Prof. Leitl, Mechanik im Sport ab S. 57

Bundesrealgymnasium und Bundesoberstufenrealgymnasium Landeck
ANGEWANDTE MECHANIK
AM BEISPIEL VERSCHIEDENER
SPORTARTEN
Fachbereichsarbeit aus Physik
Verfasser: OSTERMANN Stefan
Klasse: 8b
Schuljahr 2006/2007
Betreuer: Prof. Mag. LEITL Kurt
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort.....………………………………………………………………………………….1
1. Wurfsportarten.…………………………………………………………………………2
1.1. Kugelstoßen…………………………..……………………………………………..7
1.2. Hammerwurf…………………………..…………………………………………...12
1.3. Speerwurf………………………………..…………………………………………13
1.4. Weitsprung………………………………..………………………………………..18
1.5. Basketball…………………………………..………………………………………19
2. Energetik des Radfahrens.…………………………………………………………..23
2.1. Abhandlungen ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes………………...23
2.2. Abhandlungen mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes ..………………...26
2.3. Einfluss von Steigung und Gefälle...……………………………………………..31
2.4. Wie halte ich am Fahrrad das Gleichgewicht?………………………………….35
2.5. Problematik des Bremsens………………………………………………………..38
3. Springen, Gehen und Laufen.…………………...…………………………………..44
3.1. Hochsprung…………………………………………………………………………44
3.2. Gehen ...………….…………………………………………………………………48
3.3. Sprinten...…………………………………………………………………………...51
4. Ballsportarten, bei denen Bälle geschlagen werden.……………………………54
4.1. Golf…………………………………………………………………………………..54
4.2. Tennis ..……………………………………………………………………………..57
Literaturverzeichnis...................................................................................................I
Anhang......................................................................................................................III
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
Vorwort
Vorwort
Immer wieder werden sportliche Wettkämpfe durch kleinste Abstände zwischen den
einzelnen Athleten entschieden. Es ist eine Begleiterscheinung des modernen
Spitzensports geworden, dass ein Zentimeter oder ein Bruchteil einer Sekunde über Sieg
oder Niederlage entscheiden können. Deshalb ist es nötig, dass bei einem Wettkampf so
wenig Fehler wie möglich passieren. Schlicht und einfach gesagt, es sollte alles möglichst
optimal ablaufen. Doch was ist optimal? Die Antwort auf diese Frage möchte ich in dieser
Arbeit vom physikalischen Standpunkt aus für verschiedene Sportarten suchen.
Mich persönlich hat es im Zuge meiner Recherchen immer wieder fasziniert, wie genau
man sich durch physikalische Berechnungen diesem Optimum, das in der Realität gilt,
annähern kann. Man erkennt, dass sich sehr viel auf wenige Meter oder Sekunden genau
berechnen lässt.
Es war mir wichtig, dass die Arbeit möglichst praxisbezogen ist. Deshalb habe ich mich
immer auf Werte aus der Realität gestützt und habe versucht, viele konkrete Beispiele
mittels der hergeleiteten Formeln zu rechnen.
Ich habe mich bei der Auswahl der Kapitel für sehr unterschiedliche Sportarten
entschieden, um eine große Vielfalt an physikalischen Gesetzmäßigkeiten in der Arbeit
beschreiben und anwenden zu können.
Im ersten Kapitel werde ich Wurfsportarten behandeln. Grundlage dafür ist der schiefe
Wurf, eines der klassischen Themengebiete der Mechanik.
Das zweite Kapitel wird dem Radfahren gewidmet. Das Radfahren beinhaltet so viele
Grundbegriffe der Mechanik, dass es in einer solchen Arbeit nicht fehlen darf. Hier kommen
die physikalischen Gesetzmäßigkeiten wie Drehmomente, Kreiselkräfte, der Luftwiderstand,
etc. zur Anwendung.
Im dritten Kapitel werden dann die Sportarten Springen (Hochsprung), Gehen und Laufen
behandelt, also die Sportarten, welche ohne zu Hilfenahme diverser Sportgeräte ausgeführt
werden können. Hier sollte dem Leser nochmals die Anwendung der unterschiedlichen
Energieformen (potentielle und kinetische Energie) vor Augen geführt werden.
Das letzte Kapitel beschreibt die Ballsportarten Golf und Tennis. Hier schließt sich
einerseits wieder der Kreis dieser Arbeit, da auch diese mit den Formeln für den schiefen
Wurf behandelt werden können. Andererseits kommt hier noch eine weitere Form der
Energie zur Anwendung, die Rotationsenergie. Außerdem kommt noch ein Effekt aus der
Hydro- beziehungsweise Aeromechanik hinzu – der Magnuseffekt.
Ich denke, durch die Auswahl dieser Kapitel lässt sich ein guter Überblick über die
Anwendungsbereiche der Gesetze der Mechanik im Sport geben.
Mir persönlich war es sehr wichtig, dass die Arbeit durchgehend verständlich ist und
deshalb habe ich alle Rechnungen, die zu den Herleitungen der einzelnen Formeln
notwendig sind, angeführt.
Auch alle Bilder und Zeichnungen (ausgenommen Abb. 19 und Abb. 31), die in der Arbeit
gezeigt werden, habe ich selbst gemacht.
Mein Hauptziel ist, wie bereits schon erwähnt, die Anwendungsvielfalt der physikalischen
Gesetze dem Leser vor Augen zu führen.
-1-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
1. Wurfsportarten
Die Wurfsportarten gehören zu den wichtigsten Sportarten der Leichtathletik.
Außerdem sind sie älter als die meisten uns heute bekannten Sportarten, denn sie
waren bereits bei den olympischen Spielen im antiken Griechenland Teil des
Programms.
Dies ist allerdings nicht der Hauptgrund, warum ich diese Sportarten für meine Arbeit
ausgewählt habe. Ich möchte auch zeigen, dass sie sich sehr gut physikalisch
beschreiben lassen.
a) Die Grundlage für das folgende Kapitel bildet die Formel für die Bahnkurve des
schiefen Wurfs, welche nun hergeleitet wird:
Abb. 1: Bahnkurve des schiefen Wurfs
Abbildung 1 zeigt, dass die Abwurfgeschwindigkeit, mit welcher ein Körper geworfen
wird, in zwei Komponenten vx und vy zerlegt werden kann, für die gilt:
vx = v0 ⋅ cosα und v y = v0 ⋅ sin α
Daraus erhält man den Weg, welchen der Körper in der Zeit t entlang der x-Achse
zurücklegt
x = vx ⋅ t = v0 cosα ⋅ t
(1.1)
und auch die Höhe, die an der y-Achse abgelesen werden kann:
y = vy ⋅ t −
1 2
1
gt = v0 sin α ⋅ t − gt 2
2
2
(1.2)
1 2
gt steht für den freien Fall. Es ist sozusagen die Strecke, um die sich
2
das Wurfobjekt auf Grund der Erdbeschleunigung nach unten bewegt.
Der Term
Die Bahnkurve erhält man durch die Elimination der Zeit aus den beiden
Gleichungen (1.1) und (1.2)1:
Aus Formel (1.1) ergibt sich für die Zeit: t =
x
.
v0 ⋅ cosα
____________
1
vgl.: BERMANN/SCHÄFER 1974, S. 47
-2-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Diese setzt man in Formel (1.2) ein und erhält daraus die Funktion für die
Wurfparabel:
y = v0 sin α ⋅
g
x
1
x2
⋅ x2
− g⋅ 2
= tan α ⋅ x −
2
2
2
v0 cos α 2 v0 cos α
2v0 cos α
(1.3)
Man erkennt am Term x 2 , dass es sich um eine Parabel handelt.
Benötigt wird allerdings meistens die Wurfweite, für welche es natürlich auch eine
Formel gibt, die man folgendermaßen herleiten kann:
Zuerst wird die maximale Wurfhöhe h, welche an der y-Achse abgelesen werden
kann, hergeleitet. Sie liegt im Scheitelpunkt der Parabel. Das heißt, sie wird dann
erreicht, wenn die vertikale Geschwindigkeit gleich Null wird. Mathematisch
ausgedrückt bedeutet das:
v y = v0 ⋅ sin α − gt = 0
(1.4)
Der Term − gt in der Formel (1.4) bedeutet, dass entlang der y – Geschwindigkeitskomponente eine gewisse Geschwindigkeit, welche durch die Erdbeschleunigung
hervorgerufen wird, entgegenwirkt.
v0 sin α
, welche durch
g
Freistellen von t aus Formel (1.4) berechnet werden kann, erfüllt.
Die in Formel (1.4) gestellte Bedingung ist nach der Zeit t =
Setzt man diese Gleichung nun in Formel (1.2) ein, ergibt sich durch folgende
Rechnung,
y = v0 sin α ⋅
v0 sin α 1 v0 sin 2 α
v0 sin α v0 sin 2 α v0 sin 2 α v0 sin 2 α
α
− g⋅
=
v
sin
⋅
−
=
−
0
g
2
g2
g
2g
g
2g
2
2
2
2v0 sin 2 α v0 sin 2 α v0 sin 2 α
−
=
2g
2g
2g
2
y=
2
2
2
die Formel für die Wurfhöhe.
h=
v0 sin 2 α
.
2g
2
(1.5)
Die Wurfweite kann durch eine weitere einfache Überlegung hergeleitet werden.
Wenn das Objekt auf dem Boden aufkommt, ist y = 0 . Das heißt, durch Null setzen
von y in (1.3) und Freistellen von x, erhält man die Gleichung für die Wurfweite:
0 = tan α ⋅ x −
g
sin α
2
2
⋅ x 2 = tan α ⋅ x (2v0 cos 2 α ) − gx 2 =
⋅ x (2v0 cos 2 α ) − gx 2 =
2
cos α
2v0 cos α
2
= sin α ⋅ x ⋅ ( 2v0 cos α ) − gx 2 = 2v0 sin α cos α ⋅ x − gx 2 = x ⋅ (2v0 sin α cos α − gx)
2
2
2
Die Lösung x1 ist nicht zielführend!
-3-
x1 = 0
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
0 = 2 sin α cos α ⋅ v0 − gx
2
2
0 = v0 sin 2α − gx ( durch g dividieren)
v0 sin 2α
v sin 2α
−x→x= 0
g
g
2
0=
2
Daraus ergibt sich die Formel für die Wurfweite:
v sin 2α
w= 0
g
2
(1.6)
Mit dieser Formel kann man berechnen, wie weit ein Körper fliegt, wenn man die
Abwurfgeschwindigkeit und den Abwurfwinkel kennt. Formel (1.6) gilt hingegen nur,
wenn Anfangs- und Endpunkt auf gleicher Ebene liegen.
b) Letztendlich ist es in der Realität allerdings selten der Fall, dass Anfangs- und
Endpunkt auf der gleichen Ebene liegen2.
Zum Beispiel, wenn ein Ball geworfen wird, wird dieser aus ungefähr einer Höhe von
2,25 m geworfen, da sich der Arm beim Abwurf in dieser Höhe befindet. Auch beim
Basketball liegt der Korb höher als der Punkt, an dem der Ball abgeworfen wird. Das
bedeutet, wie man in den beiden Abbildungen 2 und 3 sehen kann, dass der
Landepunkt auf einer Ebene, die von der Ursprungsebene (=Abwurfebene) den
Abstand ± d hat, liegt.
Abb. 2: Bahnkurve des schiefen Wurfs
bei tieferer Landeebene (negatives d)
Abb. 3: Bahnkurve des schiefen Wurfs
bei höherer Landeebene (positives d)
Der einzige Unterschied gegenüber der vorigen Überlegung liegt darin, dass nun bei
der Landung auf der Ebene nicht mehr y = 0 , sondern y = ± d gilt. Wobei d positive,
als auch negative Werte annehmen kann. Das ist in dem Sinne von Bedeutung,
dass, wie man in den Abbildungen 2 und 3 erkennen kann, die Wurfweite dadurch
verlängert oder verkürzt wird.
1
Das bedeutet mathematisch ausgedrückt: v0 sin α ⋅ t − gt 2 = d .
2
___________
2
vgl.: SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/einfache_themen_
sport.pdf [18.02.2007])
-4-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Es wird auch hier wieder die Zeit t benötigt, welche folgendermaßen aus der eben
genannten Formel berechnet werden kann:
v0 ⋅ sin α ⋅ t −
v0 ⋅ sin α ⋅ t −
−
1 2
gt = d
2
1 2
gt − d = 0
2
( nach Potenzen ordnen)
1 2
gt + v0 ⋅ sin α ⋅ t − d = 0
2
1 2
gt − v0 ⋅ sin α ⋅ t + d = 0
2
( mit (-1) multiplizieren)
( Satz von Vieta anwenden)
v0 ⋅ sin α ± v0 ⋅ sin 2 α − 2 gd
=
g
2
t1, 2
Diese Gleichung wird in Gleichung (1.1) für die Zeit t eingesetzt:
v y ± v y − 2 gd
2
x = vx ⋅ t = vx
v0 sin α cos α
g
2
=
g
=
vx 
v cos α 
2
2
⋅  v y ± v y − 2 gd  = 0
⋅  v0 sin α ± v0 sin 2 α − 2 gd  =



g 
g
2

v sin 2 α − 2 gd
⋅ 1 ± 0

v0 sin α

 v 2 sin α cos α
= 0

g


2 gd
⋅ 1 ± 1 − 2 2

v0 sin α





Daraus ergibt sich die Formel für die Wurfweite:
v0 sin α ⋅ cos α
g
2
w=

2 gd
⋅ 1 ± 1 − 2 2

v0 sin α





(1.7)
Man erkennt am ± in Formel (1.7), dass es jeweils zwei verschiedene Lösungen gibt.
Das bedeutet, es gibt zwei Kurven: eine steile (+) und eine flache (-).
In dieser Arbeit wird immer mit der steilen Kurve gerechnet werden, da diese
letztendlich die Kurve ist, entlang der die Gegenstände bei den Wurfsportarten
fliegen. Deshalb wird auch in der folgenden Herleitung nur mit + gerechnet.
Zur Berechnung der Abwurfgeschwindigkeit wird v0 aus Formel (1.7) freigestellt.





2 gd 
2
w ⋅ g = v0 sin α cos α ⋅ 1 + 1 − 2 2 

v0 sin α 


w⋅ g
2 gd 
2
= v 0 ⋅ 1 + 1 − 2 2 

sin α cos α
v0 sin α 

w=
2

v0
2 gd
sin α cos α ⋅ 1 + 1 − 2 2

g
v0 sin α

w⋅ g
2 gd
2
2
= v0 + v 0 1 − 2 2
sin α cos α
v0 sin α
v ⋅ 2 gd
w⋅ g
2
4
= v0 + v0 − 02 2
sin α cos α
v0 sin α
4
-5-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
v ⋅ 2 gd
w⋅ g
2
4
− v0 = + v0 − 0 2
sin α cos α
sin α
2
w2 ⋅ g 2
w⋅ g
v ⋅ 2 gd
2
4
4
− 2v0 ⋅
+ v0 = + v0 − 0 2
sin 2 α cos 2 α
sin α cos α
sin α
2
2
2
v ⋅ 2 gd
w⋅ g
w ⋅g
2
2v0
− 0 2
=
sin α cos α
sin α
sin α 2 cos α 2
2 gd 
w2 ⋅ g 2
2  2⋅w⋅ g
v0 ⋅ 
− 2 =
2
2
 sin α cos α sin α  sin α cos α
2
w2 ⋅ g 2
w2 ⋅ g 2
w 2 g 2 sin 2 cos α
2
sin 2 α cos 2 α
sin 2 α cos 2 α
v0 =
=
=
=
2⋅w⋅ g
2 gd
2 ⋅ w ⋅ g ⋅ sin α − 2 gd ⋅ cos α 2 ⋅ w ⋅ g ⋅ sin 3 α cos 2 − 2 gd cos 3 α sin 2 α
−
sin α cos α sin 2 α
sin 2 α cos α
2 2
2
w g sin α cos α
w2 ⋅ g 2
=
=
2 sin 2 α cos 2 α ⋅ ( w ⋅ g sin α − gd cos α ) 2 cos α ⋅ ( w ⋅ g sin α − gd cos α )
Daraus ergibt sich durch Ziehen der Wurzel die Formel zur Berechnung der
Anfangsgeschwindigkeit:
v0 = w ⋅ g
1
2 cos α ( w ⋅ g ⋅ sin α − g ⋅ d ⋅ cos α )
Mit all den hergeleiteten Formeln
Wurfbewegungen beschreiben.
dieses
-6-
(1.8)
Kapitels lassen
sich
sämtliche
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
1.1. Kugelstoßen
Als erste Wurfsportart möchte ich das Kugelstoßen behandeln. Es dient als sehr
guter Einstieg, denn die Geschwindigkeit der Kugel ist nicht so hoch, wie es bei so
manch anderen Bewerben der Fall ist und auch durch das große Gewicht der Kugel
von 7,257 kg kann hier vorerst der Einfluss des Luftwiderstands vernachlässigt
werden.
Das Hauptziel sollte hier sein, den optimalen Abwurfwinkel herauszufinden, mit
welchem man möglichst große Weiten erreichen kann.
Dies wird anhand von Formel (1.7) numerisch durchgeführt, was in diesem Fall die
einzige Möglichkeit ist, da selbst, wenn man es analytisch (anhand einer
Extremwertaufgabe) versucht, eine Gleichung 8. Grades herauskommt, welche
wiederum nur numerisch gelöst werden kann.
Man geht dazu folgendermaßen vor:
Um nicht mit einer so komplizierten Formel rechnen zu müssen, wird der zweite
Schritt aus der Herleitung für Formel (1.7) hergenommen, welcher lautet:
x=
vx 
2
⋅  v y ± v y − 2 gd 

g 
Dieser Ausdruck wird vereinfacht, damit sich für die numerische Berechnung
angenehm zu handhabende Konstanten ergeben. Dazu wird die Klammer im oben
genannten Ausdruck ausmultipliziert.
x=
vx ⋅ v y vx
2
± ⋅ v y − 2 gd
g
g
(
vx
in die Wurzel hinein multiplizieren)
g
2
vx ⋅ v y
vx ⋅ v y
2 gd ⋅ vx
x=
±
−
g
g2
g2
2
2
( durch g kürzen)
2
vx ⋅ v y
vx ⋅ v y
2d ⋅ vx
x=
±
−
g
g2
g
2
2
Es können folgende Konstanten geschrieben werden:
A=
2
vx ⋅ v y
2d ⋅ v x
; B=
g
g
Es ergibt sich daraus der Ausdruck:
x = A ± A2 − B
(1.9)
Jetzt kann mit Excel gearbeitet werden. Folgende Werte werden angenommen:
g = 9,81 m/s 2 ; d = ±2,25 m . Die Geschwindigkeiten vx beziehungsweise vy können
durch die Formeln vx = v0 ⋅ cosα und v y = v0 ⋅ sin α berechnet werden.
-7-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
In Excel wird eine Tabelle erstellt, in der die Wurfweite x bei verschiedenen
Abwurfwinkeln anhand von Formel (1.9) berechnet wird. Der optimale Abwurfwinkel
α ist dann dort, wo x am größten ist.
Es lassen sich zwei Fälle unterscheiden, da es die Möglichkeit eines positiven und
eines negativen d gibt (siehe Abb. 2 und Abb. 3). Eigentlich wären sogar vier
verschiedene Berechnungen nötig, da es zu jeder Weite zwei verschiedene
Möglichkeiten gibt, diese zu erreichen, wie man am ± Zeichen in Formel (1.7)
erkennen kann. Hier wird allerdings nur mit + gerechnet, da dies im Kugelstoßen
(und generell bei den Wurfbewerben) die entscheidende Kurve ist.
Zuerst wird mit einem positiven d gerechnet ( d = 2,25 m ).
Man erhält folgende Excel – Tabelle ( es werden nur Ausschnitte gezeigt):
Tabelle 1: Numerische Ermittlung des optimalen Abwurfwinkels
bei positivem d.
Es lässt sich aus den in dieser Tabelle berechneten Werten, folgende Veränderung
der Wurfweiten bei zunehmenden Abwurfwinkel feststellen:
-8-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Weiten bei anwachsendem Abwurfwinkel
(positives d)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Abb. 4: Weiten bei anwachsendem Abwurfwinkel
Daraus erkennt man, dass es erst ab einem Winkel von 29° mö glich ist, überhaupt
die Höhendifferenz d zu erreichen (bei einem Winkel < 29° gibt es keine Lösung). Die
maximale Weite ergibt sich bei einem Abwurfwinkel von 49°.
Die selbe Rechnung mit negativem d, ergibt folgende Tabelle (alle Excel – Tabellen
sind im Anhang zu finden):
Tabelle 2: Numerische Ermittlung des optimalen Abwurfwinkels
bei negativem d.
-9-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Wenn man auch hier wieder die Wurfweite abhängig vom Abwurfwinkel graphisch
darstellt, erhält man folgende Entwicklung:
Weiten bei anwachsendem Abwurfwinkel
(negatives d)
25
20
15
10
5
88,0
84,0
80,0
76,0
72,0
68,0
64,0
60,0
56,0
52,0
48,0
44,0
40,0
36,0
32,0
28,0
24,0
20,0
16,0
8,0
12,0
4,0
0,0°
0
Abb. 5: Weiten bei anwachsendem Abwurfwinkel
Im Unterschied zur vorherigen Berechnung bei positivem d, kann hier auch bei einem
Abwurfwinkel von 0° eine Weite erreicht werden. Diese r spezielle Fall wäre dann ein
horizontaler Wurf.
Im Falle eines negativen d, erhält man einen optimalen Abwurfwinkel α = 42° . Das ist
der Winkel, der bei den in den folgenden Kapiteln behandelten Sportarten von
Bedeutung ist.
Es ist natürlich so, dass der Abwurfwinkel bis zu einem gewissen Grad auch
variieren kann. Der vorhin ausgerechnete Wert könnte sozusagen als optimaler
Winkel gesehen werden. Im Allgemeinen heißt es, dass der Abwurfwinkel im
Kugelstoßen zwischen 38° und 41° liegen sollte, um mögl ichst große Weiten zu
erreichen. Das bedeutet, dass der vorhin berechnete optimale Abwurfwinkel ziemlich
genau dem in der Realität entspricht.
Der derzeitige Weltrekord im Kugelstoßen wird von Randy Barnes bei 23,12 m
gehalten3. Es ist noch interessant, mit welcher Geschwindigkeit Barnes die Kugel
damals warf. Es wird vorausgesetzt, dass er im optimalen Abwurfwinkel von 41°
warf.
Somit können folgende Werte in Formel (1.8) eingesetzt werden:
2
α = 41° , w = 23,12 m , d = 2.25 m , g = 9,81 m/s
Daraus erhält man eine Anfangsgeschwindigkeit von 16,06 m/s, was 57,81 km/h
entspricht. Dies ist eine enorme Geschwindigkeit, wenn man das große Gewicht der
Kugel bedenkt.
Es ist in der Realität so, dass sich der Kugelstoßer zuerst um die eigene Achse dreht
und die Kugel erst dann wirft. Dieser Umstand wird beim Hammerwerfen genauer
erläutert. Es ist allerdings so, dass der Werfer durch diese Kreisbewegung die Kugel
auf nur 1,5 m/s beschleunigen kann4. Die zusätzliche Geschwindigkeit von 14,56
m/s muss durch Vorstoßen des Arms erreicht werden.
___________
3
vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsto%C3%9Fen [06.10.2006]
4
vgl.: SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/einfache_themen_
sport.pdf [18.02.2007])
- 10 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Dazu steht dem Athleten nur eine relativ geringe Beschleunigungsstrecke s, welche
ungefähr der Armlänge von 1m entspricht, zur Verfügung.
Es kann noch ausgerechnet werden, welche mittlere Kraft der Kugelstoßer entlang
dieser Strecke auf die Kugel ausüben muss, um die restlichen 14,56 m/s noch zu
erreichen.
Dabei wird folgende Vorgehensweise gewählt:
Die Formel für die kinetische Energie lautet: Ekin =
1 2
mv
2
Wenn die Werte für die Masse der Kugel m = 7.257 kg und für die fehlende
Geschwindigkeit, die der Werfer der Kugel noch mitgeben muss v = 14,56 m/s ,
eingesetzt werden, dann erhält man eine kinetische Energie Ekin = 769,22 J . Das ist
die Bewegungsenergie, die der Werfer aufbringen muss, um der Kugel eine
Geschwindigkeit von ungefähr 16 m/s zu erteilen.
Es ist allerdings auch interessant, welche mittlere Kraft, entlang der
Beschleunigungsstrecke, der Athlet aufbringen muss, um eine so hohe
Geschwindigkeit zu erreichen.
Ekin
769, 22
. Das bedeutet in diesem Fall: F =
= 769,22 N . Das ist die
s
1
mittlere Kraft, die ein Kugelstoßer aufbringen muss, um der Kugel die gewünschte
Geschwindigkeit mitzugeben.
Die Kraft F =
Man erkennt, dass dies eine sehr hohe Kraft ist und das erklärt die Statur der
Kugelstoßer, welche sehr kräftige Oberarme besitzen. Diese sind allerdings nötig,
denn ein normaler Mensch wäre nicht fähig, eine so hohe mittlere Kraft entlang der
Strecke von einem Meter wirken zu lassen!
- 11 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
1.2. Hammerwurf
Den Hammerwurf möchte ich deshalb behandeln, weil seine spezielle Abwurftechnik,
vom physikalischen Gesichtspunkt aus gesehen, sehr interessant ist. Es wird bei
sehr vielen Wurfsportarten die Drehung um die eigene Achse verwendet, um eine
möglichst hohe Geschwindigkeit zu erreichen. Da bekanntlich bei jeder
Kreisbewegung die Zentripetalkraft wirkt, spielt auch diese hier eine Rolle.
Beim Hammerwurf wird dieser Effekt verstärkt, da der Hammer aus einer Kugel
besteht, welche an einer Kette hängt. Die Gesamtlänge des Gerätes beträgt je nach
Athlet 117-121,5 cm5. Abbildung 6 zeigt die einzelnen Kräfte beziehungsweise
Geschwindigkeiten.
Abb. 6: Schematische Darstellung eines Hammerwurfs.
Die Formel für die Zentripetalkraft lautet: Fz =
mv 2
r
Die Masse des gesamten Hammers beträgt 7,265 kg6. Nun fehlt allerdings noch die
Abwurfgeschwindigkeit, mit der der Hammer geworfen wird. Diese kann wiederum,
wie es bereits beim Kugelstoßen gemacht wurde, anhand von Formel (1.8)
berechnet werden. Der derzeitige Weltrekord im Hammerwurf liegt bei 86,74 Meter7
(aufgestellt von Juri Sedych). Es wird auch hier wieder angenommen, dass unter
dem optimalen Abwurfwinkel von 41° geworfen wurde. We nn man die Werte
( g = 9,81 m/s und d = 2,25 m ) in Formel (1.8) einsetzt, ergibt sich eine
Geschwindigkeit von ungefähr 29 m/s.
Die Zentripetalkraft, welche der Werfer aufbringen muss, um die Kugel auf einer
Kreisbahn zu halten, kann ausgerechnet werden.
Dazu werden folgende Werte verwendet: m = 7,265 kg , v = 29 m/s und r = 2,1 m
(Armlänge: 0,90 m / Kettenlänge: 1,2 m).
Daraus ergibt sich eine Zentripetalkraft Fz von 2909 N(!). Beim Hammerwurf muss
der Athlet in einem Kreis (r=2,135 m) bleiben, welchen er nicht verlassen darf, bis der
Hammer den Boden wieder berührt hat. Der Werfer muss also die vorhin berechnete
Kraft mit Hilfe seiner Körpermasse und der Reibung mit dem Boden kompensieren.
Das erklärt auch, warum Hammerwerfer meist ein sehr hohes Gewicht und starke
Armmuskeln haben.
____________
5
vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Hammerwurf [06.10.2006]
6
vgl.: ebenda
7
vgl.: ebenda
- 12 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
1.3. Speerwurf
Das Speerwerfen war bereits bei den olympischen Spielen der Antike ein fester
Bestandteil des Programms. Doch hier soll nicht die historische Entwicklung dieser
Sportart im Vordergrund stehen, sondern ihre physikalischen Begebenheiten.
In diesem Kapitel wird auch erstmals der Einfluss des Luftwiderstands miteinbezogen
werden.
Doch vorerst möchte ich einen anderen Aspekt betrachten. Der derzeitige Weltrekord
im Speerwerfen liegt bei 98,48 Meter8. Doch im Jahr 1984 lag dieser bereits bei
104,8 Meter9. Was ist der Grund für diese Differenz?
Der Grund dafür ist, dass bis ins Jahr 1986 mit anderen Speeren als heute geworfen
wurde.10 Damals war der Massenschwerpunkt weniger weit vor dem Mittelpunkt des
Speers, was zur Folge hatte, dass die Speere weniger schnell nach vorne kippten
und die erzielten Weiten daher entsprechend größer waren.
Wie lässt sich dieser Effekt physikalisch beschreiben? Der Grund, warum der Speer
nach vorne kippt ist, dass der Massenschwerpunkt um den Abstand x vom
eigentlichen Mittelpunkt abweicht. Das bedeutet, dass dem Speer ein gewisses
Drehmoment mitgegeben wird, welches die Spitze nach unten bewegt.
Abb. 7: Zentrum eines Speers
(M…Mittelpunkt, MS…Massenschwerpunkt,
der Pfeil zeigt die Flugrichtung an)
Das Drehmoment ist das Produkt von Kraft und Kraftarm, welche normal aufeinander
stehen. Vorerst muss die Länge des Kraftarms berechnet werden. Wie die Abbildung
7 zeigt, ist der Abstand x, zwischen dem Massenschwerpunkt und dem Mittelpunkt
nicht der Kraftarm A, da dieser nicht normal auf die Gewichtskraft G steht.
Wenn man annimmt, dass der Speer in der Luft im Abwurfwinkel α zur Waagrechten
steht, dann gilt für den Kraftarm: A = cos α ⋅ x
Zur Berechnung des Drehmoments ergibt sich daher folgende Formel:
T = G ⋅ cosα ⋅ x = m ⋅ g ⋅ cosα ⋅ x
(1.10)
___________
vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Speerwurf [06.10.2005]
vgl.: ebenda
10
vgl.: ebenda
8
9
- 13 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Beim Berechnen des Drehmoments T1 eines alten Speeres, erhält man durch das
Einsetzen folgender, der Realität entsprechenden, Angaben in Formel (1.10),
α = 41°, x1 = 1 cm = 0,01m, m = 800 g = 0,8 kg, g = 9,81 m/s2 ,
ein Drehmoment T1 = 0,059 Nm .
Bei den neuen Speeren wurde der Abstand x um etwa 2 Zentimeter vergrößert. Was
einen Abstand x2 = 3cm = 0,03m ergibt. Die anderen Größen in Formel (1.10) bleiben
gleich.
Ein neuer Speer hat ein Drehmoment T2 = 0,178 Nm .
Daraus lässt sich erkennen, dass das Drehmoment, welches den neuen Speeren
mitgegeben wird, dreimal so groß ist als das der alten Speere und damit erklären
sich die geringeren Weiten, welche mit einem neuen Speer erzielt werden können.
In den vorigen Kapiteln wurde stets der Einfluss des Luftwiderstandes weggelassen.
Nun wird versucht, auch diesen Aspekt mit einzubringen.
Dazu wird vorerst einmal die Formel für den Luftwiderstand benötigt, welche ich kurz
herleiten möchte11:
Abb. 8: Skizze zur Herleitung des Luftwiderstands
Abbildung 8 zeigt eine Kugel, die sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit v
bewegt. Die Kugel muss die vor ihr liegende Luft wegschieben. Sie verrichtet also an
der Luft die Beschleunigungsarbeit,
W = FL ⋅ s
(1.11)
wobei FL die Widerstandskraft der Luft und s die Strecke, an der die
Beschleunigungsarbeit verrichtet wird, ist.
Durch diese Energie erhält die Luft die kinetische Energie:
1
2
Ekin = mL vL
(mL=Masse der Luft; vL=Geschwindigkeit der Luft)
2
Wenn man für die Masse der Luft das Produkt aus Volumen ( V = A ⋅ s ) und Dichte ρ
der Luft ersetzt, so erhält man folgende kinetische Energie:
Ekin =
1
ρ ⋅ A ⋅ s ⋅ vL 2
2
(1.12)
____________
11
vgl.: http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/umwelttechnik/04lufwiderstand/luftwiderstand.htm [05.02.2007]
- 14 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Es ist allerdings so, dass die Geschwindigkeit vL der Luft in der Realität nicht mit der
Geschwindigkeit v der Kugel übereinstimmt. Dazu gibt es den cw – Wert, welcher die
Form des Objekts in die Formel einbringt (z.B.: cw – Wert einer Kugel = 0,4512).
2
Dieser Wert wird im Windkanal ermittelt. Man kann folgendes annehmen: vL = cw ⋅ v 2 .
Durch Gleichsetzen der Formeln (1.11) und (1.12), erhält man die Formel für den
Luftwiderstand:
FL ⋅ s =
FL =
1
ρ ⋅ A ⋅ s ⋅ cw ⋅ v 2
2
1
ρ ⋅ A ⋅ cw ⋅ v 2
2
(1.13)
Wie groß ist der Luftwiderstand eines Speers? Macht der Luftwiderstand überhaupt
etwas aus? Vorerst möchte ich einmal die zur Berechnung benötigten Größen
bestimmen.
Die Fläche A lässt sich folgendermaßen abschätzen: Ein gewöhnlicher Speer hat bei
den Herren eine Länge von 2,70 Meter. Der maximale Durchmesser des Speers
beträgt 0,03 m, also 3 cm. Es reicht hier allerdings nicht aus nur die
Querschnittsfläche zu verwenden, da der Speer ja in einem bestimmten Winkel α
fliegt. Das bedeutet, dass die gesamte Seite des Speers die Fläche A ergibt.
Wenn man einen Speer von der Seite betrachtet, dann sieht er aus als wären zwei
gleichschenklige Dreiecke aufeinander gestellt (siehe Abb. 9). Man kann sich also
nun die Fläche des Speers berechnen, indem man die Fläche dieser 2 Dreiecke
berechnet und diese zusammenzählt. Zur Vereinfachung wird hier die Differenz
zwischen Massenschwerpunkt und Mittelpunkt des Speers weggelassen.
Abb. 9: Schematische Darstellung zur Berechnung
der Fläche eines Speers
Man erkennt also zwei gleichschenklige Dreiecke mit folgenden Maßen:
Die Höhe ha, welche der halben Länge des Speers entspricht, beträgt 1,35 m und die
Grundlinie a, welche hier dem Durchmesser des Speers entspricht, hat eine Länge
von 0,03 m.
Die Flächeninhaltsformel eines Dreiecks lautet:
A=
a ⋅ ha
2
__________
12
vgl.: SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/einfache_themen_
sport.pdf [18.02.2007])
- 15 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Wenn man die obigen Werte in diese Formel einsetzt, dann erhält man einen
Flächeninhalt A = 0,02 m 2 = 200 cm 2 . Dieser Wert muss noch mit 2 multipliziert
werden, um den gesamten Flächeninhalt des Speers zu erhalten:
Ages = 0,04 m 2 = 400 cm 2 . Dieser Wert scheint relativ realistisch zu sein.
Nun benötigt man noch den cw – Wert , welcher bei ungefähr 0,09 liegt.
Die Geschwindigkeit, mit welcher ein Speer geworfen wird, kann anhand von Formel
(2.8) berechnet werden. Wobei mit der Weltrekordweite gerechnet wird, welche
98,48 m beträgt13. Man erhält eine Geschwindigkeit v = 31,65 m/s .
Daraus
ergibt
sich
durch
Einsetzen
in
Formel
(1.13)
3
2
( ρ = 1,293 mg/cm ; A = 0,04 m ; c w = 0,09; v = 31,65 m/s )
eine
Luftwiderstandskraft
FL = 2,33 N .
Diese Kraft ist aufgrund der geringen Fläche des Speers relativ realistisch.
Es ist allerdings hauptsächlich wichtig, zu wissen, wie sich diese Widerstandskraft
auf die Flugbahn auswirkt, beziehungsweise, ob sie überhaupt einen Einfluss hat.
Dabei wird von folgender Überlegung ausgegangen:
Der Luftwiderstand erteilt dem Wurfobjekt in der Luft eine bestimmte Beschleunigung
in die entgegengesetzte Richtung (bezogen zur Flugrichtung). Bekanntlich ist die
F
Formel für die Beschleunigung a = . Das bedeutet der Weg, um den der
m
Luftwiderstand das Objekt sozusagen in die andere Richtung verschiebt, kann
1
folgendermaßen beschrieben werden: s = − a ⋅ t 2
2
Man kann als Kraft F die Widerstandskraft FL des Luftwiderstands einsetzen (Formel
(1.13)). Daraus folgt folgender Ausdruck:
1
s=− ⋅
2
2
vx
⋅A
2
⋅t2
m
cw ⋅ ρ ⋅
(1.14)
Wobei hier mit vx die momentane Geschwindigkeit zu einem ganz bestimmten
Zeitpunkt gemeint ist (siehe Abb. 10).
Abb. 10: Geschwindigkeitskomponenten
beim schiefen Wurf
___________
13
vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Speerwurf [06.10.2006]
- 16 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
In der Einleitung zu diesem Kapitel wurde bereist erwähnt (Formel (1.1)), dass für x
gilt: x = v0 ⋅ cos α ⋅ t . Dies ist die Strecke, die das Flugobjekt entlang der x-Achse ohne
Einfluss des Luftwiderstands zurücklegt. Nun muss von dieser Strecke noch der
Weg, den das Objekt durch den Einfluss des Luftwiderstands nicht zurücklegt,
abgezogen werden. Daraus ergibt sich:
x = v0 ⋅ cos α ⋅ t −
1
⋅
2
2
vx
⋅A
2
⋅ t2
m
cw ⋅ ρ ⋅
(1.15)
Die Geschwindigkeit vx kann als x& (für die Momentangeschwindigkeit) geschrieben
werden. Daraus erhält man:
x& 2
c
⋅
ρ
⋅
⋅A
w
1
2
x = v0 ⋅ cos α ⋅ t − ⋅
⋅t2
2
m
(1.16)
Jetzt können folgende Konstanten geschrieben werden:
A
A
cw ⋅ ρ ⋅
cw ⋅ ρ ⋅
1
2 =
2 = cw ⋅ ρ ⋅ A , C = v ⋅ cosα
C1 = ⋅
2
0
2
m
2m
4m
Daraus ergibt sich für die x-Achse folgende Differentialgleichung:
x + C1 ⋅ x& 2 ⋅ t 2 − C2 ⋅ t = 0
(1.17)
Dasselbe kann mit der y-Achse gemacht werden (Formel (2.2)).:
y = v0 ⋅ sin α ⋅ t −
1 2 1
gt − ⋅
2
2
cw ⋅ ρ ⋅
vy
2
2
m
⋅A
⋅ t 2 = v0 ⋅ sin α ⋅ t −
1 2 1
gt − ⋅
2
2
y& 2
⋅A
2
⋅t2
m
cw ⋅ ρ ⋅
(1.18)
Zusätzlich können folgende Konstanten geschrieben werden:
1
C3 = v0 ⋅ sin α , C4 = gt 2
2
Die Differentialgleichung für die y-Achse lautet also:
y − C1 ⋅ y& 2 ⋅ t 2 − C3 ⋅ t + C4 ⋅ t 2 = 0
(1.19)
Auf die Flugbahn unter Berücksichtigung des Luftwiderstands kommt man durch
Lösen der Differentialgleichungen (1.17) und (1.19), was allerdings den Rahmen
dieser Arbeit sprengen würde und deshalb hier nicht erfolgt.
- 17 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
1.4. Weitsprung
Es klingt vorerst einmal komisch, wenn man den Weitsprung zu den Wurfsportarten
zählt. Das Wort “Sprung“ ist ja bereits im Namen der Sportart enthalten. Deshalb
wäre es natürlich logisch, sie zu den Sprungsportarten zu zählen.
Doch bei genauerer Betrachtung erkennt man, dass es sehr wohl einen Sinn macht,
den Weitsprung zu den Wurfsportarten zu zählen. Der einzige Unterschied zu den
bisher behandelten Sportarten ist, dass hier nicht mehr ein Gegenstand geworfen
wird, sondern dass sich der Sportler quasi selbst wirft.
Zuerst möchte ich einmal nach Formel (1.7) die Sprung- beziehungsweise Wurfweite
bei einer Anfangsgeschwindigkeit v0 von 10 m/s (entspricht 36 km/h) berechnen. Das
ist auch der Grund, warum die meisten Weitspringer auch gute Sprinter sind und
umgekehrt. Das Wichtigste im Weitsprung ist eine möglichst hohe
Anfangsgeschwindigkeit.
Außerdem wird mit einer Höhendifferenz d (Abstand: Schwerpunkt – Boden) von
-1,00 Meter und einem Absprungwinkel von 41° gerechnet .
Dabei erhält man eine maximale Weite von 11,14 Meter. Doch diese Weite ist im
Bereich des Weitspringens eine Utopie! Die derzeit weltbesten Weitspringer erzielen
Weiten, die um die 8 Meter liegen. Doch was stimmt bei dieser Rechnung nicht?
Der Haken bei der Sache ergibt sich erst, wenn die oben verwendeten Werte in
Formel (1.5) eingesetzt werden. Dann ergibt sich nämlich eine maximale Flughöhe
von 2,19 m, was in der Realität allerdings niemals der Fall ist.
Der Grund, warum der Springer diesen optimalen Abwurfwinkel von 41° nicht
erreichen kann ist, dass es enorm schwierig ist, die dazu erforderliche vertikale
Geschwindigkeit zu erreichen. Der Athlet hat durch den Anlauf nämlich nur eine
horizontale Geschwindigkeitskomponente. Diese muss vor dem Absprung reduziert
werden, um den einen Teil, der durch das Bremsen erlangten Energie, in
Vertikalgeschwindigkeit umzusetzen.
Die eigentliche Endgeschwindigkeit von 10 m/s wird durch Abbremsen vor dem
Absprung auf ungefähr 8,5 m/s reduziert. Messungen ergeben, dass dadurch eine
Vertikalgeschwindigkeit von etwa 3 m/s möglich ist14. Daraus ergibt sich ein
Absprungwinkel von,
3
tan α =
→ α = 19,4° .
8,5
Wenn
dieser
Winkel
in
Formel
(1.7)
eingesetzt
wird
( v 0 = 10 m/s; α = 19, 4°; d = -1 m; g = 9,81 m/s 2 ), ergibt sich nur mehr eine Sprungweite
von 8,5 Meter.
Diese Weite ist durchaus der Realität entsprechend.
Durch eine gute Landetechnik kann diese Weite noch um 10 – 20 cm ausgebaut
werden. Dabei werden erstens einmal die Beine so weit wie möglich nach vorne
geworfen. Außerdem wird von den Weitspringern das dritte Newton’sche Gesetz
ausgenützt, indem sie die Arme zu Beginn des Sprungs gestreckt senkrecht nach
oben halten und dann gegen Ende des Flugs nach unten senken (actio). Dadurch
wird der Rest des Körpers nach oben gehoben (reactio), was einen zusätzlichen
Weitengewinn mit sich bringt.
____________
14
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 14
- 18 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
1.5. Basketball
Bei allen bisher behandelten Sportarten ging es immer darum, den Flugkörper so
weit wie möglich zu werfen. Beim Basketball ist das anders. Hier hängt der Erfolg
einer Mannschaft davon ab, wie oft sie den Ball in den Korb hineinbefördern kann.
Zuerst muss man einmal wissen, in welchem Winkel der Ball zum Korb kommen
muss, damit ein Treffer erzielt werden kann.
Abb. 11: Einfallswinkel des Balles am Korb
dB
,
dK
wobei dB dem Durchmesser des Balls entspricht, welcher 24 cm (=0,24 m) beträgt
und dk dem Durchmesser des Korbs. Dieser beträgt 45,7 cm (=0,457 m).
Es gilt: sin ϕ =
Der Winkel ϕ kann folgendermaßen berechnet werden:
d
0,24
sin ϕ = B =
= 0,525 → ϕ = arcsin( 0,525) = 31,7°
d K 0,457
Das bedeutet der Einfallswinkel ϕ des Balls am Korb muss größer als 32° sein, damit
der Ball in den Korb fällt.
Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten den Ball zu werfen. Einerseits ist es möglich
den Ball von oben, einhändig zu werfen, oder man bedient sich des sogenannten
Unterhandwurfs (siehe Abb.12 und Abb.13).
Abb. 12: Einhändiger Korbwurf
Abb. 13: Unterhandwurf
Im Basketball ist es wichtig, dass die Anfangsgeschwindigkeit v0 so niedrig wie
möglich bleibt, da dadurch die Muskelanstrengung minimal ist und daher eine sichere
- 19 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Hand beim Wurf garantiert wird. Außerdem wirken sich gemachte Fehler durch eine
niederere Geschwindigkeit weniger stark aus.
Anhand von Formel (1.8) können die einzelnen Anfangsgeschwindigkeiten für den
einhändigen Korbwurf, beziehungsweise Unterhandwurf, berechnet werden.
Für den einhändigen Korbwurf von der Freiwurflinie aus, welche 4,60 m vom Korb
entfernt ist15, gelten folgende Werte: α = 41°; w = 4,30 m; d = 0,8 m; g = 9,81 m/s 2 . Die
Wurfweite wurde daher etwas geringer angenommen, da der Werfer den Ball ein
wenig vor dem Körper wirft.
Daraus ergibt sich eine benötigte Anfangsgeschwindigkeit v01 = 7,36 m/s .
Für den Unterhandwurf gilt: α = 41°; w = 4,30 m; d = 1,85 m; g = 9,81
Es ergibt sich eine Anfangsgeschwindigkeit v0 2 = 9,18 m/s .
Hinzuzufügen wäre, dass wahrscheinlich der Abwurfwinkel beim Basketball größer
sein wird als eben angenommen. Die exakte Berechnung des Winkels erfolgt später
in diesem Kapitel.
Man erkennt, dass der einhändige Korbwurf auf Grund der vorigen Überlegung
günstiger ist als der Unterhandwurf, weil die Abwurfgeschwindigkeit geringer ist. Es
ist auch selten ein Basketball – Profi zu sehen, welcher den Unterhandwurf
anwendet. Ein weiterer Grund dafür ist, dass man mit dem Oberkopfwurf viel besser
zielen kann. Außerdem gibt der Werfer normalerweise dem Ball einen bestimmten
Spin, da dieser damit die Flugbahn besser einhält. Mit dem Unterhandwurf ist dies
viel schwieriger, während beim Überkopfwurf nur die Finger am Ende des Wurfs eine
Kippbewegung machen müssen, um den Ball in Drehung zu versetzen.
Es ist natürlich auch interessant, mit welchem Abwurfwinkel α der Ball geworfen
werden muss, damit er auch wirklich am Korb ankommt.
Dazu formt man zuerst einmal Formel (1.3) folgendermaßen um16:
y = tan α ⋅ x −
2
2
1
g
g
1
⋅
⋅ x 2 = tan α ⋅ x −
⋅
⋅ x 2 (1/cos α als (1+tan α) schreiben)
2
2
2 v0 2 cos 2 α
cos
α
2v0
y = tan α ⋅ x −
g
⋅ (1 + tan 2 α ) ⋅ x 2
2
2v0
Diese Gleichung löst man nach tanα auf17:
g
⋅ (1 + tan 2 α ) ⋅ x 2
2
2v0
g
2
2
0 = x ⋅ tan α −
2 ⋅ (1 + tan α ) ⋅ x − y
2v0
y = x ⋅ tan α −
0 = x ⋅ tan α −
gx 2
g
−
⋅ tan 2 α ⋅ x 2 − y
2
2
2v 0
2v 0
0 = − tan 2 α ⋅
g ⋅ x2
g ⋅ x2
+ tan α ⋅ x −
−y
2
2
2 v0
2 v0
____________
15
vgl.: NEUMANN 1982, S. 9
vgl.: SCHAEFER/PÄSLER 1970, S. 76
17
vgl.: ebenda
16
- 20 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Zur Vereinfachung können folgende Konstanten geschrieben werden:
g ⋅ x2
g ⋅ x2
,
,
A=−
B
=
x
C
=
−
−y
2
2
2v0
2v0
Die Gleichung sieht unter Berücksichtigung der Konstanten folgendermaßen aus:
0 = tan 2 α ⋅ A + tan α ⋅ B + C ( durch A dividieren!)
g ⋅ x 2 + y (2v0 )
g ⋅ x2
−y
2
2
2
2v 0
2v0
2v0
2
tan
tan
=
α
−
⋅
α
+
=
g ⋅ x2
g⋅x
g ⋅ x2
−
2
2
2v0
2v0
2
0 = tan 2 α +
tan α ⋅ x
+
g ⋅ x2
−
2
2v0
= tan 2 α −
−
2v0
g ⋅ x 2 + 2 v0 ⋅ y
2v
2v ⋅ y
⋅ tan α +
= tan 2 α − 0 ⋅ tan α + 0 2 + 1
2
g⋅x
g⋅x
g⋅x
g⋅x
2
2
2
2
Nun werden folgende Konstanten geschrieben:
2
2
2v
2v y
p = 0 , q = 0 2 +1
g⋅x
g⋅x
Die Gleichung kann anhand des Satzes von Vieta gelöst werden, welcher lautet:
2
1
tan 2 α = −
p
 p
±   −q
2
2
Jetzt werden die Konstanten p und q eingesetzt:
2
2
 2v0 2 
2v 0


2
2
2
 v0 2  2v0 2 ⋅ y
v0
g⋅x
 g ⋅ x  2v0 ⋅ y
 −
± 
−
−1 =
± 
−1
1 tan 2 α =

g ⋅ x2
g⋅x
g ⋅ x2
2
2 
g⋅x




Es ergibt sich eine Gleichung für tan α, welche folgendermaßen lautet:
2
v0
±
1 tan 2 α =
g⋅x
2
 v0 2  2v0 2 ⋅ y


 g ⋅ x  − g ⋅ x2 − 1


(1.20)
Mit dieser Formel lässt sich berechnen, unter welchem Winkel ein Gegenstand
geworfen werden muss, um einen bestimmten Punkt (x/y- Koordinaten bekannt) zu
treffen. Anhand des ± Zeichens ist zu erkennen, dass es möglich ist, unter zwei
verschiedenen Winkeln den Punkt zu treffen.
Im Fall des Basketballs wäre dieser Punkt der Korb. Man muss nur mehr
herausfinden, mit welchen x- bzw. y-Koordinaten gerechnet werden muss.
Dazu wird hier das Beispiel eines gewöhnlichen Freiwurfs genommen.
- 21 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
1. Wurfsportarten
Der Spieler steht dabei, wie bereits erwähnt, 4,60 m vom Korb entfernt. Da der Ball
allerdings ein wenig vor dem Körper geworfen wird, wird als Länge der
x – Koordinate 4,30 m angenommen.
Es wird angenommen, dass der Spieler den Ball aus einer Höhe von 2,25 m wirft.
Damit lässt sich eine Höhendifferenz zum Korb von 0,8 m berechnen. Diese 0,8 m
können als y-Koordinate gesehen werden. In Abbildung 14 werden die eben
gemachten Überlegungen veranschaulicht.
Abb. 14: Koordinatensystem beim Wurf
auf den Basketballkorb
Man erhält folgende Angaben: Der Punkt P (4,300,8) soll getroffen werden. Als
Anfangsgeschwindigkeit wird eine Geschwindigkeit v0 = 7,36 m/s genommen, welche
in diesem Kapitel bereits berechnet wurde. Die Erdbeschleunigung hat den Wert
g = 9,81 m/s 2 .
Durch Einsetzen dieser Werte in Formel (1.20) ergeben sich folgende zwei Winkel:
tan α1 = 1,86 → α1 = 59,50°
tan α 2 = 0,8 → α 2 = 41,03°
Wenn der Ball in einem dieser beider Winkel geworfen wird, kann der Korb getroffen
werden.
- 22 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
2. Energetik des Radfahrens
Das Fahrrad ist ein Gegenstand, welchen so ziemlich jeder bereits einmal benutzt
hat. Es erfüllt mehrere Zwecke: Einerseits wird es als Verkehrmittel genutzt, andere
benutzen es wiederum als Fitnessgerät. Es hat, glaube ich, auch jeder schon
gewisse Erfahrungen bezüglich der Leistungsoptimierung dieses Sportgeräts
gemacht. So weiß zum Beispiel jeder, dass ein Fahrrad leichter fährt, wenn die
Reifen gut aufgepumpt sind. Es ist auch eine Sache des Hausverstandes, dass man
umfällt, wenn man sich mit dem Rad zu stark auf die Seite neigt.
All diese Dinge sind für uns nahezu selbstverständlich und trotzdem möchte ich sie
hier noch einmal aufrollen. Meine Absicht ist es, die Gründe für die oben genannten
Verhaltensweisen des Fahrrads zu zeigen. Warum muss man zum Beispiel ständig
treten, um mit einem Rad weiter zu kommen, welche Widerstände wirken? Oder
auch: Bringt es wirklich etwas, wenn ich mich auf dem Rad möglichst klein mache?
All diese Fragen – und noch andere – möchte ich in diesem Kapitel behandeln.
2.1. Abhandlungen ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes
Der “Motor“ des Fahrrades ist der Radfahrer selbst. Er muss durch die Arbeit, welche
er mit seinen Beinmuskeln aufbringt, dem Gerät die nötige Kraft erteilen, die es
braucht, um weiter zu fahren.
Es ist, wie bereits in der Einleitung erwähnt, nicht der Fall, dass die ständige
Energiezufuhr mit einer ständigen Zunahme der Fahrgeschwindigkeit verbunden ist,
wie man es eigentlich annehmen müsste. Das bedeutet, dass ein relativ großer
Anteil der Energie an die Umgebung abgegeben (dissipiert) wird.
Diese Tatsache ist erkennbar, wenn man das Fahrrad ausrollen lässt. Dabei wird
man immer langsamer, bis man zum absoluten Stillstand kommt. Es wird Energie an
die Umgebung abgegeben18. Um den Wert dieser Energie herauszufinden, habe ich
eine Messung durchgeführt, die ich jetzt behandeln möchte.
Dabei wurde folgender Versuchsaufbau verwendet:
Auf einer 150 m langen, ebenen Geraden wurden Streckenabschnitte von jeweils 20
m ausgemessen und mit Wegmarken gekennzeichnet. Eine Person stand mit Zettel
und Bleistift am Rand der Fahrbahn und war mittels Telefon mit dem Radfahrer
verbunden (der Radfahrer war in diesem Falle ich selbst). Dieser beschleunigte das
Rad auf eine bestimmte Geschwindigkeit und ließ es dann ausrollen. Beim Passieren
der Wegmarken sagte der Radfahrer der Person am Rand der Fahrbahn die
Geschwindigkeit (mit Tachometer gemessen) zum jeweiligen Zeitpunkt durch, die
dann notiert wurde.
Die Messung wurde in beide Richtungen der Fahrbahn durchgeführt, um etwaige
Steigungen auszugleichen.
Mit den, in der Messung ermittelten Werten, kann man sich die kinetische Energie
Ekin des Radfahrers zu den jeweiligen Zeitpunkten, an denen er die Wegmarken
1
passierte, berechnen ( E = mv 2 ).
2
____________
18
vgl.: SCHLICHTING/BACKHAUS (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/fahrradalltag.pdf
[18.02.2007])
- 23 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Es ist in der Praxis hauptsächlich von Bedeutung, die Kraft F zu kennen, welche
aufgebracht werden muss, um eine bestimmte Geschwindigkeit v aufrecht zu
erhalten. Das bedeutet, die Widerstandskräfte, die bei dieser Geschwindigkeit
wirken, müssen kompensiert werden.
Diese Kraft lässt sich, aus den anhand der Messung ermittelten Werten, berechnen:
Bekanntlich ist W = F ⋅ ∆s (W…Arbeit). Arbeit wird außerdem verrichtet, wenn die
Energie eines Körpers geändert wird. Das bedeutet: W = ∆E . Daraus folgt,
dass ∆E = F ⋅ ∆s .
Man erhält durch Umformen dieser Gleichung eine Formel für die
∆E
Gesamtreibungskraft F =
.
∆s
Damit lässt sich auch die mittlere Leistung P, die aufgebracht werden muss, um die
jeweilige Geschwindigkeit aufrecht zu erhalten (die Kraft F zu überwinden),
berechnen. Die Leistung ist definiert als Produkt zwischen der Kraft F und der
Geschwindigkeit v. Man erhält aus dieser Definition die Formel: P = F ⋅ v
Mit den eben genannten Formeln wurden die Werte in Tabelle 3 berechnet (Strecke
und Geschwindigkeit wurden durch die Messung ermittelt):
s
[m]
0
20
40
60
80
100
120
130
v
[km/h]
29,5
25
21
17,5
14
10
3
0
v
[m/s]
8,19444
6,94444
5,83333
4,86111
3,88888
2,77777
0,83333
0
E
[J]
2685,96
1929,01
1361,11
945,22
604,94
308,64
27,78
0
∆E
[J]
756,94
567,90
415,9
340,28
296,3
280,86
27,78
27,78
∆s
[m]
20
20
20
20
20
20
20
10
F
[N]
37,85
28,4
20,79
17,01
14,81
14,04
1,39
2,78
P
[W]
310,14
197,19
121,30
82,71
57,61
39,01
1,16
0
Tabelle 3: Messergebnisse zur Messung der Energiedissipation
beim ausrollenden Fahrrad
Abnahme der Widerstandskraft F
350
40
300
35
250
30
200
25
Kraft F in N
Leistung in W
Anbnahme der Leistung P
150
100
20
15
10
50
5
0
-50
0
5
10
15
20
25
30
0
35
0
Geschwindigkeit in km/h
Abb. 15: Leistung abhängig von der
Geschwindigkeit
5
10
15
20
25
30
35
Geschwindigkeit in km/h
Abb. 16: Widerstandskraft abhängig von
der Geschwindigkeit
Man erkennt, dass die Leistung P (siehe Abb. 15) mit v gegen Null geht. Dies
entspricht der Erfahrung, dass man bei Stillstand keine Leistung aufzubringen hat.
- 24 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
Abb. 17: Bild von der Messung
2. Energetik des Radfahrens
Abb. 18: Wegmarke bei einer Strecke von 60 m
Interessant ist hingegen, dass die Widerstandskraft, welche ja eigentlich, wenn nur
der Luftwiderstand betrachtet wird, mit der Geschwindigkeit gegen Null gehen
müsste, einen endlichen Wert anstrebt (siehe Abb.16).
Das bedeutet, dass es noch einen anderen Widerstand geben muss, welcher nicht
von v abhängig ist, sondern immer vorhanden ist. Dieser Wert wäre in diesem Fall
der Rollreibungswiderstand FR. Der Restwert, den man erhält, entspricht also dem
Rollreibungswiderstand FR. In diesem speziellen Fall beträgt dieser 2,78 N, also rund
3 N. In der Literatur ist meist von einem Rollreibungswiderstand FR im Bereich von
3,5 N die Rede. Somit lässt sich erkennen, dass der ermittelte Wert relativ genau mit
den dort genannten Werten übereinstimmt. Außerdem wurde die Messung mit einem
sehr guten Fahrrad durchgeführt, was bedeutet, dass der Wert etwas niederer sein
dürfte als bei einem “gewöhnlichen“ Fahrrad.
Die Rollreibungskraft entspricht nicht nur der Reibung zwischen Fahrbahn und
Reifen, sondern sie enthält auch Widerstände wie zum Beispiel die Reibung in den
Lagern. Außerdem ist die Größe der Rollreibung natürlich auch von der Härte und
dem Profil der Reifen abhängig.
Man kann sagen, dass die Funktion als FL (v) = F (v ) − FR (FL entspricht dem
Luftwiderstand) geschrieben werden kann. Aus Formel (1.13) weiß man, dass die
Luftwiderstandskraft proportional zu v2 ist.
Man kann F(v) durch folgende Funktion darstellen:
F (v ) = FR + FL (v )
(2.1)
Und die Leistung P(v) kann aufgrund
folgendermaßen dargestellt werden:
P = FR ⋅ v + FL ⋅ v
der
bekannten
Formel
P = F ⋅v
(2.2)
Die Formeln (2.1) und (2.2) dienen als Grundlage für das folgende Kapitel, in
welchem der Einfluss des Luftwiderstandes und des Windes betrachtet wird.
Außerdem werden in diesem Kapitel noch die experimentell ermittelten Werte mittels
theoretischer Formeln überprüft.
- 25 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
2.2. Abhandlungen unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes
In diesem Kapitel soll der Einfluss des Luftwiderstandes beziehungsweise des
Windes berücksichtigt werden. Aus Erfahrung weiß man, dass der Einfluss des
Luftwiderstandes in kaum einer Sportart so groß wie im Radsport. Das erkennt man
zum Beispiel daran, dass die Profis stets versuchen im Windschatten eines anderen
Fahrers zu fahren, um Kraft zu sparen (siehe Abb. 19).
Abb. 19: Windschattenfahren im Radsport19
Es soll eine Formel gefunden werden, welche die aufzubringende Gesamtleistung P
(inkl. Wind) repräsentiert.
Im Kapitel über den Speerwurf wurde bereits die Formel für den Luftwiderstand
hergeleitet (Formel (1.13)).
In diesem Fall, in dem auch die Luft in Bewegung ist (Wind), ist die
Relativgeschwindigkeit vrel des Radfahrers zur Luft von Bedeutung. Diese lässt sich
durch den Ausdruck vrel = v − vw ausdrücken, wobei vw die Geschwindigkeit des
Windes beschreibt. Diese Geschwindigkeit vrel wird als Geschwindigkeit v in die in
Kapitel 1.3 hergeleitete Formel für die Luftwiderstandskraft eingesetzt.
Ich möchte noch anmerken, dass hier immer mit dem Betrag des Vektors,
beziehungsweise der Vektoren, gerechnet wurde.
Die
Luftwiderstandskraft
FL =
FL
kann
folgendermaßen
geschrieben
1
ρ ⋅ A ⋅ cw ⋅ vrel ⋅ u
2
werden:
(2.3)
Die Variable u steht für die tangentiale Komponente vrelt der Relativgeschwindigkeit
des Radfahrers zum Wind (siehe Abb. 20). Der Term vrel ⋅ u steht für den Term v 2 in
Formel (1.13).
In der Formel (2.2) erkennt man, dass sich die aufzubringende Leistung aus
Rollreibung und Luftwiderstand zusammensetzt.
__________
vgl.: http://media.collegepublisher.com/media/paper410/stills/v8u2k37g.jpg [17.02.2007]
19
- 26 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Durch Einsetzen in Formel (2.2) erhält man:
P = F ⋅ v = ( FR + FL ) ⋅ v = FR ⋅ v +
1
⋅ ρ ⋅ cw ⋅ A ⋅ vrel ⋅ u ⋅ v
2
(2.4)
Jetzt muss noch die Windrichtung miteinbezogen werden. Diese wird im Winkel θ
angegeben. Abbildung 20 zeigt die Richtung der einzelnen Vektoren bei einem
Rückenwind, schräg von hinten.
Abb. 20: Richtung der Vektoren bei Rückenwind (schräg von hinten)
Die Relativgeschwindigkeit vrel kann mittels des Cosinussatzes folgendermaßen
geschrieben werden:
vrel = v 2 + vw − 2vvw ⋅ cos θ
2
Die tangentiale Komponente vrelt , welche ich als Variable u bezeichnet habe (siehe
Formel (3.3)), kann als v − vw ⋅ cosθ geschrieben werden.
Für den Ausdruck u ⋅ v in Formel (2.4) ergibt sich:
u ⋅ v = (v − vw ⋅ cos θ ) ⋅ v
Der Ausdruck vrel ⋅ u ⋅ v , welcher in der Formel für den Luftwiderstand (Formel (2.3))
vorkommt, lautet:
v 2 + vw − 2vvw ⋅ cosθ ⋅ (v − vw ⋅ cosθ ) ⋅ v
2
Man erhält für die Gesamtleistung P, durch Einsetzen der eben ermittelten Werte in
Gleichung (2.4), die Formel:
P = FR ⋅ v +
1
ρ ⋅ A ⋅ cw ⋅ v 2 + vw 2 − 2vvw ⋅ cosθ ⋅ (v − vw ⋅ cosθ ) ⋅ v
2
(2.5)
Diese Formel gilt für alle beliebigen Windrichtungen, wobei θ = 0 Rückenwind
entspricht.
Wenn man die Formel (2.5) für Rücken – beziehungsweise Gegenwind anwendet,
fällt einem der enorme Einfluss des Windes auf.
Dazu werden folgende Werte verwendet:
FR = 3,5 N ; v = 30 km/h = 8,3& m/s; v w = 10 km/h = 2,7& m/s; c w = 0,83; A = 0,43 m 2 ; ρ = 1,29 kg / m3
- 27 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
In der ersten Rechnung kommt der Wind von hinten, was einen Winkel θ = 0° ergibt.
Werden diese Werte in Formel (2.5) eingesetzt, ergibt sich eine aufzubringende
Leistung P1 = 60,8 W .
Wenn man dieselbe Rechnung mit Gegenwind ( θ = 180° ) rechnet, müsste man
erfahrungsgemäß einen weit höheren Wert erhalten. Dies ist tatsächlich so! Die
Widerstandskraft P ist in diesem Fall: P2 = 238,9 W , also fast vier mal so groß.
Jetzt muss noch eine Formel gefunden werden, die die gesamte Widerstandskraft
beschreibt.
Der Luftwiderstand kann auch noch durch folgenden Ausdruck beschrieben werden:
FL =
1
ρ ⋅ A ⋅ cw ⋅ vrel ⋅ vrel
2
(2.6)
Die Relativgeschwindigkeit des Fahrers zum Wind kann auf zwei verschiedene Arten
berechnet werden:
Einerseits wie bereits vorhin erwähnt, mit dem Cosinussatz: vrel = v 2 + vw 2 − 2vvw ⋅ cos θ
und andererseits auch als Subtraktion der Windgeschwindigkeit von der eigentlichen
r r
Geschwindigkeit: vrel = (v − vw )
Für die Widerstandskraft ergibt sich durch Einsetzen der eben genannten Ausdrücke
in Formel (2.1) die Gleichung:
F = FR +
r r
1
2
⋅ ρ ⋅ cw ⋅ A ⋅ v 2 + vw − 2vvw ⋅ cosθ ⋅ (v − vw )
2
(2.7)
Ich möchte jetzt noch die in Kapitel 2.1. experimentell ermittelten Werte mittels
theoretischer Formeln überprüfen. Dazu werden Kraft beziehungsweise Leistung bei
den im Experiment ermittelten Geschwindigkeiten berechnet. Diese müssten dann
mit den in Tabelle 3 berechneten Werten übereinstimmen.
Die Messungen beziehen sich auf Windstille. Man kann also mit Formel (2.1), die
Kraft F berechnen.
Die Leistung P wird, wie bereits bei der Auswertung der experimentellen Werte,
anhand der Formel P = F ⋅ v berechnet.
Es wird mit folgenden Werten gerechnet:
FR = 2,7& N; ρ = 1,293 mg/cm 3 ; c w = 1; A = 0,8 m 2
Der cw – Wert wurde bewusst etwas höher angesetzt, da ich bei der Messung eine
dickere Jacke trug und relativ aufrecht gefahren bin.
Die Tabelle 4 zeigt die Geschwindigkeiten und die jeweilige aufzubringende Leistung
bei dieser entsprechenden Geschwindigkeit.
- 28 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
v
[km/h]
29,5
25
21
17,5
14
10
3
0
v
[m/s]
8,19444
6,94444
5,83333
4,86111
3,88888
2,77777
0,83333
0
2. Energetik des Radfahrens
F
[N]
37,51
27,72
20,38
14,99
10,6
6,77
3,14
2,78
P
[W]
307,35
192,49
118,87
72,91
41,22
18,8
2,61
0
Tabelle 4: Theoretische Berechnung
der Kraft F und der Leistung P
Wenn man die in Tabelle 4 ermittelten Werte in einen Graphen gemeinsam mit den
experimentellen Werten einzeichnet, erhält man folgendes Ergebnis:
Vergleich Leistung P: experimentell theoretisch
Vergleich Kraft F: experimentell theoretisch
350
40
300
35
250
30
200
25
20
150
15
100
10
50
5
0
-50 0
0
5
10
15
20
25
30
35
Ge sc hwi nd i g k e i t i n k m / h
0
5
10
15
20
25
30
35
Ge sc hwi ndi gke i t i n k m/ h
Abb. 21: Vergleich der theoretisch ermittelten
Werte der Leistung mit den experimentell
ermittelten (siehe Kapitel 2.1).
Abb. 22: Vergleich der theoretisch ermittelten
Werte der Kraft F mit den experimentell
ermittelten (siehe Kapitel 2.1).
Es ist erkennbar, dass die Werte speziell im Bereich der hohen Geschwindigkeiten
sehr genau übereinstimmen. Dies liegt daran, dass es bei niederen
Geschwindigkeiten schwerer ist die Spur zu halten und somit Messungenauigkeiten
daraus folgen.
Die einzige Möglichkeit des Radfahrers auf die Widerstandskraft Einfluss zu nehmen,
besteht darin, seine Querschnittsfläche A zu verringern.
Was bewirkt also eine Verringerung der Querschnittsfläche um 0,07 m2? Dieser Wert
entspricht ungefähr dem Unterschied zwischen Tourenfahrerhaltung und
Rennhaltung20.
Zur ersten Rechnung, bei größerer Querschnittsfläche, werden folgende Werte
verwendet:
FR = 3,5 N ; v = 20 km/h = 5,5& m/s; vw = 10 km/h = 2,7& m/s; c w = 0,83; A = 0,43 m 2 ; ρ = 1,29 kg / m3
____________
20
vgl.: SCHLICHTING/NOBBE (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/fahrrad_wind_steig
ung.pdf [18.02.2007])
- 29 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Der Wind kommt mit einem Winkel θ = 180° von vorne.
Es ergibt sich eine aufzubringende Leistung P1 = 104 W .
Wenn die Querschnittsfläche des Körpers verringert wird, sprich der Fahrer sich auf
dem Rad mehr zusammenkauert, dann erhält man nur mehr eine Querschnittsfläche
A = 0,36 m 2 . Die restlichen Werte bleiben gleich wie bei der vorigen Rechnung.
Die aufzubringende Leistung hat einen Wert P2 = 90,5 W .
Es geht also hervor, dass bereits bei einer minimalen Veränderung der Sitzposition
am Rad, die aufzubringende Gesamtleistung um einiges abnimmt. Dies erklärt,
warum ein Radprofi sehr viel Zeit im Windkanal verbringt, um seine optimale
Sitzposition am Rad zu finden.
Es muss allerdings noch hinzugefügt werden, dass die oben durchgeführte
Rechnung noch nicht ganz den Werten in der Realität entspricht. Denn wenn der
Fahrer die Rennhaltung einnimmt, dann verringert er nicht nur seine
Querschnittsfläche A, sondern auch den cw – Wert (von 0,83 auf 0,6521). Das
bedeutet, der Fahrer wird windschlüpfriger. Der Grund dafür ist, dass der Körper des
Fahrers in Rennfahrerhaltung mehr der Stromlinienform ähnelt, als er es in
Tourenfahrerhaltung tut.
____________
21
vgl.: SCHLICHTING/NOBBE (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/fahrrad_wind_steig
ung.pdf [18.02.2007])
- 30 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
2.3. Einfluss von Steigung und Gefälle
Es ist selten der Fall, dass man mit dem Rad eine absolut ebene Strecke befahren
kann. Es hat jeder schon einmal die Erfahrung gemacht, wenn man mit dem Rad
einen Berg hoch fährt, mehr Leistung aufzubringen ist als im Ebenen. Welche
Widerstandskraft ist dafür verantwortlich?
Der Widerstand, der beim Befahren einer Steigung wirkt, wird Steigungswiderstand
FST genannt. Man könnte ihn auch als Hangabtriebskraft bezeichnen.
Abbildung 23 zeigt die verschiedenen Kraftkomponenten beim Befahren einer steilen
Straße.
Abb. 23: Kräfte beim Bergabfahren
Der Steigungswiderstand FST kann folgendermaßen geschrieben werden:
FST = ± mg ⋅ sin α
(2.8)
Wobei die Masse m die Gesamtmasse von Radfahrer und Rad und Winkel α der
Steigungswinkel ist.
Das ± Zeichen steht für Bergauf – bzw. für Bergabfahren.
Beim Bergauffahren wird sozusagen eine gewisse potentielle Energie ( E pot = mgh )
gespeichert (+), beim Bergabfahren wird diese Energie wieder ausgenützt (-).
Daraus erkennt man, dass dieser Term des Steigungswiderstandes keinen Einfluss
auf die Gesamtenergiebilanz des Radlers hat, da immer genau gleich viel Energie
gespeichert wird, wie dann wieder bei der Rückkehr zum Ziel abgegeben wird.
Der Steigungswiderstand hat also keine Energiedissipation zur Folge, sondern nur
eine Abgabe zur anschließenden Wiederaufnahme der Energie.
Jetzt muss noch der Einfluss von Steigung und Gefälle auf die Rollreibung FR
berücksichtigt werden.
Die Abbildung 23 zeigt, dass im Fall des Befahrens einer Steigung, die Rollreibung
FR’ (mit Einfluss von Steigung bzw. Gefälle) unter Anwendung des Cosinus
folgendermaßen geschrieben werden kann:
FR ' (α ) = mg ⋅ cosα FR ' (α ) = µ ⋅ mg ⋅ cosα
- 31 -
(2.9)
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Die Variable µ ist der Rollreibungskoeffizient, der anhand folgender Gleichung
F
berechnet werden kann: µ = R 22.
m⋅ g
Die Gesamtwiderstandskraft beim Bergauffahren kann nun berechnet werden:
F (v, α ) = FR '+ FST + FL = µ ⋅ mg ⋅ cosα ± mg ⋅ sin α + FL
Durch Herausheben des Ausdrucks m ⋅ g
Widerstandskraft:
erhält man die Gleichung für die
F (v,α ) = mg ⋅ ( µ ⋅ cos α ± sin α ) + FL
(2.10)
Der Term FL steht für die Luftwiderstandskraft.
Die aufzubringende Leistung, um diese Kraft zu überwinden, kann auch noch
berechnet werden:
P(v,α ) = ( FR '+ FST ) ⋅ v + PL = mg ⋅ ( µ ⋅ cos α ± sin α ) ⋅ v + PL
(2.11)
Auch hier steht der Term PL für die Leistung, die benötigt wird, um den
Luftwiderstand zu überwinden.
Wie groß ist nun die Widerstandskraft, wenn ein Fahrer eine Strecke mit einer
durchschnittlichen Steigung von 8% befährt?
Dazu wird mit folgenden Werten gerechnet:
m = 70 kg +11 kg = 81 kg; g = 9,81 m/s 2 ; µ = 0,004 (bei FR = 3,5 N ); α = 4,57°
Was jetzt noch fehlt ist die Luftwiderstandskraft FL, diese kann anhand von
Formel (1.13) berechnet werden. Dazu werden folgende Werte verwendet:
ρ = 1,29 kg/m3 ; c w = 0,83; A = 0,43 m 2 ; v = 12 km/h = 3,3& m/s
In diesem Fall wurde die Geschwindigkeit v im Maße eines ambitionierten
Hobbysportlers gewählt.
Man erhält nun eine Luftwiderstandskraft FL = 2,56 N .
Durch Einsetzen der Werte in Formel (2.10) ergibt sich eine Widerstandskraft
F (v,α ) = 69 N .
Wenn man die aufzubringende Leistung wissen will, müssen die obigen Werte in
Formel (2.11) eingesetzt werden. Wobei noch der Term PL benötigt wird:
1

PL = FL ⋅ v =  ⋅ ρ ⋅ cw ⋅ A ⋅ v 2  ⋅ v = 8,5 W
2

___________
22
(2.12)
vgl.: SCHLICHTING/NOBBE (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/fahrrad_wind_steig
ung.pdf [18.02.2007])
- 32 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Man erhält eine Leistung P(v,α ) = 238,5 W . Dieser Wert entspricht ziemlich genau
dem der Realität.
Ein Radprofi (in Rennhaltung) erreicht bei einer Steigung von 8% ungefähr eine
Geschwindigkeit von 25 km/h. Zu dieser Rechnung wurden folgende Werte
verwendet:
m = 81 kg; g = 9,81 m/s; µ = 0,004; α = 4,57°; ρ = 1,29 kg/m3 ; c w = 0,65; A = 0,36 m 2 ;
v = 25 km/h = 6,94& m/s
Auch hier wird zunächst die Leistung PL (siehe Formel (2.12)) berechnet, die benötigt
wird, um den Luftwiderstand zu überwinden. Man erhält in diesem Fall eine Leistung
PL = 50,5 W .
Wenn diese Werte in Formel (2.11) eingesetzt werden, dann erhält man eine
aufzubringende Leistung P = 512 W . Auch dieser Wert entspricht der Realität und
man erkennt, welche enormen Leistungen die Profis aufzubringen haben.
In der Einleitung habe ich den Steigungswiderstand auch als Hangabtriebskraft
bezeichnet. Jetzt möchte ich noch folgenden Sachverhalt klären:
Ein Radfahrer fährt ohne zu treten eine abfallende, gerade Straße hinunter. Welche
maximale Geschwindigkeit erreicht er?
Der Radfahrer wird dabei so lange beschleunigt, bis die mit zunehmender
Geschwindigkeit wachsende Reibungskraft FR '+ FL gleich der bei konstantem α
unverändert bleibenden Kraft FS ist, beziehungsweise, da der Radfahrer sich in einer
gleichförmigen Bewegung befindet und dabei keine Kraft wirkt, die Kraft F(v)
verschwindet23. Daher kommt man zu der Bedingung:
F (v ) = FR '+ FS + FL = 0
Anhand Formel (2.10) ergibt sich: FR '+ FS + FL = m ⋅ g ⋅ ( µ ⋅ cos α − sin α ) +
1
ρ ⋅ cw ⋅ A ⋅ v 2 .
2
Der Radfahrer wird so lange beschleunigt, bis sich die Kräfte gegenseitig aufheben.
Deshalb wird dieser Ausdruck Null gesetzt und die Geschwindigkeit v freigestellt:
0 = mg ⋅ ( µ ⋅ cos α − sin α ) +
1
ρ ⋅ cw ⋅ A ⋅ v 2
2
1
ρ ⋅ cw ⋅ A ⋅ v 2 = mg ⋅ ( µ ⋅ cos α − sin α )
2
mg ⋅ ( µ ⋅ cos α − sin α ) mg ⋅ ( − µ ⋅ cos α + sin α ) mg ⋅ (sin α − µ ⋅ cos α )
v2 = −
=
=
1
1
1
ρ ⋅ cw ⋅ A
ρ ⋅ cw ⋅ A
ρ ⋅ cw ⋅ A
2
2
2
−
____________
23
vgl.: SCHLICHTING/NOBBE (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/fahrrad_wind_steig
ung.pdf [18.02.2007])
- 33 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Man erhält durch Ziehen der Wurzel die Formel für die maximal zu erreichende
Geschwindigkeit beim Bergabfahren:
v=
mg ⋅ (sin α − µ ⋅ cosα )
1
ρ ⋅ cw ⋅ A
2
(2.13)
Wie groß ist die maximal zu erreichende Geschwindigkeit v beim Bergabfahren einer
Straße mit 10 % igem Gefälle? Dazu werden folgende Werte in Formel (2.13)
eingesetzt:
m = 81 kg; g = 9,81 m/s; α = 5,7°; µ = 0,004; ρ = 1,29 kg/m3 ; c w = 0,83; A = 0,43 m 2
Man erhält eine Geschwindigkeit v = 18 m/s = 65,3 km/h .
- 34 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
2.4.Wie halte ich am Rad das Gleichgewicht?
Beim Erlernen des Radfahrens hat schon jeder die Erfahrung gemacht, dass es
schwierig ist, das Fahrrad in einer stabilen Lage zu halten. Es gibt kaum jemanden,
der noch nie einen Sturz mit dem Rad erlebt hat. Doch woran liegt es, dass man mit
dem Rad umfällt?
Es ist klar, dass es einen Zusammenhang zwischen der Stabilität des Fahrrads, was
das Gleichgewicht betrifft, und der Fahrgeschwindigkeit geben muss. Denn
bekanntermaßen ist es schwierig, auf einem ruhenden Rad die Balance zu halten.
Der Radfahrer befindet sich in der labilen Gleichgewichtslage, was bedeutet, dass er,
sobald er sich etwas zur Seite neigt, ein Drehmoment (mit einer Kraftkomponente,
die der Gravitationskraft G entspricht) erfährt, welches solange wirkt, bis sich der
Radfahrer im stabilen Gleichgewicht befindet. Dies ist allerdings nicht möglich, da die
Straße auf halbem Weg ins stabile Gleichgewicht diesem Drehmoment ein Ende
setzt. Dies führt dann zum oft schmerzhaften Aufprall.
Wenn man die eben beschriebene Theorie genau betrachtet, wäre es rein
theoretisch nicht möglich mit dem Rad in eine Kurve zu fahren, denn dabei lehnt man
sich ja auf eine bestimmte Seite. Es muss also noch eine andere Kraft wirken, die
das Kippen des Rades verhindert.
In Abbildung 24 sind die einzelnen Kraftkomponenten, die auf einen Radfahrer
wirken, wenn er in eine Kurve fährt, eingezeichnet.
Abb. 24: Kraftkomponenten beim Fahren in einer Kurve
Man erkennt, dass die Gravitationskraft, welche laut voriger Theorie das Kippen des
Fahrrads bewirken müsste, anhand des Kräfteparallelogramms in zwei Komponenten
zerlegt werden kann. Einerseits in eine horizontale Komponente, welche der
Zentripetalkraft FZP entspricht, andererseits in eine Komponente in Richtung der
Räder. Letztere wird durch die Bodenreaktionskraft ausgeglichen24.
Man kann berechnen, welchen minimalen Radius ein Radfahrer in der Kurve fahren
muss, um bei einem bestimmten Neigungswinkel α nicht umzukippen.
Dabei geht man folgendermaßen vor:
___________
24
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 42
- 35 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Zunächst berechnet man die Zentripetalkraft in Abhängigkeit von α:
F
tan α = ZP → FZP = G ⋅ tan α = m ⋅ g ⋅ tan α
G
mv 2
Die Formel für die Zentripetalkraft lautet: FZP =
.
r
Die eben hergeleiteten Formeln können gleichgesetzt werden:
mv 2
m ⋅ g ⋅ tan α =
( m kürzen / r freistellen)
r
v2
r=
g ⋅ tan α
(2.14)
Bei der Annahme, dass der Radfahrer mit einer Geschwindigkeit v = 20 km/h = 5,5& m/s
und einem Neigungswinkel α = 15° in eine Kurve fährt, erhält man durch Einsetzen
dieser Werte in Formel (2.14) einen Kurvenradius r = 11,74 m , also ungefähr 12 m.
Beim Fahren in eine Kurve lenkt man das Vorderrad in die gewünschte Richtung und
neigt sich zudem nach innen. Doch das Lenken mit den Armen ist gar nicht
bedingungslos notwendig. Das erkennt man deutlich beim freihändigen Fahren.
Dabei fällt das Vorderrad, sobald man sich auf eine bestimmte Seite lehnt,
automatisch in die richtige Richtung. Welche Kräfte sind dafür verantwortlich?
Es sind die Kreiselgesetze, die das freihändige Fahren möglich machen. Ich werde
diese hier rein exemplarisch beschreiben, da eine genaue Beschreibung den
Rahmen dieser Arbeit sprengen würde.
Das Rad (Vorderrad) kann als ein Kreisel gesehen werden, der um die Achse seines
maximalen Trägheitsmoments rotiert.
Die Abbildung 25 veranschaulicht dies zusätzlich.
Abb. 25: Das Rad als Kreisel
Dadurch besitzt es in seiner Achse einen bestimmten Drehimpuls LK. Neigt sich nun
der Fahrer in eine bestimmte Richtung, so entspricht das einer Kippung um die
Achse A und daher einem zusätzlichen Drehimpuls LA. Diesem zusätzlichen Impuls
versucht das Rad, an welchem die Kreiselgesetze gelten, auszuweichen, indem es
eine Drehung um die Achse B vollzieht. Dieser Effekt wird Präzession eines Kreisels
genannt. Er beschreibt das Verhalten eines Kreisels unter der Wirkung einer Kraft
von außen, welche in diesem Fall durch das zusätzliche Drehmoment verursacht
wird.
- 36 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Das Rad dreht sich so weit, bis seine Achse wieder genau in die Richtung des aus
den Drehimpulsen LK und LA resultierenden Drehimpulses L zeigt. Dadurch fährt das
Rad in eine Kurve, da das Vorderrad nicht mehr geradeaus zeigt25.
Es muss noch erwähnt werden, dass das eben Beschriebene auch in die andere
Richtung gilt. Das bedeutet, wenn die Lenkstange des Rades in eine bestimmte
Position des Rades gebracht wird, dann entspricht das einer Drehung um die Achse
B und das Rad neigt sich, denselben Gesetzen folgend um die Achse A. Dies stimmt
mit der Erfahrung überein, dass man bei höheren Geschwindigkeiten (die
Kreiselkräfte sind größer) keine Kurve fahren kann, ohne sich auf die Seite zu
lehnen.
__________
25
vgl.: BERMANN/SCHÄFER 1974, S. 209
- 37 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
2.5. Problematik des Bremsens
Im vorigen Kapitel wurde die Gleichgewichtsproblematik entlang einer Achse längs
des Rads behandelt. Doch dies ist nicht die einzige Achse, entlang der man das
Gleichgewicht halten muss. Jeder hat bereits einen Sturz über den Lenker eines
Fahrrads gesehen.
In diesem Kapitel wird untersucht, wie stark man bremsen muss, damit so ein
Überschlag zustande kommt. Außerdem möchte ich noch praktische Fragen, wie
zum Beispiel: „Warum muss ich meinen Hinterreifen stärker aufpumpen als den
Vorderreifen?“, behandeln.
Wenn sich das Rad im Gleichgewicht befindet, was bedeutet, es ist in Ruhe oder in
gleichförmiger Bewegung, dann verschwindet die Summe aller am Fahrrad
wirkenden Kräfte und damit auch die Summe der gesamten Drehmomente.
Abb. 26: Schematische Darstellung eines Radfahrers
Wie in der Abbildung 26 zu erkennen ist, wirken im Zustand der Ruhe als
Gegenkräfte zur Gewichtskraft FG (actio), an den Berührungspunkten der Räder mit
dem Untergrund, zwei entgegengesetzt gerichtete Reaktionskräfte FV und FH
(reactio)26. Wie bereits vorhin erwähnt, halten sich diese Kräfte im stationären
Gleichgewicht das Gleichgewicht. Dies lässt die Annahme zu:
FG = FV + FH
(2.15)
Die zweite Annahme, dass sich die gesamten Drehmomente aufheben, lässt sich
folgendermaßen ausdrücken:
FV ⋅ a = FH ⋅ b
(2.16)
Die Variablen a beziehungsweise b stehen für den Abstand zwischen Schwerpunkt
und dem Punkt, an welchem die Kraft wirkt, wie der Abbildung 26 zu entnehmen ist.
__________
26
vgl.: SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/fahrradsturz.pdf
[18.02.2007])
- 38 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Aus den Formeln (2.15) und (2.16) lässt sich folgende Gewichtsverteilung herleiten:
FG = FV + FH
a
b
a
a


FG = FV + FV ⋅ = FV ⋅ 1 + 
b
 b
FV ⋅ a = FH ⋅ b FH = FV ⋅
FV = FG
b
a+b
(2.17)
Auf dieselbe Weise lässt sich die Formel für die Kraft am Hinterrad herleiten, welche
dann lautet:
FH = FG
a
a+b
(2.18)
Da normalerweise a größer ist als b, ergibt sich, dass die Kraft am Hinterrad größer
ist als die am Vorderrad. Dies erklärt die Tatsache, dass der Hinterreifen stärker
aufgepumpt sein muss als der Vorderreifen.
Die Differenz zwischen diesen beiden Werten möchte ich noch anhand realistischer
Werte exakt berechnen.
Man nimmt an, dass der Abstand a = 0,65 m beträgt, und der Abstand b = 0,42 m .
Außerdem wird angenommen, dass die Gesamtmasse (Fahrrad + Radfahrer)
m = 85 kg beträgt. Daraus erhält man eine Gewichtskraft FG = 833,85 N .
Durch Einsetzen dieser Werte in Formel (2.17) ergibt sich eine Kraft FV = 327,3 N .
Wird dieselbe Rechnung mit Formel (2.18) durchgeführt, dann erhält man den Wert
FH = 506 N .
Die Differenz der zwischen Vorderrad und Hinterrad wirkenden Kräfte ∆F = 179,2 N .
Das Hinterrad muss also 179,2 N mehr Kraft aushalten als das Vorderrad.
Wenn man die Summe der beiden Kräfte bildet, erhält man den Wert 833 N. Dies
bestätigt die Annahme, dass sie wertegleich mit der Gewichtskraft sind.
Außerdem kann man berechnen, dass rund 40% (genau: 39,3%) des Gewichts auf
dem Vorderrad lastet, und rund 60% (genau: 60,7%) auf dem Hinterrad.
Die eben angeführten Überlegungen beruhten alle auf der Tatsache, dass sich das
Fahrrad im stationären Gleichgewicht befindet.
Wenn der Radfahrer nun allerdings bremst, dann bedeutet das, dass das Fahrrad
aus dieser Gleichgewichtslage herausgerissen wird. Dies wiederum bedeutet, dass
die gleichmäßige Verteilung der Kräfte und Drehmomente, wie bisher angenommen,
nicht mehr gilt.
Die eigentliche Aufgabe des Bremsens ist die kinetische Energie, die das Fahrrad
und der Fahrer zum Zeitpunkt des Bremsbeginns besitzen, an die Umgebung
abzugeben (dissipieren).
- 39 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Dies geschieht in zwei Schritten:
Der erste Schritt ist das Bremsen der Räder durch die Reibung der Bremsbacken an
den Felgen. Dies alleine würde allerdings zu keiner Bremswirkung führen. Der
eigentliche Bremsvorgang geschieht in der Wechselwirkung zwischen Straße und
Rädern. Die hierbei wirkende Kraft ist die Haftreibungskraft zwischen Straße und
Rädern.
Die Bremskraft FB sollte den Wert dieser Haftreibungskraft nicht überschreiten, da
diese ansonsten in die Gleitreibungskraft übergeht, was ein Blockieren der Räder zur
Folge hat und damit einen geringeren Bremseffekt.
Wenn mit einer bestimmten Bremskraft FR gebremst wird, dann ergibt sich ein
zusätzliches Drehmoment: T = FR ⋅ h . Wobei h hier die Höhe ist, in der sich der
Schwerpunkt gegenüber der Straße befindet. Beim Bremsen gilt daher:
FV ⋅ a = FH ⋅ b + FR ⋅ h
(2.19)
Das bedeutet, dass die Last auf dem Hinterrad kleiner wird, und die am Vorderrad
mit zunehmender Bremskraft immer größer.
Um dies anhand von Formeln auszudrücken, kann man die Formeln für das Vorderbeziehungsweise Hinterrad (unter Verwendung der Formeln (2.15) und (2.19))
folgendermaßen herleiten:
FG = FV + FH FH = FG − FV ( in Formel (2.19) einsetzen)
FV ⋅ a = ( FG − FV ) ⋅ b + FR ⋅ h
FV ⋅ a = FG ⋅ b − FV ⋅ b + FR ⋅ h
FV ⋅ a + FV ⋅ b = FG ⋅ b + FR ⋅ h
FV ⋅ ( a + b) = FG ⋅ b + FR ⋅ h
FV =
FG ⋅ b + FR ⋅ h
( a + b)
(2.20)
Auf dieselbe Weise lässt sich die Formel für das Hinterrad herleiten, welche lautet:
FH =
FG ⋅ a − FR ⋅ h
(a + b)
(2.21)
Wird die Bremskraft langsam erhöht, verlagert sich das Gewicht zunehmend auf das
Vorderrad (siehe + in Formel (2.20)) und nimmt am Hinterrad im gleichen Maße ab
(siehe – in Formel (2.21)).
Eine Bremswirkung ist solange zu erzielen, bis die Kraft auf das Hinterrad vollständig
verschwindet ( FH ≤ 0 ), was bedeutet, dass die gesamte Gewichtskraft auf dem
Vorderrad lastet ( FV = FG ). Tritt dies ein, dann führt das zum gefürchteten Sturz über
den Lenker.
Die eben behandelte Thematik stimmt mit der Erfahrung überein, dass mit der
Vorderbremse stärkere Bremskräfte entwickelt werden können als mit der
Hinterradbremse. Dies kommt daher, dass durch das Bremsen das Gewicht mehr auf
dem Vorderrad lastet und somit der Grenzpunkt zwischen Haft – und Gleitreibung
- 40 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
höher liegt und somit mehr Bremskraft aufgebracht werden kann, bis das Rad in den
Gleitreibungszustand wechselt.
Am Hinterrad gilt folgende Ungleichung:
FR ≤ µ ⋅ FH
(2.22)
Wenn diese Ungleichung nicht erfüllt ist, dann setzt der Gleitreibungsprozess ein.
Eine Formel für die maximal zu erreichende Bremskraft lässt sich herleiten, wenn
man FR max = µ ⋅ FH in Gleichung (2.21) einsetzt.
FR max = µ ⋅ FH FH = FR max
µ
( in Formel (2.21) einsetzen)
( FG ⋅ a − FR max ⋅ h)
(a + b )
FR max ⋅ ( a + b) = ( FG ⋅ a − FR max ⋅ h ) ⋅ µ
FR max
µ
=
FR max ⋅ a + FR max ⋅ b = FG ⋅ µ ⋅ a − FR max ⋅ µ ⋅ h
FR max ⋅ a + FR max ⋅ b + FR max ⋅ µ ⋅ h = FG ⋅ µ ⋅ a
FR max ⋅ (a + b + µ ⋅ h) = FG ⋅ µ ⋅ a
FR max =
( FR max herausheben)
FG ⋅ µ ⋅ a
( a + b + µ ⋅ h)
(2.23)
Zudem lässt sich noch herleiten, welche Last auf dem Hinterrad lastet, wenn man mit
maximaler Bremskraft am Hinterrad bremst. Dies geschieht durch Einsetzen der
Formel (2.22) in Formel (2.21).
( FG ⋅ a − FR ⋅ h) ( für F = F ⋅ µ einsetzen)
R
H
( a + b)
( F ⋅ a − FH ⋅ µ ⋅ h )
FH = G
( a + b)
FH =
FH ⋅ ( a + b) = ( FG ⋅ a − FH ⋅ µ ⋅ h)
FH ⋅ a + FH ⋅ b = FG ⋅ a − FH ⋅ µ ⋅ h
FH ⋅ a + FH ⋅ b + FH ⋅ µ ⋅ h = FG ⋅ a
FH ⋅ (a + b + µ ⋅ h) = FG ⋅ a
FH =
FG ⋅ a
( a + b + µ ⋅ h)
(2.24)
Die Formel für die Last auf dem Vorderrad, kann man folgendermaßen herleiten:
FG ⋅ b + FR ⋅ h FG ⋅ b + µ ⋅ h ⋅ FH ( für F Formel (2.24) einsetzen)
H
=
(a + b )
( a + b)
FG ⋅ a
FG ⋅ b + µ ⋅ h ⋅
(a + b + µ ⋅ h) FG ⋅ b ⋅ (a + b + µ ⋅ h) + µ ⋅ h ⋅ FG ⋅ a
FV =
=
(a + b )
( a + b ) ⋅ ( a + b + µ ⋅ h)
FV =
FV =
FG ⋅ a ⋅ b + FG ⋅ b 2 + FG ⋅ b ⋅ µ ⋅ h + FG ⋅ µ ⋅ h ⋅ a
( a + b) ⋅ ( a + b + µ ⋅ h )
- 41 -
( FG herausheben)
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
FV =
2. Energetik des Radfahrens
FG ⋅ a ⋅ (b + µ ⋅ h) + FG ⋅ b ⋅ (b + µ ⋅ h )
( a + b)
= FG ⋅ (b + µ ⋅ h) ⋅
( a + b) ⋅ ( a + b + µ ⋅ h)
( a + b) ⋅ ( a + b + µ ⋅ h )
FV = FG ⋅
(b + µ ⋅ h )
( a + b + µ ⋅ h)
(2.25)
Ich möchte noch ein Beispiel rechnen, mit welcher Kraft mit der Hinterradbremse
gebremst werden kann, bis man ins Rutschen kommt. Dazu wird mit folgenden
Werten gerechnet: a = 0,65 m; b = 0,42 m; m = 85 kg → FG = 833,85 N
h = 1,15 m; µ = 0,4 .
Man erhält durch Einsetzen dieser Werte in Formel (2.23) eine maximal zu
erreichende Bremskraft an der Hinterbremse FR max = 141,7 N .
Mit Formel (2.24) kann man noch zusätzlich berechnen, wie groß die Kraft, die auf
das Hinterrad drückt, ist, wenn man mit der bereits berechneten, maximalen
Bremskraft bremst. Dabei werden dieselben Werte verwendet wie vorhin beim
Berechnen der maximalen Bremskraft.
Man erhält eine Last auf dem Hinterrad FH = 354,35 N .
Wenn man dieselbe Rechnung, mit denselben Werten, mit Formel (2.25) durchführt,
erhält man eine Last auf dem Vorderrad FV = 479,6 N .
Dies stimmt mit der bereits gemachten Überlegung überein, dass beim Bremsen ein
Drehmoment verursacht wird und somit mehr Last auf dem Vorderrad liegt.
Die eben gemachten Überlegungen gelten auch für das Vorderrad. Es können auch
hier wiederum die Formeln für die Lastabnahme beziehungsweise Lastzunahme
hergeleitet werden. Der Ablauf ist dabei identisch zu dem, der bei der
Hinterradbremse angewandt wurde.
Das bedeutet, dass wiederum folgende Ungleichung gilt: FR ≤ µ ⋅ FV
Es ist beim Vorderrad allerdings zu bedenken, dass hier nicht immer bei zu hoher
Bremskraft der Gleitreibungsprozess einsetzt, wie das beim Hinterrad der Fall war.
Das geschieht nur bei schlechter Fahrbahn. Bei guter Fahrbahn führt ein Übertreten
des Punktes, an dem das gesamte Gewicht auf dem Vorderrad lastet zu einem
Überschlag.
Wenn man die Formel für die maximal zu erreichende Bremskraft in Analogie zur
Formel für das Hinterrad (hier gilt zum Ansatz FR = FV ⋅ µ ) herleitet, erhält man
folgende Formel:
FR max =
FG ⋅ µ ⋅ b
(a + b − µ ⋅ h)
(2.26)
- 42 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
2. Energetik des Radfahrens
Diese Formel gilt allerdings nur bei schlechter Fahrbahn, da die Grundannahme war,
dass man in den Gleitvorgang übergeht27.
Man erhält durch Einsetzen folgender Werte, a = 0,65 m; b = 0,42 m
m = 85 kg → FG = 833,85 N; h = 1,15 m; µ = 0,3 in Formel (2.26) eine
Bremskraft an der Vorderradbremse bei schlechter (=glatter)
FV = 144,92 N .
maximale
Fahrbahn
Am deutlichsten zeigt sich der Unterschied zwischen der Wirkung der Vorder- und
der Hinterradbremse bei guten Fahrbahnverhältnissen.
Bei guter Fahrbahn kann so lange gebremst werden, bis das gesamte Gewicht auf
dem Vorderrad lastet. Das bedeutet, dass FV = FG .
Man erhält die Formel für die maximale Bremskraft folgendermaßen:
Bereits vorhin wurde die Annahme gemacht, dass die maximale Bremskraft erreicht
ist, wenn gilt: FR = µ ⋅ FV
Das bedeutet aus voriger Annahme heraus, dass:
FR max = µ ⋅ FG
(2.27)
Stärker kann nicht mehr gebremst werden, da nun die gesamte Gewichtskraft auf
dem Vorderrad liegt.
Wenn man sich jetzt die maximale Bremskraft bei mittleren Fahrbahneigenschaften
berechnet, benötigt man folgende Werte:
a = 0,65 m; b = 0,42 m; m = 85 kg → FG = 833,85 N; h = 1,15 m; µ = 0,4
Die maximale Bremskraft an der Vorderradbremse beträgt FR max = 333,54 N . Daraus
erkennt man, dass dieser Wert um einiges höher ist als der vorhin berechnete Wert
an der Hinterradbremse bei mittleren Fahrbahneigenschaften.
Wenn man die Prozentanteile an Vorder- und Hinterrad berechnet, erhält man am
Hinterrad einen Prozentanteil von 21% und am Vorderrad 79%. Dies stimmt ungefähr
mit der Realität überein, wo der optimale Bremsvorgang mit 30% der Bremskraft an
der Hinterradbremse und 70% an der Vorderradbremse geschieht.
___________
27
vgl.: SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/
publikationen/fahrradsturz.pdf [18.02.2007])
- 43 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
3. Springen, Gehen und Laufen
Im folgenden Kapitel möchte ich Sportarten behandeln, zu deren Ausführung man
keine zusätzlichen Sportgeräte benötigt. Man könnte sie als die ursprünglichsten
aller Sportarten sehen. Ich möchte Fragen klären, wie zum Beispiel: „Warum ist die
Technik des Gehens als Sportart anders als unser natürliches Gehen?“. Doch auch
scheinbar selbstverständliche Dinge, wie zum Beispiel: „Warum heben wir beim
Laufen die Beine?“, möchte ich hier nochmals vom physikalischen Standpunkt aus
hinterfragen.
3.1. Hochsprung
Im Kapitel 1.4 wurde der Weitsprung als eine Wurfsportart behandelt. Der
Hochsprung lässt sich nicht als solche darstellen.
Bevor ich den Hochsprung an sich behandle, möchte ich zuerst den Sprung aus dem
Stand betrachten, welcher als Grundlage für das gesamte Kapitel benötigt wird.
Springen bedeutet quasi ein Anheben des Schwerpunkts. Wenn ein Mensch mit der
Masse m seinen Schwerpunkt um die Höhe h anhebt, dann muss er potentielle
Energie aufbringen.
E pot = mgh
Diese Energie muss mit den Beinmuskeln aufgebracht werden, was bedeutet, dass
die erreichte Höhe Aufschluss über die Beinmuskelkraft der Person gibt. Um diese
berechnen zu können, benötigt man zuerst die Strecke, entlang dieser die Kraft
wirkt28. Vorerst wird die Kraft dazu benötigt, damit der Schwerpunkt gehoben werden
kann, bis man in absolut gestreckter Stellung ist. Dabei bleiben die Füße immer am
Boden. Dies wird in Abbildung 27 veranschaulicht.
In der Hockstellung bilden Ober- und Unterschenkel einen rechten Winkel.
Abb. 27: Schematische Darstellung Hockstellung (links)
und gestreckte Stellung beim Sprung aus dem Stand
__________
28
vgl.: RODEWALD/SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/springen_gehen_la
ufen.pdf [18.02.2007])
- 44 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
Mittels des Satzes von Pythagoras kann die Strecke x berechnet werden.
2
 l 2   l 2
l l
l
x =   +   x 2 = 2 ⋅   x = 2 ⋅ = ⋅ 2
2 2
 2
2  2
2
Die Strecke s lässt sich durch folgenden Ansatz berechnen: s = l − x (siehe Abb. 27).
l
⋅ 2
2
1 

s = l ⋅ 1 −

2

s=l−x=l−
( l herausheben)
(3.1)
Zu dieser Strecke kommt dann noch die Sprunghöhe h hinzu.
So erhält man die gesamte Stecke, um die der Schwerpunkt angehoben wird:
s ges = s + h 29.
Die Beinkraft FB wirkt genau von dem Moment, an dem man beginnt, aus der Hocke
herauszugehen, bis die Beine den Boden verlassen. Dies ist die in Formel (3.1)
berechnete Strecke s. Daraus lässt sich für die aufgebrachte Arbeit annehmen:
W = FB ⋅ s
(3.2)
Diese Arbeit kann auch als Hubarbeit geschrieben werden, welche entlang der
gesamten Strecke, um die der Schwerpunkt angehoben wird, wirkt:
W = m ⋅ g ⋅ sges = m ⋅ g ⋅ ( s + h)
(3.3)
Die Formeln (3.2) und (3.3) können gleichgesetzt werden und daraus lässt sich dann
eine Formel für die Beinkraft herleiten:
m ⋅ g ⋅ (s + h) = FB ⋅ s FB =
( s + h)
⋅m⋅g
s
(3.4)
Wenn man annimmt, dass eine Person 50 cm, also 0,5 m hoch springt, kann man
sich anhand von Formel (3.4) die Beinkraft dieser Person berechnen. Dazu muss
man sich zuerst den Beschleunigungsweg s, mit Formel (3.1) berechnen. Dabei
benötigt man die Beinlänge, welche bei einer Person mit 1,80 m ungefähr 1 m
beträgt. Durch Einsetzen in Formel (3.1) ergibt das einen Beschleunigungsweg
s = 0,3 m .
Zur Berechnung der Beinmuskelkraft anhand der Formel (3.4) werden folgende
Werte verwendet: s = 0,3 m ; h = 0,4 m ; m = 70 kg ; g = 9,81 m/s 2 . Wenn man diese
Werte in Formel (3.4) einsetzt, erhält man eine Sprungkraft FB = 1602,3 N .
Dies entspricht ungefähr der Kraft, die eine Standardperson aufbringen kann. Bei
Sportlern wurden natürlich weitaus höhere Werte gemessen. Doch dazu später.
__________
29
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 11
- 45 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
Durch Auflösen von Formel (3.4) nach h kann eine Formel für die Sprunghöhe
hergeleitet werden.
( s + h)
⋅m⋅g
s
FB
( s + h) FB ⋅ s
=
=s+h
m⋅ g
s
m⋅g
FB =
h=
FB ⋅ s
−s
m⋅g
(3.5)
Bei Spitzensportlern wurden Sprungkräfte von ungefähr FB = 2500 N gemessen30.
Hochspringer sind meistens von Natur aus groß und haben meist zusätzlich noch
lange Beine, was eine Verlängerung des Beschleunigungsweges zur Folge hat
(siehe Formel (3.1)) und somit eine höhere Sprungkraft. Man kann hier also einen
Beschleunigungsweg s = 0.32 m annehmen (bei einer Beinlänge l = 1,10 m ).
Die restlichen benötigten Werte (m und g) werden der vorigen Berechnung der
Sprungkraft entnommen.
Man erhält anhand von Formel (3.5) eine Sprunghöhe h = 0,84 m .
Doch diese Höhe passt nicht mit den enormen Höhen (um die 2 m) zusammen, die
Hochspringer überspringen können.
Es muss allerdings noch etwas bedacht werden! Die vorhin errechnete Höhe ist die
Erhöhung des Schwerpunkts, der in einer Höhe von 1,10 m liegt. Der Schwerpunkt
wird also auf ungefähr 2 m gehoben (1,10 + 0,84 = 1,94). Das bedeutet allerdings
noch nicht, dass man eine Latte in dieser Höhe überspringen kann, da ja die Beine
noch nach unten ragen.
Das bedeutet, dass der angehobene Schwerpunkt bei einem ganz normalen Sprung
weit oberhalb der Latte liegt. Im Laufe der Zeit gelang es Sprungtechniken zu
entwickeln, welche es ermöglichten, diese sogenannte Lattenüberhöhung möglichst
gering zu halten.
Mittlerweile wurde eine Technik gefunden, die diese Aufgabe zur Gänze erfüllt. Beim
Fosbury – Flop sind sogar negative Lattenüberhöhungen möglich, was bedeutet,
dass der Schwerpunkt unter der Latte durchwandert, während der Sportler die Latte
überspringt31. Dies geschieht durch eine starke Beugung des Körpers, wie es in
Abbildung 28 gezeigt wird.
Abb. 28: Negative Lattenüberhöhung beim Fosbury – Flop
Der Schwerpunkt wandert unter der Latte durch
__________
30
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 11
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 12
31
- 46 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
Der Weltrekord im Hochsprung liegt zur Zeit bei den Herren in einer Höhe von
2,45 m.32
Doch laut der vorhin durchgeführten Rechnung wäre maximal eine Höhe von 2 m
möglich. Es wurde allerdings bisher vernachlässigt, dass der Hochspringer Schwung
holt, wenn er abspringt. Bekanntlich springt man mit Schwungholen höher als ohne.
Der Grund dafür ist das Prinzip der Anfangskraft33.
Ohne Schwungholen hat der Springer zu Beginn der Sprungbewegung keine
Anfangskraft. Wenn man allerdings Schwung holt, dann macht man vor dem Sprung
eine Bewegung nach unten, bevor man nach oben weg springt. Diese Bewegung
muss, vor dem Sprung, zuerst gebremst werden und dazu muss logischerweise Kraft
aufgebracht werden. Es ist also zu Beginn der Aufwärtsbewegung bereits eine Kraft
vorhanden. Dadurch kann entlang der Strecke s eine höhere Kraft aufgebracht
werden als sonst.
__________
vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Hochsprung#M.C3.A4nner_3 [27.12.2006]
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 11
32
33
- 47 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
3.2. Gehen
Die Grundregel des Gehens ist, dass zu jedem Zeitpunkt mindestens ein Teil eines
Fußes Bodenkontakt haben muss34.
Wenn man einen Geher beobachtet, dann erkennt man, dass der Großteil der
aufgebrachten Leistung nicht zur horizontalen Fortbewegung dient. Gehen ist somit
mehr eine Auf- und Abbewegung. Der Geher muss bei jedem Schritt Hubarbeit
aufbringen. Diese Arbeit ist, laut der Formel W = mgh , umso größer, desto höher der
Schwerpunkt des Gehers gehoben wird. Deshalb versucht dieser die Höhe h, um die
der Schwerpunkt angehoben wird, möglichst gering zu halten. Diese
Bewegungsabfolge wirkt für einen Beobachter eigenartig.
Zur Berechnung, welche Leistung ein Geher aufbringen muss, um eine Strecke in
einer bestimmten Zeit zu bewältigen, geht man wie folgt vor:
Leistung ist ja bekanntlich Arbeit pro Zeiteinheit. Das bedeutet mathematisch
W
1
ausgedrückt: P = . Der Term kann auch als Frequenz geschrieben werden, was
t
t
zu der Formel für die Hubarbeit führt:
Phub = W ⋅ f = mgh ⋅ f
(3.6)
Bei einem sportlichen Gang beträgt die Schrittfrequenz f = 2 s −1 , dies bedeutet zwei
Schritte pro Sekunde. Es wird angenommen, der Geher hat eine Masse m = 70 kg
und die Hubhöhe h = 3 cm = 0,03m .
Man erhält durch Einsetzen dieser Werte in Formel (3.6) eine Leistung Phub = 41,2 W .
Es ist allerdings klar, dass Geher eine weitaus höhere Leistung aufbringen müssen
als eben berechnet wurde. Messungen haben ergeben, dass ein durchschnittlicher
Geher eine Leistung P = 350 W aufzubringen hat. Wozu wird also die restliche
Energie benötigt? Der Körper benötigt bekanntlich selbst zur Aufrechterhaltung der
Lebensfunktionen Energie. Diese Energie beträgt etwa 85 W. Es bleiben noch 265 W
übrig. Man weiß, dass von dieser Energie nur ungefähr 20 % in Muskelenergie
umgewandelt
werden.
Man
erhält
eine
endgültige
Muskelenergie
EMuskel = 265 ⋅ 0,2 = 53 W . Vorhin wurde berechnet, wie groß die für die Hubarbeit
benötigte Leistung sein muss. Dabei kam man auf ein Ergebnis von 41 W. Das
bedeutet, dass 77 % der Gesamtleistung als Hubleistung benötigt werden. Der Rest
wird zur Beschleunigung der Beine verwendet35.
Die Regel, dass der Geher ständig Bodenkontakt haben muss, lässt sich
physikalisch folgendermaßen ausdrücken: Die Beschleunigung, die der Geher durch
seine Beinmuskeln nach oben hervorruft, darf nicht größer sein als die
Erdbeschleunigung g. Sie dürfte allerdings betragsmäßig gleich groß sein, da der
Geher versucht möglichst dynamisch zu sein, und dies hat eine größere
Beschleunigung zur Folge.
Es kann in diesem Fall also mit den Formeln, die für den freien Fall gelten, gerechnet
werden36.
___________
vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Gehen_%28Sport%29 [23.01.2007]
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 6
36
vgl.: ebenda
34
35
- 48 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
Die Zeit, die der Geher für eine Auf- und Abbewegung (= Schritt) benötigt, kann
durch folgende Formel (die Zeit im freien Fall) geschrieben werden:
t = 2⋅
2⋅h
g
(3.7)
Die Multiplikation der eigentlichen Formel mit 2 geschieht, weil die Zeit für die
gesamte Auf- und Abbewegung benötigt wird, also quasi zwei mal eine Bewegung im
freien Fall vollzogen wird.
Diese Zeit wird für einen Schritt benötigt. Das bedeutet als Strecke, für die man diese
Zeit braucht, kann die Schrittlänge L verwendet werden. Eine Formel für die
Geschwindigkeit des Gehers kann folgendermaßen hergeleitet werden:
v=
L
=
t
L
L
g
= ⋅
2⋅h 2 2⋅h
2⋅
g
(3.8)
In dieser Formel bestätigt sich die zu Beginn bereits beschriebene Tatsache, dass
die Hubhöhe h möglichst gering gehalten werden sollte, denn h steht im Bruch unten
und umso größer h wird, desto geringer ist die Geschwindigkeit.
Außerdem erkennt man, dass dies auch der einzige Wert ist, der vom Geher
beeinflusst werden kann. Die Schrittlänge L ist zu einem großen Maß bereits durch
die Beinlänge vorgegeben und g ist eine Naturkonstante.
Es kann jetzt noch die Geschwindigkeit des Gehers berechnet werden, bei dem
vorhin die Leistungsbilanz berechnet wurde. Dabei wurde mit einer Hubhöhe
h = 3 cm = 0,03 m gerechnet. Wenn man annimmt, dass die Beinlänge
L = 0,8 m beträgt, dann erhält man durch Einsetzen dieser Werte ( g = 9,81 m/s 2 ) in
Formel (3.8) eine Geschwindigkeit v = 5,1 m/s = 18,4 km/h .
Durch Freistellen von h in Formel (3.8) kann man auch noch eine Formel zur
Berechnung der Hubhöhe h (abhängig von v und L) herleiten:
L
g
L2 g
L2 ⋅ g
⋅
v2 = ⋅
v2 =
2 2⋅h
4 2⋅h
8⋅h
2
1 8⋅v
=
h L2 ⋅ g
v=
h=
L2 ⋅ g
8 ⋅ v2
(3.9)
Der derzeitige Weltrekord im Gehen bei den Männern über 50 km liegt bei 3 h 36 min
03 sec37. Man berechnet die mittlere Geschwindigkeit, mit der sich der Geher
bewegt, mit Formel (3.6).
___________
37
vgl.: http://www.ndr.de/la2005/disziplinen/50km_gehen/regeln.html [29.12.2006]
- 49 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
t = 3 h 36 min 03 sec = 10800 sec + 2160 sec + 3 sec = 12963 sec; s = 50 km = 50000 m
Der Geher erreicht eine Geschwindigkeit
v=
s 50000
=
= 3,86 m/s = 13,9 km/h .
t 12963
Durch Einsetzen dieser Geschwindigkeit in Formel (3.9) kann die Hubhöhe
berechnet werden.
Es wird dabei angenommen, dass die Schrittlänge L = 0,8 m . Die Erdbeschleunigung
g = 9,81 m/s 2 .
Man erhält, wenn man diese Werte in Formel (3.9) einsetzt, eine mittlere Hubhöhe im
Laufe des Rennens: h = 0,05 m = 5 cm .
- 50 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
3.3. Sprinten
Beim Sprinten kommt es darauf an, in möglichst kurzer Zeit eine relativ kurze Strecke
zu laufen. Dabei ist es hauptsächlich wichtig, dass man von Beginn an eine möglichst
hohe Horizontalbeschleunigung bekommt. Dies zeigt die Tatsache, dass beim
Sprinten am Start Startblöcke verwendet werden, die eine höhere Beschleunigung in
die Horizontale zulassen, da die Füße dabei nicht vom Boden abrutschen können.
Physikalisch gesehen kann der Sprint als ein Sprung aus dem Stand gesehen
werden, der allerdings in die Horizontale ausgeführt wird. Das bedeutet, dass man
aus der Sprunghöhe einer Person auf die Sprinterqualitäten rückschließen kann.
Doch wie funktioniert das?
Die gesamte Beinmuskelkraft wird beim Sprint horizontal eingesetzt. Das bedeutet,
dass bei jedem Schritt dieselbe Muskelkraft aufgebracht wird wie bei einem Sprung
aus dem Stand. Dies wiederum bedeutet, dass die in Kapitel 3.1 hergeleitete Formel
(3.2) für die Arbeit, die das Bein verrichten muss, gilt38. Verrichten von Arbeit
bedeutet Anhäufung von Energie. Beim Sprung aus dem Stand wird diese Energie
zur Erhöhung der potentiellen Energie benötigt, beim Sprint hingegen zur
schrittweisen Erhöhung der kinetischen Energie des Athleten, bis die maximale
Endgeschwindigkeit v erreicht ist. Der Läufer wird beschleunigt, weil bei jedem
Laufschritt das Bein auf eine bestimmte Geschwindigkeit vB beschleunigt wird und
dann beim Berühren des Bodens wieder auf eine Geschwindigkeit von 0 km/h
abgebremst wird. Dieser Vorgang wiederholt sich, bis der Läufer die maximale
Geschwindigkeit hat.
Das bedeutet, dass die durch Formel (3.2) zu berechnende Energie des Beins
schrittweise in kinetische Energie des Läufers umgewandelt wird. Anders formuliert,
die kinetische Energie des Beins kommt der kinetischen Energie des Läufers zugute.
Man erhält aus dieser Überlegung folgende Formel, wobei angenommen wird, dass
die durchschnittliche Geschwindigkeit des Beins ungefähr gleich groß ist, wie die des
Läufers selbst (Masse des Beins…mB):
EB = FB ⋅ s =
mB ⋅ v 2
2
(3.10)
Diese Formel beschreibt nur die Energie des Beins. Diese ist solange von
Bedeutung, bis der Läufer die Maximalgeschwindigkeit erreicht hat, also im Bereich
der Beschleunigung. Dabei wird das Bein, wie bereits erwähnt, auf die
Geschwindigkeit vB beschleunigt und dann wieder auf 0 km/h abgebremst (Epot),
wenn es den Boden berührt.
Wenn die Endgeschwindigkeit erreicht ist, dann geht die Energie EB vollständig in die
kinetische Energie des Läufers EL über und die in Formel (3.10) berechnete Energie
dient nur mehr zur Überwindung der Reibungskräfte39.
In der Einleitung wurde erwähnt, dass von der Sprunghöhe, die eine Person
erreichen kann, auf die maximal von der Person zu erreichende Endgeschwindigkeit
geschlossen werden kann.
__________
38
vgl.: RODEWALD/SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/springen_gehen_la
ufen.pdf [18.02.2007])
39
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 9
- 51 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
Dazu muss man zunächst die Anzahl n von Schritten kennen, die der Läufer
benötigt, um auf Maximalgeschwindigkeit beschleunigen zu können. Das ist jene
Anzahl von Schritten, nach denen die Energie EB des Beins betragsmäßig vollständig
in die kinetische Energie des Läufers (EL) übergegangen ist. Das bedeutet,
mathematisch ausgedrückt:
n ⋅ EB = EL
(3.11)
Man kann annehmen, dass die Masse des Beins etwa 1/8 der Gesamtmasse m des
Körpers ist und die Beingeschwindigkeit vB, wie bereits erwähnt, ungefähr der
Geschwindigkeit des Läufers vL entspricht40.
Man kann sich daraus die Anzahl der Schritte, die benötigt werden, damit Formel
(3.11) erfüllt ist, berechnen.
Dabei wird für EB Formel (3.10) eingesetzt. Für EL wird die Formel EL =
m ⋅ v2
2
eingesetzt.
n⋅
mB ⋅ v 2 m ⋅ v 2
=
2
2
( v2 kann gekürzt werden; für mB kann m/8 eingesetzt werden)
m
m
n⋅ 8 =
2 2
m
m m
16 ⋅ m
n⋅ =
→ n= 2 =
m
16 2
2⋅m
16
n=8
Dies gilt allerdings nur, wenn absolut kein Reibungsverlust vorhanden ist.
Realistischer ist daher der Wert n = 10 .
Es wurde bereits erwähnt, dass EB der potentiellen Energie entspricht, da das Modell
des Sprungs aus dem Stand verwendet wird.
Zur Herleitung einer Formel für die maximal zu erreichende Geschwindigkeit setzt
man für EB die Formel für die potentielle Energie in Formel (3.11) ein und für EL die
Formel für die kinetische Energie.
1
2
⋅ mvL
2
= 2 ⋅ ngh
n ⋅ mgh =
vL
2
( kürzen durch m)
vL = 2 ⋅ ngh
(3.12)
__________
40
vgl.: RODEWALD/SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/springen_gehen_la
ufen.pdf [18.02.2007])
- 52 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
3. Springen, Gehen und Laufen
Mit der Formel (3.12) kann man die maximale Geschwindigkeit, die eine Person
laufen kann, abhängig von der Sprunghöhe berechnen.
Nimmt man an, die Person kann eine Höhe von h = 40 cm = 0,04 m erreichen, dann
erhält man, unter Verwendung folgender zusätzlicher Werte, n = 10; g = 9,81 m/s 2 ,
welche man in Formel (3.12) einsetzt, eine maximale Geschwindigkeit
vL = 8,86 m/s = 31.89 km/h . Diese Geschwindigkeit ist sehr hoch. Es ist allerdings zu
bedenken, dass dies nur die maximal zu erreichende Geschwindigkeit ist. Das
bedeutet wiederum, dass die Person diese Geschwindigkeit nur für ganz kurze Zeit
aufbringen kann. Die Durchschnittsgeschwindigkeit würde daher unter diesem Wert
liegen. Wäre dies nicht so, würde die Person die 100 m in einer Zeit von 11,3 s
laufen.
Gute Hundertmeterläufer erreichen Maximalgeschwindigkeiten von ca. 10 m/s41. Das
bedeutet, dass sie genau, beziehungsweise höher als 50 cm springen können
müssen.
Zum Abschluss dieses Kapitels möchte ich noch eine beim ersten Betrachten
eigenartig anmutende, Frage behandeln, die lautet: „Warum heben wir beim Laufen
überhaupt die Beine?“
Es mag seltsam klingen, aber es ist, wie unsere Erfahrung beweist, wirklich so, dass
wir beim Laufen die Beine um einiges höher heben als beim Gehen. Speziell bei
Spitzensportlern fällt diese Tatsache auf. Was bringt dieses Hochheben der Beine
nun? Wenn man genau überlegt, müsste ein geringeres Heben der Beine rein
energetisch günstiger sein.
Sicher ist auf alle Fälle, dass durch das Hochheben der Beine größere Schrittweiten
erzielt werden können. Doch was bringen größere Schrittweiten, wenn es
anstrengender ist als ohne Heben der Beine? Es muss also noch einen anderen
Grund geben.
Die Antwort liegt in einer physikalischen Begebenheit verborgen; nämlich im
Trägheitsmoment I. Die Bewegung des Beins kann als eine Drehung des Fußes um
die Achse der Hüfte betrachtet werden. Bei jeder Drehung um eine Achse spielt das
Trägheitsmoment eine Rolle, welches umso größer wird, desto weiter der äußerste
Punkt und der Großteil der Masse von der Drehachse entfernt ist ( I = Σ m ⋅ r 2 ).
Genauer wird das Trägheitsmoment in Kapitel 4.2. behandelt. Das bedeutet, dass die
benötigte Energie, um das Bein zu bewegen, größer sein muss.
Wenn das Bein angewinkelt ist, wird damit der Radius r, welcher in der Formel für
das Trägheitsmoment zum Quadrat zunimmt, verkleinert und somit ist auch das
Trägheitsmoment kleiner. Das bedeutet, umso mehr ich das Bein anwinkle (was
bedeutet, dass ich es näher zur Drehachse bringe), desto geringer ist das
Trägheitsmoment und daher ist auch die aufzubringende Energie, um das Bein nach
vorne zu bewegen.
__________
41
vgl.: RODEWALD/SCHLICHTING (http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/springen_gehen_la
ufen.pdf [18.02.2007])
- 53 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
4. Ballsportarten
4. Ballsportarten, bei denen Bälle geschlagen werden
Zum Abschluss meiner Arbeit möchte ich noch zwei Sportarten behandeln, bei denen
mit Hilfe eines Schlägers Bälle geschlagen werden. Dabei möchte ich speziell auf die
Wechselwirkungen zwischen Luft und Ball, beziehungsweise Ball und Schläger
eingehen.
Beim Tennis, wo es erlaubt ist, dass der Ball den Boden berührt, kommt noch die
Wechselwirkung zwischen Ball und Boden dazu.
4.1. Golf
Beim Golf geht es darum, mit möglichst wenig Schlägen, den Ball in ein Loch in einer
bestimmten Entfernung zu bringen. Besonders wichtig ist dabei der erste Schlag, der
sogenannte Abschlag, mit welchem der Ball zuerst einmal in die Nähe des Lochs
geschlagen wird. Dabei ist es notwendig, den Ball möglichst weit zu schlagen.
Dies wiederum bedeutet, dass der Ball mit möglichst hoher Geschwindigkeit
geschlagen werden soll. Gute Spieler können den Ball mit Geschwindigkeiten größer
als v = 200 km/h = 55,5& m/s schlagen42.
Der Abschlag kann als Wurf angesehen werden. Anhand von Formel (2.6) kann man
sich daher die Schlagweite berechnen. Hier darf mit Formel (2.6) gerechnet werden,
da der Beginn des Schlags auf der Ebene des Bodens ausgeführt wird und auch die
Landung, die bei einem ebenen Golfplatz auf derselben Ebene liegt.
Es werden zur Rechnung die oben bereits angegebene Geschwindigkeit verwendet.
Außerdem wird angenommen, dass der Ball im optimalen Abwurfwinkel α = 41°
geschlagen wird. Die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2 .
Man erhält eine Schlagweite w = 311,6 m . Diese Weite stimmt ziemlich genau mit den
Werten in der Realität überein. Es wurde allerdings nicht berücksichtigt, dass nicht
mit dem korrekten Abschlagwinkel gerechnet wurde.
Bereits eine einfache Überlegung lässt den Schluss zu, dass der Abschlagwinkel um
einiges geringer sein muss, denn der Golfspieler führt den Schläger quasi auf eine
Kreisbahn und er reißt ihn auch nicht beim Treffen des Balles nach oben, wie es sein
müsste, wenn er einen Abwurfwinkel von der Größe erreichen möchte, mit der vorhin
gerechnet wurde. Der Hauptimpuls, den der Schläger dem Ball gibt, geht entlang der
Waagrechten. Das bedeutet, dass ein sehr geringer Abschlagwinkel erreicht wird.
Messungen haben ergeben, dass Durchschnitts- Golfer Abschlagwinkel α = 10°
erreichen43. Wenn man dieselbe Rechnung wie oben, mit diesem Winkel durchführt,
erhält man einen Abschlagweite w = 107,6 m .
Ein weiterer Aspekt, der die Flugweite beeinflusst, wurde noch nicht miteinbezogen:
der Luftwiderstand. Dieser ist auf Grund der hohen Geschwindigkeit, die der Ball
besitzt, nicht zu vernachlässigen. Deshalb möchte ich ihn jetzt mit der, in Kapitel 1.3,
bereits hergeleiteten Formel (1.13) berechnen. Dazu werden folgende Angaben
verwendet: ρ = 1,293 mg/cm 3 ; c w = 0,45; A = 0,07 cm 2 ; v = 55,5& m/s .
Man erhält daraus eine Widerstandskraft FL = 62,9 N
__________
42
vgl.: http://www.golfbaelle.de/PhysikimGolfsportAerodynamik.html?PHPSESSID=20da6d519e576f2c78a793a55aadba4e [03.01.2007]
43
vgl.: ebenda
- 54 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
4. Ballsportarten
Diese Kraft darf auf keinen Fall missachtet werden, denn 63 N machen doch einen
relativ großen Widerstand aus, wenn man zum Beispiel bedenkt, dass bei einer Fahrt
von 30 km/h mit dem Rad “nur“ eine Luftwiderstandskraft von etwa 16 N wirkt.
Wie kann der Golfer nun doch eine Weite um die 300 Meter erreichen? Die Antwort
liegt in einem physikalischen Effekt: dem Magnus-Effekt.
Es wurde bisher noch nicht bedacht, dass der Ball beim Schlag in Rotation versetzt
wird. Bei einem Durchschnittsschlag dreht sich der Ball ungefähr 2000 – 4000 Mal in
der Minute44.
Der Magnus-Effekt, welcher besagt, dass ein in einer Strömung (und eine gewisse
Luftströmung ist immer vorhanden) rotierender Körper, dessen Rotationsachse
senkrecht zur Strömung steht, eine senkrecht zur Strömungsrichtung wirkende Kraft
erfährt45.
Dies geschieht aus folgendem Grund:
Die Rotation des Balls erzeugt in der Grenzschicht zwischen Luft und Ball eine
Zirkulationsströmung. Das bedeutet, dass durch die Reibung zwischen Luft und der
Oberfläche des Balls, die Luftmoleküle mitgerissen werden. Bei einem Backspin –
Ball (siehe Abb. 30) wie das beim Golf der Fall ist, bedeutet das, dass die Luft an der
Oberseite des Balls schneller ist, also dort eine stärke Zirkulation (höhere
Geschwindigkeit) stattfindet. An der Unterseite erfolgt das Gleiche im umgekehrten
Sinn. Das bedeutet, die Luftmoleküle werden gebremst. Hier lässt sich wiederum die
Bernoullische Gleichung anwenden. Diese besagt, dass der Druck von der
Strömungsgeschwindigkeit abhängt. Je höher die Strömungsgeschwindigkeit, desto
geringer der Druck. Das bedeutet, dass an der Oberseite des Balls ein geringerer
Druck vorhanden ist als an der Unterseite. Der Ball erfährt dadurch die bereits
erwähnte Kraft nach oben46.
Abb. 30: Verlauf der Stromlinien bei einem Backspin – Ball
Bei einer so hohen Rotationsfrequenz (2000 – 4000 U/min) ist dieser Effekt natürlich
nicht zu vernachlässigen. Außerdem wird beim Golf noch “nachgeholfen“, dass
dieser Effekt möglichst gut wirken kann, indem man genoppte Golfbälle verwendet.
Dies erhöht die Reibung zwischen Luft und Balloberfläche und somit ist ein größerer
Geschwindigkeitsunterschied beziehungsweise Druckunterschied zu erreichen. Die
Kraft, die den Ball nach oben hebt, wird größer.
Ohne diese physikalische Begebenheit könnten Profis nie diese enormen Weiten
erreichen. Man muss allerdings bedenken, dass der Effekt alleine nicht über 200
Meter Weitenverbesserung ausmacht.
__________
44
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 31
vgl.: HERDER LEXIKON 1979, S. 145
46
vgl.: BERMANN/SCHÄFER 1974, S. 337
45
- 55 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
4. Ballsportarten
Natürlich schlagen Profis, beziehungsweise geübte Golfer, den Ball mit einer
höheren Geschwindigkeit als vorher angenommen. Außerdem schaffen sie einen
größeren Abschlagwinkel, was eine größere Weite zur Folge hat. Die Werte, mit
denen man vorhin auf eine Weite von 107 m kam, wurden von einem Standardgolfer
angenommen.
Zusätzlich sind auch die Schläger, mit welchen der Abschlag durchgeführt wird (die
sogenannten Hölzer), anders gebaut als jene Schläger, mit denen man anschließend
weiterspielt. Die Hölzer werden aus elastischen Metallen hergestellt und sind innen
hohl, was natürlich auch größere Schlagweiten mit sich bringt. Auch die Schlagfläche
hat bei diesen Schlägern eine leichte Neigung. Außerdem sind Hölzer die Schläger
mit großem Volumen (siehe Abb. 31), was eine Verlagerung des Schwerpunkts nach
hinten und unten zulässt. Dies resultiert dann in einem steileren Abschlagwinkel.
Abb. 31: Hölzer
47
Wenn man annimmt, dass der Profi einen Abschlagwinkel α = 20° erreichen kann
und auch die Abschlaggeschwindigkeit höher ist v0 = 244 km/h = 68 m/s , dann ergibt
sich eine Schlagweite w = 245,4 m . Der Magnus-Effekt bringt noch eine Weitenverlängerung von etwa 30 Meter48, was dann wieder ungefähr den Weiten, die Profis
erreichen können, entspricht.
__________
vgl.: http://www2.camaro.at/golf/images/woods/460_cc.jpg [18.02.2007]
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 31
47
48
- 56 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
4. Ballsportarten
4.2. Tennis
Beim Tennis kommen im Gegensatz zum Golf noch die Wechselwirkungen zwischen
Ball und Boden hinzu, da es erlaubt ist, dass der Ball aufspringt. Vorerst möchte ich
allerdings noch den bereits im Golf beschriebenen Magnuseffekt behandeln, welcher
auch im Tennis von Bedeutung ist.
Im Tennis gibt es zwei Arten, wie man den Ball schlagen kann: den Topspin – Ball
und den Slice-Ball. Zuerst möchte ich erklären, was die beiden Schlagarten
bedeuten, bevor ich auf die physikalische Erklärung komme.
Beim Slice-Ball wird dem Ball durch die entsprechende Bewegung mit dem Schläger
eine Rotation entgegengesetzt zur Flugrichtung gegeben. Beim Topspin geschieht
das gleiche, wobei der Ball in eine Rotation mit der Flugrichtung gebracht wird. Im
vorigen Kapitel (Kapitel 4.1.) wurde der bei einem rotierenden Ball auftretende
Magnus-Effekt behandelt.
Die Abbildungen 32 und 33 zeigen die Druckverteilungen bei einem Slicebeziehungsweise einem Topspin-Ball.
Abb. 32: Druckverteilung bei einem
Slice-Ball
Abb. 33: Druckverteilung bei einem
Topspin-Ball
Man erkennt, dass beim Slice die resultierende Kraft nach oben zeigt, wie das bereits
beim Golf der Fall war. Beim Topspin hingegen zeigt die Kraft nach unten. Was
bedeutet das nun für die Flugkurven?
Bei einem Slice-Schlag wird durch die nach oben gerichtete Kraft die Flugbahn
verlängert. Beim Topspin ist das Gegenteil der Fall. Der Ball fällt relativ schnell nach
unten, was eine steile Flugbahn zur Folge hat. Dadurch ist der Schlag sehr sicher,
weil er hoch über das Netz fliegt und dann relativ schnell wieder nach unten und
somit auch kaum ins Aus gehen kann.
Wenn man den Topspin- beziehungsweise Slice im Vergleich zu einem geraden
(ohne jeglichen Spin) Schlag betrachtet, erkennt man, dass diese Schläge um
einiges langsamer sind. Der Grund dafür ist, dass mehr Energie in die Vertikale
aufgebracht werden muss, um dem Ball den Spin zu geben und somit kann nicht
mehr gleich viel Energie in die Horizontale abgeben werden wie das beim geraden
Schlag der Fall ist.
Warum werden im modernen Tennis trotzdem viele solche Bälle gespielt?
Der Grund sind die speziellen Eigenschaften, die diese Bälle beim Aufsprung haben.
Zuerst möchte ich den Topspinball behandeln:
Iω 2
. Auch der
2
Tennisball besitzt beim Topspin eine solche Energie. Er hat einen bestimmten Betrag
von kinetischer Energie und einen bestimmten Betrag von Rotationsenergie.
Jeder rotierende Körper hat eine bestimmte Rotationsenergie Erot =
- 57 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
4. Ballsportarten
Wenn der Ball auf den Boden auftrifft, wird beim Topspin ein Teil der
Rotationsenergie in kinetische Energie umgewandelt, was bedeutet, dass der Ball
nach dem Auftreffen am Boden eine höhere Bewegungsenergie, und somit eine
höhere Geschwindigkeit hat. Der Topspin- Ball fliegt also nach dem Auftreffen
schnell weg, was es dem Gegner schwer macht diesen Ball zu retournieren.
Es wurde allerdings bisher der Einfluss des Winkels vernachlässigt, in welchem der
Ball am Boden auftrifft. Dazu zeigt Abbildung 34 die einzelnen Geschwindigkeitsvektoren vor – beziehungsweise nach dem Bodenkontakt.
Abb. 34: Richtung der Geschwindigkeitsvektoren beim
Topspin-Ball
Der Ball trifft mit einem bestimmten Einfallswinkel α am Boden auf. Die Einfallsgeschwindigkeit v1 teilt sich in zwei Komponenten auf:
vx = v1 ⋅ cosα
v y = v1 ⋅ sin α
(4.1)
(4.2)
Wenn man mit diesen Formeln die Geschwindigkeiten bei folgenden Angaben
berechnet:
v1 = 80 km/h = 22,2& m/s; α = 50° , erhält man eine Komponente
vx = 14,28 m/s und eine Komponente v y = 17,02 m/s .
Das Reflektionsgesetz besagt, dass Geschwindigkeitsänderungen unter
Vernachlässigung der Reibung immer nur in y-Richtung in Kraft treten. Das bedeutet,
die x-Komponente bleibt gleich, wie man es in der Abbildung 34 erkennt.
Die Geschwindigkeitsänderung ∆v kann folgendermaßen berechnet werden:
Erot =
1
m∆v 2
2
(4.3)
Vorerst muss allerdings die Rotationsenergie berechnet werden:
Erot =
Iω 2
2
(4.4)
Das Trägheitsmoment I wird, wie bereits in Kapitel 3.3. erwähnt, durch folgende
Formel berechnet: I = Σ mr 2 . Das Summenzeichen sagt aus, dass es für einen
Körper, der aus verschiedenen Materialien besteht, beziehungsweise, bei dem die
Massen nicht gleichmäßig verteilt sind, mehrere Trägheitsmomente gibt, welche sich
dann zum Gesamtträgheitsmoment des Körpers aufsummieren49.
__________
49
vgl.: BERMANN/SCHÄFER 1974, S. 93
- 58 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
4. Ballsportarten
Dies ist auch beim Tennisball der Fall.
Da die Hülle des Tennisballs aber nicht sehr dick ist und der Großteil der Masse
ganz außen sitzt, wird hier angenommen, dass das Trägheitsmoment vereinfacht als
I = mr 2 geschrieben werden kann, wobei der Radius r = 3,5 cm = 0,035m , und die
Masse m = 50 g = 0,05kg beträgt. Daraus ergibt sich folgendes Trägheitsmoment:
I = mr 2 = 0,05 ⋅ 0,0352 = 6,125 ⋅ 10−5 kgm 2
vu
benötigt. Dazu wird die Umlaufr
geschwindigkeit gebraucht. Diese lässt sich folgendermaßen berechnen:
s
Die Formel für die Geschwindigkeit lautet v = . Wenn man das auf einen
t
rotierenden Körper umschreibt, entspricht die Strecke dem Umfang des Körpers.
2 rπ
Man erhält : v =
. Für die Zeit t muss die Zeit berechnet werden, die für eine
t
Umdrehung benötigt wird. Bei einer Rotation von 2000 U/min (dieser Wert entspricht
ungefähr dem Durchschnitt in der Realität50), bedeutet das:
Es wird noch die Winkelgeschwindigkeit ω =
2000 U  60 sec.
1000 U  30 sec.
1 U  0,03 sec.
Wenn man diese Werte in die Formel für die Umlaufsgeschwindigkeit einsetzt, erhält
man einen Wert vu = 7,3 m/s . Durch das Einsetzen dieses Wertes in die Formel für
die Winkelgeschwindigkeit, erhält man für diese einen Wert ω = 209,44 m/s .
Aus den eben berechneten Werten lässt sich jetzt die Rotationsenergie mittels der
bereits genannten Formel berechnen. Man erhält eine Rotationsenergie Erot = 1,34 J .
Durch freistellen von ∆v in Formel (4.3) wird daraus:
∆v =
2 ⋅ Erot
m
(4.5)
Durch Einsetzen, der bisher zur Verfügung stehenden Werte in diese Formel, erhält
man eine Geschwindigkeitsänderung ∆v = 7,3 m/s .
Es wurde bereits erwähnt, dass diese Geschwindigkeitsänderung an der
y-Komponente in Kraft tritt.
Man kann die neue y-Komponente nach dem Aufprall berechnen: v y + ∆v = 24,32 m/s .
Mittels des Satzes von Pythagoras lässt sich die Geschwindigkeit v2 berechnen
(siehe Abb. 34):
v2 = vx + (v y + ∆v y )2
2
(4.6)
__________
vgl.: http://www.saitenforum.de/board/archive/index.php/t-8688.html [14.01.2007]
50
- 59 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
4. Ballsportarten
Durch Einsetzen der bereits berechneten Werte in Formel (4.6) erhält man eine
Geschwindigkeit v2 = 28,12 m/s = 101,23 km/h . Es ist klar, dass in der Realität keine so
hohe Geschwindigkeitsänderung eintritt, da nicht wie in dieser Rechnung
angenommen, die gesamte Rotationsenergie in kinetische Energie umgewandelt
wird, sondern nur ein gewisser Prozentsatz.
Abschließend kann man sich noch den Winkel β berechnen:
tan β =
(v y + ∆v )
= 1,70 → β = arctan(1,70) = 59,58°
vx
Es ist zu erkennen, dass β > α. Das bedeutet, dass der Topspin Ball steil wegsteigt,
was beim Beobachten eines Tennisspiels bestätigt wird.
Beim Slice-Ball gelten dieselben Überlegungen. Der einzige Unterschied ist, dass
beim Slice die Rotationsenergie nicht in kinetische Energie umgewandelt wird,
sondern ein gewisser Energieverlust auftritt. Das bedeutet, dass beim Slice in Formel
(4.3) ein Minus vor der Erot stehen würde, da die Rotationsenergie der kinetischen
Energie entgegenwirkt. Man erhält ein negatives ∆v und somit eine geringere
Gesamtgeschwindigkeit und einen geringeren Ausfallswinkel β (β < α). Der Slice geht
sehr flach weg und es ist somit schwer für den Gegner, den Ball übers Netz zu
bekommen.
Zum Abschluss möchte ich noch kurz die Form des Tennisschlägers untersuchen,
wobei ich besonders auf den Grund eingehen möchte, warum der Schläger diese
Form hat.
Wenn man sich die Entwicklung der Schläger im Laufe der Jahre ansieht, erkennt
man, dass der Schlägerkopf immer größer, und der Hals immer kürzer wurde. Hat
diese Tatsache einen physikalischen Grund? Die Antwort ist: „Ja!“.
Wenn der Ball auf den Schläger auftrifft, findet ein bestimmter Impulsübertrag statt.
Wenn dieser Impulsübertrag im Schwerpunkt des Schlägers stattfindet, was
bedeutet, dass der Ball im Schwerpunkt auftrifft, macht der Schläger eine reine
Translationsbewegung. Der Schwerpunkt des Schlägers liegt allerdings nicht auf der
Schlagfläche sondern unterhalb. Somit trifft der Ball oberhalb des Schwerpunkts auf
und der Schläger vollführt noch zusätzlich zur Translations- eine bestimmte
Rotationsbewegung um den Schwerpunkt. Diese Rotationsbewegung bewegt alles
unterhalb des Schwerpunkts in die entgegengesetzte Richtung zur Translation. Es
gibt daher einen Punkt unterhalb des Schwerpunkts, in dem sich diese beiden
Bewegungen aufheben. Bei einem optimalen Schläger liegt dieser Punkt am Griff
des Schlägers51.
Bei den modernen Schlägern ist dies der Fall und deshalb ist der Schwerpunkt des
Schlägers näher am Griff als bei den alten Schlägern, bei welchen sich die Kräfte
irgendwo im Schlägerhals aufgehoben haben. Daher sind die neuen Schläger für das
Handgelenk viel schonender als die alten.
___________
51
vgl.: MATHELITSCH 1991, S. 33
- 60 -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
BERGMANN / SCHAEFER: Lehrbuch der Experimentalphysik 1. Band. 9. Aufl.
Berlin, bearbeitet von GOBRECHT H. (Verlag Walter de Gruyter – Berlin – New
York) 1974.
HERDER: Lexikon Physik. 5. Aufl. Freiburg, bearbeitet von SAUERMOST Rolf,
(Verlag Herder Freiburg im Breisgau) 1979.
MATHELITSCH, Leopold: Sport und Physik. Wien (Verlag Hölder – Pilcher –
Tempsky hpt) 1991.
NEUMANN Hannes: richtig Basketball spielen. München (Verlag BLV
Verlagsgesellschaft mbH München) 1982.
RODEWALD, Bernd / SCHLICHTING Hans Joachim: Springen, Gehen, Laufen.
Online im WWW unter URL: http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/
publikationen/springen_gehen_laufen.pdf [Stand:18.02.2007]
SCHAEFER / PÄSLER, Einführung in die Theoretische Physik 1. Band, 9. Aufl.
Berlin (Verlag Walter de Gruyter & Co.) 1970.
SCHLICHTING, Hans Joachim: Einfache Themen zur Physik des Sports. Online im
WWW unter URL: http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/
publikationen/einfache_themen_sport.pdf [Stand:18.02.2007]
SCHLICHTING, H. J. / BACKHAUS, U.: Physik des Alltags am Beispiel der Energetik
des Fahrrads. Online im WWW unter URL: http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/
publikationen/fahrradalltag.pdf [Stand:18.02.2007]
SCHLICHTING, H. J. / NOBBE, B.: Untersuchungen der Energetik des Fahrrads.
Online im WWW unter URL: http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/
publikationen/fahrrad_wind_steigung.pdf [Stand:18.02.2007]
SCHLICHTING, H. J.: Der Sturz über den Lenker – Zur Problematik des Bremsens
beim Radfahren. Online im WWW unter URL: http://www.unimuenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/
publikationen/fahrradsturz.pdf [Stand:18.02.2007]
Zusätzlich verwendete Internetseiten
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/umwelttechnik/04lufwiderstand/luftwiderstand.htm [Stand:05.02.2007]
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph08/grundwissen/15_auftrieb/auftrieb.htm
[Stand:05.02.2007]
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph09/grundwissen/03reibung/reibung.htm
[Stand:05.02.2007]
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph09/grundwissen/03reibung/reibung.htm
[Stand:05.02.2007]
http://de.wikipedia.org/wiki/Speerwurf [Stand:06.10.2006]
http://de.wikipedia.org/wiki/Hammerwurf [Stand:06.10.2006]
http://www.ndr.de/la2005/disziplinen/50km_gehen/regeln.html [Stand:29.12.2006]
-I-
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
Literaturverzeichnis
http://www.golfbaelle.de/PhysikimGolfsportAerodynamik.html?PHPSESSID=20da6d519e576f2c78a793a55aadba4e
[Stand:03.01.2007]
http://www.saitenforum.de/board/archive/index.php/t-8688.html [Stand:14.01.2007]
http://de.wikipedia.org/wiki/Gehen_%28Sport%29 [Stand:23.01.2007]
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 19: http://media.collegepublisher.com/media/paper410/stills/v8u2k37g.jpg
[Stand:17.02.2007]
Abbildung 31: http://www2.camaro.at/golf/images/woods/460_cc.jpg
[Stand:18.02.2007]
Alle anderen Abbildungen und Tabellen in dieser Arbeit wurden vom Autor selbst
erstellt.
- II -
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
Anhang
Anhang
Numerische Ermittlung des optimalen Abwurfwinkels beim schiefen Wurf
positives d
Konstanten:
g=9,81 m/s
vx
α
0,0°
1,0°
2,0°
3,0°
4,0°
5,0°
6,0°
7,0°
8,0°
9,0°
10,0°
11,0°
12,0°
13,0°
14,0°
15,0°
16,0°
17,0°
18,0°
19,0°
20,0°
21,0°
22,0°
23,0°
24,0°
25,0°
26,0°
27,0°
28,0°
29,0°
30,0°
31,0°
32,0°
33,0°
34,0°
35,0°
36,0°
37,0°
d=2,25 m
vy
14,0000
13,9979
13,9915
13,9808
13,9659
13,9467
13,9233
13,8956
13,8638
13,8276
13,7873
13,7428
13,6941
13,6412
13,5841
13,5230
13,4577
13,3883
13,3148
13,2373
13,1557
13,0701
12,9806
12,8871
12,7896
12,6883
12,5831
12,4741
12,3613
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12,88707
12,98057
13,07013
13,1557
13,23726
13,31479
13,38827
13,45766
13,52296
13,58414
- VI -
Anhang
8,82047544
8,97877844
9,12614219
9,26238713
9,38734728
9,5008704
9,60281817
9,69306638
9,77150508
9,83803872
9,89258621
9,93508112
9,96547165
9,9837208
9,98980632
9,9837208
9,96547165
9,93508112
9,89258621
9,83803872
9,77150508
9,69306638
9,60281817
9,5008704
9,38734728
9,26238713
9,12614219
8,97877844
8,82047544
8,65142605
8,47183623
8,28192478
8,08192308
7,87207481
7,65263562
7,42387287
7,18606528
6,93950258
6,68448516
6,42132373
6,1503389
5,87186083
5,5862288
5,29379081
4,99490316
4,68992999
-66,0588
-64,6607
-63,2386
-61,7942
-60,3293
-58,8457
-57,3452
-55,8295
-54,3006
-52,7603
-51,2105
-49,6531
-48,09
-46,523
-44,9541
-43,3853
-41,8183
-40,2551
-38,6977
-37,1479
-35,6076
-34,0787
-32,5631
-31,0625
-29,5789
-28,114
-26,6696
-25,2475
-23,8494
-22,4771
-21,1321
-19,8161
-18,5308
-17,2776
-16,0582
-14,8739
-13,7264
-12,6168
-11,5467
-10,5173
-9,52979
-8,58547
-7,68547
-6,83087
-6,02271
-5,26199
20,81462
21,03196
21,2309
21,41089
21,57142
21,71202
21,83226
21,93174
22,01009
22,06699
22,10216
22,11535
22,10634
22,07494
22,02103
21,94449
21,84524
21,72325
21,57852
21,41106
21,22096
21,00829
20,77319
20,51582
20,23637
19,93505
19,61214
19,2679
18,90265
18,51673
18,11051
17,68439
17,23879
16,77416
16,29098
15,78975
15,27098
14,73524
14,18309
13,61512
13,03194
12,43419
11,82253
11,19761
10,56013
9,910795
Angewandte Mechanik am Beispiel verschiedener Sportarten
77,0
78,0
79,0
80,0
81,0
82,0
83,0
84,0
85,0
86,0
87,0
88,0
89,0
90,0
3,1493
2,9108
2,6713
2,4311
2,1901
1,9484
1,7062
1,4634
1,2202
0,9766
0,7327
0,4886
0,2443
0,0000
13,64118
13,69407
13,74278
13,78731
13,82764
13,86375
13,89565
13,92331
13,94673
13,9659
13,98081
13,99147
13,99787
14
Anhang
4,37924285
4,06322029
3,74224731
3,41671499
3,08701992
2,7535638
2,41675288
2,07699752
1,73471166
1,39031232
1,0442191
0,69685366
0,34863921
1,2239E-15
-4,54963
-3,88649
-3,27339
-2,71107
-2,20021
-1,74145
-1,33533
-0,98236
-0,68295
-0,43749
-0,24626
-0,10951
-0,02738
-3,4E-31
Bilder von der Messung zur Energiedissipation beim Fahrrad
- VII -
9,25032
8,579441
7,898905
7,209472
6,511915
5,807014
5,095563
4,378361
3,656216
2,929942
2,200358
1,468288
0,734559
2,58E-15