QM: Eindimensionale Systeme und Atomphysik

5.
Quantenmechanik in einer Dimension
S.G.:
ℏ 2 d 2ψ
−
+ U (x ) ⋅ ψ (X) = E ⋅ ψ (X)
2m dx 2
„Eigenwertgleichung“ mit „Eigenwert“ E und „Eigenzustand“ Ψ
5.1.
Kastenpotentiale („eingesperrte Quantenteilchen“)
→ keine Kraft, außer an Wänden
x = 0 und x = L
→ Bezugspunkt für E pot = U ist
das innere des Kastens!
U 0 = ∞ , also eine „unendlich harte“ Wand
Fall 1:
in den Wandbereich ist
keinerlei „Eindringen“ möglich. Dann muss gelten
1.)
2.)
ℏ2
S.G. für 0 ≤ x ≤ L
Ψ ′′ ( x ) = − E ⋅ Ψ ( x )
2m
Ψ (x) = 0
für x ≤ 0 und x ≥ L „Randbedingungen“
L
3.)
∫ Ψ (x)
2
dx = 1
Normierung der Wellenfunktion.
0
⇒
Lösungen:
2
⋅ sin ( kx ) erfüllen 1.) und 3.), aber nur mit
L
π
k = k n = n ⋅ , also Quantenzahlen k auf diskretem Raster wird auch 2.) erfüllt!
L
Ψk ( x ) =
Dazu dann
E k = Ekn = En =
ℏ 2 k 2n ℏ 2 π2 2
=
⋅ n , mit n = 1, 2, 3, …
2m 2mL2
Die Wellenfunktionen sind also stehende Wellen mit jeweils einem Knoten
(= Nullstelle) an den Wänden und (n-1) Knoten im Inneren des Kastens.
67
siehe Materialien: das Elektron im Kasten
Fazit:
1.)
2.)
Randbedingung erlaubt die Abzählung der Quantenzustände mit
π
Quantenzahl k n auf einem regelmäßigem Raster mit Weite
L
Das Termschema E n ist nach oben gespreizt ( ∼ n 2 ) ;
vgl. H-Atom : Spreizung nach unten ∼ −
3.)
Selbst die kleinste Energie E1 =
1
n2
ℏ 2 π2 1
⋅ ≠ 0:
2m L2
1
.
L2
Resultat der Unschärfebeziehung:
ℏ
1
2
∆x ≈ L ⇒ ∆p x ≥ ⇒ E ∼ ∆p ∼ 2
L
L
Nullpunktenergie ∼
generell!
Fall 2: U 0 endlich und a) E < U 0 :
1.)
für 0 < x < L wie oben Ψ k ( x ) = c1 sin ( k ⋅ x − ϕ )
2.)
aber
für x < 0 und x > L :
−
2m
ℏ2
Ψ ′′ = − ( U 0 − E ) ⋅ Ψ oder Ψ ′′ = 2 ( U 0 − E ) ⋅ Ψ
2m
ℏ
1
ℓ 2E
>0
Das kennen wir auch schon:
Lösung:
und analog 3.):
Ψ ( x ) = c2 ⋅ e
Ψ ( x ) = c3 ⋅ e
−
−
(−x)
ℓE
x −L
ℓE
für x < 0
für x > L
Ψ , Ψ ′ stetig bei x = 0 und bei x = L
Die Randbedingungen sind jetzt:
Das ergibt wieder ein Raster für k = k n = ... und eine Energiequantisierung E n .
+∞
Aus der Normierungsbedingung
∫
Ψ n ( x ) dx = 1 sowie der Stetigkeit von Ψ , Ψ ′
2
−∞
bei 0 und L folgen die Konstanten c1, c2 ,c3 und ϕ .
68
b)
E > U0
λ=
Freie Teilchen mit lokaler Wellenlänge
h
h
h
=
=
!
p
2mk
2m ( E − U ( x ) )
siehe Materialien: das Elektron im Kasten !
Fazit:
1.)
Das Quantenobjekt im endlich hohen Kastenpotential dringt trotz E < U 0 in die
„verbotenen Bereiche“ x < 0 und x > L mit einer exponentiell abfallenden
1
2
Wahrscheinlichkeitsdichte ein. Die Eindringtiefe ( 2 - Abfall von Ψ ) ist
e
dabei ≈ ℓ E =
2.)
h / 2m
.
U0 − E
Für b) E > U 0 ergibt sich überall eine oszillatorische Wellenfunktion mit
2π
=k ∼
λ
⇒
E kin = E − U ( x )
Ψ ( x ) ist umso kurzwelliger je größer der Impuls bzw. die kinetische
Energie sind!
69
5.2.
Der Tunneleffekt
⇒
Alles wie oben, aber Bereiche III x > L+B und x < -B mit sind mit zu
berücksichtigen:
⇒ endliches Ψ ( x ) auch außerhalb der Potentialbarrieren;
⇒ Teilchen, die zunächst zwischen den beiden Potentialbarrieren eingesperrt
waren, werden „später“ mit einer „Tunnelwahrscheinlichkeit“
T∼e
−
B
ℓE
=e
−
2m
ℏ2
( U 0 − E ) ⋅B
auch außerhalb der Barrieren gemessen!
Beispiele:
α -Zerfall (Radioaktivität) später…
1.)
oder
2.)
e− in MOSFET – Kanal, durch eine dünne Isolationsschicht („Dielektrikum“)
von der Steuerelektrode (Gate) getrennt.
⇒
Elektronendichte im Kanal durch Steuerspannung USG einstellbar,
aber Tunneln durch Isolator ( SiO 2 ) muss vermieden werden
⇒ untere Grenze für B
3.)
Raster-Tunnelmikroskop zur Messung von Oberflächenprofilen
70
siehe Materialien: Der Tunneleffekt !
5.3.
Der harmonische Oszillator
Auch für Quantenobjekte gilt sehr oft das Hook’sche Gesetz F = − D ( x − x 0 ) , also das
Potential ( x 0 = 0 )
U(x) =
D 2
x .
2
Klassisch:
Oszillation x ( t ) = A ⋅ cos ( ωt − ϕ ) mit ω =
⇒
Jede Energie
D
und jeder Amplitude A ist möglich.
m
D 2 m 2 2
A = ω A = E ist möglich!
2
2
Was sagt S.G.?
−Ψ ′′ ( x ) +
mω2 2
x ⋅Ψ (x) = E ⋅Ψ (x)
2
U(x)
Ψ(x)
E2
E1
E0
x
1

E n =  + n  ℏω und Ψ n ( x ) mit n Knoten; n = 0,1,2,3,4,………………..
2

Fazit:
1.)
Es ergibt sich ein äquidistantes Termschema mit
∆E = E n +1 − E n = ℏω = ℏ D / m
→ Nur eine Spektrallinie für Übergänge zwischen „energetisch benachbarten“
Zuständen ( ∆n = 1 ).
Beachte:
71
Potentialanstieg ∼ x 2 , also sanfter als Kastenpotential ∼ ( x − L ) („ ∞ steiles
∞
Potential“), aber steiler als Coulombpotential im H-Atom ∼ x −1 („nach oben
sanfter werdendes Potential“)
ist gerade das Potential, bei dem das Termschema weder nach oben,
noch nach unten gespreizt ist!
2.)
Energieaufnahme der Schwingung ist wie bei e-m-Wellen nur in
charakteristischen Portionen ℏω möglich!
⇒ auch die Schwingungsmoden des harmonischen Oszillators bekommen in
diesem Sinne einen Teilchencharakter und heißen
→ Vibronen (Moleküle) oder Phononen (Festkörper).
Sprachgebrauch dazu: Falls für eine Oszillatormode der Zustand n/En vorliegt, sagt
man, das System enthält n Vibronen oder Phononen (in dieser speziellen Mode bzw.
von dieser speziellen Art).
72
Beispiel:
Molekülschwingungen (z.B. H 2 , N 2 , O2 rein kovalent oder HCl , CO, NO, … polar
gebunden)
→
Chemische Bindung wirkt für Atome mit Abstand r (Kern zu Kern!) wie Feder
d
mit Kraft F ( r ) = − U ( r ) .
dr
Ein typisches Potential dafür ist
6
  r0 12
 r0  
U ( r ) = U0 +   − 2 ⋅   
 r  
  r 
mit Minimum − U 0 bei r = r0 und heißt
„Lenard-Jones-Potential“.
In der Nähe des Minimums gilt immer eine Parabelnäherung:
U ( r ) ≈ U ( r0 ) +
oder mit ω =
D
2
( r − r0 )
2
D
m
mω2
2
U ( r ) = U ( r0 ) +
( r − r0 )
2
⇒
Ist mit U ( r0 ) als Bezugspunkt für die potentielle Energie und mit x = r − r0
als Auslenkung aus der Ruhelage identisch mit S.66
siehe Materialien: Das H2O-Molekül !
Beachte:
Je nach Komplexität und Symmetrie der Moleküle sind mehrere voneinander
unabhängige Auslenkungsmuster („Normalmoden“) möglich. Mit jedem ist eine
charakteristische Frequenz ωi und ein äquidistantes Termschema mit ∆E = ℏ ⋅ ωi
verbunden.
73
6.
Atomaufbau und chemische Elemente
6.1
Entartung
Betrachten wir nochmals das H-Atom:
E n = −E R ⋅
1
n2
sind die erlaubten Energien!
Beobachtung:
Für die erlaubte Energie E n sind unter Umständen g n verschiedene Wellen
(„Zustände“) möglich. Das nennt man eine Entartung mit dem Entartungsgrad g n .
⇒
Die g n „entarteten“ Zustände sind stets mit weiteren Quantenzahlen
unterscheidbar, die zusätzlich zur Energie scharf messbare Größen
charakterisieren.
Welche? → Das hängt von der Symmetrie des Problems ab!
Für Atome: → kugelsymmetrisches Potential
Atomare Quantenzahlen
1.)
n gem. Bohr / Sommerfeld (s.o.) Hauptquantenzahl
⇒ Zustände mit gleichen n bilden Schalen, alle mit Energie E n (bei H-Atom)
n=
2.)
1,
2,
3,
4,
…7
Name K,
L,
M,
N,
… Q - Schale
Nebenquantenzahl ℓ
Beschreibt den Betrag des Drehimpulses L (des Elektrons in seinem Orbit).
L = ℓ ( ℓ + 1) ⋅ ℏ ≈ ℓ ⋅ ℏ
Mögliche Werte, je nach n, sind:
ℓ = 0,.....n − 1
also
K-Schale
L-Schale
M-Schale
ℓ=0
ℓ = 0 und ℓ = 1
ℓ = 0,1, 2
Klassisch: Bahnexzentrizität
3.)
magnetische Quantenzahl
74
Beschreibt die Drehimpuls-Komponente längs einer (experimentell,
z.B. durch ein magnetisches Feld H ) ausgewählten Richtung ez .
Lz = mℓ ⋅ ℏ
Mögliche Werte, je nach ℓ , sind:
m ℓ = −ℓ, − ℓ + 1, ...0, ... ℓ − 1, ℓ
Also
s-Orbitale, ℓ = 0
⇒ mℓ = 0
p-Orbitale, ℓ = 1
⇒ m ℓ = −1, 0, 1
d-Orbitale, ℓ = 2
⇒ m ℓ = −2, − 1, 0, 1, 2
Klassisch: Bahnorientierung
Siehe Materialien / Die Orbitale des Wasserstoffatoms
4.)
Spinquantenzahl ms
Beschreibt die Eigendrehimpulskomponente s z längs einer
ausgewählten Richtung ez .
Sz = m s ⋅ ℏ
1
1
Mögliche Werte: ms = , ms = −
2
2
Beachte:
Für Elektronen ist stets der Betrag des Eigendrehimpulses
S = s ( s + 1) ⋅ ℏ =
11 
 + 1 ⋅ ℏ
22 
1
„Spinquantenzahl“ des Elektrons
2
Für andere Quantenteilchen ist s immer ganz oder halbzahlig, i.a. aber
1
≠
2
⇒s=
75
Beispiele:
Proton, Neutron: s = 1 2 mögliche ms dazu: + 1 2 , − 1 2 , also wie
Elektron
4
He - Atomkern (2 Protonen, 2 Neutronen): s = 0
ms = 0
N - Atomkern (7 Protonen, 7 Neutronen): s = 1 ms = −1, 0, +1
Photon
s = 1 (!)
14
Wichtige Unterscheidung:
s halbzahlig: „Fermionen“
s ganzzahlig: „Bosonen“
⇒ unterschiedliches statistisches Verhalten (s.u.)
Beispiel:
Entartungsgrad g n für die M-Schale (n = 3) von H-Atomen oder
wasserstoffähnlicher Ionen:
ℓ= 0
ℓ= 1
ℓ= 2
mℓ :
0
-1,0,1
-2,-1,0,1,2
ms :
±1/ 2
……
…………
n −1
n
n
i =0
i =1
i =1


 ⇒ g n = (1 + 3 + 5) ⋅ 2 = 18


Beachte: Allgemein gilt g n / 2 = ∑ 2i + 1 = ∑ 2 ( i − 1) + 1 = ∑ 2i − 1 = 2 ⋅ 12 n ( n + 1) − n = n 2
6.2
Das Pauli-Prinzip
Wolfgang Pauli, 1900 – 1958:
Zwei Elektronen (allgemein: „Fermionen“) können nie denselben Quantenzustand
besetzen, also dieselbe Wellenfunktion mit identischer Kombination aus
Quantenzahlen besitzen.
⇒ Schlüssel zum Aufbau der Atome:
„Ordnungszahl“
z = Anzahl von Protonen im Kern mit q = +e
⇒ z Elektronen mit q = −e
besetzen die z Elektronenzustände geringster Energie
z = 1… ≈ 100
⇒ Periodensystem der Elemente
Siehe Materialien / Elektronenstruktur der Elemente und / Periodensystem
76
Beachte:
1.)
2.)
Die Energieanordnung der Orbitale mit wachsendem z ist nicht streng nach
Schale (n) und „Unterschale“ ( ℓ )
→ „Übergangsmetalle“ (d-Orbitale werden „nachgefüllt“)
→ Lanthanoide, Actinide (f-Orbitale werden „nachgefüllt“)
Die ℓ -Entartung gibt es nur für ein reines Coulombpotential U ( r ) ∼ −
(H
+
, He ++ , Li 3+ ,...)
1
r
Für Mehrelektronensysteme sieht jedes e− eine Abschirmung des Kerns
durch alle anderen e− .
⇒ U ( r ) bleibt kugelsymmetrisch, ist aber ist nicht mehr ∼ −
1
!
r
⇒ Die ℓ -Entartung ist aufgehoben !
Fazit:
Die Entartungsgrade ergeben im Termschema der Atome das Periodensystem der
Elemente. ( → Chemie der Elemente !)
Restliche Chemie:
Quantenmechanik der Valenzelektronen in „Atomgruppierungen“:
a) Moleküle
Molekülphysik und –chemie, QM der
Molekülorbitale
b) priodische Atomverbäne
Festkörperphysik (siehe §8)
c) Fluide und Gläser
Kombinationen von a) und b) inklusive
Unordnung: sehr schwierig und erst
allmählich (mit steigender
Computerleistung) zugänglich!
77
Zusammenfassung: Pauli Prinzip und chemische Elemente
1.)
Für ein chemisches Element mit Ordnungszahl z im Periodensystem der
Elemente (PSE) ergibt sich die elektronische Struktur der Atome durch
Auffüllen der Quantenzustände mit z-Elektronen gemäß dem Pauli-Prinzip.
2.)
Unterschiedliche Auffüllung der möglichen Quantenzustände mit den z
Elektronen führt jeweils zu unterschiedlichen, die Gesamtheit aller Elektronen
umfassenden Zuständen. Die Auffüllung, die zu der geringsten Gesamtenergie
der Elektronen führt bildet den Grundzustand, die anderen Auffüllungen
entsprechen angeregten Zuständen. Die (Gesamt-)Zustände werden durch
Angabe der Elektronenkonfiguration, also der Auflistung der besetzten
Quantenzustände angegeben. Die Grundzustandskonfiguration ist oft im
PSE aufgelistet.
Beispiel:
Grundzustand des Kadmium (z = 48)
1s 2 2s 2 p 6 3s 2 p 6 d10 4s 2 p 6
4d10 5s 2
12 Valenzelektronen
36Elektronen in abgeschlossenen
Schalen / Unterschalen dem Edelgas Kr
entsprechend
oder in Kurzform:
[ Kr ] 4d10 5s2
3.)
Die Entartung g einer Elektronenkonfiguration ergibt sich durch die
Variabilität in den magnetischen Quantenzahlen m ℓ und ms .
Beispiel:
4.)
Cd Grundzustand:
g0 = 1
1. angeregter Z. [ Kr ] 4d10 5s 5p
g1 = g 5s ⋅ g5p = ( 2 ⋅1) ⋅ ( 2 ⋅ 3) = 12
2. angeregter Z. [ Kr ] 4d10 5s 5d
g 2 = g5s ⋅ g 5d = ( 2 ⋅1) ⋅ ( 2 ⋅ 5) = 20
Beachte: Die ℓ -Entartung des reinen Coulombpotentials ist aufgehoben!
Zurück zu Atomphysik / Periodensystem:
Wie ist der Entartungsgrad g n bestimmbar?
Strategie:
Die Entartung durch eine Störung von außen ( → meist inkl. Symmetrieerniedrigung!)
aufheben.
⇒ Aufspaltung des Termschemas zeigt g n .
Wichtigstes Beispiel ist der Zeeman-Effekt (s.u.).
78
6.3
Der Zeeman-Effekt
Orbitalbewegung der Elektronen um den Kern ≙ Strom in einer Leiterschleife ≙
magnetisches Moment des Elektrons aufgrund seiner Bahnbewegung.
e
µ L = Strom × Fläche = −
⋅L .
2m
Das gilt klassisch für jede beliebige rotierende Ladungsverteilung. Leicht einsehbar ist
es für ein Elektron auf einer Kreisbahn mit Umlaufzeit τ :
e
e
e ⋅ r ⋅ mv e ⋅ r 2πr e 2
⋅L =
⋅ r ×p =
=
= ⋅ πr = Strom x Fläche
2m
2m
2m
2 τ
τ
Spin der Elektronen ≙ …….
e
µS = −
⋅ 2s
2m
Spin bewirkt doppelt so großes magnetisches Moment wie klassisch erwartet!
→
⇒
folgt aus korrekter relativistischer Beschreibung des Elektrons: Paul Dirac, 1928
äußeres homogenes Magnetfeld mit Induktion B = B0 ⋅ ez = µ 0 H 0 ez bewirkt
zusätzliche potentielle Energie U B je nach Richtung von L und s :
e
⋅ ( L z + 2s z ) ⋅ B0
2m
Mit L z = m ℓ ℏ und s z = m s ℏ
U B = −µ ⋅ B = +
U B ( m ℓ , ms ) =
⇒
µB =
eℏ
⋅ ( m ℓ + 2ms ) ⋅ B0
2m
Zeeman-Aufspaltung ist proportional zum Magnetfeld und erlaubt damit eine
„Abzählung“ von m ℓ / ms - Zuständen!
eℏ
= 9, 27 ⋅10−24 J / T = 57,9 µeV / T heißt Bohrsches Magneton:
2m
Klassisch erwartetes µ für das Elektron als homogene Kugel mit L z = ℏ ;
gleichzeitig maximales Spin-Moment des Elektrons ( 2 ⋅1/ 2 = 1)
Für Konfiguration mit mehreren Elektronen in nicht-abgeschlossenen Unterschalen
bindet e− − e − -Coulombwechselwirkung die Elektronen zu einem Kollektiv
zusammen.
→
Quantisierung nach Gesamtdrehimpuls L = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ... und Gesamtspin
S = s1 + s2 + s3 + ...
79
Mögliche Quantenzahlen L und S gemäß Kombinationsregeln für Drehimpulse; für
die Summe aus zweien gilt:
L = ℓ1 + ℓ 2 , ℓ1 + ℓ 2 − 1 , ... ℓ1 − ℓ 2
mit M L = + L , L − 1 , ... − L
S = s1 + s 2 , s1 + s 2 − 1 , ... s1 − s 2
mit M S = +S , S − 1 , ... − S
Beachte: nach gleichem Prinzip
(i) Kopplung von Gesamt(bahn)drehimpuls L und Gesamtspin S zu Gesamtdrehimpuls
erzeugt die sog. Feinstrukturaufspaltung
aller Elektronen J = L + S
(ii) Kopplung von J und Spin I des Atomkerns zu Gesamtdrehimpuls
des Atoms F = J + I
erzeugt die sog. Hyperfeinstrukturaufspaltung
Beispiel hier:
Cd:
ℓ1 = 0 ℓ 2 = 1 → L = 1 mit g L = 3
[ Kr ]
4d10
5s 5p
abgeschlossen
L=0
S= 0
1 1
S= + =1mit gS =3 "Triplett"− Zustand
2 2
1 1
oder S= − = 0 mit gS =1 "Singulett"− Zustand
2 2
Für Singulett-Zustände (S = 0) kein Beitrag des Spins zum magnetischen Moment!
Damit im Magnetfeld nur Aufspaltung nach M L gemäß ∆E ML = µ B B0 M L :
Termschema
ohne
/
mit B ⇒ Aufspaltungen ∆E B = µ B ⋅ B0 ⋅1
Zusätzlich gelten „Auswahlregeln“ für optische Übergänge:
∆M L = 0 oder + / − 1
⇒ Aufspaltungen in drei Spektrallinien mit ∆ℏω = Aufspaltung ∆E im Termschema!
Caveat:
Wie oben gilt das nur für starke äußere Magnetfelder B, sonst sieht das e− mit
80
seinem Spinmoment µS ∼ S das viel stärkere Magnetfeld BL ∼ L , das von der
(scheinbaren) Kernbewegung um e− herum kommt. Dieser Effekt heißt Spin-BahnWechselwirkung. Er führt zu komplizierteren Aufspaltungen ∼ L ⋅ S der
Spektrallinien im Magnetfeld als oben für den Seemanneffekt diskutiert.
⇒ ca. 80 Jahre Spektroskopie für die Atomphysiker!
6.4.
Spinresonanz-Analytik
1.)
Elektronen-Spin-Resonanz (ESR) oder „Electron Paramagnetic Resonanz“
(EPR).
→ wichtige Methode für quantitative Analyse von Defekten/Spurenelementen
in Festkörpern/Flüssigkeiten.
Messprinzip:
Elektronen in (ggf. auch polaren) kovalenten chemischen Bindungen
(gepaart!) und abgeschlossenen Schalen:
S = Sges = 0 kein Gesamtspin
⇒ µS = 0 kein magnetisches Moment
aber: offene Bindungen („dangling bonds“), nicht abgeschlossene Schalen:
Sges ≠ 0 mit S ganz- oder halbzahlig, je nach Anzahl beteiligter Elektronen
⇒
Sz = m S ℏ
oft:
S=
⇒
µ z = ±2 ⋅
1
2
mit
mS = S, S − 1, ............. − S
mit mS = ± 1 2
eℏ 1
⋅ = ±µ B
2m el 2
Zeeman-Aufspaltung im Magnetfeld der Stärke B = Bz ist
U B = −µ z Bz = +µ B ( 2mS ) Bz .
zwei Zustände mit E = E 0 ± µ B Bz und
Aufspaltung ∆E = ±2 ⋅µ B Bz = 2 ⋅ 58 µeV / T ⋅ Bz . Photonen mit dazu passender
Energie werden resonant absorbiert:
81
Damit:
a)
Die Stärke des Mikrowellen-Absorptionssignals ist gegen einen
Standard kalibrierbar, da der Spin eine „universelle
Quanteneigenschaft“ der Elektronen ist.
→ Anzahl der Spins ist direkt messbar (Messgrenze heute, 2011: 1010
Spins)
→ daraus Spindichte cm −3 
b)
2.)
Die Genaue Bestimmung des Resonanzfeldes (typisch … ± 1 ‰)
erlaubt die Bestimmung der chemischen Umgebung des Elektrons, das
den Spin trägt!
Kernspinresonanz- (Magnetresonanz-) Tomografie
Gleiches Prinzip, aber jetzt angewandt auf magnetisches Moment des Spins
des Atomkerns!
Hintergrund:
Alle Atomkerne tragen einen charakteristischen Spin I (analog S ) mit der
ganz- oder halbzahlingen Spinquantenzahl I und Richtungsquantenzahlen
m I = − I , − I + 1,..., + I , sodass I z = m I ℏ .
Alle Kerne mit I ≠ 0 besitzen deswegen ein magnetisches Kernmoment
µ z,K = g K ⋅
eℏ
mI ,
2m p
mit dem
charakteristischen „Kern-g-Faktor“ g K und der Protonenmasse m p .
82
eℏ
= 5, 05 ⋅10−27 J / T = 32 neV / T heißt auch analog zum Bohrschen
2m p
Magneton „Kernmagneton“ (klassisches magnetisches Moment des Protons als
homogene Kugel mit I z = ℏ )
µK =
Beispiele:
I
gK
µ z, max
Li 4
3/2
+2,17
3 / 2 ⋅ 2,17 ⋅µ K
He 2
0
-
0
1
+0,404
1 ⋅ 0, 404 ⋅ µ K 0,404
1
0 1
n
½
-3,82
1,91 ⋅µ K
1
1
p0
½
+5,58
2,79 ⋅µ K
Kern *
„Lithium-7“
7
3
4
2
14
7
Neutron (radioaktiv)
Proton
N7
* zur Bezeichung s.u.
1
1
Das Proton ist der wichtigste Atomkern ( H 0 ) in der Medizintechnik, wegen der
Möglichkeit zur Kernspinresonanz!
Zeeman-Aufspaltung für Protonen=Wasserstoffatomkerne im Magnetfeld:
Übergangsfrequenz
mit hν = ℏω = ∆µ z Bz
ν = ∆E h = 26, 7 MHz T ⋅ B
≙ Präzessionsfrequenz
= g Pr oton µ K Bz ⋅ ∆m I = g Pr oton µ K Bz
1 für Pr oton
Beachte: Auch die Erde vollzieht als Kreisel eine solche Präzessionsbewegung mit einer
Periode von 25800 Jahren = 1 „Platonisches Jahr“.
Nette Animation dazu: http://www.mgf-kulmbach.de/material/gk/anfang/platon.htm!
Demonstrationsexperiment zur Spinresonanz: Kreisel mit magnetischem Moment
im Magnetfeld
83
Bildgebung:
1.)
Patient wird mit Hochfequenz-EM-Wellen fester Frequenz ν 0
„durchleuchtet“. Das definiert genau eine Magnetfeldstärke Bν0 für die
Resonanzabsorption der Protonen.
1.)
Ein supraleitender Magnet (erfordert Kühlung mit flüssigem He, 4K)
erzeugt ein homogenes und konstantes Magnetfeld der Stärke Bν0 . Mit
Hilfe von Gradientenspulen wird dazu ein zusätzliches Feld addiert,
das in genau einer Ebene =0 ist. Durch geeignete Ansteuerung der
Gradientenspulen kann diese Ebene gedreht und durch den Patienten
bewegt werden.
6.5.
2.)
Für jede Schicht wird dabei die Gesamt-Protonenzahl gemessen.
3.)
Daraus wird im Nachhinein im Computer ein 3D-Bild der
Protonenkonzentration rekonstruiert!
Röntgenstrahlung (Wilhelm Conrad Röntgen, 1895)
Erzeugung von Röntgenstrahlung (angelsächsisch: x-rays): Beschuss eines Metalls
(Anode) durch Elektronen mit Energien zwischen 5 und ca. 200 keV in einer
Vakuumröhre.
⇒
Die Energien der Elektronen in den Quantenzuständen − E n ∼ z 2 werden für
schwere Atome und innere Schalen − E n ∼ z 2 sehr groß (mit negativem VZ).
⇒
Übergänge zwischen Zuständen in inneren Schalen liegen im Bereich
hν ≈ 103 ...105 eV = 1...100 keV
⇒
Charakteristische Röntgenstrahlung, wenn inneres Elektron (Rumpf-Elektron)
durch e− -Stoß weggekickt wird und nachfolgend von einem e− aus einer
weiter außen liegenden Schale ersetzt wird.
Siehe Materialien / Röntgenstrahlung
Fazit: Bremsstrahlung und charakteristische Strahlung
durchdringen Materie und erlauben eine Bildgebung der inneren Struktur durch
Schattenwurf!
Daraus ergibt sich ihre überragende Bedeutung für Materialprüfung und Medizin!
84
Für die Röntgen-Kα- Linien kann die Photonenenergie mit sehr guter Genauigkeit aus
dem Bohrschen Atommodell vorhergesagt werden: Grund: das in die Lücke in der KSchale übergehende Elektron in der L-Schale sieht effektiv nur den Atomkern und das
eine noch weiter innen liegende 1s Elektron, das effektiv die Kernladung +z um eine
Elementarladung reduziert! Deswegen gilt wie bei wasserstoffähnlichen Atomen und
Ionen die Rydbergformel für den m=2 n=1 Übergang, also:
(
)
ℏωK α = E R ⋅ ( z − 1) 1 − 212 = 3 4 ⋅13, 6 eV ⋅ ( z − 1)
2
2
Das ist das Mosleysche Gesetz für die Photonenenergien der Kα -Linien der Elemente!
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