Photon-Photon Verschränkung

Was versteht man unter Verschränkung?
Welche Methoden gibt es zu Erzeugung von (polarisationsverschränkten)
Photonenpaaren?
- Kaskadenzerfall
- parametrische Fluoreszenz
Wie kann man experimentell feststellen, ob ein Zustand verschränkt ist?
- Korrelationsmessung in unterschiedlichen Basen
- Bell‘sche Ungleichungen
Gibt es weitere Kriterien aus der Theorie für die Verschränkung?
- Peres-Horodecki Kriterium (Dichtematrix, Quantum State Tomographie)
- Entanglement Witness
Kann man ein Maß für die Verschränkung finden?
- Idee von LOCC
- Entanglement of Formation (Conccurence)
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sei Gesamzustand für zwei wechselwirkende Systeme:
vs
mathematische Definition für Verschränkung: Für Zwei Teilchen Verschränkung
Für reinen Zustand:
Ein Zustand
heißt separabel, wenn man ihn schreiben kann als:
Andernfalls ist der Zustand verschränkt!
Für Zweizustandssysteme (Qubit):
Beispiel für separablen Zustand:
Beispiele für verschränkte Zustände:
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Bellzustände
(maximal verschränkt)
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Dichtematrix:
für reinen Zustand:
Beispiel:
Gemischter Zustand:
Statistische Mischung von reinen Zuständen:
Gemischter Zustand ist separabel wenn gilt:
Beispiele:
separabel:
verschränkt für
(Werner Zustand):
Qubitsystem (Photonen-Polarisation lässt sich als solches beschreiben)
Beschreibar als SU(2) Algebra
horizontal, vertikal linear polarisiert
(+45°), (-45°) linear polarisiert
L inks, rechts zirkular polarisert
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J=0
m=0
Angeregter Zustand |a>
Zwischenzustand: |z>
J=1
m=
Grundzustand: |g>
-1
0
m=0
+1
J=0
verschieden Zerfallskanäle:
•
-> π - Übergang: Schwingung des Leuchtelektrons
in Quantisierungsrichtung
Wähle Beobachtungsrichtung parallel zur Quantisierungsrichtung!
•
•
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-> ς+ - Übergang
-> ς- - Übergang
Kreisbewegung des Leuchtelektrons in Ebene senkrecht zu
Quantisierungsrichtung (Drehsinn je nach Vorzeichen)
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folgende Zuordnung ergibt sich dann für die Polarisationen der in
entgegengesetzte Richtungen emittierten Photonen:
magnetische Quantenzahl des
Zwischenniveaus
Polarisationsrichtung
erstes Photon
zweites Photon
1. Möglichkeit
|R>1
|R>2
2. Möglichkeit
|L>1
|L>2
• entstehender Zustand ist Superposition aus |R>1 |R>2 und |L>1 |L>2
• Bestimmung der Koeffizienten:
• Gesamtdrehimpulserhaltung -> Gesamtspin der Photonen muss 0
sein -> insbesondere auch z-Komponente
• resultierender Zwei-Photonen Zustand:
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•
Bsp: Ca Übergang 61S0 -> 41P1 -> 41S0 [Kocher, Commins 1967]
Termschema des Übergangs
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Versuchsaufbau
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Kurzer Überblick: nicht lineare Effekte
- Entwicklung der Polarisation in Potenzen von E:
Pi
(1)
ij
Ej
( 2)
ijk
E j Ek ...
- Zweite Ordnung tritt nur in Medien auf, die kein Symmetriezentrum haben
(im Wesentlichen uniaxiale Kristalle)
Doppelbrechung -> ordentlicher (o)
und außerordentlich (e)
• orthogonale Polarisation
• Unterschiedliche
Brechungsindizes
Beispiel für
Effekte: Frequenzverdopplung(SHG), Frequenzaddition ..
- lassen sich mit klassischer Elektrodynamik erklären
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Parametrische Fluoreszenz:
Aus einem Pumplichtphoton (p) werden in einem nichtlinearen Prozess im
Kristall (z.B. BBO Beta-Barium-Borat) gleichzeitig zwei Photonen (
signal (s) und idler (i) ) erzeugt.
Signal
Pumplicht
Idler
BBO Kristall
Theorie für diesen Prozess muss quantenmechanisch sein!
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Kurzer Einblick in die theoretische Behandlung:
Wechselwirkungshamiltonoperator:
Felder der entstehenden Photonen durch QM Operatoren ersetzen:
Einfallende Lichtwelle hohen Intensität -> klassischer Ausdruck möglich
Zeitentwicklung des Zustandes im WW-Bild:
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Integration über Wechselwirkungsvolumen und -zeit führt zu
den Bedingungen:
Energieerhaltung
Impulserhaltung
Diese Phasematching-Condition kann im doppelbrechenden Kristall erfüllt
werden.
Es gibt zwei verschiedene Polarisationskonfiguration:
Polarisation des
Photons
Typ I Phasematching
Typ II Phasematching
pump
außerordentlich
außerordentlich
signal
ordentlich
ordentlich
idler
ordentlich (gleich wie
signal)
außerordentlich
(orthogonal zu signal)
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Typ I: Phasematching
Idler- und Signal Photon haben die
gleiche Polarisation: z.B. definiert
als |V>
werden je nach Wellenläge in eine
Kegel zentriert um den Pumpstrahl
emittiert
Photonenpaar: klassische Polarisationskorrelation, aber:
keine Polaristations-Verschränkung
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Postselection [Alley,Shih; 1988] :
Versuchsaufbau:
λ/2
Laser
BS
Koinzidenzzähler
χ(2)
Kohärente Überlagerung im Strahlteiler
Zustand nach Strahlteiler BS:
Selektion von zeitlichen Koinzidenzen -> es werden nur Ereignisse
regestriert, bei denen die Photonen in unterschiedlichen Kanälen sind
maximal verschränkter Zustand
Nachteil: nicht geeignet für manche Anwendungen
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Möglichkeit zur direkten Polarisationsverschränkung mit Typ 1: [Kwiat et al. 1999]
- zwei Kristalle mit zueinander senkrechten optischen Achsen
- Pumpstrahl: Polarisation 45° zu beiden opt. Achsen
- beide Photonen entstehen entweder in Kristall 1 oder Kristall 2
--> verschränkter Zustand
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Typ II Phase Matching
Abstrahlungsrichtung:
signal und idler Kegel entlang
unterschiedlicher Achsen zentriert
Polarisation:
Definiere z.B signal als |H> - polarisiert
-> idler |V>-polarisiert
Impulserhaltung:
Abstrahlungsrichtung der beiden Photonen
genau Spiegelung an Pumpstrahlachse
[Kwiat et. al 95]
1
2
Selektion von Photonen an den
Schnittpunkten der beiden Kreise:
Überlagerung (Photon am Schnittpunkt 1
horizontal polarisiert -> Photon an
Schnittpunkt 2 vertikal polarisiert und
andersherum)
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Typ II: Phase Matching – Auftretendes Problem
Doppelbrechung:
ordentlicher und außerordentlicher Strahl unterschiedliche Brechungsindizes
im Kristall ->
Auseinanderwandern der Strahlen in longitudinaler
und transversaler Richtung
Longitudinaler „walk off“:
Optische
maximale relative zeitliche Verzögerung der beiden Fluoreszenzmoden: Achse
Pumpstrahl
mit:
Dicke d
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Falls Kohärenzzeit
:
(Verlust der Kohärenz -> Gewinn an Information)
-> Emissionsprozesse an den beiden Schnittpunkten sind voneinander
unterscheidbar
-> kein verschränkter Zustand mehr
Lösung:
zusätzliche χ(2)-Kristalle in den Strahlengängen:
-> Lambda/2 Plättchen drehen
Polaristationsrichtung
-> ordentlicher und außerordentlicher
Strahl werden vertauscht
-> Kristalle kompensieren im Mittel das
Auseinanderwandern im ersten Kristall
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Polarisationsverschränkung:
Mit Halbleitern:
- angeregte Exitonenzustände in Quantepunkten
- im wesentlichen gleiches Prinzip wie bei Kaskadenzerfall
Verschränkung in anderen Größen:
2-qubit:
time-bin Verschränkung
In kontinuierlichen Variablen:
z.B. energy-time entanglement
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Polarisationskorrelation: Messung auf Koinzidenz bei unterschiedlichen Einstellungen
der beiden Polarisatoren
Korrelation proportional zur Wahrscheinlichkeit das System in diesen Zustand zu
finden
(α,β sind mögliche Polarisationszustände)
Versuchsaufbau für Messung von Korrelationen beliebiger Polarisation:
Photon 1
Photon 2
Polarisator
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λ/2 λ/4
λ/4 λ/2
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Polarisator
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-> erster Polarisator auf H oder V; zweiter in beliebigem
Winkel α dazu:
Aber: Zwei-Photonen Zustand noch nicht
eindeutig als verschränkt überführt, denn:
Gemischter Zustand
würde das gleiche Messergebnis liefern
Lösung: für den maximal verschränkten Zustand
gilt:
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Ein verschränkte Wellenfunktion beschreibt die
physikalische Realität nicht vollständig!
EPR - Theorem:
Grundprinzip der Realität:
Messung mit Wahrscheinlichkeit eins
möglich ohne System zu ändern -> Realität
Betrachte z.B. Bellzustand:
Teilchen 2
Teilchen 1
Bell‘sche Ungleichung:
Einstein, Podolsky und Rosen
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experimentell überprüfbare Bedingung
für „Hidden Variable Theory“
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Lineare Rekonstruktion
Methoden der linearen Algebra ermöglichen
Rekonstruktion der Dichtematrix aus Messungen
Bei 2-qubit System müssen 16 Messungen durchgeführt
werden
Maximum Likelihood: bessere Rekonstruktion
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Für gemischten Zustand:
Peres-Horodecki Kriterium (Positive Partial Transpose; PPT)
Partielle Transponierte (hier z.B in Bezug auf A):
Für separabelen Zustand:
wieder gültige Dichtematrix -> positiver Operator
Also: ρ separabel => PPT erfüllt
Gilt auch die andere Richtung?
- Für 2X2 und 2X3 Zustände bewiesen [Horodecki 1996]
- Für höherdimensionale Systeme wurden Gegenbeispiele
gefunden
Falls Dichtematrix vorhanden:
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Peres-Horodecki Kriterium: Beispielrechnung
Werner-Zustand:
Eigenwerte von
Kleinster Eigenwert:
:
Bedingung für Verschränkung: EW < 0
verschränkt für
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Entanglement Witness:
Satz:
Eine Dichtematrix ρ ist verschränkt, wenn eine hermitescher
Operator
existiert, so dass gilt:
Beweisskizze
Existenz des Witness Operators wird durch das
Hahn-Banach Theorem gewährleistet:
Sei S eine konvexe, kompakte Menge und
.
Dann existiert eine Hyperebene, die ρ von S trennt.
Durch
wird ein Skalarprodukt
definiert!
Analogie zum Standardskalarprodukt ->
Ebene definiert durch Normalenvektor,
trennt Raum.
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E = kompakte konvexe Menge aller Dichtematrizen
S = kompakte konvexe Menge aller separabeln
Dichtematrizen
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Unterscheidung von:
klassische Korrelationen
(LOCC Transforamtionen)
Quantenmechanische
Korrelation
1. Verschränkung kann unter LOCC Transformationen nicht
zunehmen
2. Es existiert (gilt für Zweiteilchen Verschränkung ) ein maximal
verschränkter Zustand
denn: jeder Zustand kann aus diesem durch LOCC Transformation
hergestellt werden
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Erweiterung der Idee:
Unendliche viele Kopien des Anfangs –und Endzustandes vefügbar
Frage 1: Gegegeben ein nicht maximal verschränkter Zustand.
Wieviele Kopien benötige man minimal um daraus mit LOCC
Transformation einen maximal verschränkten Zustand zu
erzeugen?
(Entaglement Distillation)
Frage2: Wieviele Kopien kann ich aus einem maximal verschränkten
Zustand mit LOCC-Transformationen maximal bekommen?
Wechselkurs mit Goldwährung maximal verschränkter Zustand
Es ist sinnvoll ein Maß zu definieren!
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Kann man ein Maß für Verschränkung finden?
Kriterien für ein „gutes“ Verschränkungsmaß E
(1) Wenn ρ separabel: E(ρ)=0
(2) Normalisierung: Für maximal verschränkten Zustand aus zwei ddimensionalen Systemen soll gelten:
(3) Kein Zunahme des Verschränkungsmaßes unter LOCC:
(4) Kontinuität:
(5) Additivität:
(6) Subadditivität:
(7) Konvexität:
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Beispiele für Verschränkungsmaße:
Für reinen Zweiteilchenzustand existiert ein gutes Maß:
Von Neumann Entropie der reduzierten Dichtematrix
Für gemischte Zustände komplizierter; es existiert kein eindeutiges Maß
Beispiele:
Entanglement cost EC(ρ) : wieviele maximal verschränkte Zustände werden
zur Erzeugung von ρ mit LOCC Transformationen benötigt
Distillable entanglement ED (ρ) : wie Effizient können maximal verschränkte
Zustände destilliert werden
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Entanglement of Formation: EF(ρ) :
Für jeden gemischten Zustand Zerlegung in Summe aus Projektoren auf reine
Zustände möglich:
Für Zweiteilchen-Qubitsysteme existiert explizite Formel:
Concurrence
Eigenschaften, die die Maße erfüllen:
EC
ED
EF
Kontinuität
?
?
ja
Additivität
ja
ja
?
Konvexität
ja
nein(?)
ja
Bekannte Relationen zwischen den Maßen:
Es wird vermutet:
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Alles bisherige für 2 Teilchenverschränkung:
Für Vielteilchen-Verschränkung deutlich komplizierter!
Drei Teilchen:
Reine Zustände:
separabel:
zweifach separabel:
drei-qubit verschränkt:
GHZ:
W:
Jeder drei-qubit verschränkte Zustand ist allein durch unitäre Operationen
entweder in einen GHZ oder W Zustand überführbar.
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• Methoden zur Erzeugung von verschränkten Photonen
• Methoden zur (quantitativen) Messung von Verschränkung
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Literaturverzeichnis
G. Weihs:
Ein Experiment zum Test der Bellschen Ungleichung unter Einsteinsscher Lokalität
Dissertation
T. Herzog:
Optical Experiments on Quantum Complementarity
Dissertation
H. Weinfurter:
Quantum Communication with entangled photons
Advances in atomic, molcecular, and optical physics, vol. 42
K. Edmatsu:
Entangled Photons: Generation, Observation, and Characteriation
Japanese Journal of Applied Physics, vol. 46, nr. 11
D. Bruß:
Characterizing entanglement
Journal of mathematical physics, vol. 43, nr. 9
M.B. Plenio and S. Virmani:
An introduction to entanglement measures
James et al. :
Measurement of qubits
physical review A, vol. 64, 052312
C.A. Kocher, E. D Commins:
Polarization correlation of photons emitted in an atomic cascade
phys. rev. letters, vol 18, nr 15
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