Quantenmechanik für Lehramtskandidaten und

Quantenmechanik für
Lehramtskandidaten und
Meteorologen
Alexander Shnirman
Institut für Theorie der Kondensierten Materie, Karlsruher Institut für Technologie
(Dated: 17. Januar 2014)
1
Contents
I. Motivation
4
II. Zustände in Quantenmechanik
4
A. Hilbert-Raum
4
B. Einfachster Hilbertraum: Quantenbit oder Spin 1/2 oder Zwei-Niveau-System
6
C. Ein Teilchen in 1-D
6
III. Die Observable
7
A. Der Impuls-Operator
9
IV. Schrödinger-Gleichung
10
A. Erhaltung der Wahrscheinlichkeit
10
B. 3-D Teilchen
11
C. Stationäre Zustände
11
V. Impuls-Darstellung einer Wellenfunktion
A. Unschärfe-Relation
12
13
VI. Wellenpakete
16
VII. Streuzustände und gebundene Zustände
18
A. Randbedingungen
18
B. Streuzustände
19
C. Barriere
19
D. Gebundene Zustände
21
VIII. Harmonischer Oszillator
22
IX. Drehimpuls
24
A. Sphärische Koordinaten
25
B. Leiteroperatoren
26
C. Der Operator L2
26
X. Wasserstoffatom
27
2
XI. Spin 1/2
28
XII. Periodensystem der Elemente
30
A. Pauli-Prinzip
30
XIII. Spin 1/2, Dynamik
31
A. Magnetisches Moment
31
B. Gyromagnetisches Verhältnis
31
C. Spin-Präzession
32
3
Literatur:
Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall.
Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik. 2. Auflage. De
Gruyter, Berlin 1999
Franz Schwabl: Quantenmechanik Eine Einführung. 6. Auflage, Springer, Berlin,Heidelberg,New York 2002
I.
MOTIVATION
Quantenmechanik wurde um 1925 von mehreren Wissenschaftlern entwickelt. U.a., W.
Heisenberg, E. Schrödinger, M. Born, P. Jordan, W. Pauli, P. Dirac, J. von Neumann ....
Alte Quantentheorien:
1) 1900 - Strahlungsgesetzt von Max Planck. Planck konnte das Strahlungsspektrum
der schwarzen Körper nur mit Hilfe der Hypothese erklären, dass die Energie der elektromagnetischen Wellen gequantelt ist. Das Energie-Quantum lautet E = hν = ~ω. Hier ~ ≡
h/(2π) ≈ 1.054 × 10−34 J s.
2) 1905 - Photoeffekt, A. Einstein. Bei Bestrahlung mit kurzwelligem Licht werden aus
der Oberfläche eines Metalls Elektronen herausgelöst. Die kinetische Energie eines Elektrons
hängt von der Frequenz des Lichtes aber nicht von der Intensität ab. Ekin = ~ω − W , wobei
W die Austrittsarbeit ist.
3) Atommodel von Niels Bohr, 1913. Elektronen befinden sich in diskreten stationären
Zuständen mit Energien En . Übergänge zwischen den Zuständen durch Ausstrahlung En −
Em = ~ω.
4) de Broglie (1923) p = ~k. Z.B., für Photonen aus E = ~ω = cp und ω = ck folgt
p = ~k. Wellen der Materie. Interferenz.
II.
ZUSTÄNDE IN QUANTENMECHANIK
A.
Hilbert-Raum
In der klassischen Mechanik der Zustand des Systems ist ein Punkt im Phasenraum.
Z.B., für ein Teilchen kennen wir den Zustand wenn wir den Ortsvektor ~r und den Impuls p~
4
kennen. In der Quantenmechanik liegen die Zustände im Hilbertraum (nach David Hilbert
genannt).
a.
Definition:
Hilbertraum ist ein (vollständiger)Vektorraum mit Skalarpro-
dukt. (Skalarprodukt definiert die Norm eines Vektors und folglich Konvergenz. Die
Vollständigkeit bedeutet, dass jede Cauchy-Folge konvergiert (zu einem Element des
Raums).)
b.
Skalarprodukt: In der Quantenmechanik werden (ausschließlich) komplexe Hilber-
träume benutzt (Vektorraum über C). Der Skalarprodukt in einem komplexen Hilbertraum
hat die folgenden Eigenschaften: Skalarprodukt ist linear bezüglich des zweiten und semilinear bezüglich des ersten Arguments:
h g| αu + βvi = α h g| ui + β h g| vi
h αu + βu| gi = α∗ h u| gi + β ∗ hv| gi ,
(1)
wobei u, v, g die Vektoren des Hilbertraums sind und α, β ∈ C. Motiviert durch
Skalarprodukt-Bezeichnung h u| vi definiert man die ket-Vektoren |vi und die bra-Vektoren
hu|.
c.
Superposition-Prinzip: Wenn |ui und |vi zwei physikalischen Zustände sind, ist auch
|gi = α |ui + β |vi ein physikalischer Zustand.
d.
Basis: Mit Hilfe von Basisvektoren |ni können alle Vektoren des Hilbertraums zer-
legt werden:
|ui =
X
cn |ni .
(2)
n
Weiteres es ist sehr bequem eine orthonormierte Basis zu wählen, d.h., h m| ni = δm,n . Es ist
auch nicht schlecht wenn die Vektoren |ni eine klare physikalische Bedeutung haben. Z.B.,
verschiedene Positionen eines Teilchens.
e.
Normierung, Wahrscheinlichkeiten, globale Phase: Alle physikalischen Zustände
sind normiert, d.h., h u| ui = 1. Mit der Zerlegung (2) bedeutet das
X
X
hu| ui =
c∗m cn hm| ni =
|cn |2 = 1 .
n,m
(3)
n
Das ergibt die Interpretation der Normierung: |cn |2 sind die Wahrscheinlichkeiten das System
im Zustand |ni zu finden. Normierung bedeutet, dass Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist
1. Darüber hinaus der Zustand ist unverändert durch Multiplikation mit einer Phase. D.h.,
der Vektor eiγ |ui stellt den gleichen physikalischen Zustand wie |ui dar.
5
B.
Einfachster Hilbertraum: Quantenbit oder Spin 1/2 oder Zwei-Niveau-System
Die Basis besteht nur aus zwei Zuständen: |0i = |↑i und |1i = |↓i. Ein beliebiger Zustand
kann wie folgt zerlegt werden:
|ui = α |↑i + β |↓i ,
(4)
wobei |α|2 +|β|2 = 1. Da die globale Phase unwichtig ist können wir einen beliebigen Zustand
durch zwei reelle Parameter (Winkeln) parametrisieren:
θ
θ
iϕ
, β = e sin
,
α = cos
2
2
(5)
wobei θ ∈ [0, π] und ϕ ∈ [0, 2π].
Also klassisch kann ein Bit nur zwei Zustände haben, d.h., 0 und 1. Quantenmechanisch
haben wir ein Kontinuum der Zustände parametrisiert durch θ und ϕ. Jedoch, es gibt nur
zwei linear-unabhängige Basiszustände, |0i und |1i. D.h., der Hilbertraum ist zweidimensional.
C.
Ein Teilchen in 1-D
Analog zum Quantenbit betrachten wir jetzt die, zunächst diskrete, Menge der Positionen
eines Teilchens xn . Zu diesen Positionen ordnen wir eine orthonormale Basis zu: |xn i, d.h.,
h xm | xn i = δmn . Ein beliebiger Zustand lautet:
|ψi =
X
ψ(xn ) |xn i .
(6)
n
Das Skalarprodukt zwischen den zwei Zuständen |ψi und |φi lautet
h φ| ψi =
X
φ∗ (xn )ψ(xn ) .
(7)
n
Die Normierung-Bedingung lautet
h ψ| ψi =
X
ψ ∗ (xn )ψ(xn ) =
n
X
|ψ(xn )|2 = 1 .
(8)
n
Wir verallgemeinern jetzt für den Fall wo xn zu einer kontinuierliche Koordinate x wird.
Dann wird der Zustand |ψi durch die Wellenfunktion dargestellt, d.h., ψ(xn ) → ψ(x). Die
Normierung-Bedingung lautet jetzt
Z
hψ| ψi =
dx |ψ(x)|2 = 1 .
6
(9)
Das Skalarprodukt lautet
Z
dx φ∗ (x)ψ(x) .
h φ| ψi =
(10)
Dieser Hilbertraum heißt L2 - der Raum von Quadrat-Integrierbaren Funktionen.
f.
Die Interpretation : |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Teilchen im Ort
x zu sein.
III.
DIE OBSERVABLE
In der klassischen Physik die Observable, d.h., die messbaren Größen sind, z.B., der Ort
~r, der Impuls p~, die Energie E = H(~r, p~) u.s.w. In der Quantenmechanik die Observable
sind (Hermitische) lineare Operatoren.
g.
Beispiel: Ortsoperator: Wir definieren den Operator x̂ sodass, |φi = x̂ |ψi bedeutet
φ(x) = xψ(x). Im diskreten Fall bedeutet das
|ψi =
X
x̂ |ψi =
X
ψ(xn ) |xn i ,
(11)
xn ψ(xn ) |xn i .
(12)
n
n
Wenn der Zustand |ψi normiert ist, ist der Vektor x̂ |ψi nicht unbedingt normiert. Untersuchen wir das Matrixelement
Z
hψ| x̂ |ψi =
dx x|ψ(x)|2 .
(13)
Es ist klar, dass hψ| x̂ |ψi der Erwartungswert von x ist, weil |ψ(x)|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das Teilchen im Ort x zu finden.
h.
Matrix-Elemente: Operator A wirkend auf Zustand |ui ergibt den Zustand |vi:
|vi = A |ui .
(14)
Jeder Zustand lässt eine Zerlegung in der Basis |ni zu:
|ui =
X
un |ni =
X
n
(15)
P
P
um |mi = m um h n| mi = m um δn,m = un . Daraus folgt auch die
P
Vollständigkeit-Relation n |ni hn| = 1̂ (Einheitsoperator). Dann gilt
Beweis: h n| ui = hn|
P
|ni hn| ui .
n
m
|vi = A |ui = A
X
m
7
|mi hm| ui ,
(16)
und
h n| vi = hn| A |ui =
X
hn| A |mi hm| ui ,
(17)
m
oder
vn =
X
Anm um ,
(18)
m
wobei Anm ≡ hn| A |mi sind die Matrixemenete des Operators A. Also jeder Operator ist
definiert durch seine Matrix Anm in der Basis |ni.
i.
Hermitisch konjugierter Operator: Der zu A Hermitisch konjugierte Operator A† ist
definiert durch die Relation die für beliebige Zustände |ψi und |φi gelten muss:
A† φ ψ ≡ hφ| Aψi .
(19)
Für die Matrixelemente bedeutet das
∗
hm| A |ni = h m| Ani = A† m n = n| A† m = hn| A† |mi∗ .
Wir erhalten also A†
mn
(20)
= (Amn )∗ . D.h., Hermitische Konjugation ist äquivalent der Trans-
position zusammen mit der komplexen Konjugation.
j.
Selbstkonjugierte (Hermitische) Operatoren Ein Operator heißt Hermitisch (nach
Charles Hermite) wenn gilt A† = A. Für die Matrixelemente bedeutet das
Amn = A∗nm .
Zum Beispiel der Ortsoperator ist Hermitisch. Beweis:
Z
h φ| x̂ψi = dx φ∗ (x) (x ψ(x)) ,
(21)
(22)
und
Z
h x̂φ| ψi =
dx (x φ(x))∗ ψ(x) .
(23)
Da x reell ist gilt h φ| x̂ψi = h x̂φ| ψi. Noch ein Beispiel: der Operator k̂ = −i∂/∂x. Wir
erhalten
D
und
D
∂ψ(x)
,
dx φ (x) −i
∂x
(24)
∗
E Z
∂φ(x)
ψ(x) .
k̂φ ψ = dx −i
∂x
(25)
E
φ| k̂ψ =
Z
∗
8
Wir benutzen sie partielle Integration
∗
∗ Z
Z
∂φ (x)
∂φ(x)
ψ(x) = dx i
ψ(x)
dx −i
∂x
∂x
+∞ Z
∂ψ(x)
∗
∗
= iφ (x)ψ(x)
+ dx φ (x) −i
.
∂x
−∞
(26)
Der erste Term verschwindet, da die Funktionen φ(x) und ψ(x) integrierbar sein müssen
(gehören dem L2 ), d.h., sie müssen auf x → ±∞ verschwinden. Also wir haben bewiesen,
D
E D E
dass φ| k̂ψ = k̂φ ψ .
k.
Eigenzustände Eigenzustand |vi eines Operators  ist definiert durch
 |vi = a |vi ,
(27)
wobei a ∈ C der Eigenwert ist. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die reellen
symmetrischen Matrizen eine vollständige Basis von Eigenvektoren besitzen. Genauso die
Hermitische Operatoren besitzen eine vollständige Basis von Eigenvektoren. Das wird hier
nicht bewiesen. Die Eigenwerte der Hermitischen Operatoren sind reell. Beweis:
hv| A |vi = h v| Avi = h v| avi = a .
(28)
hv| A |vi = hAv| vi = h av| vi = a∗ .
(29)
Anderseits, da A† = A gilt
Also a = a∗ . Zwei Eigenvektoren eines Hermitischen Operators mit unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal. Beweis: wir haben A |ni = an |ni, und A |mi = am |mi, und
an 6= am .
hn| A |mi = h n| Ami = am h n| mi .
(30)
hn| A |mi = hAn| mi = an h n| mi .
(31)
Anderseits
Da an 6= am , erhalten wir h n| mi = 0.
A.
Der Impuls-Operator
Der Impuls-Operator lautet
p̂ ≡ −i~
9
∂
.
∂x
(32)
Motivation: für eine ebene Welle ψ(x) = eikx (das in nicht Integrierbar !) gilt
p̂ψ(x) = ~kψ(x) ,
(33)
und nach de Broglie gilt p = ~k. Als wir schon gezeigt haben, ist der Operator p̂ Hermitisch.
IV.
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
In der Quantenmechanik entwickeln sich die Zustände in der Zeit gemäß der SchrödingerGleichung
∂
|ψi = Ĥ |ψi ,
(34)
∂t
wobei Ĥ der Hamilton-Operator (a.k.a. Hamilton) ist. Für ein Teilchen in 1-D lautet der
i~
Hamilton-Operator
p̂2
~2 ∂ 2
+ V (x̂) = −
+ V (x̂) .
2m
2m ∂x2
Die Schrödinger-Gleichung dann lautet
i~
A.
Ĥ =
(35)
∂ψ(x, t)
~2 ∂ 2 ψ(x, t)
=−
+ V (x)ψ(x, t) .
∂t
2m ∂x2
(36)
Erhaltung der Wahrscheinlichkeit
Wir wollen zeigen, dass die Norm des Zustandes konstant bleibt. D.h., wenn zur t = 0
gilt
Z
dx|ψ(x, t)|2 = 1 ,
dann gilt das auch für alle späteren Zeiten t > 0. Wir erhalten
Z
Z
∂ψ ∗
∂
2
∗ ∂ψ
dx|ψ(x, t)| = dx ψ
+
ψ .
∂t
∂t
∂t
(37)
(38)
Aus der Schrödinger-Gleichung folgt
∂ψ
1
~2 ∂ 2 ψ
=
−
+Vψ
∂t
i~
2m ∂x2
(39)
und
∂ψ ∗
1
~2 ∂ 2 ψ ∗
∗
=−
−
+Vψ .
∂t
i~
2m ∂x2
(Die potentielle Energie V (x) ist natürlich reell). Dann erhalten wir
Z
Z
2
∂ψ ∗
i~
∂ 2ψ∗
∗∂ ψ
∗ ∂ψ
+
ψ =
dx ψ
−
ψ =0.
dx ψ
∂t
∂t
2m
∂x2
∂x2
10
(40)
(41)
Die letzte Gleichung ergibt sich durch gedoppelte partielle Integration. Jetzt untersuchen
wir die zeitliche Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte:
2
i~
∂ψ ∗
∂
∂ 2ψ∗
∂ i~
2
∗∂ ψ
∗ ∂ψ
|ψ| =
ψ
ψ
−
ψ
.
−
ψ =
∂t
2m
∂x2
∂x2
∂x 2m
∂x
∂x
(42)
Wir führen ein die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ≡ |ψ|2 und die Wahrscheinlichkeits ∗ ∂ψ ∂ψ∗ ~
Stromdichte j ≡ 2mi
ψ ∂x − ∂x ψ . Dann die Gleichung (42) ist die Kontinuitätsgleichung:
∂ρ ∂j
+
=0.
∂t ∂x
B.
(43)
3-D Teilchen
Die Verallgemeinerung von 1-D auf 3-D ist ganz direkt. Es gibt drei Koordinaten ~r =
(r1 , r2 , r3 ) und drei Impulse p~ = (p1 , p2 , p3 ), wobei
pi ≡ i~
∂
.
∂ri
(44)
Der Hamilton-Operator lautet
Ĥ =
p~2
+ V (~r) .
2m
(45)
Die Schrödinger-Gleichung lautet
i~
~2 ~ 2
∂ψ(~r, t)
=−
∇ ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t) ,
∂t
2m
(46)
wobei
~ ≡
∇
∂
∂
∂
,
,
∂r1 ∂r2 ∂r3
.
(47)
Die Kontinuitätsgleichung lautet
∂ρ ~ ~
+∇·j =0 ,
∂t
(48)
n o
∗
∗ ~
~
~j ≡ ~
ψ ∇ψ − ∇ψ ψ .
2mi
(49)
wobei
C.
Stationäre Zustände
Eine besondere Rolle in der Quantenmechanik wird von Eigenzuständen des HamiltonOperators gespielt. Der Hamilton entspricht der Observable Energie und muss Hermitisch
11
sein. Es existiert eine vollständige Basis des Hilbertraums die aus allen Eigenvektoren von
H besteht.
H |ni = En |ni .
(50)
Die reelle Eigenewerte En heißen Eigenenergien. Die Zeitentwicklung von einem Eigenzustand ist sehr einfach. Der Zustand
iEn t
|ψ(t)i = exp −
~
|ni
(51)
stellt eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar. Beweis:
∂
iEn t
i~ |ψ(t)i = exp −
En |ni
∂t
~
iEn t
= exp −
H |ni = H |ψ(t)i .
(52)
~
Also der Zustand ist stationär, da die globale Phase exp − iE~n t den physikalischen Zustand
nicht ändert.
V.
IMPULS-DARSTELLUNG EINER WELLENFUNKTION
Wir betrachten die Fourier-Transformation einer Wellenfunktion ψ(x).
Z
dp
g̃(p) eipx/~
ψ(x) =
2π~
oder mit p = ~k
(53)
Z
dk
g(k) eikx ,
2π
wobei g(k) = g̃(~k). Die inverse Fourier-Transformation lautet
Z
g(k) = dx ψ(x) e−ikx .
ψ(x) =
(54)
(55)
Normierung ergibt:
Z
Z
2
dx|ψ(x)| =
dk
|g(k)|2 .
2π
Untersuchen wir den Erwartungswert von p̂ (oder k̂ = p̂/~ = −i∂x ).
Z
hψ| p̂ |ψi =
dx ψ(x)∗ (−i~∂x ) ψ(x)
Z
Z
Z
dk1 ∗
dk2
−ik1 x
=
dx
g (k1 )e
(−i~∂x )
g(k2 )eik2 x
2π
2π
Z
Z
dk1 dk2 ∗
=
dx
g (k1 )g(k2 )~k2 ei(k2 −k1 )x
2π 2π
Z
Z
dk
dp
2
=
|g(k)| ~k =
|g̃(p)|2 p .
2π
2π~
12
(56)
(57)
Hier haben wir die Delta-Funktion benutz die der folgenden Relation genügt:
Z
dx eiqx = 2πδ(q) .
(58)
Also, man kann g(p) (genauer g̃(p)) als Wellenfunktion in p-Darstellung betrachten.
l.
Delta-Funktion Delta-Funktion ist der Limes einer sehr scharfen Glocke deren Inte-
gral eins ist. Die Haupteigenschaften:
Z
dq δ(q) = 1 .
(59)
Für eine stetige Funktion f (q) (Probe-Funktion) gilt
Z
dq δ(q − q0 )f (q) = f (q0 ) .
A.
Unschärfe-Relation
m.
Gauss-Verteilung Wir untersuchen eine besondere Wellenfunktion
2 /4b2
ψ(x) = N eik0 x e−(x−x0 )
.
Die Normierung-Konstante N bestimmt man aus der Normierung-Bedingung
Z
dx |ψ(x)|2 = 1 .
Das ergibt
N
2
Z
2 /2b2
dx e−(x−x0 )
√
= N 2 2πb2 = 1 .
(60)
(61)
(62)
(63)
Also es gilt
N = (2πb2 )−1/4 .
Für den Erwartungswert hxi = hψ| x |ψi erhalten wir
Z
Z
2
2
2
−(x−x0 )2 /2b2
2
dy (y + x0 )e−y /2b .
hxi = hψ| x |ψi = N
dx x e
=N
(64)
(65)
Der erster Term verschwindet wegen Symmetrie, wobei der zweite ergibt einfach hψ| x |ψi =
x0 . Jetzt untersuchen wir die Variation
(∆x)2 ≡ h[x − hxi]2 i = hx2 i − hxi2 .
13
(66)
Wir erhalten
2
(∆x) = N
2
Z
2 −(x−x0 )2 /2b2
dx (x − x0 ) e
=N
2
Z
dy y 2 e−y
2 /2b2
= b2 .
(67)
Also b is die Breite der Verteilung. Wie sieht dieser Zustand in der p-Darstellung aus? Wir
erhalten
Z
g(k) =
−ikx
dx ψ(x)e
−i(k−k0 )x0
Z
=N
Z
= Ne
−
dx e
Z
dx e−
(x−x0 )2
4b2
(x−x0 )2
4b2
e−i(k−k0 )x
e−i(k−k0 )(x−x0 )
y2
dy e− 4b2 e−i(k−k0 )y
Z
(y+2i(k−k0 )b2 )2
−i(k−k0 )x0 −b2 (k−k0 )2
4b2
= Ne
e
dy e−
Z
z2
−i(k−k0 )x0 −b2 (k−k0 )2
= Ne
e
dz e− 4b2
√
2
2
= N e−i(k−k0 )x0 e−b (k−k0 ) 2b π
−i(k−k0 )x0
= Ne
2 (k−k )2
0
= Nk e−i(k−k0 )x0 e−b
,
(68)
wobei die neue Normierung-Konstante lautet Nk = (8πb2 )1/4 . Wir sehen, dass die Wellenfunktion in der p-Darstellung ist wieder eine Gaußglocke. Wir haben schon die Erfahrung
gesammelt mit den Gauß-Verteilungen. Wir schreiben um wie
g(k) = Nk e−i(k−k0 )x0 e−
(k−k0 )2
4c2
,
(69)
wobei c2 = 1/(4b2 ). Das ergibt
hpi = ~hki = ~k0
(70)
und
(∆p)2 = ~2 (∆k)2 = ~2 c2 =
~2
.
4b2
(71)
Wir haben jetzt ein sehr wichtiges Ergebnis erhalten: für die Gauß-Wellenfunktion gilt
∆x∆p =
n.
~
.
2
(72)
Algebraischer Beweis Wir betrachten zwei Hermitische Operatoren A und B und
den Zustand |ψi. Die Erwartungswerte von A und B im Zustand |ψi sind gegeben als
Ā = hψ| A |ψi
,
14
B̄ = hψ| B |ψi .
(73)
Wir definieren
|ai = (A − Ā) |ψi
(74)
|bi = (B − B̄) |ψi .
(75)
h a| ai = hψ| (A − Ā)2 |ψi = σA2
(76)
h b| bi = hψ| (B − B̄)2 |ψi = σB2 .
(77)
und
Dann gilt
und
Wir benutzen die bekannte Ungleichung von Schwarz
h a| ai hb| bi ≥ | h a| bi |2 .
(78)
Das Skalarprodukt z = h a| bi ist eine komplexe Zahl. Dann gilt
|z|2 = (Re(z))2 + (Im(z))2 ≥ (Im(z))2
2
z − z∗
.
=
2i
Also
ha| ai hb| bi ≥
h a| bi − h b| ai
2i
(79)
2
,
(80)
oder
σA2 σB2 ≥ hψ|
AB − BA
|ψi2
2i
Für A = x̂ und B = p̂ erhalten wir
∂
∂
(x̂p̂ − p̂x̂) |ψi = x −i~
ψ − −i~
xψ = i~ψ .
∂x
∂x
(81)
(82)
Also
[x, p] = xp − px = i~ .
(83)
Schließlich
σx σp ≥
15
~
.
2
(84)
VI.
WELLENPAKETE
Wir betrachten ein freies Teilchen, das zur t = 0 im Zustand
Z
dk
ψ(x) =
g(k) eikx
2π
(85)
vorbereitet wurde. Der Hamilton-Operator des Teilchens lautet
H=
p2
.
2m
Zu einer späteren Zeit t > 0 ergibt sich, dann, der Zustand
Z
dk
ψ(x, t) =
g(k) eikx e−iω(k)t ,
2π
(86)
(87)
wobei
~ω(k) =
p2
~2 k 2
=
.
2m
2m
(88)
Hier kann man die ebene Welle eikx als (nicht normierbarer) Eigenzustand des HamiltonOperators betrachten mit der Eigenenergie
Ek = ~ω(k) .
o.
(89)
Gruppengeschwindigkeit Wir nehmen an, dass g(k) um k0 konzentriert ist. Diese
Situation heißt Wellenpaket, da wir ein Paket von ebenen Wellen haben. Dann gilt (für
relevante k)
∂ω(k) ω(k) ≈ ω(k0 ) +
(k − k0 ) + . . .
∂k k0
(90)
und
dk
∂ω(k) g(k) exp ik0 x + i(k − k0 )x − iω(k0 )t − i
ψ(x, t) ≈
(k − k0 )t
2π
∂k k0
Z
dk
∂ω(k) ik0 x−iω(k0 )t
= e
g(k) exp i(k − k0 ) x −
.
t
2π
∂k k0
Z
(91)
Wir sehen, dass das Wellenpaket sich mit der Geschwindigkeit
vg ≡
∂ω(k) ∂k k0
bewegt. Diese Geschwindigkeit heißt die Gruppengeschwindigkeit.
16
(92)
p.
Dispersion Betrachten wir den nächsten Glied in der Entwicklung
∂ω(k) 1 ∂ 2 ω(k) ω(k) ≈ ω(k0 ) +
(k − k0 ) +
(k − k0 )2 + . . .
2
∂k k0
2 ∂k
k0
2
= ω(k0 ) + vg (k − k0 ) + a(k − k0 ) + . . .
(93)
Was ist die Rolle der Größe a? Um das zu verstehen betrachten wir das Gauß’sche Beispiel
2 (k−k )2
0
g(k) = Nk e−b
.
(94)
Das ergibt
ψ(x, t) ≈ Nk e
ik0 x−iω(k0 )t
= Nk eik0 x−iω(k0 )t
Z
dk −b2 (k−k0 )2 {i(k−k0 )(x−vg t)} ia(k−k0 )2 t
e
e
e
2π
Z
dk −(b2 −iat)(k−k0 )2 i(k−k0 )x̃(t)
e
e
,
2π
wobei x̃(t) ≡ x − vg t. Wir ”vollständigen das Quadrat” mit q ≡ k − k0 :
2
ix̃
x̃2
2
2
2
.
−(b − iat)q + iqx̃ = −(b − iat) q −
−
2(b2 − iat)
4(b2 − iat)
(95)
(96)
Mit
z≡q−
ix̃(t)
2(b2 − iat)
(97)
ergibt sich
Z
2
dz −(b2 −iat)z2 − 4(b2x̃−iat)
ik0 x−iω(k0 )t
ψ(x, t) ≈ Nk e
e
e
.
2π
Wir erhalten wieder eine Gauß-Glocke mit
2
2
− 4 x̃ 2 2 x̃2
b +a t
2
−
b2
|ψ(x, t)|2 ∝ e 4(b2 −iat) = e
.
(98)
(99)
Also die neue Varianz ist gegeben durch
(∆x)2 = b2 +
a2 t2
,
b2
(100)
wobei die Impuls-Varianz bleibt unverändert
(∆p)2 =
~2
.
4b2
(101)
Wir erhalten
~
(∆x) (∆p) =
4
2
2
a2 t2
1+ 4
b
.
(102)
Wir beobachten, das das Wellenpaket zerfließt. Das heißt Dispersion. Für die Dispersion ist
die Größe a =
1 ∂ 2 ω(k)
2 ∂k2
verantwortlich. Das Licht im Vakuum mit ω = ck hat keine Dispersion.
17
VII.
STREUZUSTÄNDE UND GEBUNDENE ZUSTÄNDE
Wir betrachten jetzt Teilchen in externem Potential V (~r). in 1-D ist der HamiltonOperator gegeben durch
H=
p2
+ V (x)
2m
(103)
und die Schrödinger-Gleichung lautet
i~
∂ψ(x, t)
~2 ∂ 2 ψ(x, t)
=−
+ V (x)ψ(x, t) .
∂t
2m ∂x2
(104)
Wir suchen nach den stationären Zuständen, sodass
Et
ψ(x, t) = ψ(x) e− ~ .
(105)
~2 ∂ 2 ψ(x)
−
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x) .
2m ∂x2
(106)
H |ψi = E |ψi ,
(107)
Dann muss gelten
oder
Die einfachste Situation tritt dann auf, wenn das Potential stückweise konstant ist. D.h.
V (x) = V1 für x1 ≤ x < x2 , V (x) = V2 für x2 ≤ x < x3 usw. Dann, in jedem Intervall muss
die folgende Gleichung gelöst werden
~2 ∂ 2 ψ(x)
= (E − Vn )ψ(x) .
2m ∂x2
Die Lösungen sind offensichtlich wieder die ebenen Wellen eikx mit
r
2m(E − Vn )
.
k=±
~2
(108)
(109)
Für E > Vn ergeben sich zwei reelle Wellenvektoren k (Wellennummer). Sonst, für E < Vn ,
sind die Wellenvektoren k rein imaginär.
A.
Randbedingungen
Wir brauchen Randbedingungen für jeden Punkt xn wo das Potential springt. Die Randbedingungen sind einfach: ψ(x) und ∂ψ(x)/∂x müssen stetig sein. Das folgt aus der Tatsache,
dass die Schrödinger-Gleichung der zweiten Ordnung in der x-Ableitung ist. Wenn ∂ψ(x)/∂x
stetig ist, dann darf ∂ 2 ψ(x)/∂x2 höchstens einen Sprung haben. Das ist genau was gebraucht
wird in den Grenzpunkten zwischen den Intervallen.
18
Abbildung 1: Barriere
B.
Streuzustände
In diesem Fall ergeben sich ebene Wellen für x → ∞ und/oder x → −∞. Solche Zustände
sind nicht normierbar. Wir brauchen eine alternative Interpretation. Hier hilft uns die StromDichte
~
j≡
2mi
∂ψ ∗
−
ψ
ψ
∂x
∂x
∗ ∂ψ
.
(110)
Für die ebene Welle mit Amplitude eins ψ = eikx bekommen wir
j=
~k
= vg .
m
(111)
Man redet dann von einem Fluss von Teilchen mit Dichte ρ = |ψ|2 = 1 und Stromdichte
j = ρvg = vg . Die Frage ist dann welchen Anteil des Flusses wird nach vorne oder zurück
gestreut.
C.
Barriere
Ein gutes Beispiel ist die Streuung auf einer rechteckigen Barriere (Fig. 1). Die potentielle
Energie lautet V (x) = 0 für x < 0 (Bereich I) und x > a (Bereich III), und V (x) = V0 für
0 ≤ x ≤ a (Bereich II). Wir suchen nach Lösungen mit E > 0. Dann der Wellenvektor in
Bereichen I und III ist gegeben durch
r
k1 = k3 =
19
2mE
.
~2
(112)
Wir nehmen hier die positive Wurzel. Die negative Wurzel wird dann explizit berücksichtigt.
Im Bereich II gilt
r
k2 =
2m(E − V0 )
.
~2
(113)
Für E > V0 ist k2 reell. Für 0 < E < V0 ist k2 rein imaginär. Wir suchen nach einer Lösung
die im Bereich I wie folgt aussieht
ψI (x) = eik1 x + re−ik1 x ,
(114)
wobei r der Reflexion-Koeffizient ist. So eine Lösung entspricht der Situation wo eine ebene
Welle der Amplitude eins von der linken Seite auf die Barriere geschickt wird. Die reflektierte
Welle hat, dann, die Amplitude r. Im Bereich III erwarten wir
ψIII (x) = teik3 (x−a) .
(115)
Das entspricht dem Teil der Welle der transmittiert wurde. Letztendlich im Bereich II gilt
ψII (x) = Aeik2 x + Be−ik2 x .
(116)
Unseres Ziel ist r und t zu Bestimmen. Die Randbedingungen ergeben folgendes. Aus ψI (0) =
ψII (0) folgt
1+r =A+B .
(117)
k1 (1 − r) = k2 (A − B) .
(118)
Aeik2 a + Be−ik2 a = t .
(119)
k2 (Aeik2 a − Be−ik2 a ) = k3 t = k1 t .
(120)
0
(0) folgt
Aus ψI0 (0) = ψII
Aus ψII (a) = ψIII (a) folgt
0
0
Aus ψII
(a) = ψIII
(a) folgt
Aus den ersten zwei Randbedingungen (117,118) erhalten wir
k2
k2
+B 1−
=2.
A 1+
k1
k1
Aus den letzten zwei Randbedingungen (119,120) erhalten wir
te−ik2 a
k1
teik2 a
k1
1+
, B=
1−
,
A=
2
k2
2
k2
20
(121)
(122)
und
B = A e2ik2 a
k2 − k1
.
k2 + k1
Dann, aus (121) und (123) erhalten wir
k2
k2
2ik2 a k2 − k1
A 1+
+ Ae
1−
=2.
k1
k2 + k1
k1
A(k1 + k2 ) − A e2ik2 a
(k1 − k2 )2
= 2k1 .
k1 + k2
A(k1 + k2 )2 − A e2ik2 a (k1 − k2 )2 = 2k1 (k1 + k2 ) .
A=
t = 2A eik2 a
t=
2k1 (k1 + k2 )
.
(k1 + k2 )2 − e2ik2 a (k1 − k2 )2
4k1 k2 eik2 a
k2
=
.
(k1 + k2 )
(k1 + k2 )2 − e2ik2 a (k1 − k2 )2
2k1 k2
.
2k1 k2 cos(k2 a) − i(k12 + k22 ) sin(k2 a)
(123)
(124)
(125)
(126)
(127)
(128)
(129)
Für E > V0 (k2 reell) ergibt sich
|t|2 =
4k12 k22
4E(E − V0 )
=
.
2
4k12 k22 + (k12 − k22 )2 sin (k2 a)
4E(E − V0 ) + V02 sin2 (k2 a)
(130)
Für E < V0 (k2 = iκ) ergibt sich
|t|2 =
4k12 κ2
4E(V0 − E)
=
.
2
2 2
2
2
2
4k1 κ + (k1 + κ ) sinh (κa)
4E(V0 − E) + V02 sinh2 (κa)
(131)
Tief im Tunnel-Regime E < V0 , wenn gilt κa 1 (d.h. die Breite der Barriere ist groß
genug), ergibt sich die exponentiell kleine Tunnel-Wahrscheinlichkeit
|t2 | ≈
wobei
D.
E(V0 − E) −2κa
e
,
V02
p
2m(V0 − E)
.
κ=
~
Gebundene Zustände
Übung
21
(132)
(133)
VIII.
HARMONISCHER OSZILLATOR
Der Hamilton-Operator lautet
H=
mω 2 x2
p2
+
.
2m
2
(134)
Wir suchen nach Eigenzustände. Probieren wir zunächst die Gauß-Funktion
x2
ψ(x) = N e− 4b2 ,
(135)
wobei N = (2πb2 )−1/4 und b noch zu bestimmen ist. Es ergibt sich
~2 00 mω 2 x2
~2 d x mω 2 x2
Hψ = −
ψ +
ψ=−
− 2ψ +
ψ
2m
2
2m dx
2b
2
~2 1
~2 h x i2
mω 2 x2
=
ψ
−
ψ.
ψ
+
2m 2b2
2m 2b2
2
(136)
Wenn die zwei letzen Terme verschwinden, erhalten wir einen Eigenzustand. Also
~2
= mω 2
4mb4
→
b2 =
~
2mω
(137)
und die Eigenenergie lautet
E=
~2 1
~ω
=
.
2
2m 2b
2
(138)
Wir werden später zeigen, dass das der Grundzustand ist, d.h., der Zustand mit niedrigster
Eigenenergie. In diesem Zustand hxi = 0 und (∆x)2 = b2 =
~
.
2mω
Wir nennen diesen Zustand
|0i. Also
|0i =
mω 1/4
π~
mωx2
exp −
,
2~
H |0i =
~ω
|0i .
2
Algebraische Lösung Wir definieren
r
mω
i
a=
x+ √
p
2~
2~mω
r
mω
i
†
a =
x− √
p
2~
2~mω
Wir berechnen
mω 2
1
i
aa† =
x +
p2 +
(px − xp) ,
2~
2~mω
2~
(139)
(140)
q.
(141)
(142)
(143)
und
a† a =
mω 2
1
i
x +
p2 −
(px − xp) .
2~
2~mω
2~
22
(144)
Also, wir erhalten
H=
1
~ω a† a + aa† ,
2
(145)
und
aa† − a† a =
i
(px − xp) = 1 .
~
(146)
Schließlich gilt
1
†
H = ~ω a a +
.
2
(147)
Wir nennen den Operator N ≡ a† a. Aus (140) folgt N |0i = 0. Wir erhalten
[N, a† ] = a† aa† − a† a† a = a† ,
(148)
[N, a] = a† aa − aa† a = −a .
(149)
und
Operator N ist ein Hermetischer Operator und soll eine vollständige Basis der Eigenzustände
haben. Wir fangen an mit dem Zustand a† |0i. Wir erhalten
N a† |0i = (a† + a† N ) |0i = a† |0i .
(150)
Also, a† |0i ist ein Eigenzustand des Operators N mit dem Eigenwert 1. Seine Norm erhalten
wir aus
a† 0 a† 0 = h0| aa† |0i = h0| (1 + N ) |0i = 1 .
(151)
|1i = a† |0i .
(152)
Wir nennen
Für den Zustand gilt
N |1i = |1i
,
H |1i =
3~ω
|1i .
2
(153)
Analog untersuchen wir den Zustand a† |1i. Wir erhalten
N a† |1i = (a† + a† N ) |1i = 2a† |1i .
(154)
a† 1 a† 1 = h1| aa† |1i = h1| (1 + N ) |1i = 2 .
(155)
Wir normieren
Also der normierte Zustand lautet
1
|2i = √ a† |1i
2
oder a† |1i =
23
√
2 |2i .
(156)
Es ist klar, dass es sich eine Reihe der Zustände |ni ergibt, sodass N |ni = n |ni. Durch das
Normieren bekommen wir
a† n a† n = hn| aa† |ni = hn| (1 + N ) |ni = n + 1 .
Also
a† |ni =
√
n + 1 |n + 1i .
(157)
(158)
Den Zustand |ni erhält man aus dem Zustand |0i durch
(a† )n
|ni = √ |0i .
n!
(159)
Als Nächstes untersuchen wir den Zustand a |ni. Wir erhalten
√
aa†
(N + 1)
a |ni = √ |n − 1i = √
|n − 1i = n |n − 1i .
n
n
(160)
Insbesondere a |0i = 0.
Den Operator a† nennt man ”Erzeugungsoperator” und den Operator a wird als ”Vernichtungsoperator” genannt (alternativ Aufsteige- und Absteigeoperatoren oder Leiteroperatoren).
Wir haben also gezeigt, dass es eine Leiter der stationären Zustände |ni gibt, sodass
N̂ |ni = n |ni ,
(161)
1
Ĥ |ni = ~ω n +
|ni .
2
(162)
und
Das ist eine vollständige Basis im Hilbertraum (L2 ) (ohne Beweis).
IX.
DREHIMPULS
Wir betrachten jetzt Teilchen in 3-D. Insbesondere werden wir uns interessieren für quantenmechanische Zustände im zentralsymmetrischen Potential (wie im Kepler-Problem), d.h.,
V (~r) = V (|~r|. In der klassischen Mechanik eine wichtige Rolle wurde vom Drehimpuls gespielt. Das war (neben Energie) einer der Erhaltungsgrössen. Wir untersuchen nun den
Drehimpuls in der Quantenmechanik.
Der Drehimpuls-Operator lautet
~ = ~r × p~ .
L
24
(163)
Komponentenweise gilt
∂
∂
−z
.
Lx = ypz − zpy = −i~ y
∂z
∂y
∂
∂
Ly = zpx − xpz = −i~ z
−x
.
∂x
∂z
∂
∂
Lz = xpy − ypx = −i~ x
−y
.
∂y
∂x
(164)
(165)
(166)
Wir benutzen [rα , pβ ] = i~δα,β sowie [rα , rβ ] = 0 und [pα , pβ ] = 0. Hier (r1 , r2 , r3 ) = (x, y, z)
und (p1 , p2 , p3 ) = (px , py , pz ). Wir untersuchen den Kommutator
[Lx , Ly ] = [(ypz − zpy ), (zpx − xpz )] = [ypz , zpx ] + [zpy , xpz ]
= −i~ypx + i~xpy = i~Lz .
(167)
Analog
[Ly , Lz ] = i~Lx
A.
und [Lz , Lx ] = i~Ly .
(168)
Sphärische Koordinaten
In sphärischen Koordinaten haben wir x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, z = r sin θ und
∂x ∂
∂y ∂
∂z ∂
∂
=
+
+
∂φ
∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z
∂
∂
= −r cos θ sin φ
+ r cos θ cos φ
∂x
∂y
∂
∂
Lz
= x
−y
=−
.
∂y
∂x
i~
(169)
Also
Lz = −i~
∂
.
∂φ
(170)
Es gilt auch (ohne Beweis)
∂
∂
Lx = i~ sin φ + cot θ cos φ
,
∂θ
∂φ
∂
∂
Ly = i~ − cos φ + cot θ sin φ
,
∂θ
∂φ
(171)
(172)
Wir sehen, dass die r-Abhängigkeit der Wellenfunktion hier keine Rolle spielt, d.h., die
~ Operatoren haben die Struktur
Eigenfunktionen der L
ψ(~r) = R(r)W (θ, φ) .
25
(173)
Die Eigenfunktionen des Lz -Operators sind einfach zu finden
Lz eimφ = ~m eimφ .
(174)
Es ist klar, dass m ganzzalig ist m = 0, ±1, ±2, . . . . Sonst wäre die Wellenfunktion nicht
eindeutig. Wir nennen diese Zustände vorläufig |mi.
B.
Leiteroperatoren
Die sogenannten Leiter-Operatoren
L± ≡ Lx ± iLy
(175)
spielen hier eine wichtige Rolle. Wir erhalten
[Lx , L± ] = [Lz , Lx ± iLy ] = i~Ly ± ~Lx = ±~L± .
(176)
Lz L+ |mi = (L+ Lz + ~L+ ) |mi = ~(m + 1)L+ |mi .
(177)
Das ergibt
Also der Zustand L+ |mi = c |m + 1i, wobei die Konstante c noch zu bestimmen ist.
C.
Der Operator L2
Wir definieren den Operator
~ 2 = L2 + L2 + L2 .
L2 = L
x
y
z
(178)
[L2 , Lx ] = [L2 , Ly ] = [L2 , Lz ] = 0 .
(179)
Man kann zeigen
r.
Eigenzustände von kommutierenden Operatoren Betrachten wir zwei Hermitische
Operatoren A und B die miteinander vertauschen [A, B] = 0. Dann haben die beiden einen
gemeinsamen Satz von Eigenzustände. Beweis: Betrachten wir den Zustand |ai, sodass
A |ai = a |ai. Dann gilt
AB |ai = BA |ai = Ba |ai = aB |ai .
26
(180)
Also, B |ai ist auch ein Eigenzustand von A mit dem selben Eigenwert a. Falls |ai nicht
entartet ist (der einzelne Zustand mir dem Eigenwert a), dann gilt B |ai ∝ |ai, d.h., |ai ist
Eigenzustand von B. Falls es eine Entartung gibt, d.h., A |an i = a |an i (n = 1, 2, . . . , N ),
P
dann liegt B |an i im gleichen Subraum, d.h., B |an i =
m |am i ham | B |an i. Die Matrix
ham | B |an i ist Hermitisch und lässt sich diagonalesieren. Das ergibt N Eigenzustände von
B die alle gleichzeitig Eigenzustände von A mit dem Eigenwert a sind. Nun kann man die
Eigenzustände mit zwei Quantenzahlen charakterisieren, und zwar a und b, A |a, bi = a |ai
und B |a, bi = b |a, bi. Wenn danach noch die Entartung gibt, d.h., es gibt mehrere Zustände
die die gleichen a und b haben, muss man noch einen Operator C finden der mit A und B
vertauscht. So geht’s bis man den vollständigen Satz von kommutierenden Operatoren hat,
so, dass es keine Entartung mehr gibt.
L2 und Lz als vollständiger Satz kommutierenden Operatoren Als vollständiger Satz
s.
der kommutierenden Operatoren wählen wir L2 und Lz . Die Zustände werden |l, mi genannt.
Es gilt (ohne Beweis)
L2 |l, mi = ~2 l(l + 1) |l, mi .
(181)
Lz |l, mi = ~m |l, mi .
(182)
Die Quantenzahl l ist positiv und ganzzahlig. Die Quantenzahl m kann die folgenden Werte
annehmen
m = −l, −l + 1, −l + 2, . . . , l − 2, l − 1, l .
(183)
Die Eigenfunktionen sind die sogenannten Kugelfunktionen Yl,m (θ, φ).
X.
WASSERSTOFFATOM
Im Wasserstoffatom gibt es ein Proton mit Ladung +e und ein Elektron mit Ladung −e.
Wie im Keppler-Problem gehen wir erst in das Schwerpunkt-Bezugsystem über. Dann mit
der relativen Koordinate ~r = ~re − ~rp lautet der Hamilton-Operator
H=−
e2 1
~2 ~ 2
(∇r ) −
,
2m
4π0 |~r|
(184)
wobei
m=
me mp
≈ me
me + mp
27
(185)
die reduzierte Masse ist. In Kugelkoordinaten erhält man
L̂2
~2 1 ∂
e2 1
2 ∂
r
+
.
H=−
−
2m r2 ∂r
∂r
2mr2 4π0 |~r|
(186)
Mit dem Ansatz
ψ = R(r)Yl,m (θ, φ)
(187)
ergibt sich aus der Schrödinger-Gleichung Hψ = Eψ die folgende Gleichung
~2 1 ∂
~2 l(l + 1)
e2 1
2 ∂
−
r
+
R(r) = ER(r) .
−
2m r2 ∂r
∂r
2mr2
4π0 |~r|
(188)
Es ergeben sich die Eigenzustände mit Eigenenergien
ERy
,
n2
(189)
1 me4
≈ 13, 6eV
2 (4π)2 ~2
(190)
En = −
n = 1, 2, 3, . . . , wobei
ERy =
die Rydberg Energie ist.
Für jede Quantenzahl n gibt es n2 Zustände. Die erlaubte Werte von l für gegebenes n
sind l = 0, 1, . . . , n − 1. Für jedes l gibt es 2l + 1 Werte von m. Das Gesamtspektrum ist
gegeben durch
|n, l, mi .
(191)
Der vollständige Satz der kommutierenden Operatoren ist H, L2 , Lz .
XI.
t.
SPIN 1/2
Drehimpuls, Zusammenfassung Die Algebra der Drehimpuls-Operatoren ist gegeben
durch
[Lx , Ly ] = i~Lz
,
[Ly , Lz ] = i~Lx
,
[Lz , Lx ] = i~Ly .
(192)
Die Eigenzustände |l, mi erfüllen die folgenden Relationen
L2 |l, mi = ~2 l(l + 1) |l, mi .
(193)
Lz |l, mi = ~m |l, mi .
(194)
Die Leiteroperatoren L± = Lx ± iLy wirken wie folgt (ohne Beweis)
p
L+ |l, mi = ~ (l − m)(l + m + 1) |l, m + 1i
28
(195)
p
L− |l, mi = ~ (l + m)(l − m + 1) |l, m − 1i
(196)
Wir beobachten, dass L+ |l, m = li = 0 sowie L− |l, m = −li = 0. Das ergibt die Einschränkung m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.
u.
~ = ~r × p~, die Eigenfunktionen sind die KugelSpin Für den Bahn-Drehimpuls gilt L
funktionen |l, mi = Yl,m (θ, φ). Die Eigenfunktionen von Lz = −i~∂/∂φ sind proportional zu
eimφ und wir sehen, dass m ∈ Z.
Jedoch, alle algebraischen Relationen könnte man auch mit halbzahligen m und l
erfühlen. Z.B., mit l = 1/2 hätte m = −1/2, 1/2. Genauso mit l = 3/2 hätte man
m = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2. Solche Wellenfunktionen existieren aber nicht in der Form
ψ(~r). Man braucht einen anderen Hilbert-Raum (oder andere Darstellung). Den Drehimpuls, der kein Bahn-Drehimpuls ist nennt man Spin. Um vom Bahn-Drehimpuls unter~ statt L.
~ Die Quantenzahl l
scheiden zu können bezeichnet man den Spin-Operator S
nennt man jetzt s. Die Quantenzahl darf halbzahlige oder ganzzahlige Werte annehmen:
s = 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, . . . .
Für s = 1/2 ist der Hilbert-Raum besonders einfach. Die Basis besteht nur aus zwei
Zuständen: |s = 1/2, m = 1/2i = |↑i und |s = 1/2, m = −1/2i = |↓i.Mann
 stellt diese
 zwei

1
0
Zustände als Objekte (Spinoren) mit zwei Komponenten dar: |↑i =   and |↓i =  
0
1
Die beiden Zustände sind Eigenzustände des Operators


1
0
~
~
 .
(197)
Sz = σz = 
2
2
0 −1
Wir erhalten
Sz |↑i =
~
|↑i
2
~
und Sz |↓i = − |↓i .
2
(198)
Der gesamt Spin-Operator lautet
~ = ~ ~σ ,
S
2
wobei die Pauli-Matrizen sind gegeben durch




0 1
0 −i


σx = 
σy = 
1 0
i 0
(199)

σz = 
1
0
0 −1


(200)
Man kann sich überzeugen, dass alle Vertausch-Relationen erfühlt sind. Für die Leiter-
29
Operatoren erhalten wir

S+ = Sx + iSy =
und




0 −i
0 1
~  0 1 
 = ~σ+ = ~ 
 ,
+ i
2
1 0
i 0
0 0

S− = Sx − iSy =





(201)

0 −i
0 0
~  0 1 
 = ~σ− = ~ 
 .
− i
2
1 0
i 0
1 0
(202)
Ein beliebiger Zustand kann wie folgt zerlegt werden:
|ui = α |↑i + β |↓i ,
(203)
wobei |α|2 +|β|2 = 1. Da die globale Phase unwichtig ist können wir einen beliebigen Zustand
durch zwei reelle Parameter (Winkeln) parametrisieren:
θ
θ
iϕ
α = cos
, β = e sin
,
2
2
wobei θ ∈ [0, π] und ϕ ∈ [0, 2π]. Wir erhalten hψ| σz |ψi = cos2
(204)
θ
2
− sin2
θ
2
= cos θ. Auch
hψ| σx |ψi = sin θ cos ϕ und hψ| σy |ψi = sin θ sin ϕ. Wir beobachten, dass h~σ i in Richtung
θ, ϕ zeigt.
v.
Postulat: Ein Elektron hat Spin 1/2. Der Hilbertraum ist ein direktes Produkt L2 ⊗
(Spin − 1/2). Die Wellenfunktionen haben zwei Kompottenten: ψ↑ (~r) und ψ↓ oder in der
Spinor-Form

|ψ, σi = 
XII.
A.
ψ↑ (~r)
ψ↓ (~r)

 .
(205)
PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE
Pauli-Prinzip
Elektronen sind Fermionen. Jeder Zustand kann nur von einem einzelnen (oder von keinem) Fermion besetzt sein.
30
XIII.
SPIN 1/2, DYNAMIK
A.
Magnetisches Moment
Eine drehende Ladung entspricht einer Strom-Schleife und, deswegen, einem magnetischen Moment. Das magnetische Moment einer Stromschleife ist ein Vektor senkrecht der
Schleife mit der Amplitude
µ=I ·A ,
(206)
wobei I ist der Strom und A - die Fläche der Schleife. Für eine kreisartige Schleife mit einem
Elektron mit Geschwindigkeit v und Radius r erhalten wir: I = qv/(2πr) und A = πr2 . Das
ergibt
qvr
.
2
(207)
q
q
q ~
(~r × ~v ) =
(~r × p~) =
L.
2
2m
2m
(208)
µ=
In der Vektor-Form gilt
µ
~=
Die Energie eines magnetischen Momentes im Magnetfeld lautet
~ .
H = −~µ · B
B.
(209)
Gyromagnetisches Verhältnis
Das Elektron hat den gesamt Drehimpuls
~ +S
~ .
J~ = L
(210)
Das Elektron hat die Ladung q = −e. Das mit dem Bahn-Drehimpuls verknüpfte magnetische Moment lautet
e ~
µB ~
L=−
L.
(211)
2m
~
ist das sogenannte Bohr-Magneton. Der Spin ist auch ein Drehimpuls. Jedoch,
µ
~L = −
Hier µB ≡
~e
2m
für den Spin gilt
gµB ~
S,
(212)
~
wobei g = 2 ist das sogenannte gyromagnetisches Verhältnis. Das gesamt magnetische Moµ
~S = −
ment eines Elektrons lautet
µ
~ =−
µB ~
~ .
L + 2S
~
31
(213)
Die Tatsache, dass für den Spin g = 2 6= 1 bedeutet, dass es zu naive ist den Spin als
Drehung des Elektrons sich vorzustellen.
C.
Spin-Präzession
Der Hamilton-Operator eines Spind im Magnetfeld lautet
~ ·B
~ = gµB B
~ · ~σ .
~ = gµB S
H = −~µS · B
~
2
~ als ~z wählen. Dann erhalten wir
Wir können immer die Richtung von B
~ωB
gµB B
σz =
σz ,
2
2
H=
(214)
(215)
wobei
gµB B
.
~
Die Eigenzustände und Eigenenergien des Hamilton-Operators lauten
ωB =
(216)
~ωB
~ωB
σz |↑i =
|↑i ,
2
2
(217)
~ωB
~ωB
σz |↓i = −
|↓i ,
2
2
(218)
H |↑i =
und
H |↓i =
Für den Anfangszustand
|u(t = 0)i = α |↑i + β |↓i
(219)
mit
θ
α = cos
2
θ
β = e sin
2
iϕ
,
(220)
erhalten wir
|u(t)i = α e−
ωB t
2
|↑i + β e
ωB t
2
|↓i .
(221)
Das ergibt
−
ωB t
2
= e−
ωB t
2
|u(t)i = e
ωB t
θ
θ
iϕ
2
|↑i + e
|↓i
cos
e sin
2
2
θ
θ
i(ϕ+ωB t)
cos
|↑i + e
sin
|↓i .
2
2
(222)
Da die Gesamtphase unwichtig ist ist der neue Zustand durch die zwei Winkeln
θ(t) = θ
,
φ(t) = φ + ωB t
(223)
gegeben. Wir erhalten Präzession des Spins um die z-Achse (die Richtung des Magnetfeldes).
32