Kohärenz, Verschränkung und Verschränkungsmaße I

Kohärenz, Verschränkung und
Verschränkungsmaße I
Bernd Kübler
Bernd Kübler Kohärenz, Verschränkung und Verschränkungsmaße
1
Motivation
Theoretische Werkzeuge zur Handhabung von
Qubits sind unerlässlich für
●
Quantenkryptographie
●
Quantencomputer
Außerdem:
●
Tieferes Verständnis der Quantenmechanik
●
Beziehung der Observablen in Systemen
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Inhalt
●
Einzelner Quantenzustand
●
Separabler / verschränkter Zustand
●
Bell-Zustände
●
Quantenteleportation
●
Entanglement Swapping
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Einzelner Quantenzustand
●
Einfachster Quantenzustand:
reines Zwei-Zustands-System
●
Basis: {|0>,|1>} im Hilbertraum H
●
Realisierung:
●
●
Zwei-Niveau-Atom mit Grundzustand und angeregtem
Zustand
●
Linear polarisiertes Photon mit | > und |
●
Spin ½ - Teilchen mit | > und | >
Reiner Zustand:
=> Qubits
>
∣Ψ >=α∣0>+β∣1>
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Bloch Kugel
∣Ψ >=α∣0>+β∣1>=cos Θ ∣0>+e i ϕ sin Θ ∣1>
2
2
0≤ϑ≤π , 0≤ϕ≤2π
Θ= π
2
1
∣s > =
(∣0>+∣1>)
√2
+
x
ϕ=0
1
∣s > =
(∣0>+i∣1>) ϕ = π
2
√2
+
y
∣s−x > =
1
(∣0>−∣1>)
√2
∣s−y > =
1
(∣0>−i∣1>) ϕ = 3π
2
√2
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ϕ=π
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Tensorprodukt
H AB = H A ⊗ H B
⇒ ∣Ψ AB > = ∣Ψ A >  ∣Ψ B > ∈ H AB
Eigenschaften:
● Linear
(∣Ψ A >+∣Φ A >)∣Ψ B > = ∣Ψ A >∣Ψ B >+∣Φ A >∣Ψ B >
●
Kommutativ
c (∣Ψ A >  ∣Ψ B >) = ( c∣Ψ A >)  ∣Ψ B >=∣Ψ A >  ( c∣Ψ B >)
●
Schreibweise
∣0>A  ∣0>B =∣0>A∣0>B =∣0 >AB =∣00>
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Separabler Zustand
Zustände lassen sich als einfaches Tensorprodukt aus
Zuständen der Untersysteme schreiben.
∣ψ>=∣ψ>A  ∣ψ>B
1
1
1
Bsp : ∣ψ> =
∣00>+ ∣01> = ∣0>A 
(∣0>+∣1>)B
√2
√2
√2
Verschränkter Zustand
Zustände lassen sich nicht als Tensorprodukt schreiben
∣ψ> ≠∣ψ>A  ∣ψ>B
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Bell-Zustände
1
∣Φ+ > =
(∣00>+∣11>)
√2
1
∣Φ− > =
(∣00>−∣11>)
√2
1
∣Ψ+ > =
(∣01>+∣10>)
√2
1
∣Ψ− > =
(∣01>−∣10>)
√2
=> Maximal verschränkte Zustände
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Pauli-Matrizen
Bell-Zustände können durch Pauli-Matrizen in einander
überführt werden.
σx =
()
∣1>= 0
(1 )
∣0>= 1
0
( )
0 1
1 0
σy=
( )
0 −i
i 0
(
1 0
σz =
0 −1
)
σ x ∣0>=∣1>
σ y∣0>=i∣1>
σ z∣0>=∣0>
σ x ∣1>=∣0>
σ y∣1>=−i∣0>
σ z∣1>=−∣1>
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1
∣Φ+ > =
(∣00>+∣11>)
√2
∣Ψ+ > =
1
(∣01>+∣10>)
√2
1
∣Φ− > =
(∣00>−∣11>)
√2
∣Ψ− > =
1
(∣01>−∣10>)
√2
σ x ∣0> = ∣1>
σ y∣0>=i∣1>
σ z∣0>=∣0>
σ x ∣1>=∣0>
σ y∣1>=−i∣0>
σ z∣1>=−∣1>
A
x
σ : ∣Ψ+ >
A
σ y : ∣Ψ+ >
σ zA : ∣Ψ+ >
1
(∣1 A ,1 B >+∣0 A ,0 B >) =∣Φ+ >
√2
−i
(∣0 A ,0 B >−∣1 A ,1 B >) =−i∣Φ− >
√2
1
(∣0 A ,1 B >−∣1 A ,0 B >) =∣Ψ− >
√2
Bit-Flip
Phasen-Flip
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Quantenteleportation
Übertragung eines unbekannten Quantenzustands von einem
System (Alice) zu einem Anderen (Bob).
Ausgangssituation:
Alice besitzt einen unbekannten Zustand:
∣ψ>1 = α∣0>+β∣1>
Alice und Bob teilen sich den verschränkten Bell-Zustand:
∣Ψ− > 23 =
1
(∣0>2∣1>3 −∣1>2∣0 >3 )
√2
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Wollen wir nun das Gesamtsystem beschreiben, müssen
wir das Tensorprodukt bilden:
∣ψ>1 ∣Ψ − > 23 =
1
( α∣0 >1 +β∣1>1 )(∣0 >2∣1>3 −∣1>2∣0>3 ) =
√2
1
[∣Ψ − >12 (−α∣0>3 −β∣1>3 )+∣Ψ+ >12 (−α∣0>3 +β∣1>3 )
2
+∣Φ− >12 ( α∣1>3 +β∣0>3 )+∣Φ+ >12 ( α∣1>3 −β∣0>3 ) ]
Alice misst jetzt ihren Zustand der Teilchen 1 und 2.
Dieses Ergebnis muss dann klassisch an Bob übermittelt
werden
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Will nun Bob sein Teilchen in den gleichen Zustand bringen wie
Alice, muss er das Teilchen 3, je nach dem übermittelten Ergebnis
von Alice, manipulieren.
Hierfür werden wieder die Pauli-Matrizen verwendet.
Gewollter Zustand: α∣0>3 +β∣1>3
1
[∣Ψ − >12 (−α∣0>3 −β∣1>3 )+∣Ψ+ >12 (−α∣0>3 +β∣1>3 )
2
+∣Φ− >12 ( α∣1>3 +β∣0>3 )+∣Φ+ >12 ( α∣1>3 −β∣0>3 ) ]
Messung Alice
Operation Bob
Teilchen Bob
∣Ψ− >
I
−( α∣0>3 +β∣1>3 )
∣Ψ+ >
σz
−( α∣0>3 +β∣1>3 )
∣Φ− >
σx
( α∣0>3 +β∣1>3 )
∣Φ+ >
σy
i ( α∣0 >3 +β∣1>3 )
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Entanglement Swapping
Entaglement Swapping beschreibt das Verknüpfen zweier
verschränkter Teilchen.
Ausgangssituation:
Zwei verschränkte Paare: 1-2 und 3-4
Ziel: Verschränktes Paar 1-4
1
∣Ψ− >12 ∣Ψ− >34 = (∣0>1∣1>2 −∣1>1∣0>2 )(∣0>3∣1 >4 −∣1>3∣0>4 )
2
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Umschreiben in Bell-Zustände:
∣Ψ− >12 ∣Ψ− >34 =
1
(∣Ψ+ >14 ∣Ψ+ >23 −∣Ψ− >14∣Ψ − >23 −∣Φ+ >14∣Φ+ >23 +∣Φ− >14 ∣Φ− >23
2
Durch Messung der Zustände der Teilchen 2 und 3 kann auf
den Zustand der Teilchen 1 und 4 geschlossen werden.
Um nun Teilchen 1 und 4 in den gewünschten Zustand zu
bringen können wieder Pauli-Matrizen verwendet werden.
Bemerkung: Teilchen 1 und 4 sind zwar in einem
verschränkten Zustand, wechselwirken aber nicht
miteinander.
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Fazit
●
●
●
●
●
Reine Zustände durch Blochvektor auf
Blochkugel darstellbar.
Verschränkte Zustände können nicht durch
Tensorprodukt zerlegt werden.
Bell-Zustände: maximal verschränkte Zustände
Pauli-Matrizen als Übergänge zwischen BellZuständen.
Quantenteleportation, Entanglement Swapping
und vieles mehr ist möglich und beschreibbar.
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Quellen
Audretsch, Jürgen: Verschränkte Systeme, WILEY-VHC
Verlag, 2005
Skript zu „Quanteninformationstheorie“, Prof. D. Bruß,
Universität Düsseldorf, 2005
Z.-S. Yuana, X.-H. Baoa, C.-Y. Lua, J. Zhanga, C.-Z.
Penga, J.-W. Pana: Entangled photons and quantum
communication, Physics Reports, 497(1):1-40, 2010.
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