Zusammenfassung El2

Zusammenfassung El2
1
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Elektrostatik
Skript S. 3-1
Name
Formel
Einheit
Dielektrizitätskonstante
ε = εr ε0 = εr 8.8542 · 10−12 VAs
m
Ladung
Q = It = CU
Elementarladung
e = 1.602 · 10−19 C
Arbeit = Energie
WAB =
Rb
[Q] = As = C
F (r)dr
W =
a
Coulombsches Gesetz (zw. 2 Q)
Elektrische Feldstärke
1)
2)
Potential
Rt1
p(t)dt
[W ] = W s = J; [p] = W
t2
~ ·Q
F~ = E
F =
~ =
E
Q
er , E
4πεr 2 ~
ϕ=
W
Q
=
Q1 ·Q2
4πεr 2
Q
4πεr 2
(F > 0 → Abstossung)
[E] =
V
m
[ϕ] = V =
Ws
As
=
V As
As
UAB = ϕA − ϕB
Potential einer Pt.-Q.
Überlagerung > 1 Pt.-Q.
Spannung innerh. E-Feld
3)
4)
ϕ=
Q1
4πεr
ϕ=
1
4πε
UAB =
n
P
i=1
RB
Qi
ri
~
E(s)d~
s
A
Arbeit im homogenen E-Feld
Elektrische Flussdichte
5)
6)
WAB = UAB · Q = E · sAB · Q · cos(α)
~ =ε·E
~ =
D
Ψ
er
A~
[D] =
C
m2
=
As
m2
D ist materialunabhängig
Elektrischer Fluss
Ψ=
R
~ · dA
~ od. D · dA · cos φ
D
[Ψ] = As, C
A
P
Gauss’scher Satz der Elektrostatik
ΨHuelle =
Kapazität
C=
Q
U
[C] = F =
Flächenladungsdichte
σ=
Q
A
[σ] =
C
m2
Energiedichte
w=
W
V
[w] =
J
m3
1.1
Qeingeschlossen
= 12 ε · E 2 = 21 D · E
C
V
=
As
V
Anmerkungen zu den Formeln
1) Gilt nur für Punktladungen exakt; für geladene Körper nur wenn Körperabmessung Abstand
~ gleiche Richtung wie ~er ↔ Q < 0: E
~ entgegengesetzte Richtung wie ~er t. Der Radius wird immer von der
2) Q > 0: E
Kugelmitte aus genommen (d.h. an einer Kugeloberfläche besteht eine Feldstärke!)
~ ⊥ ~s oder E
~ k ~s.
3) Weg AB so wählen, dass E
5) Wird eine Ladung von A nach B verschoben, so hängt die aufzubringende bzw. abgeg. Energie nicht vom Verschiebungsweg,
~ ~s in dieselbe
sondern nur von der Potentialdifferenz ϕB − ϕA ab (darum cos(α)). α ist der Winkel, wo beide Vektoren E,
Richtung zeigen.
6) Im Leiter existiert kein Feld ⇒ D = 0!
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1.2
4) Superposition durch Vektoraddition
Leiter im Feld
Skript S. 1-18
• Innere des Leiters ist feld- (Influenz) und ladungsfrei (Faradayscher Käfig)
• Feldlinien stehen senkrecht zur Leiteroberfläche
• Oberfläche des Leiters ist äquipotential
1.3
Kondensator, Kapazität
Skript S. 3-24
Kapazitätsberechnung ΨHuelle = D · A = Q ⇒ D(r) = . . . · Q ⇒ E(r) ⇒ U =
εA
d
Plattenkondensator
C=
Kugelkondensator
C = 4πε
1.4
Koaxialkabel
Schaltungen mit Kapazitäten
Q
U
C=
Doppelleitung
Spezielle elektrische Felder
E(r) · dr ⇒ C =
2πεl
ln rrai
πεl
πεl
(l a r)
C=
a−r ≈
ln ar
ln r
Koaxialkabel (Zylinder)
R1 R2
R2 − R1
R
Doppelleitung
Skript S. 3-30
Kapazitäten werden in den Grundschaltungen genau verkehrt gegenüber Widerständen berechnet.
∞
P
Parallelschaltung zweier C Cres = C1 + C2
Parallelschaltung mehrerer C Cres =
Cn
Serieschaltung zweier C
1.5
Cres =
C1 C 2
C1 +C2
Polarisation und Dielektrika
Serieschaltung mehrerer C
1
Cres
=
n=1
n
P
k=1
1
Qk
Skript S. 3-31
Man unterscheidet zwischen zwei verschiedenen Dielektrika:
• Die dipolfreien Moleküle unpolarer Dielektrika werden durch die wirkung des elektrischen Feldes verzerrt.
Man nennt dies eine Verschiebungspolarisation.
• Bei polaren Dielektrika (z.B. H2 O) haben die Moleküle ohne äussere Einwirkung bereits Dipolcharakter.
Es entsteht nebst der Verschiebungspolarisation noch eine Orientierungspolarisation.
Bei Plattenkondensatoren mit verschiedenen Dielektrizitätsconstanten:
U = E1 d 1 + E2 d 2 =
D
D
d1 + d2 ⇒ D =
1
2
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d1
1
U
+
d1
2
⇒ E1 =
D
1
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1.5.1
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Feldlinien an Grenzfl. versch. Dielektrika 1.5.2
homogen: εr ist ortsunabhängig inhomogen: εr ist ortsabhängig
linear: εr ist feldstärkeunabh.
nichtlinear: εr ist feldstärkeabh.
isotrop: εr ist richtungsunabh.
anisotrop: εr ist richtungsabh.
tan(α1 )
εr1
=
tan(α2 )
εr2
1.5.3
Relative Dielektrizitätskonstanten εr verschiedener Stoffe bei 20◦ C
Azeton
Glimmer
Mineralöl
Quarz
1.6
Eigenschaften von Dielektrika
21.5
5 ...8
2.2
3.8 . . . 5
Bernstein
Gummi
Pertinax
Keram. Stoffe
2.8
2.7
4.8
10 . . . 1000
Diamant
Hartpapier
Petroleum
Vakuum
Energie und Kraft im elektrostatischen Feld
Im Kondensator gespeicherte Energie:
W =
1
2
1
2
· C · U2 =
16.5
5 ...6
2.1
1
Glas
Harzöl
Polystyrol
Wasser
5 ...7
2
2.6
80.3
Skript S. 3-33
·Q·U =
1
2
·
Q2
C
Grundsätzlich versuchen sich die Feldlinien zu verkürzen → Die Kraft auf die
Grenzflächen ist so gerichtet, dass sie die Kapazität zu vergrössern sucht.
Die Kraft berechnet sich mittels dem Prinzip der virtuellen Verschiebung.
F = Fmech = dW
dd
F =
1.7
dW = 21 ε · E 2 · A · dd
1 2 dC
·U ·
, (für U = const.)
2
dd
Teilkapazitäten, Mehrleitersysteme
oder
2
F = 12 ε · E 2 · A = 12 ε · Ud2 · A
1 2 d
1
F = ·Q ·
, (für Q = const.)
2
dd C
⇒
Skript S. 3-36
Um die kapazitive Beziehung von mehrehren gegeneinander isolierten Leitern (sog. Mehrleitersystem) zu bestimmen kann
man deren Teilkapazitäten berechnen. So lassen sich z.B. die Teilkapazitäten eines mehradrigen Kabels berechnen.
Zur Berechnung der Teilkapazitäten geht man wie folgt vor:
1. Ladungen Q1 , Q2 , Q3 (mit Q1 + Q2 + Q3 = 0) als gegeben betrachten und
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 berechnen.
2. U12 , U23 , U13 aus ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 berechnen.
3. Q1 , Q2 , Q3 explizit berechnen.
⇒ Q1 (U12 , U13 ) = C12 · U12 + C13 · U13 usw. für Q2 , Q3 .
2
2.1
Das Magnetische Feld
Skript S. 5-1
Energie und Kraft im magnetischen Feld
Z
Energiedichte: wm =
B
~ · dB
~ (Allgemein)
H
wm =
0
Energie: Wm
Skript S. 5-50
1
B · H (homog. Feld)
2
[wm ] =
J
m3
Z
1
1
1
1
2
~ ·B
~ · dV (Allg.)
= · L · I = · N · I · Φ or Wm =
H
Wm = wm · V = · B · H · V (homog. Feld)
2
2
2 V
2
Die Kraft auf Grenzflächen ist stets so gerichtet, dass sie die Induktivität zu
vergrössern sucht. Das heisst immer vom ferromagnetischen Material zur nichtferromagnetischen Umgebung (z.B. Luft). Prinzip der virtuellen Verschiebung:
dWm 1 2 dL
= I ·
F =
ds 2
ds
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oder
F =
1
1 B2
·B·H ·A= ·
· A (für µrF e 1)
2
2 µ
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2.2
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Wichtigste Formeln
Magnetische Feldlinien verlaufen ausserhalb eines Magneten vom Nord- zum Südpol und sind immer geschlossen.
Name
Formel
Permeabilität
Vs
= µr 1.2566 µH
µ = µ0 µr = µr 4 · π · 10−7 Am
m =
Magn. Flussdichte
B=
Lorentzkraft
~ = I(~l × B)
~
F~ = Q(~v × B)
Ampèresches Gesetz
F =
3-Finger-Regel:
Hand)
(rechte
Einheit
~
= Hµ, wobei ~v ⊥ B
F
Q·v
|F~ | = Q · v · B · sin α
µH
m
=
Vs
m2
= T (Tesla)
Vs
An
N
Q2 ·v2 ·Q1 ·v1 ·µ
r 2 ·4π
F = Daumen, v = Zeigefinger, B = Mittelfinger
~
B
µ
Magnetische Feldstärke
~ =
H
Biot-Savart
H (bei Punkt P) =
Magnetische Spannung
VmAB =
Durchflutung
B
H
Bei Q < 0 wechselt Richtung von B!
A
m
I
4π
R
~
~ r(l)
dl×
r 3 (l)
~ (Vm ist abhängig vom Weg)
~
H(s)
· ds
X
H
R
~ = J~ · dA
~ ∨
~ · ds
Θ= H
Ik = Vm
| {z }
R
A
A
=N I
Magnetischer Fluss
Φ=
R
~
~ dA
B
V s = W b (Weber)
Φ = B · A · cos(γ)
B homogen
~ = 0 (vgl. Kirchhoff 1 (P I = 0))
~ dA
B
Maxwell-Gesetz
H
Füllfaktor
F =
Magn. Widerstand
Rm =
AEf f ektivF e
AT ot
Vm
Φ
=
Θ
Φ
[−]
=
l
µA
A
Wb
=
Φ
Θ
Vs
A
“Ohmsches Gesetz des Magn.“
Magn. Leitwert
Λ=
1
Rm
Verketteter Fluss
Ψ=
P
Induktivität
L=
Ψ
I
Gegeninduktivität
M = M21 = M12 Bei idealer Koppl. M =
M21 =
=
Φ
Vm
= H (Henry) (Im Formelbuch als AL )
Φ (meist Ψ = N Φ)
[Ψ] = [Φ] = V s = W b
Bei idealer Koppl.: L = ΛN 2 =
Ψ21
I1
√M
L1 L2
(meist M21 =
Kopplungsfaktor
k=
Streukoeffizient
σ = 1 − k2 = 1 −
Kreis-r in M-Feld abgelenkte Q
r=
N2
Rm
√
L1 L2
N2 Φ21
I1 )
Bei idealer Kopplung: k = 1
M2
L1 L2
Bei idealer Kopplung: σ = 0
mQ ·v
Q·B
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[L] =
Vs
A
=H
vorder Index = Wirkung,
hinterer = Ursache
[−]
[−]
m, me = 9, 11 · 10−31 kg
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2.3
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Diverse Formeln bzgl. Magnetismus
Hall-Sonde:
I·B
UH = e·n
p ·h
Kraft auf stromführende Leiter:
~
F~L = I(~l × B)
FL = I · l · B · sin α
Magnetfeld ausserhalb eines langen Leiters:
I
H(r) = 2·π·r
Magnetfeld innerhalb eines geraden, langen Leiters:
I Aeingeschlossen
I r
H(r) = 2πr
= 2π
Atotal
r2
Magnetfeld der Zylinderspule:
H(r) = Nl·I
ld
Magnetfeld einer Toroidspule:
N ·I
Hinnen (r) = 2·π·r
Haussen = 0
H=
2.4
I
D
=
I
2a
Induktivität
H=
I
2
·
a
2
√ a
3
a2 +h2
H=
I
4πa (cos(α1 )
− cos(α2 ))
H=
√
I·2 2
π·s
Skript S. 5-23
Induktivität hängt nicht vom Strom ab, sondern nur von der Geometrie der Leiteranordnung, der Permeabilität und der
umgebenden Materie.
2.5
Gegeninduktivität, magnetische Kopplung
Skript S. 5-26
Die Gegeninduktivität beschreibt die Wirkung einer Spule auf eine zweite, d.h. sie sind magnetisch gekoppelt.
Die magnetische Kopplung zweier Spulen hängt davon ab, ob und wie gross der Streufluss Φσ ,
d.h. der Fluss, der “verloren” und nicht durch die zweite Spule geht, ist. Je kleiner der Streufluss,
desto idealer die Kopplung.
2.6
Zusammenstellung magnetischer Grössen für spezielle Leiteranordnungen
Bemerkungen:
1)
ohne Fluss durch Leiter
2)
nur äussere Induktivität
2
3)
A = πd4
lm ≈ πDm
4)
Wickeldurchmesser d in radialer und axialer Richtung d D
Allgemein gilt:
Φ = Λ · Θ, Λ = R1m
L= Ψ
I
L = Λ = R1m , falls N = 1
2
N
L = ΛN 2 = R
, falls die N m
Windungen unter sich ideal gekoppelt sind.
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2.7
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Magnetisierung
Skript S. 5-31
Stoff (Eigenschaft)
Kennzeichen
Ohne äusseres Magnetfeld: Stoff magnetisch neutral, da. . .
Effekte beim Anlegen eines äusseren Magnetfeldes H
diamagnetisch
Felder bzw. Kreisströme der Elektronenbahnen eines Elementarteilchens
kompensieren sich weitgehen
jedes einzelne Elemtarteilchen neutral
Geringe Abschwächung des Feldes (Gegenfeld)
infolge von Gegenkreisströmen:
µr < 1
paramagnetisch
Jedes Teilchen besitzt resultierenden
Kreisstrom (resultierendes Feld)
Teilchen = Elementarmagnet
Richtung der Elementartteilchen
(Elementarmagnete) regellos
Verstärkung des Feldes durch Ausrichten der
Elementarmangete in Richtung von H
µr > 1
Richtung der Bezirke regellos
- Ausrichten der Elementarmagnete
- Vergrösserung der Bezirke mit gleicher Magnetisierungsrichtung wie H-Feld
⇒ kräftige Verstärkung des Feldes
µr >> 1
aber von H abhängig
ferromagnetisch
Bezirke aus vielen Elementarmagneten mit gleicher Magnetisierungsrichtung
⇒ grössere Teilmagnete
2.7.1
2.8
Ferromagnetische Stoffe
Der magnetische Kreis
Vm :
RmF e :
RmL :
Φ:
2.8.1
magn.
magn.
magn.
magn.
Umlaufspannung
Wiederstand Eisenkern
Wiederstand Luft
Fluss
Von der Durchflutung Θ ausgehende Berechnung
1.
2.
3.
4.
5.
magn. Kreis in linearen und nichtlinearen
Teil aufteilen
Leerlaufspannung VmLeerlauf und
Kurzschlussfluss Φk bestimmen
H ∗ und B ∗ bestimmen
H ∗ und B ∗ einzeichnen und
Arbeitspunkt AP bestimmen
H und B im AP herauslesen
AL =AF e
VmLeerlauf = Θ
Θ
Θ · µ0 · AL
=
Φk =
RmL
lL
Roman Koller, Fabian Braun, Lukas Schmid, Ueli Giger, Elias Ammann
Θ
H =
lF e
∗
z }| {
µ0 · Θ
Φk
Θ · µ0 · AL
B =
=
=
AF e
lL AF e
lL
∗
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