Elektrodynamik FSU Jena - WS 2007/2008 - Notizen

Elektrodynamik
FSU Jena - WS 2007/2008
- Notizen Stilianos Louca
19. Februar 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Elektrostatik
1.1 Das Coulombsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Kraftfeld einer Ladungsverteilung . . . . . . . . . .
1.1.2 Elektrostatisches Feld einer Ladungsverteilung . .
1.1.3 Das Gausssche Durchflutungsgesetz . . . . . . . .
1.1.4 Übergangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Das elektrostatische Potential . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Innere Energie einer Ladungsverteilung . . . . . .
1.1.7 Wechselwirkungsenergie von Ladungsverteilungen .
1.1.8 Der Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Energieberechnung mittels Multipolentwicklung . .
1.2.2 Kraftberechnung mittels Multipolentwicklung . . .
1.2.3 Drehmoment mittels Multipolentwicklung . . . . .
1.2.4 Folgerungen für Dipol . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Das Randwertproblem der Elektrostatik . . . . . . . . . .
1.3.1 Formulierung des Problems . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 1. Grundaufgabe: Das Dirichlet-Randwertproblem
1.3.3 2. Grundaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Energie und Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Elektrostatik in Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Dielektrische Verschiebung . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Übergangsbedingungen an Materialgrenzen . . . .
1.4.5 Energie in dielektrischen Medien . . . . . . . . . .
1.4.6 Kraftdichte in dielektrische Medien . . . . . . . . .
1.5 Potentialberechnung in Isolatoren . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Die Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Methode der Greenschen Funktion . . . . . . . . .
1.5.3 Raumladungsfreie Probleme . . . . . . . . . . . . .
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2 Magnetostatik
2.1 Strom & Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . .
2.1.2 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . .
2.1.3 Übergangsbedingungen an Grenzflächen
2.1.4 Das Magnetfeld stationärer Ströme . . .
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3 Langsam veränderliche Felder
3.0.4 Erläuterung: langsam veränderliche Felder . . . . . . . . . .
3.1 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ruhende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Bewegte Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bestimmung der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Die Maxwellgleichungen bei langsam veränderlichen Feldern
3.2.2 Die Potentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Additionstheoreme für Widerstände und Kapazitäten . . .
3.3.3 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Leistung und Energie im Stromkreis . . . . . . . . . . . . .
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4 Das vollständige System der Maxwellgleichungen
4.1 Das System der Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Die Maxwellgleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Die Maxwellgleichungen in Medien . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Ströme und Kontinuitätsgleichungen . . . . . . . . . . . . .
4.2 Zeitabhängige Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Die Response-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Übergang in den Frequenzraum . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Die Maxwellgleichungen im Fourierraum . . . . . . . . . . .
4.2.4 Übergangsbedingungen an Grenzen zweier Medien . . . . .
4.3 Die elektrodynamischen Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die Wellengleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Homogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Inhomogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Energiesatz der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Vakuum und lineare, isotrope, nicht dispersive Medien . . .
4.5.2 Dispersive & absorptive Medien - Monochromatische Felder
4.5.3 Dispersive & absorptive Medien - Enge Spektren . . . . . .
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29
29
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29
30
30
30
31
31
31
31
31
32
32
32
33
33
34
35
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.1.5 Kraftwirkung des Magnetfelds . . . . . . . . . .
Die Maxwellgleichungen in der Magnetostatik . . . . .
2.2.1 Differenzielle Formulierung . . . . . . . . . . .
2.2.2 Integrale Formulierung . . . . . . . . . . . . . .
Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Die Eichtransformation . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bestimmung des Vektorpotentials . . . . . . . .
Multipolentwicklung des Vektorpotentials . . . . . . .
2.4.1 Allgemeine Definition der Multipolmomente . .
2.4.2 Die wichtigsten Momente einer Stromverteilung
Magnetostatik in Materie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Die Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
~
2.5.2 Das H-Feld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Übergangsbedingungen an Grenzflächen . . . .
2.5.5 Raumladungsfreie Probleme . . . . . . . . . . .
Energie des magnetostatischen Feldes . . . . . . . . . .
2.6.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Spezialfall: Dünne Leiter im Vakuum . . . . . .
Kräfte im äußeren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Kleine Stromverteilungen . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Leiterschleife im äußeren Magnetfeld . . . . . .
2.7.3 Der Maxwellsche Spannungstensor . . . . . . .
2
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4.6
Der Impulssatz der Elektrodynamik . . .
4.6.1 Die Kraftdichte . . . . . . . . . . .
4.6.2 Der Maxwellsche Spannungstensor
4.6.3 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . .
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37
37
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38
6 Herleitung der wichtigsten Sätze
6.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Lokale Ladungserhaltung . . . . . . . . .
6.1.2 Globale Ladungserhaltung . . . . . . . . .
6.2 Energie beim Dirichlet Randwertproblem . . . .
6.2.1 Bei vorgegebenen Potentialen auf Leitern
6.3 Drehmoment im äußeren Magnetfeld . . . . . . .
6.3.1 Stromdurchflossene Leiterschleife . . . . .
6.4 Der Poyntingsche Satz . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Homogen - Vakuum . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Inhomogen - Vakuum . . . . . . . . . . .
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39
39
39
39
39
39
40
40
40
40
41
41
42
5 Elektromagnetische Wellen
5.1 Vakuum . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Potentialgleichungen . . .
5.1.2 Feldgleichungen . . . . . .
5.2 Transparente, homogene Medien
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3
1
Elektrostatik
1.1
1.1.1
Das Coulombsche Gesetz
Kraftfeld einer Ladungsverteilung
Auf eine Ladung q am Ort ~r wirkt durch Ladungen q1 , ..., qn an den Orten ~r1 , ..., ~rn die elektrostatische Kraft
F~q =
n
X
q
(~r − ~ri )
qi
·
·
4πε0 i=1 |~r − ~ri |2 |~r − ~ri |
bzw. für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(~r) im Volumen V
Z
q
(~r − ~ri ) 0
ρ(~r 0 )
F~q =
·
·
dV
4πε0 V |~r − ~ri |2 |~r − ~ri |
1.1.2
Elektrostatisches Feld einer Ladungsverteilung
~ r) am Ort ~r als den Quotienten
Man definiert das elektrische Feld E(~
~
~ r) = lim Fq
E(~
q→0 q
Somit ist:
~ r) =
E(~
1.1.3
Z
n
X
(~r − ~ri ) ∼ 1
(~r − ~ri ) 0
1
qi
ρ(~r 0 )
·
·
dV
·
·
=
2
4πε0 i=1 |~r − ~ri |
|~r − ~ri |
4πε0 V |~r − ~ri |2 |~r − ~ri |
Das Gausssche Durchflutungsgesetz
Aus oberer Definition folgt die 1. Maxwell Gleichung
~ r) =
div E(~
ρ(~r)
ε0
und ferner das Gausssche Durchflutungsgesetz für ein beliebiges, die Ladung Q umschließendes Volumen V
Z
Z
Z
ρ(~r)
Q
~ dA
~
~ dV =
E
=
dV =
div E
ε0
V ε0
V
∂V
Beispiel: Homogen geladene Kugelschale: Betrachten eine homogen geladene Kugelschale der Ladungsdichte ρ0 und
Radien R1 < R2 . Aufgrund von Symmetriegründen ist das Feld im Außen- und Innenraum kugelsymmetrisch. Somit ist
~ r) = E(r)~eρ und ferner:
E(~
Z
Z
~ r ) dA
~ = ε0 E(r) · ~eρ dA
~ = 4πr2 ε0 E(r) → E(r) = Qr
Qr = ε0 ·
E(~
4πε0 r2
∂V
∂V
wobei
Z
Qr =
ρ0 dV
V
die von der gedachten Kugel mit dem Radius r umschlossene Ladung ist. Somit folgt:

ρ0 R23 − R13



:r>R


3ε0 r2




~ =
E
ρ0 r3 − R13

: r ∈ [R1 , R2 ]


3ε0 r2






0
: r < R1
4
1.1.4
Übergangsbedingungen
Oberflächenladungsdichte η(~r) auf der Fläche A bewirkt Unstetigkeit der Normalkomponente:
E2n (~r) − E1n (~r) =
η(~r)
ε0
Tangentialkomponente bleibt unverändert!
1.1.5
Das elektrostatische Potential
~ r) = 0 ist. Somit existiert eine skalare Funktion Φ(~r) so dass E
~ = − grad Φ(~r) ist. Dabei ist es bis auf
Es zeigt sich, dass rot E(~
eine additive Konstante Φ0 festgelegt. Es folgt aus der 1. Maxwell Gleichung die Poisson-Gleichung für das elektrostatische
Potential:
ρ(~r)
∆Φ(~r) = −
ε0
~
Bei vorgegebenen E-Feld
berechnet sich Φ gemäß
Z
Z x
E x (ξ, y0 , z0 ) dξ +
Φ(~r) = Φ(~r0 ) +
y
E x (x, ξ, z0 ) dξ +
z
E x (x, y, ξ) dξ
z0
y0
x0
Z
Aus einer Ladungsverteilung ρ in einem Volumen V ⊂ R3 ist das Potential Φ(~r) gegeben durch
Z
X qi
1
1
ρ(~r)
Φ(~r) = Φ0 +
dV 0 ∼
·
·
= Φ0 +
0
4πε0
|~r − ~r |
4πε0 i |~r − ~ri |
V
~
Durch Gradientenbildung ergibt sich das E-Feld.
1.1.6
Innere Energie einer Ladungsverteilung
Kontinuierliche Ladungsverteilung (ohne Punktladungen!):
Z Z
1 1
ρ(~r)ρ(~r 0 )
W =
dV dV 0
2 4πε0
|~r − ~r 0 |
V V
Ladungen im Feld:
W =
1
·
2
Z
ϕ(~r)ρ(~r) dV
V
Reines Feld (ohne Singularitäten!):
ε0
σ(~r) := E 2 (~r) : lokale Energiedichte , W =
2
Z
ε0 2
E (~r) dV
2
V
Diskrete Ladungsverteilung (innere Energie der Punktladungen nicht betrachtet!):
W =
1 X qi qj
·
2
|~ri − ~rj |
i6=j
5
1.1.7
Wechselwirkungsenergie von Ladungsverteilungen
Kontinuierliche Verteilung im äußeren Feld:
Z
W =
ρ(~r) ϕa (~r) dV , ϕa : äußeres Feld
V
Wechselwirkungsenergie zwischen zwei Ladungsverteilungen ρl und ρa :
Z Z
1
ρl (~r)ρa (~r 0 )
W =
·
dV dV 0
4πε0
|~r − ~r 0 |
Vl Va
Wechselwirkungsenergie zwischen zwei Punktladungen q1 , q2 :
W =
1.1.8
1
q1 q2
4πε0 |~r1 − ~r2 |
Der Dipol
Dipolmoment zweier Ladungen q, −q im Abstand ~a: definiert als p~ = q~a.
Übergang zum Punktdipol am Ort ~rd : a → 0, q → ∞ so dass p konstant bleibt, ergibt Potential:
Φ(~r) =
p~
1
p~ · (~r − ~rd )
1
·
r
3 = − 4πε · grad~
4πε0
|~r − ~rd |
0
|~r − ~rd |
Also für Punktdipol im Ursprung:
1
p cos ϑ
·
4πε0
r2
Φ(~r) =
Somit elektrostatische Feld des Punktdipols:
~r
1
~ r) = − 1 (~
p · grad) 3 =
E(~
4πε0
r
4πε0
"
3 (~r · p~) ~r
P~
−
r5
r3
#
Ladungsdichte eines Punktdipols:
ρ(~r) = −~
p · grad~r δ(~r)
1.2
Multipolentwicklung
Mit dem Multipolmoment
Qnk1 ...kn
n
Z
= 4πε0 (−1) ·
ρ(~r 0 ) r0
V
2n+1
∂ n G0 (~r 0 )
dV
∂xk1 ∂xk2 ...∂xkn
einer Ladungserteilung ρ(~r) als Tensor n-ter Stufe, erhält man das Elektrostatische Potential Φ(~r) als
Φ(~r) =
∞
X
n=0
ϕn (~r) =
∞
∞
X
X
Qnk1 ...kn
1
Qn (~r, ..., ~r)
1
·
=
·
xk · · · · · xkn
4πε0 n=0 n!r2n+1
4πε0 n=0 n!r2n+1 1
Interpretation:
a) Moment 0. Stufe: Ladung:
0
Z
Q =
ρ(~r 0 ) dV 0
V
Für hinreichende große Entfernung also
Φ0 (~r) →
6
Q
4πε0 r
b) Moment 1. Stufe: Dipolmoment
Q1i =: Pi =
Z
ρ(~r 0 )x0i dV 0 ∼ P~ =
V
Z
ρ(~r 0 )~r 0 dV 0
V
Dipolpotential:
Φ1 (~r) →
P~ · ~r
4πε0 r3
c) Moment 2. Stufe: Quadrupolmoment
3x2 − r2
3yx
dV ρ(~r) 
3zx

Q2ij =: Dij =
Z
2
ρ(~r 0 ) 3x0i x0j − r0 δij
dV 0 ∼ D̂ =
V
Z
V
3xy
3y 2 − r2
3zy

3xz

3yz
3z 2 − r2
Aus Definition folgt: D̂ symmetrischer Tensor. Quadrupolpotential:
Φ2 (~r) =
1 Dij xi xj
1 D̂(~r, ~r)
=
4πε0 2r5
4πε0 2r5
Für hinreichend große Entfernungen von der Ladungsverteilungen:
ϕ(~r) ≈ Φ0 (~r) + Φ1 (~r) + Φ2 (~r)
Zylindersymmetrische Ladungsverteilungen besitzen nur ein Dipolmoment in Richtung der Symmetrieachse. Kugelsymmetrische Ladungsverteilungen besitzen kein Dipolmoment, und auch keine Momente höherer Ordnung!
1.2.1
Energieberechnung mittels Multipolentwicklung
~ a:
Eng begrenzte Ladungsverteilung ρ im äußeren Feld ϕa , E
~ a (~r) − 1 Dij ∂Ei (~r) + . . .
W = Qϕa (~r) − P~ · E
6
∂xj
1.2.2
Kraftberechnung mittels Multipolentwicklung
~ a:
Eng begrenzte Ladungsverteilung ρ im äußeren Feld E
i
h
~ a (~r) + . . .
~ a (~r) + P~ · grad E
F~ (~r) = QE
1.2.3
Drehmoment mittels Multipolentwicklung
~ a:
Eng begrenzte Ladungsverteilung ρ im äußeren Feld E
~ a (~r) + . . .
F~ (~r) = P~ × E
1.2.4
Folgerungen für Dipol
Energie eines Dipols P~ im äußeren Feld
~ a (~r)
W = −~
p·E
~
Minimal falls p~ k E.
Kraft auf Dipol:
~ a (~r)
F~ = [~
p · grad] E
Drehmoment im äußeren Feld:
~ a (~r)
p~ × E
Energie eines induzierten Dipols:
W =−
1 ~
p~ · E
2
7
1.3
1.3.1
Das Randwertproblem der Elektrostatik
Formulierung des Problems
Betrachten N ideale Leiter Li und externe Ladungsverteilung ρ(~r). Zu berechnen: Potential Φ(~r).
Wissen:
~ = 0 innerhalb der Leiter.
• Φ konstant bzw. E
• Leiteroberflächen sind Äquipotentialflächen.
• Feldlinien stehen senkrecht auf Leiteroberfläche.
• Ladungen befinden sich alle auf der Oberfläche des Leiters, somit Oberflächenladungsdichte η.
• Aus
~ = η(~r)
~n · E
ε0
folgt für das Potential an der Oberfläche des Leiters
η(~r) = −ε0
∂Φa (~r)
|∂Li
∂n
• Außerhalb der Leiter gilt die Poissongleichung:
∆Φ(~r) = −
1.3.2
ρ(~r)
ε0
1. Grundaufgabe: Das Dirichlet-Randwertproblem
Gegeben:
a) Leiter Li und Potentiale Ui auf Leitern.
b) Externe Ladungsverteilung ρ(~r) außerhalb der Leiter.
Suchen:
a) Potential Φ(~r)
b) Oberflächenladungsdichte η(~r) auf den Leiteroberflächen.
c) Gesamtladung Qi auf den Leitern.
Lösungsweg:
a) Berechnung der Greenschen Funktion G(~r, ~r 0 ) für den Außenraum V . Dabei ist Greensche Funktion so dass:
− ε0 ∆G(~r, ~r 0 ) = δ(~r − ~r 0 )
~r ∈ ∂Li → G(~r, ~r 0 ) = 0
b) Berechnung des Potentials nach:
Z
0
0
Z
0
G(~r, ~r )∆Φ(~r ) dV − ε0
Φ(~r) =
V
Z
=
∂G(~r, ~r 0 )
dA0
∂n0
∂V
G(~r, ~r 0 )ρ(~r 0 ) dV 0 +
X
V
i
Z
Ui ·
(−ε0 )
∂Li
|
= Φρ (~r) +
Φ(~r 0 )
X
Ui · Γi (~r)
i
8
∂G(~r, ~r 0 )
dA0
∂n0
{z
}
Γi (~
r)
mit den allein von der Geometrie des Systems abhängigen Geometriefaktoren Γi (~r). Es gilt: Γi (∂Li ) = 1 und ∆Γ(~r) = 0.
Bemerke:
∂
in den Leiter hinein gerichtet!
∂n0
• Normalableitung
• Potential Φ(~r) setzt sich zusammen aus externen Potential Φρ (~r) und den durch die Potentiale der Leiter erzeugten
Potentialen.
• Beitrag der induzierten Ladungen steckt schon in Φρ (~r)
c) Berechnung der Oberflächenladungsdichte ηi (~r) gemäß
Z
Z
X
∂Φ(~r)
∂ 2 G(~r, ~r 0 )
∂G(~r, ~r 0 )
dA0
ηi (~r) = −ε0
|∂Li = −ε0
ρ(~r 0 ) dV 0 +
Uj · ε20
0
∂ni
∂ni
∂n
∂n
i
j
j
V
Bemerke: Normalableitung
∂Lj
∂
vom Leiter heraus gerichtet!
∂ni
d) Berechnung der Ladungen Qi auf den Leitern:
Z
Qi =
ηi (~r) dA
∂Li
1.3.3
2. Grundaufgabe
Bekannt:
a) Externe Ladungsverteilung ρe (~r).
Z
b) Gesamtladungen Qi = ηi (~r) dA auf Leitern.
Li
Verwenden:
a) Greensche Funktion G(~r, ~r 0 ) der Anordnung.
b) Geometriekoeffizienten
Z
Γi (~r) = −ε0
∂Li
∂G(~r, ~r 0 )
dA0
∂n0i
Gesucht
a) Potential Φ(~r) außerhalb der Leiter.
b) Flächenladungsdichten ηi (~r)
c) Potentiale auf Leitern ϕi .
Lösung:
a) Berechnung des externen Potentials
Z
Φρ (~r) =
G(~r, ~r 0 )ρ(~r 0 ) dV 0
V
b) Berechnung der von der Raumladung induzierten Ladung
Z
Z
Z Z
∂G(~r, ~r 0 )
∂Φρ (~r)
ind
ind
dA = −ε0
ρ(~r 0 ) dV 0 dA
Qj =
ηj (~r) dA = −ε0
∂nj
∂nj
∂Lj
∂Lj V
∂Lj
9
c) Berechnung der Kapazitätskoeffizienten Cij :
Z
Cij := −ε0
Z Z
∂Γi (~r)
dA = ε20
∂nj
∂Lj
∂Lj ∂Li
∂ 2 G(~r, ~r 0 )
dA0 dA
∂nj ∂n0i
↑
↑
(a) (b)
(a) : Aus dem Leiter heraus gerichtet
(b) : In den Leiter hinein gerichtet
d) Wegen
Qj = Qind
+
j
X
Ui Cij
i
folgt
Ui =
X
−1
Cij
Qj − Qind
j
j
e) Da jetzt Potentiale Ui auf Leitern bekannt, hat man das Problem auf das Dirichlet Randwertproblem zurückgeführt.
Somit kann man Φ(~r) und ηi (~r) berechnen.
1.3.4
Energie und Kraft
Verwenden:
• Potential Φ(ρ) im Außenfeld.
• Kapazitätskoeffizienten Cij
Vorgegeben:
a) Potentiale Uj auf den Leitern. Dann:
1
W =
2
Z
ρ(~r)Φρ (~r) dV +
V
1X
Cij Ui Uj
2 i,j
Beweis: Siehe 6.2.1.
b) Gesamtladungen Qi . Dann:
W =
1
2
Z
ρ(~r)Φ(~r) +
V
Kraft auf Ladungsverteilung ergibt sich als F~ = − grad W .
1.3.5
Greensche Funktion
Eigenschaften der Greenschen Funktion:
• Hat nur was mit der Geometrie zu tun!
• Symmetrie: G(~r, ~r 0 ) = G(~r 0 , ~r)
• −ε0 ∆G(~r, ~r 0 ) = δ(~r, ~r 0 )
• G(∂Li , ~r 0 ) = 0
Wichtige Greensche Funktionen:
10
1 X −1
C Qi Qj
2 i,j ij
• Halbebene x > 0




−x0
1
1
1

 , ~r˜ =  y 0 
G(~r, ~r 0 ) =
−
4πε0 |~r − ~r 0 | ~r − ~r˜
z0
Geometriekoeffizient:
1
−1
Γ(~r) =
:x≥0
:x<0
• Kugel mit dem Radius R
1
G(~r, ~r ) =
4πε0
"
0
Geometriekoeffizient:
1
1
R
− 0·
2
0
|~r − ~r | r
~r − rR0 2 ~r 0 
R


r
Γ(~r) =


0
#
:r≥R
:r<R
Kapazitätskoeffizient:
C = 4πε0 R
1.3.6
Kondensatoren
Ladung Q, Spannung U , Kapazität C:
Q = CU
Wichtige Kapazitäten:
a) Plattenkondensator: Fläche A, Plattenabstand d.
CP =
Aε0
d
b) Kugelkondensator: Innerer Radius a, äußerer Radius b.
CK =
1.4
1.4.1
4πε0 ab
b−a
Elektrostatik in Dielektrika
Polarisation
Betrachten ein Medium, das unter Einfluss eines äußeren Feldes Polarisiert werden kann. Somit entsteht eine Dipoldichte:
X
P~d (~r) :=
p~i · δ(~r − ~ri )
i
Somit Dipolpotential:
1
Φd (~r) = −
4πε0
Z
P~d (~r 0 ) · grad~r
1
~r − ~r
0
dV 0
V
Führen ein: mittlere Dipoldichte:
1
P~ (~r) :=
∆V
Z
P~d (~r + ~r 0 ) dV 0
∆V
eines minimalen Volumenelements ∆V am Ort ~r und erhalten für das mittlere Dipol-Potential am Ort ~r:
1
hΦd (~r)i = −
4πε0
Z
P~ (~r 0 ) · grad~r
1
1
dV 0 =
|~r − ~r 0 |
4πε0
V
Z ~
Z
~0
P (~r) · dA
1
div~r 0 P~ (~r 0 )
−
dV 0
|~r − ~r 0 |
4πε0
|~r − ~r 0 |
∂V
11
V
Durch Identifizierung
ρp (~r) = − div P~
,
ηp (~r) = P~ (~r) · ~n
als Polarisationsladungen erhält man
hϕd (~r)i =
1
4πε0
Z
ηp (~r 0 )
1
dA0 +
|~r − ~r 0 |
4πε0
Z
ρp (~r 0 )
dV 0
|~r − ~r 0 |
V
∂V
Bemerkungen:
• Polarisationsladungen sind die Senken des Polarisationsfeldes div P~ (~r) = −ρp (~r)
• Polarisationsladungen treten zusätzlich zu den externen oder freien Ladungen auf.
~
• Quellen des E-Feldes
sind alle Ladungen.
~ = ρp + ρe
ε0 div E
• Es gilt stets
~ =0
rot E
so dass man immer noch schreiben kann
~ = − grad Φ
E
• Die Gesamte induzierte Ladung des Dielektrikums verschwindet:
Z
Z
Z
Z
~ = − P~ (~r) dA
~+
~=0
Qp = − div P~ (~r) dV +
P~ (~r) dA
P~ (~r) dA
V
1.4.2
∂V
∂V
Dielektrische Verschiebung
Wegen Polarisationsladungen gilt jetzt:
~ = ρp + ρe
div E
ε0
mit externer Ladungsdichte ρe und Polarisationsladungsdichte ρp .
Führen neues Feld ein: die dielektrische Verschiebung:
~ r) = ε0 E(~
~ r) + P~ (~r)
D(~
für die gilt:
~ = ε0 div E
~ + div P~ = ρp + ρe − ρp = ρe
div D
1.4.3
Materialgleichungen
~
Allgemein Polarisation vom E-Feld
abhängig:
~
P~ = P~ E
Betrachten lineare, isotrope Medien:
~
P~ ∼ E
und führen die elektrische Suszeptibilität χ ein:
~ r)
P~ (~r) = ε0 χ(~r)E(~
Somit ergibt sich:
~ r) = ε0 (1 + χ(~r))E(~
~ r) = ε0 ε(~r)E(~
~ r)
D(~
mit der statischen Dielektrizitätskonstante (relative Permittivität)
ε(~r) := 1 + χ(~r)
Bemerke:
12
∂V
• Der Ausdruck
~ = ε0 ε(~r)E
~
D
gilt nur im statischen Fall, für lineare, isotrope Medien!
• ε(~r) ist eine das Material bzw. den Ort beschreibende skalare Funktion.
1.4.4
Übergangsbedingungen an Materialgrenzen
Unabhängig von der jeweiligen Materialgleichung gilt
~ = ρe ; Dn (~r) − Dn (~r) = ηe (~r)
div D
a
i
~ = 0 ; Et (~r) = Et (~r)
rot E
a
i
Für lineare, isotrope Medien insbesondere:
ε0 εa Ena (~r) − ε0 εi Eni (~r) = ηe (~r)
− ε0 εa
∂Φa (~r)
∂Φi (~r)
+ ε0 εi
= ηe (~r)
∂n
∂n
Dta
Dti
=
εa
εi
Bemerke:
• Potential Φ immer stetig!
~
• Tangentialkomponente des E-Feldes
stetig an Grenzflächen.
~
• Tangentialkomponente des D-Feldes
unstetig an Grenzflächen.
~
• Normalkomponente des D-Feldes
sind nur stetig wenn keine ηe vorhanden ist.
Speziell für ηe = 0:
Dna = Dni
und für lineare, isotrope Medien:
εa Ena (~r) = εi Eni (~r)
εa
1.4.5
∂Φi (~r)
∂Φa (~r)
= εi
∂n
∂n
Energie in dielektrischen Medien
~ und P~ -Feld ist Gesamtenergie allgemein gegeben durch
Bei gegebenem E

Z
Z
Z
1
1
2
~
~
~
~ r) · E(~
~ r) dV

W = Wρ + Wp =
ε0 E (~r) dV + P (~r) · E(~r) dV =
D(~
2
2
R3
bzw.
R3
1
W =
2
R3
Z
Φ(~r) · ρe (~r) dV
R3
wobei Φ sowohl von ρe als auch von ρp erzeugt wird!
Beachte: Enthält gesamte Energie, inklusive Energie um Dipole zu spannen und ins Feld zu bringen!
In linearen, isotropen Medien gilt insbesondere:
Z
ε0
~ 2 dV
W =
ε(~r) · E
2
R3
13
1.4.6
Kraftdichte in dielektrische Medien
Betrachten nur lineare Response:
~ r) = ε0 ε(~r)E(~
~ r)
D(~
und allgemein ρe , ρp .
Annahmen:
• Verschiebung & Deformation, aber keine Dilatation!
• Stetiges ε(~r)
Kraftdichte ergibt sich als
~ r ) − ε0 E
~ 2 grad ε(~r)
f~(~r) = ρe E(~
2
Bemerkungen:
~ d.h Polarisationsladungen
• Im Falle von homogenen Medien ε : const ergibt sich die normale Coulomb-Kraft f~ = ρe E,
spielen keine Rolle!
• Abgesehen von ρe , ist f~ antiparallel zu grad ε. Starke Dielektrika verdrängen also schwache Dielektrika.
Für stückweise stetiges ε(~r) erhalten:
∂Tij
f~(~r) = div T̂ (~r) =
· ~ei
∂xj
mit dem Maxwellschen Spannungstensor
Also Kraft auf Volumen V :
1
Tij = Ei Dj − δij Ek Dk
2
Z
Z
Z
~
~
~
T̂ (~r) · dA
F = f (~r) dV = div T̂ (~r) dV =
V
V
∂V
Somit um Kraft auf Körper K im Vakuum zu berechnen, suchen beliebiges Volumen V ⊃ K aus und verwenden obige Formel!
Bemerke: Im linearen Fall ist T̂ symmetrisch.
1.5
1.5.1
Potentialberechnung in Isolatoren - Lineare, Isotrope Medien
Die Poissongleichung
~ = 0 führen auch hier ein: E
~ = − grad Φ und verwenden
Wegen rot E
h
i
~ r) = ε0 div ε(~r)E(~
~ r) = ρe (~r)
div D(~
Inhomogene Medien:
∆Φ(~r) +
1
ρe (~r)
grad ε(~r) · grad Φ(~r) = −
ε(~r)
ε0 ε(~r)
Allgemein zu kompliziert!
Betrachten daher homogene Medien: ε : const, also
~ r) = ρe (~r) ; ∆Φ(~r) = − ρe (~r) ; Φ(~r) = 1
ε0 ε div E(~
ε0 ε
4πε0 ε
Lösung mit bekannten Methoden, nur ε0 → ε0 ε.
Stückweise konstantes ε:
∆Φi (~r) = −
Beachtung der Übergangsbedingungen an den Grenzflächen!
14
ρie (~r)
ε0 εi
Z
V
ρ(~r 0 )
dV 0
|~r − ~r 0 |
1.5.2
Methode der Greenschen Funktion
Problemstellung:
• N Dielektrika Vi mit den Dielektrizitätskonstanten εi .
• Externe Ladungsdichte ρe allgemein in jedem Dielektrikum.
• Natürliche Randbedingungen und Übergangsbedingungen.
Lösung:
a) Bestimmung der Greenschen Funktion G(~r, ~r 0 ) die in jedem Dielektrikum unterschiedlich ist:
G(~r, ~r 0 ) = Gi (~r, ~r 0 ) für ~r ∈ Vi , so dass − ε0 εi ∆Gi (~r, ~r 0 ) = δ(~r − ~r 0 )
mit den Übergangsbedingungen an Grenzflächen:
• G(·, ~r 0 ) ist stetig.
∂Gi
• εi
ist stetig, d.h
∂n
ε1
∂G1 (~r, ~r 0 )
∂G2 (~r, ~r 0 )
= ε2
|~r∈∂V1 ∩∂V2
∂n
∂n
b) Integrierung
Z
Φ(~r) =
dV 0 ρe (~r 0 )Gi (~r, ~r 0 ) dV 0 : ~r ∈ Vi
V
1.5.3
Raumladungsfreie Probleme
Für ρe = 0 und gegebener Polarisation P~ (~r) ist Potential Φ(~r) gegeben durch:
1
Φ(~r) = −
·
4πε0
Z
1
div P~ (~r 0 )
dV 0 +
0
|~r − ~r |
4πε0
V
Z ~ 0
~
P (~r ) · dA
0
|~r − ~r |
∂V
~ und D(~
~ r) Feld:
Daraus E~ r) = − grad Φ(~r) , D(~
~ r) = ε0 E(~
~ r) + P~ (~r)
E(~
~
Beachte: Polarisation nicht vom E-Feld
hervorgerufen!
15
2
Magnetostatik
Statische Magnetische und Elektrische Felder.
2.1
2.1.1
Strom & Magnetfeld
Das Ohmsche Gesetz
Betrachten Ladungsträger der Ladung q, Teilchendichte N und Masse m in einem Medium die der Bewegungsgleichung
~ r)
m ~r¨ + γ~r˙ = q E(~
genügen. Diese Ladungsbewegung entspricht einem elektrischen (konduktions-) Strom
2
~
~j = N q ·E
mγ
| {z }
σ
Oberer Zusammenhang ist das Ohmsche Gesetz mit σ als Leitfähigkeit. Man definiert ferner den Strom I durch eine Fläche
Z
~
I = ~j(~r) dA
A
Für dünne Leiter (homogene Stromverteilung) der Fläche A, Länge l und angesetzter Spannungsdifferenz V folgt für den
den Querschnitt durchfließenden Strom
l
V
, R=
I=
R
σA
2.1.2
Kontinuitätsgleichung
Für beliebige Ladungsverteilungen ρ(~r, t) und Ströme ~j(~r) gilt die Kontinuitätsgleichung (lokale Ladungserhaltung)
div ~j(~r, t) +
∂ρ(~r, t)
=0
∂t
In der Statik ist somit
div ~j = 0
Dieser Zusammenhang gilt für alle Ströme und Ladungen:
ρ ↔ ~j , ρe ↔ ~je , ρp ↔ ~jp
Bemerke: Für lineare, isotrope Medien, folgt für den statischen Fall mit σ, ε : const:
div ~j = 0 → ρe = 0
2.1.3
Übergangsbedingungen an Grenzflächen
Betrachten den Strom ~j durch eine Grenzfläche zwischen zwei Medien ε1 , σ1 und ε2 , σ2 . Im statischen Fall ist div ~j = 0, was
die Stetigkeit der Normalenkomponente des Stromes jn impliziert! Wegen Dn2 − Dn1 = ηe erhält man ferner
ε2
ε1
ηe
−
jn =
σ2
σ1
ε0
16
2.1.4
Das Magnetfeld stationärer Ströme
~ ein, dass durch stationäre Ströme erzeugt wird, gemäß:
Führen die magnetische Induktion B
~ r) =
dB(~
µ0 ~j(~s) × (~r − ~s)
µ0
d~s × (~r − ~s)
·
dV ∼
·I ·
=
3
3
4π
4π
|~r − ~s|
|~r − ~s|
Obere Formulierung wird das Biot-Savartsche Gesetz genannt.
2.1.5
Kraftwirkung des Magnetfelds
Die Kraftdichte die auf eine (bewegte) Ladungsverteilung vom Magnetfeld ausgeübt wird, ist gegeben durch
~ r) : Lorentzkraft
f~(~r) = ~j(~r) × B(~
Somit ergibt sich die Kraft zwischen zwei stromdurchflossene, dünne Leiterschleifen S1 , S2 als
Z
Z Z
µ0 I1 I2
d~s1 × [d~s2 × (~s1 − ~s2 )]
~
~
F1 = I1 · d~s1 × B2 (~s1 ) d~s1 =
·
3
4π
|~s1 − ~s2 |
S1
S1 S2
Bemerke: Die Lorenzkraft wirkt immer senkrecht zur Stromrichtung und errichtet daher keine Arbeit!
Beispiel: Zwei parallele, unendlich lange Leiter im Abstand a in Richtung der z-Achse, jeweils an den Stellen (x1 , y1 ) =
(0, 0) und (x2 , y2 ) = (a, 0).
Wollen die Kraft ausrechnen, die zwischen zwei gegenüberliegenden Leiterelementen der Länge l wirkt:
Z lZ l
µ0 I1 I2
~ez × [~ez × ((s2 − s1 )~ez + a~ex )]
F~2 =
ds1 ds2
·
3
4π
0
0
[(s2 − s1 )2 + a2 ] 2
=−
aµ0 I1 I2
·
4π
Z lZ
l
ds1 ds2
3
0
|
0
[(s2 − s1 )2 + a2 ] 2
{z
}
≥0
Aus oberem Integral ist ersichtlich:
• Sind die Ströme gleichgerichtet, so ziehen sich die Drähte an.
• Sind die Ströme entgegengerichtet, so stoßen sich die Drähte ab.
• Die Kraft wirkt senkrecht auf die Drähte.
2.2
Die Maxwellgleichungen in der Magnetostatik
Voraussetzungen:
˙
• ρ̇ = ~j = 0
~˙ = B
~˙ = 0
• E
17
·~ex
2.2.1
Differenzielle Formulierung
Wegen
~ r) = µ0 rot~r
B(~
4π
~j(~r 0 )
dV 0
|~r − ~r 0 |
Z
V
~ ein Wirbelfeld ist. Somit ist
ist ersichtlich dass B
~ r) = 0
div B(~
Ferner gilt das Amperésche oder Oerstedtsche Gesetz:
~ r) = µ0~j(~r)
rot B(~
Bemerke:
• Das Magnetfeld (magnetische Induktion) ist für stationäre Ströme ein verwirbeltes, quellenfreies Feld.
• Für das elektrische Feld gilt stets:
~ r) = 0 , div E(~
~ r) = −
rot E(~
2.2.2
ρ(~r)
ε0
Integrale Formulierung
Für eine stromdurchflossene Fläche A gilt:
Z
∂A
Für ein Volumen V ferner
Z
V
~ r) d~s = µ0
B(~
Z
~ = µ0 IA
~j(~r) dA
A
Z
~ r) dV =
div B(~
~ r) dA
~=0
B(~
∂V
~ s : const
Tip: Erste Gleichung (Amperésches Gesetz) sehr nützlich für Probleme hoher Symmetrie, bei denen zum Beispiel B·d~
auf einer Strecke ∂A ist.
Beispiele:
• Magnetfeld eines unendlichen, stromdurchflossenen Zylinders (Radius R, Stromdichte im Inneren : ~j = j0~ez ):

r

µ j · ~e
:r<R

 0 02 ϕ
~
B(~r) =


 µ0 I · ~eϕ : r ≥ R
2πr
• Magnetfeld einer stromdurchflossenen, langen Spule mit n Windungen, der Länge l. Die Symmetrieachse der Spule sei
die z-Achse und die Windungsrichtung in diesem Kontext sei rechtshändig. Somit ist im Inneren
~ r) = µ0 nI · ~ez
B(~
l
und außerhalb für l → ∞
~ r) = 0
B(~
18
2.3
Das Vektorpotential
~ = 0 führen das Vektorpotential A
~ ein:
Wegen div B
~ r) = rot A
~
B(~
~ bis auf ein Gradientenfeld eindeutig bestimmt!
Bemerke: A
2.3.1
Die Eichtransformation
~
Grundgleichung für A:
~ r) = grad div A(~
~ r) − ∆A(~
~ r) = µ0~j(~r)
rot rot A(~
Doch Wahlfreiheit
~ 0 := A
~ + grad ϕ
A
~ = rot A
~ = rot A
~ 0 unverändert! Also suchen ein A
~ 0 so dass:
lässt B
~ 0 = 0 → div A
~ + ∆ϕ = 0 : Coulomb Eichung
div A
~ ist diese Poissongleichung für ϕ(~r) lösbar, so dass es solch ein A
~ 0 geben kann. Bekommen also:
Für ein gegebenes A
~ r) = −µ0~j(~r)
∆A(~
~ 0 → A.
~ Obere stellt eine Poissongleichung für jede Komponente dar.
wobei wir wieder zurücknennen A
2.3.2
Bestimmung des Vektorpotentials
Natürliche Randbedingungen: Wie in Elektrostatik → Greensche Funktion
−µ0 ∆G(~r, ~r 0 ) = δ(~r − ~r 0 ) ; G(~r, ~r 0 ) =
µ0
1
·
4π |~r − ~r |
Somit Lösung gleich aufschreiben als
~ r) =
A(~
Z
G(~r, ~r 0 ) · ~j(~r 0 ) dV 0 =
R3
µ0
·
4π
Z
~j(~r 0 )
dV 0
|~r − ~r 0 |
R3
Lösung erfüllt automatisch Eichtransformation:
~=0
div A
für endliche Stromverteilungen!
2.4
2.4.1
Multipolentwicklung des Vektorpotentials in der Magnetostatik
Allgemeine Definition der Multipolmomente
Analog zur Elektrostatik, führen auch hier für endliche Stromverteilungen die Multipolmomente
Z
n
4π
r 0)
2n+1 ∂ G0 (~
i
n
J
:=
(−1)
ji (~r 0 )r0
dV 0
n k1 ...kn
µ0
∂xk1 ...∂xkn
V
~ entwickelbar gemäß
als Tensoren n-ter Stufe ein. Der Index ”i” deutet auf die Komponente von ~j an! Somit ist A
∞
X n Jki ,...,k
1
n
~ r) = µ0 ·
A(~
· xk1 · · · · · xkn · ~ei
4π n=0 n!r2n+1
19
2.4.2
Die wichtigsten Momente einer Stromverteilung
a) Monopolpotential:
~ m (~r) = µ0 1 ·
A
4π r
Z
~j(~r 0 ) dV 0
V
Doch wegen div ~j = 0 ist ji = div(xi · ~j) und somit
Z
Z
h
i
µ0 1
µ0 1
~0 = 0
· div xi~j(~r 0 ) dV 0 =
·
xi~j(~r 0 ) dA
Aim =
4π r
4π r
V
∂V
da ~j am Rand ∂V verschwindet. Es existieren also keine magnetischen Monopole!
b) Dipolpotential:
~ d (~r) = µ0 1
A
4π r3
Z
~j(~r 0 ) · (~r · ~r 0 ) dV 0 = − µ0 ~r × 1
4π r3
2
V
Z h
i
~r 0 × ~j(~r 0 ) dV 0
V
Führen somit magnetisches Dipolmoment m
~ ein
µ0
m
~ :=
2
Z h
i
~r 0 × ~j(~r 0 ) dV 0
V
und erhalten für das Dipolpotential
~ × ~r
~ d (~r) = 1 · m
A
4π
r3
Das Dipolfeld ergibt sich so als
~ − r2 m
~
~ d (~r) = rot A
~ d (~r) = 1 · 3~r · (~r · m)
B
5
4π
r
Fazit: In einiger Entfernung von der Stromverteilung beschreibt das Dipolpotential das gesamte Potential ausreichend gut.
Beispiel: Kreisstrom in dünnen Drähten: Übergang ~j(~r 0 )dV 0 → Id~s 0 . Dipolmoment einer beliebigen, in einer Ebene
liegenden, stromdurchflossenen Schleife, gegeben durch
~
m
~ = µ0 I A
~ = A~n der Flächennormalenvektor ist.
wobei A
2.5
2.5.1
Magnetostatik in Materie
Die Magnetisierung
Analog zur Elektrostatik, auch hier mikroskopische magnetische Dipole (molekulare Ströme), mit dem Dipolfeld
~ × (~r − ~r 0 )
~ r) = 1 · m
A(~
3
4π
|~r − ~r 0 |
Führen die Dipoldichte
~ m (~r) =
M
X
m
~ i δ(~r − ~r 0 )
i
und die mittlere Dipoldichte (Magnetisierung)
~ (~r) = 1
M
∆V
Z
~ m (~r + ~r 0 ) dV 0
M
∆V
20
ein, und erhalten so das mittlere Dipolpotential definiert als
Z
D
E
~ m (~r + ~r 0 ) dV 0
~ m (~r) = 1
A
A
∆V
∆V
durch:
Z ~
D
E
1
M (~r) × (~r − ~r 0 )
~
Am (~r) =
dV 0
4π
|~r − ~r 0 |
V
Für die Magnetisierung folgt
~ (~r) = µ0~jm (~r)
rot M
Die Wirbel des Magnetisierungsfeldes sind die molekularen Ströme.
2.5.2
~
Das H-Feld
Führen das Hilfsfeld
h
i
~ r) := 1 B(~
~ r) − M
~ (~r)
H(~
µ0
ein für das gilt
~ = ~je , div H
~ = − 1 div M
~ (~r)
rot H
µ0
wobei jetzt ~je die externen Ströme seien. Dabei gilt:
~
• Die Wirbel des H-Feldes
sind die makroskopischen Ströme.
~
~ -Feldes.
• Die Quellen des H-Feldes
sind die Senken des M
~
• Das B-Feld
ist stets quellenfrei.
2.5.3
Materialgleichungen
Allgemein nicht linearer Zusammenhang
~ =M
~ B
~
M
Betrachten jedoch linearen Zusammenhang:
~ (~r) =
M
χm ~
~ r) = 1 B(~
~ r)
B(~r) → H(~
1 + χm
µµ0
mit der magnetischen Suszeptibilität χm und der relativen (magnetischen) Permeabilität µ := 1 + χm . Somit folgt für
konstantes µ die Poissongleichung
~ r) = −µµ0~je (~r)
∆A(~
Somit alle bekannten Lösungswege anwendbar: µ0 → µµ0 :
~ r) = µµ0
A(~
4π
Z ~
je (~r 0 )
|~r − ~r 0 |
V
21
2.5.4
Übergangsbedingungen an Grenzflächen
~ = 0 folgt
Betrachten stückweise konstantes µ. Wegen div B
Bn (~r) stetig
~ r) = ~je (~r) folgt
Wegen rot H(~
H2t (~r) − H1t (~r) = jeOF (~r)
Bemerke: Da Oberflächenströme meist 0 ist H t meist auch stetig.
2.5.5
Raumladungsfreie Probleme
~ und ~je . Dann ist
Betrachten vorgegebene Magnetisierung M
~ = ~je = 0 , div H
~ =−
rot H
~
div M
µ0
Führen deshalb skalares Potential ϕm ein:
~
~ = − grad ϕm → ∆ϕm (~r) = div M (~r)
H
µ0
~ . Somit für
Also analoge Lösungsmethoden zu Elektrostatik mit vorgegebener Raumladung: ε0 → µ0 , ρ(~r) → − div M
differenzierbare Magnetisierungen:
Z
Z ~ 0
~ (~r 0 )
1
1
div~r 0 M
M (~r )
0
dV
=
−
dV 0
ϕm (~r) = −
grad
~
r
4πµ0
|~r − ~r 0 |
4πµ0
|~r − ~r 0 |
V
Bemerke: Für große Entfernungen ist
V
1
1
≈ so dass sich ergibt
0
|~r − ~r |
r
ϕm (~r) = −
1
m
~ · ~r
· 3 , m
~ :=
4πµ0
r
Z
~ (~r) dV 0
M
V
was genau einem Dipolfeld entspricht!
Für nicht differenzierbare Magnetisierungen, z.B an Grenzflächen, in Analogie zur Elektrostatik in Dielektrika:
Z
Z ~ 0
~
~ (~r 0 )
1
div~r 0 M
1
M (~r ) · dA
0
ϕm (~r) = −
dV
+
0
0
4πµ0
|~r − ~r |
4πµ0
|~r − ~r |
V
2.6
2.6.1
∂V
Energie des magnetostatischen Feldes oder einer stationären Stromverteilung
Allgemeine Formulierung
Annahme: Lineare Response:
~ r) = 1 B(~
~ r)
H(~
µµ0
Feldenergie:
W =
1
2
Z
~ r) · H(~
~ r) dV
B(~
R3
22
Energie in Strömen und Potential:
W =
1
2
Z
~ r) · ~je (~r)
A(~
V
bzw.
W =
Z Z ~
je (~r 0 )~je (~r)
dV dV 0
|~r − ~r 0 |
µµ0
8π
V V
2.6.2
Spezialfall: Dünne Leiter im Vakuum
Betrachten n dünne Leiter Si , durchflossen durch die Ströme Ii . Mit den Gegeninduktionskoeffizienten
Z Z
µ0
d~si d~sj
Lij :=
, i 6= j
4π
|~si − ~sj |
Si Sj
und Selbstinduktionskoeffizienten
Lii :=
µ0
4πI 2
Z Z ~
ji (~r)~ji (~r 0 )
dV 0 dV
|~r − ~r 0 |
Vi Vi
ist die Energie gegeben durch
W =
1X
Lij Ii Ij
2 i,j
Andere Darstellung: Mit dem magnetischen Fluss
Z
Φi =
~ r) dA
~=
B(~
X
Lij Ij
j
Fi
durch die i-te Schleife, ist
W =
2.7
2.7.1
1X
Φi Ii
2 i
Kräfte im äußeren Magnetfeld
Kleine Stromverteilungen
Vorgegeben:
• Vakuum.
• Endliche Stromverteilung ~j im Volumen V .
~ a (~r) in V : etwa konstant im gesamten V , so dass Näherung gilt:
• Magnetfeld B
~ a (~r + ~r 0 ) ≈ B
~ a (~r) + (~r 0 · grad~r ) B
~ a (~r)
B
Kraftdichte:
~ a (~r)
f~(~r) = ~j(~r) × B
Mit dem magnetischen Moment
µ0
m
~ r :=
2
Z
~r 0 × ~j(~r + ~r 0 ) dV 0
V
ergibt sich die Gesamtkraft als:
h
i
1
1
~ a (~r) = 1 B
~ a0 (~r) · m
~ a (~r) , (∗) : Ableitung
F~ (~r) ≈
(m
~ r · grad~r ) B
grad m
~r ·B
~r =
µ0
µ0 ↑
µ0
∗
23
Wegen F~ (~r) = − grad W ist die Energie gegeben durch
W ≈−
Außerdem Drehmoment:
1
~ a (~r)
m
~r ·B
µ0
~r ≈ 1 m
~ a (~r)
M
~r ×B
µ0
Bemerkung: Ergebnisse entsprechen Energie, Kraft und Drehmoment auf einen magnetischen Dipol in einem magnetostatischen Feld.
2.7.2
Leiterschleife im äußeren Magnetfeld
Vorgegeben:
~
a) Konstantes äußeres Magnetfeld B
b) Geschlossene Leiterschleife S, in der ein stationärer Strom I fließt.
~.
Gesucht: Auf die Schleife wirkendes Drehmoment M
Lösung 1: Mit dem magnetischen Dipolmoment
µ0 I
m
~ :=
2
Z
~s × d~s
S
ist
~ = 1m
~
M
~ ×B
µ0
Lösung 2: Aus der Definition des Drehmoments und der Lorenzkraft folgt direkt
Z
~
~
M = I · ~s × d~s × B
S
Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis. Zum Beweis siehe 6.3.1.
2.7.3
Der Maxwellsche Spannungstensor - Magnetische Anteil
Vorgegeben:
~
• Magnetfeld B
~ = µ(~r)µ0 H
~
• Lineare Response: B
Mit dem Maxwellschen Spannungstensor
Tijm = (Bi Hj ) −
erhält man die Kraftdichte
f~ =
δij ~ ~
·B·H
2
∂Tijm
· ~ei = div T̂ m
∂xj
und somit die Gesamtkraft auf ein Volumen V
F~ (~r) =
Z
∂V
24
~
T̂ m · dA
3
Langsam veränderliche Felder
3.0.4
Erläuterung: langsam veränderliche Felder
Betrachten als langsam veränderlich Felder für die gilt
∂ ~ << ~j D
∂t Für harmonisch, mit der Kreisfrequenz ω oszillierende Felder im Dielektrikum ε der Leitfähigkeit σ also
ωε0 ε
<< 1
σ
3.1
Das Induktionsgesetz
3.1.1
Ruhende Systeme
Beobachtung: Änderung des magnetischen Feldes verwirbelt elektrisches Feld → induzierte Ströme:
~ r, t) = − ∂ B(~
~ r, t)
rot E(~
∂t
Somit Faradaysches Induktionsgesetz:
Z
Z
Z
d
~ r, t) dA
~ = − ∂Φ , Φ(t) := B(~
~ r, t) d~
~ r, t) dA
~
B(~
E(~
~r = −
dt
∂t
O
∂O
O
für eine beliebige Fläche O. Speziell für stromdurchflossene Leiterschleife
Uind = −
∂Φ
∂t
Für N Leiterschleifen, mit Induktionskoeffizienten Lij :
X
Φi =
Lij Ij → Uiind = −
j
d X
Lij Ij
dt j
Bemerke: Lij und Ij können beide Zeitabhängig sein!
3.1.2
Bewegte Inertialsysteme
Inertialsystem bewegt sich mit Relativgeschwindigkeit ~v bzgl. der Felder. Dann ist im bewegten System
h
i
~ − ~v × B(~
~ r, t) = − ∂ B(~
~ r, t)
rot E
∂t
~
Ist E
0
~
das E-Feld
im ruhenden System , so ist
~ r, t) = E
~ 0 (~r, t) + ~v × B(~
~ r, t)
E(~
3.2
3.2.1
Bestimmung der Felder
Die Maxwellgleichungen bei langsam veränderlichen Feldern
Allgemein in Medien:
~ r, t) = −
rot E(~
∂ ~
B(~r, t)
∂t
~ r, t) = ρe (~r, t)
div D(~
~ r, t) = ~je (~r, t)
rot H(~
~ r, t) = 0
div B(~
25
3.2.2
Die Potentialgleichungen
~ ein:
Führen auch hier Vektorpotential A
~ r, t) = rot A(~
~ r, t)
B(~
so dass
~ =−
rot E
∂
~ → rot E
~ + ∂A = 0
rot A
∂t
∂t
gilt, und man somit auch ein skalares Potential Φ einführen kann:
~+ ∂A
~ = − grad Φ
E
∂t
Durch diese beiden Potentiale sind die homogenen Maxwellgleichungen automatisch gesichert! Man erhält durch direkte
Manipulation die DGL
∆Φ = −
ρ
∂
~
−
div A
ε0
∂t
~ = grad div A
~ − µ0~j
∆A
Durch die Transformation
~ 0 := A
~ + grad Ψ , Φ0 = Φ − ∂Ψ
A
∂t
~ und B,
~ und es zeigt sich dass immer die so genannte Coulomb Eichung möglich ist:
ändert sich nichts für die Felder E
!
~=
div A
0
Man erhält so unter oberer Eichung die Poissongleichungen
∆Φ = −
ρ
~ = −µ0~j
, ∆A
ε0
die identisch sind mit den Gleichungen der Statik. Die Potentiale und somit auch die Felder folgen also adiabatisch den
Quellen und Wirbeln.
3.3
3.3.1
Wechselstromtechnik
Kirchhoffsche Regeln
Betrachten langsam veränderliche (niederfrequente) Ströme in Leitern Li .
Knotenregel Die Summe aller in und aus einem Leiter-Knoten fließenden Ströme ist 0:
X
Ik = 0
k
Folgt aus Kontinuitätsgleichung.
Maschenregel: Die Summe aller in einem Leiterkreis abfallenden bzw. ansteigenden Spannungen Uk ist 0:
X
Uk = 0
k
Bemerkung:
• Im Leiterkreis konsistent eine Zählrichtung anwenden und alles auf diese Richtung beziehen!
• Strom I fließt in Richtung Spannungsabfall!
• Spannungsanstieg am Widerstand: UR = −IR
• Spannungsanstieg am Kondensator: UC = −
Q
C
26
• Spannungsanstieg an Induktion: Ui = −LI˙
Besser formuliert: In einem Leiterkreis S ist:
Z
Z
X
~ s) d~s = Uind = − d Φ = − d
~ r) dA
~=−d
E(~
B(~
Li Ii
dt
dt
dt i
S
∂S
Betrachten dazu folgenden Stromkreis:
Bzgl. der illustrierten Umlaufrichtung ist:
Z
Z
Z
~ d~r + E
~ d~r = −L dI → IR + Q + L dI = Ue
~ d~r + E
E
dt
C
dt
R
C
Ue
| {z } | {z } | {z }
−Ue
UR =IR
UC = Q
C
wobei I der bzgl. dieser Richtung fließende Strom ist.
3.3.2
Additionstheoreme für Widerstände und Kapazitäten
Widerstände:
• Parallele Schaltung:
X 1
1
=
R
Ri
i
• Reihenschaltung:
R=
X
Ri
i
Kapazitäten:
• Parallele Schaltung:
C=
X
Ci
i
• Reihenschaltung:
X 1
1
=
C
Ci
i
3.3.3
Schwingungen
In einfachen Schleifen mit Spannungsquellen Ul , Induktionen Lk , Widerständen Rj und Kapazitäten Ci ergeben sich meist
lineare Differentialgleichungen vom Typ
X
X
X
X I
X
X
X
X Qi
=
Ul
→
I¨ +
Rj I˙ +
=
U̇l
Lk I˙ +
Rj I +
Ci
Ci
j
i
j
i
k
k
l
l
| {z }
Innhomogenität
bzw. gekoppelte Varianten → Lösbar durch e-Ansatz → periodische Lösungen (Schwingungen) oder exponentielles Verhalten
(meist Abklingen).
Bei periodischer Innhomogenität, speziell harmonischer Erregung der Frequenz ω → suchen quasistationäre Lösung → machen
periodischen Ansatz vom Typ I(t) = I0 eiωt und gehen damit in die DGL ein.
27
Methode der Impedanzen: Betrachten harmonisch erregten Stromkreis, mit Erregungsspannung U = U0 cos(ωt). Problem: Berechnung der quasistationären Lösung.
Verallgemeinern den Begriff des Widerstandes zu den so genannten Impedanzen Z ∈ C:
• Ohmscher Widerstand: R → R
• Induktivität: L → iωL
• Kapazität: C → −
i
ωC
Erweitern (gesuchten) Strom I in einem Stromkreis zum komplexen Strom
I = I0 eiωt , I, I0 ∈ C
und Spannungsquelle (Erregung)
U = U0 eiωt , U, U0 ∈ C
Bemerkung: U0 und I0 enthalten Anfangsphase!
Ausgehend vom Ohmschen Gesetz → Verallgemeinerung:
I0 =
U0
Z
wobei Z die Gesamtimpedanz des Stromkreises ist und nach den gleichen Regeln berechnet wird wie bei normalen Ohmschen
Widerständen! Der Betrag |Z| wird auch Scheinwiderstand genannt. Der wirkliche Strom I r ergibt sich schließlich als
I r = < I0 eiωt
3.3.4
Leistung und Energie im Stromkreis
Allgemein:
a) Von der Quelle abgegebene Leistung: PQ = U I
b) An Ohmschen Widerständen verbrauchte Leistung: PR = I 2 R
c) Zum Aufbau (und Abbau) der Felder verbrauchte Leistung: PF = PQ − PR
In harmonischen Schwingungen:
p
p
1
a) Scheinleistung: Ps = U 2 · I 2 = U0 I0
2
1
U0 I0 cos(∆ϕ) = P R
2
p
1
c) Blindleistung: Pb = U0 I0 sin(∆ϕ) = Ps2 − Pw2
2
b) Wirkleistung: Pw =
Energie in Komponenten:
a) In Kapazitäten:
WC =
CU 2
: elektrische Energie
2
WL =
LI 2
: magnetische Energie
2
b) In Induktivitäten:
Energiebilanz:
d
d
WL (t) + WC (t) = Uext I(t) − RI 2 (t)
dt
dt
28
4
4.1
Das vollständige System der Maxwellgleichungen
Das System der Maxwellgleichungen
4.1.1
Die Maxwellgleichungen im Vakuum
Quellen der Felder:
~ r, t) =
div E(~
ρ(~r, t)
ε0
~ r, t) = 0
, div B(~
Wirbel der Felder:
~ r, t) = − ∂ B(~
~ r, t) , rot B(~
~ r, t) = µ0~j(~r, t) + 1 ∂ E(~
~ r, t)
rot E(~
∂t
c2 ∂t
4.1.2
Die Maxwellgleichungen in Medien
Quellen der Felder:
~ r, t) = ρe (~r, t) , div B(~
~ r, t) = 0
div D(~
Wirbel der Felder:
~ r, t) , rot H(~
~ r, t) = ~je (~r, t) + ∂ D(~
~ r, t)
~ r, t) = − ∂ B(~
rot E(~
∂t
∂t
wobei ~je = ~jconv + ~jcond die makroskopische Stromdichte ist, und
h
i
~ r, t) = 1 B(~
~ r, t) − M
~ (~r, t)
H(~
µ0
,
~ r, t) = ε0 E(~
~ r, t) + P~ (~r, t)
D(~
Bemerkung: Natürlich gelten die Maxwellgleichungen des Vakuums auch in Medien. Doch sind dabei alle Ströme und
Ladungen zu betrachten.
4.1.3
Ströme und Kontinuitätsgleichungen
Ladungen:
ρ(~r, t) = ρe (~r, t) + ρp (~r, t)
Ströme:
~j(~r, t) = ~je (~r, t) + ~jm (~r, t) + ~jp (~r, t)
mit ~jm , ~jp als den molekularen bzw. Polarisationsströmen. Es gilt
~jp (~r, t) = ∂ P~ (~r, t)
∂t
~jconv (~r, t) = [~v · grad ρe (~r, t)] · ~v
|~v |
∂
div ~jconv (~r, t) + ρe (~r, t) = 0
|
{z
} ∂t
div ~jcond (~r, t) = div ~jm (~r, t) = 0
div ~je (~
r ,t)
div ~jp (~r, t) +
∂
ρp (~r, t) = 0
∂t
29
4.2
4.2.1
Zeitabhängige Felder
Die Response-Funktion
Betrachten:
• Medium reagiert nicht momentan auf Veränderungen der Felder.
• Medium reagiert auf Felder unterschiedlicher Frequenzen unterschiedlich.
~ r, t): Verhalten der Polarisation P~ (~r, t) bei einer Erregung
• Medium hat lokale, lineare Response-Funktion R(~
~ r, t) = ~e · δ(t)
E(~
• Somit ist Reaktion des Mediums für allgemeine Erregungen gegeben durch die Faltung
~ r, ·) → P~ (~r, t) = ε0
P~ (~r, ·) = R(~r, ·) ∗ E(~
Z∞
~ r, t − τ ) dτ
R(~r, τ ) · E(~
−∞
Bemerke: Allgemeines Prinzip der linearen Systeme!
• Fordert man Kausalität, so ist R(~r, t) = 0 für t < 0, also
P~ (~r, t) = ε0
Z∞
~ r, t − τ ) dτ
R(~r, τ ) · E(~
0
4.2.2
Übergang in den Frequenzraum
Aus der Mathematik weis man über die Fouriertransformation der Faltung:
F(f ∗ g) = F(f ) · F(g)
Nennen für ein beliebiges Feld F~ :
i
h
F~f (~r, ω) := F F~ (~r, ·) (ω)
und führen die (allgemein komplexe) Suszeptibilitätsfunktion des Materials ein
χ(~r, ω) := F [R(~r, ·)] (ω)
so dass wir erhalten
~ f (~r, ω) → D
~ f (~r, ω) = ε0 [1 + χ(~r, ω)] ·E
~ f (~r, ω)
P~f (~r, ω) = ε0 χ(~r, ω) · E
|
{z
}
ε(~
r ,ω)
mit der komplexen dielektrischen Funktion ε(~r, ω). Durch Rücktransformation erhält man dann:
h
i
~ r, t) = F −1 ε0 ε(~r, ω) · E
~ f (~r, ω)
D(~
Analog geht man auch für die Leitfähigkeit σ vor:
~ f (~r, ω)
~jf (~r, ω) = σf (~r, ω) · E
Bemerkung:
• < {ε(ω)} → Dispersion
• = {ε(ω)} → Absorption
• Beide Größen hängen im allgemeinen zusammen
30
4.2.3
Die Maxwellgleichungen im Fourierraum
Wirbel der Felder:
~ f (~r, ω) = iω B
~ f (~r, ω)
rot E
~ f (~r, ω)
~ f (~r, ω) = −iω D
~ f (~r, ω) + ~jf (~r, ω) ∼
rot H
= [−iωε0 ε(~r, ω) + σf (~r, ω)] · E
4.2.4
Übergangsbedingungen an Grenzen zweier Medien
Zwischen zwei Medien ε1 , ε2 ist:
~ =−∂B
~ ; Et (~r, t) : stetig
rot E
∂t
~ = ρe ; Dn2 (~r, t) − Dn1 (~r, t) = ηe (~r, t)
div D
~ = ~je ; Ht2 (~r, t) − Ht1 (~r, t) = jeOF (~r, t)
rot H
~ = 0 ; Bn (~r, t) : stetig
div B
Speziell für ηe (~r, t) = 0 ist Dt (~r, t) stetig, so dass folgt
ε1 (~r, ω)En1 (~r, ω) = ε2 (~r, ω)En2 (~r, ω)
4.3
4.3.1
Die elektrodynamischen Potentiale und die Eichtransformationen
Potentiale
~ und skalares potential Φ ein:
Analog zu vorhin, führen auch hier Vektorpotential A
~ r, t) = − grad Φ(~r, t) − ∂ A(~
~ r, t) , B(~
~ r, t) = rot A(~
~ r, t)
E(~
∂t
so dass automatisch die homogenen Maxwellgleichungen
~ =−∂B
~ , div B
~ =0
rot E
∂t
erfüllt sind.
4.3.2
Eichtransformationen
~ und Φ sind nicht eindeutig bestimmt. Die Transformation
Die Potentiale A
Φ0 (~r, t) := Φ(~r, t) −
∂
~ 0 (~r, t) := A(~
~ r, t) + grad Ψ(~r, t)
Ψ(~r, t) , A
∂t
~ und B
~ invariant.
lässt für beliebiges Ψ(~r, t) physikalische Felder E
31
4.4
4.4.1
Die Wellengleichungen im Vakuum
Homogene Wellengleichung
Für ~j(~r, t) = 0 und ρ(~r, t) = 0 ergeben sich sofort die Wellengleichungen
~ r, t) −
∆E(~
1 ∂2 ~
E(~r, t) = 0
c2 ∂t2
~ r, t) −
∆B(~
1 ∂2 ~
B(~r, t) = 0
c2 ∂t2
1
.
ε0 µ0
Grundlösungen sind ebene Wellen:
mit c2 :=
~ r, t) = E
~ 0 ei(ωt−~k·~r) , B(~
~ r, t) = B
~ 0 ei(ωt−~k·~r)
E(~
für die notwendigerweise gilt:
~ ⊥ ~k ⊥ B
~ ⊥E
~
E
Wellen im Vakuum sind somit Transversalwellen!
Beweis: Siehe 6.5.1
4.4.2
Inhomogene Wellengleichung
Einarbeitung der inhomogenen Maxwellgleichungen ergibt die gekoppelten, inhomogenen Wellengleichungen
~ r, t) − grad div A(~
~ r, t) + 1 ∂ Φ(~r, t) = −µ0~j(~r, t)
2A(~
c2 ∂t
2Φ(~r, t) +
∂
~ r, t) + 1 ∂ Φ(~r, t) = − ρ(~r, t)
div A(~
∂t
c2 ∂t
ε0
→ Mittels geeigneter Eichtransformationen (Abschnitt 4.3.2) zu entkoppeln!
Beweis: Siehe 6.5.2.
Lorentzeichung: Fordern
!
~ + 1 ∂ Φ(~r, t) =
div A
0
2
c ∂t
so dass sich die entkoppelten Wellengleichungen
~ r, t) −
∆A(~
1 ∂2 ~
A(~r, t) = −µ0~j(~r, t)
c2 ∂t2
∆Φ(~r, t) −
1 ∂2
ρ(~r, t)
Φ(~r, t) = −
2
2
c ∂t
ε0
ergeben, deren Lösungen gegeben sind durch die retardierten Potentiale
Φ(~r, t) =
1
4πε0
|~r−~r 0 |
Z ρ ~r 0 , t − c
|~r − ~r 0 |
dV 0
R3
~ r, t) = µ0
A(~
4π
|~r−~r 0 |
Z ~j ~r 0 , t − c
|~r − ~r 0 |
R3
32
dV 0
Bemerke: Retardierten Potentiale resultieren aus Kausalität!
Coulomb Eichung
Führen die Eichung
!
~ r, t) = 0
div A(~
ein und erhalten aus den ursprünglichen (gekoppelten) Wellengleichungen, für das skalare Potential
Z
ρ(~r, t)
1
ρ(~r 0 , t)
∆Φ(~r, t) = −
→ Φ(~r, t) =
dV 0
ε0
4πε0
|~r − ~r 0 |
V
und für das Vektorpotential die DGL
~ r, t) −
2A(~
∂
1
grad Φ(~r, t) = −µ0~j(~r, t)
c2
∂t
Diese ist eigentlich entkoppelt, da Φ bekannt ist. Jedoch ergibt sich durch direktes einsetzen von Φ, Berücksichtigung der
Kontinuitätsgleichung, und der Entwicklung
~j(~r, t) = ~jL (~r, t) + ~jT (~r, t)
wobei div ~jT = rot ~jL = 0 ist, schließlich die Wellengleichung
~ = −µ0~jT (~r, t)
2A
Dabei ist ~jL der so genannte longitudinale und ~jT der transversale Stromanteil. Somit ergeben sich die Lösungen der Wellengleichung unter der Coulomb Eichung, als
Φ(~r, t) =
1
4πε0
Z
ρ (~r 0 , t)
dV 0
|~r − ~r 0 |
R3
~ r, t) = µ0
A(~
4π
Z ~jT
|~r−~r 0 |
~r 0 , t − c
|~r − ~r 0 |
dV 0
R3
Bemerkungen:
• Der transversale Stromanteil ist nicht geometrisch zu deuten, sondern lediglich im Kontext zu verstehen, dass jedes
Vektorfeld in ein Wirbelfeld und ein Gradientenfeld zerlegt werden kann! Es ist:
Z ~ 0
j(~r , t)
~jT (~r) = 1 rot rot~r
dV 0
4π
|~r − ~r 0 |
• Lösungen sind verträglich mit der Coulomb Eichung, denn:
h
i
~ r, t) = 2 div A(~
~ r, t)
0 = −µ0 div ~jT (~r, t) = div 2A(~
4.5
4.5.1
Energiesatz der Elektrodynamik - Der Poyntingsche Satz
Vakuum und lineare, isotrope, nicht dispersive Medien
Voraussetzungen:
~ r, t) = ε(~r)ε0 E(~
~ r, t) , H
~ =
D(~
1 ~
B(~r, t)
µ(~r)µ0
Definieren den Poynting Vektor
~ r, t) := E(~
~ r, t) × H(~
~ r, t)
S(~
und erhalten den Poyntingschen Satz im Vakuum
33
∂
∂t
1~ ~
1~ ~
E·D+ B
·H
2
2
~ = − div S
~
+ ~je · E
Beweis: Siehe Abschnitt 6.4.1.
Interpretation: Mit der elektromagnetischen Feldenergiedichte
we :=
1~ ~
1~ ~
E·D+ B
·H
2
2
und der mechanisch errichteten Arbeit
∂wk ~ ~
= je · E
∂t
stellt der Poyntingsche Satz eine Energiebilanz des Systems V dar:
∂
~ → ∂ (Wm + We ) = −
(We + Wk ) = − div S
∂t
∂t
Z
~ dA
~
S
∂V
Hier ist Wk die kinetische bzw. mechanische (insofern keine anderen Kräfte auf die Teilchen wirken) Energie des Systems,
~ stellt somit die Energiestromdichte der Felder dar.
und S
4.5.2
Dispersive & absorptive Medien - Monochromatische Felder
Voraussetzungen:
ε(~r, ω) , µ(~r, ω)
Für monochromatische Felder
n
o
n
o
~ r, t) = < E
~ f (~r, ω0 )eiω0 t , H(~
~ r, t) = < H
~ f (~r, ω0 )eiω0 t
E(~
ist es notwendig, bei Energiebetrachtungen die zeitliche Mittelung
2 D
2
E
D
E
~ 2 (~r, t) = 1 H
~ 2 (~r, t) = 1 E
~ f (~r, ω0 ) , H
~ f (~r, ω0 ) ,
E
2
2
der Felder zu betrachten. Es folgt aus obigen Voraussetzungen, der Pointingsche Satz in dispersiven Medien:
n
E
oi D
ω0 h n ~ ∗ ~ o
~∗·M
~ f + ~je · E
~ = − div hSi
= Ef · Pf + = H
f
2
Speziell für lineare Medien
ε(~r, ω) , µ(~r, ω)
ist
~ ∗ (~r, ω) , M
~ ∗ (~r, ω) = µ0 χm (~r, ω)H
~ ∗ (~r, ω)
P~f∗ (~r, ω) = ε0 χe (~r, ω)E
f
f
f
Im Falle ~je = 0 geht der Satz in die Form
2
2 ω0
~
~
div hSi = −
ε0 = {ε(~r, ω0 )} Ef (~r, ω0 ) + µ0 = {µ(~r, ω0 )} Hf (~r, ω0 )
2
über.
Bemerkungen:
• Lokale Energieverluste/-gewinne (Senken/Quellen von hSi) hängen mit =ε, =µ zusammen.
• Bereiche mit =ε, =µ → 0 ; Transparenzgebiete.
34
4.5.3
Dispersive & absorptive Medien - Enge Spektren
Voraussetzungen:
ε(~r, ω) , µ(~r, ω) , ~j(~r, t) = 0
Betrachten Felder mit langsam veränderlichen Amplituden
o
n
~ r, t) = < E
~ 0 (~r, t)eiω0 t
E(~
mit engen Spektra
Z
~ 0 (~r, t) =
E
∆ω
~ 0f (~r, ω)eiωt dω ; E
~ f (~r, ω) = E
~ 0f (~r, ω − ω0 )
E
Dann lautet der Poyntingsche Satz unter Näherungen:
D
E
D
E
∂
~ 2 (~r, t) + µ0 ω0 = {µ(~r, ω0 )} H
~ 2 (~r, t)
hw(~r, t)i = − div hS(~r, t)i − ε0 ω0 = {ε(~r, ω0 )} E
∂t
mit der zeitlich gemittelten Energiedichte
hw(~r, t)i =
E µ ∂ [ω < {µ(~r, ω )}] D
E
ε0 ∂ [ω0 < {ε(~r, ω0 )}] D ~ 2
0
0
0
~ 2 (~r, t)
E (~r, t) +
H
2
∂ω0
2
∂ω0
Bemerke:
• Im Transparenzgebiet ist
D
E
∂
~ r, t)
hw(~r, t)i = − div S(~
∂t
• Bei zu vernachlässigender Dispersion ist
hw(~r, t)i =
4.6
D
E
D
E
1
~ 2 (~r, t) + 1 µ0 < {µ(~r, ω0 )} H
~ 2 (~r, t)
ε0 < {ε(~r, ω0 )} E
2
2
Der Impulssatz der Elektrodynamik
Annahme: Feld und sich bewegende Ladung im Vakuum.
4.6.1
Die Kraftdichte
Allgemein gegeben durch
~ r, t) + ~j(~r, t) × B(~
~ r, t)
f~(~r, t) = ρ(~r, t)E(~
4.6.2
Der Maxwellsche Spannungstensor
~ = ε0 E
~ und B
~ = µ0 H
~ ist der Maxwellsche Spannungstensor des elektromagnetischen Feldes im Vakuum definiert als
Mit D
Tensor 2. Stufe:
Tij (~r, t) = ε0 Ei Ej + µ0 Hi Hj − δij w(~r, t)
mit der Energiedichte
w(~r, t) =
ε0 ~ 2 µ0 ~ 2
E +
H
2
2
35
4.6.3
Impulsbilanz
Die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes im Vakuum ist gegeben durch
p~e (~r, t) =
1 ~
1 ~
~ r, t)
S(~r, t) = 2 E(~
r, t) × H(~
c2
c
Somit Impuls des gesamten Feldes:
P~e (t) =
Z
p~e (~r, t) dV
V
Bilanz für mechanische Impulsdichte p~m (~r, t):
p~˙m (~r, t) = f~(~r, t)
Für den mechanischen Impuls P~m der geladenen Teilchen im System gilt somit
Z
d ~
Pm (t) = f~(~r, t) dV
dt
V
Lokale Impulsbilanz:
1 ∂ ~ ~
∂Tij
d
S + f = div T̂ =
~ei →
(~
pe + p~m ) = div T̂
c2 ∂t
∂xj
dt
Globale Impulsbilanz:
d ~
Pe + P~m =
dt
Z
~
T̂ · dA
∂V
Bemerkung: T̂ stellt die (Tensorielle) Impulsstromdichte des elektromagnetischen Feldes dar!
36
5
Elektromagnetische Wellen
5.1
Vakuum
Voraussetzung: Keine Quelle und Wirbel: ~j = ρ = 0
5.1.1
Potentialgleichungen
Lorenz Eichung:
~ r, t) + 1 Φ(~r, t) = 0
Lorenz Eichung: div A(~
c2
Wellengleichungen: ∆Φ(~r, t) −
2
1 ∂2
~ r, t) − 1 ∂ A(~
~ r, t) = 0
Φ(~
r
,
t)
=
0
,
∆
A(~
c2 ∂t2
c2 ∂t2
~ r, t) = − ∂ A(~
~ r, t) − grad Φ(~r, t) , B(~
~ r, t) = rot A(~
~ r, t)
Felder: E(~
∂t
Coulomb Eichung:
~ r, t) = 0
Coulomb Eichung: div A(~
~ r, t) −
Poisson & Wellengleichung: ∆Φ(~r, t) = 0 , ∆A(~
1 ∂2 ~
A(~r, t) = 0
c2 ∂t2
~ r, t) , B(~
~ r, t) = rot A(~
~ r, t)
~ r, t) = − ∂ A(~
Felder: E(~
∂t
Einfachste Lösung: Transversale, ebene Wellen:
~ r, t) = ~a ~k ei(ωt−~k·~r) , div A(~
~ r, t) = 0 → ~a ⊥ ~k
A(~
Dispersionsrelation:
k2 =
ω2
, c : Phasengeschwindigkeit, ~k : Wellenvektor, ω : Kreisfrequenz
c2
Räumliche Periode:
λ=
Zeitliche Periode:
T =
2π
k
2π
1
=
, ν : Frequenz
ω
ν
Somit Variante der Dispersionsrelation:
c = λν
Flächen konstanter Phase:
~k · ~r = const → Ebenen im Raum ⊥ ~k
Felder:
~ r, t) = iω A(~
~ r, t) , B(~
~ r, t) = i~k × A(~
~ r, t) → B(~
~ r, t) = 1 ~k × E(~
~ r, t)
E(~
ω
~ B
~ rechtshändiges Dreibein.
Somit bilden ~k, E,
Verallgemeinerte ebene Wellen: Senkrecht aufeinander stehende Felder → bilden unabhängige Lösungen → auch ebene
Wellen


2
X

~
~ r, t) = <
A(~
aj (~k)ei(ωt−k(ω)~r+ϑj ) · ~ej


j=1
Somit Polarisationszustände: Elliptisch, Linear.
Lösungen stellen Normalmoden dar, die zur Konstruktion beliebiger raum-zeitlich lokalisierter Wellenfelder benutzt werden
können!
37
5.1.2
Feldgleichungen
Folgen direkt aus Maxwellgleichungen:
~ r, t) −
∆E(~
1 ∂2 ~
E(~r, t) = 0
c2 ∂t2
~ r, t) −
∆B(~
1 ∂2 ~
B(~r, t) = 0
c2 ∂t2
Beweis: Siehe Abschnitt 6.5.1
5.2
Transparente, homogene Medien
Voraussetzungen:
• Unmagnetisches Medium: µ = 1
• Transparentes, homogenes Medium: ε(~r, ω) = ε(ω) ∈ R
• Externe Quellen & Wirbel verschwinden: ~je = ρe = 0
Ergibt Helmholtz-Gleichung:
ω2
~ f (~r, ω) = 0
ε(ω)E
c2
Einfachste Lösungen: Ebene Wellen analog zu Vakuum, nur jetzt im Fourierraum:
~ f (~r, ω) +
∆E
~ f (~r, ω) = ~e(~k, ω)ei~k·~r
E
Aus DGL folgt Dispersionsrelation:
k2 =
→ Feld
~ r, t) = <
E(~
Z∞
ω2
ε(ω)
c2
i(ωt−k(ω)~
r)
~
~e(k(ω))e
dω
−∞
Betrachten nur enge Frequenzspektren: |~e| =
6 0 nur im Intervall ∆ω um ω0
→ Taylorentwicklung von k(ω) und Integration liefert:
• Phasengeschwindigkeit vp (ω0 ) =
ω0
k(ω0 )
• Gruppengeschwindigkeit vg (ω0 ) =
∂ω
|ω
∂k 0
• Dispersion der Gruppengeschwindigkeit D(ω0 ) =
∂2k
|ω
∂ω 2 0
38
6
6.1
6.1.1
Herleitung der wichtigsten Sätze
Kontinuitätsgleichung
Lokale Ladungserhaltung
Beginnen mit
~ = ~j + D
~˙ , div D
~ =ρ
rot H
und schreiben
~ = div ~j + div ∂ D
~ = div ~j + ∂ div D
~ = div ~j + ρ̇
0 = div rot H
∂t
∂t
also:
div ~j + ρ̇ = 0
Bemerke: Obere Gleichung gilt für ~jmak , ρmak aber insbesondere auch für ~jges , ρges .
6.1.2
Globale Ladungserhaltung
Für ein beliebiges die Ladung Q umschließendes Volumen V gilt nach obiger Rechnung
Z
Z
Z
∂Q
~
~j dA
=
ρ̇ dV = −
div ~j dV = −
∂t
V
V
∂V
6.2
6.2.1
Energie beim Dirichlet Randwertproblem
Bei vorgegebenen Potentialen auf Leitern
Betrachten Leiter Li mit den Potentialen Ui und externe Ladungsverteilung ρ(~r). Durch die Greensche Funktion G(~r, ~r 0 )
erhält man die Geometriekoeffizienten Γi (~r), die Kapazitätskoeffizienten Cij und das Potential
X
Φ(~r) = Φρ (~r) +
Ui · Γi (~r)
i
Die Ladung auf dem Leiter Li ist gegeben durch
Z
X
∂Φρ (~r)
dA +
Ui Cij
∂ ñj
i
Qj = −ε0
∂Lj
und die Energie somit durch
Z
1X
1
Φ(~r)ρ(~r) dV +
Uj Qj
W =
2
2 j
V
1
=
2
Z
V
1X
Φρ (~r)ρ(~r) dV +
Ui
2 i
Nebenrechnung:
Z
Z Z
Γj (~r)ρ(~r) dV = −ε0
V
V ∂Lj
G Symmetrisch
=
Z Z
−ε0
Z
V
Z
ε0 X
1X
∂Φρ (~r)
Γi (~r)ρ(~r) dV −
Uj
dA +
Uj Ui Cij
2 j
∂ ñj
2 i,j
∂Lj
∂G(~r, ~r 0 )
ρ(~r)dA0 dV
∂n0j
∂G(~r, ~r 0 )
ρ(~r 0 ) dA dV 0 = ε0
∂nj
V ∂Lj
Z
= ε0
∂Lj
∂
∂ ñj
Z
0
0
0
Z
=
39
−ε0
∂G(~r 0 , ~r)
ρ(~r 0 ) dA dV 0
∂nj
V ∂Lj
Z Z
∂
Φρ (~r) dA
∂ ñj
∂Lj
Z Z
0
V ∂Lj
G(~r, ~r )ρ(~r ) dV dA = ε0
V
Sub: ~
r ↔~
r
∂G(~r, ~r 0 )
ρ(~r 0 ) dA dV 0
∂ ñj
Somit ist
W =
1
2
Z
Φρ (~r)ρ(~r) dV +
V
1X
Uj Ui Cij
2 i,j
∂
∂
bzw.
sind die Normalableitungen aus dem Leiter hinaus bzw. in den Leiter hinein.
Notation:
∂ ñ
∂n
6.3
6.3.1
Drehmoment im äußeren Magnetfeld
Stromdurchflossene Leiterschleife
Vorgegeben:
~
a) Konstantes äußeres Magnetfeld B
b) Geschlossene, parametrisierte Kurve ~s(t) , ~s : [0, 1] 7→ S (Leiterschleife), in der ein stationärer Strom I fließt.
Zu zeigen:
~ =I·
M
Z
Z
~ =I
~ = 1m
~
~s × d~s × B
(~s × d~s) × B
~ ×B
↑ 2
µ0
S
S
Also zu zeigen:
Z n
o
Z
~ +B
~ × (~s × d~s) = 0
~ ⇔ J~ :=
~ = (~s × d~s) × B
2~s × d~s × B
~s × d~s × B
Z
2
S
S
S
Beginnen also:
Z n
o
~ · ~s
~ · d~s − d~s · B
~ − 2B
~ · (~s · d~s) + ~s · B
2d~s · ~s · B
J~ =
S
1
Z
=
Z
n o
~ − 2B
~ · ~s · ~s˙ + ~s · B
~ · ~s˙
~s˙ · ~s · B
dt =
0
0
h i1
~ −B
~ · ~s 2
= ~s · ~s · B
~
s(0)=~
s(1)
=
1
d h ~ i ~ d
~s · ~s · B − B · ~s
dt
dt
2
dt
0
0
6.4
6.4.1
Der Poyntingsche Satz
Vakuum
Beginnend mit den Maxwell Gleichungen
~˙
~˙ , rot H
~ = ~j + D
~ = −B
rot E
unter den Voraussetzungen
~ = ε0 ε(~r)E
~ , B
~ = µ0 µ(~r)H
~
D
schreiben wir
~ ×H
~ =H
~ · rot E
~ −E
~ · rot H
~ = −H
~ ·B
~˙ − E
~ · ~j − E
~ ·D
~˙ = − 1 B
~ ·B
~˙ − εε0 E
~ ·E
~˙ − ~j · E
~
div E
µµ
0
| {z }
~
S
=−
∂ ε0 ε ~ 2
1 ~2
~
E +
B − ~j · E
|{z}
∂t 2
2µ0 µ
|
{z
}
ẇk
we
→
∂
~
(we + wk ) = − div S
∂t
40
wobei we und wk jeweils die elektromagnetische und kinetische Energiedichte sind. Wirken keine anderen Kräfte im System,
~ = 0, so gilt gesamt-Energieerhaltung. Ferner gilt allgemein für
so ist wk gleichzeitig die mechanische Energiedichte. Ist div S
ein Volumen V die Energiebilanz
Z
Z
Z
∂W
∂
~ dV = −
~ dA
~
=
(we + wk ) dV = −
div S
S
∂t
V ∂t
V
∂V
~=E
~ ×H
~ durch die umschließende Oberfläche (nach
Die Energieänderung in einem System ist also gleich dem Fluss von S
innen).
6.5
6.5.1
Wellengleichung
Homogen - Vakuum
Beginnend mit den Maxwell Gleichungen
~˙
~ = −B
~˙ , rot B
~ = µ0~j + 1 E
rot E
c2
unter den Voraussetzungen
ρ = 0 , ~j = 0
schreiben wir


∂  ~ 1 ∂ ~
∂ ~˙
~
~
~
~˙
grad |div
µ0 j + 2 E
{zE} −∆E = rot rot E = − rot B = − ∂t B = − ∂t |{z}
c ∂t
0
0
~
Bekommen so für das E-Feld
~−
∆E
1 ∂2 ~
E=0
c2 ∂t2
~
Gehen für das B-Feld
analog vor, gemäß


2
∂
1
~ = rot  µ0~j +
~  = 1 ∂ rot E
~ =−1 ∂B
~˙ = − 1 ∂ B
~
~ = grad div B
~ −∆B
E
rot rot B
| {z }
|{z} c2 ∂t
c2 ∂t
c2 ∂t
c2 ∂t2
0
0
und erhalten
~−
∆B
1 ∂2 ~
B=0
c2 ∂t2
Aussage: Ebene Wellen sind Lösungen:
2
~ r, t) = E
~ 0 ei(ωt−~k·~r) , B(~
~ r, t) = B
~ 0 ei(ωt−~k·~r) , k 2 = ω
E(~
c2
Beweis:
~−
∆E
2
X j ∂2
~
1 ∂2E
1 ∂2Ej
1 X j ∂ 2 i(ωt−~k·~r)
~
~+ω E
~ =0
E0 2 ei(ωt−k·~r)~ej − 2
E0 2 e
~ej = −k 2 E
= ∆E j ~ej − 2
~ej =
2
2
2
2
c ∂t
c ∂t
∂xj
c j
∂t
c
j
~
Analog auch für B.
~ und B
~ sind Transversalwellen:
Aussage: E
~ ⊥ ~k ⊥ E
~
B
Beweis:
~ =
0 = div E
∂E j
∂ i(ωt−~k·~r)
~
~
= E0j
e
= −iE0j kj ei(ωt−k·~r) = −i~k · E
∂xj
∂xj
~ =0 → E
~ ⊥ ~k
→ ~k · E
~
Analog auch für B.
41
~
~
Aussage: E-Feld
steht senkrecht auf B-Feld:
~ ⊥B
~
E
Beweis:
~ =
iω B
∂ ~
~ = −εljk ∂ E j ~ek = ik l εljk E j ~ek = i~k × E
~
B = − rot E
∂t
∂xl
~ ·B
~ = 1 ·E
~ · ~k × E
~ =0 → E
~ ⊥B
~
→ E
ω
6.5.2
Inhomogen - Vakuum
~ = 0 führen wir das Vektorpotential A
~ ein, so dass gilt:
Wegen div B
~=B
~
rot A
~ = −B
~˙ folgt
Aus rot E
#
"
~
∂
∂A
˙
~
~
~
~
~
0 = rot E + B = rot E +
rot A = rot E +
∂t
∂t
so dass wir auch ein Potentialfeld ϕ einführen, mit:
~
~
~ = − grad Φ − ∂ A
~ + ∂ A = − grad Φ → E
E
∂t
∂t
Verwenden jetzt die inhomogenen Maxwell-Gleichungen und bekommen
"
#
~
1
∂
∂
A
1
˙
~ = µ0~j −
~ = rot rot A
~ = grad div A
~ − ∆A
~ = µ0~j + E
rot B
grad Φ +
c2
c2 ∂t
∂t
~ = ∆A
~−
→ 2A
~
1 ∂Φ
1 ∂2A
~
~
=
−µ
j
+
grad
div
A
+
0
c2 ∂t2
c2 ∂t
sowie
~
ρ
∂
1 ∂2Φ
1 ∂2Φ
1 ∂2Φ
∂
1 ∂Φ
∂A
~
~
~
= −∆Φ −
div A + 2 2 − 2 2 = −∆Φ + 2 2 −
div A + 2
= div E = −∆Φ − div
ε0
∂t
∂t
c ∂t
c ∂t
c ∂t
∂t
c ∂t
1 ∂2Φ
ρ
∂
1 ∂Φ
~
→ 2Φ = ∆Φ − 2 2 = − −
div A + 2
c ∂t
ε0
∂t
c ∂t
Es gilt für eine beliebige skalare Funktion Ψ, dass eine Transformation
~ 0 := A
~ + grad Ψ , Φ0 := Φ − ∂Ψ
A
∂t
~
~
das E-Feld
und das B-Feld
unverändert lässt. Suchen deshalb ein Ψ so dass
~ 0+
div A
1 ∂Φ0
=0
c2 ∂t
ist. Obere Transformation ist die so genannte Lorentz Eichung. Wir erhalten durch die Forderung
0
2
!
~ + ∆Ψ + 1 ∂Φ − 1 ∂ Ψ =
~ 0 + 1 ∂Φ = div A
div A
0
2
2
2
c ∂t
c ∂t
c ∂t2
die DGL
~ − 1 ∂Φ
2Ψ = − div A
c2 ∂t
42
~ und Φ stets lösbar ist. Somit ist die Lorentz Transformation stets durchführbar, und wir nennen um:
die für alle A
~ 0→A
~ , Φ0 → Φ
A
so dass wir schließlich die inhomogenen Wellengleichungen
2Φ(~r, t) = −
ρ(~r, t)
~ r, t) = −µ0~j(~r, t)
, 2A(~
ε0
erhalten.
Aussage: Die Lösungen obiger Wellengleichung erfüllen die Lorenz-Eichung!
Beweis: Beginnen mit
h
i
~ r, t) = −µ0~j(~r, t) → div 2A(~
~ r, t) = −µ0 div ~j(~r, t)
2A(~
2Φ(~r, t) = −
ρ(~r, t)
1 ∂
∂
→ 2
[2Φ(~r, t)] = −µ0 ρ(~r, t)
ε0
c ∂t
∂t
und addieren beide Ausdrücke:
~ r, t) + 1 ∂ Φ(~r, t) = −µ0 div ~j(~r, t) + ∂ ρ(~r, t) = 0
2 div A(~
c2 ∂t
∂t
43