |q| nicht-negative reelle Zahlen sind, folgt
|h(q)| = |q|.