Lösungen der Übungsklausur 09

Lösungen der Übungsklausur 09
Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (WS07/08)
Wolfgang v. Soden ([email protected])
18. 12. 2007
Vorbemerkung 1: Kennzeichnen Sie jedes abgegebene Blatt rechts oben mit Ihren Namen.
Nehmen sie möglichst für jede Aufgabe (ab Nr. 7) ein eigenes Blatt.
Vorbemerkung 2: Skizzieren Sie zuerst Ihren Lösungsweg
Lösen Sie dann das Problem. Rechnen Sie dabei solange es geht algebraisch. Setzen Sie erst
möglichst spät konkrete Zahlen in Ihre Lösung ein.
I. Fragen
1 Newtonsche Gesetze (2 Punkte)
Aufgabentext
Folgt das 1. Newtonsche Gesetz aus dem 2. oder umgekehrt oder sind beide voneinander unabhängig?
Lösungsvorschlag
Die beiden Gesetze hängen zusammen.
Das 1. Newtonsche Gesetz ist ein Spezialfall des 2.
2 Fadenpendel (2 Punkte)
Aufgabentext
Zwei Fadenpendel stehen nebeneinander, eines mit 1m Länge, das andere mit 0,25m. Wie ist
das Verhältnis der Schwingungsdauer beider Pendel? Welches hat die kleinere?
Lösungsvorschlag
Die Periodendauern sind proportional zu den Wurzeln der Fadenlängen; das kürzere hat die
kleinere Periodendauer.
3 Wandimpuls (2 Punkte)
Aufgabentext
Ein Ball wird waagrecht gegen eine senkrechte Wand geworfen und elastisch reektiert. Seine
Masse sei 1kg und seine Geschwindigkeit 3m/s. Wie groÿ ist dabei die Impulsänderung der
Wand?
Lösungsvorschlag
Die Impulsänderung ist gleich der Impulsdierenz des Balles vor und nach der Reexion, also
2mv ; der Wert beträgt somit 6kgm/s = 6N · s.
Übungsklausur 09
vom 18. 12. 2007
1
c 2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden
Übungsklausur 09
2
Mechanik WS 2007-2008
4 Gleichgewicht (2 Punkte)
Aufgabentext
Was muss gelten, damit ein ausgedehnter Körper im Gleichgewicht ist?
Lösungsvorschlag
Die Summe aller Kräfte ist Null und die Summe aller Momente ist Null.
5 Spiegelung (2 Punkte)
Aufgabentext
Wie ändern sich die Koordinaten des Winkelgeschwindigkeitsvektors ω = (ωx ,ωy ,ωz ) bei Punktspiegelung am Ursprung, also wenn (x,y,z) übergeht in (x0 ,y 0 ,z 0 ) = (−x, − y, − z)?
Lösungsvorschlag
Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ändert sich bei Punktspiegelung am Ursprung nicht.
6 Potential (2 Punkte)
Aufgabentext
Was ist der Unterschied zwischen der Potentiellen Energie und einem Potential?
Lösungsvorschlag
Die Potentielle Energie gibt an, welche Lage-Energie ein System gespeichert hat, das Potential
gibt an, wie groÿ diese Lageenergie für eine Einheitsmenge ist.
II. Aufgaben
7 Ankerkette (4 Punkte)
Aufgabentext
Eine 15m lange Ankerkette der Masse 1500kg wird auf dem Schi aufgewickelt (Der Anker sei
verlorengegangen). Wieviel Arbeit ist dazu nötig?
Lösungsvorschlag
Die Wickelkraft ist das Restgewicht der noch nicht aufgewickelten Kette. Deshalb muss über
dieses integriert werden.
Vereinbarungen: L Länge der Kette; m Masse der Kette; ρl = m
L Massendichte pro Länge; g
Erdbeschleunigung.
Das Restgewicht der schon um s aufgewickelten Kette ist Gs = gρl (L − s)
RL
RL
2 L
2
Die Arbeit ist also W = s=0
Gs · ds = s=0 gρl (L − s)ds = gρl Ls − s2 = gρl L2
0
Der Zahlenwert ergibt sich zu W = 112,5kJ.
Übungsklausur 09
vom 18. 12. 2007
2
c 2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden
Übungsklausur 09
3
Mechanik WS 2007-2008
8 Bergfahrt (5 Punkte)
Aufgabentext
Ein Auto der Masse m = 1000kg beschleunigt vom Stand aus auf einer Bergstrasse mit konstanter Steigung von 10 % bis zu einer Geschwindigkeit v = 90km/h. Die Beschleunigung ist
konstant und dauert 15 s.
Wie groÿ ist die maximale Leistung des Automotors während dieser Testfahrt?
Reibungseekte seien zu vernachlässigen.
Lösungsvorschlag
Die Leistung P ergibt sich aus der Kraft und der Geschwindigkeit v (oder Kraft F mal Weg s
pro Zeit t) zu P = F · v .
Als Kraft wird benötigt die zum Beschleunigen entlang des Weges, also F1 = m · a, und die zur
Überwindung der Steigung des Weges, also Kompensation des Hangabtriebes F2 = m · g · sin α,
wobei α sich aus der Steigung des Weges ergibt zu α = arctan(0,1) = 5,71◦ ≈ 0,1rad
Die Gesamtkraft ist damit also F = F1 + F2 = m · a + m · g · sin α
Die Beschleunigung a ergibt sich aus der Maximal-Geschwindigkeit vmax und der Fahrzeit t zu
a=
vmax
t
Die Maximalleistung wird bei Maximalgeschwindigkeit
erreicht, also
Pmax = m · v
max
t
+ m · g · sin α vmax
Die Zahlenwerte hier eingesetzt ergibt dann Pmax = 66,7kJ/s = 66,7kW
10 Radioaktiver Zerfall (9 Punkte)
Aufgabentext
Ein ruhendes 238 U
Atom zerfällt in ein 234 Th Atom und ein 4 He Atom, wobei 4,2MeV freiwerden, die zur Beschleunigung der Zerfallsprodukte verwendet werden.
Welche Geschwindigkeiten haben die Zerfallsprodukte gleich nach dem Zerfall, also noch bevor
diese mit ihrer Umgebung in Wechselwirkung treten, in welche Richtungen zueinander iegen
die Teilchen und wie groÿ ist ihre Energie (in MeV)?
(Die Zahlen vor den Elementen geben die Anzahl der Nukleonen im betreenden Atom an. Ein
Nukleon habe die Masse u. 1 u = 1,66 · 10−27 kg ; 1eV = 1,6 · 10−19 J)
Lösungsvorschlag
Hier gilt der Energiesatz und der Impulssatz:
Vor dem Zerfall hat man die Freiwerdende Energie, nach dem Zerfall die Summe der kinetischen
Energien der Zerfallsprodukte
Vor dem Zerfall ist der Impuls Null, weshalb der Gesamtimpuls nach dem Zerfall auch Null
sein muss.
Dies bedeutet, die Impulse der beiden Zerfallsprodukte sind betragsmäÿig gleich groÿ und in
ihren Richtungen entgegengesetzt.
Dies in Formeln gebracht für den Impulssatz: 0 = mT · vT + mH · vH
Und für den Energiesatz: E = 12 mT vT 2 + 21 mH vH 2
Mithilfe des Impulssatzes lässt sich vT durch die Massen und vH ausdrücken zu vT = −mmHTvH
Dies in den Energiesatz eingesetzt E = 12 mT
und aufgelöst nach vH ergibt vH =
r
−mH vH
mT
2
+ 12 mH vH 2
2E
m
mH (1+ mH )
T
Entsprechend ergibt vT =
r
2E
m
mT (1+ m T )
H
Mit Zahlenwerten heiÿt dies vH = 14100km/s und vT = 241km/s
Die Energien sind EH = 4,13MeV bzw. ET = 0,07MeV.
Übungsklausur 09
vom 18. 12. 2007
3
c 2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden
Übungsklausur 09
4
Mechanik WS 2007-2008
9 Schlittenfahrt (5 Punkte)
Aufgabentext
Ein Schlitten der Masse 153 kg fährt bei guter Schneelage von der Spitze eines Hügel mit 5m Höhe einen Hang hinunter und bleibt dann nach dem Auslauf stehen. Die horizontale Entfernung
zwischen Hügelspitze und Auslaufende beträgt 50m . Wie groÿ ist der Gleit-Reibungskoezient
für den Schlitten auf Schnee? Was wäre die gröÿtmögliche Geschwindigkeit des Schlittens bei
extremster Hügelform?
Lösungsvorschlag
Da über die Neigung des Hanges keine Aussage gemacht wird, wird hier angenommen, dass a)
der Hang unendlich steil ist, also senkrecht, oder b) sich bis zum Auslaufende erstreckt, also
eine Steigung von 5/50 = 0,1 hat. Es wäre auch jede andere Steigung dazwischen möglich als
Rechengrundlage, nur wird dann das ganze komplizierter. In beiden Fällen wird die Potentielle
Energie, die am Anfang vorhanden ist, in Reibungsarbeit umgesetzt.
Vorbemerkung: m = Masse des Schlittens, h = Hügelhöhe, d = waagrechte Strecke, µ = Gleitreibungskoezient, g = Erdbeschleunigung, α = Winkel des Hangs gegen die Horizontale.
Fall a) α = π/2: Potentielle Energie Epot = mgh gleich Reibungsarbeit Wr = µ · mg · d woraus
sofort folgt µ = hd = 0,1.
In diesem Fall wird auch die gröÿtmögliche Geschwindigkeit erreicht. √Die Kinetische Energie
Ekin = 12 mv 2 ist gleich der Potentiellen Energie Epot = mgh, also v = 2gh = 10m/s
Fall b) α = arctan hd : Normalkraft N = mg cos α. Zurückgelegter Weg s = cosd α . Reibungsarbeit Wr = µ · N · s = µ · mg cos α · cosd α = µ · mg · d gleich Potentielle Energie Epot = mgh,
woraus wieder folgt µ = hd = 0,1.
11 Schwerpunkt (5 Punkte)
Aufgabentext
Wo bendet sich der Schwerpunkt des Systems Sonne und Erde? Gebe das Ergebnis auch in
Sonnenradien an!
Masse der Erde me = 3 · 10−6 · ms Masse der Sonne; Abstand Erde - Sonne d = 1,5 · 1011 m;
Erdradius Re = 6370km = 9,166 · 10−3 · Rs Sonnenradius
Lösungsvorschlag
Das System Erde-Sonne dreht sich um den gemeinsamen Schwerpunkt. Die Koordinaten des
Schwerpunkts ndet man über
Pn die Schwerpunktsformel für n Massen mi , die sich bei den Koi=1 mi · ri
ordinaten ri benden: rs = P
n
i=1 mi
Bei zwei Massen kann aus Symmetriegründen der Schwerpunkt nur auf der Verbindungsgeraden
der beiden Massenschwerpunkte liegen, die bei homogenen Kugeln ihrerseits in den Mittelpunkten der Kugeln liegen.
Am einfachsten setze man sich in den Schwerpunkt der Sonne und berechne dann über die
Schwerpunktsformel den gesuchten Schwerpunkt. Da er nur auf der Verbindungsgeraden zur
Erde liegen darf, genügt es, in diese Richtung zu schauen, also nur eine Vektorkomponente zu
e ·d
berechnen (die anderen sind dann 0): rs = msm· 0+m
s +me
Mit dem Verhältnis q der Erdmasse zur Sonnenmasse kann die Erdmasse durch die Sonnenmasse ausgedrückt werden (me = q · ms ), und anschlieÿend um diese gekürzt werden:
−6
q·d
· 1011 m = 450km
rs = mms s+q· q··mds = 1+q
und mit den gegebenen Zahlenwerte rs = 3 · 101+3· ·1,5
10−6
Das ist bei 0,65 Promille des Sonnenradius, also fast in deren Mittelpunkt.
Übungsklausur 09
vom 18. 12. 2007
4
c 2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden
Übungsklausur 09
5
Mechanik WS 2007-2008
12 Schwerelosigkeit (5 Punkte)
Aufgabentext
Im Erde-Mond-System gibt es einen Ort, an dem ein Raumschi, das sich gegenüber der Erde
in Ruhe bendet, schwerelos ist. Wo ist dieser?
Erdradius Re = 6371km; Abstand Erdmittelpunkt - Mondmittelpunkt dem ≈ 60,3 Re ; Erdmasse me ≈ 81,3 mm Mondmassen
Lösungsvorschlag
Der Ort der Schwerelosigkeit bedeutet, dass die Gravitationskraft durch die Erde und durch
den Mond genau entgegengesetzt und gleich groÿ sein müssen.
Da diese Kräfte entgegengesetz sein müssen und die Gravitationskraft infolge von homogenen
Kugelmassen zum jeweiligen Kugelmittelpunkt zeigt, muss dieser Ort der Schwerelosigkeit auf
der Verbindungslinie zwischen Erd- und Mondmittelpunkt sein.
Vereinbarungen: de Abstand zum Erdmittelpunkt; dm Abstand zum Mondmittelpunkt; G Gravitationskonstante; mR Masse des Raumschis.
Gravitationskräfte gleich: Fe = Gmdee 2mR = Fm = Gmdmm 2mR .
2
Hier fällt einiges weg durch Kürzen. Es bleibt übrig: ddme 2 = mmme .
Letzteres ist in der Aufgabenstellung angegeben zu mmme = Vm = 81,3
√
Also ist de = dm · Vm .
Die Summe dieser beiden Abstände ist der Abstand Erde-Mond dem , der Va Erdradien Re groÿ
ist: also de + dm = Va · Re
Beides zusammengefasst ergibt
dm = 1+√1 V Va · Re ≈ 38350km und de = 1+ √1 1 Va · Re ≈ 345820km
m
Vm
13 Kuppe (4 Punkte)
Aufgabentext
Mit welcher Kraft drückt ein Auto mit m = 1150kg auf den Boden, wenn es mit 95km/h über
den Scheitel einer Kuppe mit Krümmungsradius 75m fährt?
Lösungsvorschlag
Die Kreisbewegung des Autos auf der Straÿe mit Mittelpunkt 75m senkrecht unter dem Auto
bewirkt eine Zentrifugalkraft, die das Gewicht des Autos herabsetzt.
Die Zentrifugalkraft ist betragsmäÿig gleich der Zentripetalkraft, die eine solche Kreisbewegung
2
erzwingen würde, also Fz = m vr
2
Das Gewicht des Autos wird also eektiv Fe = m · g − m vr
Als Zahlenwert ergibt sich hier Fe = 822N (mit g = 10m/s2 ). Das Auto hat also nur mehr
eine scheinbare Masse von 82kg.
Übungsklausur 09
vom 18. 12. 2007
5
c 2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden
Übungsklausur 09
6
Mechanik WS 2007-2008
14 Steinfall (11 Punkte)
Aufgabentext
Von einem 125m hohen Turm am Äquator mit überkragender Plattform an der Turmspitze wird
ein Lot langsam zur Erde herabgelassen und der Auftrepunkt markiert. Dann wird von derselben Stelle der Plattform ein Stein fallengelassen. Trit dieser Stein die Erde im Lotfuÿpunkt?
Wenn nicht, in welcher Richtung ist er vom Lot abgewichen? Wie groÿ ist diese Abweichung?
Lösungsvorschläge
Argumentation 1 über Drehimpulserhaltung:
Der Anfangsdrehimpuls mr2 ω des Steines bezüglich
der Erdachse muss erhalten bleiben. Da
der Abstand zur Erdachse sich aber beim Fallen verkleinert, wird die Rotationsgeschwindigkeit
gröÿer und somit eilt der Stein der Erde voraus und wird östlich des Lotfuÿpunktes auftreen.
Am Anfang bendet sich der Stein in der Höhe h, der Abstand zum Drehpunkt (Erdmittelpunkt) ist r0 = re + h. Da die Masse des Steines sich nicht verändert, gilt für alle Orte r des
Steines r2 ω = r0 2 ω0 . Der Ort des Steins beim Fallen ist r = r0 − 21 gt2 abhängig von der Zeit t
nach dem Loslassen.
Wegen der Konstanz des Drehimpulses ist die augenblickliche Kreisfrequenz des Steines (mit
der Näherung 1/(1 − )2 = 1 + 2 für 1) r2
ω(t) = ω0 r02 = ω0
r02
2
(r0 − 21 gt2 )
=
ω0
2
1− 2r1 gt2
≈ ω0 1 +
1
2
r0 gt
0
Die Kreisfrequenzbeschleunigung ist die Zeitableitung davon, also ddωt = 2ωr00gt und die Kreisbahnbeschleunigung am Anfangspunkt deswegen ar = r0 ddωt = 2ω0 gt = 2ω0 v mit v = gt
Fallgeschwindigkeit.
Das gleiche Ergebnis erhält man bei der Berechnung der Coriolisbeschleunigung, siehe unten
Argumentation 2. Dort bendet sich auch die weitere Durchrechnung.
Argumentation 2 über Berechnung mit Corioliskraft:
Bei sich drehenden Systemen wie der Erde muss einerseits die Zentrifugalbeschleunigung berücksichtigt werden, die ortsabhängig ist, und andrerseits die Coriolisbeschleunigung bei Bewegungen gegenüber der Erde.
Am Äquator vermindert die Zentrifugalbeschleunigung die eektive Erdbeschleunigung, was
durch den gröÿeren Erdradius dort noch verstärkt wird. Dieser Eekt macht sich in der Flugzeit des Steines bemerkbar, verändert aber nicht die Richtung der Flugbahn.
Die Coriolisbeschleunigung berechnet sich in diesem Fall, da die Fallgeschwindigkeit des Steines senkrecht zur Rotationsgeschwindigkeit der Erde zeigt, zu ac = 2ωv . Diese Beschleunigung
zeigt für Bewegungen zur Erdmitte hin immer nach Osten.
Die Geschwindigkeit des Steines ist zeitabhängig und wird durch das Fallen gegeben zu v = gt.
(g =Erdbeschleunigung)
Argumentation 1 und 2 gemeinsame Weiterrechnung:
Die somit zeitabhängige Coriolisbeschleunigung muss jetzt noch zweimal mit der Zeit integriert
werden, um die Abweichung des Steines zu berechnen.
q
Die hierbei benötigte Flugzeit beträgt tf = 2h
g .
Also:R ac = 2vω R= 2gtω
v = a(t)dt = 2gtω dt = gωt2
s=
R tf
0
v(t)dt =
R tf
0
q 3
q
t
2
2h
gωt2 dt = 31 gωt3 0f = 31 gωtf 3 = 31 gω 2h
=
hω
g
3
g .
Mit h = 125m, g = 10m/s und ω =
Übungsklausur 09
vom 18. 12. 2007
2π
24 · 3600s
6
ergibt sich daraus s = 0,03m
c 2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden
Übungsklausur 09
7
Mechanik WS 2007-2008
15 Weltraumug (4 Punkte)
Aufgabentext
Ein Weltraumfahrzeug iegt mit vf = 2 · 108 m/s durch den Weltraum. Die von der Erde aus
beobachtete Fahrstrecke sei 1 Lichtjahr.
1. Wie lange dauerte dies für einen Beobachter auf der Erde?
2. Wie lange dauerte dies für einen Passagier des Weltraumfahrzeugs?
3. Beim Start auf der Erde betrug die Länge des Fahrzeugs 120m. Welche Länge hat es für
einen Erdbewohner während des Fluges?
Lösungsvorschlag
Bei zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegten Bezugssystemen werden Raum und Zeit
von den Beobachtern aus verschiedenen Systemen unterschiedlich wahrgenommen. q
2
Die Faktoren für Zeitdilatation und Längenkontraktion sind gleich, und zwar k = 1 − vc2 =
0,745
Die gestrichenen Gröÿen sind im externen System, die ungetrichenen im eigenen. Damit gilt
für die Zeitdilatation t0 = t · k und die Längenkontraktion l0 = l · k bzw. l = l0 · k.
1. Die Flugzeit in Erdenzeit für die von der Erde aus beobachtete Strecke von 1 Lichtjahr
s = c · 1Jahr beträgt bei der Geschwindigkeit v = 23 c einfach t = vs = 32 Jahre
2. Damit ergibt sich die im externen System verstrichene Zeit zu t0 = t · k = 1,1175Jahre
3. Die tatsächliche Fahrzeuglänge ist die bei Start auf der Erde gemessene Länge l0 = 120m.
Die auf der Erde im Flug beobachtete Fahrzeuglänge ist daher l = l0 · k = 120m · 0,745 =
89,4m.
Übungsklausur 09
vom 18. 12. 2007
7
c 2007-2008
University of Ulm, W. v. Soden